数学分析期末考试题

数学分析期末考试题

一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，

共20 分）

1、函数f (x)在 [a,b]上可积的必要条件是（）

A 连续

B 有界

C 无间断点

D 有原函数

2、函数 f (x) 是奇函数，且在[-a,a]上可积，则（）

A a

2a B a0

f ( x)dx f ( x) dx f ( x)dx

a0a

a a a

2 f (a)

C f (x)dx 2 f ( x)dx

D f (x)dx

a0a

3、下列广义积分中，收敛的积分是（）

111 A dx B

1dx

0x x C1

1

dx 0

sin xdx D

x3

1

4、级数a n收敛是a n部分和有界且lim a n0的（）

n 1n 1n

A 充分条件

B 必要条件

C 充分必要条件

D 无关条件

5、下列说法正确的是（）

A a n和b n收敛，a n b n也收敛

B a n和b n发散，(a n b n ) 发散

n 1n 1n 1n 1n 1n 1

C a n收敛和b n发散，(a n b n ) 发散

D a n收敛和b n发散，

n 1n 1n 1n 1n 1

a n

b n发散

n 1

6、a n ( x) 在[a，b]收敛于a（x），且a n（x）可导，则（）

n 1

A a n' (x) a' (x)

B a（ x）可导

n1

b b

C a n (x)dx a( x)dx

D a n (x) 一致收敛，则a（ x）必连续

a a

n 1

n 1

7、下列命题正确的是（）

A a n(x)在 [a， b] 绝对收敛必一致收敛

n 1

B a n ( x) 在[a，b]一致收敛必绝对收敛

n 1

C 若lim | a n( x) |0 ，则a n (x) 在[a，b]必绝对收敛

n n 1

D a n (x) 在[a，b]条件收敛必收敛

n 1

8、(1)n1x2 n 1的和函数为

n 02n1

A e x

B sin x

C ln(1 x)

D cos x

9、函数z ln( x y) 的定义域是（）

A (x, y) | x 0, y0

B

C ( x, y) | x y0

D ( x, y) | y x ( x, y) | x y0

10、函数 f(x,y)在（ x0,,y0）偏可导与可微的关系（）

A 可导必可微

B 可导必不可微

C 可微必可导

D 可微不一定可导

二、计算题：（每小题6 分，共 30 分）

92

21)dx

、 f ( x) dx 4，求 xf ( 2x

1

1

2、计算

1

x 2

dx 022x

3、计算 1 x n的和函数并求(1) n

n 1 n n 1n 4、设z32xz y0 ，求z

x (1,1,1)

5、求lim x

2 y

2y 2

x0 x

y0

三、讨论与验证题：（每小题10 分，共 20 分）

x 2

y 2

1、 讨论 f (x, y)

xy

x

2

y 2

( x, y)

(0,0)

在（ 0， 0）点的二阶混合偏导数

( x, y) (0,0)

2、 讨论

( 1) n 1 2

n

sin

2n

x

的敛散性

n 2

n

四、 证明题 ：（每小题 10 分，共 30 分）

1、设 f 1(x) 在 [a ， b] 上 Riemann 可积，

f n 1 ( x)

b

) ，证明函数列 { f n ( x)} 在 [a ，b] 上一致收敛于 0

f n ( x) dx( n 1,2,

a

x

x

y

2

e y ，证明它满足方程

、设 z

z

z

x y

3、 设 f (x) 在 [a ，

xf (sin x)dx

x sin x dx

2 0

1 cos

2 x

参考答案

一、 1、 B 2、B3 、 A4、C5、 C6、 D7、 D8、 C9、 C10、 C

2

xf (2x

2 1)dx

1

2

2

1)d (2x 2

1) （ 3 分 ） 令 u

2x 2

1 ，

二、1、

f (2x

0 1

2 0

2

2 1) dx 9

2（3 分）

xf ( 2x

f (u)du

2 1

1

A

1

A

2、

dx = lim

d(1 x)

lim arctan(1 x)

（6 分）

2

2

2 2x x A

1 (1

x)

A

4

3、解：令 f ( x) = 1 x n ，由于级数的收敛域 [ 1,1)

（ 2 分）， f '

(x ) = x n 1

1 1 ，

n 1 n n 1

x

f (x) =

x

1

dt

ln(1 x) （ 2 分），令 x

1，得

( 1) n

ln 2

1

t

n 1

n

4、解：两边对 x 求导 3z 2

z x

2z

2xz x 0（ 3 分） z x

2z 2x （ 2 分） z

2

3z 2

x

(1,1,1)

（1 分）

5、解： 0 |

x 2 y 2 | x （ 5 分） lim x 2

y

0（1分）

x 2 y 2

y 2

x 0 x

y 0

由于 x=-2， x=2 时，级数均不收敛，所以收敛域为（

-2， 2）（ 3 分）

y x 4 4x 2 y 2 y 2 x 2 y 2

（2 分） 三、 1、解、 f x ( x, y)

(x 2 y 2 ) 2

0 x 2 y 2

f y (x, y)

x x 4

4x 2 y 2 y 2 x 2

y 2 0 (4 分）

( x 2 y 2 )2 x 2 y 2

0 0

2

z

f x (0, y)

f x (0,0)

1

(0,0)

lim

y x

y 0

y

2

z

lim f y ( x,0)

f y (0,0)

(0,0) 0

1（6分） x y

x

x

2 、解：由于

lim n | ( 1) n 1 2 n sin 2n

x | 2 sin 2 x （ 3 分），即 2 sin 2 x 1 级数绝对收敛

n n

2 sin 2 x 1条件收

敛，

2 sin 2 x 1 级数发散（ 7 分）

所以原级数发散（ 2 分）