圆和旋转压轴题解题技巧与近几年中考试题汇总

圆和旋转压轴题解题技巧与近几年中考试题汇

总

Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT

如何短时间突破数学压轴题

还有不到一个月的时间就要进行期中考试了，期中考试的重要性不必多说。各区期中考试的范围相信学生们都已经非常清楚。

个人觉得现在大部分学生的困难在于旋转、圆，由于时间比较紧张，给大家一些复习资料和学习方法，希望能够帮到大家。

一、旋转：

纵观几年的数学试卷，最难的几何题几乎都是旋转，在此给出旋转中最常见的几何模型和一些解题技巧。

旋转模型：

1、三垂直全等模型

三垂直全等构造方法：从等腰直角三角形的两个锐角顶点出发向过直角顶点的直线作垂线。

2、手拉手全等模型

手拉手全等基本构图：

3、等线段、共端点

(1) 中点旋转(旋转180°) (2) 等腰直角三角形(旋转90°)

(3) 等边三角形旋转(旋转60°) (4) 正方形旋转(旋转90°)

4、半角模型

半角模型所有结论：在正方形ABCD中，已知E、F分别是边BC、CD上的点，且满足∠EAF=45°，AE、AF分别与对角线BD交于点M、N.求证：

M

E D

C B A

(1) BE +DF =EF ； (2) S △ABE +S △ADF =S △AEF ； (3) AH =AB ； (4) C △ECF =2AB ； (5) BM 2+DN 2=MN 2；

(6) △DNF ∽△ANM ∽△AEF ∽△BEM ；相似比为1：2(由△AMN 与△AEF 的高之比AO ：

AH =AO ：AB =1：2而得到)； (7) S △AMN =S 四边形MNFE ；

(8) △AOM ∽△ADF ，△AON ∽△ABE ；

(9) ∠AEN 为等腰直角三角形，∠AEN =45°.(1. ∠EAF =45°；：AN =1：2) 解题技巧：

1.遇中点，旋180°，构造中心对称

例：如图，在等腰ABC △中，AB AC =，ABC α∠=，在四边形BDEC 中，DB DE =，2BDE α∠=，M 为CE 的中点，连接AM ，DM ． ⑴ 在图中画出DEM △关于点M 成中心对称的图形； ⑵ 求证：AM DM ⊥；

⑶ 当α=___________时，AM DM =．

[解析]⑴ 如图所示；

⑵ 在⑴的基础上，连接AD AF ， 由⑴中的中心对称可知，DEM FCM △≌△，

∴DE FC BD ==，DM FM =，DEM FCM ∠=∠， ∵360ABD ABC CBD BDE DEM BCE α∠=∠+∠=+︒-∠-∠-∠

360DEM BCE α=︒--∠-∠，

360360ACF ACE FCM BCE FCM α∠=︒-∠-∠=︒--∠-∠， ∴ABD ACF ∠=∠，

∴ABD ACF △≌△，∴AD AF =， ∵DM FM =，∴AM DM ⊥．

⑶ 45α=︒． 2.遇90°。旋90°，造垂直；

F

B

E'E D C B A F E D C

B

A

例：请阅读下列材料：

已知：如图1在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若45DAE ∠=︒．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系．

小明的思路是：把AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE '∆，连结E D '， 使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

⑴ 猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；

⑵ 当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变请说明你的猜想并给予证明．

[解析] ⑴ 222DE BD EC =+

证明：根据AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到ABE '∆ ∴AEC ABE '∆∆≌

∴BE EC '=，AE AE '=，C ABE '∠=∠，EAC E AB '∠=∠ 在Rt ABC ∆中 ∵AB AC = ∴45ABC ACB ∠=∠=︒ ∴90ABC ABE '∠+∠=︒ 即90E BD '∠=︒ ∴222E B BD E D ''+= 又∵45DAE ∠=︒

∴45BAD EAC ∠+∠=︒

∴45E AB BAD '∠+∠=︒ 即45E AD '∠=︒ ∴AE D AED '∆∆≌ ∴DE DE '=

∴222DE BD EC =+ ⑵ 关系式222DE BD EC =+仍然成立

证明：将ADB ∆沿直线AD 对折，得AFD ∆，连FE ∴AFD ABD ∆∆≌

∴AF AB =，FD DB =

FAD BAD ∠=∠，AFD ABD ∠=∠ 又∵AB AC =，∴AF AC =

∵45FAE FAD DAE FAD ∠=∠+∠=∠+︒ ∴FAE EAC ∠=∠ 又∵AE AE = ∴AFE ACE ∆∆≌

∴FE EC =，45AFE ACE ∠=∠=︒

∴1354590DFE AFD AFE ∠=∠-∠=︒-︒=︒ ∴在Rt DFE ∆中

222DF FE DE +=即222DE BD EC =+

3.遇60°，旋60°，造等边；

A

B

C

D

A B C

D

例：已知:在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，以AB 为边作等边三角形ABD. 探究下列问题: （1）如图1，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ；

（2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ；

（3）如图3，当∠ACB 变化,且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求 CD 的最大值

及相应的∠ACB 的度数.

图1

图2 图3

解：（1）

33；…………………………………………1’

（2）2363 ； …………………………………………2’

（3）以点D 为中心，将△DBC 逆时针旋转60°，则点B 落在点A ，点C 落在点E.联结AE,CE ，

∴CD=ED ，∠CDE=60°，AE=CB= a ， ∴△CDE 为等边三角形，

∴CE=CD. …………………………………………4’

当点E 、A 、C 不在一条直线上时，有CD=CE

4.遇等腰，旋顶角。

综上四点得出旋转的本质特征：等线段，共顶点，就可以有旋转。

图形旋转后我们需要证明旋转全等，而旋转全等中的难点在于倒角，下面给出旋转倒角模型。

二、圆

1、所给条件为特殊角或者普通角的三角函数时；

(1)特殊角问题或者锐角三角函数问题，必须有直角三角形才行，如果题目条件中给的特殊角并没有放入直角三角形中时，需要构造直角三角形。