概率论与数理统计学1至7章课后答案

一、第六章习题详解

6.1 证明（6.2.1）和(6.2.2)式.

证明： (1) ∑∑∑===+=+==n

i i n i i n i i nb X a n b aX n Y n Y 1

11)(1

)(11

b X a b X n a n

i i +=+=∑=1

)1(

(2) ∑∑==+-+=--=n i i n i i Y

b X a b aX n Y Y n S 1

212

2

)]()[(1)(11 221

2212)(1)]([1X n

i i n i i S a X X n a X X a n =-=-=∑∑==

6.2设n X X X ,,,21 是抽自均值为μ、方差为2

σ的总体的样本, X 与2S 分别为该样本均值。

证明与2

(),()/E X Var X n μσ==. 证：()E X =12121

1

1

[()]()()n n E X X X E X X X n n

n n

μμ++

=

++==

()Var X =22

1212221

1

1[()]()()n n Var X X X E X X X n n

n

n n

σσ++

=++

==

6.3 设n X X X ,,,21 是抽自均值为μ、方差为2

σ的总体的样本,2

21

1()1n

i i S X X n ==--∑, 证明: (1) 2

S =)(11

21

2X n X n n

i i --=

∑= (2) 2()E S =2σ= 证：(1) ∑∑==+--=--=n i i i n i i X X X X n X X n S 1

2212

2

)2(11)(11 ]2)([112112X n X X X n n i i n i i +--=∑∑== ])(2)([11212X n X n X X n n i i +--=∑= )(1121

2X n X n n

i i --=∑=

(2) )(11)(2

122

X n X E n S E n i i --=

∑=)]()([1121

2X nE X E n n

i i --=∑= ]})()([])()([{11212X E X Var n EX X Var n n

i i i +-+-=∑= )}()({1122122μσμσ+-+-=∑=n

n n n

i )]()([11

2222μσμσn n n +-+-=

222)(11σσσ=--=n n

6.4 在例6.2.3 中, 设每箱装n 瓶洗净剂. 若想要n 瓶灌装量的平均阻值与标定值相差不超 过0.3毫升的概率近似为95%, 请问n 至少应该等于多少？ 解：因为1)3.0(2)/3

.0|/(|

)3.0|(|-Φ≈<

-=<-n n

n

X P X P σσμ

μ

依题意有，95.01)3.0(2=-Φn ，即)96.1(975.0)3.0(Φ==Φn

于是 96.13.0=n ，解之得 7.42=n 所以n 应至少等于43.

6.5 假设某种类型的电阻器的阻值服从均值

μ=200 欧姆, 标准差σ=10 欧姆的分布,

在一个电子线路中使用了25个这样的电阻.

(1) 求这25个电阻平均阻值落在199 到202 欧姆之间的概率; (2) 求这25个电阻总阻值不超过5100 欧姆的概率. 解：由抽样分布定理，知

n

X /σμ

-近似服从标准正态分布N (0,1)，因此

(1) )25

/10200199()25/10200

202(

)202199(-Φ--Φ≈≤≤X P

)5.0(1)1()5.0()1(Φ+-Φ=-Φ-Φ=

5328.06915.018413.0=+-= (2) )204()25

5100

()5100(≤=≤=≤X P X P X n P

9772.0)2()25

/10200204(

=Φ=-Φ≈

6.6 假设某种设备每天停机时间服从均值μ=4 小时、标准差σ=0.8小时的分布. (1) 求一个月(30天) 中, 每天平均停机时间在1到5小时之间的概率; (2) 求一个月(30天) 中, 总的停机时间不超过115 小时的概率. 解：(1))30

/8.041(

)30

/8.045(

)/1(

)/5(

)51(-Φ--Φ=-Φ--Φ≈≤≤n

n

X P σμ

σμ

1)54.20()85.6(≈-Φ-Φ=

(2) )30

115

()11530(≤

=≤X P X P 1271.08729.01)14.1(1)30

/8.0430/115(=-=Φ-=-Φ≈

6.7 设~n T t ，证明()0,2,3,

.E T n ==

证：)(n t 分布的概率密度为: +∞<<-∞⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛+Γ+Γ=

+-

t n x n n n x f n ,1)2/(]2/)1[()(2

1

2

π，()()E T xf x dx +∞-∞

==

⎰

=

11

2

2

2

2

2

122

11(1)

10

n n n

x x x dx d n n n

x n ++--

+∞

+∞

-∞

-∞

-+∞

-∞

⎫⎫

+=++⎪

⎪

⎭⎭

⎫=+=⎪⎭

⎰

⎰

6.8 设总体X ~N(150，252), 现在从中抽取样本大小为25的样本, {14014

7.5}P X ≤≤. 解： 已知150=μ，25=σ，25=n ，

)25

/25150

140()25/251505.147()5.147140(-Φ--Φ≈≤≤X P

)5.0()2()2()5.0(Φ-Φ=-Φ--Φ=

2857.09615.09772.0=-=