离散数学课后练习题答案(第三版)-乔维声-汤维版
离散数学第3版习题答案
离散数学第3版习题答案【篇一：华东师范大学离散数学章炯民课后习题第3章答案】xt>（1）2是正数吗？（2）x2+x+1=0。
（3）我要上学。
（4）明年2月1日下雨。
（5）如果股票涨了，那么我就赚钱。
解：(1) 不是(2) 不是(3) 不是(4) 是(5) 是2. 判断下列命题的真值：（1）若1+1=3，则2+2=4（2）若鸟会飞，则 1+1=3解：(1) 1(2) 011. 将下列两个命题符号化，并分别用真值表和等值演算的方法证明所得到的那两个命题公式是等值的。
（1）你不会休息所以就不会工作，你没有丰富的知识所以你就不会工作；（2）你会工作所以一定会休息并具有丰富的知识。
解：设p：你会休息，q:你会工作，r:你有丰富的知识。
原命题符号化为(1) (?p??q) ?(?r??q)(2) q?(p?r)12.（1）用等值演算的方法证明命题恒等式p?(q?p)=?p?(p??q)。
13. 构造一个只含命题变量p、q和r的命题公式a，满足：p、q和r的任意一个赋值是a的成真赋值当且仅当p、q和r中恰有两个为真。
解：(p?q??r)?( p??q?r)?(?p?q?r)14. 通过等值演算求p?(p?(q?p))的主析取范式和主合取范式。
解：主析取范式：(?p?q)?(?p??q)?(p??q)?(p?q )主合取范式不存在15. 一教师要从3名学生a、b和c中选派1～2人参加市级科技竞赛，需满足以下条件：（1）若a去，则c同去；（2）若b去，则c不能去；（3）若c不去，则a或b可以去。
问该如何选派？解：为此问题建立数学模型。
有三个方案：仅c去，仅b去，仅a和c去16. 证明{?,?}是功能完备集。
17. （1）证明p?(q?s),q,p??r?r?s。
证明：① p??r 前提引入② r 附加前提引入③ p ①②析取三段④ p?(q?s) 前提引入⑤ q?s ③④假言推理⑥ q 前提引入⑦ s ⑤⑥假言推理19. 构造下列推理的形式证明：“今天下午没有出太阳并且今天比昨天冷。
离散数学第3版习题答案
离散数学第3版习题答案离散数学是一门重要的数学学科，它研究的是离散对象和离散结构的数学理论。
离散数学的应用广泛，涉及到计算机科学、信息技术、通信工程等领域。
在学习离散数学的过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题可以加深对知识的理解和掌握。
本文将为大家提供《离散数学第3版》习题的答案，希望能对学习者有所帮助。
第一章：命题逻辑1.1 习题答案：1. (a) 真值表如下：p | q | p ∧ qT | T | TT | F | FF | T | FF | F | F(b) 命题“p ∧ q”的真值表如下：p | q | p ∧ qT | T | TT | F | FF | T | FF | F | F(c) 命题“p ∨ q”的真值表如下：p | q | p ∨ qT | T | TT | F | TF | T | TF | F | F(d) 命题“p → q”的真值表如下：p | q | p → qT | T | TT | F | FF | T | TF | F | T1.2 习题答案：1. (a) 命题“¬(p ∧ q)”等价于“¬p ∨ ¬q”。
(b) 命题“¬(p ∨ q)”等价于“¬p ∧ ¬q”。
(c) 命题“¬(p → q)”等价于“p ∧ ¬q”。
(d) 命题“¬(p ↔ q)”等价于“(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)”。
1.3 习题答案：1. (a) 命题“p → q”的否定是“p ∧ ¬q”。
(b) 命题“p ∧ q”的否定是“¬p ∨ ¬q”。
(c) 命题“p ↔ q”的否定是“(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)”。
(d) 命题“p ∨ q”的否定是“¬p ∧ ¬q”。
1.4 习题答案：1. (a) 命题“p → q”与命题“¬p ∨ q”等价。
离散数学第3版习题答案
离散数学第3版习题答案
《离散数学第3版习题答案》
离散数学是一门重要的数学分支，它研究的是离散的结构和对象，而不是连续的。
离散数学第3版是一本经典的教材，它包含了大量的习题，这些习题涵盖了离散数学的各个方面，包括集合论、图论、逻辑、代数结构等。
在学习离散数学的过程中，习题是非常重要的，它们可以帮助我们巩固所学的知识，提高我们的解决问题的能力。
本文将为大家提供离散数学第3版习题的答案，希望能够帮助大家更好地学习和理解离散数学。
在这里，我们将逐个习题进行解答，并给出详细的步骤和解题思路。
通过这些答案，希望能够帮助大家更好地理解离散数学的知识点，提高解题能力。
在学习离散数学的过程中，我们要注重理论知识的掌握，同时也要注重实际问题的解决能力。
离散数学的知识可以帮助我们更好地理解计算机科学、信息技术等领域的知识，它对我们的学习和工作都有很大的帮助。
通过学习离散数学第3版习题答案，我们可以更好地理解离散数学的知识点，提高我们的解题能力，为我们的学习和工作打下坚实的基础。
希望大家能够认真对待每一个习题，通过不断地练习和思考，掌握离散数学的知识，提高自己的数学素养。
离散数学课后习题+答案
离散数学习题答案习题一1. 判断下列句子是否为命题？若是命题说明是真命题还是假命题。
（1）3是正数吗？（2）x＋1=0。
（3）请穿上外衣。
（4）2＋1＝0。
（5）任一个实数的平方都是正实数。
（6）不存在最大素数。
（7）明天我去看电影。
（8）9＋5≤12。
（9）实践出真知。
（10）如果我掌握了英语、法语，那么学习其他欧洲语言就容易多了。
解：（1）、（2）、（3）不是命题。
（4）、（8）是假命题。
（5）、（6）、（9）、（10）是真命题。
（7）是命题，只是现在无法确定真值。
2. 设P表示命题“天下雪”，Q表示命题“我将去书店”，R表示命题“我有时间”，以符号形式写出下列命题。
（1）如果天不下雪并且我有时间，那么我将去书店。
（2）我将去书店，仅当我有时间。
（3）天不下雪。
（4）天下雪，我将不去书店。
解：（1）（┐P∧R）→Q。
（2）Q→R。
（3）┐P。
（4）P→┐Q。
3. 将下列命题符号化。
（1）王皓球打得好，歌也唱得好。
（2）我一边看书，一边听音乐。
（3）老张和老李都是球迷。
（4）只要努力学习，成绩会好的。
（5）只有休息好，才能工作好。
（6）如果a和b是偶数，那么a+b也是偶数。
（7）我们不能既游泳又跑步。
（8）我反悔，仅当太阳从西边出来。
（9）如果f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处可微。
反之亦然。
（10）如果张老师和李老师都不讲这门课，那么王老师就讲这门课。
（11）四边形ABCD是平行四边形，当且仅当ABCD的对边平行。
（12）或者你没有给我写信，或者信在途中丢失了。
解：（1）P：王皓球打得好，Q：王皓歌唱得好。
原命题可符号化：P∧Q。
（2）P：我看书，Q：我听音乐。
原命题可符号化：P∧Q。
（3）P：老张是球迷，Q：老李是球迷。
原命题可符号化：P∧Q。
（4）P：努力学习，Q：成绩会好。
原命题可符号化：P→Q。
（5）P：休息好，Q：工作好。
原命题可符号化：Q→P。
（6）P：a是偶数，Q：b是偶数，R：a+b是偶数。
离散数学习题答案解析
离散数学习题答案解析(总16页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--离散数学习题答案习题一及答案：（P14-15）14、将下列命题符号化：（5）李辛与李末是兄弟解：设p：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p（6）王强与刘威都学过法语∧解：设p：王强学过法语；q：刘威学过法语；则命题符号化的结果是p q（9）只有天下大雨，他才乘班车上班→解：设p：天下大雨；q：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p （11）下雪路滑，他迟到了解：设p：下雪；q：路滑；r：他迟到了；则命题符号化的结果是()∧→p q r 15、设p：2+3=5.q：大熊猫产在中国.r：太阳从西方升起.求下列复合命题的真值：（4）()(())∧∧⌝↔⌝∨⌝→p q r p q r解：p=1，q=1，r=0，∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔，p q r()(110)1p q r⌝∨⌝→⇔⌝∨⌝→⇔→⇔(())((11)0)(00)1∴∧∧⌝↔⌝∨⌝→⇔↔⇔()(())111p q r p q r19、用真值表判断下列公式的类型：（2）()→⌝→⌝p p q解：列出公式的真值表，如下所示：由真值表可以看出公式有3个成真赋值，故公式是非重言式的可满足式。
20、求下列公式的成真赋值： （4）()p q q ⌝∨→解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：()10p q q ⌝∨⇔⎧⎨⇔⎩⇒0p q ⇔⎧⎨⇔⎩ 所以公式的成真赋值有：01，10，11。
习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ⌝→∧∧解：原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨，此即公式的主析取范式， 所以成真赋值为011，111。
*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： （2）()()p q p r ∧∨⌝∨解：原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔，此即公式的主合取范式， 所以成假赋值为100。
离散数学习题答案
离散数学习题答案习题一及答案：（P14-15）14、将下列命题符号化：（5）李辛与李末是兄弟解：设p ：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p（6）王强与刘威都学过法语解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的结果是p q ∧（9）只有天下大雨，他才乘班车上班解：设p ：天下大雨；q ：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p →（11）下雪路滑，他迟到了解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r ∧→15、设p ：2+3=5.q ：大熊猫产在中国.r ：太阳从西方升起.求下列复合命题的真值：（4）()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→解：p=1，q=1，r=0， ()(110)1p q r ∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔，(())((11)0)(00)1p q r ⌝∨⌝→⇔⌝∨⌝→⇔→⇔()(())111p q r p q r ∴∧∧⌝↔⌝∨⌝→⇔↔⇔19、用真值表判断下列公式的类型：（2）()p p q →⌝→⌝解：列出公式的真值表，如下所示：20、求下列公式的成真赋值：（4）()p q q ⌝∨→解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：()10p q q ⌝∨⇔⎧⎨⇔⎩⇒00p q ⇔⎧⎨⇔⎩ 所以公式的成真赋值有：01，10，11。
习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（2）()()p q q r ⌝→∧∧解：原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨，此即公式的主析取范式，所以成真赋值为011，111。
*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：（2）()()p q p r ∧∨⌝∨解：原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔，此即公式的主合取范式， 所以成假赋值为100。
离散数学 习题答案
命题公式 不必写 不必写 不必写 不必写
S∧¬W∧W∧Q∧¬S∧W=0 S∧¬W∧W∧Q∧S∧¬W=0
不必写 S∧¬W∧¬W∧Q∧¬S∧W=0
略
习题二
一、分别用等算演算与真值表法，判断下列公式是否存在主 析取范式或主合取范式，若有，请写出来。
(1)(¬p→q)→(¬q∨p) (2)(¬p→q)→(q∧r) (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) (4) ¬(q→¬p)∧¬p (5)(p∧q)∨(¬p∨r) (6)(p→(p∨q))∨r (7)(p∧q)∨r (8) (p→q)∧(q→r) (9) (p∧q)→q (10) ¬(r↔p)∧p∧q 解：(1)
p q ¬p (¬p→q) ¬q (¬q∨p) (¬p→q)→(¬q∨p)
001
0
1
1
1
011
1
0
0
0
100
1
1
1
1
110
1
0
1
1
存在主析取范式=成真赋值对应的小项的析取
=m ∨m ∨m =(¬p∧¬q)∨(p∧¬q)∨(p∧q)
00
10
11
主析取范式=成假赋值对应的大项的合取
=M =p∨¬q
01
等值演算：
(8) (p→q)∧(q→r) p q r (p→q) (q→r)
(p→q)∧(q→r)
00 0
1
1
1
00 1
1
1
1
01 0
1
0
0
01 1
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10 0
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11 0
离散数学课后习题答案
离散数学课后习题答案1.3.1习题1.1解答1设S = {2，a，{3}，4}，R ={{a}，3，4，1}，指出下⾯的写法哪些是对的，哪些是错的？{a}∈S,{a}∈R,{a,4,{3}}?S,{{a},1,3,4}?R,R=S,{a}?S,{a}?R,φ?R,φ?{{a}}?R?E,{φ}?S,φ∈R,φ?{{3},4}。
解：{a}∈S ，{a}∈R ，{a，4，{3}} ? S ，{{a}，1，3，4 } ? R ，R = S ，{a}?S ，{a}? R ，φ? R ，φ? {{a}} ? R ? E ，{φ} ? S ，φ∈R ，φ? {{3}，4 }2写出下⾯集合的幂集合{a，{b}}，{1，φ}，{X，Y，Z}解：设A={a，{b}}，则ρ(A)={ φ，{a}，{{b}}，{a，{b}}}；设B={1，φ}，则ρ(B)= { φ，{1}，{φ}，{1，φ}}；设C={X，Y，Z}，则ρ(C)= { φ，{X}，{Y}，{Z}，{X，Y }，{X，Z }，{ Y，Z }，{X，Y，Z}}；3对任意集合A，B，证明：(1)A?B当且仅当ρ(A)?ρ(B)；(2)ρ(A)?ρ(B)?ρ(A?B)；(3)ρ(A)?ρ(B)=ρ(A?B)；(4)ρ(A-B) ?(ρ(A)-ρ(B)) ?{φ}。
举例说明：ρ(A)∪ρ(B)≠ρ( A∪B)证明：(1)证明：必要性，任取x∈ρ(A)，则x?A。
由于A?B，故x?B，从⽽x∈ρ(B)，于是ρ(A)?ρ(B)。
充分性，任取x∈A，知{x}?A，于是有{x}∈ρ(A)。
由于ρ(A)?ρ(B)，故{x}∈ρ(B)，由此知x∈B，也就是A?B。
（2）证明：任取X∈ρ(A)∪ρ(B)，则X∈ρ(A)或X∈ρ(B)∴X?A或X?B∴X?(A∪B)∴X∈ρ(A∪B)所以ρ(A)∪ρ(B) ?ρ( A∪B)（3）证明：先证ρ(A)∩ρ(B) ?ρ( A∩B)任取X∈ρ(A)∩ρ(B)，则X∈ρ(A)且X∈ρ(B)∴X?A且X?B∴X? A∩B∴X∈ρ( A∩B)所以ρ(A)∩ρ(B) ?ρ( A∩B)再证ρ( A∩B) ?ρ(A)∩ρ(B)任取Y∈ρ(A∩B)，则Y? A∩B∴Y?A且Y?B∴Y∈ρ(A)且Y∈ρ(B)∴Y∈ρ(A)∩ρ(B)所以ρ( A∩B) ?ρ(A)∩ρ(B)故ρ(A)∩ρ(B) = ρ( A∩B)得证。
《离散数学1-7习题解答
p q r 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1
¬p ∧ ¬q ∨ p∧r 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1
2.4. 用等值演算法证明下面等值式: (1) p⇔ (p∧q) ∨ (p∧¬q) (3) ¬ (p↔q) ⇔ (p∨q) ∧¬ (p∧q) (4) (p∧¬q) ∨ (¬p∧q) ⇔ (p∨q) ∧¬ (p∧q) (1) (p∧q) ∨ (p∧¬q) ⇔ p ∧ (q¬∨q) ⇔ p ∧ 1 ⇔ p. (3) ¬ (p↔q)
4
(1)p→ (p∨q∨r) (2)(p→¬q) →¬q (3) ¬ (q→r) ∧r (4)(p→q) → (¬q→¬p) (5)(p∧r) ↔ ( ¬p∧¬q) (6)((p→q) ∧ (q→r)) → (p→r) (7)(p→q) ↔ (r↔s)
离散数学习题解 (1), (4), (6)为重言式. (3)为矛盾式. (2), (5), (7)为可满足式. 1.20． 1.21． 1.22． 1.23． 1.24． 1.25． 1.26． 1.27． 1.28． 1.29． 1.30． 1.31． 略 略 略 略 略 略 略 略 略 略 略 将下列 命题符号化, 并给出各命题的 真值:
5
(1)若 3+＝4, 则地球是静止不动的. (2)若 3+2＝4, 则地球是运动不止的. (3)若地球上没有树木, 则人类不能生存. (4)若地球上没有水, 则 3 是无理数. (1)p→q, 其中, p: 2+2＝4, q: 地球静止不动, 真值为 0. (2)p→q, 其中, p: 2+2＝4, q: 地球运动不止, 真值为 1. (3) ¬p→¬q, 其中, p: 地球上有树木, q: 人类能生存, 真值为 1. (4) ¬p→q, 其中, p: 地球上有水, q: 3 是无理数, 真值为 1.
[离散数学课后习题答案]离散数学课后习题答案（第一章）
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[离散数学课后习题答案]离散数学课后习题答案(第一章)篇一: 离散数学课后习题答案1-1，1-2指出下列哪些语句是命题，那些不是命题，如果是命题，指出它的真值。
离散数学是计算机科学系的一门必修课。
是命题，真值为T。
b)计算机有空吗？不是命题。
c)明天我去看电影。
是命题，真值要根据具体情况确定。
d)请勿随地吐痰。
不是命题。
e)不存在最大的质数。
是命题，真值为T。
f)如果我掌握了英语，法语，那么学习其他欧洲语言就容易多了。
是命题，真值为T。
g)9+5≤12.是命题，真值为F。
h)X=3.不是命题。
i)我们要努力学习。
不是命题。
举例说明原子命题和复合命题。
原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
设P表示命题“天下雪。
”Q表示“我将去镇上。
”R表示命题“我有时间。
”以符号形式写出下列命题a)如果天不下雪和我有时间，那么我将去镇上。
b)我将去镇上，仅当我有时间时。
c)天不下雪。
d)天下雪，那么我不去镇上。
用汉语写出一些句子，对应下列每一个命题。
a)Q?Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q?:我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
→QQ→R ┓PP→┓Qb)R∧QR:我在看电视。
[)Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c)∧Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
∧:一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
将下列命题符号化。
a)王强身体很好，成绩也很好。
设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)小李一边看书，一边听音乐。
设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)气候很好或很热。
设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)如果a和b是偶数，则a+b是偶数。
设P：a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)四边形ABCD是平行四边形，当且仅当它的对边平行。
设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q：四边形ABCD的对边平行。
P?Qf)停机的原因在于语法错误或程序错误。
离散数学课后练习题答案(第三版)_乔维声_汤维版
、命题逻辑1.用形式语言写出下列命题：(1)如果这个数是大于1 的整数，则它的大于1 最小因数一定是素数。
(2)如果王琳是学生党员又能严格要求自己，则她一定会得到大家的尊敬。
(3)小王不富有但很快乐。
(4)说逻辑学枯燥无味或毫无价值都是不对的。
(5)我现在乘公共汽车或者坐飞机。
(6)如果有雾，他就不能搭船而是乘车过江。
解：(1)设P：这个数是大于1 的整数。
Q：这个数的大于1 最小因数是素数。
则原命题可表示为：P→Q。
或：设P1：这个数大于1。
P2：这个数是整数。
Q：这个数的大于1 最小因数是素数。
则原命题可表示为：P1∧ P2→Q。
(2)设P：王琳是学生。
Q：王琳是党员。
R：王琳能严格要求自己。
S：王琳会得到大家的尊敬。
则原命题可表示为：P ∧Q∧R→ S。
(3)设P：小王富有。
Q：小王很快乐。
则原命题可表示为：⌝P ∧Q。
(4)设P：逻辑学枯燥无味。
Q：逻辑学毫无价值。
则原命题可表示为：⌝( P∨Q)。
(5)设P：我现在乘公共汽车。
Q：我现在坐飞机。
则原命题可表示为：P⎺∨Q。
(6)设P：天有雾。
Q：他搭船过江。
R：他乘车过江。
则原命题可表示为：P →⌝ Q∧R。
2.设P：天下雪。
Q：我将进城。
R：我有时间。
将下列命题形式化：(1)天不下雪，我也没有进城。
(2)如果我有时间，我将进城。
(3)如果天不下雪而我又有时间的话，我将进城。
解：原命题可分别表示为：(1)⌝P ∧⌝ Q。
(2)R→Q。
(3)⌝P ∧ R→Q。
3.将P、Q、R所表示的命题与上题相同，试把下列公式翻译成自然语言：(1)R∧Q(2)⌝(R∨Q)(3)Q↔(R∧⌝P)(4)(Q→R)∧(R→Q)解：(1)原公式可翻译为：我有时间而且我将进城。
(2)⌝(R∨Q) ⇔⌝R∧⌝Q。
原公式可翻译为：我没有时间也没有进城。
(3)我将进城当且仅当我有时间而且天不下雪。
(4)(Q→R)∧(R→Q) ) ⇔(Q∧R) ∨ (⌝Q ∧⌝ R) ⇔ Q↔R。
离散数学第三版课后习题答案
离散数学第三版课后习题答案【篇一：离散数学(第三版)陈建明,刘国荣课后习题答案】念分析结构思想与推理证明第一部分集合论刘国荣交大电信学院计算机系离散数学习题解答习题一（第一章集合）1. 列出下述集合的全部元素：1）a={x | x ∈n∧x是偶数∧ x＜15}2）b={x|x∈n∧4+x=3} 3）c={x|x是十进制的数字} [解] 1）a={2，4，6，8，10，12，14}2）b=?3）c={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9} 2. 用谓词法表示下列集合： 1）{奇整数集合}2）{小于7的非负整数集合}3）{3，5，7，11，13，17，19，23，29} [解] 1）{n?n?i?(?m?i)(n=2m+1)}；2）{n?n?i?n?0?n7}；3）{p?p?n?p2?p30??(?d?n)(d?1?d?p?(?k?n)(p=k?d))}。
3. 确定下列各命题的真假性： 1） 2）?∈? 3）??{?} 4）?∈{?}5）{a，b}?{a，b，c，{a，b，c}} 6）{a,b}∈(a，b，c，{a，b，c}) 7）{a，b}?{a，b，{{a，b，}}} 8）{a，b}∈{a，b，{{a，b，}}} [解]1）真。
因为空集是任意集合的子集； 2）假。
因为空集不含任何元素； 3）真。
因为空集是任意集合的子集； 4）真。
因为?是集合{?}的元素；5）真。
因为{a，b}是集合{a，b，c，{a，b，c}}的子集； 6）假。
因为{a,b}不是集合{a，b，c，{a，b，c}}的元素；7）真。
因为{a，b}是集合{a，b，{{a，b}}}的子集； 8）假。
因为{a,b}不是集合{a，b，{{a，b}}}的元素。
4. 对任意集合a，b，c，确定下列命题的真假性： 1）如果a∈b∧b∈c，则a∈c。
2）如果a∈b∧b∈c，则a∈c。
3）如果a?b∧b∈c，则a∈c。
[解] 1）假。
例如a={a}，b={a，b}，c={{a}，{b}}，从而a∈b∧b∈c但a∈c。
离散数学课后答案
离散数学课后答案第一章离散数学基础题目1问题：证明集合A和集合B的笛卡尔积的基数等于集合A 和集合B的基数的乘积。
答案：设集合A的基数为|A|，集合B的基数为|B|。
我们要证明集合A和集合B的笛卡尔积的基数等于集合A和集合B的基数的乘积，即|(A x B)| = |A| * |B|。
首先，我们可以将集合A x B表示为{(a, b) | a∈A, b∈B}。
由于A和B是两个集合，集合A x B中的元素可以看作是将A 中每个元素与B中每个元素组成的有序对。
因此，集合A x B 中的元素个数等于A中元素的个数乘以B中元素的个数，即|(A x B)| = |A| * |B|。
题目2问题：对任意两个集合A和B，证明A∩(A∪B) = A。
答案：要证明A∩(A∪B) = A，首先我们需要理解集合的交和并的定义。
- 集合的交：集合A∩B表示同时属于集合A和集合B的元素组成的集合。
- 集合的并：集合A∪B表示属于集合A或集合B的元素组成的集合。
现在，我们开始证明。
首先，根据集合的并的定义，A∪B 表示属于集合A或集合B的元素组成的集合。
因此，任意属于集合A的元素也一定属于A∪B，即A⊆A∪B。
其次，根据集合的交的定义，A∩(A∪B)表示同时属于集合A和集合A∪B的元素组成的集合。
由于A⊆A∪B，所以A中的元素一定属于A∪B，因此A∩(A∪B) = A。
综上所述，对任意两个集合A和B，A∩(A∪B) = A成立。
第二章命题逻辑题目1问题：证明合取命题的真值表达式。
答案：合取命题的真值表达式表示命题P和命题Q同时为真时合取命题为真，否则为假。
假设命题P和命题Q的真值分别为真（T）或假（F），那么合取命题的真值可以通过以下真值表得出：P Q P∧QT T TT F FF T FF F F从上述真值表可以看出，只有P和Q都为真时，合取命题才为真。
如果其中一个或两个命题为假，则合取命题为假。
题目2问题：证明命题的等价关系。
(完整版)《离散数学》试题及答案解析,推荐文档
则在解释 I 下取真值为 1 的公式是( ).
(A)xyP(x,y) (B)xyP(x,y) (C)xP(x,x) (D)xyP(x,y). 6. 若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是( ).
(A)(1,2,2,3,4,5) (B)(1,2,3,4,5,5) (C)(1,1,1,2,3) (D)(2,3,3,4,5,6). 7. 设 G、H 是一阶逻辑公式，P 是一个谓词，G＝xP(x), H＝xP(x),则一阶逻辑公式
(A)下界 (B)上界 (C)最小上界
(D)以上答案都不对
6
4 下列语句中，( )是命题。
5
(A)请把门关上 (B)地球外的星球上也有人 (C)x + 5 > 6 (D)下午有会吗？
3
4
2
5 设 I 是如下一个解释：D＝{a,b}, P(a, a) P(a, b) P(b, a) P(b, b)
1
1010
AB＝_________________________;A－B＝ _____________________ . 7. 设 R 是集合 A 上的等价关系，则 R 所具有的关系的三个特性是______________________,
________________________, _______________________________. 8. 设命题公式 G＝(P(QR))，则使公式 G 为真的解释有
(1)
1
4
2
3
1 0 0 0
(2)
MR
1 1
1 1
0 1
0 0
1 1 1 1
3. (1)•＝((x))＝(x)+3＝2x+3＝2x+3.
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离散数学课后练习题答案(第三版)-乔维声-汤维版、命题逻辑1. 用形式语言写出下列命题：(1) 如果这个数是大于1 的整数，则它的大于1 最小因数一定是素数。
(2) 如果王琳是学生党员又能严格要求自己，则她一定会得到大家的尊敬。
(3) 小王不富有但很快乐。
(4) 说逻辑学枯燥无味或毫无价值都是不对的。
(5) 我现在乘公共汽车或者坐飞机。
(6) 如果有雾，他就不能搭船而是乘车过江。
解： (1)设P ：这个数是大于1 的整数。
Q ：这个数的大于1 最小因数是素数。
则原命题可表示为：P →Q 。
或：设P 1：这个数大于1。
P 2：这个数是整数。
Q ：这个数的大于1 最小因数是素数。
则原命题可表示为：P 1∧ P 2→Q 。
(2)设P ：王琳是学生。
Q ：王琳是党员。
R ：王琳能严格要求自己。
S ：王琳会得到大家的尊敬。
则原命题可表示为：P ∧Q ∧R → S 。
(3)设P ：小王富有。
Q ：小王很快乐。
则原命题可表示为：⌝P ∧Q 。
(4)设P ：逻辑学枯燥无味。
Q ：逻辑学毫无价值。
则原命题可表示为：⌝( P ∨Q)。
(5)设P ：我现在乘公共汽车。
Q ：我现在坐飞机。
则原命题可表示为：P ⎺∨Q 。
(6)设P ：天有雾。
Q ：他搭船过江。
R ：他乘车过江。
则原命题可表示为：P →⌝ Q ∧R 。
2.设P ：天下雪。
Q ：我将进城。
R ：我有时间。
将下列命题形式化： (1) 天不下雪，我也没有进城。
(2) 如果我有时间，我将进城。
(3) 如果天不下雪而我又有时间的话，我将进城。
解：原命题可分别表示为：(1) ⌝P ∧⌝ Q 。
(2) R →Q 。
(3) ⌝P ∧ R →Q 。
3. 将P 、Q 、R 所表示的命题与上题相同，试把下列公式翻译成自然语言： (1) R ∧Q (2) ⌝(R ∨Q) (3) Q ↔(R ∧⌝P) (4) (Q →R)∧(R →Q)解： (1) 原公式可翻译为：我有时间而且我将进城。
(2) ⌝(R ∨Q) ⇔⌝R ∧⌝Q 。
原公式可翻译为：我没有时间也没有进城。
(3) 我将进城当且仅当我有时间而且天不下雪。
(4)(Q →R)∧(R →Q) ) ⇔(Q ∧R) ∨ (⌝Q ∧⌝ R) ⇔ Q ↔R 。
原公式可翻译为：如果我进城，我就有时间；如果我有时间，我就进城。
或：我进城而且我有时间，或者我没有进城而且我也没有时间。
或：我进城当且仅当我有时间。
4. 构造下列命题公式的真值表： (1) Q ∧(P →Q)→P (2) (P ∧⌝Q)∨(R ∧Q)→R (3) ((P ∨Q)→(Q ∨R))→(P ∧⌝R) (4) ((⌝P →(P ∧⌝Q))→R)∨(Q ∧⌝R) 解： (1)Q ∧(P →Q)→P 是含二个变元的三层复合命题，其真值表如下表所示： P Q P →Q Q ∧(P →Q) Q ∧(P →Q)→P 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 15. (P ∧⌝Q)∨(R ∧Q)→R 是含三个变元的四层复合命题，其真值表如下表所示：P Q R ⌝QR ∧Q P ∧⌝Q (P ∧⌝Q)∨(R ∧Q) (P ∧⌝Q)∨(R∧Q)→R 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 10 0 0 10 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 11 1 1 1(6)(P →Q)∧(Q →P)→(⌝P ∧Q) 是含二个变元的三层复合命题，其真值表如下表所示：P Q ⌝P P →Q Q →P⌝P ∧Q (P →Q)∧(Q →P) (P →Q)∧(Q →P)→(⌝P ∧Q) 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 01 1 0 1 06. 所以(P →Q)∧(Q →P)→(⌝P ∧Q)既不是重言式又不是矛盾式（或，是可满足式）。
7.Q ∧(P →Q)→(P →⌝Q) 是含二个变元的三层复合命题，其真值表如下表所示：P Q ⌝Q P →Q Q ∧(P →Q) P →⌝Q Q ∧(P →Q)→(P→⌝Q) 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 10 1 1 0(8)(P ↔Q)→(P ∧Q →P) 是含二个变元的三层复合命题，其真值表如下表所示：P Q P ∧Q P ↔Q P ∧Q →P (P ↔Q)→(P ∧Q →P) 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1(10)记((P →Q)∨(R →S))→(P ∨R →Q ∨S) 为A ，它是含四个变元的三层复合命题，其真值表如下表所示：P Q R S P ∨R Q ∨S P →Q R →S (P →Q)∨(R →S ) P ∨R →Q ∨S A 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 10 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11(11)所以((P→Q)∨(R→S))→(P∨R→Q∨S) 既不是重言式又不是矛盾式（或，是可满足式）。
(12)用推导法证明下列命题公式是等价的：(13)P→(Q→P)⇔⌝P→(P→Q)(14)⌝(P↔Q)⇔(P∧⌝Q)∨(⌝P∧Q)(15)⌝(P∧Q)→(⌝P∨(⌝P∨Q))⇔(⌝P∨Q)(16)(P→Q)∧(R→Q)⇔ P∨R→Q(17)P→(Q→R)⇔(P→⌝Q)∨(P→R)(18)(Q∧R→S)∧ (R→ P∨S) ⇔ R∧(P→Q)→S(19)证明：(20)P→(Q→P)⇔(P∧Q)→P(21)⇔⌝(P∧Q)∨P(22)⇔(⌝P∨⌝Q)∨ P(23)⇔(⌝P∨ P)∨⌝Q(24)⇔1∨⌝Q(25)⇔1(26)⌝P→(P→Q) ⇔(⌝P∧P)→ Q(27)⇔0→ Q(28)⇔1(29)所以P→(Q→P)⇔⌝P→(P→Q)。
(30)⌝(P↔Q)⇔⌝((P→Q) ∧(Q→P))(31)⇔⌝(P→Q) ∨⌝ (Q→P)(32)⇔⌝(⌝P∨Q) ∨⌝(⌝Q∨P)(33)⇔(P∧⌝Q)∨(Q ∧⌝P)(34)⇔(P∧⌝Q)∨(⌝P∧Q)(35)⌝(P∧Q)→(⌝P∨(⌝P∨Q))⇔ (P∧Q) ∨ (⌝P∨(⌝P∨Q))(36)⇔(P∧Q) ∨ ((⌝P∨⌝P)∨Q)(37)⇔(P∧Q) ∨ (⌝P∨Q)(38)⇔( (P∧Q) ∨ Q) ∨⌝P(39)⇔ Q ∨⌝P(40)⇔⌝P∨Q(41)(P→Q)∧(R→Q)⇔(⌝P∨Q)∧(⌝R∨Q)(42)⇔( (⌝P∨Q)∧⌝R)∨( (⌝P∨Q)∧Q)(43)⇔( ⌝P∧⌝R) ∨(Q∧⌝R)∨Q(44)⇔⌝ ( P∨R) ∨Q(45)⇔P∨R→Q(46)P→(Q→R)⇔ (P∧Q)→R(47)⇔⌝ (P∧Q) ∨R(48)(P→⌝Q)∨(P→R) ⇔ (⌝P∨⌝Q)∨( ⌝P∨R)(49)⇔( (⌝P∨⌝Q)∨⌝P)∨R(50)⇔(⌝P∨⌝Q) ∨R(51)⇔⌝ (P∧Q) ∨R(52)所以P→(Q→R)⇔ (P→⌝Q)∨(P→R)。
(53)(Q∧R→S)∧ (R→ P∨S) ⇔ (⌝ (Q∧R) ∨S)∧ (⌝R∨ P∨S)(54)⇔ (⌝Q∨⌝R∨S)∧ (⌝R∨ P∨S)(55)⇔ (⌝Q∨(⌝R∨S) )∧ (P ∨ (⌝R ∨S) )(56)⇔(⌝Q∨(⌝R∨S) )∧ P∨ (⌝Q∨(⌝R∨S) ) ∧ (⌝R ∨S)(57)⇔(⌝Q∨(⌝R∨S) )∧ P∨ (⌝R ∨S)(58)⇔(⌝Q∧ P )∨((⌝R∨S) ∧ P)∨ (⌝R ∨S)(59)⇔(⌝Q∧ P )∨ (⌝R ∨S)(60)R∧(P→Q)→S⇔ R∧(⌝P∨Q)→S(61)⇔⌝(R∧(⌝P∨Q) ) ∨S(62)⇔ (⌝R∨⌝ (⌝P∨Q) ) ∨S(63)⇔ (⌝R∨ (P∧⌝Q) ) ∨S(64)⇔ (P∧⌝Q) ∨(⌝R∨S)(65)所以(Q∧R→S)∧ (R→ P∨S) ⇔ R∧(P→Q)→S。
(66)用分析法证明下列蕴含重言式：(67)P∧Q⇒P→Q(68)P→Q⇒P→ P∧Q(69)P⇒⌝P→Q(70)P→(Q→R)⇒(P→Q)→ (P→R)(71)(P→Q)∧(Q→R)⇒P→R(72)证明：(73)若P∧Q为真，则P与Q都为真，所以P→Q为真，故P∧Q⇒P→Q。
(74)假设P→ P∧Q 为假，则P为真，且P∧Q为假，于是Q为假，所以P→Q为假，故P→Q⇒P→ P∧Q。
(75)假设⌝P→Q为假，则⌝P为真，即P为假，故P⇒⌝P→Q。
(76)假设(P→Q)→ (P→R) 为假，则P→Q为真，P→R为假；由P→R为假知P为真，R为假；再由P→Q为真知Q为真；所以Q→R为假，则P→(Q→R)为假，故P→(Q→R)⇒(P→Q)→(P→R)。
(77)假设P→R为假，则P为真，R为假，(78)若Q为真，则Q→R为假，所以(P→Q)∧(Q→R) 为假；(79)若Q为假，则P→Q为假，所以(P→Q)∧(Q→R) 为假；(80)故(P→Q)∧(Q→R)⇒P→R。
(81)写出下列命题公式的对偶：(82)⌝(⌝P∨⌝Q)∨⌝(⌝P∨Q) ↔P(83)(P∨⌝Q) ∧(P∨Q) ∧(⌝P∨⌝Q)(84)P→( (Q→R) ∧⌝(P∧⌝Q) )(85)解：(86)因为⌝(⌝P∨⌝Q)∨⌝(⌝P∨Q) ↔P⇔⌝ ((⌝P∨⌝Q) ∧ (⌝P∨Q) )↔P(87)⇔⌝ ( ⌝P∧⌝P ∨⌝P∧Q∨⌝Q∧⌝P∨⌝Q ∧Q )↔P(88)⇔⌝ (⌝P∨⌝P ∧ Q ∨⌝P ∧⌝Q) ↔P(89)⇔⌝ (⌝P) ↔P(90)⇔ P ↔P(91)⇔1(92)所以⌝(⌝P∨⌝Q)∨⌝(⌝P∨Q) ↔P的对偶为0。
(93)(P∨⌝Q) ∧(P∨Q) ∧(⌝P∨⌝Q) 的对偶为(P∧⌝Q) ∨ (P∧Q) ∨ (⌝P∧⌝Q)。
(94)因为P→( (Q→R) ∧⌝(P∧⌝Q) ) ⇔⌝ P ∨ ( (Q→R) ∧⌝(P∧⌝Q) )(95)⇔⌝ P ∨ ( (⌝Q ∨R) ∧⌝(P∧⌝Q) )(96)所以P→( (Q→R) ∧⌝(P∧⌝Q) )的对偶为⌝ P∧ ( (⌝Q∧ R) ∨⌝(P∨⌝Q) )。