浅谈直角三角形在三角函数中的运用

浅谈直角三角形在三角函数中的运用

曲靖市罗平职业技术学校李小卫

【摘要】已知一个角的三角函数值，求该角的其他三角函数值，常见的题目有三种：一是函数值已知且角所在象限已知；二是函数值已知但角所在象限未知;三是函数值用字母给出而没有确定角的象限。这些内容都是同角三角函数关系式的一个重要应用，采用常规做法运算量大，易出错，借助直角三角形求解，避开连锁运算，尤其在选择题、填空题中采用

此法，解题速度快，准确率高，节约很多时间。

【关键词】三角函数求值直角三角形勾股定理

在三角函数求值中，使用诱导公式可以把复杂的角化为简单的锐角求值，设α为非界限角的任意角，sinα，cosα，tanα可用诱导公式把角α化为锐角θ求值，有式子：sinα= ±sinθ，cosα=±cosθ，tanα=±tanθ成立。

1．结论得出

定理：无论α是哪个象限的角（非象限角），都有一个锐角θ的三角函数值与α的同名三角函数值相等或互为相反数。

即：sinθ= sinα，cosθ= cosα，tanθ=tanα。

证明：（1）当α为第一象限角时：由终边相同的角三角函数值相等得：

sinθ= sinα，cosθ=cosα，tanθ= tanα。

（2）当α为第二象限角时：α的终边与θ的终

边关于y轴对称，α与θ的关系为：

α+θ=π+2kπ（k∈Z），

即：θ=π+2kπ-α（k∈Z）。

sinθ=sin（π+2kπ-α）= sinα，

cosθ=cos（π+2kπ-α）=-cosα，

o tanθ= tan（π+2kπ-α）=-tanα（k∈Z）

（3）同理可证明当α为第三象限角时：

sinθ=-sinα，cosθ=-cosα，tanθ=tanα

（4）当α为第四象限角时:

sinθ=-sinα，cosθ= cosα，tanθ=-tanα.

所以：无论α是哪个象限的角都有锐角θ使得：

sinθ= sinα，cosθ= cosα，tanθ=tanα。

所以欲求α的三角函数值先求对应锐角θ的三角函数值，由α的象限判断正负，从而求出α的三角函数值。

2.解题步骤：一画，二用，三求，四定。

1．画一直角三角形；

2．用勾股定理,函数值的绝对值视为两边之比，求第三边；

3．求锐角θ的其它函数值，即对应角α的其它三角函数值的绝对值； 4．确定角α的其它三角函数值符号，由角α所在象限决定。

3．应用举例

例1．已知sin α=－

4

5

，且α是第三象限的角，求α的其他三角函数值。 解：（1）（画直角三角形）

设α对应的锐角为θ （2）（由勾股定理求第三边） ∵sin θ= sin α=

4

5

，所以，在直角三角形中锐角θ对应三边比数如图：

(3) (求锐角α的其它函数值,即α的其他三角函数值的绝对值)

∴cos θ= cos α=

35，tan θ=tan α=43

(4 ) (确定角α的其它三角函数值符号)

∵α是第三象限的角，故cos α0<，tan α>0， ∴cos α=-

35 ， tan α=43

说明：可根据倒数关系求出另外三个三角函数值，运用此法解题如要求叙述解题过程则

同上，但括号(包括解题步骤序号的括号) 内的文字，仅初学时要求学生书写， 待熟练后可以省去， 此时书写就简单多了。

例2. cos α=-1

2

，求α的其他三角函数值。 解：设α对应的锐角为θ

∵cos θ=cos α=1

2

，作直角三角形，三边比数如

图：

∴sin θ=sin α， tan θ=tan α∵cos α0<，故α可能是第二或第三象限的角。

∴（1）当α是第二象限角时：sin α=

2

， tan α=-

（2）当α是第三象限角时：sin α= -2

，tan α

例3.已知tan α=-

α是第二象限的角，求α的正弦和余弦。

解：设α对应的锐角为θ

∵tan θ=tan α1

5

，作直角三角形，三边比数如图：

∴sin θ= sin α

cos θ= cos α

∵α是第二象限的角，故sin α0>，cos α0<， ∴sin α

cos α=

-例4.已知tan α=m 为非零实数，求sin α。

解：设与α对应的锐角为θ，tan θ=tan α=m 作直角三角形，三边比数如图： ∴sin θ=sin α

∴1.当m 0>时，tan α0> （1）若α在第一象限时：sin α

（2）若α在第三象限时：sin α=

2.当m 0<时， tan α0< （1）若α在第二象限时：sin α=

；

（2）若α在第四象限时：sin α

所以（1）α在第一象限或第四象限时：sin α

（2）在第二象限或α在第三象限时sin α=

4.推广使用

已知角α终边一点坐标P(,x y )，可借助直角三角形快速求解，两边表示横坐标和纵坐标，斜边表示

r

=

0，此时的三角形边可以是负数，角α为

任意角，把此三角形叫做“超越直角三角形”。

例5.已知角α的终边经过点P (2,3)-，求角α的正弦、余弦和正切值。

解：作直角三角形如图（略）：r

sin α

= -13，cos α13，tan α= 32-=-3

2。

例6．设点P (,4)n 在角α的终边上，且sin α= 4

5

，求cos α和tan α的值。

解：借助图形得r ，

sin α=

4

5

,求得：n =±3

∵sin α0>，故α是第一或第二象限的角， ∴（1）当α是第一象限的角时：cos α=

35

，tan α=43

；

（2）当α是第二象限的角时：cos α=-

35，tan α=-43

。 这种解法的优点是可避免连锁成串地运用同角三角函数间的关系式，以及随之而来的多

次无理式运算，这不仅大大减少运算失误的机会，而且使运算速度加快，提高解题效率。尤其在解填空、选择、判断题以及在解题过程中，只要摆出条件就可写出结果，而无需阐述解题过程的情况下，就更显现其优越性，此时仅通过心算或画一直角三角形就可以解决问题。

【参考文献】

1.《数理化解题研究》2007年第3期 同角三角函数“知值求值”的一种方法

2. 《中学数学》1990年第1期 快速求三角函数值的一种教法