正项级数收敛及其应用公式版

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正项级数收敛性判别法的比较及其应用

一、引言

数学分析作为数学专业的重要基础课程。级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。

二、预备知识

1、正项级数收敛的充要条件

部分和数列{}n S有界，即存在某正数M，对0>n∀，有n S

2、几种不同的判别法

2.1 比较判别法

设∑∞

=1

n

n

u和∑∞

=1

n

n

v是两个正项级数，如果存在某正数N，对一切n>N都有

n

n

v

u≤，

那么

（1）若级数∑∞

=1

n

n

v收敛，则级数∑∞

=1

n

n

u也收敛；

（2）若级数∑∞

=1

n

n

u发散，则级数∑∞

=1

n

n

v也发散；

即∑∞

=1

n

n

u和∑∞

=1

n

n

v同时收敛或同时发散。

比较判别法的极限形式：

设∑∞

=1

n

n

u和∑∞

=1

n

n

v是两个正项级数。若l

v

u

n

n

n

=

+∞

→

lim，则

（1）当时，∑∞

=1

n

n

u与∑∞

=1

n

n

v同时收敛或同时发散；

（2）当0=l 且级数∑∞

=1

n n v 收敛时，∑∞

=1

n n u 也收敛；

（3）当∞→l 且∑∞=1

n n v 发散时，∑∞

=1

n n u 也发散。

2.2 比值判别法

设∑∞

=1n n u 为正项级数，若从某一项起成立着

11

≤-，0N ∃，有 （1）若对一切0N n >，成立不等式q u u n n ≤+1

，则级数∑∞

=1i n u 收敛； （2）若对一切0N n >，成立不等式11

≥+n n u u ，则级数∑∞=1

i n u 发散。 比值判别法的极限形式： 若∑∞

=1

n n u 为正项级数，则

（1） 当1lim

n

n v u +∞→时，级数∑∞

=1i n u 收敛； （2） 当1lim

≥+∞→n

n

n v u 时，级数∑∞

=1i n u 发散。

2.3 根式判别法 设∑∞

=1

n n u 是正项级数，且存在某正整数0N 及正常数M

（1） 若对一切0N n >，成立不等式1

=1

i n u 收敛；

（2） 若对一切0N n >，成立不等式1≥n

n u ，则级数∑∞

=1

i n u 收敛

根式判别法的极限形式： 设∑∞

=1

n n u 是正项级数，且l u n

n n =+∞

→lim

，则

（1）当1

=1n n u 收敛；

（2）当1>l 时，级数∑∞

=1

n n u 发散；

（3）当1=l 时，级数的敛散性进一步判断。

2.4 柯西积分判别法

对于正项级数∑∞

=1n n u ，设{}n u 单调减少的数列，作一个连续的单调减少的正值函数

()()0>x x f ，使得当x 等于自然数n 时，其函数恰为n u 。那么级数∑∞

=1

n n u 与数列{}n A ，

这里()⎰∞

=1

x f A n ，同为收敛或同为发散。

2.5 拉贝判别法

设∑∞

=1

n n u 是正项级数，且存在自然数0N 及常数r ，

（1）若对一切0N n >，成立不等式111>r u u n n n ≥⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-+，则级数∑∞

=1i n u 收敛；

（2）若对一切0N n >，成立不等式111<⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-+n n u u n ，则级数∑∞

=1i n u 收敛

拉贝判别法的极限形式：

设∑∞

=1n n u 是正项级数，且极限r u u n n n n =⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-++∞→11lim 存在，则 （1）当1

=1n n u 收敛；

（2）当1>r 时，级数∑∞

=1

n n u 发散。

（3）当1≡r 时，拉贝判别法无法判断。

2.6 阿贝尔判别法 如果：

()i 级数∑∞

=1

n n b ；

()ii 级数{}n a 单调有界，()⋅⋅⋅=≤,3,2,1n K

a n

，则级数∑∞

=1

n n n b a 收敛。

2.7 狄立克莱判别法 如果：

()i 级数∑∞

=1

n n b 的部分和n B 有界，()⋅⋅⋅=≤,3,2,1n M

B n