长沙理工大学线性代数试卷1-20
线性代数试题及详细答案
线性代数试题及详细答案线性代数试题及详细答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：线性代数（试卷一）一、填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。
2. 若122211211=a a a a ，则=16030322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CAB =-1。
4. 若A 为n m ?矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是_________5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。
6. 设A 为三阶可逆阵，=-1230120011A，则=*A 7.若A 为n m ?矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）______________。
10.若()Tk 11=α与()T121-=β正交，则=k二、选择题（本题总计10分，每小题2分）1. 向量组r ααα,,,21Λ线性相关且秩为s ，则(D) Ａ．s r = Ｂ．s r ≤Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A(A)Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34 Ｄ．34-3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R <Ｃ．)()(A R B R =Ｄ．)()(A R B R ≥4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。
线性代数试题线性代数试卷及答案大全(173页大合集)
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
取 ，则有 。
八、（本题8分）证明：由
得 的特征值 ，
，
故 的最大特征值是 。
试卷2
闭卷考试时间：100分钟
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1、若n阶行列式零元素的个数超过n（n-1）个，则行列式为。
三、（本题8分）解：从第一行开始，每行乘 后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：
原式= 。
四、（本题12分）解：由 ，得： ，
可逆，故 ；
由于 ， 。
五、（本题14分）解：（1）令 ， ，
则 线性无关，故 是向量组 的一个极大无关组；
（2）由于4个3维向量 线性相关，
若 线性无关，则 可由 线性表示，与题设矛盾；
A:矩阵A必没有零行
B:矩阵A不一定是阶梯形矩阵
C:矩阵A必有零行
D:矩阵A的非零行中第一个不等于零的元素都是1
非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵(A b)的秩都等于3，A是3×4矩阵，则▁▁▁。【A】
A:方程组有无穷多解
B:无法确定方程组是否有解
C:方程组有唯一解
D:方程组无解
试卷1
4、若 阶实方阵 ， 为 阶单位矩阵，则（ ）。
（A） （B）
（C） （D）无法比较 与 的大小
5、设 ， ， ， ，其中 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）。
（A） ( B) (C) (D)
三、（10分）计算 阶行列式 ， 的主对角线上的元素都为 ，其余位置元素都为 ，且 。
四、（10分）设3阶矩阵 、 满足关系： ，且 ，求矩阵 。
B:Ax=0的基础解系中的解向量的个数不可能为n-r
长沙理工大学大一高数期末考试题(精)
一、单项选择题 (本大题有4小题, 每题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .〔A 〕(0)2f '=〔B 〕(0)1f '=〔C 〕(0)0f '=〔D 〕()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.〔A 〕()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；〔B 〕()()x x αβ与是等价无穷小； 〔C 〕()x α是比()x β高阶的无穷小；〔D 〕()x β是比()x α高阶的无穷小.3.假设()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，那么〔〕.〔A 〕函数()F x 必在0x =处取得极大值；〔B 〕函数()F x 必在0x=处取得极小值；〔C 〕函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；〔D 〕函数()F x 在0x=处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(10=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设〔A 〕22x〔B 〕222x +〔C 〕1x -〔D 〕2x +.二、填空题〔本大题有4小题，每题4分，共16分〕5. =+→xx x sin 20)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ.8.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题〔本大题有5小题，每题8分，共40分〕9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12.设函数)(x f 连续，=⎰1()()g x f xt dt，且→=0()limx f x Ax ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13.求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题〔本大题10分〕14. 上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题〔本大题10分〕15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1)求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题〔本大题有2小题，每题4分，共8分〕16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰q f x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f 〔提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(〕一、单项选择题(本大题有4小题, 每题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题〔本大题有4小题，每题4分，共16分〕5.6e . 6.cx x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题〔本大题有5小题，每题8分，共40分〕 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11.解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
完整版)线性代数试卷及答案
完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数学号：______ 姓名：______题号得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分）1.设A经过初等行变换变为B，则(B)。
(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。
A) r(A)。
r(B)；(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=，则(C)。
A) A中有一行元素全为零；(B) A中必有一行为其余行的线性组合；(C) A有两行（列）元素对应成比例；(D) A的任一行为其余行的线性组合。
3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。
(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。
(C) BA=O。
(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是（A）A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs≠O；(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s；(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。
5.设n阶矩阵(n≥3)A=，若矩阵A的秩为n-1，则a必为（）。
11；(C) -1；(D)。
(A) 1；(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于（）。
A) a1a2a3a4+b1b2b3b4；(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)；(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4；(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。
1.设A为四阶矩阵且A=b，则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O，In为n阶单位矩阵，则A=−A−3In。
(C)9.设A，B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是A与B的行列式相同。
长沙理工大学线性代数习题册答案详解
练习1.1一、1.6,8,6,8+1；2.n .二、1.()()24R A R A β==<,无穷多个解；2.()()3R A R A β==,有惟一解(5,0,3)；3.()2,()3R A R A β==,无解.三、1.21313212311342121338()312100101134113080006r r r r r r r r A β------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→→→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,()()R A R A β≠,无解；2.213132124142232423141245124507714()38213000041960000r r r r r r r r r r r r A β---↔----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪=→→→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭, ()()23R A R A β==<,有无穷多个解；3.23211331323222*********()32134075951435200000r r r r r r rr r r A β↔-↔-----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→→→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,()()24R A R A β==<,有无穷多个解.四、321221331581824()18240231431690011r r r r rr A β-↔-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()3R A R A β==，358824369x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解，有惟一交点.五、21231321241421212()417737371034571717233219200117174111316000072130000r r r r r r r r r r r r r r r A -⨯-------⎛⎫--⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪⎪-=→→→→ ⎪⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 1342343344313171719201717x x x x x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪=⎩，取34,x a x b ==，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=b x a x ba xb a x 4321172017191713173. 练习1.2一、1.≤，5，5；2.初等行变换.二、1.21313212343011*********r r r r r r r r A ++----⎛⎫⎪→→→-- ⎪ ⎪⎝⎭,()2R A =；2.34242132312343421()241()33162113430011020001000000r r r r r r r r r r r r r r r r B ⨯--⨯---------⎛⎫ ⎪--⎪→→→→ ⎪ ⎪⎝⎭,()3R B =； 3.31210101000r ar C a a -⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭,若a =0或a =1，()2R C =；若a ≠0且a ≠1，()3R C =. 三、1.23r r ↔；2.261r ⨯；3.)4(2131r r +. 四、1.()()()1+≤≤B R A R B R ；2.当)B ()A (R R ≠时，方程组无解；当n R R ==)B ()A (时，方程组有唯一解；n R R ＜)B ()A (=时，方程组有无穷多个解练习1.3一、1.无，无穷多个，唯一；2.)B ()A (R R <；3.n A R ＜)(，n A R =)(.二、1.32321221332731612122()3522401151109417200000r r r r r r r r A β-+-+--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→→→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,方程组有无穷多解；2.3242213234312343144123434322315124731270117464136001512470001r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r A ----↔--+↔----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪=→→→→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭, 方程组有惟一零解.三、2131133222222311111()11011110021r r r r r r r rA λλλλβλλλλλλλλλλλλλ--↔+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→→--- ⎪ ⎪⎪ ⎪--+--⎝⎭⎝⎭, 1.当1≠λ，且2≠λ时，()()3R A R A β==,方程组有唯一解； 2.当λ＝－2时，()2,()3R A R A β==,方程组无解； 3.当λ＝1时，()()1R A R A β==,方程组有无穷多个解. 四、13211313212(2)25112222122()254201112451(1)(10)(1)(4)0022r r r r r r r r r A λλλλβλλλλλλλλλλ↔+⨯--+-+⎛⎫ ⎪--⎛⎫ ⎪⎪=--→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---------⎝⎭ ⎪⎝⎭1.当1≠λ且10λ≠时,()()3R A R A β==,方程组有唯一解；2.当10λ=时,()2,()3R A R A β==,方程组无解；3.当1λ=时,()()1R A R A β==，方程组有无穷多个解.1221()00000000A β-⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭,123122x x x =-+,令2x a =，3x b =，得122 321⎪⎩⎪⎨⎧==++-=b x a x b a x （b a ,为任意常数） 练习1.4一、1.r=k ；2.行，列，秩；3.⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001. 二、1.12421321233134341243231455343111100310010441001121000r rr r r r r r r r r r r r r r r r r E O -++---⨯---⨯-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪→→→→= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭； 2.313144124221122342431324343453441421()2131122421112()134********11012201103100422012r r r r r c c r c c r r r r r r r r r r r r r c c r r c c r r r r r r ⨯----⨯+-+-⨯-+---+↔+---⎛⎫⎪⎪→→→→→→ ⎪⎪--⎝⎭10000010000010000010⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭()445E O ⨯；三、213123211202(1)2(1)4(1)03(1)3(1)6(1)r r r kr k A k k k k k k +---⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪---⎝⎭，1.当1k =时，A →431000⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛E ；2.当k ≠1时，1121120112011201(1)20020k k A k k ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭, (ⅰ)2k =-，A →432000⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛E ；(ⅱ)2k ≠-，A →()4330⨯E .练习2.1一、1.1；2.1或-2.二、1.1；2.xyz z y x 3222-++；3.))()((a c c b b a ---． 三、14.练习2.2一、1.零；2.D k n n )1(-；3.111110()()0111a b c a b c b a a b bc a b a a b b a c a c aa cca b c aa c ++---+=--==--=---+--；4.103100204203100204110020411002041992003953992003954200395601330130060060130060013006004012--===-- 613100100(20)2000412-=-=-⨯-=-．二、1.1234102341023310234234110341011301131603412104120222004441231012301110004--====-------；2.2()2()2()02()0xyx y x y y x y x y y x y yx y x x y x y x x y x yxy x y x y x yx++++++=++=-++-- 2()2()000x y y x y x y y x y x y x y x xy++++=-+---2()2()000x y y x y x y y x y x y y x y xy++++=-----22332()()2()()()2()()2()x y x y x x y y y x y x xy y x y =+--+--=-+-+=-+；3.111111111020411102abac ae bdcd de abc de f abcdef abcdef bfcfef----=-=-=--；4.(1)(1)(1)00(1)00a b b a n b b b a n b b b b a b a n b a b a b b b a a n b b a a b +-+-+--==+-- 1[(1)]()n a n b a b -=+--．练习2.3一、1.64；2.4x ；3.－10；4.0,))((,212111b b a a b a ---；5.－2，0，2. 二、1.1)]()1([---+=n n a x a n x D ；（见练习2.2二、4.解法）2.21222242()()()()n n n n n D ad bc D ad bc D ad bc D ad bc ---=-=-==-=- ．三、1.2122232421031132329635304167A A A A ---++==--； 2.4142434421031111035301111A A A A -+++==-． 练习2.4一、1.2，-1；2.c b a ≠≠.二、2124133223121211111D λλλλλλλλλ----+-=-=---2332(3)(2)0121λλλλλλλλ-+-==--=--,3,2,0=λ． 三、1.1,3,2,14321-====x x x x ；2.1,4,6,44321-==-==x x x x ． 四、甲、乙、丙三种化肥各需3千克，5千克，15千克.练习3.1 一、1.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛91101106,15803113；2.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----2536,14324101221 3.（10），⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------132132132；4.E 3；5.0，a d -. 二、1.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛10001001n ； 2.2824211100713()1125312010823101110001210f A A A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.四、()()300014000.50.040.211115001300465047027000.40.060.42000800⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭,总价值：4650万元；总重量：470吨；总体积：2700立方米.练习3.2 一、1.3221-⎛⎫⎪-⎝⎭；2.25112*11,9,813A A A A A A --======； 3.16；4.111111111111()()[()]()A B B BA B AA B B A A A B A B ------------+=+=+=+；5.AA . 二、1.1102214151122⎛⎫- ⎪⎪-- ⎪ ⎪-⎪⎝⎭；2.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n a a a 11121. 三、1.1011101113113623210212432432856111312X --⎛⎫⎛⎫----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭；2.222,,()AX E A X AX X A E A E X A E +=+-=--=-,00101010141A E -==-≠,A E -可逆,121()()()()()X A E A E A E A E A E A E --=--=--+=+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛341030102.四、11,P AP A P P --=Λ=Λ,1010110111*********A P P --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=Λ= ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭1010111122122212⎛⎫--+= ⎪--+⎝⎭. 五、2124,(2)4,[(2)]4A A E O A A E E A A E E -+=-=-⋅--=. A ∴可逆,11(2)4AA E -=--.练习3.3一、1.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛8500320000520021,9320014500000910002023，2.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-010000000010000001100000121n n a a a a ； 3.1111A O A O A O C C C A B O B O B OB --*--⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11A B A OO A B B --⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎭⎫⎝⎛**B A O O A B . 二、1.34202541004322A ==-⨯=--,881610A A ==；12A O A O A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,2212343450434305A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭,442211145005A A A ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 22232202020222222A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,4422222642022A A A ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 44441442645000050000200022A O A OA ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭. 2.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3401230000021000001200011.三、1.11111,A O E O A O A O A O E O B O E O B OB OB -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==∴=⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；11111,O A E O O A OB O B E B O O E B O AO AO -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 2.A B E O E B A O M O C O C O E O E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,E O E B A O M E C A E A C O C O E O E===.练习4.1一、1.；；T T TT )4,3,2,1(,)13,4,5,17(21.2)8.1,7,2(,)1,1,1,3(------ 3.121233333(k k βααβααα=-=-+，为任意实数).二、123111111111111()3210012301230120120003αααβλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→---→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 1.当3λ≠时，123123()2,()3R R ααααααβ==，β不能由123ααα线性表示；2.当3λ=时，123123()()23R R ααααααβ==<，β能由123ααα线性表示，且表示式不惟一.三、β 可由12,,,m ααα 唯一线性表示，∴方程组1122m m x x x αααβ+++= 有唯一解，则1212()()m mR R m ααααααβ== ，从而12,,,m ααα 线性无关.练习4.2一、1.线性相关，线性无关； 2.＜，＝； 3.1； 4.无关.二、1.123110110000012()12200022000ααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,123()23R ααα=<,123,,ααα相关； 2.123131131()223041315000ααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 123()23R ααα=<,123,,ααα相关.三、1.设113221323()()()0k k k αααααα++-++=,即121232133()()()0k k k k k k ααα-++++=.123,,ααα 线性无关,1223130,0,0.k k k k k k -=⎧⎪∴+=⎨⎪+=⎩ 1100110101-=,方程组有非零解,123,,ααα线性相关. 2. 设112123123()()0k k k αααααα+++++=,即123123233()()0k k k k k k ααα+++++=.123,,ααα 线性无关,1232330,0,0.k k k k k k ++=⎧⎪∴+=⎨⎪=⎩ 11101110001=≠,方程组只有零解,123,,ααα线性无关. 四、解法1:设11221233123()(2)(2)0k a k a k αααααααα++++++-=,即12311232233(2)(2)()0k k k ak k k ak k ααα++++++-=.123,,ααα 线性无关,1231232320,20,0.k k k ak k k ak k ++=⎧⎪∴++=⎨⎪-=⎩ 若12123123,2,2a a αααααααα++++-线性无关,则方程组只有零解,2121121001a a a =-≠-,1±≠a . 解法2:12123123123121(22)()1201B a a a a ααααααααααα⎛⎫ ⎪=++++-= ⎪ ⎪-⎝⎭,若12123123,2,2a a αααααααα++++-线性无关,则()3R B =,又121()12301R B R a a ⎛⎫ ⎪≤≤ ⎪ ⎪-⎝⎭,12112301R a a ⎛⎫⎪∴= ⎪ ⎪-⎝⎭,2121121001a a a =-≠-,1±≠a .五、设1234()a bc d b a d c A c d a b d c b a αααα⎛⎫ ⎪--⎪== ⎪-- ⎪--⎝⎭, 22222222222222220000000000T a b c d a b c d AA a b c d a b c d ⎛⎫+++⎪+++⎪= ⎪+++ ⎪⎪+++⎝⎭,222224()T T a b c d AA A A A A A +++====,0,0,()4abcd A R A ≠∴≠= ,1234,,,αααα线性无关.练习4.3一、1.T 中任一个向量都可由s ααα,,,21 线性表出；2.＜，＝；3. 4，5321,,,αααα.二、123217121121121121217055055()055055055000318318055000ααα------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 123()23R ααα=<,123,,ααα线性相关.三、1234132213221322223204120231()311208540854111102310412αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪---⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪------⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭71110100132222202313110101022200700010001000500000000⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1234(,,,)3R αααα=,123,,ααα为一个最大无关组,4121122ααα=+.四、设1212(),,,,n n B αααααα= 线性无关,(),0R B n B ∴=≠.1212()n n A A A A AB A B αααααα=== ,1212()00()n n R A n A A A A R A A A n αααααα=⇔≠⇔≠⇔=12,,,n A A A ααα⇔ 线性无关.自测题（第一、二、三、四章）一、填空题1.-3；2.4m -；3.0；4.2,1-≠≠λλ；5. 任一n 维向量都是0Ax =的解，则n 个n 维单位坐标向量12(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1)T T T n εεε=== 是0Ax =的解，则1212()()(000)n n A AE A A A A O εεεεεε===== ，从而()0R A =.6.3,0-≠k ；7.2；8.-4；9.20,0,20,2,1,2A E A E A E +=-=-=∴- 为A 的特征值,2124A =-⋅⋅=-, 31*2(4)16A A-==-=.10.1110111101P AP D A PDPA PDP PDP PDP PD P ------=⇒=⇒==101010111111102122211202112221-⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.二、21322217204292-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭.三、⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=313223X .四、160.五、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-6493244361A .六、因为1121111111022110221131824000001302000000----⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪--⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，所以，第一列与第二列是一个最大无关组.七、()1111111122(2)3010323000A a b ab a a b a b β--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+-+→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭, 当0a b ==时，()1,()2R A R A β==；当0,0a b =≠时,()2,()3R A R A β==,无解；当b a a ≠≠，0时，()()3R A R A β==,有惟一解:Taa x )0,1,11(-=， 当b a a =≠,0时,()()2R A R A β==有无限多个解:TTaa k )0,1,11()1,1,0(1-+=α. 八、()123411111011212324335185a b a ααααβ⎛⎫⎪-⎪= ⎪++ ⎪+⎝⎭11111102100112101121012100100225200010a b a b a a -⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪→→⎪ ⎪++ ⎪⎪-++⎝⎭⎝⎭1.当0,1≠-=b a 时，β不能表示成4321,,,αααα的线性组合；2.当1-≠a 时,β能由4321,,,αααα唯一线性表示:32111112αααβ+++++++-=a ba b a a b练习5.1一、1.A 0=；2.≠A 0；3.无关；4.2；5.0,1；二、111111111100111100220011112200330000A -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=--→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭,121234340,,0..x x x x x x x x -==⎧⎧⎨⎨-==⎩⎩ 令2142x c x c ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则通解为 11213224,,,x c x c x c x c =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩或121212341010,(,)0101x x c c c c R x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 三、112111211022211103310103221201030038A ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭101003010380013⎛⎫- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，14243410,33,8.3x x x x x x ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩取43x =，得方程组的一个基础解系为10983ξ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭.练习5.2一、1.b AX =；2.1；3.04321=+++a a a a ；4.≠A 0.二、1111021*********22()422120001000010211110002000000A β⎛⎫-⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-→-→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭, 1234111,2220,x x x x ⎧+-=⎪⎨⎪=⎩即1234111,2220,x x x x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩令2132x c x c ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得 11221324111,222,,0,x c c x c x c x ⎧=-+⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪=⎪⎩即12121234111222010,(,)001000x x c c c c R x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 三、见练习1.3第三题.四、充分性:若0A ≠,则A 可逆,对任一0β≠,方程组Ax β=唯一解1x A β-=.必要性:若对任一0β≠,Ax β=有解,则当β分别为12100010,,,001n εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭时,方程组有解,即存在12,,,n ηηη ,使得1122,,,n n A A A ηεηεηε=== , 则121212()()()n n n A A A A E ηηηηηηεεε=== ,A ∴可逆,0A ≠.练习5.3一、1.零，非零；2.是，0；3.是，3.二、123123512351235()111003450345032703270022αααβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭123512081208100203450309010301030011001100110011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 123123()3,,,R αααααα=∴ 线性无关,从而是3R 的一个基.12323βααα=+-,β在基123ααα下的坐标为(2,3,1)-.三、11111βα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,21221112301[,]2111[,]331113αββαβββ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭, 31323312112220301[,][,]111101[,][,]3232111123αβαββαββββββ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 111e ββ==1(1,1,1)3T ,222e ββ==1(2,1,1)6T -,333e ββ==1(0,1,1)2T -. 练习6.1一、1.0, <, 非零；2.0；3.1，3121，，6，11，18；4.1，2，3.二、1.233256356356911022020121121121r r c c A E λλλλλλλλλλλ+--------=--=--=-----2359(2)(2)(44)(2)11λλλλλλλ--=-=--+=----,令0A E λ-=，得===321λλλ 2.对于2λ=解方程组()0A E x λ-=,得基础解系12(2,1,0),(1,0,1)T Tξξ=-=,则A 的对应于===321λλλ2的全部特征向量为12(2,1,0)(1,0,1)T T k k -+(12,k k 不同时为零)； 2.121321133133133353153020664464464c c c c r r A E λλλλλλλλλλλλλ++--------=--=---=----------21313(2)(2)(4)(2)(4)4411λλλλλλλλλ--=--=-+-=+---,令0A E λ-=,得221-==λλ,=3λ 4.对应于221-==λλ的全部特征向量为T T k k )1,0,1()0,1,1(21-+(12,k k 不同时为零)；对应于=3λ4的全部特征向量为3(1,1,2)T k (03≠k ).三、已知A ξλξ=,要证k k A ξλξ=,用数学归纳法.因为当1k =时等式成立,假设当k m =时等式成立,即m m A ξλξ=,则11m m m m m m A AA A A ξξλξλξλλξλξ++=====,即1k m =+时等式也成立,所以对一切正整数k 等式成立. 四、用反证法.假设12αα+是A 的对应于特征值λ的特征向量,即1212()()A ααλαα+=+由已知111222,A A αλααλα==,12121122()A A A ααααλαλα+=+=+,则有121122()λααλαλα+=+,从而有1122()()0λλαλλα-+-=.1212,,λλαα≠∴ 线性无关,则12120,0λλλλλλλ-=-=⇒==,与12λλ≠矛盾,所以12αα+不是A 的特征向量.练习6.2一、1.n ；2.B AP P =-1；3.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡123λλλ；4.设1212(),,P αααα= 线性无关，12()2,0,R P P αα∴=≠可逆.121212120202()()(02)()0101AP A A A P αααααααα⎛⎫⎛⎫===+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则10201P AP -⎛⎫=⎪⎝⎭,A 与0201⎛⎫ ⎪⎝⎭相似,特征值相同,0201⎛⎫⎪⎝⎭的特征值为0和1,所以A 的非零特征值为1. 二、1.1211(1)0,0,10A E λλλλλλλ--==--===-，12λλ≠，A 能对角化；2.22122125335375121A E λλλλλλλλ------=--=--------223111211(1)(1)034375344λλλλλλλλλλ----=-==+=-+=+-----+--， 1231λλλ===-，,()0A E O R A E +≠+≠，A 不能对角化.三、202312520111A E xx x x -=-=-+-=-,2=x 或21=x . 2=x 时,12312344440421121121111211212r r r A E λλλλλλλλλλλλλ++-------=--=--=------ 4411(1)(1)(4)(1)(4)(1)01212λλλλλλλλλλ--=--=-+-=-+--=--,1231,4,1A λλλ=-==，能与对角阵相似；21=x 时,3112312312311111222122224221210221112r r A E λλλλλλλλλλλ-----=--=--=---+---3121252111220(52)(22)(1)04410c c λλλλλλλ+--=-=---+=+,1235,1,12A λλλ===-，能与对角阵相似.四、1.已知112212,,11,,A A αααααα=-=-≠∴ 线性无关.设1122330k k k ααα++=,则331122331122k k k k A k A k A αααααα=--⇒=--32311223311232()()()k k k k k k k ααααααα⇒+=---⇒=-+ 1122112321132()20k k k k k k k αααααα⇒--=-+⇒-= 13220,00k k k α⇒==⇒=,而,则123,,ααα线性无关.2.1231231223123100()()()()011001AP A A A A ααααααααααααα-⎛⎫ ⎪===-+= ⎪ ⎪⎝⎭,100011001AP P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,1100011001P AP --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.练习6.3一、1. 正交的；2.线性无关的；3.实数；4.若0A =，则A 有特征值10λ=.设A 还有两个特征值为23,λλ.A 的特征值互不相同,230,0λλ∴≠≠,且A 能对角化,即存在可逆矩阵P ,使得1230P AP λλ-⎛⎫⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭. 11()()(),()()(),()()2R R P AP R A R A R P P R R A R --Λ=≤=Λ≤Λ∴=Λ= .二、1.A 与012⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似,A ∴的特征值为0,1,2. 2111()011A ααβαββ==--=,010201A E ααβαββ-===⇒0==βα；2.对于10λ=,解方程组0Ax =,得1(1,0,1)T ξ=-. 对于21λ=,解方程组()0A E x -=,得2(0,1,0)T ξ=. 对于32λ=解方程组(2)0A E x -=得3(1,0,1)T ξ=.123,,λλλ 互不相同,123,,ξξξ∴两两正交,将123,,ξξξ单位化: 3121231231111(,0,),(0,1,0),(,0,)2222T T Tp p p ξξξξξξ==-====, =P 12311022()01011022p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦为正交矩阵,使1P AP B -=. 三、设A 的与特征值6对应的特征向量为3123(,,)Tx x x α=,363,α≠∴ 与1α，2α都正交,3132[,]0,[,]0αααα==,131230,20,x x x x x -+=⎧⎨-+=⎩解得基础解系3(1,1,1)Tα=,A 的与特征值6对应的全部特征向量为333(0)k k α≠.121[,]0,ααα=∴ 与2α正交,故123,,ααα两两正交,将它们单位化:31212311121111(,0,),(,,),(,,)22666333T T Tαααααα=-=-=, 得正交矩阵11126321063111263P ⎛⎫-⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,使1336P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 1333366TA P P P P -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111102632234112112103141636666114111111263333⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.四、()2,R A A =∴ 的特征值有且只有一个是0.设λ为A 的特征值,则2()2f λλλ=+为2()2f A A A =+的特征值,而()f A O =的特征值必为0,220,0λλλ∴+==或2-.A 的全部特征值为2,0321-===λλλ.练习7.1一、1.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡310122021；2.323121x x x x x x f ++=；二、1.1222212122311112222nn n n n ii i i i f x x x x x x x x x xx x --+===+++----=-∑∑ ，()()R f R A n ==.2.23()32(23)(32)(745)745x y z f x y z x y z x x y z y x y z z x y z x y z ++⎛⎫ ⎪=++=++++++++ ⎪ ⎪++⎝⎭2222152352106()133535x x y z xy xz yz x y z y z ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=+++++= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,215133()()3535A R f R A ⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭，.三、1.112323220220()212212020020T x f x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=--=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭112323112220112200012212012()010001020001004TT y y y y y y y y ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪=----=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22212324y y y =-+.2.112323220220()212212020020T x f x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=--=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭11232311111122010022011212011()010*********022TTy y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=----=-⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222123y y y =-+.四、1.220212020A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭,32368(1)(2)(4)A E λλλλλλλ-=-++-=--+-,令0A E λ-=，得1231,2,4λλλ==-=.对于11λ=,解方程组()0A E x -=,得基础解系1(2,1,2)T ξ=-； 对于11λ=-,解方程组(2)0A E x +=,得基础解系2(1,2,2)T ξ=； 对于34λ=,解方程组(4)0A E x -=,得基础解系3(2,2,1)T ξ=-.123,,ξξξ两两正交,将它们单位化,构成正交矩阵P :312123212333122()333221333P ξξξξξξ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭,使1124T P AP P AP -⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭. 作正交变换x Py =,则222123()()()24T T T T f x Ax Py A Py y P AP y y y y ====-+.2.222254245A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭, 22220220225421421424521549A E λλλλλλλλλλλ-------=--=--=----------2222(1)(1)(1110)(1)(10)49λλλλλλλλ--=-=--+=-----,令0A E λ-=，得1231,10λλλ===.对于121λλ==,解方程组()0A E x -=,得基础解系12(2,1,0),(2,4,5)TTξξ=-=； 对于310λ=,解方程组(10)0A E x -=,得基础解系3(1,2,2)T ξ=-.123,,ξξξ两两正交,将它们单位化,构成正交矩阵P :3121232213535142()3535520335P ξξξξξξ⎛⎫-⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭,使11110TP AP P AP -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. 作正交变换x Py =,则222123()()()10T T T T f x Ax Py A Py y P AP y y y y ====++.五、1111111A a a --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,A 的特征值为2,2,b ,则221113b ++=++=,1b =-. 又2111211(1)0,111A E a a a a ----=--=+=∴=---. 111111111A --⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭.对于122λλ==,解方程组(2)0A E x -=,得基础解系12(1,1,0),(1,1,2)T T ξξ=-=-；对于31λ=-,解方程组()0A E x +=,得基础解系3(1,1,1)T ξ=.123,,ξξξ两两正交,将它们单位化,构成正交矩阵P :312123111263111()26321063P ξξξξξξ⎛⎫-⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭,使1221TP AP P AP -⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭. 作正交变换x Py =,则222123()()()22T T T T f x Ax Py A Py y P AP y y y y ====+-. 且22()()()T T T T T T xx x Py Py y P P y y Ey y y y ======,2222222212312322222222236T f y y y y y y yx x x =+-≤++====⋅=,∴f 在3=X X T 下的最大值为6.(上式在30y =时等号成立,即取得最大值)练习7.2 练习7.3一、1.22231213232444f x x x x x x x x =-+--22222123121323132(222)23x x x x x x x x x x x =+++---- 222123132()23x x x x x =+---,令11123233x y x x x y x y=⎧⎪+-=⎨⎪=⎩，则22212322f y y y =-+-. 所作的可逆变换为11212333x y x y y y x y =⎧⎪=-++⎨⎪=⎩，即112233*********x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2.令11221233x y y x y y x y=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩,则2222221212231133223322442(2)2(2)f y y y y y y y y y y y y y y =-++=++--+2213232()2()y y y y =+--,令13123233y y z y y z y z +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩,即11322333y z z y z z y z=-⎧⎪=+⎨⎪=⎩,则221222f z z =-. 所作的可逆变换为1122123332x z z x z z z x z =+⎧⎪=--⎨⎪=⎩,即112233*********x z x z x z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.二、1.不是,2210a bA a b b a==--=-<- ；2.是正, 是负.三、1140102t A t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,若A 为正定,则2211140,404204102t t t t t t =->=->,⇒22<<-t .四、1112125t A t--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭,若A 为负定,则 2211110,125401125t t t tt t t---=->-=-<---,⇒540<<t .五、设λ是A 的特征值,则2()56f λλλ=-+是2()56f A A A E O =-+=的特征值,25602λλλ∴-+=⇒=或3λ=.A 的特征值全为正,则A 是正定矩阵.六、设λ是A 的特征值,A 为正定,0λ∴>.()T T T T A E A E A E A E λλλλ-=-=-=- ,T A ∴与A 有相同的特征值,从而TA 的特征值全大于0,则TA 也为正定.1A - 的特征值为1λ,1A -∴的特征值全大于0,则1A -也为正定.*A 的特征值为Aλ,而0A >*A ∴的特征值全大于0,则*A 也为正定.七、B 为正定,B ∴为对称矩阵,有TB B =,且0,B B >可逆. 0x ∀≠,则0Bx ≠(否则11()00x B Bx B --==⋅=).从而有()()()0TTTTf x BAB x x B ABx Bx A Bx ===>(A 为正定), 故BAB 为正定.自测题(第五、六、七章)一、1.0；2.若2是A 的特征值，则12是1A -的特征值，212⎛⎫ ⎪⎝⎭是1221()()A A --=的特征值，2122⎛⎫ ⎪⎝⎭是212112()()2A A --=的特征值，211()2A -∴必有一个特征值为12.3.2,2,-2；4.10==y x ，；5.–3；6.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----321222121；7.0；8.3； 9.2122121,430,1,31212A A E λλλλλλλ---⎛⎫=-==-+=== ⎪---⎝⎭,22123f y y =+ 10.1122112212()s s s s s A k k k k A k A k A k k k ηηηηηηβββ+++=+++=+++12()s k k k ββ=+++= , 12(1)0s k k k β+++-= ,12120,101s s k k k k k k β≠∴+++-=⇒+++=二、练习6.1二、1.(2)0R A E -≠,A 不相似于对角阵.三、设1112132122233132,1a a a A a a a A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭为正交矩阵,A ∴的列向量是单位向量, 2222221323313213233132(1)1,(1)10a a a a a a a a ++-=++-=⇒====,1112212200,0001a a A a a Ax ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭的解为1111222000000011T a a x A A a aββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 四、设A 的与4λ=对应的特征向量为123(,,)Tx x x ,它与2λ=-对应的特征向量1η正交,12320x x x ∴-++=,它的一个正交基础解系为23(1,1,0),(1,1,1)T T ηη==-,31212311162311162321063P ηηηηηη⎛⎫-⎪⎪⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,1244P AP --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 1223124413244220T A P P P P ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭,11162311162321063x y ⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.五、见自测题(第一,二,三,四章)七大题当0=a 时，无解；当b a a ≠≠,0时，有惟一解:Taa x )0,1,11(-=，当b a a =≠,0时,有无限多个解:TTaa k )0,1,11()1,1,0(1-+=α. 六、1.()11231001011,00121P P AP ααα-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,1110011001000011002101110121011022A P P -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎪ ⎪⎪⎪⎢⎥==-=- ⎪ ⎪⎪⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎪⎢⎥----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦； 2.10101110011001000011002101110121011022A P P -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎪ ⎪⎪⎪⎢⎥==-=- ⎪ ⎪⎪⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎪⎢⎥---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 七、A 为正交正定矩阵,1121,TTA A A A A A A AA AA E ---∴==⇒=⇒=== 设λ为A的特征值,α为对应的特征向量,即22222(1)0A A E αλααλααλααλαλα=⇒=⇒=⇒=⇒-=,20,10αλ≠∴-= ,又A 为正定,1λ∴=,即A 的特征值全为1,A 与E 相似, 11,P AP E A PEP E --===.八、设20120()(0)m m f x a a x a x a x a =++++≠ ,假设0是A 的特征值,则(0)f 是()f A O =的特征值,0(0)0f a ∴==,与已知矛盾, 0∴不是A 的特征值.模拟试题一一、1.设()123B βββ=，AB O = ，即()()()123123000A A A A ββββββ==，1230,0,0A A A βββ∴===，则123,,βββ是方程组0Ax =的解向量，又()2,R A =∴ 0Ax =的基础解系含有1个解向量，即0Ax =只有一个线性无关的解，故123,,βββ最多只有一个线性无关，123()(,,)1R B R βββ=≤，又,()0,()1B O R B R B ≠>∴=.2.1230262!0032000n nA n n n==, (1,2,,)222(1)(1)2(1)2(1)2(!)2i n i r r i n nn n n n n O AA OB A A A n A OOA+↔=======-=-=-=- .3.122212123304134a a A a a α-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭,A α 与α线性相关,2334111a a a a a ++∴==⇒=-. 4.()101310131001111401010101011301130012αβγξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2ξαβγ=++,ξ在基,,αβγ下的坐标为(1,1,2).5.()3,0R A Ax =∴= 的基础解系含有4-3=1个解向量. 123,,ηηη 是Ax β=的解,1223,ηηηη∴--是0Ax =的解,则1223123()2()32(0,1,0,0)T ξηηηηηηη=---=-+=是0Ax =的基础解系. 又*123`1()(1,2,3,4)3T ηηηη=++=-是Ax β=的解,Ax β∴=的通解为 (1,2,3,4)(0,1,0,0)()T T x c c R =-+∈.6.23*12*1*1221()()()32TT A B A A B A A B A AA B---====. 7.()2211123()4()()()44A A E O A E E A E A E E A E A E ---=⇒-=⇒--=⇒-=-.8.设A 的特征值为12,,,,1n i λλλλ= 或1(1,2,,)i n -= .A 为实对称矩阵,∴存在可逆矩阵P ,使得121n P AP λλλ-⎛⎫ ⎪⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭ ,则1A P P -=Λ, 21222111122111n A P P P P P P PEP E λλλ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=Λ==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.二、*29A B -=- *1*1119[(2)]9(2)9(2)9(2)A E A A AA A A E A E ----=-=-=-=+1203932019000303009001⎛⎫- ⎪-⎡⎤⎪⎢⎥ ⎪==⎢⎥ ⎪⎢⎥-⎪⎣⎦- ⎪ ⎪⎝⎭.三、22222(2)2(2)A A E O A kA A kA k k E E k k E O ++=⇒++-+-+--=2()(2)()(22)A A kE k A kE k k E ⇒++-+=--+ 2[(2)]()(22)A k E A kE k k E ⇒+-+=--+,221,220,[(2)]()22k R k k A k E A kE E k k ∀∈-+>-+-+=-+,A kE ∴+可逆,[]121()(2)22A kE A k E k k -+=-+--+.四、()()121122n n n n n n B t t t βββαααααα==+++()12121000101n n t t t ααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭, 当1-=n t 时,()1R B n n =-<,方程组有非零解.五、A 是正交矩阵,A ∴的列向量是两两正交的单位向量,0,1,Ti j i ji j αα≠⎧=⎨=⎩则()12121121100001000101T T T n T n T T T T n B A C ααααααβαβαβαβ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 100,T T B A B A B A C B B ====≠⇒≠ 可逆,111111111()()()()()T T T T T T B CA B B CA AC B AC C A ---------=⇒===⇒==.六、设0λ是B 的任一特征值,则0()0f λ=.()f A 可逆()f A ⇔的特征值全不为00()0f λ⇔=不是()f A 的特征值0λ⇔不是A 的特征值.七、1.设A 的特征值为12,,,n λλλ ,{}12max ,,,nk λλλ= .A 为实对称矩阵,∴存在正交矩阵P ,使得121T n P AP P AP λλλ-⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ , ()112212()()T T T T n n n y y f x Ax Py A Py y P APy y y y y λλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪==== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2221122n n y y y λλλ=+++ ,22222222112212T T n n n x Ax y y y ky ky ky k y k x kx xλλλ=+++≤+++=== .()22()()T T T T T T x x x Py Py y P Py y Ey y y y======2.222211111333T T T AA αααααααααααα=≤==.八、本教材无此概念.模拟试题二一、1.42342311a a a a ；2.(2 3)，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------132132132；3.()n A R =；4.3213αααk +-；5.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛310122021.二、1.)(233y x +-；2.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-2/12/511412/12/101A ；3.2=λ；4.213212),,(ααααα，，=R ；5.TT 2T 10,0,1110,1121,0,111,119c 0,1,115,111c x ⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=；6.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-==12/12/1p ,011p ,111p 9,1,0321321；λλλ；7.23222142y y y ++-. 三、1.∵()()()()()E AA AEA A BB A A B AB AB AB T T T T T T T=====,∴AB 也是正交矩阵. 2.设R k k k ∈321,,，使得()()0321321211=+++++ααααααk k k ,即 ()()0332211321=+++++αααk k k k k k ,∵321,,ααα线性无关,∴0000321332321===⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+=++k k k k k k k k k , ∴321211,,αααααα+++线性无关.。
长沙理工大学高等数学期末考试试卷及答案
一、单项选择题（共20分，5个小题，每小题4分）1.已知1=a，2=b ，且两个向量的夹角为4π，则=+b a （）。
A.1B.21+ C.2D.5答案：D 。
考点：向量的运算。
解答：()()b a b a b a+⋅+=+ba b b a a ⋅+⋅+⋅=2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅++=∧b a b a b a,cos 2225222221=⋅⋅++=。
注释：了解向量的各种运算和性质，掌握两向量的点积和叉积运算。
此题利用了2a a a=⋅。
2.函数xy z =在点()0,0处满足（）。
A.连续但偏导数不存在B.连续且偏导数存在C.偏导数存在但不连续D.可微答案：B 。
考点：多元函数在一点连续、可导、可微的定义。
解答：令()xyy x f z ==,（1）连续()()0,00lim,lim 0000f xy y x f y x y x ===→→→→则()xy y x f z ==,在()0,0处连续。
（2）可导()()()000lim 0,00,lim0,000=∆-=∆-∆=→∆→∆x x f x f f x x x 类似()00,0=y f ，则()xy y x f z ==,在()0,0处可导。
（3）可微()()y x f y x f z ∆∆=-∆∆=∆0,0,()()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+∆=⎪⎭⎫⎝⎛∆+∆+∆+∆22220,00,0y x o y x o y f x f y x 因为()()2202200limlimy x xy y x yx y x y x +=∆+∆∆∆→→→∆→∆，当()y x ,沿kx y =趋向()0,0时，该极限不存在，则()()⎪⎭⎫⎝⎛∆+∆≠∆∆22y x o y x ，即()()0,0,f y x f z -∆∆=∆()()()()⎪⎭⎫⎝⎛∆+∆+∆+∆≠220,00,0y x o y f x f y x ，故()xy y x f z ==,在()0,0处不可微，偏导数不连续（偏导连续则可微的逆否命题）。
长沙理工大学线性代数考试试卷及答案
长沙理工大学模拟考试试卷…………………………………………………………………………………………………………………………试卷编号1拟题教研室（或教师）签名教研室主任签名…………………………………………………………………………………………………………………………课程名称（含档次）线性代数课程代号0701011专业全校各专业层次（本、专）本科考试方式（开、闭卷）闭卷一、判断题（正确答案填√,错误答案填×。
每小题2分，共10分）1.设阶方阵可逆且满足，则必有（）2.设是的解，则是的解（）3.若矩阵的列向量组线性相关，则矩阵的行向量组不一定线性相关（）4.设表示向量的长度，则（）5.设是的解，则是的解（）二、填空题：(每小题5分，共20分)1.计算行列式＝；2.若为的解，则或必为的解；3.设n维向量组，当时，一定线性，含有零向量的向量组一定线性；4.设三阶方阵有3个特征值2，1，-2，则的特征值为；三、计算题（每小题10分，共60分）1.；第1页（共2页）2.若线性方程组有解，问常数应满足的条件3.设是方程组的解向量，若也是的解，则；4.求齐次线性方程组的基础解系；5.已知矩阵与矩阵相似，求的值；6.设为正定二次型，求.四、证明题（10分）：设向量组线性无关，证明线性无关。
长沙理工大学模拟试卷标准答案课程名称：线性代数试卷编号：1一、判断题（正确答案填√,错误答案填×。
每小题2分，共10分）1，×2，×3，√4,×5,√二、填空题：(每小题5分，共20分)1，42；2，；3，相关，相关；4，4，1，4.三、计算题（每小题10分，共60分）1.==5（5分）=5＝5（5分）2.（2分）（5分）若有解，则A的秩与的秩相等，即。
（3分）3.（6分）∴(1)当时，矩阵的秩为2；（2分）(2)当时，矩阵的秩为3.（2分）第1页（共3页）4.对系数矩阵作作初等行变换得同解方程组令，；得，基础解系为：5.解：∵与相似，∴特征多项式相同，即亦即6.解：的矩阵为∵为正定二次型，∴的各阶主子式大于0．即＞0，＞0＞0第2页（共3页）解联立不等式组＞0或＜0＜＜或＜＜0＜＜0即当＜＜0时，为正定二次型．四、证明题（10分）：证明：设存在一组数使得，（3分）又向量组线性无关，因此，（7分）由此可知，只有当时，等式才成立，即向量组线性无关。
长沙理工大学考试试卷(上册15李)
长沙理工大学考试试卷．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．试卷编号15 拟题教研室（或教师）应化与化工教研室教研室主任签名．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．课程名称（含档次）化工原理A（一）课程代号0811019专业化工、轻化、应化、环工层次（本、专）本考试方式（开、闭卷）闭卷一、填空与选择题（30分，每小题3分）1、牛顿粘性定律的数学表达式为，牛顿粘性定律适用型流体。
2、当流体在管内流动时，若要测取管截面上流体的速度分布，应选用流量计测量。
3、在完全湍流（阻力平方区）时，粗糙管的摩擦系数λ数值。
A.只取决于Re；B.只取决于ε/d；C.与ε无关；D.只与ε有关。
4、离心泵的流量调节常用，而往复泵的流量调节采用。
5、离心泵将水池的水抽吸到水塔中，若离心泵在正常操作范围内工作，开大出口阀门将导致。
A.送水量增加，整个管路阻力损失减少；B.送水量增加，整个管路阻力损失增大；C.送水量增加，泵的轴功率不变；D.送水量增加，泵的轴功率下降。
6、恒压下过滤某悬浮液，若过滤介质阻力忽略不计，则获得的滤液量和过滤时间的次方成正比。
7、恒压过滤，且过滤介质阻力忽略不计，滤饼不可压缩，当过滤压差增加一倍时，滤液量为原来的倍。
8、在空气与蒸汽间壁换热过程中采取方法来提高传热速率是合理的。
A.提高蒸汽流速；B.采用过热蒸汽以提高蒸汽的温度；C.提高空气流速；D.将蒸汽流速和空气流速都提高。
9、利用水在逆流操作的套管换热过程中冷却某物料，要求热流体温度T1、T2及流量q v1不变，今因冷却水进口温度t1增高，为保证完成生产任务，提高冷却水的流量q v2,其结果。
A.K增大，Δt m不变；B.Q不变，Δt m下降，K增大；C. Q不变，K增大，Δt m不确定；D. Q增大，Δt m下降。
(完整word版)长沙理工大学大一高数期末考试题(精)
一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3.若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x=处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. =+→xx x sin 20)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221L n n nnn n ππππ .8.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12.设函数)(x f 连续，=⎰1()()g x f xt dt，且→=0()limx f x Ax ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13.求微分方程2ln xy y x x'+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1)求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰q f x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.6e. 6.cx x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11.解：1033()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰03()x xd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
长沙理工大学常微分方程题库
~~01|02|1|8|A1000011_030_1|247 ^^dyy xinx dx=+ ^^解： (s i n )1[(s i n c o s )]21(s i n c o s )2d x d xxxx y e xe dx c e e x x c ce x x --⎰⎰=+=-++=-+⎰ 是原方程的解。
~~02|02|1|10|A1000011_030_2|248 ^^2dyxy dx=,并求满足初始条件：(,)x y 0,1x y ==的特解. ^^解：对原式进行变量分离得12dy xdx y= 两边同时积分得：21ln y x c =+，即2x y ce = (这里1cc e =) 把0,1x y ==代入得1c = 故满足初如始条件的特解2x y e = ~~02|02|1|9|A1000011_030_3|249^^2(1)0y dx x dy ++=并求满足初始条件：0,1x y ==的特解. ^^解：对原式进行变量分离得：2111dy dx y x -=+ 两边同时积分得：1ln 1x c y =++即1ln 1y c x =++ 当0y =时显然也是原方程的解。
当0,1x y ==时，代入上式得1c = 故特解是1ln 1y x=+~~03|02|1|7|A1000011_030_4|250^^证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。
^^证明：设(,)x y 为所求曲线上的任意一点，则y kx '=则：2y kx c =+即为所求。
~~03|02|1|8|A1000011_030_5|251 ^^设(,)f x y 及fy∂∂连续,试证方程(,)0dy f x y dx -=为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x 的积分因子.^^证:必要性 若该方程为线性方程,则有()()dyP x y Q x dx=+ , 此方程有积分因子()(),()P x dxx e x μμ-⎰=只与x 有关 . 充分性 若该方程有只与x 有关的积分因子()x μ . 则()()(,)0x dy x f x y dx μμ-=为恰当方程 ,从而(()(,))()(),()x f x y d x f x y dx y x μμμμ'∂-∂==-∂∂,()()()()()()()()x x f dy Q x y Q x P x y Q x x x μμμμ''=-+=-+=+⎰. 其中()()()x P x x μμ'=-.于是方程可化为(()())0dy P x y Q x dx -+= 即方程为一阶线性方程.~~02|06|1|8|A1000011_030_6|252^^试求方程的所有奇点,并讨论相应的驻定解的稳定性态2296456654dx x y xy x dtdy x y xy y dt⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩ ^^解: 由29645066540x y xy x x y xy y ⎧-+-=⎨--+=⎩ 得奇点(0,0),(1,2),(2,1)对于奇点(0,0)可知不稳定 对于奇点(1,2)可知不稳定 对于奇点(2,1)可知渐进稳定 ~~02|06|1|7|A1000011_030_7|253^^试求方程的所有奇点,并讨论相应的驻定解的稳定性态2(),0dx y dtdy x y dtμχμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+->⎪⎩^^解:由2()0,0y x y μχμ=⎧⎨-+-=>⎩得奇点(0,0),(-1/μ,0)对于奇点(0,0) 驻定解不稳定对于奇点(-1/ μ,0) 得驻定解不稳定 ~~01|03|1|8|A1000011_030_8|254 ^^2()0dy dyx y dx dx+-= ^^解：这是克莱洛方程，因此它的通解为2y cx c =+，从220y cx c x c ⎧=+⎨+=⎩中消去c,得到奇解240y y +=.~~02|03|1|6|A1000011_030_9|255 ^^求曲线族的包络2210c y cx +-=^^解：对c 求导，得2220,2x yc x c y+==-，代入原方程得4421042x x y y y--=，即440x y +=， 经检验得440x y +=是原方程的包络. ~~02|03|1|7|A1000011_030_10|256 ^^求曲线族的包络22()()4x c y c -+-= ^^解：对c 求导，得 –2(x-c)-2(y-c)=0, 2x yc += 代入原方程得2()8x y -=.经检验,得2()8x y -=是原方程的包络.~~03|03|1|10|A1000011_030_11|257^^试证：就克莱洛方程来说，p-判别曲线和方程通解的c-判别曲线同样是方程通解的包络，从而为方程的奇解.^^证：克莱洛方程 y=xp+f(p)的p-判别曲线就是用p-消去法，从()0()y cx f c x f c =+⎧⎨'=+⎩中消去p 后而得的曲线；c-判别曲线就是用c-消去法，从通解及它对求导的所得的方程()0()y cx f c x f c =+⎧⎨'=+⎩中消去c 而得的曲线， 显然它们的结果是一致的，是一单因式，因此p-判别曲线是通解的包络，也是方程的通解. ~~01|04|1|7|A1000011_030_12|258 ^^(4)540xx x ''-+=^^解：特征方程422345402,2,1,1λλλλλλ-+===-==-1有根 故通解为221234t t t t x c e c e c e c e --=+++ ~~01|04|1|7|A1000011_030_13|259 ^^23330x ax a x a x ''''''-+-=^^解：特征方程3223330a a a λλλ-+-= 有三重根a λ=故通解为2123at at at x c e c te c t e =++ ~~03|04|1|9|A1000011_030_14|260^^设()x t 和()y t 是区间a t b ≤≤上的连续函数，证明：如果在区间a t b ≤≤上有()()x t y t ≠常数或()()y t x t 常数，则()x t 和()y t 在区间a t b ≤≤上线形无关。
长沙理工大学大一高数期末考试题(精)
长沙理工高校大一高数期末考试题(精)一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不行导.2.）时（，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3.若()()()02xF x t x f t dt=-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得微小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x=处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(10=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x（B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. =+→xx x sin 20) 31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x xx f d cos )(则 .7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8.=-+?21212211arcsin － dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7x x x x ?+-求11. ．求，，设?--≤-+→a x aa x x 的值是a 1.6. 由x x y eyx 2cos ln =+确定函数y (x )，则导函数='y xxeye x yx xyxy ln 2sin 2+++-.7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行，则直线l 的方程为 131211--=--=-z y x . 8. 求函数2)4ln(2x x y -=的单调递增区间为（－∞，0）和（1，+∞） .三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）9. 计算极限10(1)limx x x ex →+-.解：11ln(1)12000(1)1ln(1)limlim lim2x xxx x x x e e x x ee e x xx +-→→→+--+-===-10. 已知：||3a =，||26b =，30a b ?=，求||a b ?。
2022年线性代数试卷及答案6套
线性代数试卷及答案6套．试卷(一): 一． 填空题（每小题4分，共20分）1．已知正交矩阵P 使得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=200010001AP P T ，则.________)(2006=+P A E A P T2．设A 为n 阶方阵，n λλ,,1 为A 的n 个特征值，则 ._________)det(2=A 3．设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =有无数多个解的充分必要条件是：._________4．若向量组T T T t )3,2,(,)1,3,2(,)2,4,0(===γβα的秩为2,则._____=t5．,27859453251151)(32--=x x x x D 则0)(=x D 的全部根为:_________.二． 选择题 （每小题4分，共20分）1.行列式001010100 ---的值为( ).A. 1B. -1C. 2)1()1(--n n D. 2)1()1(+-n n2. 对矩阵n m A ⨯施行一次行变换相当于( ).A. 左乘一个m 阶初等矩阵B. 右乘一个m 阶初等矩阵C. 左乘一个n 阶初等矩阵D. 右乘一个n 阶初等矩阵 3. 若A 为n m ⨯矩阵,{},,0|,)(n R X AX X M n r A r ∈==<= 则( ). A. M 是m 维向量空间 B. M 是n 维向量空间 C. M 是r m -维向量空间 D. M 是r n -维向量空间 4. 若n 阶方阵A 满足,,02=A 则下列命题哪一个成立 ( ).A. 0)(=A rB. 2)(n A r =C. 2)(n A r ≥D. 2)(nA r ≤5. 若A 是n 阶正交矩阵,则下列命题哪一个不成立( ). A. 矩阵T A 为正交矩阵 B. 矩阵1-A 为正交矩阵 C. 矩阵A 的行列式是1± D. 矩阵A 的特征值是1±三. 解下列各题（每小题6分,共30分）1. 若A 为3阶正交矩阵, *A 为A 的伴随矩阵, 求).det(*A2. 计算行列式.111111111111aa a a 3. 设,,100002020B A AB A -=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=求矩阵.B4. 求向量组,)2,1,2,1(1T =α,)2,1,0,1(2T =α,)0,0,1,1(3T =αT )4,2,1,1(4=α的一个 最大无关组.5. 求向量T )1,2,1(=ω在基,)1,1,1(T =α,)1,1,0(T =βT )1,1,1(-=γ下的坐标. 四. (12分) 求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--+=+++-=++-+631052372322543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x的通解(用基础解系与特解表示).五.(12分) 用正交变换化下列二次型为标准型, 并写出正交变换矩阵3123222132122),,(x x x x x x x x x f -++= 六. 证明题(6分)设r ξξξβ ,,,021≠是线性方程组β=AX 对应的齐次线性方程组的一个 基础解系,η是线性方程组β=AX 的一个解, 求证ηηξηξηξ,,,,21+++r 线性无关.试卷（二）：一．计算下列各题：（每小题6分，共30分）（1）,180380162176380162225379162（2）求,3222E A A ++其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3112A（3）已知向量组T T T t ),2,1(,)3,3,2(,)3,2,0(321-===ααα线性相关,求.t (4) 求向量T )4,2,1(-=α在基T T T )1,2,1(,)1,1,0(,)1,0,1(321-===ααα下的坐标.(5) 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5321A , 求A 的特征值.二.(8分) 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200002130A ,且,B A AB T +=求矩阵B.三. (8分) 计算行列式: 100200300321x c b a四. (8分) 设有向量组,)6,0,2,3,3(,)7,2,0,1,1(,)5,2,1,0,1(,)3,2,1,1,0(4321T T T T -=--===αααα 求该向量组的秩以及它的一个最大线性无关组.五. (8分) 求下列方程组的通解以及对应的齐次方程组的一个基础解系.⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+-=-+-+.18257,432,1042354315432154321x x x x x x x x x x x x x x六. (8分) 求出把二次型323121232221222)(x x x x x x x x x a f -++++=化为标准形的正交变换,并求出使f 为正定时参数a 的取值范围.七. (10分) 设三阶实对称矩阵A 的特征值为3(二重根)、4(一重根),T )2,2,1(1=α是A 的属于特征值4的一个特征向量,求.A 八. (10分) 当b a ,为何值时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,233,1032,4321321321x bx x x bx x x x ax 有惟一解、无穷多解、无解?九．(10分) (每小题5分,共10分) 证明下列各题(1) 设A 是可逆矩阵, ,~B A 证明B 也可逆, 且.~11--B A (2) 设βα,是非零1⨯n 向量,证明α是n n ⨯矩阵T αβ的特征向量.试卷(三):一. 填空题（共20分）1. 设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =有唯一解的充分必要条件是：2. 已知E 为单位矩阵, 若可逆矩阵P 使得11223,P AP P A P E --+= 则当E A -可逆时, 3A =3. 若t 为实数, 则向量组α=（0，4，t ），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3+t ）的秩为:4. 若A 为2009阶正交矩阵，*A 为A 的伴随矩阵， 则*A =5. 设A 为n 阶方阵，12,,,n λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是A 的n 个特征根，则1ni i i i E A λ=-∑ =二. 选择题（共20分）1. 如果将单位矩阵E 的第i 行乘k 加到第j 行得到的矩阵为)),(,(k i j P 将矩阵n m A ⨯的第i 列乘k 加到第j 列相当于把A ：A, 左乘一个));(,(k j i P B ，右乘一个));(,(k j i PC ． 左乘一个));(,(k i j PD ，右乘一个)).(,(k i j P2. 若A 为m ×n 矩阵，B 是m 维非零列向量，()min{,}r A r m n =<。
线性代数期末考试试卷习题包括答案合集大一期末线性代数试卷习题
大学生校园网—线性代数综合测试题×××大学线性代数期末考试题一、填空题〔将正确答案填在题中横线上。
每题 2 分，共 10 分〕1311. 假设05x 0 ，那么__________ 。
122x1x2x302．假设齐次线性方程组x1x2x30 只有零解，那么应满足。
x1x 2x303．矩阵A，B，C( c ij ) s n，满足AC CB ，那么 A 与 B 分别是阶矩阵。
a a11124．矩阵A a a的行向量组线性。
2122a a31325．n阶方阵A满足A 23A E0，那么A1。
二、判断正误〔正确的在括号内填“√〞，错误的在括号内填“×〞。
每题 2 分，共10 分〕1.假设行列式 D 中每个元素都大于零，那么D 0 。
〔〕2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
〔〕3.向量组 a1， a2，， a m中，如果a1与 a m对应的分量成比例，那么向量组a1， a2，，a s线性相关。
〔〕01001000A 。
〔〕4.A，那么 A1000100105. 假设为可逆矩阵 A 的特征值，那么 A 1的特征值为 。
( )三、单项选择题 ( 每题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每题2 分，共 10 分 )1. 设 A 为 n 阶矩阵，且 A2，那么AAT〔〕。
① 2n② 2n 1③ 2n 1④ 42. n 维向量组 1 ， 2，，s 〔 3 s n 〕线性无关的充要条件是〔 〕。
①1， 2， ， s 中任意两个向量都线性无关②1， 2， ， s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示③1， 2， ， s 中任一个向量都不能用其余向量线性表示共 3 页第 1 页大学生校园网—线性代数综合测试题④中不含零向量1， 2 ，， s3. 以下命题中正确的选项是 () 。
① 任意 n 个 n 1 维向量线性相关 ② 任意 n 个 n 1 维向量线性无关③ 任意 n 1 个 n 维向量线性相关 ④任意 n 1 个 n 维向量线性无关4. 设 A ， B 均为 n 阶方阵，下面结论正确的选项是( )。
长沙理工大学近年高数上期末考题(1)
长沙理工大学考试试卷………………………………………………………………………………………………………………………一、填空题：（本题总分16分，每小题4分）1．已知11xf x x =-()()，为使f x ()在0x =点连续，则应补充定义0f =() ．2．已知225lim 232n a n bn n →∞++=-，则a = ，b = ．3．设f x ()的一个原函数是cos x ，则f x '=() ．4．已知220d sin d d x t t x =⎰ ．二、选择题：（本题总分16分，每小题4分） 1．设f x ()在0x x =处可导，则000limx f x x f x x∆→-∆-=∆()()( )A ．0f x '-()B ．0f x '-()C ．0f x '()D ．02f x '()2．下列函数在1, e []上满足拉格朗日定理条件的是( )A ．ln ln xB ．1ln x C ．ln xD ．ln 2x -() 3．根据估值定理，积分201d 103cos x x+⎰π的值在区间( )内A ．7, 13[]B ．0, 2[]πC ．11, 137⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．22, 137⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ 4．函数3226187f x x x x =--+()的极大值是( )A ．10B ．11C ．17D ．9三、计算题：（本题总分64分，每小题8分） 1．求极限120lim 1xx x →+().2．若隐函数y y x =()由方程22ln arctanyx y x+=()确定，求y x '(). 3．设曲线C 的参数方程是()2e ee e t tt tx y --⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，求曲线C 上对应于ln2t =的点的切线方程.4．求x . 5．求0x ⎰.6．求330+e e d lim2xx t x t tx-→∞⎰. 7．求2 cos d x x x ⎰.8．已知曲线22y x x =-与2g x ax =()围成的图形面积等于323，求常数a . 四、证明题：（本题总分4分，每小题4分）设f x ()在a b [,]上连续，在a b (,)可导，且0f x '≤()，记d xaf t tF x x a=-⎰()()，证明：在a b (,)内有0F x '≤().长沙理工大学考试试卷…………………………………………………………………………………………………………………一、选择题：（本题总分20分，每小题4分）1．极限201sinlimsin x x x x→的值为( ) A ．1 B ．∞ C ．不存在 D ．02．若函数e , 0sin 2, 0ax x f x b x x ⎧<=⎨+≥⎩()在0x =处可导，则a ，b 的值为( )A ．21a b ==,B ．12a b ==,C ．21a b =-=,D ．21a b ==-,3．设函数221xf x x =+()，则f x ()在( ) A ．-∞+∞(,)上单调增加 B ．-∞+∞(,)上单调减少 C ．11-(,)上单调增加，其余区间单调减少 D ．11-(,)上单调减少，其余区间单调增加4．设f x ()连续，则22d d d x tf x t t x -=⎰() ( ) A ．212f x () B ．2xf x () C ．22xf x ()D ．22xf x -() 5．设线性无关的函数123, y y y ,都是二阶非齐次线性方程y p x y q x y f x '''++=()()()的解，12C C ,是任意常数，则该非齐次方程的通解可以是( )A ．11223C y C y y ++B ．1122123C y C y C C y +-+() C ．11221231C y C y C C y +---()D ．11221231C y C y C C y ++--()二、填空题：（本题总分20分，每小题4分） 1．已知函数211f x x =+()，则0f '''=() ． 2．微分方程230y y y '''++=的通解为 ． 3．20ln cos limx xx →= ．4．22sin d 1cos x x x x-⎛⎫+= ⎪+⎝⎭⎰ππ ．5．21ln d 1xx x +∞=+⎰()． 三、解答题：（本题总分60分，每小题10分）1．求函数ln 1sin f x x a x bx x =+++()()，3g x kx =()，若f x ()与g x ()在0x →时是等价无穷小，求a ，b ，k .2．设2arctan 2e 5tx t y ty =⎧⎨-+=⎩确定了函数y y x =()，求y x '(). 3．计算1x ⎰，其中1ln 1d x t f x t t +=⎰()(). 4．证明：21arctan ln 12x x x ≥+().5．过曲线0y x =≥()上点A 做切线，使该切线与曲线及x 轴围成的平面图形D 的面积等于34. (1) 求A 点的坐标；(2) 求平面图形D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 6．设0e d xx f x x t f t t =--⎰()()()，其中f x ()是连续函数，求f x ().长沙理工大学考试试卷…………………………………………………………………………………………………………………一、选择题：（本题总分16分，每小题4分）1．设函数 22f x x x =-<<(),，则1f x -()的值域为( )A ．[0,2)B ．[0,3)C ．[0,2]D ．[0,3] 2．当0x →时，要1cos x -与等价，则a 应等于( )A ．14B ．4C ．12D ．23．设f x ()在0x 点可导，则000limx f x x f x x∆→-∆-=∆()()( )A ．0f x '-()B ．0f x '-()C ．0f x '()D ．02f x '()4．设f x ()在[1,1]-上连续，在(1,1)-内可导，且00f x M f '≤=(),() ，则必有( ) A ．f x M ≥() B ．f x M >() C ．f x M ≤()D ．f x M <()二、填空题：（本题总分20分，每小题4分）1．设x f t y tf t f t '=⎧⎨'=-⎩(),()()，则1d d t y x == ．2．设y f x y =+()，其中f 具有一阶导数，且其一阶导数不等于1，则d d yx= ． 3．设ln y f x =()且f x ''()存在，则22d d yx= ．4．当0a >时，反常积分0e d ax x +∞-=⎰ ．5．微分方程2yy x'=的通解为 ． 三、计算题：（本题总分30分，每小题6分）1．求极限11lim 1ln x x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 2．求函数2ln x y x=的单调区间.3．求不定积分1d 1x x x -⎰().4．求定积分0a x x ⎰，其中0a >. 5．求一阶线性微分方程d 1cos d y y x x x +=满足条件21x y π==的特解. 四、解答题：（本题总分20分，每小题10分）1．已知一平面图形由曲线0, 1, x x y ===x 轴围成，求(1) 此平面图形的面积；(2) 此平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转所成的旋转体的体积. 2．求微分方程e x y y ''+=的通解. 五、应用题：（本题9分）已知制作一个背包的成本为40元，如果一个背包的售出价为x 元，售出的背包数由8040an b x x =-+--()给出，其中a , b 为正常数，问什么样的售出价格能带来最大利润？六、证明题：（本题5分）设f x ()在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且0f x '≤()，记d xaf t t F x x a=-⎰()()，证明：在a b (,)内有0F x '≤().长沙理工大学考试试卷…………………………………………………………………………………………………………………一、选择题：（本题总分16分，每小题4分）1．极限lim 3x x →∞+的值为( )A ．2B ．2-C ．2±D ．不存在2．下列函数f x ()在12-[,]上满足罗尔中值定理条件的是( )A．f x =() B ．2f x x x =() C ．arccos f x x =() D ．cot 2xf x π=()3．下列函数中，哪一个不是sin 2x 的原函数 ( )A ．2sin xB ．2cos x -C ．cos2x -D ．225sin 4cos x x + 4．设f x ()在a b [,]上连续，则d d d ba x f x x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰() ( ) A ．d b af x x ⎰() B ．bf b af a -()() C ．[]d ba x fb f a f x x-+⎰()()()D ．d baf x x xf x +⎰()()二、填空题：（本题总分16分，每小题4分） 1．函数1arcsin 3x f x -=()的定义域为 ． 2．201cos 3limx xx→-= ． 3．设x a y x π=+，则y '= ． 4．若0a <，= ．三、计算题：（本题总分50分，每小题10分）1．计算极限sin cos 30e e lim x x xx x→-. 2．设参数方程(ln sin x t y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，求22d d y x .3．计算不定积分12ln d 1xx x x+-⎰，其中1x <. 4．计算定积分291x -⎰.5．求函数2ln xy x=的单调区间与极值.四、应用题：（本题10分）在曲线21y x =+上求一点M ，使它到点050M (,)的距离最小. 五、证明题：（本题8分）设f x ()在(,)a b 内连续，可导且f x '()单调递增，0x a b ∈(,)，记00000 f x f x x x x x x f x x xϕ-⎧≠⎪-=⎨⎪'=⎩()(),()(),，证明：()x ϕ在(,)a b 内也单调递增.长沙理工大学考试试卷…………………………………………………………………………………………………………………一、填空题：（本题总分20分，每小题4分） 1．如果0x →时，1cos x -与2sin 2xa 是等价无穷小，则a = ． 2．函数22132x f x x x -=-+()的可去间断点为 ．3．函数e x y x -=的拐点为 ．4．已知y =d x y = ．5．微分方程8150y y y '''++=的通解为 ． 二、求下列极限：（本题总分12分，每小题6分）1．1x →； 2．011lim ln 1x x x →⎛⎫- ⎪+⎝⎭().三、求下列导数：（本题总分12分，每小题6分）1．设e sin x y x -=，求y ''； 2．已知tan y x y =+()，求y '. 四、求下列积分：（本题总分18分，每小题6分）1．x ； 2．2e d 1e xx x x +⎰()； 3．0222d 22x x x x -+++⎰. 五、解答题：（本题总分30分，每小题10分）1．当a 为何值时，1sin sin 33y a x x =+在3x π=处有极值？求此极值，并说明是极大值还是极小值.2．求抛物线22y x =与其在点112⎛⎫⎪⎝⎭,处的法线所围成的图形的面积.3．求微分方程2ln xy y x x '+=满足条件119y =-()的解.六、证明题：（本题8分）设f x ()在[0, ]a 上连续，证明：0aaf x dx f a x dx =-⎰⎰()().。
线性代数考试练习题带答案大全(二)
线性代数考试练习题带答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。
(A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．(A )1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥．4．初等矩阵（A ）；(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,,,n ααα线性无关，则（C ）A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关；B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；D. 以上都不对。
二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t7．设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为 。
9．行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R AB =_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。
长沙理工大学往高等数学试题及答案 (2)
长沙理工大学高等数学试题及答案一、单项选择题（本大题共5小题,每小题２分,共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设f(x)=lnx ,且函数ϕ(x)的反函数1ϕ-2(x+1)(x)=x-1，则[]ϕ=f (x)（ ) ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x 2.()002lim 1cos t t x x e e dt x -→+-=-⎰（ )A ．0B ．1C ．－1D.∞ ３.设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导,则必有（ ).lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ∆→∆=∆==∆= 4．设函数,131,1x x x ⎧≤⎨->⎩22x f(x)=,则f(x)在点x=1处（ )A 。
不连续B 。
连续但左、右导数不存在 Ｃ.连续但不可导 D. 可导5.设C +⎰2-x xf(x)dx=e ，则f(x)=（ ）2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e二、填空题（本大题共1０小题,每空3分,共３0分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分。
6.设函数ｆ（x ）在区间[0,１]上有定义,则函数f(x+14)+f （x —14)的定义域是__＿_______. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<=8．arctan lim _________x x x→∞= 9。
已知某产品产量为ｇ时,总成本是2g C(g)=9+800，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC １0。
函数3()2f x x x =+在区间[0,１]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________。
11。
长沙理工大学考试试卷(下册3)
长沙理工大学考试试卷………………………………………………………….…………………………….………………………...试卷编号 3 拟题教研室〔或老师〕签名应化与化工教研室教研室主任签名………………………………………………………….…………………………….………………………...课程名称〔含档次〕化工原理A〔二〕课程代号0811020专业化工、轻工、应化、环工层次〔本、专〕本科考试方式〔开、闭卷〕闭卷一、填空题〔每空1分，共20分〕1、均相物系的别离条件是必须造成一个两相物系，然后依物系中不同组分间某种物性的差异，使其中某个组分从一相转向另一相转移，以到达别离的目的。
2、相对挥发度α值的大小是用来判断某混合液是否能用蒸馏方法别离以及别离的难易程度。
3、所谓理论板是指离开这种板的气液两相组成互成平衡。
4、回流比是保证精馏塔连续操作的必要条件之一，且回流比是影响精馏操作的操作费用和设备费用的重要因素。
5、气体在液体中的溶解度说明在一定条件下吸湿过程可能到达的极限程度。
6、塔设备是能够实现蒸馏和吸收两种别离操作的气液传质设备。
7、相对湿度百分数Ф值可用来判断湿空气能否作为干燥介质，Ф值越小，说明吸湿能力越大。
8、在多效蒸发流程中，平流加料流程适用易结晶物系。
如NaCL 水溶液。
9、无论是哪一种类型的干燥速率曲线，都将干燥过程明显地划分为恒速干燥阶段阶段和降速干燥阶段阶段。
10、临界含水量随物料的性质、厚度及干燥速率不同而异。
二、选择题〔每题1分，共10分〕1、为了在某固定空间造成充分的自然对流，有下面两种说法：1）加热器应置于该空间的上部；2）冷凝器应置于该空间的下部。
正确的结论应该是〔B 〕A.这两种说法都对；B.这两种说法都不对；C.第一种说法对，第二种说法错；D.第二种说法对，第一种说法错。
2、确定换热器总传热系数K的方法有〔BCD 〕。
A.查样本书；B.经验估算；C.公式计算；D.实验测定。
3、以下换热器中属于间壁换热器的有〔ABCD 〕。
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长沙理工大学考试试卷………………………………………………………………………………………………………………试卷编号 1 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名………………………………………………………………………………………………………………课程名称（含档次） 线性代数 课程代号 0701011专 业 全校各专业 层次（本、专） 本科 考试方式（开、闭卷） 闭卷一、判断题（正确答案填√,错误答案填×。
每小题2分，共10分）1.设n 阶方阵C B A ,,可逆且满足E ABC =，则必有 E CBA = （ ）2.设21,ηη==x x 是b AX =的解，则21ηη+=x 是b AX =的解 （ ）3.若矩阵A 的列向量组线性相关，则矩阵A 的行向量组不一定线性相关 （ ）4.设x 表示向量x 的长度，则x x λλ= （ ）5.设21,ηη==x x 是b AX =的解，则21ηη-=x 是0=AX 的解 （ ） 二、填空题：(每小题5分，共20分)1.给出n 阶行列式D ，若TD D -=，则=D ；2.=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nλλλ000000； 3.将矩阵A 的第1行与第5行进行对换，相当于在A 乘以相应的初等矩阵；4.设4=λ是n 阶矩阵A 的一个特征值，则行列式=-|4|A E ，)4(A E R - n ，齐次线性方程组0)4(=-X A E 一定有 解； 三、计算题（每小题10分，共60分）1.yxyx x y x y y x y x+++； 2.2500380********* ；3.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=113111321A ，求1-A ；4.求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+-+=+-+0432043042432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系；5.已知：TT T a a a )1,5,4,3(,)1,2,1,1(,)1,1,2,1(321=-==，试讨论向量组321,,a a a 的线性相关性。
6.求矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=4211A 的特征值与特征向量，并问它们的特征向量是否两两正交； 四、证明题（10分）：已知B A ,，AB E +均为n 阶可逆矩阵，试证明BA E +也是可逆阵；长沙理工大学考试试卷………………………………………………………………………………………………………………试卷编号 2 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名………………………………………………………………………………………………………………课程名称（含档次） 线性代数 课程代号 0701011专 业 全校各专业 层次（本、专） 本科 考试方式（开、闭卷） 闭卷 一、判断题（每小题2分，共10分） 1.2222)(B AB A B A ++=+ （ ）2.属于不同特征值的特征向量是线性无关的 （ ）3.x 表示向量x 的长度，0,0==x x 时 （ ）4.设Ｐ是正交矩阵，则Ｐ的列向量是两两正交的向量 （ ）5.属于同一特征值的特征向量只有一个 （ ） 二、填空题：(每小题5分，共20分)1.计算行列式 231013412-＝ ； 2.若βα,为)0(,≠=b b AX 的解，则βα-或αβ-必为 的解；3.设n 维向量组m ααα,,,:21 T ，当n m >时，T 一定线性 ，含有零向量的向量组一定线性 ；4.设三阶方阵A 有3个特征值2，1，-2，则2A 的特征值为 ； 三、计算题：（每小题10分，共60分）1.222111c b a c b a； 2.解矩阵方程0234311111012110=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--X ；3.设矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=211201111334A ， 求矩阵的秩；4.求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+-+=+-+0432043042432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系；5.已知：TT T a a a )20,13,7(,)7,5,1(,)2,1,3(321-=-=-=，试讨论向量组321,,a a a 的线性相关性。
6.当t 满足什么条件时，二次型23222132124),,(x x x x x x f ++= 312122x x x tx ++是正定的？四、证明题：（10分）设21,λλ是方阵A 的不同特征值，所对应的特征向量分别为21,x x ，证明21x x +不是A 的特征向量；长沙理工大学考试试卷………………………………………………………………………………………………………………试卷编号 3 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名………………………………………………………………………………………………………………课程名称（含档次） 线性代数 课程代号 0701011专 业 全校各专业 层次（本、专） 本科 考试方式（开、闭卷） 闭卷一、判断题（每小题2分，共10分）1.设B A ,均为n 阶方阵，则kkkB A AB =)( （ ）2.设B A ,为可逆矩阵，则分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛B A 00的逆矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1100B A （ ） 3.设21,ηη==x x 是b AX =的解，则21ηη+=x 是0=AX 的解 （ ） 4.设A 是n 阶方阵，0=A ,则A 中必有一列向量为零向量 （ ） 5.对称矩阵对应于两个不同特征值的特征向量是正交的 （ ）二、填空题：(每小题5分，共20分)1.设B A ,为10阶方阵，且,5,3==B A 则=AB 2 ；2.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=21031231B A ，，则 BA AB -＝ ； 3.当 时，)0(,≠=b b AX 有解；4.设A 是n 阶方阵，若2)(-=n A R ，则0=AX 的基础解系所含向量个数是 ； 三、计算题 ：(每小题10分，共60分)1.2111121111211112； 2.设矩阵A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025，求矩阵的逆阵；3.已知两矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x u u B z y x A 212,82相等，求u z y x ,,,的值；4.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++2749422536372432143214321x x x x x x x x x x x x ；5.已知：TT T a a a )1,5,4,3(,)1,2,1,1(,)1,1,2,1(321=-==，试讨论向量组321,,a a a 的线性相关性。
6.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200031011A 的特征值和特征向量，并判断是否可对角化。
四、证明题：（10分）设β可由向量组m ααα,,,21 线性表示，且表示式唯一，试证mααα,,,21 线性无关；长沙理工大学考试试卷………………………………………………………………………………………………………………试卷编号 4 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名………………………………………………………………………………………………………………课程名称（含档次） 线性代数 课程代号 0701011专 业 全校各专业 层次（本、专） 本科 考试方式（开、闭卷） 闭卷一、断题（每小题2分，共10分）1.设A 是n 阶方阵，0=A 则A 中必有两列元素对应成比例 （ ）2.设B A ,为可逆矩阵，则分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛00BA 的逆矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0011B A （ ） 3.设21,ηη==x x 是b AX =的解，则21ηη-=x 是0=AX 的解 （ ） 4.属于不同特征值的特征向量是线性无关的 （ ） 5.设[]y x ,表示两向量y x ,的内积，y x ,为非零向量，[][]y x y x ,,λλλ= （ ） 二、填空题：（每小题5分，共10分） 1.当=λ 时，齐次线性方程组⎩⎨⎧=-=--0202)1(y x y x λ有非零解；2.设A 为三阶矩阵，若已知,||m A =则=-||mA ；3.把矩阵B 的第2列乘以10加到第6列，相当于把B ))10(2,6(E ；4.设A 是n 阶方阵，若5)(-=n A R ，则0=AX 的基础解系所含向量个数是 ； 三、计算题 ：（每小题10分，共60分）1.11110000d b c a t y d b y x c a ；第 1 页（共 2 页）2.若线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+=+-=+414343232121a x x a x x a x x a x x 有解，问常数4321,,,a a a a 应满足的条件？3.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321,111111111B A ，求B A A AB T,23-；4.已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=112,300120112b A 满足b AX =，求X ；5.求向量组,)1,7,3,4(,)3,5,1,2(,)1,2,3,1(321TT T -=-=-=αααT )3,8,13,1(4---=αT )6,30,12,2(5-=α的秩和一个最大线性无关组；6.判别二次312123222132122462),,(x x x x x x x x x x f ++---= 型的正定性：四、证明题：（10分）设n ααα,,,21 是一组n 维向量，已知n 维单位坐标向量n e e e ,,,21 能由他们线性表示，证明n ααα,,,21 线性无关。
长沙理工大学考试试卷………………………………………………………………………………………………………………试卷编号 05 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名………………………………………………………………………………………………………………课程名称（含档次） 线性代数 课程代号 0701011专 业 层次（本、专） 本 考试方式（开、闭卷） 考试(闭卷)一、判断题：(正确填√,错误填×. 每小题２分，共10分)1.若齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式0≠D . ( )2.若方阵A 可逆,则A 为非奇异矩阵． ( )3.如果E A A B B A ==，则*=A B 。
( )4.如果矩阵A 与B 等价，则A 的行向量组与B 的列向量组等价。
( )5.二次型AX X f T=经过一个正交变换y P x =后一定化为标准型.2222211n n y y y λλλ+++ 且n λλλ,,,21 为A 的特征值。
（）二、填空题：(每小题5分，共20分)1.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=A 200012011，则=A -1；2.设B A ,为n 阶方阵，且,3,8=B =A 则=AB -1)( ；3.设s ηηη,,,21 是方程组b X =A 的解向量)0(≠b ，若s s k k k ηηη+++ 2211也是的解，则=+++s k k k 21 ；第 1 页（共 2 页）4.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212121212121000对应的二次型是 ； 三、计算题：(每小题10分，共60分)1.计算四阶行列式=D3214214314324321；2.设三阶方阵B A ,满足B +A =+AB 2E ，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A 101020101，求B ；3.当λ为何值时，矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---λ12443021211的秩（1）为2，（2）为3；4.设.),3,2(,)2,1,3(,)3,2,1(321λααα=-== 问λ取何值时，321,,ααα线性相关？5.求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=+--03678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系；6.设三阶矩阵A 的特征值为1,2,2321=-==λλλ，对应的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011,111,110321p p p ，求A ；四、证明题：(10分)若321,,ηηη为0=A X 的基础解系，则133221,,ηηηηηη+++必是0=A X 的基础解系；第 2 页（共 2 页）长沙理工大学考试试卷………………………………………………………………………………………………………………试卷编号 06 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名………………………………………………………………………………………………………………课程名称（含档次） 线性代数 课程代号 0701011专 业 层次（本、专） 本 考试方式（开、闭卷） 考试(闭卷)一、判断题：(正确填√,错误填×. 每小题２分，共10分)1. 行列式)()2(b a b a ab b b a bbb a -+= ( ) 2. 如果E AB =，则1-=A B 。