山西财经大学保险精算课件第五章

& & A = vax − ax x
A
1 x: n
&& = vax : n − ax : n
岁的人， 例：年龄为35岁的人，购买按连续方式给付 年龄为 岁的人 年金额为2000元的生存年金，利率 元的生存年金， 年金额为 元的生存年金 利率i=6%， ， 试求死亡均匀分布假设下终身生存年金的精 算现值。 算现值。 提示：利用公式 提示：
5.2 年付一次的生存年金精算现值
终身生存年金 定期生存年金 延期生存年金 延期定期生存年金
期初、 期初、期末支付的
1.终身生存年金 1.终身生存年金
• (x)的每年 单位元期初付终身生存年金精算现值 的每年1单位元期初付终身生存年金精算现值 的每年
&& ax = ∑k Ex = ∑v k px
5.3 连续生存年金
＊连续年金 1年支付 次，每次支付 年支付m次 每次支付1/m的t年期期 年支付 的 年期期 t 末付年金现值为 1− v
a
(m) t
=
i
(m)
趋于无穷大时为连续年金， 当m趋于无穷大时为连续年金，有 趋于无穷大时为连续年金
at = lim a
(m) m→∞ t
1− v 1− v = lim (m) = m→∞ i δ
n
Ex = A
1 x: n
= v ⋅ n px
n
⇒ lx ⋅ n Ex ⋅ (1+ i) = lx+n
n
例：某人立有遗嘱：其儿子年满21岁时可获 某人立有遗嘱：其儿子年满 岁时可获 得其5万元遗产 其子现年12岁 万元遗产。 得其 万元遗产。其子现年 岁，因有急事需 提前支取这笔遗产。若利率为6%，利用附表1 提前支取这笔遗产。若利率为 ，利用附表 的生命表求其子现在可以支取的金额。 的生命表求其子现在可以支取的金额。 9 解： 500009 E12 = 50000 v 9 p12 −9 l21 = 50000×1.06 ⋅ l12 991353 = 50000× 0.5918985× 995225 = 29479.78 (元)
t
t
1.连续终身生存年金 连续终身生存年金
（）ax = E(aT ) = ∫ at ⋅ fT ( x) (t)dt 1
0
∞
=∫
(2) ax = ∫ v t pxdt
t 0 ∞
∞
1− v
t t
0
δ
pxµx+t dt
例：设随机变量T= T (x)的概率密度函数为 设随机变量 的概率密度函数为
f (t) = 0.015e
=a − nE a
(m) x (m) x
(m) x x+n (m) x x+n
&& a
a
&& && =a − nE a
• UDD假定下的近似公式
(m) x: n
( ) &&xmn a:
m −1 ≈ ax : n + (1− n Ex ) 2m m−1 && ≈ ax : n − (1− n Ex ) 2m
第5 章
生存年金精算现值
Байду номын сангаас
5.1 生存年金的概念 生存年金（ 生存年金（Life Annuity）是以被保险 ） 人存活为条件， 人存活为条件，按预先约定的金额以间隔相 等的时期（ 半年、 等的时期（年、半年、季、月）进行一系列 给付的保险。 给付的保险。
表示1 注：在生存年金研究中，习惯用 n Ex 表示 在生存年金研究中， 单位元纯生存保险的精算现值， 单位元纯生存保险的精算现值，即
1 = δ ax + Ax
5.5 年付m次生存年金的精算现值 年付m • 分类
– 终身年金与定期年金 – 期初付年金与期末付年金 – 延期年金与非延期年金
• 推导思路
– 寻找与一年一次付年金之间的关系
补充： 补充：关于
A
(m) x
的计算
把死亡发生年划分成m个相等的部分， 把死亡发生年划分成 个相等的部分，死亡 个相等的部分 给付在死亡发生的那部分期末进行。这时1单位元 给付在死亡发生的那部分期末进行。这时 单位元 的终身寿险现值以
1 + m
&& a
(m) x
1 = ∑v ⋅ k px m k=0 m
(m) x
k m
• UDD假定下的近似公式 假定下的近似公式
m− m−1 && && a ≈ ax − 2m
(m) x
1= d
(m)
& & a
(m) x
+A
2. n年定期一年m次生存年金 n年定期一年 年定期一年m
a
(m) x： n (m) x： n
1 = δ ax + Ax
T
推导：对终身寿险和连续终身生存年金， 推导：对终身寿险和连续终身生存年金，有
1− v 1 ax = E(aT ) = E( ) = (1− Ax )
T
Ax = E(v )
1 = δ ax + Ax
δ
δ
& & 1 = dax : n + A : n x
1 = δ ax : n + Ax : n
＊利率和生者利下的 累积系数 折现系数
1 1 n lx = n = (1+ i) v ⋅ n px lx+n n Ex
n
Ex = t Ex ⋅ n−t Ex+t
也叫精算累积因子和精算折现因子。 也叫精算累积因子和精算折现因子。
练习: 练习 1. 计算 计算(25)购买 年定期纯生存险的趸缴纯 购买40年定期纯生存险的趸缴纯 购买 保费。利率i＝6％，保险金额为3万元。 保费。利率 ＝ ％，保险金额为 万元。 ％，保险金额为 万元 2. 某年龄为 岁的人以 万元纯保费购买了 某年龄为40岁的人以 岁的人以1万元纯保费购买了 30年纯生存保险，试以附表1计算，他在70 年纯生存保险，试以附表 计算，他在 年纯生存保险 计算 岁可以领取的保险金额。 岁可以领取的保险金额。
解释： 投保时的 单位元等于(x)在存活期 投保时的1单位元等于 解释： (x)投保时的 单位元等于 在存活期 每年初的1单位元的预付利息 和 死亡年末 每年初的 单位元的预付利息d和 (x)死亡年末 单位元的预付利息 1单位元赔付现值之和 单位元赔付现值之和
推导：对终身寿险和终身生存年金， 推导：对终身寿险和终身生存年金，有
m x
延期m年期末付 延期 年期末付 n年定期生存年金 年定期生存年金
a =
精算 现值
k =m+1
∑
∞
k
Ex
mn x
a =
m+n−1 k =m+1
∑
k
Ex
= ax − ax : m = m Ex ⋅ ax+m
= ax : m+n − ax : m = m Ex ⋅ ax+m: n
岁时购买了从60岁起年支付额为 例：某人30岁时购买了从 岁起年支付额为 某人 岁时购买了从 10000元的终身生存年金，求其趸缴净保费。 元的终身生存年金， 元的终身生存年金 求其趸缴净保费。 如果他在68.8岁时死亡，求此人所获年金在 岁时死亡， 如果他在 岁时死亡 30岁时的现值（假定利率为 岁时的现值（ 岁时的现值 假定利率为6% ）。
= m Ex ⋅ ax+m
δ
( Ax : m − Ax )
4.延期m年n年定期连续生存年金 4.延期 延期m
mn
ax = ax : m+n − ax : m = 1
= m Ex ⋅ ax+m: n
δ
( A : m − A : m+n ) x x
5.4 生存年金与寿险的关系
公式一： 公式一：
& & 1 = d ax + A x
0
n
(2) ax:n = ∫ v t pxdt
t 0
n
x 例：设生存函数为 S(x) =1− , 利息力 110
δ = 0.05, 试计算精算现值 a50:10
提示：利用公式 a = 提示： x: n
∫v⋅
t 0
n
t
pxdt
3.延期m年连续生存年金 3.延期 延期m
ax = ax − ax :m m = 1
k k =0 k =0
∞
∞
它是一系列保险期逐步延长的纯生存保险之和
• 期末付终身生存年金
ax = ∑ k Ex = ∑v k px = ax −1 &&
k k =1 k =1
∞
∞
例：某人现年30岁，欲在其生存期间每年年 某人现年 岁 初向保险公司领取50元 则此人在30岁时的 初向保险公司领取 元，则此人在 岁时的 趸缴净保费是多少？ 趸缴净保费是多少？
＊期初付和期末付年金之间的关系
&& ax = ax +1
&& ax : n =1+ ax : n − n Ex
&& ax = m ax + m Ex m
&& ax = m−1 ax m
&& ax = m−1 n ax mn
&& ax : n =1+ ax : n−1
岁起每年6000元的生 例：对于（30）的从 岁起每年 对于（ ）的从60岁起每年 元的生 存年金， 存年金，利息力 δ = 0.03 。死亡密度为
2.定期生存年金 2.定期生存年金
• 期初付定期生存年金
&&x:n = ∑ k Ex = ∑vk ⋅ k px a
k =0 k =0
n−1
n−1
• 期末付定期生存年金
ax:n = ∑ k Ex = ∑v ⋅ k px
k k =1 k =1
n
n
3.延期期初付生存年金 3.延期期初付生存年金
险种 延期m年初付 延期 年初付 终身生存年金 延期m年期初付 延期 年期初付 n年定期生存年金 年定期生存年金
f (x) = 0.02e
−0.02x
.
求保单的趸缴净保费。 求保单的趸缴净保费。
岁的人购买了从60岁起的生存年金 例：某30岁的人购买了从 岁起的生存年金， 岁的人购买了从 岁起的生存年金， 契约规定，在被保险人60岁 契约规定，在被保险人 岁～69岁时每年的 岁时每年的 给付额为6000元，70岁～79岁每年的给付额 给付额为 元 岁 岁每年的给付额 岁以后每年的给付额为8000元。 为7000元，80岁以后每年的给付额为 元 岁以后每年的给付额为 元 用精算符号表示该保单的趸缴净保费。 用精算符号表示该保单的趸缴净保费。
x
加上(x)存活期每年 Ax ，加上 存活期每年 i 元的利息
和死亡年年末i元利息的现值 现值 ia 和死亡年年末 元利息的现值
iAx 。
推导： 推导：
1− v ax = E(aK ) = E( ) i K+1 1− (1+ i)v ) = E( i 1− (1+ i) Ax = i
K
公式三： 公式三：
−0.015t
(t ≥ 0),
ax ，
利息力为0.05。试计算精算现值 。 利息力为
并求该现值足够用于实际支付年金的概率。 并求该现值足够用于实际支付年金的概率。
提示： 提示：利用公式 ax =
∫
∞
1− v
t
0
δ
⋅ f (t)dt
2.连续定期生存年金 连续定期生存年金
(1) ax： = ∫ at ⋅ t px ⋅ µx+t dt + n px ⋅ an n
Ax = E(v
K +1
)
K+1
1− v && && ax = E(aK+1 ) = E( d
即
1− Ax )= d
& & 1 = d ax + A x
公式二： 公式二：
1 = iax + iAx + Ax
解释：x岁时的 单位元等于(x)死亡年末的 元 解释： 岁时的1单位元等于 死亡年末的1元 岁时的 单位元等于 死亡年末的 赔付现值
&& ax = ∑ k Ex m
精算 现值
k =m
∞
&& ax = mn
m+n−1 k =m
∑
k
Ex
&& && = ax − ax : m && = m Ex ⋅ ax+m
&& && = ax : m+n − ax : m && = m Ex ⋅ ax+m : n
延期期末付生存年金
险种 延期m年期末 延期 年期末 终身生存年金
岁的人投保养老年金保险， 例：某30岁的人投保养老年金保险，保险契约 岁的人投保养老年金保险 规定，如果被保险人存活到60岁 规定，如果被保险人存活到 岁，则确定给付 10年年金，若被保险人在 ～69岁间死亡， 年年金， 岁间死亡， 年年金 若被保险人在60～ 岁间死亡 由其指定的受益人继续领取，直到领满10年为 由其指定的受益人继续领取，直到领满 年为 如果被保险人在70岁仍然存活 则从70 岁仍然存活， 止；如果被保险人在 岁仍然存活，则从 岁起以生存为条件得到年金。 岁起以生存为条件得到年金。假设年金每年支 付一次，一次支付6000元。用精算符号表示 付一次，一次支付 元 该保单的趸缴净保费。 该保单的趸缴净保费。
3.延期生存年金 3.延期生存年金
( 表示。 Axm) 表示。
当m趋于无穷大时，有 趋于无穷大时， 趋于无穷大时
Ax = lim A
m→∞
(m) x
A
(m) x
= E(v
= E(v = i i
(m)
K +S( m)
)
1−S( m)
K +1
)E(1+ i)
Ax
1.终身生存年金 1.终身生存年金
• 基本公式
&& a
(m) x
=a
∞
(m) x