矩阵的初等变换
第三章矩阵的初等变换
3 2 0 0
2 1 0 0
R(A) 3
0 7 1 0
由于R ( A) 3，可知A的最高阶的非零子式为 3 3 阶，而 A 的三阶子式共有 C3 C5＝4 10＝40个 , 要 4 从 40 个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的， 但考察 A 的行梯矩阵，记：A (a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ) 2 1 7 2 3 5 则由矩阵 B (a1 , a2 , a5 ) 知, R ( B ) 3， 3 2 0 1 0 0 故 B中必有三阶非零子式。 中的三阶子式只有4个 B 2 1 7 显然 2 0 14 0 ，所以该子式便是 A 的最高 3 1 0 0 阶的一个非零子式。
x1 x3 x2 x3 4 3 x4 3 00
(1) r3 2r4 1 (2) r4 r3 0 ~ 0 (3) 0 (4)
(1) r1 r2 r3 1 (2) r2 r3 0 ~ 0 (3) 0 (4)
设 A 经过列的初等变换变这 B，那么， AT 经过行的初等变换变为 BT，由上面的讨论可 知， R(AT)=R(BT) 又因为，R(A) = R(AT) = R(BT) = R(B) 所以，矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
☞上面的命题给出了求矩阵的秩的一种常用
办法。即就是对待求秩的矩阵进行行的初等变 换化为行阶梯矩阵，那么非零行的行数就是矩 阵的秩。
把定义中和“行”换成“列”，即得矩阵的
初等列变换的定义（所用记号是把“r”换成
“c”）。
矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为矩 阵的初等变换。
显然，三种初等变换都是可逆的，且其变 换是同一类型的初等变换。变换ri↔rj的逆变换 就是本身；变换 rj×k 的逆变换为 rj÷k ；变换 ri+krj 的逆变换为ri k rj。 如果 A 经过有限次初等变换变为矩阵 B， 称矩阵 A与 B是等价的，记为A～B 。 矩阵的等价关系有如下性质： ☞ 反身性： A～ A 对称性： A～B ，则B ～ A 传递性： A～B， B ～ C，则A ～ C
矩阵的初等变换
二、消元法解线性方程组
同解方程组
分析：用消元法解下列方程组的过程．
引例 求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, 1
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
x4 2 x4
4, 4,
2
32
(1)
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
一、矩阵的初等变换
1、定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j 两行,记作ri rj）； 2以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第i 行上 记作ri krj）.
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换．
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组
的系数和常数进行运算，未知量并未参与运
算．
若记
2 1 1 1 2
B
(
A
b)
1 4
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
3、定义3 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩 阵B，就称矩阵A与B等价，记作A ～ B
r
A～B ,
c
A～B ,
等价关系的性质： （1） 反身性 A A； （2）对称性 若 A B ,则 B A; （3）传递性 若 A B, B C,则 A C. 具有上述三条性质的关系称为等价．
（1）交换方程次序； （ i 与 j 相互替换）
2.1.矩阵的初等变换
0 1 1 1 0 1 1
2 3 0 5 1 1 2 3 2 1 1 0 1 3 6 1 4 0 3 3 7 1
1
解
A
1 0 0 0 0 0
1 1 1 1 2 0 0 1 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 5
1 A 1 0 0 1 1 1 1 0 3 0 1 1 0 0 1 10 0
3 1
例7 设 A 为 m n 矩阵, 证明:
r ( A) r m r 矩阵 P , r ( P ) = r r n 矩阵 Q , r ( Q ) = r
定理 初等变换不改变矩阵的秩
推论 设矩阵 r(A) = r , 则 A 的标准形矩阵为 Er O O O 推论 可逆矩阵的标准形矩阵( 规范的阶梯形 矩阵) 为单位矩阵
求矩阵的秩的方法 将矩阵化为阶梯形矩阵 阶梯形矩阵的非零行数即为矩阵的秩
例 2 求矩阵 A 的秩
A
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 4 2 5 3 6
初等行变换
例5 用初等变换法解矩阵方程
3 1 5 8 3 0 X 1 3 2 5 2 5 9 0 1
分析 设原方程为 XA B
则
A X B
A PQ
证
例4 用初等变换法解矩阵方程
解 5 1 5 3 3 2 1 2 1
5 1 5 8 5 9 3 3 2 X 3 1 2 1 0 0
8 5 3 9 0 0 1 4 X 2 5 3 6
矩阵的初等变换
E (i, j ( k )) = E ( j, i ( k ))
初等矩阵的转置仍为同类型的初等矩阵. 初等矩阵的转置仍为同类型的初等矩阵 2. E (i, j ) = −1
E (i ( k )) = k E (i, j ( k )) = 1
初等矩阵都是非奇异的. 初等矩阵都是非奇异的
行变换相当于左乘初等矩阵; 行变换相当于左乘初等矩阵 列变换相当于右乘初等矩阵. 列变换相当于右乘初等矩阵
矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是线性代数中一个重要的工具. 矩阵的初等变换是线性代数中一个重要的工具
以下三种变换分别称为矩阵的第一、第二、 以下三种变换分别称为矩阵的第一、第二、 第三种初等变换： 第三种初等变换：
(i ) 对换矩阵中第i, j两行(列)的位置，记作 rij ( cij )或ri ↔ rj ( ci ↔ c j ) (ii ) 用非零常数 k乘第 i行(列）记作 kri ( kc i ). ,
利用初等变换将 A化为 B， A与 B之间用记号 → 或 ≅ 连接。
矩阵的等价
对矩阵A实行有限次初等变换得到矩阵 ， 对矩阵 实行有限次初等变换得到矩阵B，则称矩 实行有限次初等变换得到矩阵 等价， 阵A与B等价，记作 A ≅ B. 与 等价
A ≅ A;
1 0 M A ≅ 0 0 M 0
(iii ) 将矩阵的第j行(列)乘以常数k后加到第i行 （列）对应元素上去, 记作ri + krj ( ci + kc j ).
矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换。 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为换可以将矩阵化为梯形阵。 例如：
E (i ( k )) =
E ( i , j ( k )) =
6.6矩阵的初等变换
矩阵的秩
定义9· 18 在 m n 矩阵中，任取 k 行 k 列 (k min{m, n}) ，位 于这些行列交叉处的 k 2个元素，不改变他们在 A 中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式，称为矩 阵 A 的 k 阶子行列式（简称 k 阶子式）．
0 1 6 4 1 3 2 3 6 1 r1 r4 2 0 1 5 3 4 3 2 0 5
6.6.2 矩阵的秩
解： 1 6 r 3r r3 2 r1 0 20 r4 3r1 0 12 0 16 1 6 r3 3r2 0 4 r4 5r2 0 0 0 0
矩阵的初等变换
解：
1 0 1 0 2 1 r r 1 1 1 r1 33r 1 0 0 3 3 1 2 2 3 3 5 r1 2 r2 0 1 0 0 1 0 3 2 2 2 2 2 0 0 1 1 3 2 0 0 1 1 3 2
4 5
22 34
5
矩阵的初等变换
2.用初等变换求逆矩阵 定理 设 A 为 n 阶可逆矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 对 n 2n 阶矩阵 ( A E) 作一系列初等行变换，使它 变为 (E B)，则 B A1 ．
矩阵的初等变换
例23
3 2 1 用初等行变换求矩阵 A 1 2 2 的逆矩阵 . 3 4 3
1 2 2 0 1 0 1 2 2 0 1 0 1 r2 3 3 1 r3 4 r2 3 3 1 2 0 1 0 0 1 0 2 2 2 2 2 2 0 4 5 1 3 0 0 0 1 1 3 2
第三章 矩阵的初等变换
第三章 矩阵的初等变换矩阵是数学中一个重要的概念，它在科学和工程应用中有着广泛的用途。
矩阵的初等变换是矩阵学中的一项基本操作，对矩阵进行初等变换可以用于求解线性方程组、矩阵的逆以及矩阵的特征值与特征向量等问题。
本章将从初等变换的定义、性质、分类以及应用方面进行阐述。
一、初等变换的定义及性质1. 初等变换的定义初等变换是矩阵学中对矩阵的一种基本操作，它包括三种类型的变换：（1）交换矩阵的任意两行或两列；（2）用非零常数乘矩阵的任意一行或一列；（3）把矩阵的任意一行或一列加上另一行或一列的某个倍数。
这三种变换分别称为行变换、列变换和倍加行变换 （或倍加列变换）。
通过对矩阵进行这三种变换，可以使得矩阵的某些特性变得更加清晰，可以方便地进行矩阵运算、矩阵求解等操作。
2. 初等变换的性质（1）初等变换不改变矩阵的秩。
（2）初等变换不改变矩阵的行列式的值。
（3）若矩阵A经过一次初等变换得到矩阵B，则存在一个可逆矩阵P，使得P·A=B。
（4）由矩阵A经过若干次初等变换得到的矩阵B和矩阵A之间可通过一系列的初等矩阵相乘得到，即B=E1·E2·...·En·A，其中Ei为第i种初等矩阵。
二、初等变换的分类根据初等变换的不同类型，我们可以把初等变换分为三类：行初等变换、列初等变换和整体初等变换。
1. 行初等变换行初等变换是对矩阵的一行进行变换，包括以下三种类型：（1）交换矩阵的两行；（2）用一个非零常数乘以矩阵的某一行；（3）把矩阵的某一行加上另一行的某个倍数。
对于一个n阶矩阵A，我们可以用行向量$(a_{1i} ,a_{2i} ,...,a_{ni})^{T}$表示A的第i行，例如A的第1行可以表示为$(a_{11} ,a_{12} ,...,a_{1n})^{T}$。
那么通过上述变换，我们可以得到新的矩阵A'，它的第i行表示为：（1）若把矩阵第i行和第j行交换，则$A'_{i}=A_{j}$，$A'_{j}=A_{i}$，其余行不变；（2）若用非零常数k乘以矩阵的第i行，则$A'_{i}=kA_{i}$，其余行不变；（3）若把矩阵的第j行的k倍加到第i行上，则$A'_{i}=A_{i}+kA_{j}$，其余行不变。
矩阵的初等变换
矩阵的初等变换矩阵的初等变换是指矩阵的元素可以通过运用一系列简单的操作进行变换，而不改变矩阵的表达式形式。
它主要有三种：行变换、列变换和对角变换。
1、行变换行变换就是对矩阵进行以下操作：（1）把矩阵的一行或者多行乘以一定的非零常数；（2）把矩阵的一行或者多行加上矩阵的另一行乘以一定的非零常数；（3）交换矩阵的两行。
2、列变换列变换就是对矩阵进行以下操作：（1）把矩阵的一列或者多列乘以一定的非零常数；（2）把矩阵的一列或者多列加上矩阵的另一列乘以一定的非零常数；（3）交换矩阵的两列。
3、对角变换对角变换就是把矩阵的一行或者一列乘以一定的非零常数，改变的只有矩阵的对角线上的元素。
二、矩阵的初等变换的作用矩阵的初等变换在数学中被用来解方程组，对矩阵进行相应的变换，可以使矩阵变得简单易懂，方便求解。
1、消元消元是指用初等变换将不完全行列式变为下三角形式，也就是将原有的矩阵通过初等变换转化为更简单易懂的形式。
消元可以解决线性方程组，求解使方程组成立的一组解。
2、求逆矩阵求逆矩阵是指找到可以使一个矩阵的乘积等于单位矩阵的矩阵，如果形式方程有唯一解，则可以通过求逆矩阵来求解。
三、矩阵的初等变换的实践1、求解线性方程组例1：求解下列线性方程组x1+x2+x3=22x1+x2+2x3=5x1+2x2+2x3=4通过消元法可以将方程转化为x2+2x3=32x2+4x3=7又因为，x3=3-2x2，于是有x2=1/2x3=7/4因此，原方程的解为：x1=2-x2-x3=2-1/2-7/4=9/4x2=1/2x3=7/42、求逆矩阵例2：求解矩阵A的逆矩阵A=[2 34 5]首先，计算矩阵A的行列式，即|A|=2*5-3*4=-2，所以|A|不等于0，A是可逆矩阵。
计算A的逆矩阵A^(-1)，A^(-1)=[5/2 -3/2-2 1]最终A^(-1)=[5/2 -3/2-2 1]四、结论矩阵的初等变换是一种重要的数学工具，它可以利用简单的操作改变矩阵的形式，从而解决一些数学方程，例如求解线性方程组和求逆矩阵。
矩阵的初等变换
m n 矩阵A,B
1)A ~ B 可逆阵Pmm , 使PA B 2)A ~ B 可逆阵Pnn , 使AP B 3) A ~ B 的充要条件是 : 存在 m 阶可逆方阵 P 及 n 阶可逆方阵 Q, 使 PAQ B.
推论 : A可逆 A ~ E,
r
c
-5 3 1 例1 设A= , 求可逆阵P,使 2 -1 1 PA为行最简形.
初等方阵的逆及行列式
E(i, j)1 E(i(k))
1
E(i, j)
1 E(i( )) k
. ; .
E(i, j) | | E(i(k)) |
-1
; ; .
k
| E(i, j(k)) | 1
a11 a 21 例4 设A= a 31 a 41 0 0 0 0 1 0 P1 0 0 1 1 0 0
1 如上例中,A可化为 0 F 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
特点：F的左上角是一个单位矩阵，其余元素全
为零. m n 矩阵 A 总可经过初等变换化为标准形
Er O F O O m n 此标准形由 m , n, r 三个数唯一确定，其中r 就是
a13 a 23 a 33 a 43
a12 a 22 a 32 a 42
a11 a 21 a 31 a 41
其中A可逆, 则B 1 __ A)A 1P1P2 ; B)P1A 1P2 ; C)P1P2 A 1; D)P2A 1P1
3.初等变换求逆 converse matrix by elementary operation 性质1 设 A 是一个 m n 矩阵，对 A 施行一
初等变换
a3 b3 c3
a4 b4 c4
c1 c2 = b1 b2 a a 1 2
c3 b3 a3
c4 b4 a4
这相当于把A的第 ， 行互换 行互换； 这相当于把 的第1，3行互换； 的第
AP(1，3)= ，
a1 a2 b1 b2 c c 1 2
初等矩阵具有下列性质： 初等矩阵具有下列性质： (1) 初等矩阵都是可逆的． 初等矩阵都是可逆的． |I(i，j)|= –1≠0 ， |I(i(k))|=k≠0 这是因为
1 ⋱ 1 0 ⋯ 1 1 I (i , j ) = ⋮ ⋱ ⋮ 1 1 ⋯ 0 1 ⋱ 1
矩阵
3 0 1 1 − 1 2 A = 1 − 1 2 → 3 0 1 = A1 0 1 1 0 1 1
I 3 (1,2) 表示交换 I 3 的第一行和第二行所得
的第一种初等矩阵，则有 的第一种初等矩阵，
0 1 0 3 0 1 1 − 1 2 I 3 (1,2) A = 1 0 0 1 − 1 2 = 3 0 1 = A1 0 0 1 0 1 1 0 1 1
即对A施以某种初等列变换得到的矩阵， 即对 施以某种初等列变换得到的矩阵， 施以某种初等列变换得到的矩阵 等于用同种的初等矩阵右乘A。 等于用同种的初等矩阵右乘 。
A
行初等变换
B1
B2
行初等变换
P1 A = B1
列初等变换
P1 AQ1 = B1Q1 = B2
B3
列初等变换
P2 P1 AQ1 = P2 B1Q1 = P2 B2 = B3
矩阵的初等变换
矩阵的初等变换
矩阵的初等变换指的是对方阵中的元素施行的线性变换，这种线性变换仅涉及行之间和列之间的移位，加倍或取负，而不涉及现存元素之间的运算，这种变换具有很多特点，它不改变矩阵的性质，具有非常广泛的应用，因此它在数学中被广泛使用。
首先，矩阵的初等变换仅涉及行之间和列之间的移位，加倍或取负，而不涉及现存元素之间的运算。
这类变换包括交换行和列、乘以一行或列的一个非零常数、加一行或列的数倍的另一行或列等等。
这类变换对原矩阵没有实质性影响，经过这种变换，原矩阵的逆矩阵仍然存在，但是变换后的矩阵中元素的值发生了变化。
其次，矩阵的初等变换具有非常广泛的应用，包括多元线性回归中的系数矩阵降秩、求解线性方程组的特解的方法和非完备性矩阵的展开、求取矩阵的最佳逼近等等。
由此可见，矩阵的初等变换是解决线性代数问题的有效工具，在解决数值计算的问题中也有着重要的应用。
第三，矩阵的初等变换具有易于推导的优点。
经过初等变换，矩阵中的元素没有发生实质性的变化，因此变换只涉及矩阵中元素在行或列上的移位、加倍或取负，这种变换可以很容易地推导出，因此它不但可以节省时间，而且是可逆的，即可以以变换前的方程恢复出变换后的矩阵。
最后，矩阵的初等变换具有解决数值计算问题的优势，它可以帮助计算解出精确的数值解，使可能的误差降至最低。
由于初等变
换具有节省时间和可逆的优点，因此它可以有效地帮助计算机解出更为精确的结果。
总的来说，矩阵的初等变换是一种非常有用的变换，该变换仅涉及行列之间的关系，具有节省时间和可逆性的特点，可以有效地帮助计算出更为精确的结果，因此它在数学中得到了广泛的应用。
线性代数—矩阵的初等变换
1 0 B= 0 0
2 1 0 0
0 4 r − 2r 2 0 1 1 1 − 1 0 0
1 0 0 0
2 1 0 1 =C 0 1 −1 0 0 0 0 0
这种特殊的行阶梯形矩阵C称为行最简形矩阵． 一般地，满足下列条件的行阶梯形矩阵称为 行最简形矩阵： (1)各非零行的首非零元素是1； (2) 每个首非零元素所在列的其它元素都是零．
这表明：用初等矩阵E[i,j(k)]左乘A恰好等于把A 的第j行的k倍加到第i行上. 对于其它两种初等行变换以及定理的(2)，可以 类似地进行证明．
例2.20 设
3 1 0 A = − 1 1 2 1 0 1
,而
0 1 0 E 3 (1,2) = 1 0 0 0 0 1
3 3 7 2
1 1 2 0 0 1 r3 − 5r2 0 5 − 2 r4 + 2r2 0 − 2 − 4
1 r2 × 3
3 1 7 2
1 0 → 0 0
2 1 0 0
1 0 −2 −4
3 r 2r 1 4 − 3 0 1 r ×− 1 0 2 3 2 0 4
于是
ε1 ε1 A A1 M M M ε + kε (ε + kε )A A + kA j j j i i i E[i, j(k)]A = M A = M = M = B ε j ε j A Aj M M M εm εm A Am
ε i = (0, L ,0,1,0, L ,0) ( i = 1,2, L , m )
矩阵 初等变换
矩阵初等变换矩阵初等变换：线性代数中的重要工具一、引言矩阵初等变换是线性代数中的重要工具，它通过对矩阵进行一系列特定的操作，可以改变矩阵的性质和形态。
矩阵初等变换在解线性方程组、求逆矩阵、求特征值等问题中具有广泛的应用。
二、矩阵初等变换的定义矩阵初等变换是指对矩阵进行一系列的行变换或列变换，使得矩阵的性质发生改变。
矩阵初等变换包括三种类型：交换两行（列）、某一行（列）乘以非零常数、某一行（列）乘以非零常数加到另一行（列）上。
三、矩阵初等变换的作用1. 解线性方程组利用矩阵初等变换可以将线性方程组转化为简化的行阶梯形矩阵，从而可以方便地求解方程组的解。
通过对矩阵进行初等变换，可以使得方程组的系数矩阵变为单位矩阵或对角矩阵，从而可以直接得到方程组的解。
2. 求逆矩阵矩阵初等变换也可以用来求解矩阵的逆。
通过对矩阵进行一系列的初等变换，可以将原矩阵转化为单位矩阵，同时对应的初等变换作用于单位矩阵上，从而得到原矩阵的逆矩阵。
3. 求特征值和特征向量对于给定的矩阵，通过对其进行一系列的初等变换，可以将矩阵转化为对角矩阵，对角线上的元素即为矩阵的特征值。
同时，通过初等变换得到的矩阵与原矩阵具有相同的特征向量。
四、矩阵初等变换的性质1. 可逆性矩阵初等变换是可逆的，即对矩阵进行初等变换后再进行逆变换，可以得到原矩阵。
2. 保持行（列）线性关系矩阵初等变换保持行（列）之间的线性关系不变，即对矩阵进行初等变换后，矩阵的行（列）之间的线性组合关系保持不变。
3. 保持秩不变矩阵初等变换不改变矩阵的秩，即对矩阵进行初等变换后，矩阵的秩保持不变。
5. 矩阵初等变换的运算规律矩阵初等变换具有一些运算规律，包括交换律、结合律和分配律。
六、矩阵初等变换的应用举例1. 解线性方程组的应用通过对系数矩阵进行初等变换，可以将线性方程组转化为简化的行阶梯形矩阵，从而可以方便地求解方程组的解。
例如，对于如下线性方程组：2x + 3y = 74x + 5y = 9可以通过矩阵初等变换将其转化为如下形式：1 0 | a0 1 | b从而可以直接得到解x=a、y=b。
矩阵的三种初等变换
矩阵的三种初等变换
矩阵是线性代数中的重要概念，而矩阵的初等变换也是线性代数中的基本操作。
初等变换是指对矩阵进行某些简单的操作，使得矩阵的性质发生变化，从而得到新的矩阵。
下面将介绍三种常见的矩阵初等变换，包括行变换、列变换和倍加变换。
一、行变换
行变换是指对矩阵的某一行进行简单变换，例如交换两行、某一行乘以一个数、将某一行加上另一行的某个倍数等操作。
行变换可以使得矩阵变成行最简形式，也可以用于求解线性方程组，例如高斯-约旦消元法就是通过行变换求解线性方程组的方法。
二、列变换
列变换是指对矩阵的某一列进行简单变换，例如交换两列、某一列乘以一个数、将某一列加上另一列的某个倍数等操作。
列变换可以用于求解矩阵的秩、解决线性方程组等问题。
三、倍加变换
倍加变换是指对矩阵某一行或某一列进行一定倍数的加减运算，例如将某一行乘以k之后加到另一行上。
倍加变换可以用于求解线性方程组、计算矩阵的逆矩阵等问题。
总之，初等变换是矩阵计算中一个非常重要的操作，通过行变换、列变换和倍加变换可以得到一系列的新矩阵，这些新矩阵在线性
代数中具有很多实际应用。
同时，初等变换也是线性代数学习中的一个重要环节，掌握初等变换的方法及其应用，可以帮助我们更好地理解矩阵及其应用。
矩阵的初等变换
1
E (i, j)
1
0
1
1
第i 行
1
1
0 1
第j 行
1
h
14
（2）倍法变换
以k数 0 乘单位i行 矩 (rik 阵 ),得 的 初 第
矩阵
1
E ( i ( k ))
1 k
第i 行
1
1
h
15
（3）消法变换
以 k乘 E的j第 行加i行 到(上 第 ri kjr )
初等变换的逆变换仍为初等变换，且变换类型相同．
ri rj 逆变换
k r i 逆变换 ri krj 逆变换
ri rj;
1 k
ri;
r i ( k )r j或 r i kj.r
h
4
定义2 若矩阵A可以经过有限次初等变换变成矩阵 B，则称矩阵A、B等价。
等价关系的性质： （1）反身性 A与A等价 （2）对称性 若A与B等价，则B与A等价 （3）传递性 若A与B等价，B与C等价，则A与C等价
14 14
2X 1 1
1 1
1 1 02
2 0
3 4;
2 1 1 0 1 5
h
30
例3
h
25
推论2. A 可 逆 A 可 以 表 示 成 一 系 列 初 等 矩 阵 的 乘 积
推论3.
m n 阶 矩 阵 A 、 B 等 价 存 在 m 阶 可 逆 矩 阵 P ， n 阶 可 逆 矩 阵 Q ， 使 得 P A Q B
h
26
当 A 0 时A ， P 1 P 2 P 由 l ，有
h
19
定理4（左行右列原则）
对一个m×n阶Байду номын сангаас阵A施行一次初等行变换，相当于用一
第六节 矩阵的初等变换
(3)、以数k ≠ 0乘某行(列)加到另一行(列)上去 将矩阵E的第 的第j行 倍加到第 倍加到第i行上 将矩阵 的第 行k倍加到第 行上( ri + krj ), 得到初等矩阵
1 O ←第i 行 1 L k P ( i , j ( k )) = O M ←第 j 行 1 O 1 P ( i , j ( k )) 也是矩阵 的第 列k倍加到第 列上 也是矩阵E的第 的第i列 倍加到第 倍加到第j列上
22
三. 矩阵的初等变换与初等矩阵的关系 观察
6
特征： 特征： ）、可划出一 （1）、可划出一 ）、 条阶梯线， 条阶梯线，线的 下方全为零； 下方全为零； （2）、每个台阶 ）、每个台阶 ）、 上只有一行， 上只有一行，
如
1 0 0 0 4 2 −1 −6 3 0 0 1 −3 0 0 0 0 0 5 −1
（第 i 行乘 k , 记 作 ri × k 或 kri）
(3 ) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行
对应的元素上去（ 对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 . 记作 ri + kr j）
同样的,也可对矩阵的列实行如上三种变换. 同样的 也可对矩阵的列实行如上三种变换 也可对矩阵的列实行如上三种变换
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
14
５. 矩阵的标准型 定义： 定义： 形如
Or×( n− r ) Er D= O O( m − r )×( n− r ) ( m − r )×r m× n 的矩阵，称为矩阵的标准型 矩阵的标准型， 的矩阵，称为矩阵的标准型，简记为
kr
rj + kri
1.6 矩阵的初等变换
3 8 6 X 2 9 6 . 2 12 9
A1 G1G2 ....Gk AA
1
AG1G2 ....Gk
E AG1G2 ....Gk A1 EG1G2 ....Gk
A 初等列变换 E 1 E A
(2) 用非零常数 k 乘以 E 的第 i 行(列)，得到的 矩阵记作 P( i(k) ),
1 1 i行 P i ( k ) k 1 1 i列
(3) 将 E 的第 j 行的 k 倍加到第 i 行(或第 i 列的 k 倍加到第 j 列) ( i < j )，得到的初等矩阵记作 P( i，j(k) ),
交换第i , j列 A B AP ( i , j )
第j行的k倍加到第i行
A B AP ( i ( k ))
k 0乘第i列
A B AP ( j , i ( k ))
第j列的k倍加到第i列
例1 设
1 2 3 A 4 5 6
1 an
A1
0
行初等变换法求逆矩阵的计算形式，还可 以用于求解形如
AX = B 的矩阵方程. A 为已知的 n 阶可逆矩阵，B 为 已知的 n m 矩阵，X 为未知的 n m 矩阵.
(A,B)
行初等变换
(E , A-1 B )
例 5 求解矩阵方程 AX = A + 2X , 其中
4 2 3 A 1 1 0 1 2 3
推论 4 n 阶矩阵 A 可逆的充分必要条件是 A
可以表为有限个初等矩阵的乘积.
矩阵的初等变换
将定义1中的“行”换成“列”，即可得到 初等列变换的定义。 初等行变换、初等列变换统称为初等变换。
※ 初等变换都是可逆的。
如果矩阵A经有限次初等变换变成了矩阵B， 就称矩阵A与矩阵B等价。记为：A ~ B
矩阵之间等价关系的性质： （1）反身性： A ~ A
（2）对称性：若A ~ B ，则 B ~ A
例5、求解齐次线性方程组
x1 2 x2 2 x3 x4 0 2 x1 x2 2 x3 2 x4 0 x x 4 x 3x 0 3 4 1 2
例6、求解非齐次线性方程组
x1 x2 3 x3 x4 1 3 x1 x2 3 x3 4 x4 4 x 5x 9 x 8x 0 2 3 4 1
k k m×n 矩阵A的 k 阶子式共有 Cm Cn 个。
定义3（秩）：设在矩阵A中有一个不为零的 r 阶子式 D，且所有 r 阶以上的子式全为零， 则称数 r 为矩阵A的秩。记为：R(A)
※ 显然有： R(A)＝ R(AT)
例1、求矩阵A、B的秩，其中
1 2 3 A 2 3 5 4 7 1
例3、求矩阵A及B＝（A:b）的秩，其中
1 2 2 1 1 0 2 4 8 2 A , b 3 2 4 2 3 3 6 0 6 4
1 2 例4、已知矩阵 A 1 2
例7、设有线性方程组
x1 2 x2 2 x3 x4 0 2 x1 x2 2 x3 2 x4 0 x x 4 x 3x 0 3 4 1 2
问 λ 取何值时，此方程组（1）有唯一解
（2）无解
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经济数学 9.6.1 矩阵的初等变换
解：
且rr34这2rr行些43最非简零100形元矩所110 阵在特的021点列：的111 其非它零043元行 素的(B都第4为一) 个0．非零1素B,元3消；为去为B1B4，是4行下a把阶34方梯a的变3形4 元为
0 0
0
0
0
矩阵.
只为有一一 行行行）阶，后梯rr台面12形rr阶的2矩3 数第阵即一特100是个点非元100：零 素可行 为0画11的 非出100行 零一数 元条， ，34阶3阶 也梯梯 就线(B线 是，5 )的 非线竖 零的线 行下（ 的方与 元B每第4全素a3段一4为，；BB竖个0消55是为；线非去行保每的零其最留个长元上简台度．a方2形阶2
3 4 3 0 0 1
9.6 矩阵的初等变换
经济数学
9.6.1 矩阵的初等变换
解：
rr32 33rr11
1 0
2 4
20 5 1
1 3
0
1
0
r2 r3
0
2 2
20 3 0
1 3
0 1
0 2 3 0 3 1
0 4 5 1 3 0
1 2 2 0 1 0
1 2 2 0 1 0
12r2
0
1
30
解： 3 A 1
2 2
1
1
2
r1r2
3
2 2
2 1
rr32 33rr11
1 0
2 4
2 5
3 4 3
3 4 3
0 2 3
1
r2 r3
0
2 2
2 3
12r2
1 0
2 1
2 3/ 2
0 4 5
0 4 5
1 r34r2 0
2 1
2
1
3
/
2
r12r2
0
0 1
1 3/2
r1 r3
定理9·9 任何一个矩阵,总可以经过一系列初等行变换化为与之等价的阶 梯形矩阵．
9.6 矩阵的初等变换
经济数学 9.6.1 矩阵的初等变换
2 1 1 1 2
例21
用初等行变换将矩阵 B 1 1 2 1 4 化 为 4 6 2 2 4
阶梯形矩阵 .
3
6
9
7
9
解： 2 B 1 4
1 1 6
1 2 2
9.6 矩阵的初等变换
经济数学
9.6.1 矩阵的初等变换
3 2 1
例23
用初等行变换求矩阵
A 1 2 2
的逆矩阵 .
3 4 3
解： 作一个 n 2n 的矩阵 (A E) ，并作初等行变换
3 2 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
(A E) 1
2
20
1
0
r1r2
3
2
11
0
0
3 4 3 0 0 1
经济数学 9.6.2 矩阵的秩
例24
求矩阵
2 1 0 3 2
A 0
3
1 2
5
0 0 0 4 3
0 0 0 0
0
的秩 .
解： A 是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，即知 的所有4阶子
式全为零．而以三个非零行的第一个非零元为对角元的三阶行
列式 A
2 1 3 0 3 2 24 0 ，因此 r(A) 3 ．
r2 32r3
1 0
0 1
0 0
0 0 1
0 0 1
0 0 1
9.6 矩阵的初等变换
经济数学 9.6.1 矩阵的初等变换 2.用初等变换求逆矩阵
定理9·11
设 A 为 n 阶可逆矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若对 n 2n 阶 矩阵 (A E) 作一系列初等行变换，使它变为 (E B) 则 B A1．
2 2 5
1 2 3
4
0
6
(B2 )
0 3 3 4 3
rr1234r2 53rr22
1 0
0
1 1 0
2 1 0
1 1 2
4
0
6
( B3 )
0 0 0 1 3
B B 是保留 a,消
1
2
11
去 下a 方元素； 11
B B 是把 a变为
2
3
22
1,消去 下a 方的元 22
素；
9.6 矩阵的初等变换
kri (kci )
(3)消去变换：把矩阵的某一行（列）的所有元素的倍加到另一
行（列）的对应元素上去．记法：
ri krj (ci kc j )
矩阵的初等行变换与矩阵的初等列变换统称为矩阵的初 等变换．
9.6 矩阵的初等变换
经济数学 9.6.1 矩阵的初等变换
定义9·17
矩阵 A 经过有限次初等变换转化为矩阵 B ，则矩阵 A 与矩阵 B 等价，记为 A ~ B ．
0 0
0
0
0
矩阵 .
9.6 矩阵的初等变换
经济数学 9.6.1 矩阵的初等变换
定理9·10
任何一个非奇异矩阵,总可以经过一系列初等行变换化为单位阵．
例22
将矩阵
3 2 1 A 1 2 2
3 4 3
化为单位阵．
解：
因为 det A 2 0 ，所以矩阵为非奇异矩阵．
9.6 矩阵的初等变换
经济数学 9.6.1 矩阵的初等变换
1 1 2
2 4
r1 r2
12r3
1 2
4
2
1 1 3
2 1 1
1 1 1
4
2 2
(B1)
3 6 9 7 9
3 6 9 7 9
B B 是把 a 变为1,为消第一列其它元素做准备；
1
11
9.6 矩阵的初等变换
经济数学 9.6.1 矩阵的初等变换
解：
rrr324 23r3rr11
1 0
0
1 2 5
经济数学
9.6.1 矩阵的初等变换 1. 矩阵初等变换的概念
定义9·16 以下3种变换称为矩阵的初等行（列）变换．
(1)互换变换：互换矩阵的两行（列）的所有元素．记法：
ri rj (ci c j )
9.6 矩阵的初等变换
经济数学
9.6.1 矩阵的初等变换
(2)倍乘变换：用一个非零常数乘以矩阵的某一行（列） 的所有 元素．记法：
式）．
9.6 矩阵的初等变换Байду номын сангаас
经济数学
9.6.2 矩阵的秩
定义9·19
设 A 是 m n 矩阵，如果 A 中不为零的子式的最高阶数为 r ， 称 r 为矩阵的秩，记为 r(A) r ．
定理9·12
r(A) r 的充要条件是 A 中存在一个 r 阶子式不为零，而
所有高于 r 阶的子式皆为零．
9.6 矩阵的初等变换
0
11
3 2
1 1 1
A1
3
/
2
3
5 / 2
1 3 2
9.6 矩阵的初等变换
经济数学 9.6.2 矩阵的秩
定义9·18
在 m n 矩阵中，任取 k 行 k 列 (k min{m, n}) ，位于这 些行列交叉处的k 2 个元素，不改变他们在A 中所处的位置次序而 得到的k 阶行列式,称为矩阵k 的A 阶子行列式（简称 k 阶子
3
1
r34r2
0
1
30
3
1
2 2 2
2 2 2
0 4 5 1 3
0
0
0
11
3
2
9.6 矩阵的初等变换
经济数学
9.6.1 矩阵的初等变换
解：
1 r12r2 0
0 1
1 0 30
2 3
1 1
r1 r3
r2 32r3
1 0
0 1
01 03
1 3
1
5
2 2 2
2
2
0 0
11
3
2
0