浅谈实变函数论中关于集合论的教学

lim
n→+∞
An
=
n
=1
An
。
+∞
{ } 而 An 可以看作是 n =1
An
+∞ 的“下确界”，也就是包含在
n=1
每个集合的最大集合。 这个结论是集合测度论的重要基础之一。 二、集合基数 在对集合性质的研究过程中，我们必须回答其中最为根
本的问题：集合元素的个数。从有限集元素的个数到无限集 的基数的比较，使学生对数的认识既是一个颠覆又是一个飞 跃。在关于无限集基数的讨论中，会发现存在着与其基数相 等的真子集。这种情况在有限集的情形下绝不可能发生，而 这正是有限集与无限集最本质的区别。自然数集与偶数集、 奇数集的基数相同，那么意味着在偶数集中加入无限多个奇 数后并没有改变集合中元素的个数。这对学生的理解来说是 一种冲击，同时也意味着将有限数的加法推广到无穷大的加 法中，完全可能出现两个相同的无穷大相加得到的仍是同一 个无穷大。另外还有一个典型的例子：任何一个半圆周上的 点与其直径上的点个数一样。而几何知识告诉我们：两点距 离直线段最短。上例中半圆周的长度显然大于直径。那么综 上两个结果，我们可以得到一个结论：曲线的长度与其上点 的个数没有必然的关系。这与我们的直觉相悖。我们的直观 感知会告诉我们：曲线的点越多，长度越长，反之亦然。
例 4： 孤立点集的勒贝格测度为零。 由这个结论可知，自然数集、整数集合、有理数点集这 些经典的可数集的测度为零，那么利用勒贝格测度的可加性 可得，无理数集的测度跟整个实数集的测度相同。 例 5： Cantor 三分集的勒贝格测度为零。 Cantor 三分集是一个完备集（无孤立点的闭集），是一 个不可数集。通过其经典构造，我们可以证明这是一个不可 数集，但是其测度仍然为零。 例 6： 区间 [a，b] 的勒贝格测度为 b-a。 区间 [a，b] 是一个不可数集，其勒贝格测度与区间的长 度相同。 由以上两个例题，我们会发现集合的基数与集合的长度
例
2：
+∞ n=1
a
+
1 n
,
b
−
1 n
= ( a, 百度文库 )
，
+∞
n=1
a
−
1 n
,
b
+
1 n
= [ a, b]
。
单调递增的闭区间列的并集变成了一个开区间，而单调
递减的开区间列的交集变成了一个开区间。类似于数列的上、
下极限，集合论中引入了集合列的上、下极限，进一步定义
了集合列的极限，并且得到了与单调有界数列有极限类似的
学习集合的表示中，我们会发现这并不是一个基本而简单的
问题。通过集合可以刻画函数的有界性、极限的存在性、连
续性。
例 1： f（[a，b]） [m，M]， 这 个 表 示 函 数 f 在 闭 区
间 [a，b] 上有界。又如｛fn｝是集合 E 上的函数列，则集合
++∞∞ ++∞∞
+∞ +∞
{ } { }} } { } ( ) xx::lliimm
专业领航 ZhuanYeLingHang
教师·TEACHER
2019 年 7 月 Jul.2019
浅谈实变函数论中关于集合论的教学
黄 穗
（重庆师范大学数学科学学院，重庆 401331）
摘 要：集合论作为现代数学的基石，在几乎所有数学领域都有其身影。实变函数论在本科数学专业中对集合 论的研究最为详细，尤其是对集合基数的讨论是其他专业课程没有涉及的。正是在此问题中，我们看到了集合 最本质但是又与我们直觉最相悖的性质结果，从而凸显出数学学科的抽象性与逻辑性。 关键词：实变函数；集合；基数 中图分类号：G642.3；O174 文献标识码：A 收稿日期：2019-04-02 文章编号：1674-120X（2019）20-0107-02
nn→→∞∞
f=fn=n
00==
εε>>00NN==11nn==NN xx:: lnfif→nmn∞<<f=εnε
刻0=画了 E 中x使: f得n <
ε >0 N =1 n=N
lεim
n→∞
fn
x
=0的
点集。
在实变函数中，将集合的运算从有限个集合推广到无限 个集合、任意个集合，其结果发生了质的改变。
虽 然 Cantor 在 研 究 过 程 中 取 得 了 众 多 成 果， 但 是 在 1900 年左右，由数理逻辑学家罗素提出了著名的“理发师 悖论”：如果在一个村子里，我们规定理发师只能给不会理 发的人理发，那么请问谁来给理发师理发？我们来分析这个 问题。如果把所有的人分为两类：会理发的人即理发师、不 会理发的人。按照问题的题设，理发师显然不能给理发师理 发，剩下的不会理发的人也不能给理发师理发。如果用集合 的语言，我们将此问题刻画为：
结果：单调集合列有极限。
例
3
：
{ } 如 果
An
+∞ 是 一 列 单 调 递 增 的 集 合 列， 则
n=1
{ } A +∞
+∞
lim
n→+∞
An = An
n=1
。而
n =1
An
可以看作是
n
+∞ 的“上确界”，也
n=1
就是包含每个集合 An 的最小集合。
+∞
{ } 如果
An
+∞ n=1
是一列单调递增的集合列，则
作者简介：黄 穗（1976—），女，四川成都人，重庆师范大学教师，博士研究生，研究方向：泛函分析。 107
专业领航
2019 年 7 月
是两个不同的问题，其间没有必然的联系。 三、集合论发展历史 关于有限集基数，其性质是显而易见的，包括其子集的
有限性。但是如何确定无限集的基数，用何种方式确定，这 是一个问题。对无限集而言，其基数都是无穷大。对无穷大 的研究讨论直到 20 世纪四五十年代都充满了争议。在微积 分建立并发展的两百多年里，涉及无穷大的运算时，数学家 们都慎之又慎。关于无限集的研究，必然无法回避一个问题： 两个无限集的基数如何比较？这实际上是一个非常复杂的问 题，与数的结构有关。Cantor 在建立朴素集合论时，就着眼 于对无穷大的研究。他证明了实数的基数严格大于有理数的 基数，这意味着实数中的无理数远远多于有理数，同样的超 越数也远远多于代数数。而在当时，人们只能写出两个代数 数和。
集合论作为现代数学的基石，已经渗透到数学的所有 领域。集合论主要研究的是集合的结构、运算及性质。从 Cantor 在 19 世纪七八十年代首先创立集合论后，经过一百 年的发展，其理论越来越完善，越来越严密。
一、集合论的表示
实变函数作为分析数学的一个分支，仍然研究的是函数
的三大分析性质，包括函数的连续性、可微性、可积性。在