九年级数学微课资料：二次函数图象与系数的关系课件
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初中数学精品课件：二次函数图象与系数的关系定
判断a,b,c符号
b2 4ac的符号呢？
变式：若二次函数 y ax2 bx ca 0图象对称轴为
直线x=1，与x轴的一个交点为（-1,0），与y轴的交 点在（0,2）与（0,3）之间.
问题1：你能判断4a+2b+c的符号吗？
5a+b+2c呢？ 2b-3c呢？
问题2：求a的范围
y ax2 bx ca 0
（-1,2），与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中2<x1<-1, 0<x2<1.
四人小组，请写一些 正确的命题
（2017绍兴中考模拟）若二次函数 y ax2 bx ca 0
图象经过点（-1,2），与x轴交点的横坐标分别为x1， x2，其中-2<x1<-1, 0<x2<1.下列结论正确的是 ________
若二次函数 y ax2 bx ca 0图象对称轴为直线
x=1 ，与x轴的交点为（-1,0），与y轴的交点为
（0,3），请你求出二次函数解析式.
“挖”基本信息，“解”自然而来
—二次函数图象与系数关系
蛟川书院数学组 翁丹枫
若二次函数 y ax2 bx ca 0图象对称轴为直线
x=1 ，与x轴的交点为（-1,0），与y轴的交点为 （0,3），请你求出二次函数解析式.
2b-3c、a+c<1 数
形
……
数缺形时少直观， 形少数时难入微
c0 a b 2c 0
(2017烟台)如图，若二次函数 y ax2 bx ca 0
图象对称轴为直线x=1，下列结论：①ab<0; ②b2>4ac; ③a+b+2c<0; ④3a+c<0.其中正确的是_________
b2 4ac的符号呢？
变式：若二次函数 y ax2 bx ca 0图象对称轴为
直线x=1，与x轴的一个交点为（-1,0），与y轴的交 点在（0,2）与（0,3）之间.
问题1：你能判断4a+2b+c的符号吗？
5a+b+2c呢？ 2b-3c呢？
问题2：求a的范围
y ax2 bx ca 0
（-1,2），与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中2<x1<-1, 0<x2<1.
四人小组，请写一些 正确的命题
（2017绍兴中考模拟）若二次函数 y ax2 bx ca 0
图象经过点（-1,2），与x轴交点的横坐标分别为x1， x2，其中-2<x1<-1, 0<x2<1.下列结论正确的是 ________
若二次函数 y ax2 bx ca 0图象对称轴为直线
x=1 ，与x轴的交点为（-1,0），与y轴的交点为
（0,3），请你求出二次函数解析式.
“挖”基本信息，“解”自然而来
—二次函数图象与系数关系
蛟川书院数学组 翁丹枫
若二次函数 y ax2 bx ca 0图象对称轴为直线
x=1 ，与x轴的交点为（-1,0），与y轴的交点为 （0,3），请你求出二次函数解析式.
2b-3c、a+c<1 数
形
……
数缺形时少直观， 形少数时难入微
c0 a b 2c 0
(2017烟台)如图，若二次函数 y ax2 bx ca 0
图象对称轴为直线x=1，下列结论：①ab<0; ②b2>4ac; ③a+b+2c<0; ④3a+c<0.其中正确的是_________
二次函数的图像和各项系数间的关系+课件+-2023-2024学年北师大版数学九年级下册数学
1 y=x2−x+3
a=1＞0，开口向上 b=-1 ，a,b异号，对称轴在y轴右侧 C=3＞0，与y轴交点在y轴正半轴
Y
y=x2−x+3
O
X
2 y=-2x2−x-4
a=-2＜0，开口向下 b=-1 ，a,b同号，对称轴在y轴左侧 C=-4＜0，与y轴交点在y轴负半轴
Y
O
X
y=-2x2−x-4
（3） 4a+b=0；
x
（4）当y=–2时，x的值只能取0； –1 O
3
其中正确的是 （2） .
–2
直线x=1
3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1
是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③
a-b+c= -9a；④若（-3，y1）,（ 点，则y1>y2.其中正确的是（
1 y=-x2+x+2 2 y=2x2+x-4
（A） （C）
y=-x2+x+2
（B）
y=2x2+x-4
（D）
二次函数 y=-x2+x-1，不描点， 如何快速确定出该抛物线在平 面直角坐标系的大致位置？
y=-x2+x-1
当堂练习
1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
y
的图象如图所示，则下列结论：
y
A．①②③ C．①②④
B．①③④ D．②③④
O 2x x=-1
23，y2）是抛物线上两
）
y
A．①②③ C．①②④
B．①③④ D．②③④
O 2x x=-1
人教版九年级上 二次函数的图像和字母系数之间的关系(20张ppt)
当堂检测
1．抛物线 y＝x2－6x＋5 的顶点坐标为 A．(3，－4) B．(3，4) C．(－3，－4) D．(－3，4)
(A )
解 析 配方：y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以顶点坐 标为(3，－4)，故选 A.
当堂检测
1．抛物线 y＝x2－6x＋5 的顶点坐标为 A．(3，－4) B．(3，4) C．(－3，－4) D．(－3，4)
抛物线有最低点，当 x 抛物线有最高点，当 x＝
最值 ＝－2ba时，y 有最小值， －2ba时，y 有最大值，
y 最小值＝4ac4－a b2.
y 最大值＝4ac4－a b2.
字母
关键点回顾
1.a>0 时，开口向上；2.a<0 时，开口向下. a
|a|越大，抛物线的开口程度___越__小___，|a|越小，抛物线的开口程度___越__大___.
y
1、点（1,a+b+c） a+b+c>0
2、点 (-1,a-b+c) a-b+c=0
●
-2 -1 o 1 2
x
3、点 (2,4a+2b+c) 4a+2b+c>0
4、点 (-2,4a-2b+c) 4a-2b+c<0
…………… ……………
已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象如图所示，下列结论：
() A．1 B．2 C．3 D．4
C
由－12<0，得抛物线开口向下，①正确；关系 式写成了顶点形式，因此对称轴为直线 x＝－1，顶点坐标
为(－1，3)，②错误；③正确；由－12<0，当 x>1>－1 时， y 随 x 的增大而减小，④正确．故选 C.
二次函数图象与字母系数的关系 ppt课件
ppt课件
28
• 17.(烟台中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部 分图象如图所示，图象过点(-1，0)，对称轴 为直线x=2.下列结论：
• ①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0； ④当x＞-1时，y的值随x值的增大而增大.
• 其中正确的结论有(B)
• A.1个
B.2个 C.3个 D.4个
8
范例研讨运用新知
例2 已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的
增大而减小，则实数b的取值范围是（ D ）
A．b≥－1
B．b≤－1
C．b≥1
D．b≤1
解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴
右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的
值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直 线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴 x b b ，
O 2x x=-1
ppt课件
30
ppt课件
7
例3 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下
列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④
(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是
( D)
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在 y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故①正确；
二次函数 图象与字母系数的关系
ppt课件
1
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
字母符号
上册微专题四二次函数图象的性质与系数的关系人教版九年级数学全一册完美课件
上册 微专题四 二次函数图象的性质与系数的关系- 2020秋 人教版 九年级 数学全 一册课 件(共1 7张PPT )
上册 微专题四 二次函数图象的性质与系数的关系- 2020秋 人教版 九年级 数学全 一册课 件(共1 7张PPT )
由图象知对称轴 x＝－2ba＞－1，得2ba＜1.由 a<0，结合不等式的性质可得 b>2a， 即 2a<b，故③错误；
上册 微专题四 二次函数图象的性质与系数的关系- 2020秋 人教版 九年级 数学全 一册课 件(共1 7张PPT )
[2019·鄂州]二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图 4 所示，对称轴是直线 x＝1.下列结论：①abc＜0；②3a＋c＞0；③(a＋c)2－b2＜0；④a＋b≤m(am＋b)(m 为 实数)．其中正确结论的个数为( C )
上册 微专题四 二次函数图象的性质与系数的关系- 2020秋 人教版 九年级 数学全 一册课 件(共1 7张PPT )
上册 微专题四 二次函数图象的性质与系数的关系- 2020秋 人教版 九年级 数学全 一册课 件(共1 7张PPT )
[2019·娄底]二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图 3 所示，下列结论中正
上册 微专题四 二次函数图象的性质与系数的关系- 2020秋 人教版 九年级 数学全 一册课 件(共1 7张PPT )
③由于抛物线与 x 轴有两个交点， ∴Δ＝b2－4ac＞0，故③正确； ④由图象可知 x＝1 时，y＝a＋b＋c＜0，故④正确； ⑤当 x＞－2ba时，y 随着 x 的增大而增大，故⑤错误． 故选 C.
上册 微专题四 二次函数图象的性质与系数的关系- 2020秋 人教版 九年级 数学全 一册课 件(共1 7张PPT )
二次函数的图象与各项字母系数之间的关系(课堂PPT)
y
•(0,c)
x
0
• x 0 (0,0)
• x 0 (0,c)
交点在x轴上方 c>0
经过坐标原点 交点在x轴下方
c=0
c<0
8
4.二次函数图象与x轴交点的个数和△的关系
y
y
• • 0
(x1,0)
(x2,0)
0
•x (x,0) 0
•
x
与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴无交点
b2-4ac>0
你真棒 29
谈收获
30
1.(天津)已知二次函数y=ax2+bx+c，
且a＜0,a-b+c＞0,则一定有( A )
A.b2-4ac＞0
B. b2-4ac=0
C.b2-4ac＜0
D. b2-4ac≤0
2.(重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图
像如图所示，则点M（b,c/a)在( D )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
（1）a （2）b
y
（3）c
（4）2a+b （5）2a-b, （6）b2-4ac
-1 0
x 12
（7）a+b+c
（8）a-b+c
（9）4a+2b+c
（10）4a-2b+c
19
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
2020
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
y
y
O
x
•(0,c)
x
0
• x 0 (0,0)
• x 0 (0,c)
交点在x轴上方 c>0
经过坐标原点 交点在x轴下方
c=0
c<0
8
4.二次函数图象与x轴交点的个数和△的关系
y
y
• • 0
(x1,0)
(x2,0)
0
•x (x,0) 0
•
x
与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴无交点
b2-4ac>0
你真棒 29
谈收获
30
1.(天津)已知二次函数y=ax2+bx+c，
且a＜0,a-b+c＞0,则一定有( A )
A.b2-4ac＞0
B. b2-4ac=0
C.b2-4ac＜0
D. b2-4ac≤0
2.(重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图
像如图所示，则点M（b,c/a)在( D )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
（1）a （2）b
y
（3）c
（4）2a+b （5）2a-b, （6）b2-4ac
-1 0
x 12
（7）a+b+c
（8）a-b+c
（9）4a+2b+c
（10）4a-2b+c
19
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
2020
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
y
y
O
x
二次函数系数a,b,c与图像的关系ppt课件
其中正确的结论是（ ） （A）①② （B）②③ （C）②④ （D）③④
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11
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
12
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y
x=1
( 1时 ， a + b + c 0
o
1
x 1时 ， a -b + c 0
x
(a b c)(a b c) 0
即 ( a + c )2 b 2 0
( a + c )2 b 2
1 2 . 抛物线y=ax2+bx+c的图角如图3，则下列 结论：①abc>0；②a+b+c=2； ③a> 1 ； ④b<1. 2
示则下列关于a、b、c间的关系判断正
确的是（ ） y
A）ab<0 B）bc<0
O
x
C）a+b+c>0
D）a－b+c<0
（图1）
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5
例4(青海)二次函数 yax2bxc 图象如图2所示
， A(b2 4ac， b)
则点
a 在第 y 象限．
O x
图2
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6
例6．已知 a 0 ， b 0 ， c 0 ，
那么抛物线 yax2bxc的顶点在（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
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7
7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示 ，判断下列各式的符号：
(1)a; (2)b; (3)c; (4)a+b+c; (5)a-b+c;
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y
x=1
( 1时 ， a + b + c 0
o
1
x 1时 ， a -b + c 0
x
(a b c)(a b c) 0
即 ( a + c )2 b 2 0
( a + c )2 b 2
1 2 . 抛物线y=ax2+bx+c的图角如图3，则下列 结论：①abc>0；②a+b+c=2； ③a> 1 ； ④b<1. 2
示则下列关于a、b、c间的关系判断正
确的是（ ） y
A）ab<0 B）bc<0
O
x
C）a+b+c>0
D）a－b+c<0
（图1）
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5
例4(青海)二次函数 yax2bxc 图象如图2所示
， A(b2 4ac， b)
则点
a 在第 y 象限．
O x
图2
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6
例6．已知 a 0 ， b 0 ， c 0 ，
那么抛物线 yax2bxc的顶点在（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
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7
7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示 ，判断下列各式的符号：
(1)a; (2)b; (3)c; (4)a+b+c; (5)a-b+c;
二次函数系数与图像的关系(共32张PPT)
⑤、a-b+c>0,⑥、4a+2b+c<0,⑦、4a-2b+c<0.
小结：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a，b，c，△与
抛物线的关系
数
形
a a决定开口方向：a＞０时开口向上，
a＜０时开口向下
a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧
b
a、b异号时对称轴在y轴右侧
b＝０时对称轴是y轴
由抛物线捕捉对称信息的方式有：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c的符号：
⑤、a-b+c>0,⑥、4a+2b+c<0,⑦、4a-2b+c<0.
3个
对称轴是y轴: b=0
三、随堂演练
1.根据图象判断a、b、c的符号
y
a _＞___0
y
b__＜__0
0
c__＜___0
0
x
a _＜___0
抛物线的关系
数
形
a决定开口方向：a＞０时开口向上，
a
a＜０时开口向下
a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧
b
a、b异号时对称轴在y轴右侧
b＝０时对称轴是y轴
c决定抛物线与y轴的交点：c＞０时抛物线交于y轴的正半轴
c
c＝０时抛物线过原点
c＜０时抛物线交于y轴的负半轴
△决定抛物线与x轴的交点：△＞０时抛物线与x轴有两个交点
y
2、当x=-1时， y=a-b+c
3、当x=2时，
y=4a+2b+c
4、当x=-2时， y=4a-2b+c
人教课标初中数学九级上册二次函数图象与系数的关系在中考解题中的应用PPT专选课件
为直线 x＝1，有下列结论：
①abc＜0；②2a＋b ＝ 0；③b2－4ac<0； ④4a-2b+c<0；⑤ 9a+3b+c=0 ，其中正确的结论有 __________．
3．(2017安顺)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所 示，对称轴是直线x＝1，则下列四个结论错误的是( ) A．c＞0 B．2a＋b＝0 C．b2－4ac＞0 D．a－b＋c＞0
如上图2可知 a与b同号时(即ab＞0)
3、常数项系数c,决定抛物线与y轴的交 点.交点坐标为（0 , c）。
常数项c表示抛物线与y轴的交点,图像过（0 , c） 点，如果抛物线通过原点，则c = 0。
简单说成：c>0图像与y轴交于正半轴 ， c<0图像 与y轴交于负半轴。
例如：
c>0图像与y轴交于正半轴
一次项系数b不能单独判断,要与a 结合判断,有个口诀记法：左同右异
左右是指抛物线的对称轴在y轴的左右, 同异是指a、b的符号是同号还是异号
即：一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时(即ab＞0)，对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab＜0)，对称轴在y轴右。
例如：
如上图1可知 a与b异号时即ab＜0)
A、①② B、②④ C、①③ D、③④
3、（2017黔东南）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0） 有图象如图所示，对称轴为直线x=-1,给出以下四个结
论：①b2＝4ac；②abc＞0; ③a>c; ④4a-2b+c>0.
其中正确的个数有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
4.（2017遵义）抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶 点为D(－1,2)，与x轴的一个交点A在点(－3,0)和(－ 2,0)之间，其部分图象如图，则以下结论： ①b2－4ac＜0；②a＋b＋c＜0；③c－a＝2； ④方程ax2＋bx＋c－2＝0有两个相等的实数根．其 中正确的结论_________(填序号)．
①abc＜0；②2a＋b ＝ 0；③b2－4ac<0； ④4a-2b+c<0；⑤ 9a+3b+c=0 ，其中正确的结论有 __________．
3．(2017安顺)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所 示，对称轴是直线x＝1，则下列四个结论错误的是( ) A．c＞0 B．2a＋b＝0 C．b2－4ac＞0 D．a－b＋c＞0
如上图2可知 a与b同号时(即ab＞0)
3、常数项系数c,决定抛物线与y轴的交 点.交点坐标为（0 , c）。
常数项c表示抛物线与y轴的交点,图像过（0 , c） 点，如果抛物线通过原点，则c = 0。
简单说成：c>0图像与y轴交于正半轴 ， c<0图像 与y轴交于负半轴。
例如：
c>0图像与y轴交于正半轴
一次项系数b不能单独判断,要与a 结合判断,有个口诀记法：左同右异
左右是指抛物线的对称轴在y轴的左右, 同异是指a、b的符号是同号还是异号
即：一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时(即ab＞0)，对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab＜0)，对称轴在y轴右。
例如：
如上图1可知 a与b异号时即ab＜0)
A、①② B、②④ C、①③ D、③④
3、（2017黔东南）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0） 有图象如图所示，对称轴为直线x=-1,给出以下四个结
论：①b2＝4ac；②abc＞0; ③a>c; ④4a-2b+c>0.
其中正确的个数有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
4.（2017遵义）抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶 点为D(－1,2)，与x轴的一个交点A在点(－3,0)和(－ 2,0)之间，其部分图象如图，则以下结论： ①b2－4ac＜0；②a＋b＋c＜0；③c－a＝2； ④方程ax2＋bx＋c－2＝0有两个相等的实数根．其 中正确的结论_________(填序号)．
初中数学人教九年级上册第二十二章 二次函数 二次函数图象与字母系数的关系PPT
口诀：左同右异
c的作用:
决定抛物线与y轴的交点 ：
c＞０时,抛物线交于y轴的正半轴
c＝０时,抛物线过原点
c＜０时,抛物线交于y轴的负半轴
b2-4ac的作用:
决定抛物线与x轴的交点： b2-4ac ＞０时,抛物线与x轴有两个交点 b2-4ac ＝０时,抛物线与x轴有一个交点 b2-4ac ＜０时,抛物线于x轴没有交点 b2-4ac ≥０时,抛物线于x轴总有交点
其中错误结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析 第一步：确定a、b、c的正负
由开：口方向知a<0，由对称轴在y轴左侧知a、b异号，即b<0,抛物线
左侧的交点到对称轴的距离大于1.5个单位长度，且小于2.5个单位
长度，根据抛物线的对称性知右侧的交点在原点和（1，0）之间，
从而知道抛物线与y轴交于正半轴，即c>0
抛物线上几个特殊点的坐标所决定的代 数式的正负
（1，a+b+c）, （-1，a-b+c）,
（2，4a+2b+c）, （-2，4a-2b+c）,
（3，9a+3b+c）, （-3，9a-3b+c）,
利用梳理的知识解决简单问题
已知如图是二次函数y＝ax＋2 bx
＋c的图象，判断以下各式的值 是正值还是负值．
，右侧的交点在原点和（1，0）之间，从而有当x=1时 ，a选+Ayb<+。0c,=即1 3ab++bb++cc<=0,34把ba+=c<0,b即代4入b+消31 3c元<0：,故④错误，答案
b2
(1)a <0 (2)b <(03)c >0
c的作用:
决定抛物线与y轴的交点 ：
c＞０时,抛物线交于y轴的正半轴
c＝０时,抛物线过原点
c＜０时,抛物线交于y轴的负半轴
b2-4ac的作用:
决定抛物线与x轴的交点： b2-4ac ＞０时,抛物线与x轴有两个交点 b2-4ac ＝０时,抛物线与x轴有一个交点 b2-4ac ＜０时,抛物线于x轴没有交点 b2-4ac ≥０时,抛物线于x轴总有交点
其中错误结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析 第一步：确定a、b、c的正负
由开：口方向知a<0，由对称轴在y轴左侧知a、b异号，即b<0,抛物线
左侧的交点到对称轴的距离大于1.5个单位长度，且小于2.5个单位
长度，根据抛物线的对称性知右侧的交点在原点和（1，0）之间，
从而知道抛物线与y轴交于正半轴，即c>0
抛物线上几个特殊点的坐标所决定的代 数式的正负
（1，a+b+c）, （-1，a-b+c）,
（2，4a+2b+c）, （-2，4a-2b+c）,
（3，9a+3b+c）, （-3，9a-3b+c）,
利用梳理的知识解决简单问题
已知如图是二次函数y＝ax＋2 bx
＋c的图象，判断以下各式的值 是正值还是负值．
，右侧的交点在原点和（1，0）之间，从而有当x=1时 ，a选+Ayb<+。0c,=即1 3ab++bb++cc<=0,34把ba+=c<0,b即代4入b+消31 3c元<0：,故④错误，答案
b2
(1)a <0 (2)b <(03)c >0