北师大版初中数学九年级上册第三章知识点
北师版九上数学第三章章归纳总结
北师大版 九年级上册
复习旧知
知识结构
求概率
列树
概
表状
率
法图
法
用频率估计概率
核心考点训练
• 考点一 用列表格或画树状图求概率 • 考点二 用频率估计概率
• 1.用树状图或表格求概率. • 回顾：用树状图或表格求概率时应注
意什么情况？ • 2.用频率估计概率. • 如何用频率估计概率？
课堂演练
• 1.十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30
秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒．当你抬头
看信号灯时，是黄灯的概率是（C）
1 • A. 3
5
B. 12
1
C. 12
1
D. 2
• 2.小明每天骑自行车上学都要经过三个安 装有红灯和绿灯的路口，假如每个路口红 灯和绿灯亮的时间相等，那么，小明从家 随时出发去学校，他至少遇到一次红灯的 概率是多少？不遇红灯的概率是多少？
是公平的.
课堂小结
通过这节课的学习活动， 你有什么收获？
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
•解：该方案对双方是公平的．
• 利用列表法得出所有可能的结果如下表：
4
5
6
7
1
5
6
7
8
2
6
8
9
3
7
8
9
10
• 由上表可知，该游戏所有可能的结果
共有12种，其中两数字之和为偶数的有6
种，和为奇数的也有6种．所以1班代表获
胜的概率为P1=
6 12
，2班代表获胜的概率为
P2=
6 12
，即P1=P2，所以该游戏方案对双方
北师大版九年级上册数学 第三章 小结与复习 教学课件
例2 小明和小亮做扑克游戏，桌面上放有两堆牌,分别是红 桃和黑桃的1,2,3,4,5,6,小明建议:我从红桃中抽取一张牌,你从 黑桃中取一张,当两张牌数字之积为奇数时，你得1分，为偶 数我得1分,先得到10分的获胜”.如果你是小亮,你愿意接受这 个游戏的规则吗? 为什么？
这个游戏对小亮和小明公平吗？
方法总结
频率是在相同条件下进行重复试验时事件发生的次数与试 验总次数的比值，其本身是随机的，在试验前不能够确定，且 随着试验的不同而发生改变. 而一个随机事件发生的概率是确 定的常数，是客观存在的，与试验次数无关.在大量的重复试验 中，随机事件发生的频率会呈现出明显的规律性：试验频率稳 定于其理论概率.
针对训练
1. 一个袋中装有2个黑球3个白球，这些球除颜色外，大小、形状、
质地完全相同，在看不到球的情况下，随机的从这个袋子中摸出
一个球不放回，再随机的从这个袋子中摸出一个球，两次摸到的
球颜色相同的概率是( A )
A. 2
B. 3
5
5
8
C. 2 5
13
D. 2 5
2.如图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ落 到红色部分的概率.
120° 红2 蓝
红1
配成紫色的情况有：（红1,蓝），（红2,蓝），（蓝,红）3种. 所以配成紫色的概率P = 1 .
2
二、用频率估计概率
我们知道,任意抛一枚均匀的硬币,“正面朝上”的概率是0.5, 许多科学家曾做过成千上万次的实验,其中部分结果如下表：
抛掷次数（n）
2048
4040
12000
24000
例1 在中央电视台《星光大道》2015年度冠军总决赛中，甲、乙、 丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“待定”或“通过”的结 论. （1）写出三位评委给出A选手的所有可能的结果； （2）对于选手A,只有甲、乙两位评委给出相同结果的概率是多少？
北师大初中九年级数学上册 第三章证明(三)复习课件ppt(优秀课件)
提示:作辅助线,连接BD,取BD的 中点Q,连接MQ,NQ.
P G A 1N D
则有QM∥DC,QN∥AB.
QM 1 DC,QN 1 AB.
2
2
Q.
B
M
C
由∠QNM=∠1,∠QMN=∠P,可得证.
课件在线
12
6.如图所示，在平行四边形ABCD中.点E、F在对角线AC上， 且AE＝CF.请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某 一点连成一条新线段，猜想并说明它和图中已有的某一 条线段相等（只须说明一组线段相等即可）. （1）连结____________； （2）猜想:____________＝______________； （3）说明所猜想的结论的正确性.
互相平分 既轴对称 且相等 又中心对称
菱形
对边平行、 对角相等、 互相垂直平分 四边相等 邻角互补 且平分对角
同上
正方形 同上
等腰 梯形
两底平行 不相等， 两腰相等 不平行。
四个角 是直角
互相垂直平分且 相等；平分对角
同一底上 的两个角 相等
对角线 相等
课件在线
同上
轴对称
4
几种特殊四边形的常用判定方法
（C ）
6.矩形具有平行四边形不一定具有的性质是 ( D ) A.对角相等 B.对角线互相平分 C.对边平行且相等 D.对角线相等
课件在线
17
7.下列命题:
(1)顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形；
(2)顺次连结四边形四边中点所得的四边形是平行四边形.
(3)顺次连结平行四边形四边中点所得的四边形是平行四边形.
( D)
4.下列说法正确的是
( D)
A.有一个角是直角的四边形是矩形
北师版初三数学上册第三章概率知识点讲解附作业
北师版初三数学上册第三章概率知识点讲解附作业九年级（上册）第三章概率的进一步认识一．频数与频率频数：在数据统计中，每个对象出现的次数叫做频数，频率：每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。
即 频数频率总次数概率的意义和大小：概率就是表示每件事情发生的可能性大小，即一个时间发生的可能性大小的数值。
必然事件发生的概率为1；不可能事件发生的概率为0；不确定事件发生的概率在0与1之间。
频率与概率的区别：随着实验次数的增加，实验结果出现的频率逐渐趋于一个常数，则把这个常数看做实验结果的概率。
注意：①频率就是频率，频率不是概念②频率是通过实验得到的，概率就通过计算得到的③通过频率估计概率时，只看最多实验次数一项的频率，此项的频率即等于概率，而不是求所有频率的平均值二．通过实验运用稳定的频率来估计某一时间的概率在进行试验的时候，当试验的次数很大时，某个事件发生的频率稳定在相应的概率附近。
我们可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的频率。
三．利用画树状图或列表法求概率（重难点）①树状图的画法有两钟，可以横画也可以竖着画，其中树状图在画法上要写“开始”然后是“第一次”“第二次”“结果”②列表法的使用必须保证是两个元素的才方便使用，因为表格最方便的是使用两个轴向。
其中表格的类型有三种，一种是标准型，第二种是中间有一条斜线型，第三种是中间加数据型，比如和，奇数，偶数等四．概率题型①公平题②方程题③用频率估计概念④画树状图列表求概率（重点）⑤游戏设定1、在抛一枚质地均匀的硬币的实验中，如果没有硬币，则下列实验不能作为替代物的是（）A、一枚均匀的骰子，B、瓶盖，C、两张相同的卡片，D、两张扑克牌2、密码锁的密码是一个四位数字的号码,每位上的数字都可以是0到9中的任一个,某人忘了密码的最后一位号码, 此人开锁时,随意拔动最后一位号码正好能把锁打开的概率是______．若此人忘了中间两位号码,随意拔动中间两位号码正好能把锁打开的概率是______．3、某商场在“五一”期间推出购物摸奖活动，摸奖箱内有除颜色以外完全相同的红色、白色乒乓球各两个．顾客摸奖时，一次摸出两个球，如果两个球的颜色相同就得奖，颜色不同则不得奖．那么顾客摸奖一次，得奖的概率是．4、从一个装有2黄2黑的袋子里有放回地两次摸到的都是黑球的概率是 .5、如图所示的两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么两个指针同时落在偶数上的概率是……( )A．1925； B．1025； C．625；D．5 256、为了估计湖里有多少条鱼，我们从湖里捕上100条做上标记，然后放回湖里，经过一段时间待带标记的鱼完全混合于鱼群中后，第二次捕得200条，发现其中带标记的鱼25条，通过这种调查方式，我们可以估计出这个湖里有______条鱼.7、在一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为了估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中88次摸到黑球，估计盒中大约有白球（）A、28个B、30个C、36个D、42个8、有一个抛两枚硬币的游戏，规则是：若出现两个正面，则甲赢；若出现一正一反，则乙赢；若出现两个反面，则甲、乙都不赢。
北师大版九年级数学上册第三章概率的进一步认识PPT课件
（2）共有12种机会均等的结果， 其中两人均抽到负数的有2种；
∴P(两人均抽到负数）
课堂小结
在借助于树状图或表格事件求发生的概率时，应 注意到各种情况出现的等可能性，以免学生忽略这 个条件而错误使用树状图或表格求事件发生的概率.
布置作业
完成《课堂1+1》p30“课后练案”
老师提示: 利用树状图或表格可以较方便地
求出某些事件发生的概率.
知识点一
1.（天津中考）一个口袋中有四个完全相同的小球，把它 们分别标号为1、2、3、4，随机地摸出一个小球，然后 放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球标号的 和等于4的概率是 .
2.某校安排三辆车，组织九年级学生团员去敬老院参加学 雷锋活动，其中小王与小菲都可以从这三辆车中任选一辆 搭乘，则小王与小菲同车的概率为（ A ）
点点对接
解：（1）黄球1个；
（2）方法一： 列表如下：
(红1， 红1)
(红2， 红2)
(黄， 黄)
(蓝， 蓝)
所以两次摸到不同颜色球的概率为 P（不同颜色球） 10 5
12 6
点点对接
解： 方法二：画树形图如图所示：
所以两次摸到不同颜色球的概率为: P（不同颜色球） 10 5
12 6
列出所有可能的结果，从而比较方便地求出某些事件 发生的概率.
新识探究
游戏规则:
准备两组相同的牌,每组两张,两张牌面的数字分别是1 和2.从两组牌中各摸出一张为一次试验.
(1)一次试验中两张牌的牌面的数字和可能有哪些值?
会出现三种可能:牌面数字和为2,牌面数字和为3,牌 面数字和为4;每种结果出现的可能性相同.
知识点二
九年级数学上册第三章知识点总结(北师大版)
九年级数学上册第三章知识点总结（北师大版）一、有理数的概念与性质1. 有理数的定义有理数是整数和分数的统称，包括正整数、负整数、零和所有的正负分数。
2. 有理数的比较有理数的比较可以利用数轴进行，较大的数在数轴上对应的点靠右，较小的数在数轴上对应的点靠左。
3. 有理数的运算性质有理数的加法、减法、乘法、除法满足封闭性、结合律、交换律、分配律。
4. 有理数的约分与化简将有理数的分子和分母同时除以它们的最大公约数，可以得到最简形式的有理数。
二、实数的表示1. 实数的性质实数包括有理数和无理数，实数的运算满足封闭性、传递性、对称性等性质。
2. 实数的表示方法实数可以用有理数表示，也可以用无理数表示。
（1）有理数的表示有理数可以用分数的形式表示，也可以用小数表示。
（2）无理数的表示无理数无法用两个整数的比值表示，可以用无限不循环小数或根式表示。
3. 无理数的性质无理数包括无限不循环小数和无限循环小数两种。
4. 实数的区间表示法实数可以用区间表示法表示在数轴上的连续的一段。
三、实数的运算1. 实数的加法与减法实数的加法满足交换律、结合律、存在单位元、存在逆元等性质。
实数的减法即加法的逆运算。
2. 实数的乘法与除法实数的乘法满足交换律、结合律、存在单位元、存在逆元等性质。
实数的除法即乘法的逆运算。
3. 乘方运算实数的乘方运算即将一个实数连乘若干次。
4. 实数的分配律实数的乘法对于加法满足分配律。
四、实数的应用实数广泛应用于各个领域，包括自然科学、社会科学和工程技术等。
1. 数学建模实数在数学建模中起到了重要作用，通过实数的运算可以描述和解决实际问题。
2. 统计学与概率论实数在统计学和概率论中被广泛应用，例如描述数据的均值、方差以及概率的计算等。
3. 物理学与工程学实数在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如描述物体的位置、速度、加速度等物理量。
4. 经济学与金融学实数在经济学和金融学中也有重要作用，例如描述价格、收益率、利率等。
北师大版 九年级上册 第三章《概率的进一步认识》题型归纳
《概率的进一步认识》题型归纳及中考链接一、频数与频率频数：在数据统计中，每个对象出现的次数叫做 ， 频率：每个对象出现的次数与总次数的比值为 。
概率：通过实验运用稳定的频率来估计某一时间的概率在进行试验的时候，当试验的次数很 大时，某个事件发生的频率稳定在一个数值附近，这个值叫做 。
（概率=频率） 样本容量： .三大事件：必然事件发生的概率为 ；不可能事件发生的概率为 ； 不确定事件发生的概率在 与 之间。
思考：频率和概率完全相同吗？例题：不透明的袋中有3个大小相同的球，其中2个位白色，1个位红色，每次从袋中摸出一个球，然后放回搅匀再摸，在摸球试验中，得到下表中的部分数据：（1）请将表中的数据补充完整。
（2）观察表中出现红球的频率，随着试验次数的增多，出现红球的概率 . 练习：一个布袋中有8个红球和16个白球，它们除颜色外都相同 （1）求从布袋中摸出一个球是红球的概率。
（2）现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，搅拌均匀后，要使从布袋中摸出一个球是红球的概率是85，问取走了多少个白球？（要求通过列式或方程解答）练习：三张除字母外完全相同的纸牌，字母分别是A，A，K，每次抽一张为试验一次，经过多次试验后，结果汇总表如下：（1）将上述表格补充完整；（2）观察表格，估计摸到A的概率；（3）求摸到A的概率；二、列表法与树状图法定义：当某些等可能事件混合发生时，我们需要用到两层概率运算时，我们一般采用列举法补充：列举法在求事件发生的概率中的应用主要体现在将所有可能的情况运用画树状图或列表一一列举出来（注：列表法适用于两层概率的计算，三层概率计算只能用树状图）题型一：概率的计算例题：掷一枚均匀的骰子，每次试验掷两次，求两次骰子点数和为7的概率。
练习1：箱子中装有4个只有颜色不同的球，其中2个白球，2个红球，4个人依次从箱子中任意摸出一个球，不放回，求第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的概率？例题2：图中是从一副扑克牌中取出的两组牌，分别是黑桃和方块，将它们分别重新洗牌后背面朝上，从两组排钟各摸出一张，那么摸出的两张牌的牌面数字之和等于5的概率是多少？练习1：我市初中毕业男生体育测试项目有四项，其中”立定跳远“”100米跑“”肺活量测试“为必测项目，另一项为”引体向上“和“推铅球”中选择一项测试。
新北师大版初中数学九年级上册第3章 概率的进一步认识《3.1用树状图或表格求概率》优质课件
回顾与思考
必然事件
不可能事件
不确定事件
可能性 人们通常用1(或100%)来表示必然事件发生
的可能性,用0表示不可能事件发生的可能性.
1
0
2 (50%)
1(100%)
不可能 发生
可能 发生
必然 发生
回顾与思考
概率
概率 事件发生的可能性,也称为事件发生的概率 (probability).
第二枚硬币 正
反
表
第一枚硬币
格
正
(正,正) (正,反)
反
(反,正) (反,反)
由表可知：总共有 4 种等可能结果．
小明获胜的结果有 1 种：（正，正），P(小明获胜)＝
1
;
4
小颖获胜的结果有 1 种：（反，反），P(小颖获胜)＝
1； 4
小凡获胜的结果有
2
种：（正，反）（反，正），P(小凡获胜)＝
1 2
C、1 D、1
6
4
如何画树状图或列表，需注意什么？
注意：拿第2个球时第1个球并没有放回，两次拿的球不可 能是同一个球，列表时要注意“对角线”上的表格就划去。 类似这种“不放回”求概率的尽量画树状图
数学理解
3．小明从一定高度随机掷一枚质地均匀的硬币，他已经 掷了两次硬币，结果都是“正面朝上”．那么，你认为 小明第三次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的 可能性相同吗？如果不同，哪种可能性大？说说你的理 由，并与同伴交流.
93
小明胜小颖的结果有三种：(石头，剪刀)(剪刀，)(布， 石头)，所以小明获胜的概率为 3 1
93
小颖胜小明的结果也有三种：(剪刀，石头)(布，剪
刀)(石头，布)，所以小颖获胜的概率为 3 1
九年级数学上册第三章知识点总结北师大版
九年级数学上册第三章知识点总结（北师大版）一、平行四边形、平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等。
平行四边形的对角相等（邻角互补）。
平行四边形的对角线相互平分。
二、平行四边形的判定方式：概念：两组对边别离平行的四边形是平行四边形。
判定定理：两组对边别离相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两组对角别离相等的四边形是平行四边形。
对角线相互平分的四边形是平行四边形。
二、矩形、矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角。
矩形的对角线相等。
二、矩形的判定方式：概念：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
（对角线相等且相互平分的四边形是矩形。
）三、菱形、菱形的性质定理：菱形的四条边都相等。
菱形的对角线相等，而且每条对角线平分一组对角。
二、菱形的判定方式：概念：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
判定定理：四条边都相等的四边形是菱形。
对角线相互垂直的平行四边形是菱形。
（对角线相互垂直且平分的四边形是菱形。
）四、正方形、正方形的性质定理：正方形的四个角都是直角，四条边都相等。
正方形的两条对角线相等，而且相互垂直平分，每条对角线平分一组对角。
二、正方形的判定定理：l有一个角是直角的菱形是正方形。
l有一组邻边相等的矩形是正方形。
l有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形。
l对角线相等的菱形是正方形。
l对角线相互垂直的矩形是正方形。
l对角线相等且相互垂直的平行四边形是正方形。
l对角线相等且相互垂直、平分的四边形是正方形。
五、等腰梯形、等腰梯形的性质定理：等腰梯形的两条对角线相等。
等腰梯形在同一底上的两个角相等。
二、等腰梯形的判定方式：概念：两腰相等的梯形是等腰梯形。
判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
六、三角形的中位线、概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
二、性质定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
概率的进一步认识(知识点汇总 北师9上)
第三章概率的进一步认识一、用树状图或表格求概率1.利用树状图或表格，我们可以不重复、不遗漏地列出所有可能的结果，从而比较方便地求出某些事件发生的概率．2．简单事件概率的计算方法：(1)对于一次完成的事件，直接用部分与总体的比例关系求概率；(2)对于两次完成的事件，可通过列表法或画树状图求概率；(3)对于三次或三次以上完成的事件，通过画树状图求概率．注意：用画树状图或列表的方法求概率：列表法可以不重复、不遗漏地列出所有可能性的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意题目是放回事件还是不放回事件．二、用概率判断游戏的公平性1.若某游戏不计得分情况，当双方获胜的概率相同，则游戏公平；当双方获胜的概率不相同，则游戏不公平．2．判断游戏公平的方法有：在得分相同的情况下，判断游戏公平性看双方获胜的概率是否相等．在得分不同的情况下，要用各自获胜概率与得分乘积作为判断获胜的标准．注意：公平性问题是概率在日常生活中的一个重要应用，从概率的角度讲，所谓公平就是指有关各方面获胜的概率相等，解决这类问题的关键是准确地计算概率．3.利用转盘等工具求事件的概率时，各种结果的可能性相同，只需要面积相等，如果问题中各部分的面积不相等，需要利用相关的几何知识转换成等面积．注意：利用表格或画树状图的方法求具有两步试验的事件的概率，常与有理数的运算、函数、平面几何、数据的收集与整理等知识相结合，注意转化思想的运用．三、用频率估计概率1．当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率．2．利用频率估计概率的数学依据是大数定律：当试验次数很大时，试验的频率渐趋稳定于其概率附近．注意：1．频率与概率的联系与区别：联系：概率是由一系列频率值估计得到的．区别：频率是波动不确定的，概率是稳定确定的．2．随机事件的概率是一个固定值，而事件发生的频率是随着试验的次数变化而波动，只有当大量重复试验时，事件的频率才逐步稳定在事件发生的概率附近．相关知识点链接：频数与频率频数：在数据统计中，每个对象出现的次数叫做频数，频率：每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。
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九年级第三章
概率的进一步认识
一、用树状图或表格求概率
知识点1：用列表法求概率
1.列表法：用表格的形式反映事件发生的各种结果出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能出现的次数和方式，并求出概率。
2.适当条件：当一次试验涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果的数目较多时为了不重不漏地列出所有可能的结果，常采用列表法
3.具体步骤：
（1）列表；
（2）计数；确定所有等可能的结果数n和符合要求的结果数m
m
（3）求值利用概率公式P（A）=
n
知识点2：用画树状图法求概率
1.画树状图法：用树状图的形式反映事件发生的各种结果出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能出现的次数和方式，并求出概率。
2.适当条件：当一次试验涉及两个或者更多因素时，为了不重不漏地列出可能的结果，通常采用画树状图法。
知识点3：游戏的公平性
1.游戏是否公平，即判断双方的概率是否相等
2.把不公平的游戏变公平的方法
改变游戏规则，使双方获胜的概率相等
若游戏中涉及得分情况，先计算出概率后，再根据游戏规则，改变游戏得分，使双方平均每次游戏所得分数相等。
二、用频率估计概率
1.一般地，大量重复试验中，如果事件A 发生频率
n m 稳定于某个常数p ，那么事件A 发生的概率为p 2.P(A)=n
m （当试验的结果有无限多个，或者可能出现的结果发生的可能性不相同时，我们一般通过频率来估计概率）。