2019考研数学三真题解析

2019年全国硕士研究生入学统一考试

数学（三）试题参考答案

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1、当0x →时，若tan x x −与k

x 是同阶无穷小，则k =（）A. 1. B. 2.C. 3. D.

4.

【答案】 C.

【解析】当0x →时，31

tan 3

x x

x −−，则=3k .2．已知方程550x x k −+=有3个不同的实根，则k 的取值范围为（）A 、 (,4)−∞− B 、(4,)

+∞C 、{}

4,4−D 、(4,4)

−【答案】 D.

【解析】令5

()5f x x x k =−+，由()0f x '=得1x =±，当1x <−时，()0f x '>，当

11x −<<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，又由于lim ()x f x →−∞

=−∞，lim ()x f x →+∞

=+∞，

方程要有三个不等实根，只需要(1)=40f k −+>，(1)4<0f k =−+，因此k 的取值范围为

44k −<<.

3．已知微分方程e x y ay by c '''++=的通解为12()e e x

x y C C −=++，则,,a b c 依次为（ ）

A 、1,0,1

B 、 1,0,2

C 、2,1,3

D 、2,1,4

【答案】 D.

【解析】由通解形式知，121λλ==−，故特征方程为

22

1=21=0λλλ+++（），所以2,1a b ==，又由于e x y =是+2x y y y ce '''+=的特解，代入得4c =.

4、若

1

n n nu ∞

=∑绝对收敛，1

n

n v n ∞

=∑

条件收敛，则（ ） A 、

1n n

n u v

∞

=∑条件收敛

B 、

1

n n

n u v

∞

=∑绝对收敛

C 、

1

()n

n n u

v ∞

=+∑收敛

D 、

1

()n

n n u

v ∞

=+∑发散

【答案】 B. 【解析】由

1n n v n

∞

=∑条件收敛知，lim 0n

n v n →∞=，故当n 充分大时，1n v n . 所以，

n

n n n n v

u v nu nu n

=⋅，由于1

n n nu ∞

=∑绝对收敛，所以1

n n n u v ∞

=∑绝对收敛.

5、设A 是四阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若线性方程组=Ax 0的基础解系中只有2个向量，则*A 的秩是（ ） A.0 B.1 C.2

D.3

【答案】 A.

【解析】由于方程组基础解系中只有2个向量，则()2r A =，()3r A <，()0r A *

=. 6、设A 是3阶实对称，E 是3阶单位矩阵，若2=2A +A E 且4=A ，则二次型T x Ax 的规范形为（ ）

A. 222

123

y y y ++ B.222

123

y y y +− C.222

123

y y y −− D.222

123

y y y −−−【答案】 C.

【解析】2

2λλ+=，则λ只能为2−或1，又由于4=A ，则特征值分别为-2,-2,1，则

二次型的规范形为222

123

y y y −−. 7、设,A B 为随机事件，则()()P A P B =充分必要条件是

A.()()().P A B P A P B =+U

B.()()().P AB P A P B =

C.()().P AB P BA =

D.()().

P AB P AB =【答案】C

【解析】()()()()()()()()P AB P BA P A P AB P B P AB P A P B =⇔−=−⇔=；选C.

8、设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2

(,)N μσ，则{1}

P X Y −

σ有关. B.与μ有关，而与2

σ无关. C.与μ，2

σ都有关. D.与μ，2

σ都无关.

【答案】A

【解析】2

~(0,2X Y N −

σ，

所以{1}21P X Y −<=Φ=Φ=Φ−；

选A

二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．

9、111lim 1223(1)n

n n n →∞⎡⎤

+++=⎢⎥⋅⋅+⎣

⎦

____________ 【答案】1

e .

−【解析】111+++1223

(1)1n

n n n n n ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⨯⨯⨯++⎝⎭⎣⎦L ，则1lim e .1n

n n n −→∞⎛⎫

= ⎪+⎝⎭10、曲线π3π

sin 2cos ()22

y x x x x =+−<<的拐点坐标为____________ 【答案】 π2−（，）

. 【解析】令sin

0y x x ''=−=，可得πx =，因此拐点坐标为π2−（，）. 11、已知1

()

f x t =⎰

，则1

20

()d x

f x x =⎰____________

【答案】

1

(118

−.

【解析】依题意，()

f x '=(1)0f =.因此，

1

11233100

00111()d ()d ()(13318x f x x f x x x f x x x ⎡⎤=

=−=−⎢

⎥⎣⎦⎰

⎰⎰. 12、A 、B 两商品的价格分别为、，需求函数,

, ,求A 商品对自身价格的需求弹性____________ .

【答案】0.4. 【解析】因为d (2)d A A A AA A B A A A

P Q P

P P Q P Q η=−⋅=−⋅−−，将，，1000A Q =代入，可得10

4000.41000

AA η=

⋅=. 13、210111

1011a −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪

−⎝⎭

A ，01a ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭b ，=Ax b 有无穷多解，求____________ 【答案】1.

【解析】因为=Ax b 由无穷多解，故()()3r r =

P A P B Q A =500-P A 2-P A P B +2P B 2P A =10P B =20h AA =h >0()P A =10P B =20a =