导数与生活中的优化问题及应用
导数在实际生活中的应用
导数在实际生活中的应用
导数是微积分中一个非常重要的概念，它在实际生活中有很多应用，例如：
1. 物理学中的运动学问题。
例如，速度和加速度是运动学中的基本概念，它们可以通过对位移和时间的导数来计算。
2. 经济学中的边际效应。
经济学家使用导数来衡量某种经济活动的边际效应，即当增加一单位产量或消费时所产生的额外效果。
3. 工程学中的优化问题。
设计师和工程师使用导数来帮助他们优化设计和工艺，以减少生产成本并提高产品质量。
4. 医学中的生理学问题。
医学家使用导数来研究血压变化、血糖水平变化等生理学问题，以更好地进行治疗。
5. 数据分析中的趋势分析。
数据分析师使用导数来计算数据的变化率和趋势，以帮助企业作出更明智的经营决策。
因此，导数在各个领域都有广泛的应用，它可以帮助我们了解事物的变化规律，优化设计和生产过程，并帮助我们做出更好的决策。
利用导数解决生活中的优化问题
利用导数解决生活中的优化问题导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。
一．解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。
再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．二．利用导数解决优化问题的基本思路：三、应用举例例1（体积最大问题）用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 解：设长方体的宽为(m)x ，则长为2(m)x ，高为181234.53(m)042x h x x -⎛⎫==-<< ⎪⎝⎭．故长方体的体积为 22323()2(4.53)96(m )02V x x x x x x ⎛⎫=-=-<<⎪⎝⎭． 从而2()181818(1)V x x x x x '=-=-． 令()0V x '=，解得0x =（舍去）或1x =，因此1x =．当01x <<时，()0V x '>；当312x <<时，()0V x '<． 故在1x =处()V x 取得极大值，并且这个极大值就是()V x 的最大值．从而最大体积233(1)91613(m )V V ==⨯-⨯=，此时长方体的长为2m ，高为1.5m ． 答：当长方体的长为2m ，宽为1m ，高为1.5m 时，体积最大，最大体积为33m ． 点评：用导数来解决实际问题时，一般首确定自变量，选定了自变量，要搞清自变量的范围，再列出关系式，对关系式进行求导，最后求出最值来。
导数在生活中的应用例子
导数在生活中的应用例子
一、在经济学中
1、供求曲线中的供求应变：当价格发生变化时，需求量会出现波动，
以及需求量对价格的变化也变化，供求曲线受到价格变化的影响。
这
就是导致供求应变的原因，而这个原因可以用微积分的偏导数来证明。
2、市场竞争：随着竞争者数量的增加，市场价格也会发生变化，价格
作为变量，市场最终决定价格时，就会出现供需冲突，从而引起价格
波动，这就用微积分中的导数来分析。
二、在金融学中
1、货币政策传导机制：货币政策的实施使得利率的变化对经济的影响，用微积分的意义来看，利率是一种曲线，当利率变化时，曲线的斜率
也会变化，这就是利率传导机制。
2、投资机会成本：投资机会成本指的是投资者在一定条件下所承担的
投资风险，当利率下降时，投资机会成本也会发生变化，而这一变化
可以用微积分中的导数来进行分析。
三、在制造业中
1、公差计算：在计算机装配工艺中，产品的尺寸关系到了其加工的质量，如果所用的部件的尺寸不符合公差要求，就会出现不良的加工结
果，这时处理的办法就是计算出来最大的容许偏差，而这个最大容许
偏差就是通过微积分的偏微分来计算出来的。
2、工艺优化：为了确保加工出来的产品的质量，就必须对付诸如温度、压力、用料等参数进行优化调整，这可以使用微积分来分析各参数对
最终结果的影响，以达到最优化调整的效果。
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用导数作为微积分中的重要概念，是描述函数变化率的工具之一。
在数学领域中，导数的运用非常广泛，它不仅可以用来解决数学问题，还可以在实际生活中找到许多有趣的应用。
导数在实际生活中的运用，不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还可以为我们的生活带来便利与乐趣。
一、导数在物理学中的应用在物理学中，导数被广泛应用于描述物体运动的规律。
通过对物体位移、速度、加速度等物理量的导数进行分析，可以帮助我们更好地理解物体的运动规律。
以小车匀速运动为例，假设小车在 t 时刻的位置为 s(t)，则小车的速度可以表示为 s'(t)，而小车的加速度可以表示为 s''(t)。
通过对速度和加速度的分析，可以帮助我们更加深入地理解物体的运动规律，为实际的运动控制提供依据。
在经济学中，导数被广泛应用于描述经济变量的变化规律。
通过对需求函数、供给函数等经济函数的导数进行分析，可以帮助我们更好地理解价格、产量等经济变量的变化规律。
导数还可以用来解决相关的最优化问题，在经济决策中发挥着重要作用。
通过对经济变量的导数进行分析，可以帮助经济学家更好地理解市场运行的规律，为经济政策的制定提供依据。
在工程领域中，导数被广泛应用于描述各种物理现象和工程问题。
在电路设计中，导数可以帮助我们分析电流、电压等电学量的变化规律，为电路的设计提供依据。
在机械设计中，导数可以帮助我们分析力、速度、加速度等物理量的变化规律，为机械系统的设计提供依据。
通过对工程问题中的导数进行分析，可以帮助工程师更好地理解物理现象和工程问题，为工程设计提供科学依据。
除了在物理学、经济学和工程领域中的应用外，导数还可以在生活中的许多其他领域中找到应用。
通过对人口增长率、疾病传播速率等进行导数分析，可以帮助我们更好地理解社会现象和生活问题。
在生产实践中，导数也可以用来描述生产过程中的效率和变化规律。
导数还可以在艺术创作、音乐编排等方面找到应用，帮助我们更好地理解艺术和音乐作品的规律。
利用导数解决实际问题优秀课件
故R在M = 2C时取得极大值，而且此时取得最大值.
例 4.已知某种工艺品总成本C元是产量Q件的函数，且
= 102 + 200 + 1000，1 ≤ ≤ 30.
将Q看成能取区间[1, 30]内的每一个值，求月产量Q为多少时，才能使每件
= 12(x − 0.6)(x − 0.2).
令V ′
> 0，可解得x < 0.2.
1.2 − 2
1.2 − 2
1.2 − 2
因此可知V在(0, 0.2]上递增，在[0.2, 0.6)上递减，
故V在x = 0.2时取得极大值，而且在此时取得最大值.
即截去的正方形边长为0.2m时，容器的容积最大.
因此，当 0 < x <
1.6时，y ′
= 50 ×
1
×
2Leabharlann (1.22+
1
x 2 )−2 ×
海
陆
2x − 30 =
令y ′ > 0，可解得x > 0.9.
可知y在[0，0.9] 上递减，在[0.9，1.6]上递增，从而y在x = 0.9时
取得最小值，而且最小值为
50 1.22 + 0.92 + 30(1.6 −0.9 ) = 96.
设成本为每千米30万元，那么铺设输油管的最少花费是多少？
海
陆
思考：分别计算下列两种算法的铺设成本.
(1)先沿AC铺设，再沿CB铺设；
(2)直接沿着线段AB铺设.
解：(1) 成本为1.2 × 50 + 1.6 × 30 = 108万元.
导数的应用于最优化问题
导数的应用于最优化问题导数是微积分中的一个重要概念，用来衡量函数在某个点的变化率。
在数学中，导数在求解最优化问题时起着至关重要的作用。
本文将介绍导数的应用于最优化问题，并详细解释其原理和算法。
一、最优化问题简介最优化问题是在给定的约束条件下，寻找使某个目标函数达到最小或最大值的解。
在实际生活中，最优化问题的应用非常广泛，如经济学中的成本最小化问题，物理学中的能量最小化问题等。
最优化问题可以分为线性和非线性两种情况，本文将重点介绍非线性最优化问题。
二、导数在最优化问题中的应用1. 最小值问题在计算目标函数的导数时，可以得到函数曲线的斜率。
根据导数的性质，当导数为零时，函数达到极值点，即局部最小值或最大值。
因此，最优化问题可以通过求解目标函数的导数为零的点来获得极值点的位置。
2. 梯度下降法梯度下降法是一种常用的最优化算法，它利用目标函数在当前点的导数方向来更新解的位置，从而逐步接近最小值点。
梯度下降法的思想是根据导数的方向选择合适的步长，以便使得目标函数在每一步的迭代过程中逐渐趋于最小值。
3. 牛顿法牛顿法是一种迭代求解最优化问题的方法，其基本思想是利用目标函数的导数和二阶导数来逼近函数的局部极小值点。
牛顿法的优势在于收敛速度较快，但同时也存在一些局限性，如对初始点的选择较为敏感。
4. 拟牛顿法拟牛顿法克服了牛顿法对初始点选择的敏感性，它通过近似目标函数的Hessian矩阵来逼近真实的二阶导数。
拟牛顿法的核心思想是利用历史的迭代信息来更新目标函数的Hessian矩阵的逆矩阵，从而提高算法的效率和稳定性。
三、导数在最优化问题中的应用举例为了更好地理解导数在最优化问题中的应用，我们以求解一元二次函数的最小值为例进行说明。
假设有一元二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们希望找到使函数f(x)取得最小值的点。
首先，我们计算函数f(x)的一阶导数f'(x) = 2ax + b。
然后，令导数f'(x)为零，解得x = -b/(2a)。
列举三个导数在实际生活中或你的专业课程中应用的例子
列举三个导数在实际生活中或你的专业课程中应用的
例子
导数是微积分学中的基本概念之一，它可以帮助我们描述函数在某一
点的变化率，是解决许多实际问题的重要工具。
在下面的列表中，我
将列举三个导数在实际生活或专业课程中的应用。
1. 物理学中的应用
在物理学中，导数被广泛用于描述物体的运动状态。
例如，在一次匀
加速运动中，物体在某一时刻的速度就是运动位移的导数，而加速度
就是速度的导数。
通过求解导数，我们可以精确地预测物体未来的运
动趋势，为科学家们研究物体的运动轨迹提供了更加准确的方法。
2. 经济学中的应用
在经济学中，导数被广泛用于研究市场的供求平衡和决策分析。
例如，在微观经济学中，供给函数的导数可以表示一个生产者响应市场价格
变化的能力，而需求函数的导数可以表示消费者对价格变化的反应程度。
这些知识是分析市场行为的基础，也是制定经济政策的必要条件。
3. 工程学中的应用
在工程学中，导数被广泛用于研究复杂系统的行为和优化方法。
例如，在控制论的研究中，状态空间模型的导数可以帮助我们分析系统的稳
定性和反应速度，并且为设计反馈控制器提供了基础。
此外，在机械
工程的设计中，导数也可以用于优化设计的性能，如优化机器人的轨
迹规划、提高复杂系统的效率等。
结论
通过以上三个例子可以看出，在科学、工程和社会领域中，导数都有
着广泛而深入的应用。
无论是研究系统的性质，设计控制器，还是制
定经济政策，导数都是不可或缺的数学工具。
我相信，在未来的学习
和工作中，掌握导数的知识将会对我们事业的发展产生积极的影响。
导数在实际生活中的应用
导数在实际生活中的应用（1）学习目标1.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用.2.在解决具体问题的过程中,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.课前预学：问题1:一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.只要利用导数求出函数y=f(x)的所有,再求出端点的函数值,进行比较,就可以得出函数的最大值和最小值.问题2:生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为问题.导数是求函数最大(小)值的有力工具,可以运用导数解决一些生活中的优化问题.问题3:利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各个量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);(2)求函数的,解方程f'(x)=0;(3)比较函数在区间端点和点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.问题4:解决生活中的优化问题应当注意的问题确定函数关系式中自变量的区间,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际问题的值应舍去.课堂探究：一．利润最大问题某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售量价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.二．容积最大问题请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.三．成本最低问题：如图,某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为200平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16米.如果池四周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,无盖.(1)写出总造价y(元)与污水处理池的长x(米)的函数关系式,并指出其定义域;(2)污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求出最低总造价.课堂检测：1.把长度为l的铁丝围成一个长方形,则长方形的最大面积为.2.设底为正三角形的直棱柱的体积为V,则其表面积最小时底面边长为.3.做一个无盖圆柱水桶,其体积是27π m3,若用料最省,则圆柱的底面半径为m.4.已知一个扇形的周长为l,扇形的半径和中心角分别为多大时,扇形的面积最大?导数在实际生活中的应用（2）学习目标：1.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用.2.在解决具体问题的过程中,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性. 课前预学：1.把长度为16的线段分成两段,各围成一个正方形,这两个正方形面积的最小值为 .2.要做一个圆锥形漏斗,其母线长20 cm,要使其体积最大,则其高是 .3.周长为20的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值是 .4.一边长为48 cm 的正方形铁皮,铁皮四角截去四个边长都为x cm 的小正方形,做成一个无盖方盒.求x 多大时,方盒容积最大? 课堂探究：1．如图,等腰梯形ABCD 的三边AB,BC,CD 分别与函数y=-x 2+2,x∈[-2,2]的图象切于点P,Q,R.求梯形ABCD 面积的最小值.2．已知某公司生产的品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件,需要另投入1.9万元,设R(x)(单位:万元)为销售收入,根据市场调查得知R(x)=其中x 是年产量(单位:千件).(1)写出年利润W 关于年产量x 的函数解析式;(2)年产量为多少时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?3．统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y=x 3-x+8(0<x≤120),已知甲、乙两地相距100千米.(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (2)当汽车以多大速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?课堂检测：某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.。
重点：利用导数知识解决实际生活中的最优化问题
在确定了所有极值点后，需要比较这些点的函数值，以确定哪个点是最优解。如果目标是最小化函数，则选择函数值最小的极小值点作为最优解；如果目标是最大化函数，则选择函数值最大的极大值点作为最优解。
总结词
导数在最大利润问题中，可以帮助我们找到使利润最大的最优解。
总结词
导数在最大利润问题中，可以帮助我们找到使利润最大的最优解。
详细描述
在商业运营中，最大化利润是一个关键目标。导数的应用可以帮助我们找到使利润最大的最优解。例如，在定价策略中，我们可以通过求导找到最优的定价，以最大化利润。
详细描述
在商业运营中，最大化利润是一个关键目标。导数的应用可以帮助我们找到使利润最大的最优解。例如，在定价策略中，我们可以通过求导找到最优的定价，以最大化利润。
总结词：导数在最优化方案选择问题中，可以帮助我们找到最优的方案。
导数在解决最优化问题中的重要性
CATALOGUE
02
导数大于零的区间内，函数值随自变量增大而增大。
单调递增
导数小于零的区间内，函数值随自变量增大而减小。
单调递减
不等式最值
利用导数研究函数在某区间内的单调性，进而确定不等式成立的条件和最值。
在某些情况下，可能存在多个最优解或没有最优解，这取决于问题的性质和约束条件。
实际案例分析
CATALOGUE
04
总结词
导数在投资回报最大化问题中起到关键作用，通过求导数找到收益函数的最大值点，从而确定最优投资策略。
要点一
要点二
详细描述
导数在生活中的优化问题举例含答案
生活中的优化问题举例1、如图所示，设铁路50=AB ，C B 、之间的距离为10， 现将货物从A 运往C ，已知单位距离铁路费用为2，公路 费用为4，问在在AB 上何处修筑公路至C ，可使运费由A 至C 最省？2、一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为10海里/小时，燃料费每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？3、已知B A 、两地相距200km ，一条船从A 地逆水到B 地，水速为h km /8，船在静水中的速度为()08/v v h vkm ≤<，若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当h km v /12=时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？4、已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线24x y -=在x 轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长。
5、扇形AOB 中，半径2,1π=∠=AOB OA ，在OA 的延长线上有一动点C ，过C 点作CD 与弧AB 相切于点E ，且与过点B 所作的OB 的垂线交于点D ，问当点C在什么位置时，直角梯形OCDB 的面积最小？6、从长为32cm 、宽为20cm 的矩形薄铁板的四角剪去边长相等的正方形，做一个无盖的箱子，问剪去的正方形边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？7、某集团为了获得更大的利益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t (百万元)，可增加销售额约为t t 52+-(百万元)()50≤≤t(1)、若该公司将当年广告费的投入控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)、现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x 百万元，可增加的销售额约为x x x 33123++-(百万元)；请设计一个资金分配方案，使公司由此获得的收益最大。
导数在生活中应用例子
导数在生活中的应用如下：导数是微分学的重要组成部分，是研究函数性质、曲线性态的重要工具,也是解决实际生活中某些优化问题的重要方法。
探讨了运用导数求解实际生活中有关用料、成本、利润及选址方面问题的方法。
导数（Derivative)也叫微商，是一种特殊的极限，它反映了函数中因变量随自变量的变化而变化的快慢程度，是微积分中重要的基础概念是联系初等数学与高等数学的桥梁。
在研究几何、证明不等式等方面起着重要的作用，在探究函数性质、寻求函数极值与最值以及描绘函数图形等方面也起着重要的作用，同时，也为解决某些实际应用问题提供了重要的方法。
在实际生活中经常出现的一些谋求利润最大、耗材最少、或效率最高、位置最佳等与经济或科学研究有关的问题，这些问题称之为优化问题，如何找到解决该类问题的最佳方案是求解该类问题的关键，而利用导数就可以简捷地解决这些问题，从而真正解决我们的实际生活问题。
运用导数求解优化问题的方法与注意事项：实际生活中的优化问题，如选址最佳、用料最省、利润最大等问题，本质上就是最值问题，这些问题与求函数的最值问题有着密切的联系，而这些问题可以转化为函数问题，利用导数知识得以简捷的解决。
解决优化问题的方法：首先对现实问题进行分析，找出各个变量之间的关系，建立相对应的函数关系式，将实际问题转化为用函数表示的数学问题。
再结合实际情况确定自变量的定义域，创造函数在闭区间上求最值的情景，通过对函数求导、确定驻点和不可导点、比较函数在区间端点、极值点和不可导点处的函数值，获得所求函数的最大（小）值，最后将数学问题回归到现实问题，根据数学问题的答案回答优化问题最佳方案或策略。
导数在经济发展中具有重要的作用。
随着经济的飞速发展，经济学家们面对共享经济下的各种复杂竞争，对其进行了深入研究。
导数对于经济学的研究具有重要的意义，例如经济学中的边际问题、弹性问题等等都可以利用导数来解决。
利用导数解决经济学中的一些复杂问题，能够将复杂问题简单化。
导数及其应用生活中的优化问题举例
模型参数设置
为预测模型设置合适的参数，以便进行模型训练和预测。
模型训练和优化
使用历史数据训练预测模型，并不断优化模型参数，以提高预测准 确性。
时间序列预测模型的检验与应用
模型检验
使用独立的验证数据集评估预测模型的性能，比较实际值与预测值的差异。
导数及其应用生活中的优化 问题举例
2023-11-08
contents
目录
• 导数的定义与计算 • 导数在生活中的应用 • 导数在优化问题中的应用举例 • 导数在最优问题中的应用 • 导数在时间序列预测中的应用 • 导数在其他领域的应用举例
01
导数的定义与计算
导数的定义
函数在某一点的导数
函数在某一点的导数描述了函数在该点的变化率。
通过运用导数，企业可以找到运营成本的最优解，以 降低企业的运营成本。
在最小成本问题中，企业需要通过对运营成本的分析 ，寻找降低成本的途径。导数方法可以通过对成本函 数进行求导，找到成本最低的运营方案。例如，在物 流行业中，通过优化运输路线和装载方式可以降低运 输成本。
04
导数在最优问题中的应用
最优路径问题
模型应用
将经过验证的预测模型应用于实际时间序列数据的预测，为决策提供支持。
06
导数在其他领域的应用举 例
工程领域：结构优化设计、强度分析等
结构优化设计
在航空航天、建筑等领域，结构优化设计是至关重要的。导数可以帮助我们更好地理解结构的形状、尺寸和材料 等参数对结构强度、刚度和稳定性的影响，从而优化设计。例如，通过有限元分析方法，利用导数求解结构中的 应力、应变分布，进一步优化结构设计。
生活中的优化问题举例
问题1:海报版面尺寸的设计
例1 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行 宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报， 要求版心面积为128dm2,上下边各空2dm,左右空 1dm,如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最 小？ 128 dm , 解：设版心的高为xcm,则宽为 x 此时四周空白面积为：
L' 1 4 q 2 1, 令 L ' 0 ,
8
1 8 q 2 1q 1 0 0
2
1 8
q ) q (1 0 0 4 q )
求 得 q 84
当 L ' 0 时 ,q 8 4 ,
当 L ' 0 时 ,q 8 4 ,
当 产 量 q为 84时 ， 利 润 L最 大
当 r ( 2 ,6 ) 时 , f ' ( r ) 0 .
解： 由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利 润为： y f ( r ) 0 . 2 4 r 0 . 8 r ( 0 r 6 )
3 2
3
令 f ' ( r ) 0 .8 ( r 2 2 r ) 0
当x∈(0,40)时,V'(x)>0;当x∈(40,60)时,V'(x)<0. ∴函数V (x)在x=40处取得极大值,这个 极大值就是函数V (x)的最大值.
V ( 40 ) 40 (
2
60 40 2
) 16000 ( cm )
3
导数在生活中应用例子
导数在生活中应用例子
导数是微积分中的一个重要概念，它在生活中有着广泛的应用。
导数可以帮助我们理解和解决许多实际问题，比如物体的运动、变化率的计算等。
下面我们就来看一些导数在生活中的应用例子。
首先，导数可以帮助我们理解物体的运动。
比如一辆汽车在高速公路上行驶，我们可以通过对汽车的位置随时间的变化进行求导，来得到汽车的速度。
这样我们就可以通过导数来计算汽车的加速度、减速度等运动状态，从而更好地理解汽车的行驶情况。
其次，导数还可以用来计算变化率。
比如在经济学中，我们可以通过对某一商品的需求量随价格的变化进行求导，来得到需求量对价格的弹性。
这样我们就可以通过导数来计算商品的价格弹性，从而更好地了解市场需求的变化情况。
另外，导数还可以帮助我们优化问题。
比如在工程中，我们可以通过对某一工艺的成本函数进行求导，来得到成本函数的最小值点。
这样我们就可以通过导数来优化工艺成本，从而更好地提高工程效率。
总之，导数在生活中有着广泛的应用。
它可以帮助我们理解物体的运动、计算变化率、优化问题等，对于我们的生活和工作都有着重要的意义。
因此，学好导数对于我们更好地理解和解决实际问题是非常重要的。
希望大家能够在学习导数的过程中，能够更加深入地理解它在生活中的应用。
导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例
导数在研究函数图像中的应用
总结词
通过求导可以绘制函数的图像，并分析函数的形态和变化趋势。
详细描述
利用导数可以求出函数的拐点、凹凸区间、切线斜率等性质，这些性质有助于绘制函数的图像。通过分析导数的 正负和变化趋势，可以确定函数在不同区间的增减性和变化速率，进而绘制出精确的函数图像。
02 导数在解决生活中的优化 问题举例
导数在最大利润问题中的应用
总结词
导数在解决最大利润问题中起到关键作 用，通过求导数找到利润函数的极值点 ，从而确定最大利润。
VS
详细描述
在商业、金融、投资等领域中，最大利润 问题是一个核心问题。导数可以帮助我们 找到利润函数的极值点，从而确定在什么 情况下能够获得最大利润。例如，在投资 组合优化中，通过求导数可以找到最大化 收益的投资组合。
03 导数的实际应用案例分析
导数在物理学中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和加速度，例如在研究物体 的运动轨迹时，通过求导数可以得到物体在任意时刻的速 度和加速度。
热传导
在研究热传导问题时，导数可以用来描述温度随时间的变 化率，通过求解导数方程，可以得到温度分布的规律。
弹性力学
在弹性力学中，导数可以用来描述应力和应变的关系，通 过求解导数方程，可以得到物体的变形和受力情况。
导数在最小成本问题中的应用
总结词
导数在最小成本问题中扮演着重要角色，通过求导数找到成本函数的极值点，从而确定 最小成本。
详细描述
在生产、运输、工程等领域中，最小成本问题是一个常见的问题。导数可以帮助我们找 到成本函数的极值点，从而确定在什么情况下成本最低。例如，在生产过程中，通过求
导数可以找到生产某一产品的最低成本方案。
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用1. 引言1.1 导数的概念导数是微积分中的重要概念，是描述函数变化率的数学工具。
在数学上，导数可以理解为函数在某一点处的斜率，也就是函数在该点附近的局部近似线性变化率。
导数的计算可以帮助我们研究函数的几何性质和特征，如最大值、最小值、凹凸性等。
导数的概念最初由牛顿和莱布尼兹在17世纪同时独立发现，是微积分学科的基础之一。
导数在实际生活中扮演着至关重要的角色。
通过导数，我们可以了解事物的变化速率和趋势，从而为我们的决策和行为提供依据。
比如在经济领域，导数可以帮助我们预测股票价格的波动趋势，优化投资组合，分析市场需求和供给关系。
在工程领域，导数可以帮助我们设计建筑的结构稳定性，优化材料的使用效率，提高工程项目的效率和安全性。
在医学领域，导数可以帮助我们分析生物体的生长发育规律，制定治疗方案和药物剂量，提高医疗技术水平和治疗效果。
导数不仅是一种抽象的数学概念，更是一种强大的工具和思维方式，对我们的生活、工作和社会发展有着深远而广泛的影响。
1.2 导数在实际生活中的重要性导数在实际生活中的重要性体现在我们日常生活的方方面面。
导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率，可以帮助我们理解函数的变化规律以及预测未来的趋势。
在金融领域中，导数被广泛应用于投资和风险管理中，帮助分析股票价格的波动性和趋势，提高投资决策的准确性和效益。
在医学领域中，导数可以用来描述人体各种生理指标的变化趋势，帮助医生准确地诊断疾病和制定治疗方案。
在工程领域中，导数可以帮助工程师分析和优化设计方案，提高产品的质量和效率。
在生态学领域中，导数可以帮助科学家研究生态系统的稳定性和变化规律，提高环境保护和生态恢复的效果。
在物理学领域中，导数可以帮助研究人员描述物体的运动和相互作用，推动科学技术的发展和应用。
导数在实际生活中的重要性不言而喻，它不仅拓宽了我们对世界的认识，还促进了人类社会的进步和发展。
2. 正文2.1 金融领域中的应用金融领域中，导数的应用是非常广泛和重要的。
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用
导数是微积分中的重要概念，它代表了一个函数在某一点的局部变化率。
在实际生活中，导数有很多运用，下面我将介绍其中几个常见的应用：
1. 最优化问题：最优化是导数应用的一个重要领域，通过求函数的导数可以找到函
数的最大值或最小值。
在经济学中，市场需求曲线和供给曲线的交点处的价格和数量是市
场的均衡点，通过求导可以找到这个均衡点。
2. 积分求面积和体积：导数与积分是微积分的两大基本运算，导数可以用来求解函
数的变化率，而积分则可以反过来求解函数的变化量。
通过对速度函数求积分可以求得物
体的位移，对密度函数求积分可以求得物体的质量。
3. 实际问题的建模：导数有助于将复杂的实际问题转化为更简单的数学问题。
在物
理学中，当我们知道一个物体的加速度和初始速度时，可以通过对加速度函数积分求得速
度函数，再对速度函数积分求得位移函数，从而得到物体的运动轨迹。
4. 统计分析：导数在统计学中的应用很广泛，在回归分析中，通过求导可以得到最
小二乘法的估计结果，帮助我们找到最佳拟合的直线。
导数还可以用来求解概率密度函数、累积分布函数和概率分布函数等统计量。
5. 金融工程：导数在金融工程中也有重要的应用。
在期权定价模型中，通过对期权
收益率函数求导可以得到期权的风险中性概率，从而推导出期权的定价公式。
导数还可以
用来计算利率衍生品的风险敞口和风险管理。
导数在实际生活中的应用非常广泛，无论是在经济学、物理学、统计学还是金融工程
等领域，都有重要的作用。
掌握导数的概念和运用方法，可以帮助我们更好地理解和解决
实际问题。
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用【摘要】导数在实际生活中的运用非常广泛。
在物体运动中，导数可以帮助我们计算速度和加速度，从而预测物体的运动轨迹。
在最优化问题中，导数也被广泛应用，帮助我们找到函数的最大值和最小值。
在经济学中，导数被用于边际分析，帮助企业和政府做出决策以最大化利润或效益。
在医学领域，导数可以帮助分析身体的变化和疾病的发展趋势。
而在工程领域，导数则被用于解决各种实际问题，例如设计建筑结构和优化生产过程。
导数在不同领域中都起着重要作用，通过综合运用导数，我们能够更好地解决各种实际生活中的问题。
【关键词】导数、实际生活、物体运动、速度、加速度、最优化、边际分析、医学、工程领域、重要作用、解决问题1. 引言1.1 导数在实际生活中的运用导数在实际生活中的运用是一种重要的数学概念，它广泛应用于各个领域，为解决实际生活中的问题提供了有效的数学工具。
导数是函数在某一点处的变化率，它可以帮助我们理解事物的变化规律，并从中得出一些有用的结论。
在物理学中，导数被用来描述物体的运动速度和加速度，帮助我们预测物体的运动轨迹。
在最优化问题中，导数可以帮助我们找到函数的最大值和最小值，从而优化生产和经营活动。
在经济学中，导数被应用于边际分析中，帮助我们确定最优的生产和消费决策。
在医学领域，导数被用来描述生物体的变化规律，帮助医生做出诊断和治疗方案。
工程领域的实际情况中，导数被广泛应用于设计和优化工程系统，提高生产效率和质量。
导数在不同领域中均起着重要作用，综合运用导数能够解决各种实际生活问题，为我们的生活带来更多便利和效率。
2. 正文2.1 物体运动的速度和加速度物体运动的速度和加速度是导数在实际生活中的一个重要应用领域。
在物理学中，我们经常需要研究物体在运动中的速度和加速度变化情况，而导数提供了一种有效的工具来描述这些变化。
我们知道速度是描述物体在单位时间内所经历的位移量，而加速度则是描述速度在单位时间内的改变量。
简单来说，速度是位移关于时间的导数，而加速度则是速度关于时间的导数。
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f
a
ea
＞f
0
e0
,
即f(a)>eaf(0).
(2)①方法一：
记g(x)＝ln x＋
－x 1－
(x3 －1).
2
则当x>1时，
g′(x)＝ 1＋ 1<0－，3g(x)在(1，＋∞)上单调递减.
x 2x 2
又g(1)＝0，有g(x)<0，即
f(x)< 3 (x－1).
2
方法二：
由基本不等式知，当x>1时，2 x <x＋1， 故 x x(i＋).1
22
令k(x)＝ln x－x＋1，则k(1)＝0，k′(x)＝ －1 1<0，
x
故k(x)<0，即
ln x<x－1(ii).
由(i)(ii)得，当x>1时，f(x)< (x3 －1).
2
②方法一：
记h(x)＝f(x)－ 9 x －，1得
x＋5
h′(x)＝ 1＋ 1 － 54
x 2 x x＋52
＝2＋ x－ 54
【规范解答】(1)因为x=5时,y=11,所以a +10=11,
2
所以a=2.
(2)由(1)可知,该商品每日的销售量 y= 2 +10(x-6)2,
x3
所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)=(x-3)[ 2 +10(x-6)2]
x3
=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6.
从而f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]
第十二节 导数与生活中的优化问题及 综合应用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
考向 1 利用导数解决实际生活中的优化问题
【典例1】(2013·烟台模拟)某商场销售某种商品的经验表明,
该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克) 满足关系式y= a +10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数,已知销售
x3
价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.
2x
＝ 1 (7x2－32x＋25)<0.
4x
)x－18x］ x ＋)－1 18x］
22
因此h(x)在(1,3)内单调递减，又h(1)＝0，
(D)f(a)＞ f 0
ea
ea
(2)(2012·辽宁高考)设f(x)=ln x+ x -1,证明：
①当x＞1时，f(x)＜ 3 (x-1);
2
②当1＜x＜3时，f(x)＜ 9 x 1 .
x5
【思路点拨】(1)观察选项知,所要比较的两数为 f a 与f 0
ea
e0
的大小,故可构造函数g(x)= f x,利 用其单调性来比较.
此时 h ＝ .1即包装盒的高与底面边长的比值为 . 1
a2
2
考向 2 利用导数解决不等式问题
【典例2】(1)(2013·福州模拟)f(x)为定义在R上的可导函
数，且f′(x)>f(x)，对任意正实数a，则下列式子成立的
是( )
(A)f(a)＜eaf(0)
(B)f(a)＞eaf(0)
(C)f(a)＜ f 0
(1)求a的值.
(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场
每日销售该商品所获得的利润f(x)最大.
【思路点拨】(1)根据“销售价格为5元/千克时,每日可售出该 商品11千克”可知销售函数过点(5,11),将其代入可求得a的值. (2)利润为f(x)=(每件产品的售价-每件产品的成本)×销量,表 示出函数解析式后,可借助导数求最值.
得h(x)<0.
于是当1<x<3时，f(x)<9
x－1
x＋ 5
.
方法二：
记h(x)＝(x＋5)f(x)－9(x－1)，
则当1<x<3时，得
h′(x)＝f(x)＋(x＋5)f′(x)－9
<3 (x－1)＋(x＋5)(
2
1 x
＋
1
2)－x9
＝ 1［3x(x－1)＋(x＋5)(2＋
2x
< 1 ［3x(x－1)＋(x＋5)(2＋
【变式训练】请你设计一个包装盒.如图所示,ABCD是边长为 60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直 角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P, 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E,F在AB上,是被切去的 一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE=FB=x(cm).
ex
(2)构造函数,借助函数单调性证明不等式.同时应注意对于不
等式中的无理式,可利用基本不等式放缩后,变为整式或分式的
形式后再证明.
【规范解答】(1)选B.令g(x)＝ f x ，
ex
∴g′(x)＝ fxex－ fxex＝ >0f，x－ fx
ex2
ex
∴g(x)在R上为增函数，又∵a>0.
∴g(a)>g(0)，即
2
(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，
所以当x＝15时，S取得最大值.
(2)V＝a2h＝2 2(－x3＋30x2)，V′＝ 6 x2(20－x). 由V′＝0得x＝0(舍去)或x＝20.
当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值.
=30(x-4)(x-6).
于是,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表,
由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最 大值点. 所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42. 当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润 最大.
【拓展提升】利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型, 写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x). (2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0. (3)比较函数在区间端点和f′(x)=0的点的函数值的大小,最大 (小)者为最大(小)值. (4)回归实际问题作答.
(1)某厂商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值? (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求 出此时包装盒的高与底面边长的比值.
【解析】设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm).由已知得a
＝ 2 ，x h＝ 60－2x＝，2(300＜－xx)＜30.
2x x＋52
x＋5－ 54
4x x＋52
＝x＋53－216x 4xx＋52
.
令g(x)＝(x＋5)3－216x，则当1<x<3时，
g′(x)＝3(x＋5)2－216<0.
因此g(x)在(1,3)内是减函数，又由g(1)＝0，
得g(x)<0，所以h′(x)<0.
因此h(x)在(1,3)内是减函数，又h(1)＝0，