2018山东泰安中考数学总复习专题三：几何变换压轴题
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2．( 2017·赤峰 ) △OPA和△ OQB分别是以 OP，OQ为直角边的等腰直角三角形， 点 C，D，E 分别是 OA，OB，AB的中点． (1) 当∠ AOB＝90°时，如图 1，连接 PE，QE，直接写出 EP与 EQ的大小关系； (2) 将△ OQB绕点 O逆时针方向旋转，如图 2，当∠ AOB是锐角时 (1) 中的结论是 否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明． (3) 仍将△ OQB绕点 O旋转，如图 3，当∠ AOB为钝角时，延长 PC，QD交于点 G， 使△ ABG为等边三角形，求∠ AOB的度数．
并指明旋转方向．
【分析】 (1) 连接 BD，由∠ BAD＝60°，得到△ ABD 为等边三角形，进而证明 点 E是 AB的中点，再根据相似三角形的性质解答； (2) 分∠ EDF顺时针旋转和逆 时针旋转两种情况，然后根据旋转的性质解题．
1．( 2017·张家界 ) 如图，在正方形 ABCD中， AD＝2 3，把边 BC绕点 B 逆时针 旋转 30°得到线段 BP，连接 AP并延长交 CD于点 E，连接 PC，则△ PCE的面积 为 _____________.
查三角形相似的性质及判定，难度较大，是中考中常考的几何压轴
题．与动点
相关的相似三角形，要根据动点的运动情况讨论相似三角形的对应边、对应
角，进而判定相似三角形，再利用相似三角形的性质解题．
( 2016· 青岛 ) 如图，在矩形 ABCD中， AB＝6 cm，BC＝8 cm，对角线 AC，
BD交于点 O.点 P 从点 A 出发，沿 AD方向匀速运动，速度为 1 cm/ s；同时，点
【聚焦泰安】
参考答案
【例 1】 (1) 如图，连接 BD，设 BD交 AC于点 O，
∵在菱形 ABCD中，∠ DAB＝60°， AD＝AB，
∴△ ABD为等边三角形．
∵DE⊥AB，∴点 E为 AB的中点．
AM AE 1
CN 1
∵AE∥CD，∴
CM＝
CD＝ 2.
同理
AN＝
. 2
1 ∴M，N 是线段 AC的三等分点，∴ MN＝ 3AC.
DE⊥AB于点 E，DF⊥BC于点 F.
(1) 如图 1，连接 AC分别交 DE，DF于点 M，N，
1 求证： MN＝3AC；
(2) 如图 2，将∠ EDF 以点 D 为旋转中心旋转，其两边 DE′， DF′分别与直线
AB，BC相交于点 G，P. 连接 GP，当△ DGP的面积等于 3 3时，求旋转角的大小
【分析】 (1) 根据勾股定理求出 AC的值，然后分类讨论：当 AP＝PO时，求出 t 的值；当 AP＝AO时，求出 t 的值； (2) 过点 E作 EH⊥AC于点 H，过点 Q作 QM⊥AC 于点 M，过点 D作 DN⊥AC于点 N，交 QF于点 G，分别用 t 表示出 EH，DN，DG，
再利用面积的和差计算即可．
6．( 2016·眉山 ) 如图，△ ABC和△ BEC均为等腰直角三角形，且∠ ACB＝∠ BEC ＝90°， AC＝4 2，点 P为线段 BE延长线上一点，连接 CP，以 CP为直角边向下 作等腰直角△ CPD，线段 BE与 CD相交于点 F. [来源:学&科&网Z&X&X&K]
PC CE (1) 求证： CD＝ CB； (2) 连接 BD，请你判断 AC与 BD有什么位置关系？并说明理由； (3) 设 PE＝x，△ PBD的面积为 S，求 S与 x 之间的函数关系式．
类型二 图形的翻折变换 几何图形的翻折变换也是近年来中考中的常考点，多与三角形、四边形相
结合．翻折变换的实质是对称，翻折部分的两图形全等，找出对应边、对应 角，再结合勾股定理、相似的性质与判定解题．
( 2017· 南宁 ) 如图，菱形 ABCD的对角线相交于点 O，AC＝2，BD＝2 3， 将菱形按如图方式折叠，使点 B 与点 O重合，折痕为 EF，则五边形 AEFCD的周 长为 ．
[ 来源: 学* 科* 网Z*X*X*K]
5．( 2017·十堰 ) 如图，正方形 ABCD中， BE＝EF＝ FC，CG＝2GD，BG 分别交
4
BM 3
AE， AF于 M，N. 下列结论：① AF⊥BG；② BN＝ 3NF；③ MG＝ 8；④Ｓ四边形 ＝ CGNF
1 2 S 四边形 . ANGD 其中正确的结论的序号是 ________．
(2) ∵AB∥CD，∠ BAD＝60°，∴∠Ａ DC＝120°． ∵∠ ADE＝∠ CDF＝30°，∴∠ EDF＝60°． 当∠ EDF顺时针旋转时，由旋转的性质知， ∠EDG＝∠ FDP，∠ GDP＝∠ EDF＝60°．
【分析】 根据菱形的性质和折叠的性质推出△ BEF 是等边三角形，得到∠ BEF ＝60°，得到△ AEO 是等边三角形，推出 EF 是△ ABC 的中位线，从而得到结 论．
3．( 2016·张家界 ) 如图，将矩形 ABCD沿 GH对折，点 C落在点 Q处，点 D落在 点 E 处， EQ与 BC交于点 F. 若 AD＝8 cm，AB＝6 cm，AE＝4 cm，则△ EBF的周 长是 ________cm.
Q从点 D出发，沿 DC方向匀速运动，速度为 1 cm/ s；当一个点停止运动时，另
一个点也停止运动．连接 PO并延长，交 BC于点 E，过点 Q作 QF∥AC，交 BD于
点 F. 设运动时间为 t( s)(0 ＜t ＜6) ，解答下列问题：
(1) 当 t 为何值时，△ AOP是等腰三角形； (2) 设五边形 OECQF的面积为 S(cm2) ，试确定 S 与 t 的函数关系式．
类型一 图形的旋转变换
聚焦泰安
几何图形的旋转变换是近年来中考中的常考点，多与三角形、四边形相结
Байду номын сангаас
合．解决旋转变换问题，首先 要明确旋转中心、旋转方向和旋转角，关键是找
出旋转前后的对应点，利用旋转前后两图形全等等性质解题．
( 2016· 潍坊 ) 如图，在菱形 ABCD中， AB＝ 2，∠ BAD＝60°，过点 D 作
4．( 2017·锦州 ) 如图，正方形 ABCD中， AB＝2，E 是 CD中点，将正方形 ABCD
沿 AM折叠，使点 B 的对应点 F 落在 AE上，延长 MF交 CD于点 N，则 DN的长为 __________．
类型三 图形的相似
图形的相似常以三角形、四边形为背景，与旋转、翻折、动点相结合，考
并指明旋转方向．
【分析】 (1) 连接 BD，由∠ BAD＝60°，得到△ ABD 为等边三角形，进而证明 点 E是 AB的中点，再根据相似三角形的性质解答； (2) 分∠ EDF顺时针旋转和逆 时针旋转两种情况，然后根据旋转的性质解题．
1．( 2017·张家界 ) 如图，在正方形 ABCD中， AD＝2 3，把边 BC绕点 B 逆时针 旋转 30°得到线段 BP，连接 AP并延长交 CD于点 E，连接 PC，则△ PCE的面积 为 _____________.
查三角形相似的性质及判定，难度较大，是中考中常考的几何压轴
题．与动点
相关的相似三角形，要根据动点的运动情况讨论相似三角形的对应边、对应
角，进而判定相似三角形，再利用相似三角形的性质解题．
( 2016· 青岛 ) 如图，在矩形 ABCD中， AB＝6 cm，BC＝8 cm，对角线 AC，
BD交于点 O.点 P 从点 A 出发，沿 AD方向匀速运动，速度为 1 cm/ s；同时，点
【聚焦泰安】
参考答案
【例 1】 (1) 如图，连接 BD，设 BD交 AC于点 O，
∵在菱形 ABCD中，∠ DAB＝60°， AD＝AB，
∴△ ABD为等边三角形．
∵DE⊥AB，∴点 E为 AB的中点．
AM AE 1
CN 1
∵AE∥CD，∴
CM＝
CD＝ 2.
同理
AN＝
. 2
1 ∴M，N 是线段 AC的三等分点，∴ MN＝ 3AC.
DE⊥AB于点 E，DF⊥BC于点 F.
(1) 如图 1，连接 AC分别交 DE，DF于点 M，N，
1 求证： MN＝3AC；
(2) 如图 2，将∠ EDF 以点 D 为旋转中心旋转，其两边 DE′， DF′分别与直线
AB，BC相交于点 G，P. 连接 GP，当△ DGP的面积等于 3 3时，求旋转角的大小
【分析】 (1) 根据勾股定理求出 AC的值，然后分类讨论：当 AP＝PO时，求出 t 的值；当 AP＝AO时，求出 t 的值； (2) 过点 E作 EH⊥AC于点 H，过点 Q作 QM⊥AC 于点 M，过点 D作 DN⊥AC于点 N，交 QF于点 G，分别用 t 表示出 EH，DN，DG，
再利用面积的和差计算即可．
6．( 2016·眉山 ) 如图，△ ABC和△ BEC均为等腰直角三角形，且∠ ACB＝∠ BEC ＝90°， AC＝4 2，点 P为线段 BE延长线上一点，连接 CP，以 CP为直角边向下 作等腰直角△ CPD，线段 BE与 CD相交于点 F. [来源:学&科&网Z&X&X&K]
PC CE (1) 求证： CD＝ CB； (2) 连接 BD，请你判断 AC与 BD有什么位置关系？并说明理由； (3) 设 PE＝x，△ PBD的面积为 S，求 S与 x 之间的函数关系式．
类型二 图形的翻折变换 几何图形的翻折变换也是近年来中考中的常考点，多与三角形、四边形相
结合．翻折变换的实质是对称，翻折部分的两图形全等，找出对应边、对应 角，再结合勾股定理、相似的性质与判定解题．
( 2017· 南宁 ) 如图，菱形 ABCD的对角线相交于点 O，AC＝2，BD＝2 3， 将菱形按如图方式折叠，使点 B 与点 O重合，折痕为 EF，则五边形 AEFCD的周 长为 ．
[ 来源: 学* 科* 网Z*X*X*K]
5．( 2017·十堰 ) 如图，正方形 ABCD中， BE＝EF＝ FC，CG＝2GD，BG 分别交
4
BM 3
AE， AF于 M，N. 下列结论：① AF⊥BG；② BN＝ 3NF；③ MG＝ 8；④Ｓ四边形 ＝ CGNF
1 2 S 四边形 . ANGD 其中正确的结论的序号是 ________．
(2) ∵AB∥CD，∠ BAD＝60°，∴∠Ａ DC＝120°． ∵∠ ADE＝∠ CDF＝30°，∴∠ EDF＝60°． 当∠ EDF顺时针旋转时，由旋转的性质知， ∠EDG＝∠ FDP，∠ GDP＝∠ EDF＝60°．
【分析】 根据菱形的性质和折叠的性质推出△ BEF 是等边三角形，得到∠ BEF ＝60°，得到△ AEO 是等边三角形，推出 EF 是△ ABC 的中位线，从而得到结 论．
3．( 2016·张家界 ) 如图，将矩形 ABCD沿 GH对折，点 C落在点 Q处，点 D落在 点 E 处， EQ与 BC交于点 F. 若 AD＝8 cm，AB＝6 cm，AE＝4 cm，则△ EBF的周 长是 ________cm.
Q从点 D出发，沿 DC方向匀速运动，速度为 1 cm/ s；当一个点停止运动时，另
一个点也停止运动．连接 PO并延长，交 BC于点 E，过点 Q作 QF∥AC，交 BD于
点 F. 设运动时间为 t( s)(0 ＜t ＜6) ，解答下列问题：
(1) 当 t 为何值时，△ AOP是等腰三角形； (2) 设五边形 OECQF的面积为 S(cm2) ，试确定 S 与 t 的函数关系式．
类型一 图形的旋转变换
聚焦泰安
几何图形的旋转变换是近年来中考中的常考点，多与三角形、四边形相结
Байду номын сангаас
合．解决旋转变换问题，首先 要明确旋转中心、旋转方向和旋转角，关键是找
出旋转前后的对应点，利用旋转前后两图形全等等性质解题．
( 2016· 潍坊 ) 如图，在菱形 ABCD中， AB＝ 2，∠ BAD＝60°，过点 D 作
4．( 2017·锦州 ) 如图，正方形 ABCD中， AB＝2，E 是 CD中点，将正方形 ABCD
沿 AM折叠，使点 B 的对应点 F 落在 AE上，延长 MF交 CD于点 N，则 DN的长为 __________．
类型三 图形的相似
图形的相似常以三角形、四边形为背景，与旋转、翻折、动点相结合，考