数学分析期末考试题

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数学分析期末考试题

（5 分） (
∂ u ∂ x
∂u = − r sin θu x + r cosθu y ∂θ
1 ∂u ∂u ∂u ∂u 2 ) + ( ) 2 = ( ) 2 + 2 ( ) 2 （2 分） ∂y ∂r ∂x r ∂θ 1 1 cos 有界， x 2 + y 2 为无穷小， lim f ( x, y ) = 0 （5 分） ( x , y ) →( 0 , 0 ) x y
∫
π
2 0
sin 2 3θdθ =
πa 2
4
（7 分）
1 4π cos (7 分） 2 5
4、解： lim n
n→∞
1 1 = ，r=2（3 分） n 2 2
收敛域为（-3，1），级数的和为 5、解：设极坐标方程为
1 （4 分）， 1− x
= u x cosθ + u y sin θ
x = r cosθ , y = r sin θ
e 1
∫
e
∫ cos(ln x)dx = e sin 1 − e cos1 + 1 − ∫ sin(ln x)dx
1 1
e
e
（5 分）
∫ sin(ln x)dx = 2 (e sin 1 − e cos1 + 1) （2 分）
1
e
1
a2 2、由对称性知，所求的面积为： 6 × 2
3、解：上极限为 0.5，下极限为
，而
三、1、解、由于 sin
1 1 1 1 1 1 lim lim( x 2 + y 2 ) sin cos = lim(lim x 2 sin cos + lim y 2 sin cos ) 0 0 0 x →0 y →0 x → y → y → x y x y x y

浙江理工大学数学分析期终试卷期末试题

2003/2004学年第二学期《数学分析》期末试卷（A ）一、判断题（每题2分）1、若，2)0,0(,1)0,0(=-=y x f f 则dy dx y x df 2),()0,0(+-=。

（）2、若切线的在点：，则曲线))0,0(,0,0(0),(2)0,0(,1)0,0(f y y x f z C f f y x ⎩⎨⎧===-=。

方向向量为k i s-= （） 3、若一元函数连续，，分别在、0000),(),(y x y x f z y x f z ==在点则),(y x f z =连续。

),(00y x （）二、选择题（每题3分）1、级数∑∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+11n nn x n n 的收敛半径为（ D ）（A ） 0 （B ） ∞+ （C ）e （D ）e12、点32)0,0(x y z +=是函数的（ C ）（A ）极小值点（B ）极大值点（C ）非极值点（D ）不能判断3、交换二次积分⎰⎰-x y dy edx 0212的积分次序（ C ）（A ）⎰⎰-xy dx edy 12102 （B ） ⎰⎰-22121y y dx edy （C ） ⎰⎰-121022y y dx edy （D ）⎰⎰-12102xy dx edy4、设⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤=πππx x x x f 21201)(的正弦级数=∑∞=)25(),(sin 1πs x s nx b n n 则和函数为（C ）（A ）1 （B ）12-π （C ）4π（D ）0 5、利用球面坐标化三重积分1)1(:,222222≤-++Ω++⎰⎰⎰Ωz y x dv z y x 为三次积分（ A ）（A ）⎰⎰⎰ϕππρρϕϕθcos 203220sin d d d （B ）⎰⎰⎰ϕππρρϕϕθcos 20320sin d d d（C ）⎰⎰⎰ϕππρρϕϕθsin 203220sin d d d （D ）⎰⎰⎰13220sin ρρϕϕθππd d d 三、填空题（每题3分）1、广义积分⎰+∞+121sin dx xxx 收敛性为2、设=∂∂=22),,(xuy x x f u 则3、设=-=dz y z xz f z 则),,(4、=+-+>≤+⎰⎰Ddxdy y x y R R y x D )963(,0,:2222则二重积分设5、⎰=++=+lds y x xy y x a l )432(,1342222则的椭圆为周长为设三、讨论级数R p n n n p∈∑∞=,sin 11π的敛散性。

数学分析期末考试题及答案ppt

数学分析期末考试题及答案ppt1. 极限的概念和性质- 题目1：求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$。

- 答案：极限值为1。

2. 连续函数的性质- 题目2：判断函数 $f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 处是否连续。

- 答案：不连续。

3. 导数的定义和计算- 题目3：求函数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ 的导数。

- 答案： $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$。

4. 微分中值定理- 题目4：证明函数 $f(x) = x^2$ 在区间 $[0,1]$ 上至少存在一点 $c$，使得 $f'(c) = \frac{f(1) - f(0)}{1 - 0}$。

- 答案：根据罗尔定理，由于 $f(0) = 0$ 且 $f(1) = 1$，且 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续可导，故存在 $c \in (0,1)$ 使得 $f'(c) = 1$。

5. 定积分的计算- 题目5：计算定积分 $\int_{0}^{1} x^2 dx$。

- 答案： $\frac{1}{3}x^3 \Big|_0^1 = \frac{1}{3}$。

6. 级数的收敛性- 题目6：判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是否收敛。

- 答案：收敛。

7. 多元函数的偏导数- 题目7：求函数 $f(x, y) = x^2y + y^3$ 的偏导数 $f_x$ 和 $f_y$。

- 答案： $f_x = 2xy$，$f_y = x^2 + 3y^2$。

8. 多元函数的极值- 题目8：求函数 $f(x, y) = x^2 + y^2$ 在点 $(1, 1)$ 处的极值。

- 答案：点 $(1, 1)$ 是局部最小值点。

第三学期数学分析期末考试题及答案

第三学期《数学分析》期末试题一、选择题：（15分，每小题3分） 1、累次极限存在是重极限存在的（）A 充分条件B 必要条件C 充分必要条件D 无关条件 2、=∂∂),(00|),(y x xy x f （）Ax y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim 00000 ； B xy x x f x ∆∆+→∆),(lim 000； Cx y x x f y y x x f x ∆∆+-∆+∆+→∆),(),(lim 00000 ； D xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000。

3、函数f (x,y )在（x 0,,y 0）可偏导，则（ D ）A f (x,y )在（x 0,,y 0）可微；B f (x,y )在（x 0,,y 0）连续；C f (x,y )在（x 0,,y 0）在任何方向的方向导数均存在；D 以上全不对。

4、22222)(),(y x y x y x y x f -+=的二重极限和二次极限各为（ B ）A 、0，0，0；B 、不存在，0，0，；C 、0，不存在，0；D 、0，0，不存在。

5、设yx ez =，则=∂∂+∂∂yz y x z x （A ）A 、0；B 、1；C 、-1；D 、2。

二、计算题（50分，每小题10分）1、证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导，但它在该点不可微；2、设⎰⎰'=-x xtx f x f dt d ex f 0)(),(,)(2求ττ；3、设有隐函数,0x y F z z ⎛⎫=⎪⎝⎭,其中F 的偏导数连续,求z x ∂∂、z y ∂∂；4、计算(cos sin )x Ce ydx ydy -⎰，其中C 是任一条以为(0,0)A 起点、(,)B a b 为终点的光滑曲线；5、计算zdS ∑⎰⎰，其中∑为22z x y =+在14z ≤的部分；三、验证或解答（满分24分，每小题8分）1、验证曲线积分⎰+++++Ldzy x dy x z dx z y )()()(与路线无关，并求被积表达式的原函数；2、说明对任意),0(sin ,00)(2+∞∈>⎰+∞+-t tdx e x 关于αα均一致收敛；3、验证函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(222222y x y x yx xyy x f 在原点（0，0）分别对每个自变数y x 或(另一个看作常数)都连续，但是二元函数在原点（0，0）却不连续.四、（11分）求由方程组⎩⎨⎧=-+=++10333z y x z y x 确定的隐函数)2,1,1()(),(-==P x z z x y y 在点处的一阶导数。

(完整)华中师范大学数学分析期末考试试题2

数学分析期末考试试题一、叙述题:（每小题6分，共18分）1、牛顿—莱不尼兹公式2、 ∑∞=1n n a收敛的cauchy 收敛原理3、全微分二、计算题：（每小题8分，共32分）1、40202sin lim x dt t x x ⎰→2、求由曲线2x y =和2y x =围成的图形的面积和该图形绕x 轴旋转而成的几何体的体积。

3、求∑∞=+1)1(n nn n x 的收敛半径和收敛域，并求和4、已知z y x u = ，求yx u ∂∂∂2 三、（每小题10分，共30分）1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数 ∑∞=1!n n n n 2、讨论反常积分⎰+∞--01dx e x x p 的敛散性3、讨论函数列),(1)(22+∞-∞∈+=x n x x S n 的一致收敛性四、证明题（每小题10分，共20分）1、设)2,1(11,01 =->>+n n x x x n n n ，证明∑∞=1n n x 发散 2、证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f 在（0，0)点连续且可偏导,但它在该点不可微.,参考答案一、1、设)(x f 在连续，)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则成立)()()(a F b F dx x f ba -=⎰ 2、,0.0>∃>∀N ε使得N n m >>∀，成立ε<+++++m n n a a a 213、设2R D ⊂为开集，],[b a D y x y x f z ∈=),(),,(是定义在D 上的二元函数，),(000y x P 为D 中的一定点，若存在只与点有关而与y x ∆∆,无关的常数A 和B ，使得)(22y x o y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆则称函数f 在点),(000y x P 处是可微的,并称y B x A ∆+∆为在点),(000y x P 处的全微分二、1、分子和分母同时求导316sin 2lim sin lim 54060202==→→⎰x x x x dtt x x x （8分) 2、、两曲线的交点为（0，0），（1，1)（2分）所求的面积为：31)(102=-⎰dx x x （3分）所求的体积为:103)(105ππ=-⎰dx x x （3分） 3、解：设∑∞=+=1)1()(n nn n x x f ，1)1(1)2)(1(1lim =+++∞→n n n n n ,收敛半径为1，收敛域 [-1，1］（2分）),10(),1ln(11)1()(121'<<---=+=∑∞=-x x x x n x x f n n )10(),1ln(11)()(0'<<--+==⎰x x x x dt t f x f x (3分) x =0级数为0，x =1，级数为1，x =-1,级数为1—2ln2(3分）4、解： y u ∂∂=z x x z y ln （3分）=∂∂∂y x u 2zx x x x zyz y 1ln 1+-（5分）三、1、解、有比较判别法，Cauchy,D’Alembert,Raabe 判别法等（应写出具体的内容4分）11)111(lim !)1()!1(lim -∞→+∞→=+-=++e n n n n n n n nn n （4分)由D’Alembert 判别法知级数收敛（1分） 2、解：⎰⎰⎰+∞----+∞--+=1110101dx e x dx e x dx e x x p x p x p （2分）,对⎰--101dx e x x p ，由于)0(111+→→---x e x x x p p 故p >0时⎰--101dx e x x p 收敛（4分）；⎰+∞--11dx e x x p ，由于)(012+∞→→--x e x x x p （4分)故对一切的p ⎰+∞--11dx e x x p 收敛,综上所述p >0,积分收敛3、解：221)(n x x S n +=收敛于x （4分）0)(sup lim ),(=-+∞-∞∈∞→x x S n x n 所以函数列一致收敛性（6分）四、证明题（每小题10分,共20分）1、证明:11123221213423-=-->=-n n n x x x x x x x x n n n )2(,112>->n x n x n （6分） ∑∞=-211n n 发散，由比较判别法知级数发散（4分) 2、证明:||||022xy y x xy≤+≤（4分）22)0,0(),(lim y x xy y x +→=0所以函数在（0，0）点连续，（3分)又00lim 0=∆→∆x x ,)0,0(),0,0(y x f f 存在切等于0，(4分）但22)0,0(),(lim y x y x y x ∆+∆∆∆→∆∆不存在,故函数在（0，0）点不可微（3分）。

数学分析期末考试试题

数学分析期末考试试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-3x+2在区间[1,3]上的最大值是：A. 0B. 2C. 4D. 62. 以下哪个选项不是闭区间[a, b]上连续函数的性质？A. 有界性B. 保号性C. 介值性D. 可微性3. 函数f(x)=sin(x)在x=0处的导数是：A. 0B. 1C. -1D. 24. 函数f(x)=x^3+2x^2-3x+1在x=-1处的泰勒展开式（展开到x^2项）是：A. -1+2x-x^2B. 1-2x+x^2C. -1+2x+x^2D. 1+2x-x^25. 以下哪个级数是发散的？A. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...B. 1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ...C. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...D. 1 - 1/2^2 + 1/3^2 - 1/4^2 + ...6. 函数f(x)=x^2在x=1处的高阶导数f^(n)(x)（n≥2）是：A. 0B. 1C. 2D. 47. 函数f(x)=e^x的原函数是：A. e^x + CB. ln(x) + CC. sin(e^x) + CD. cos(e^x) + C8. 函数f(x)=x^2在[0,1]上的定积分是：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2/39. 函数f(x)=|x|在x=0处的导数是：A. 1B. -1C. 0D. 不存在10. 以下哪个函数是周期函数？A. f(x)=x^2B. f(x)=e^xC. f(x)=sin(x)D. f(x)=ln(x)二、填空题（每题2分，共10分）11. 若函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在x=2处取得极小值，则f'(2)=_________。

12. 若函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d在x=-1处取得最大值，则b=_________。

13. 函数f(x)=ln(x)的原函数是_________。

数学分析期末试题A答案doc

数学分析期末试题A答案doc2024年数学分析期末试题A及答案一、选择题1、以下哪个函数在 x = 0 处连续？ A. $f(x) = x^2$ B. $f(x) = \frac{1}{x}$ C. $f(x) = sin x$ D. $f(x) = e^x$ 答案：D解析：在 x = 0 处，只有选项 D 中的函数 e^x 是连续的。

因此，答案为 D。

2、设 $f(x) = x^2$，则 $f(3x - 2) =$ __________。

A. $x^2$ B. $(3x - 2)^2$ C. $(3x - 2)^3$ D. $(3x - 2)^2 + 1$ 答案：B解析：将 $x$ 替换为 $3x - 2$，得 $f(3x - 2) = (3x - 2)^2$。

因此，答案为 B。

3、下列等式中，错误的是： A. $\int_{0}^{1}x^2dx =\frac{1}{3}x^3|{0}^{1}$ B. $\int{0}^{\pi}\sin xdx = \cosx|{0}^{\pi}$ C. $\int{0}^{2\pi}\sin xdx = 0$ D.$\int_{0}^{1}(2x + 1)dx = (x^2 + x)|_{0}^{1}$ 答案：A解析：等式两边取极限，只有 A 选项等式两边不相等，因此 A 选项是错误的。

4、下列哪个导数是常数函数？ A. $y = x^3$ B. $y = \sin x$ C. $y = e^x$ D. $y = log_a(x)$ 答案：C解析：常数函数的导数为零。

在选项中，只有 C 中的函数 e^x 的导数为常数函数，其导数为 $e^x$。

因此，答案为 C。

高一生物期末考试试题及答案doc高一生物期末考试试题及答案doc高一生物期末考试是一次重要的学业水平测试，旨在考察学生在本学期学习生物课程的效果。

以下是本次考试的部分试题及其答案，供大家参考。

一、选择题1、下列哪一种生物不是由细胞构成的？ A. 细菌 B. 植物 C. 动物D. 病毒答案：D2、哪一个器官属于消化系统？ A. 口腔 B. 食道 C. 胃 D. 大肠答案：C3、在光合作用中，哪一个物质是植物从空气中吸收的？ A. 氧气 B. 二氧化碳 C. 葡萄糖 D. 水答案：B二、填空题1、病毒是一种生物，但它不能 _______ 和保持生命活动，必须_______ 在细胞内。

数学分析期末复习题

数学分析(三)复习题一、计算题1．求二重极限yx x ay x x +→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+211lim ；2．求椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(-1,-2,3)处的切平面与平面z=1的交角； 3．求函数z=xy 在条件x+y=1下的极值点。

4．求函数z=x 2+xy+y 2-4lnx-10lny 的极值。

5. 求函数z=4(x-y)-x 2-y 2的极值。

6．求函数z=x 4+y 4-x 2-2xy-y 2的极值。

7. 求函数z=x 3y 2(6-x-y)，(x>0，y>0)的极值。

8．求函数z=x 2+(y-1)2的极值。

9. 设u(x,y)=e 3x-y ，x 2+y=t 2，x-y=t+2，求=t dtdu 。

10．求e z -z+xy=3在点(2,1,0)处的切平面与法线方程。

11. 设f(x,y,z)=x+y 2+xz ，求f 在(1,0,1)点沿方向C=(2,-2,1)的方向导数。

12．求函数u=xyz 在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数。

13. 求函数u=x 2+y 2-z 2在点M(1,0,1)及P(0,1,0)的梯度之间的夹角。

14．在椭球面2x 2+2y 2+z 2=1上求一点，使得函数f(x,y,z)=x 2+y 2+z 2在该点沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)方向的方向导数具有最大值（不要求判别）。

15．设函数f(x,y,z)=cos 2(xy)+2zy，试问它在点(0,2,1)处的什么方向上的变化率最大？求出这个方向上的单位向量及函数在点(0,2,1)的最大变化率。

16．求函数z=arctg xy在位于圆x 2+y 2-2x=0上一点(21,23)处沿这圆周切线方向的方向导数（设切线的倾角α的范围为：0≤α<π）。

17. 设数量场u=222zy x z ++，试求：（1）gradu ；（2）在域1<z<2内，inf|gradu|，及sup|gradu|。

数学分析(1)期末试题A答案

学习资料收集于网络，仅供参考2007-2008学年第一学期期末数学分析（1）考试试题（A 卷）参考答案及评分标准、判断题（本题共 10小题，每小题2分，共20分）1. X2. X3. V4. X5. V6.、填空题（本题共 8小题，每空2分，共20分） 1.f (n 1)(. )+ ------ ( (x -x o )n* ,:介于 x 与x o 之间. (n 1)!三、计算题（本题共 5小题，第1—4小题每题5分，第5小题10分，共30分）3.(6)1. 设y = x e ,试求y .解基本初等函数导数公式，有(x 3) =3x 2,(x 3) =6x,(x 3) =6,(x 3)(k)=0, k =4,5,6, (e x 严=e x ,k =1,2,111,6,应用莱布尼兹公式（n =6）得(6)3 x2 xxxy x e 6 3x e 15 6xe 20 6e32x=(x 18x 90x 120)e .2. 4 co sx2- s x2e 2叫23. e x f( f( e)) f(x e ) 4. 6 (x - 1) 5. -In二.6. 0, 17. y =x , y - -xx 7. V 8. x 9. V 10. xf (n) (Kn)nf(x)=f(x o ) f(x o )(x -x o )中^r (x -x o )8.学习资料收集于网络，仅供参考x = a（t -sint）,2.试求由摆线方程《所确定白^函数y=f（x）的二阶导数.y = a（1 - cost）学习资料收集于网络，仅供参考dy (a(1 - cost)) dx (a(t-sint))sint x t ------ 二 cot 一，1 - cost 2…t1 2t 2I cotcsc _dy 2 2 22 一 _ .一dx (a(t-sint)) a(1 -cost) 1 4 t——csc - ....................... .......4a 23.试求f (x) =ln(1 +x 2)到x 6项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式解因为2 3. x x 3ln(1+x)=x ———+—+o(x ),.......2 3所以f(x) =ln(1 +x 2)到x 6项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式为4622x x 6ln(1 x )= x -——一■ o(x ).2 34. 试求极限解通分后连续使用两次洛必达法则，得 x e - x -1xx(e -1)x e -1 e x(x 1)-1 xelim - ---- x 山 e x(x - 2)3分2分3分2分-- 3 2 5.试求函数y ^2x -9x +12x|在［-1,3］上的最值和极值解 32y 二|2x -9x 12x|一 2_ 一二|x(2x -9x 12) |I x(2x 2 -9x 12), -1 < x < 0,一 2x(2x -9x 12), 0 二 x <3,在闭区间［-1,3］上连续，故必存在最大最小值.-6x 2 18x-12, 6x 2 -18x 12 -6(x-1)(x-2), 6(x-1)(x-2),令y' = 0,得稳定点为x=1,2.又因匚(0) =—12, f ；(0) =12,故y 在x = 0处不可导.列表如下所以x = 0和x = 2为极小值点，极小值分别为 f (0) = 0和f (2) = 4 , x = 1为极大值点f(1)= 5.又在端点处有f (-1) = 23 , f (3) = 9,所以函数在x = 0处取最小值0,在x = -1处取最大值................................ 2分四、证明题(本题共3小题，每小题10分，共30分).21 .证明不等式e x>1 +x+— (x>0) 22、一人vx一证令 f (x) =e 一一 -x -1 , x >0, 2f (x) = e x- x -1, x 0 f (x) -e x-1 0 , x 0,且 f(0) = f (0) =0,............................. 3 分当x A0时有f "(x) >0,所以f'(x)严格递增，又f (x)在x=0处连续，所以f (x) > f (0) =0, x >0, ................................ 3 分-1 < x :二 0, 0 x <极大值为23.所以f(x)严格递增，又f(x)在x = 0处连续，所以f (x) > f (0) =0, x>0, ................................ 3 分x x2即e >1+x + ——,x >0. ............................. 1 分22.设f为(血，十a)上的连续函数，对所有x, f (x) >0 ,且lim f (x) = lim f (x) =0 ,证明f (x)必x ；：：x :.能取到最大值.证由题设f(0)>0,取8=*0■，由lim f(x) = lim f (x) = 0，m X >0,当| x |A X 时，2 x『二xf(x)<S<f(0). ................................ 4 分又f在［-X , X ］上连续，由闭区间上连续函数的最大、最小值定理知，f在［-X, X］能取到最大值................................ 4分且此最大值为f在(—叫+如)上的最大值. .................................. 2分3.若函数f(x)在［0,1］上二阶可导，且f(0)=0, f(1) = 1, f'(0)= f'(1) = 0,则存在c^(0,1)使得|f (c)|_2.证法一：v x w (0,1),把f (x)在0, 1两点处分别进行泰勒展开到二阶余项，有f ( J 2f (x) =f(0) f (0)(x-0) ^^x ,f , 0； 1 <x- <1,f(x) =f(1) f (1)(x-1) -4^(x-1)2,2!上两式相减，有f ( 1) f ( 2)(x-1)2.记| f ”(c)尸max{| f 7 -1) |,| f 'J) |},则有1《|f (c)|［x2 (x-1)2］1\|f (c)|,即存在cw(0,1)使得| f *(c)住2.证法二：在［0,1］上对f(x)应用拉格朗日中值定理有f (D = f ⑴—f (0) =1 , 0 ＜1 .当0 时，在［0,可上对f '(x)应用拉格朗日中值定理有1 .1 = f 注)—f (0) = f “(c)L =| f “(c)|=f “(c) =不之2, 2(0,与二(0,1)................................. 3分当白＜匚＜1时，在［匕1］上对f'(x)应用拉格朗日中值定理有11 = f ( ) - f (1) = f (c)( -1),=|f(c)|=—— 2, c ( ,1) (0,1).1 -................................ 2分综上证明知存在cW(0,1)使彳#|f”(c)户2. ................................ 2分。

数学分析期末考试题.doc

数学分析期末考试题一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，共20分）1、函数)(x f 在 [a,b ] 上可积，那么（） A )(x f 在[a,b ]上有界 B )(x f 在[a,b ]上连续C )(x f 在[a,b ]上单调D )(x f 在[a,b ]上只有一个间断点 2、函数)(x f 在 [a,b ] 上连续，则在[a,b ]上有（）A )()(x f dx x f dx d b a =⎰B )()(x f dt t f dx d x a =⎰C )()(x f dt t f dx d b x -=⎰D )()(x f dt t f dxd b x =⎰ 3、在[a ，+∞]上恒有)()(x g x f ≥，则（） A ⎰+∞a dx x f )(收敛⎰+∞adx x g )(也收敛 B ⎰+∞adx x g )(发散⎰+∞adx x f )(也发散C⎰+∞adx x f )(和⎰+∞adx x g )(同敛散 D 无法判断4、级数∑∞=1n na收敛是（）对p =1,2…，0)(lim 21=++++++∞→p n n n n a a aA 充分条件B 必要条件C 充分必要条件D 无关条件 5、若级数∑∞=+111n n α收敛，则必有（）A 0≤αB 0≥αC 0<αD 0>α 6、)()(1x ax f n n∑∞==在[a ，b ]一致收敛，且a n (x )可导（n =1,2…），那么（）A f （x ）在[a ，b ]可导，且∑∞==1'')()(n nx ax fB f （x ）在[a ，b ]可导，但)('x f 不一定等于∑∞=1')(n nx aC∑∞=1')(n nx a点点收敛，但不一定一致收敛D∑∞=1')(n nx a不一定点点收敛7、下列命题正确的是（） A)(1x an n∑∞=在[a ，b ]绝对收敛必一致收敛B)(1x an n∑∞=在[a ，b ] 一致收敛必绝对收敛C)(1x an n∑∞=在[a ，b ] 条件收敛必收敛D 若0|)(|lim =∞→x a n n ，则)(1x an n∑∞=在[a ，b ]必绝对收敛8、∑∞=--1)11()1(n n nx n 的收敛域为（） A (-1,1) B (-1,1] C [-1,1] D [-1,1） 9、下列命题正确的是（）A 重极限存在，累次极限也存在并相等B 累次极限存在，重极限也存在但不一定相等C 重极限不存在，累次极限也不存在D 重极限存在，累次极限也可能不存在10、函数f (x,y )在（x 0,,y 0）可偏导，则（）A f (x,y )在（x 0,,y 0）可微B f (x,y )在（x 0,,y 0）连续C f (x,y )在（x 0,,y 0）在任何方向的方向导数均存在D 以上全不对二、计算题：（每小题6分，共30分）1、)0(21lim1>++++∞→p n n p pp p n 2、计算由曲线2x y =和2y x =围成的面积 3、求极限)1sin 11(lim 2222)0,0(),(x y y x y x y x +-+++→4、已知),(yx x f z =，求yzx z ∂∂∂∂, 5、计算nn n n x n ∑∞=--112)1(的收敛半径和收敛域三、讨论判断题（每小题10分，共30分）1、讨论dx x x qp p⎰∞++--01|1|的敛散性 2、判断∑∞=--+122)11(n n n 的敛散性3、判断∑∞=+-121sin )1(n n n nx的一致收敛性四、证明题（每小题10分，共20分）1、设f (x )是以T 为周期的函数，且在[0，T ]上可积，证明⎰⎰=+TTa adx x f dx x f 0)()(2、设级数∑∞=10n n n x α收敛，则当0αα>时，级数∑∞=1n nn x α也收敛参考答案一、1、A 2、B3、D4、A5、D6、D7、C8、A9、D10、D 二、1、由于px 在[0，1]可积，由定积分的定义知（2分）=++++∞→121lim p p p p n n n 11)21(1lim 10+==++⎰∞→p dx x n n n n n pp p p p p p n （4分） 2、、两曲线的交点为（0，0），（1，1）（2分）所求的面积为：31)(12=-⎰dx x x （4分） 3、解：由于x1sin 有界，01sin lim )0,0(),(=→x y y x （2分）)1sin 11(lim 2222)0,0(),(x y y x y x y x +-+++→=)11)(11()11)((lim22222222)0,0(),(+++-++++++→y x y x y x y x y x （3分）=111lim22)0,0(),(+++→y x y x =2（1分）4、解：xz∂∂=y f f 121+（3分）y z ∂∂=22y x f -（3分）5、解：212)1(lim 1=--∞→n nn n n ，r =2（3分）由于x =-2，x =2时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3分）三、1、解、因为被积函数可能在x =0和x =1处无界，所以将其分为dx x x q p p ⎰∞++--01|1|=dx x x p q p ⎰-+-101|1|1+dx x x q p p⎰∞++--11|1|（2分）考虑奇点x =0应要求p-1<1；奇点x =1应要求p+q<1；（4分）当+∞→x 时，由于1211~)1(1-++--q p q p p xx x ，知2p+q -1>1时积分收敛（2分）所以反常积分满足p <2且2(1-p)<q<1-p 收敛，其余发散（2分） 2、解：由于nn n n n 1~112112222-++=--+（6分），又∑∞=11n n 发散（2分）所以原级数发散（2分）3、解：2211sin )1(n n nx n ≤+-（6分），由weierstrass 判别法原级数一致收敛性（4分）四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：⎰⎰⎰⎰++++=Ta TT aTa adx x f dx x f dx x f dx x f )()()()(00（1）（4分）⎰⎰⎰=+++=+aaTa Tdt t f T t d T t f t T x dx x f 0)()()()(（2）（4分）将式（2）代入（1）得证（2分）2、证明：∑∑∞=-∞==11)1)((00n n n n n nx n x αααα（4分）01αα-n 单调下降有界（3分）由Abel 定理知原级数收敛（3分）。

数学分析期末考试题1、2(第二份有答案)

第三学期数学分析考试题一、判断题（每小题2分，共20分）1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集．（）2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等．（）3.连续函数的全增量等于偏增量之和．（）4.xy y x f =),(在原点不可微．（）5.若),(),(y x f y x f yx xy 与都存在，则),(),(y x f y x f yx xy =．（）6.dy y x xyy )1(sin 21+⎰+∞在)1,0(内不一致收敛．（） 7.平面图形都是可求面积的．（） 8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （）9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”．（） 10.二重积分定义中分割T 的细度T 不能用}{max 1i ni σ∆≤≤来代替．（）二、填空题（每小题3分，共15分）1.设)sin(y x e z xy+=，则其全微分=dz ． 2.设32),,(yz xy z y x f +=，则f 在点)1,1,2(0-P 处的梯度=)(0P grad ． 3.设L 为沿抛物线22x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则⎰=+Lydx xdy ．4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于．5.曲面273222=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为．三、计算题（每小题5分，共20分） 1．求极限xy y x y x )(lim22)0,0(),(+→．2．设),(y x z z =是由方程ze z y x =++所确定的隐函数，求xy z ． 3．设]1,0[]1,0[⨯=A ，求⎰⎰++=Ay x ydxdyI 2322)1(. 4．计算抛物线)0()(2>=+a axy x 与x 轴所围的面积.四、(10分)密度22),,(y x z y x +=ρ的物体V 由曲面222y x z +=与2=z 所围成，求该物体关于z 轴的转动惯量．五、（10分）求第二类曲面积分⎰⎰++S dxdy z dzdx y dydz x222其中S 是球面2222)()()(R c z b y a x =-+-+-并取外侧为正向．六、（第1小题8分，第2小题7分，共15分）．1. 求曲线6222=++z y x ，22y x z +=在点（1，1，2）处的切线方程和法平面方程． 2．证明：221140π=+⎰+∞dx x ．七、（10分）应用积分号下的积分法，求积分)0(ln )1cos(ln 10>>-⎰a b dx xx x x ab ．第三学期数学分析参考答案及评分标准一、判断题（每小题2分，共20分）1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集．（⨯） 2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等．（ √ ） 3.连续函数的全增量等于偏增量之和．（ ⨯） 4.xy y x f =),(在原点不可微．（ √ ）5.若),(),(y x f y x f yx xy 与都存在，则),(),(y x f y x f yx xy =．（ ⨯）6.dy y x xyy )1(sin 21+⎰+∞在)1,0(内不一致收敛．（ √ ）7.平面图形都是可求面积的．（⨯） 8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （ √ ）9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”．（⨯）10.二重积分定义中分割T 的细度T 不能用}{max 1i ni σ∆≤≤来代替．（ √ ）二、填空题（每小题3分，共15分） 1.设)sin(y x e z xy+=，则其全微分=dzdy y x y x x e dx y x y x y e xy xy )]cos()sin([)]cos()sin([+++++++．2.设32),,(yz xy z y x f +=，则f 在点)1,1,2(0-P 处的梯度=)(0P grad (1,-3,-3)． 3.设L 为沿抛物线22x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则⎰=+Lydx xdy 2 ．4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于b a 532． 5.曲面273222=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为111193--=-=-z y x ．三、计算题（每小题5分，共20分） 1．求极限xy y x y x )(lim22)0,0(),(+→．解：先求其对数的极限)ln(lim22)0,0(),(y x xy y x +→．由于)0,(0ln )ln(2222222+→=+→≤+r r y x r r y x xy 令，所以)ln(lim22)0,0(),(y x xy y x +→=0，故xy y x y x )(lim22)0,0(),(+→=1．2．设),(y x z z =是由方程ze z y x =++所确定的隐函数，求xy z ．解：方程ze z y x =++两边对x ，y 求偏导数，得 xze x z z∂∂=∂∂+1 y z e y z z ∂∂=∂∂+1 解得11-=∂∂=∂∂z e y z x z 32)1()1()11(-=∂∂⋅--=-∂∂=z zz z z xy e e y z e e e y z 。

数学分析期末考试题

数学分析期末考试题一、叙述题：(每小题5分，共10分）1、叙述反常积分a dx x f ba ,)(⎰为奇点收敛的cauchy 收敛原理2、二元函数),(y x f 在区域D 上的一致连续二、计算题：（每小题8分，共40分） 1、)212111(lim nn n n +++++∞→2、求摆线]2,0[)cos 1()sin (π∈⎩⎨⎧-=-=t t a y t t a x 与x 轴围成的面积 3、求⎰∞+∞-++dx xx cpv 211)(4、求幂级数∑∞=-12)1(n nnx 的收敛半径和收敛域5、),(yx xy f u =，求yx u ∂∂∂2三、讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、yx yx y x f +-=2),(，求),(lim lim ),,(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→；),(lim)0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？2、讨论反常积分⎰∞+0arctan dx xx p的敛散性。

3、讨论∑∞=-+133))1(2(n nnn n 的敛散性。

四、证明题：（每小题10分，共20分）1、设f （x ）在[a ,b ]连续，0)(≥x f 但不恒为0，证明0)(>⎰ba dx x f2、设函数u 和v 可微，证明grad (uv )=ugradv +vgradu参考答案一、1、,0.0>∃>∀δε使得δδδ<<<∀210，成立εδδ<⎰--21)(a a dx x f2、设2RD ⊂为点集，mRD f →:为映射，,0.0>∃>∀δε使得D x x x x ∈<-∀2,121,δ，成立ε<-)()(21x f x f二、1、由于x +11在[0，1]可积，由定积分的定义知（2分）)212111(lim nn n n +++++∞→ =2ln 11)11211111(1lim1=+=+++++⎰∞→dx xnn nnnn（6分）2、、所求的面积为：22023)cos 1(a dx x a ππ=-⎰（8分）3、解：π=++=++⎰⎰-+∞→∞+∞-AAA dx xx dx xx cpv 2211lim11)( (3分）4、解：11lim2=∞→nn x，r=1（4分）由于x =0，x =2时，级数均收敛，所以收敛域为[0，2]（4分） 5、解： yu ∂∂=221yx f x f -（3分）322112212yx f xy f yf f yx u -++=∂∂∂（5分）三、1、解、0limlimlim ,1limlimlim 220020==+-==+-→→→→→→yyyx yx xx y x yx y x y x y x （5分）由于沿kx y =趋于（0，0）极限为k+11所以重极限不存在（5分）2、解：⎰⎰⎰∞+∞++=11arctan arctan arctan dx xx dx xx dx xx ppp（2分），对⎰1arctan dx x x p，由于)0(1arctan 1+→→-x xx x pp 故p <2时⎰1arctan dx xx p 收敛（4分）；⎰∞+1arctan dx xxp，由于)(2arctan +∞→→x xx xppπ（4分）故p >1⎰∞+1arctan dx xx p收敛，综上所述1<p <2，积分收敛 3、解：13123])1(2[lim3<+=-++∞→nnnn n 所以级数收敛（10分）四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：由0)(≥x f 但不恒为0，至少有一点],[0b a x ∈ f （x ）在[a ,b ]连续（2分），存在包含x 0的区间],[],[b a d c ⊂，有0)(>x f （4分），0)()(>≥⎰⎰dcbadx x f dx x f （4分）2、证明：以二元函数为例ugradvvgradu v v u u u v u v u v v u v u u v v u u v v u uv grad y x y x y x y x y y x x +=+=+=++=),(),(),(),(),()(（10分）。

数学分析大一上学期考试试题 A

(x)

x2 5x
4 2
在点
x0

2 连续。
2.证明 f (x) cos 2x 在[0,) 上一致连续。
3.设函数 f (x) 在a，b上可导，证明：存在 (a，b) ，使得 2 f (b) f (a) (b2 a2 ) f ( )
（10）求

x y

t t
2 2
sin t, cos t;
的一阶导。
三、讨论题（共 20 分）
1.讨论函数 f (x) ex 1 的间断点，并指出其类型。
x(x 2)
2.讨论极限 lim sin 1 是否存在。
x0
x
四、证明题（共 30 分）
1.用“ ”定义验证函数
f
n n2 1 n2 2
n2 n
x x 1
（3）求 lim x0
1 tan x 1 sin x ；
ln(1 x3 )
3
（4）求 lim
x 11；
x0 x 1 1
x2
（5）求
limx0cos源自x x4e2
（提示：可先考虑泰勒公式）；
（6）设 lim x1人人网仅提供信息存储空间仅对用户上传内容的表现方式做保护处理对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑并不能对任何下载内容负责
数学分析第一学期期末考试试卷（A 卷）
一、叙述题（共 10 分）
1.下确界；
2.叙述闭区间套定理。
二、计算题（共 40 分）
（1）求 lim[ 1 1 1 ]；（2）求 lim( x 1)x ；
x2 ax x2 x
b

4
，求

数学分析B1期末考试题及答案

数学分析B1期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个选项不是实数集的子集？A. 有理数集B. 整数集C. 无理数集D. 复数集2. 若函数f(x)在点x=a处连续，则下列哪个选项不正确？A. 极限lim(x→a) f(x) = f(a)B. f(a)存在C. f(x)在x=a的邻域内不一定有界D. f(x)在x=a的邻域内不一定连续3. 函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上的最大值是：A. 0B. 1C. 4D. 不存在4. 若f(x)=sin(x)，x∈[0,2π]，则f(x)的原函数F(x)是：A. -cos(x) + CB. cos(x) + CC. -sin(x) + CD. sin(x) + C5. 函数f(x)=ln(x)的导数是：A. 1/xB. xC. ln(x)D. 1/ln(x)答案：1.D 2.C 3.B 4.A 5.A二、填空题（每题2分，共10分）6. 若函数f(x)在[a,b]上连续，则______存在。

7. 函数f(x)=x^3-3x^2+2的一阶导数为______。

8. 函数f(x)=1/x在点x=1处的导数为______。

9. 若f(x)=x^2+2x+1，则f'(1)=______。

10. 函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期为______。

答案：6. 原函数 7. 3x^2-6x 8. -1 9. 5 10. 2π三、简答题（每题10分，共20分）11. 证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且f(a)f(b)<0，则根据介值定理，f(x)在(a,b)内至少有一个零点。

12. 解释什么是泰勒公式，并给出e^x的泰勒公式展开。

答案：11. 证明：由于f(x)在[a,b]上连续，根据连续函数的性质，f(x)在[a,b]上是闭区间上的有界函数。

设M=f(a)，m=f(b)，因为Mm<0，根据介值定理，存在c∈(a,b)使得f(c)=0，即f(x)在(a,b)内至少有一个零点。

数学分析期末考试题

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