§3 曲线的曲率和 Frenet 标架

(3.4)
x′(t) y′(t) z′(t) = 0 ．
x″(t) y″(t) z″(t)
密切平面几何直观的理论依据可由下例给出．
例 3 设弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 上无逗留点．过曲线上一点 P:
r(s) 的切线与以该点为端点之一的弦 PP1 （即直线段 PP1 ）共同张成的平 面记为 Π1 ，其中点 P1: r(s+Δs) ．当点 P1 沿着曲线趋向于点 P 时，试确定 平面 Π1 的极限位置．
r″(t) |r′(t)|
+ r′(t)
d dt
1 |r′(t)|
)
=
(X
−
r(t) , r′(t) , r″(t)) |r′(t)|2|T ′(t)|
．
由此，密切平面的参数方程变形为
(3.3) (X − r(t) , r′(t) , r″(t)) = 0 ； 用关于分量的行列式可记为
X − x(t) Y − y(t) Z − z(t)
定义 2 正则曲线 C: r = r(t) 在 r(t0) 处的曲率 κ(t0) = 0 时，称 r(t0) 或 t0 为曲线 C 的一个逗留点；否则称 r(t0) 或 t0 为曲线 C 的一个非逗留点．
定义 3
对无逗留点的正则曲线
C:
r
=
r(t)
，曲率向量
dT ds
的单位化
向量 N(t) 称为曲线 C 在 r(t) 处的
反之，若无逗留点的曲线 C: r = r(t) 的密切平面全部平行，则 B(t) ≡ B(t0) ，从而
r′(t)•B(t0) ≡ 0 , ∀t ； 积分得
[r(t) − r(t0)]•B(t0) ≡ 0 ， 此即该曲线落在点 r(t0) 处的密切平面上，为平面曲线． □
下面讨论计算问题．Frenet 标架显然在曲线的保向正则参数变换下不 变，并且在弧长参数下有简便的算式．事实上，对于在弧长参数 s 参数化 下的曲线 C: r = r(s) ，有
定理 1* 设定义在弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 上的单位向量场 ξ 从 ξ(s) 到 ξ(s+Δs) 的夹角为 Δϕ(s, Δs)∈(−π, π) ，则
lim
Δs→0
|
Δϕ Δs
|
=
|ξ
′(s)|
．
二．Frenet 标架 为了利用标架场的运动行为刻划曲线的几何性质，一种自然的想法是 在曲线上建立与自身几何属性密切相关的标架场．为此，进一步考虑曲线
主法向量；向量 B(t) = T(t)×N(t) 称为曲线 C 在 r(t) 处的从法向量 或副法向量或次法向量．单位正
B(t) 法平面
交右手标架 {r(t); T(t), N(t), B(t)} 称为曲线 C 在 r(t) 处的 Frenet 标 架．在 r(t) 处的法平面上，以主 法向量 N(t) 为方向向量的直线称
dT ds
=
dT dt
dt ds
= T ′(t)
1 a
=
(−cos
t
,
−sin a
t
,
0)
，
κ(t)
=
|
dT ds
|
=
|(−cos
t
,
−sin a
t
,
0)|
≡
1 a
，
故曲率半径 ρ(t) =
1 κ(t)
≡a
．
□
对于考察方向角的变化率而言，定理１只是特殊情形；但其证明方法 适用于建立更一般的结论，从而可以广泛地讨论各种方向角对于连续可微 单参数的变化状况．下列定理的证明请自行给出．
r(s) = OP + r*(s) A ． 此时对弧长参数求导，并对曲线 C* 各相应量的记号总打星号表示，即得
T(s) = T*(s) A ， T ′(s) = T*′(s) A ， κ2(s) = |T ′(s)|2 = |T*′(s) A|2 = [T*′(s) A]•[T*′(s) A] = T*′(s)•T*′(s) = |T*′(s)|2 = κ*2(s) ． 注意到曲率非负，便知结论成立． □
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作者：王幼宁
的切向量场和法平面场，其中曲线在指定一点的法平面是指过该点且垂直 于切线的平面．
注意到弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 上的单位切向 T(s) 模长恒定，从 而其曲率向量 T ′(s)⊥T(s) ，可知曲率向量落在法平面内．当曲率向量非零 之时，即当曲率非零之时，利用曲率向量的单位化向量就可以建立符合需 要的单位正交右手标架场．这导致下列两组定义．
d dt
1 |r′(t)|
，
因而
(X − r(t) , T(t) , N(t)) = (X − r(t) ,
r′(t) |r′(t)|
,
T ′(t) |T ′(t)| )
=
(X
−
r(t) , r′(t) , T |r′(t)| |T ′(t)|
′(t))
=
1 |r′(t)| |T ′(t)|
(X − r(t) , r′(t) ,
图 2-5
或是圆周或是圆柱螺线；不同半径的圆周的
单位切向方向变化率以半径较小的为大，等等．当然，以上观察都是在 E3
中进行的；并且在学完本节和下节内容之后，可以证明上述直观印象是正
确的．为了讨论连续变化率，自然用到微积分．另外，用活动标架的观点
来看，寻求附属于曲线本身的适当标架场在几何上是具有意义的．
作者：王幼宁
证明
T ′(s) = lim
Δs→0
T(s+Δs) − Δs
T(s)
，
∴
|T
′(s)|
=
| lim
Δs→0
T(s+Δs) − Δs
T(s)|
=
lim
Δs→0
|T(s+ΔΔs)s−
T(s)|
Δθ
| | 2 sin 2
= lim
Δs→0
Δs
=
lim
Δs→0
|
Δθ Δs
|
．
□
定义 1 正则曲线 C: r = r(t) 的单位切向量场 T(t(s)) 关于弧长 s 的导向
r(t) 密切平面 T(t)
C N(t)
为曲线 C 在 r(t) 处的主法线；以 从法向量 B(t) 为方向向量的直线 称为曲线 C 在 r(t) 处的从法线或 副法线或次法线．过 r(t) 处的切
从切平面 O
图 2-7
平面中，以主法向量 N(t) 为法向向量的平面称为曲线 C 在 r(t) 处的从切平
r′(t) |r′(t)|
=
dr dt
dt ds
，有
(3.1)
κ(t)N(t) =
dT ds
dT = dt
dt ds
=
T ′(t) |r′(t)|
，
(3.2)
dT dt
=
d dt
(
dr dt
dt ds
)
=
d2r dt2
dt dr ds + dt
d dt
(
dt ds
)
=
r″(t) |r′(t)|
+ r′(t)
{r(t); T(t), N(t), B(t)} 的各坐标轴和坐标面在原固定坐标系 {O; i, j, k} 下的
方程是容易确定的，列示如下：
切线 主法线 从法线 法平面
X = X(u) = r(t) + u T(t) ； X = X(u) = r(t) + u N(t) ； X = X(u) = r(t) + u B(t) ； (X − r(t))•T(t) = 0 ；
证明：r′(t) = (−a sin t , a cos t , 0) ，故 |r′(t)| = a > 0 ．此即参数 t 是正则 的，且对弧长参数 s 有 ds = |r′(t)| dt = a dt ．进一步，
T(t) =
r′(t) |r′(t)|
= (−sin t , cos t , 0) ，
面；以从法向量 B(t) 为法向向量的平面称为曲线 C 在 r(t) 处的密切平面．
注记：在非逗留点 r(t) ，曲率向量现可重新写为向量 κ(t)N(t) ．
Frenet 标架的运动公式及其应用将留待下节进行细致讨论．在此则继
续讨论相关概念及其几何意义．对于无逗留点的正则曲线 C: r = r(t) ，标架
一．曲率
为了衡量单位切向方向的变化
率，需要将曲线上“动点的运动速
率”进行统一规定；自然的想法是利
用弧长参数化，考虑单位切向及其方
向相对于弧长的变化率．给定 E3 的一
条弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) ，其单
位切向 T(s) 关于弧长的导向量为 T ′(s)
=
dT ds
=
d2r ds2
．
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作者：王幼宁
从切平面 (X − r(t))•N(t) = 0 ； 密切平面 (X − r(t))•B(t) = 0 ⇔(X − r(t) , T(t) , N(t)) = 0 ． 其中 X 表示几何对象上的动点的位置向量．密切平面的参数方程还可变形
为用曲线位置向量及其导向量表示．注意到 T(t) =
=
(Δs)2 2
κ(s)B(s)
+
o((Δs)2)⎯R2(s,
Δs)
，
其中向量 R2 和⎯R2 当 Δs→0 时有界．故当点 P1 沿着曲线趋向于点 P 时， 平面 Π1 的极限位置是过点 P 以 B(s) 为法向的平面，即密切平面． □
例 4 试证：平面曲线在非逗留点处的密切平面与所在平面重合；若 无逗留点的曲线 C 的密切平面全部平行，则曲线 C 为平面曲线．
T(s)
•s
C
•
T(s+Δs)
s+Δs
T(s) ΔT(s)
Δθ
T(s+Δs)
图 2-6
定理 1 设弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 的单位切向量场 T 从 T(s) 到 T(s+Δs) 的夹角为 Δθ(s, Δs)∈(−π, π) ，则
lim
Δs→0
|
Δθ Δs
|
=
|T
′(s)|
．
-1-
定理 2 设弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 与 C*: r* = r*(s) 合同，则两条 曲线在对应点 r(s) 与 r*(s) 处的曲率 κ(s) 与 κ*(s) 总相等．
证明 已知两条曲线合同，即存在行列式为 1 的 3 阶正交矩阵 A∈SO(3) 和点 P 坐标 b = (b1 , b2 , b3) ∈ E3 ，使 (x, y, z) = b + (x*, y*, z*) A ， 即
T(s) = r′(s) ， κ(s) = |T ′(s)| = |r″(s)| ， 对非逗留点进一步有
解： 当 T(s)×[r(s+Δs) − r(s)] ≠ 0 时为平面 Π1 的一个法向量，而
T(s)×[r(s+Δs) − r(s)]
=
T(s)×[(Δs)r′(s)
+
(Δs)2 2
r″(s) + o((Δs)2)R2(s, Δs)]
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作者：王幼宁
= T(s)×[(Δ2s)2 κ(s)N(s) + o((Δs)2)R2(s, Δs)]
量
dT ds
=
d2r ds2
称为曲线
C
在
r(t(s))
处的曲率向量；曲率向量之长
κ
=
|
dT ds
|
称为曲线
C
在
r(t(s))
处的曲率；当曲率非零时，其倒数
ρ
=
1 κ
称为曲线
C
在 r(t(s)) 处的曲率半径．
上节已知正则曲线上的弧段长度在 E3 的正交标架变换下不变，弧长元 素在保向正则参数变换下不变，并且弧长元素和单位切向在反向正则参数 变换下同时变号，因而曲率和曲率向量的定义不依赖于正则参数的选取， 并且可以期望曲率是曲线合同的不变量．事实上有下述结论．
证明：设平面曲线 C: r = r(t) 落在过点 p 且以 l 为法向单位向量的平面 (X − p)•l = 0 上，则 [r(t) − p]•l ≡ 0 ．此式对弧长参数求导得 T(t)•l ≡ 0 ．再 对弧长参数求导得 κ(t)N(t)•l ≡ 0 ，从而 N(t)•l ≡ 0 ．由 Frenet 标架的正交性 即得 B(t)∥l ，从而 B(t) ≡ ±l ，说明各密切平面都与所在平面重合．
≡
l
．于是，曲率
κ(u)
=
|
dT du
|
=
|Leabharlann Baidu
dl du
|
≡
0
．
反之，曲率处处为零的正则曲线具有固定的单位切向 l ，故在弧长参
数
s
下可写
T(s)
=
d ds
r(s)
=
l
，积分则得r(s)
=
(s
−
s0)l
+
r(s0)
，其中
s0
为任
意取定的一点．此即说明该曲线为直线． □
例 2 证明对常数 a > 0 ，圆周 r(t) = (a cos t , a sin t , 0) 的曲率半径处 处为圆周半径 a ．
作者：王幼宁
第二章 曲线的局部微分几何
§3 曲线的曲率和 Frenet 标架
在许多自然科学问题和日常生活中，刻
划曲线的弯曲程度是描述和解决问题的需
要．直观地看，曲线的弯曲程度是曲线的几
何属性．观察一些熟知曲线的弯曲状况，可
以注意到弯曲状况与单位切向的方向变化密
切相关：单位切向方向不变的曲线只能是直
线；单位切向方向“匀速”变化的曲线只能
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作者：王幼宁
例 1 直线的曲率处处为零；反之，曲率处处为零的曲线必为直线．
证明：对给定的直线，取定其上一点 p 和其单位方向向量 l ，则其参 数化可写为 r = r(u) = ul + p ．由于 r′(u) = l , |r′(u)| ≡ 1 ，故此时 u 为弧长参
数，T(u)
=
r′(u)