最小割的一些思考
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例题
• 例题：poj 1966 给出一个由n个点，m条边组成的无向图。 求最少去掉多少点才能使得图中存在两点，它们之间不连 通。 依次枚举源点和汇点，按照如上方式构图，求出最大流。 枚举源汇点得到的最大流最小的值既是这个图的最小点割 集。
•
• •
例题：poj 1815 给出一个无向图，和图中的两个点s，t。 求至少去掉几个点后才能使得s和t不连通，并按照字典序 输出这些点。 • 从小到大(因为要按照字典序输出)依次枚举图中除了s,t 之外的点，把这个点删去后对这个图做最大流，如果流量 减少则说明这个点必然属于一个独立轨，那么就记录这个 点，不再还原，并枚举下一个点，否则还原这个点。枚举 完成后按顺序输出所有记录到的点即可。
算法描述
• 算法描述：在原图的基础上增 加源点s和汇点t，将原图中的 每条有向边替换为容量为正无 穷的有向边，s向图中的所有正 权点连接有向边，容量为这个 点的权值。图中的所有负权点 向汇点t连边，容量为这个点权 值的绝对值。对构造出的网络 图求最小割，用所有正权的总 和减去最小割即为最大权值。 从s开始进行dfs能访问到的点 属于最大权闭合图。（以上页 图为例，转化为网络流图后的 效果如右图） • 具体描述及证明证明详见 Amber论文《最小割模型在信 息学竞赛中的应用》
最大权闭合图
• 定义：在一个有向图中， 有边(u,v)，如果选择了u， 必须选择v，这样选出的 图叫做闭合图。某些点 有权值，则选出的权值 最大的闭合图，叫做最 大权闭合图。 • 右图中的闭合图有空 集,{5},{2,5},{4,5},{2,4,5}, {3,4,5},{1,2,3,4,5},{1,2,4 ,5}。最大权闭合图为 {3,4,5}。权值之和为4。
一些割的性质
• 1.割[S,T]，流量只能从S流向T，不能从T流向S！ （在最 大流后找割dfs时其实就满足这个性质，假设T中一个点v 流向S中的一个点u，那么u到v有负流量，则u到v的残留 网络严格大于0。 ） • 2.最大流后，割边一定满流。减小某一割边后，网络流减 小。 • 3.如下图，从s沿着残余流量dfs，得到点集S；同理沿着t 反向dfs，得到点集T；剩下的是M。分界线cut1和cut2是 其中一割，边自然为割边。然而在M中还存有割边（一定 存有！！否则M就没用了！）
网络流的一些思考
基本概念
• • • • 二分图 网络流：肯定是有向的带流量(容量)的图 最大流 最小割：
二分图
• • • • 二分图的概念 二分图的判断 二分图的匹配（匈牙利算法）（最大流） 二分图的应用
• 二分图绝大多数可以用网络流来写，不过 有例外。 • noi2009那道题
网络流
• • • • 流量很重要 dfs的回溯很厉害 最小费用最大流 spfa来判断是否有增广路。 两个ppt
二分图的一些概念
• 在一个无向图 G = (V , E ) 中，有如下定义。 • 点覆盖集（vertex covering set，VCS）是无向图 G 的一个点集，使 得该图中所有边都至少有一个端点在该集合内。形式化的定义是点覆 盖集为V ' ∈V ，满足对于 ∀(u, v) ∈ E ，都有u ∈V ' 或 v ∈V ' 成立， 即 u ∈V ' ， v ∈V ' 至少一个成立。形象地说是若干个点“覆盖”住 了与它们邻接的边，这些边恰好组成了原边集。 • 点独立集（vertex independent set，VIS）是无向图 G 的一个点集， 使得任两个在该集合中 的点在原图中都不相邻。或者说是导出子图为 零图（没有边）的点集。形式化的定义是点独立集为V ' ∈V ，满足 对于 ∀u, v ∈V ' ，都有 (u, v) ∉ E 成立。点独立集还有一种等价的定 义： 点独立集为V ' ∈V ，满足对于 ∀(u, v) ∈ E ，都有 u ∈V ' 与 v ∈V ' 不同时成立。 • 最小点覆盖集（minimum vertex covering set，MinVCS）是在无向 图 G 中，点数最少的点 覆盖集。 • 最大点独立集（maximum vertex independent set，MaxVIS）是在无 向图 G 中，点数最多的 点独立集。 • 以上两个问题都是经典的NPC问题，但在二分图中都可以用最大匹配 模型来快速解决。 • 论文第30页。
•
一些割的性质
• 退化一下：如下图所示，S和T 有相邻部分边集E1，S和M重合 边集相邻部分边集E2，M和T相 邻边集部分E3，那么直接升高 E1中某条边的容量，会使整体 容量直接增高！反之：而如果 增大S和M相邻的割边或者M和 T相邻的割边，网络流不直接增 大，因为M中还存有割边限制 。
• 继续退化：如果M==空集， cut1和cut2重合（变为cut）， 则网络中割唯一。可以通过 if ( |S|+|T|==总点数) 来判断
网络流关键割边 • 定义：关键割边就是增加某条边的容量,可 以使得网络的最大流增加。 • 算法描述：首先对这个网络图跑一遍 dinic（最大流），得到残余网络。再分别 从s和t对残余网络进行dfs。对于一条边(a,b) 如果从s可以到达a并且从t可以到达b则该边 为关键割边。 • 注意，满流的边不一定是关键割边。具体 反例见胡波涛论文第8页。
怎样求割 • 求完最大流后，在残留网络中从source开 始dfs，被染色的为S，未被染色的为T，则 边集[S,T]为割。
• /f?kz=793195439 • 雷了！
固定模型的最小割问题构图方法及举例
常见类型 • 网络流关键割边 • 最大权闭合图 • 无向图点连通度(无向图最小点割集) • 二分图的最小点权覆盖集算法 • 二分图的最大点权独立集算法
•
例题：zoj 2532 有n个城市，m个中继站，一个总站--0点。有L条有 向线路连接这些点，每条线路都有各自的容量。现在所有的城市要向 总站发送信号。求增加哪条边的容量可以使得总信号流量增加。 • 同上面那道题基本相同，在加边时注意增加一个标号即可。 • • 例题：zoj 2587 给出一个网络图和源汇点，判断这个图的最小割是 否唯一。 • 之前做到的题目都是求最小割的大小是多少，这里最小割的唯一性 的该如何判断呢。其实这个问题的解决思路和求网络流的关键割边很 相似，都是在dinic后再分别从源汇点对这个残余网络进行dfs。如果 无法访问到所有的点则说明该图的最小割并不唯一。 • （我的想法是，如果一个点无法被遍历到，那么他肯定是被夹在两个 (或多个)满流的边之间，导致dfs无法到达该点，那么对于这两条满流 的边，把任何一个放在割中都可构成最小割，所以推出最小割不唯一）
最小割
• 胡伯涛的论文 • 以下内容只是对论文的理解。
最小割的概念
• 1.到底什么是割：原始点集为V，选出一些点集S 使得s∈S，T=V-S，t∈T，则S到T的边为S到T割， 记做[S,T]。 • 2.什么是最小割：图中所有的割中，边权值和最 小的割为最小割！ • 3.割的容量容量和流量计算的区别：割[S,T]的容 量为∑(边(u,v)的容量和)，其中u∈S,∈T。也就是 说割的容量不计算反向的边！！而流量为正向的 和反向的代数和。 • 4.最大流-最小割定理：最大流的值为最小割的容 量！（反证法） • 例题：巡逻。
二分图的最小点权覆盖集算法
• 定义：无向二分图G=(V,E)。X，Y分别是这个二分图的两个点集，每 一个顶点i都有一个权值vi。选出顶点集合V的一个子集V1使得E中的 每一条边都和V1中的点相连(至少有一个端点属于V1)，并且使得V1 中所有点的权值之和最小。 • 算法描述：增设源汇点s和t。由s向所有X集合中的点连边，容量为 这个点的权值vi。Y集合中的点向t点连边，容量为这个点的权值vi。 如果原二分图中u和v之间存在边，则连接u->v容量为正无穷(用来保 证这条边不在割中)。对这个图求出最大流的值，既是最小点权覆盖 的值。
具体做法
无向图点连通度(无向图最小点割集) • 定义：一个具有N个点的图G中，在去掉任 意k-1个顶点后（1<=k<=N）,所得的子图仍 然连通，去掉K个顶点后不连通，则称G是 K连通图，K称作图G的连通度，记作K （G）。
思路
• 独立轨：A，B是图G（有向无向均可）的两 个顶点，我们称为从A到B的两两无公共内顶 的轨为独立轨，其最大的条数记作p(A,B)。 • 在右图中有一个具有7个定点的连通图，从 顶点1到顶点3有3条独立轨，即p(1,3)=3; • 1—2—3 , 1—7—3 , 1—6—5—4—3 • 如果分别从这3条独立轨中，每条轨抽出一 个内点，在G图中删掉，则图不连通。若连 通图G的两两不相邻顶点间的最大独立轨数 最小的P（A，B）值即为K（G）。 • 若G为完全图（两两点可达），则K（G） =n-1，即完全把某个点的所有边删掉后才不 连通。 • 既然独立轨是只能经过一次的边，那么可以 构造网络流模型，其中每条边的容量为1， 就可以限制只经过一次。
例题 • poj 3204 一个由n个点，m条边构成的有向 图，每条边都有一定的流量。现在求存在 多少条边，在增加这些边的流量后从0点到 n-1的总流量会增加。 • usaco4.4.2 • /mengyun1993/blog/ite m/c30d193c9a85932870cf6cda.html • usaco 5.4.5 • 拆点
算法
• • • • • • • • • • 构建网络流模型： 若G为无向图： （1）原G图中的每个顶点V变成N网中的两个顶点V`和V``,顶点V`至V``有一条 弧容量为1； （2）原图G中的每条边e=UV，在N网中有两条弧e`=U``V`,e``=V``U`与之对 应，e`与e``容量均为无穷； （3）以A``为源点，B`为汇点，求最大流。 若G为有向图 （1）原G图中的每个顶点V变成N网中的两个顶点V`和V``,顶点V`至V``有一条 容量为1的弧； （2）原G图中的每条弧e=UV变成一条有向轨U`U``V`V``,其中轨上的弧U``V` 的容量为无穷； （3）以A``为源点，B`为汇点求最大流。 上面的模型只是求出了以A为源点B为汇点的最大流max_flow，等价于在G中 只要去掉max_flow个点就会使得A与B不连通。而图的连通度是要求去掉最少 的点使得整个图不连通，做法是固定一个点为源点，枚举与源点不相邻的点 为汇点，求最大流。在所有的枚举结果中最小的max_flow 值就是要求的 K(G).注意如果某次枚举的汇点求出 的最大流为无穷则说明此此枚举的源点 与汇点是强连通的。如果所有的枚举结果都为无穷，则说明整个图G是强连 通的，需要去掉n-1个点才能破坏其连通性。
题目
• noi06 profit • noi09 pvz
最大密度子图 Finding a Maximum Density Subgraph
• 定义一个无向图 G = (V , E ) 的密度 (density) D 为该图的边数 |E| 与该图 的点数 |V|的比值 • |E| D = |V | • 。 • 给出一个无向图 G = (V , E ) ，其具 有最大密度的子图 G ‘ = (V ’, E ‘) 称 为最大密度子图（maximum density subgraph），即最大化 | E '| • D ' = |V '| 。
• 给出了一幅 个点的图，其中在虚线内的点 与边组成最大密度子图，红边组成子图的 边集，密度为5/4
poj3155 • 给定N个点M条边，从中选取一些点，如果 选取的点之间有边相连，则这条边也被选 择；要求 边/点 最大的一种方案 。
• 最典型的最大密度子图。
分析 • 当求解性问题做不好，能不能转换为判定 性问题。 • 最原始的思路就是转换为二分。 • 论文从第20页到第21页，转换成了最大权 闭合图。 • 然后下面又逆向思维，更高级。 • 这个下周我再点一下。
例题
• 例题：poj 1966 给出一个由n个点，m条边组成的无向图。 求最少去掉多少点才能使得图中存在两点，它们之间不连 通。 依次枚举源点和汇点，按照如上方式构图，求出最大流。 枚举源汇点得到的最大流最小的值既是这个图的最小点割 集。
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例题：poj 1815 给出一个无向图，和图中的两个点s，t。 求至少去掉几个点后才能使得s和t不连通，并按照字典序 输出这些点。 • 从小到大(因为要按照字典序输出)依次枚举图中除了s,t 之外的点，把这个点删去后对这个图做最大流，如果流量 减少则说明这个点必然属于一个独立轨，那么就记录这个 点，不再还原，并枚举下一个点，否则还原这个点。枚举 完成后按顺序输出所有记录到的点即可。
算法描述
• 算法描述：在原图的基础上增 加源点s和汇点t，将原图中的 每条有向边替换为容量为正无 穷的有向边，s向图中的所有正 权点连接有向边，容量为这个 点的权值。图中的所有负权点 向汇点t连边，容量为这个点权 值的绝对值。对构造出的网络 图求最小割，用所有正权的总 和减去最小割即为最大权值。 从s开始进行dfs能访问到的点 属于最大权闭合图。（以上页 图为例，转化为网络流图后的 效果如右图） • 具体描述及证明证明详见 Amber论文《最小割模型在信 息学竞赛中的应用》
最大权闭合图
• 定义：在一个有向图中， 有边(u,v)，如果选择了u， 必须选择v，这样选出的 图叫做闭合图。某些点 有权值，则选出的权值 最大的闭合图，叫做最 大权闭合图。 • 右图中的闭合图有空 集,{5},{2,5},{4,5},{2,4,5}, {3,4,5},{1,2,3,4,5},{1,2,4 ,5}。最大权闭合图为 {3,4,5}。权值之和为4。
一些割的性质
• 1.割[S,T]，流量只能从S流向T，不能从T流向S！ （在最 大流后找割dfs时其实就满足这个性质，假设T中一个点v 流向S中的一个点u，那么u到v有负流量，则u到v的残留 网络严格大于0。 ） • 2.最大流后，割边一定满流。减小某一割边后，网络流减 小。 • 3.如下图，从s沿着残余流量dfs，得到点集S；同理沿着t 反向dfs，得到点集T；剩下的是M。分界线cut1和cut2是 其中一割，边自然为割边。然而在M中还存有割边（一定 存有！！否则M就没用了！）
网络流的一些思考
基本概念
• • • • 二分图 网络流：肯定是有向的带流量(容量)的图 最大流 最小割：
二分图
• • • • 二分图的概念 二分图的判断 二分图的匹配（匈牙利算法）（最大流） 二分图的应用
• 二分图绝大多数可以用网络流来写，不过 有例外。 • noi2009那道题
网络流
• • • • 流量很重要 dfs的回溯很厉害 最小费用最大流 spfa来判断是否有增广路。 两个ppt
二分图的一些概念
• 在一个无向图 G = (V , E ) 中，有如下定义。 • 点覆盖集（vertex covering set，VCS）是无向图 G 的一个点集，使 得该图中所有边都至少有一个端点在该集合内。形式化的定义是点覆 盖集为V ' ∈V ，满足对于 ∀(u, v) ∈ E ，都有u ∈V ' 或 v ∈V ' 成立， 即 u ∈V ' ， v ∈V ' 至少一个成立。形象地说是若干个点“覆盖”住 了与它们邻接的边，这些边恰好组成了原边集。 • 点独立集（vertex independent set，VIS）是无向图 G 的一个点集， 使得任两个在该集合中 的点在原图中都不相邻。或者说是导出子图为 零图（没有边）的点集。形式化的定义是点独立集为V ' ∈V ，满足 对于 ∀u, v ∈V ' ，都有 (u, v) ∉ E 成立。点独立集还有一种等价的定 义： 点独立集为V ' ∈V ，满足对于 ∀(u, v) ∈ E ，都有 u ∈V ' 与 v ∈V ' 不同时成立。 • 最小点覆盖集（minimum vertex covering set，MinVCS）是在无向 图 G 中，点数最少的点 覆盖集。 • 最大点独立集（maximum vertex independent set，MaxVIS）是在无 向图 G 中，点数最多的 点独立集。 • 以上两个问题都是经典的NPC问题，但在二分图中都可以用最大匹配 模型来快速解决。 • 论文第30页。
•
一些割的性质
• 退化一下：如下图所示，S和T 有相邻部分边集E1，S和M重合 边集相邻部分边集E2，M和T相 邻边集部分E3，那么直接升高 E1中某条边的容量，会使整体 容量直接增高！反之：而如果 增大S和M相邻的割边或者M和 T相邻的割边，网络流不直接增 大，因为M中还存有割边限制 。
• 继续退化：如果M==空集， cut1和cut2重合（变为cut）， 则网络中割唯一。可以通过 if ( |S|+|T|==总点数) 来判断
网络流关键割边 • 定义：关键割边就是增加某条边的容量,可 以使得网络的最大流增加。 • 算法描述：首先对这个网络图跑一遍 dinic（最大流），得到残余网络。再分别 从s和t对残余网络进行dfs。对于一条边(a,b) 如果从s可以到达a并且从t可以到达b则该边 为关键割边。 • 注意，满流的边不一定是关键割边。具体 反例见胡波涛论文第8页。
怎样求割 • 求完最大流后，在残留网络中从source开 始dfs，被染色的为S，未被染色的为T，则 边集[S,T]为割。
• /f?kz=793195439 • 雷了！
固定模型的最小割问题构图方法及举例
常见类型 • 网络流关键割边 • 最大权闭合图 • 无向图点连通度(无向图最小点割集) • 二分图的最小点权覆盖集算法 • 二分图的最大点权独立集算法
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例题：zoj 2532 有n个城市，m个中继站，一个总站--0点。有L条有 向线路连接这些点，每条线路都有各自的容量。现在所有的城市要向 总站发送信号。求增加哪条边的容量可以使得总信号流量增加。 • 同上面那道题基本相同，在加边时注意增加一个标号即可。 • • 例题：zoj 2587 给出一个网络图和源汇点，判断这个图的最小割是 否唯一。 • 之前做到的题目都是求最小割的大小是多少，这里最小割的唯一性 的该如何判断呢。其实这个问题的解决思路和求网络流的关键割边很 相似，都是在dinic后再分别从源汇点对这个残余网络进行dfs。如果 无法访问到所有的点则说明该图的最小割并不唯一。 • （我的想法是，如果一个点无法被遍历到，那么他肯定是被夹在两个 (或多个)满流的边之间，导致dfs无法到达该点，那么对于这两条满流 的边，把任何一个放在割中都可构成最小割，所以推出最小割不唯一）
最小割
• 胡伯涛的论文 • 以下内容只是对论文的理解。
最小割的概念
• 1.到底什么是割：原始点集为V，选出一些点集S 使得s∈S，T=V-S，t∈T，则S到T的边为S到T割， 记做[S,T]。 • 2.什么是最小割：图中所有的割中，边权值和最 小的割为最小割！ • 3.割的容量容量和流量计算的区别：割[S,T]的容 量为∑(边(u,v)的容量和)，其中u∈S,∈T。也就是 说割的容量不计算反向的边！！而流量为正向的 和反向的代数和。 • 4.最大流-最小割定理：最大流的值为最小割的容 量！（反证法） • 例题：巡逻。
二分图的最小点权覆盖集算法
• 定义：无向二分图G=(V,E)。X，Y分别是这个二分图的两个点集，每 一个顶点i都有一个权值vi。选出顶点集合V的一个子集V1使得E中的 每一条边都和V1中的点相连(至少有一个端点属于V1)，并且使得V1 中所有点的权值之和最小。 • 算法描述：增设源汇点s和t。由s向所有X集合中的点连边，容量为 这个点的权值vi。Y集合中的点向t点连边，容量为这个点的权值vi。 如果原二分图中u和v之间存在边，则连接u->v容量为正无穷(用来保 证这条边不在割中)。对这个图求出最大流的值，既是最小点权覆盖 的值。
具体做法
无向图点连通度(无向图最小点割集) • 定义：一个具有N个点的图G中，在去掉任 意k-1个顶点后（1<=k<=N）,所得的子图仍 然连通，去掉K个顶点后不连通，则称G是 K连通图，K称作图G的连通度，记作K （G）。
思路
• 独立轨：A，B是图G（有向无向均可）的两 个顶点，我们称为从A到B的两两无公共内顶 的轨为独立轨，其最大的条数记作p(A,B)。 • 在右图中有一个具有7个定点的连通图，从 顶点1到顶点3有3条独立轨，即p(1,3)=3; • 1—2—3 , 1—7—3 , 1—6—5—4—3 • 如果分别从这3条独立轨中，每条轨抽出一 个内点，在G图中删掉，则图不连通。若连 通图G的两两不相邻顶点间的最大独立轨数 最小的P（A，B）值即为K（G）。 • 若G为完全图（两两点可达），则K（G） =n-1，即完全把某个点的所有边删掉后才不 连通。 • 既然独立轨是只能经过一次的边，那么可以 构造网络流模型，其中每条边的容量为1， 就可以限制只经过一次。
例题 • poj 3204 一个由n个点，m条边构成的有向 图，每条边都有一定的流量。现在求存在 多少条边，在增加这些边的流量后从0点到 n-1的总流量会增加。 • usaco4.4.2 • /mengyun1993/blog/ite m/c30d193c9a85932870cf6cda.html • usaco 5.4.5 • 拆点
算法
• • • • • • • • • • 构建网络流模型： 若G为无向图： （1）原G图中的每个顶点V变成N网中的两个顶点V`和V``,顶点V`至V``有一条 弧容量为1； （2）原图G中的每条边e=UV，在N网中有两条弧e`=U``V`,e``=V``U`与之对 应，e`与e``容量均为无穷； （3）以A``为源点，B`为汇点，求最大流。 若G为有向图 （1）原G图中的每个顶点V变成N网中的两个顶点V`和V``,顶点V`至V``有一条 容量为1的弧； （2）原G图中的每条弧e=UV变成一条有向轨U`U``V`V``,其中轨上的弧U``V` 的容量为无穷； （3）以A``为源点，B`为汇点求最大流。 上面的模型只是求出了以A为源点B为汇点的最大流max_flow，等价于在G中 只要去掉max_flow个点就会使得A与B不连通。而图的连通度是要求去掉最少 的点使得整个图不连通，做法是固定一个点为源点，枚举与源点不相邻的点 为汇点，求最大流。在所有的枚举结果中最小的max_flow 值就是要求的 K(G).注意如果某次枚举的汇点求出 的最大流为无穷则说明此此枚举的源点 与汇点是强连通的。如果所有的枚举结果都为无穷，则说明整个图G是强连 通的，需要去掉n-1个点才能破坏其连通性。
题目
• noi06 profit • noi09 pvz
最大密度子图 Finding a Maximum Density Subgraph
• 定义一个无向图 G = (V , E ) 的密度 (density) D 为该图的边数 |E| 与该图 的点数 |V|的比值 • |E| D = |V | • 。 • 给出一个无向图 G = (V , E ) ，其具 有最大密度的子图 G ‘ = (V ’, E ‘) 称 为最大密度子图（maximum density subgraph），即最大化 | E '| • D ' = |V '| 。
• 给出了一幅 个点的图，其中在虚线内的点 与边组成最大密度子图，红边组成子图的 边集，密度为5/4
poj3155 • 给定N个点M条边，从中选取一些点，如果 选取的点之间有边相连，则这条边也被选 择；要求 边/点 最大的一种方案 。
• 最典型的最大密度子图。
分析 • 当求解性问题做不好，能不能转换为判定 性问题。 • 最原始的思路就是转换为二分。 • 论文从第20页到第21页，转换成了最大权 闭合图。 • 然后下面又逆向思维，更高级。 • 这个下周我再点一下。