第届国际数学奥林匹克国家队选拔考试思路分析

第57届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试思路分析

2016.03.17 严文兰数学工作室

由于IMO 试题比较困难，所以即使写了解答，同学们也不一定看得懂，或者理解试 的解法，为什么这样想呢？以及自己做时如何分析问题呢？本文尽量给予阐明清楚。

1. 如图，在圆内接六边形ABCDEF 中，AB=BC=CD=DE ，若线段AE 内一点K 满足 ∠BKC=∠KFE, ∠CKD=∠KFA ，证明：KC=KF 。

分析：圆中角的关系最为灵活也相对 简单，由已知圆周角∠AFE=∠BKD 注意到弧BD=弧AE 的一半，所以又有

∠AFE=∠BOD ，从而∠BKD =∠BOD ，B 、K 、O 、D 四点共圆， 注意到OC 为此圆对称轴，所以在直

径上，所以OK 为∠BKD 线，这样分别延长BK 、DK 交圆O ’,就可以得到对称性：B 、B ’;D 、D ’关于OK 对称，由此，联系所证，只要C 、F 也关于OK 对称，即得KC=KF ，故不妨设点C 关于OK 的对称点为点F ’，显然在圆上，下面设法证明F ’=F ，由已知，可想到先证∠BKC=∠KF ’E ，

首先由对称性有∠BKC=∠B ’KF ’,下面要证的是∠KF ’E=∠B ’KF ’,这两个角是“内错角”，所以除非直线B ’D ∥F ’E,除非弧B ’F ’=弧DE ，由已知及对称性确实有弧B ’F ’=弧DE ，从而得到∠BKC=∠KF ’E ，延长F ’K 交圆O 于C ’,当点F ’变化时，弧EC ’=2∠KF ’E 也跟着单调变化，所以使得∠BKC=∠KF ’E 的点F ’唯一，又∠BKC=∠KFE ，所以 F ’=F ，所以KC=KF 。

2. 求最小的正实数λ，使得对任意三个复数123,,{|||1}z z z z C z ∈∈<，若1230z z z ++=，

则22122331123||||z z z z z z z z z λ+++<。

分析：由连续性，问题等价于条件、结论都是≤的情况。

在高等数学中有最大模原理，解析函数在自变量在边界时达到最大模。

所以，容易想到当22122331123||||z z z z z z z z z +++最大时，123,,z z z 至少有两个在边界，即

满足||1z =，而22122331123||||z z z z z z z z z +++=2232122331123|()|||i i z z z z z z e z z z e θθ+++，

故不妨设1212||||1,Re Re 0,z z z z x ====≥则32z x =-，10,2

x ≤≤ 所以2222224122331123|||||14||2|14161z z z z z z z z z x x x x +++=-+=-+≤，所以min 1λ=

下面设法证明之

不妨设123,,z z z 中3z 的模最大，因为3||1z ≤，将每个数都乘以1

3z --代替原来的数，则左边更大，此时31z =-，因为1230z z z ++=，设12,1,,,0z x yi z x yi x y R y =+=--∈≥， 则0x 1≤≤，代入化简得f =左边=22222222(2xy-y)(1)()x x y x x y +-+-+-+，先固定x ，得'228()y f y x x y =-+，所以'y f 先负后正，f 先减后增，在两端最大，

当0y =时，221

12()122

f x x =--+≤， 当y 最大时，12||,||z z 至少一个为1，不妨设2||1z =，以下同前面分析，即旋转为1z 在x 轴负半轴上，设1(01)z x x =-≤≤，则左边222(1)1x x =-+≤，所以min 1λ=。

3. 给定整数2n ≥，设集合12{(,,

,)|{0,1,,},1,2,,}n k X a a a a k k n =∈=，对任意元素1212(,,,),(,,,)n n s s s s X t t t t X =∈=∈，定义11(max{,},

,max{,})n n s t s t s t ∨=， 11(min{,},,min{,})n n s t s t s t ∧=，求X 的非空真子集A 的元素个数的最大值，使得对任意,s t A ∈，均有,,s t A s t A ∨∈∧∈

分析：如果取A X =，显然满足任意,s t A ∈，均有,,s t A s t A ∨∈∧∈但是，不满足条件A 是X 的真子集，我们考虑去掉X 的一些元素，使得得到的集合A 满足后面的条件。 为此，考虑某个k a 取少一个值k ，这时A 满足后面的条件，且||(1)!1

k A n k =++，当k n =时得到此种情形的最大值||!A nn =，元素能否再增加些呢？如果对此A 添加一个元素 11(,

,,)n s s n -，那么只有s t A ∨∈运算才可能产生新的元素，由此运算可知 11{(,

,,)|,1,,1}n k k a a n a s k n A -≥=-⊆，所以如果对原来的A 添加 111{(,,,)|0}n n a a n a --≠，则这样的A 满足所有条件，此时||!(1)(1)!A nn n n =+-- (1)!(1)!n n =+--，同理再往下添加，则不行了，如果这是最大值，那么，当

||(1)!(1)!A n n >+--时，就不满足条件，也就是必定会有A 不是X 的真子集，即A X =，

下面设法证明：当||(1)!(1)!A n n >+--时，A X =，今对n 行归纳法。

(1) n=1时，显然。

(2) 假设对1n k =-，成立，那么对n k =，将A 分成1k +支1{(,

,)|}i k k A a a A a i =∈= ，则至少有一支，不妨设为j A ，有||(1)!(1)!||!(2)!11

j A k k A k k k k +--≥>>--++，注意到每支都对运算,s t s t ∨∧封闭，由归纳假设，有j A 是满的，即1{(,,)|}j k k A a a X a j =∈=

，因为A 是X 的真子集，所以至少有一支是不满的，不妨设为()l A l j <，记(,,)max i l i i a A s a ∈=

， 则由s t ∨运算知11(,,,)k l s s s l A -=∈，再将s 与j A 的元素进行s t ∧运算知