与中点有关的辅助线作法例析

与中点有关的辅助线作法例析

安徽省利辛县教育局督导室夏飞

线段的中点是几何图形中的一个特殊点．在解决与中点有关的问题时，如果能适当地添加辅助线、巧妙地利用中点，则是处理中点问题的关键．但由于含有中点条件问题的辅助线的作法灵活，不少同学难以掌握。下面就针对中点问题举例谈谈几种添加辅助线的方法．

一、遇到中点找中点

这种方法常用于解决三角形和梯形的有关问题，主要是连接两个中点作中位线，并利用其性质．因此，在三角形中，已知三角形两边中点，连结两个中点，即可构造三角形的中位线；在梯形中，已知梯形两腰中点，连结两个中点，即可构造梯形的中位线．

例1：如图1，，E、F分别为BC、AD的中点，射线BA、EF交于点G，射线CD、EF交于点H．求证：．

分析：连接AC，并取其中点P，构造△PEF，证明，再利用中位线的性质即可得证．

证明：连接AC，取AC的中点P，连接PE、PF．

∵E为BC的中点，∴PE∥AB，，

同理PF∥CD，．

∵，∴，，

由PE∥AB ，得，

由PF∥CD，得．

说明：已知三角形一边的中点或梯形一腰的中点，常过中点作中位线．

二、遇到中点作中线

这种方法常用于解决直角三角形或等腰三角形的有关问题，主要是运用直角三角形斜边上的中线或等腰三角形底边上的中线性质．因此，遇到直角三角形斜边上的中点或等腰三角形底边上的中点，应联想到作中线．

例2：如图2，△ABC中，，AD为高，E为BC的中点，求证：．

分析：在△ABC中，出现了Rt△ADC和Rt△ADB这两个直角三角形；又因为E为BC 的中点，即题目中有中点与直角三角形的条件．按照“遇到中点找中点”的方法，可取Rt △ADC斜边AC的中点F（或AB的中点），连接EF，即得△ABC的中位线；再依据“遇到中点作中线”的方法，连接DF，即得到Rt△ADC斜边AC上的中线，然后只要证明

即可．

证明：取AC的中点F，连接EF、DF．

∵E、F分别为BC、AC的中点，∴EF∥AB，．

∵AD是高，∴△ADC是直角三角形．

又∵F为斜边AC的中点，∴，．

由EF∥AB，得．

又∵，∴．

∴．

说明：若一点是直角三角形斜边的中点或等腰三角形底边的中点，则应常想到作中线．

三、遇到中点倍长线段

这种方法是指：若图中出现由中点引出的线段，则应常想到成倍延长这一线段，可为解题提供更为广阔的思路．

例3：如图3，在△ABC中，已知D为BC边中点，FD⊥ED于点D，交AB、AC于点F、E．求证：．

分析：待证的线段BF、CE、EF之间没有明显关系。但点D是BC边的中点，故应考虑倍长ED（倍长FD也可）

到点G，连结BG、FG，则：△BGD≌△CED，所以，又因为FD⊥ED ，则，这样就把

BF、CE、EF转移到了△BFG中，再利用三角形三边关系即可证得结论．

证明：延长ED到G，使．

∵点D是BC边的中点，∴，

又∵，

∴△BGD≌△CED，

∴；

在△FGE中，

∵，FD⊥ED，∴，

在△FGE中，，

∴．

说明：“倍长线段”法在解题过程中有着很重要的作用，通过倍长相应的线段，再结合相应的条件

可得到全等三角形，从而可转移边、角．但须注意它的使用前提是已知条件中存在着线段的中点．

四、遇到中点，且结论为比例式时，常过中点作平行线

在解决有些几何问题中，尽管遇到了中点，但要证明的结论是比例式，此时可考虑过中点作平行线．

例4：如图4，过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F、E．求证：．

分析：AD是中线，则D为BC的中点，要证明的结论为比例式，且AE、ED又不在一个三角形内，为此，可过D点作DM∥AB，可知DM是△BFC的中位线．则有．同

时又可证得△AEF∽△DME，则有，接下去利用等量代换即可证得结论成立．

证明：过点D作DM∥AB交CE于M，则：

．

∵，DM∥AB，

∴，DM是△BCF的中位线，

∴．

在△AEF与△DME中，

，

，

∴△AEF∽△DME，

∴，

∴，

即．

[注：此例也可按照“遇到中点找中点”的方法，取FC的中点M，然后连接DM．]

说明：中点是图形中的特殊点，中线、中位线是三角形中的特殊线段，在解题中，如果能灵活运用与它们相关的性质，巧作辅助线，可使许多问题迅速得到解决．

五、遇到线段垂直平分线上的点，则常将这一点与线段的端点连接起来

由于“线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等”，所以可根据这一性质定理，若遇到线段垂直平分线上的点，则常将这一点与线段的端点连接起来，往往可使问题变得简便，从而顺利证得结论成立．

例5、如图5，设P是等边△ABC的BC边上任一点，连接AP，作AP的中垂线交AB、AC于M、N．求证：．

分析：连接PM、PN．因为MN是AP的中垂线，所以，，则△MPN≌△MAN，于是有．

又由于，可得：，于是有△BPM∽△CNP，于是可证得．

证明：连接PM、PN．

在△MPN与△MAN中，

∵MN是AP的中垂线，

∴，，

MN是公共边，

∴△MPN≌△MAN（SSS），

∴，

又∵

∴，

∴△BPM∽△CNP，

∴．

从上述几例含有中点条件的问题可以看出，在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，或题中已知条件出现了中点与其它条件的组合，则要由中点联想到作三角形的中线、中位线，或加倍延长线段等方法添加辅助线，然后依据相关性质，通过探索，即可迅速找到解决问题的途径或方法．