刚体的平衡
刚体的平衡与转动定律的应用
刚体的平衡与转动定律的应用在物理学中，刚体是指其形状和大小在外力作用下不发生变化的物体。
刚体的平衡和转动定律是刚体力学中的重要概念，它们被广泛应用于各种实际工程问题的分析和解决。
一、刚体的平衡刚体的平衡是指刚体在受到外力作用时，保持静止或以一定的速度进行匀速直线运动的状态。
刚体的平衡有两种类型：平稳平衡和不平衡。
1. 平稳平衡当刚体处于平稳平衡状态时，它的重心和支持点重合，不会发生任何转动。
这意味着刚体所受到的合力和合力矩都为零。
根据平衡条件，我们可以得出：∑F = 0 （合力为零）∑M = 0 （合力矩为零）其中，∑F表示合力矢量的矢量和，∑M表示合力矩矢量的矢量和。
平稳平衡的一个典型例子是悬挂在弹簧上的质点。
当质点受到向下的重力和向上的弹簧力之和为零时，质点处于平稳平衡状态。
2. 不平衡当刚体处于不平衡状态时，它的重心和支持点不重合，会发生转动。
此时，刚体所受的合力和合力矩都不为零。
根据不平衡条件，我们可以得出：∑F ≠ 0 （合力不为零）∑M ≠ 0 （合力矩不为零）不平衡的一个典型例子是一个倾斜的物体，当物体所受到的重力分量不平衡时，物体将发生转动。
二、转动定律的应用转动定律是描述刚体转动的物理定律，通过转动定律，我们可以对刚体的转动进行详细的分析。
1. 动量定理动量定理是刚体转动定律的基础，它描述了刚体转动的动力学关系。
根据动量定理，刚体所受的合外力矩等于刚体动量的变化率。
即：∑M = dL/dt其中，∑M表示合外力矩的矢量和，L表示刚体的角动量，t表示时间。
通过动量定理，我们可以计算刚体受到的合力矩以及刚体角动量的变化情况。
2. 角动量守恒定律角动量守恒定律是转动定律中十分重要的一个定律。
它描述了刚体在没有外力矩作用下的转动规律。
根据角动量守恒定律，如果刚体在某一时刻的合外力矩为零，则刚体的角动量将保持不变。
即：∑M = 0 时，L = 常数通过角动量守恒定律，我们可以解决一些与刚体转动相关的问题，如旋转飞盘的角速度变化、自行车的倾斜和转弯等。
《刚体的平衡》 讲义
《刚体的平衡》讲义一、什么是刚体在开始探讨刚体的平衡之前，咱们得先明白啥是刚体。
简单来说，刚体就是在受力作用下形状和大小都不会改变的物体。
想象一下一块坚硬的钢板，不管你怎么推它、拉它，它的尺寸和形状都不会发生变化，这就是刚体。
但要注意，刚体只是一个理想化的模型。
在现实世界中，完全不变形的物体是不存在的。
不过，在很多情况下，当物体的变形非常小，可以忽略不计时，我们就可以把它近似地看作刚体，这样能让我们的研究和计算变得简单很多。
二、刚体平衡的条件要让一个刚体处于平衡状态，需要满足两个条件：合力为零和合力矩为零。
先来说说合力为零。
这就好比一个人在水平方向上同时受到向左和向右的两个大小相等的力，这两个力就相互抵消了，合力为零。
在刚体上，如果作用在它上面的所有力在各个方向上的合力都为零，那么刚体就不会在力的作用下发生平动，也就是不会沿着直线加速移动。
再讲讲合力矩为零。
矩呢，简单理解就是力乘以力臂。
如果一个刚体受到的所有力产生的力矩之和为零，那么刚体就不会发生转动。
比如说，一个跷跷板两端坐的人的重量乘以他们到支点的距离相等，跷跷板就不会转动，处于平衡状态。
只有同时满足合力为零和合力矩为零这两个条件，刚体才能真正地处于平衡状态。
三、刚体平衡的例子生活中有很多刚体平衡的例子。
比如说，一个静止在水平地面上的桌子。
桌子受到重力，方向竖直向下，地面给它的支持力，方向竖直向上，这两个力大小相等、方向相反，合力为零。
同时，关于桌子的任意一点，重力产生的力矩和支持力产生的力矩也相互抵消，合力矩为零，所以桌子能稳稳地静止在那里。
再比如，一个悬挂着的吊灯。
吊灯受到重力，绳子对它的拉力，这两个力大小相等、方向相反，合力为零。
而且，以悬挂点为参考点，重力产生的力矩和拉力产生的力矩也相等，合力矩为零，吊灯就不会晃动，保持平衡。
四、刚体平衡在工程中的应用在工程领域，刚体平衡的知识可是非常重要的。
比如说建筑结构的设计。
一座大楼要稳稳地矗立在那里，就得保证它的各个部分所受到的力满足刚体平衡的条件。
刚体运动方程与平衡方程
刚体运动与平衡的实例分析
实例一
一个静止在地面上的杠铃，受到重力和地面的支持力作用，处于平衡状态。当有人推这 个杠铃时，推力大于杠铃的重力，杠铃开始加速向上运动，此时杠铃的运动状态发生了
改变。
实例二
一辆匀速直线行驶的汽车，受到牵引力和阻力的作用，处于平衡状态。当牵引力大于阻 力时，汽车会加速行驶；当牵引力小于阻力时，汽车会减速行驶，此时汽车的运动状态
刚体运动与平衡的转化关系
转化条件
当刚体受到的合外力为零时，即处于平衡状态，此时刚体的运动状态不会改变；反之，当刚体运动状态改变时， 其受到的合外力不为零，即不处于平衡状态。
转化关系
在一定条件下，刚体的运动状态与平衡状态可以相互转化，如静止的刚体受到外力作用后会开始运动，而匀速直 线运动的刚体受到合外力为零时会保持该运动状态。
实验结果与分析
根据实验数据，绘制刚体的位 移、速度和加速度随时间变化
的曲线图。
分析实验结果，验证刚体运动 方程与平衡方程的正确性。
探讨影响刚体运动和平衡的因 素，如质量、转动惯量、力矩 等。
比较实验结果与理论值的差异 ，分析误差来源，并提出改进 措施。
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平衡力
使物体处于平衡状态的力。
平衡力学
研究物体平衡状态的力学分支。
刚体动力学与平衡力学的联系与区别
联系
平衡力学是刚体动力学的一个特例，当 刚体处于静止状态时，其运动方程退化 为平衡方程。
VS
区别
刚体动力学研究刚体的运动规律，包括加 速、减速和匀速运动等；而平衡力学主要 关注静止或匀速直线运动状态的物体，研 究其平衡条件和稳定性。
刚体运动方程与平衡方程
• 刚体运动方程 • 平衡方程 • 刚体运动与平衡的关系 • 刚体动力学与平衡力学的关系 • 刚体运动与平衡的实验验证
刚体的平衡
第七章 刚体力学
y
F
Fy j
C
C´
E
Fxi30W°
B W
x
A FN
M z EA FN sin30 W (EB cos 30 CB sin30 )
W (EB cos 30 CB sin30 ) 0
解以上三方程得 FN 8.75 kN
Fx 4.38 kN, Fy 2.08 kN F Fx2 Fy2 4.85 kN, tan 0.4748
Fiy 0
Miz 0
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第七章 刚体力学
其中
Miz 0
是力对z轴力矩的代数和为零,z是垂直于Oxy面的任意轴.
刚体平衡方程的其它形式
(1) 诸力对任意轴的力矩和为零. 在力的作用平面内选O
和O´ 两个参考点，OO´ 连线不与Ox轴正交
Fix 0
Miz 0
Miz 0
(2) 在力的作用平面内选O、O´ 和O´´ 三个参考点，
O、O´ 和O´´ 三点不共线
Miz 0
Miz 0
Miz 0
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§7.6.2 杆的受力特点
第七章 刚体力学
在下面三个条件下，可认为杆仅受两力而平衡. 1. 杆件两瑞与其它物体的联结是光滑铰链联结.对 光滑铰链联结,只有通过节点的压力.
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第七章 刚体力学 [例题2]将长为l ,质量为 m1 的均匀梯子斜靠在墙角下, 已知梯子与墙面间以及梯子与地面间的静摩擦因数分
别为1 和2 ，为使质量为m2 的人爬到梯子顶端时,梯
子尚未发生滑动.试求梯子与地面间的最小夹角.
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y
刚体的平衡
Ai-1
Pi P6
A1 C
A6
P1 mg
例7.3 用20块质量均匀分布的相同光滑积木块， 在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥，如图 所示。已知每一积木块的长度为l，横截面是边长 为h＝l/4的正方形。要求此桥具有最大跨度（即桥 孔底宽）。试计算跨度与桥孔高度的比值。
l h
H
L
解：
l x1 2
解：设任一小突起Ai对其的压力为Pi，则
Pi 2Pi（1 i=2 … 6）
P2 2P1
P3 2P2 22 P1
Bi-1
LL
P6 25 P1 32P1 考虑薄片A6B6，根据力矩平衡条件可得
P1
l 2
mg
3 4
l
P6l
0
B6
P6 32P1 代入可解得：
1 P1 42 mg
Pi-1
Ai
1.刚体平衡条件
1）物体受力的矢量和为零：
r
Fi 0
i
2）对矩心的合力矩为零
r
Mi
rri
r Fi
0
i
i
重要推论：
刚体受三个非平行力作用而平衡时，此三个力的 合力为零，而且这三个力的力线（含延长线）相 交于一点。
2.刚体平衡的稳定性
满足平衡条件的刚体，若受到扰动，便离开 平衡位置。若它会自动回到平衡位置，则称为稳 定平衡；若它会更远离平衡位置，则称为不稳定 平衡；若平衡位置的周围仍是平衡位置，则称为 随遇平衡。
x1
x2
mx1
m( x1 2m
l
/
2)
x1
l 4
x2
l 4
x1
x2
x3
m( x1
作用在刚体上的二力平衡条件
作用在刚体上的二力平衡条件在我们日常生活中，有些事情看似平常，却暗藏玄机。
比如说，咱们搬个大沙发，二力平衡就很重要。
你想想，如果一边使劲，另一边却懒洋洋的，那肯定是搬不动的。
这就跟咱们平时说的“单打独斗”一样，互相配合才能完美完成。
你看啊，刚体上的二力平衡条件，简单说就是两股力相互抵消，像老天爷在打平衡木，保持着一个稳定的状态，真是让人感叹，世界的奥秘无处不在。
说到刚体，别以为它就跟坚硬的石头一样。
刚体可以是各种形状，各种材质。
比如说你家的木桌子，搬起来就得注意了。
要是你使劲往一边推，另一边没力气抵挡，那木桌子不就飞了吗？这就像在打麻将，如果你一人胡了，其他人肯定要想法子对抗，那桌子才不会翻。
二力平衡就像咱们打麻将的策略，各自用力但又不让对方有机可乘。
再说了，二力平衡可不仅仅是物理现象。
生活中处处可见。
想想两个人的关系吧，一个人总是付出，另一个人却总是索取，久而久之，这段关系肯定就会崩塌。
就像刚体上的力，得平衡才行。
要是力不平衡，生活就会像失去重心的秋千，晃来晃去，随时都有翻车的风险。
咱们在一起工作的时候也是一样，团队合作，大家齐心协力，才能把事情做好，像老鼠过街，人人喊打，不协调的团队可真没啥戏可唱。
说起力的方向，咱们也得聊聊它的角度。
力的方向就像咱们的目标，不能东一头西一头的，要朝着同一个方向努力。
比如，若你和朋友一起去爬山，你们得都朝着山顶走，不然到头来不但累得够呛，还可能迷路。
咱们俗话说“齐心协力，其利断金”，这就是二力平衡的精髓。
一个小小的力量，也能撬动大山，只要方向对，劲儿到位。
二力平衡还有个特点，就是时间因素。
想想咱们在操场上玩秋千，力的作用是有时间限制的。
要是你一开始用力过猛，秋千会飞得特别高，但最后也会摔得特别惨。
就像生活中，过犹不及，太极端的事情往往都不美好。
稳稳地来，慢慢地推，平衡的力量才能持续。
记住，轻轻松松往前走，生活自然会顺风顺水。
有趣的是，二力平衡的概念在物理学上被广泛运用。
刚体的平衡条件
刚体的平衡条件刚体是指物体内部各点之间相对位置保持不变的物体。
在物理学中，平衡是指物体处于静止状态或匀速直线运动状态，没有受到任何净外力或净外力矩的作用。
刚体的平衡条件是判断刚体是否处于平衡状态的基本依据。
一、1. 力的平衡条件当一个刚体处于力的平衡状态时，即刚体上所有力的合力等于零。
根据牛顿第二定律，力的合力等于物体质量乘以加速度，而刚体处于平衡状态时，加速度为零，则合力也必须为零。
2. 转矩的平衡条件除了要求刚体上所有力的合力为零外，还要求刚体上所有力对一个点的转矩（力矩）的合为零，即刚体在绕该点转动时，总的转动效果为零。
转矩是由作用在刚体上的力产生的，在计算转矩时，需要考虑力的大小和施力点到转动中心的距离，转矩的方向可以通过右手定则来确定。
二、刚体平衡条件的应用1. 平衡力分析在实际问题中，可以通过平衡力分析来判断刚体是否处于平衡状态。
平衡力分析是指将所有作用在刚体上的力进行分解和合成，然后判断分解后的力的合力是否为零。
如果合力为零，则刚体处于力的平衡状态。
2. 平衡力矩分析除了分析力的平衡外，还需要分析刚体受力点产生的转矩是否平衡。
对于一个绕平衡点旋转的刚体，可以通过平衡力矩分析来判断刚体是否处于平衡状态。
平衡力矩分析是指将所有作用在刚体上的力分别计算其对平衡点的转矩，然后判断所有转矩的和是否为零。
如果转矩的和为零，则刚体处于平衡状态。
三、刚体平衡条件的应用实例1. 杠杆平衡杠杆是一种应用刚体平衡条件的典型例子。
在杠杆中，一个物体可以通过在不同位置施加力来达到平衡状态。
根据刚体平衡条件，可以根据物体的质量、距离和施力的大小来计算平衡条件。
2. 悬挂物体平衡悬挂物体平衡是指将物体悬挂于绳子或悬挂物上，使其处于平衡状态。
在此过程中，要求物体的重力和拉力达到平衡。
根据刚体平衡条件，可以通过调整悬挂物体的位置或增加绳子的张力来实现平衡。
3. 斜面平衡斜面平衡是指物体静止或匀速滑动于斜面上时的平衡状态。
《刚体的平衡》课件
刚体的平衡条件
01
力的合成条件
如果一个刚体在力的作用下保 持静止或匀速运动，那么这些 力可以通过力的合成相互抵消
，即合力为零。
02
力矩的平衡条件
如果一个刚体在力矩的作用下 保持静止或匀速转动，那么这 些力矩可以通过力矩的平衡相
互抵消，即合力矩为零。
03
刚体的平衡条件
根据牛顿第一定律，一个刚体 在力的作用下保持静止或匀速 运动，必须满足两个条件，即 合力为零和合力矩为零。这两 个条件也被称为刚体的平衡条
在分析刚体的平衡问题时，需要计算所有 作用在刚体上的力和力矩，并判断它们是 否满足力矩平衡条件。
力的平衡原理
定义
应用
力的平衡原理是指在刚体上作用的所 有外力在任意轴上的投影代数和为零 ，则刚体平衡。
在分析刚体的平衡问题时，需要计算 所有作用在刚体上的外力在任意轴上 的投影，并判断它们是否满足力的平 衡条件。
《刚体的平衡》ppt课件
目录
• 刚体的平衡概述 • 刚体的平衡形态 • 刚体的平衡原理 • 刚体的平衡应用 • 刚体的平衡问题解决
01
刚体的平衡概述
平衡的定义
01
平衡的定义
02
平衡的分类
平衡是指刚体在力的作用下，通过力的合成或力矩的平衡，使刚体的 状态保持不变或匀速运动。
根据刚体的运动状态，平衡可以分为静态平衡和动态平衡。静态平衡 是指刚体在力的作用下保持静止状态；动态平衡是指刚体在力的作用 下保持匀速运动状态。
复杂问题
如桥梁、高层建筑等大型 结构的平衡问题。
实际应用
如工程设计、机械制造等 领域中的刚体平衡问题。
THANKS
土木工程
在土木工程领域，刚体的平衡在建筑物的地基设计、斜坡稳定性分析等方面具有广泛应用。了解刚体的平衡有助于预 防建筑物因不均匀沉降或滑坡而造成的损坏。
刚体平衡的条件与原理
刚体平衡的条件与原理刚体平衡是物理学中一个重要的概念，它在我们日常生活中起着重要的作用。
本文将探讨刚体平衡的条件与原理。
一. 刚体平衡的条件在静力学中，刚体平衡有三个基本条件，分别是：力的平衡、力矩的平衡和物体自身的刚体平衡。
1. 力的平衡：刚体平衡的第一个条件是力的平衡。
力的平衡指的是合力等于零，即F=0。
合力是指作用在物体上的所有力的矢量和，当合力等于零时，物体所受的合力为零，即物体不会发生线性运动。
2. 力矩的平衡：刚体平衡的第二个条件是力矩的平衡。
力矩是力对绕某一轴旋转的作用效果，它是力乘以力臂的乘积。
力矩的平衡指的是物体对某一轴的力矩之和等于零，即ΣM=0。
力矩的平衡条件保证了物体不会发生旋转。
3. 物体自身的刚体平衡：刚体平衡的第三个条件是物体自身的刚体平衡。
物体自身的刚体平衡指的是物体内部各个点的重力矩之和等于零，即ΣMg=0。
这个条件使得整个物体能够保持平衡状态，不会发生倾斜或倒塌。
二. 刚体平衡的原理刚体平衡的原理可以通过牛顿第一定律来解释。
牛顿第一定律也被称为惯性定律，它说明了一个物体如果不受外力作用，将保持静止或匀速直线运动的状态。
根据牛顿第一定律，当物体处于平衡状态时，合外力和合外力矩均为零，即物体没有受到外界的推动或扭矩作用。
刚体平衡的原理还可以通过刚体的受力分析来解释。
在刚体平衡的情况下，作用在刚体上的所有力矢量的矢量和等于零，即ΣF=0。
根据受力分析，可以确定刚体平衡的条件，并通过力的平衡和力矩的平衡来解决相关问题。
总结：刚体平衡的条件与原理是物理学中的重要概念，它们帮助我们理解物体在平衡状态下的行为。
力的平衡、力矩的平衡和物体自身的刚体平衡是刚体平衡的基本条件。
这些条件保证了物体不会发生线性运动、旋转以及倾斜倒塌等现象。
牛顿第一定律和刚体的受力分析是解释刚体平衡原理的重要工具。
通过理解刚体平衡的条件与原理，我们能够更好地理解和应用力学原理，解决相关问题。
刚体系统的平衡
FA
13 4
FBy
A
2
D5
B FBx
P
2m
2m
二、截面法
用假想的截面把桁架切开，取其中一部分为研究对象， 通过其平衡条件求出某些杆件内力的方法。 解题步骤： 1. 以整体为研究对象求桁架外约束反力 2. 用假想截面把桁架切开，取一部分为研究对象求杆件内力
注意事项： 1. 截面应截过待求内力的杆，且外力、约束反力为已知。 2. 截面切及的未知内力的杆件一般不超过三根。 3. 被切杆件的内力统一假设受拉伸作用。
解刚体系统问题的一般方法： 由整体 局部（常用），由局部
整体（用较少）
解题步骤
解题技巧
①选研究对象
① 选坐标轴最好是未知力 垂直 投影轴；
②画受力图（受力分析） ② 取矩点最好选在未知力的交叉点上；
③平衡方程。
③ 充分发挥二力杆的直观性；
④ 解方程求出未知数 注意问题
④ 灵活使用合力矩定理。
力偶在坐标轴上的投影不存在；
50 6
8.33(kN)
YC
4m
③
E
再 研
YA X A 0 B
Q
P
究
F 1m C G
整
A
1m
YB
体
3m
3m
6m
D
YD
D YD
mA 0,YB 3 YD 12 P 10 Q 6 0 YB 100(kN)
Y 0,YA YB YD Q P 0 YA 48.33(kN)
XO -SA sin 0
Y 0
y
YO XO
M
x
SA
P
1.5刚体平衡的条件
ΣF = 0
– W – P – G + FA + FB = 0 (3)
取A点为转动轴，有
Σ MA = 0
W×(6 – 2) – P×2 – G×(12 + 2) + FB×4 = 0 (4)
14G + 2P – 4W 由（4）式可得FB = = 870N 4
代入（3）式得FA = 210N
课堂小结
培养全面分析问题的能力和推理能力
教学重难点
重点
1、刚体的概念 2、刚体平衡的条件
难点
能正确运用平衡条件求解静力学问题
本节导航
1﹑刚体平衡的条件 2﹑例题详解
1、刚体平衡的条件
选用不容易变形的 直杆代表扁担。用弹簧 测力计测出它自身的重 量G，再设法测出杆的 重心C。
D
A
C
B
图1.5-1
用细线拴住杆的A、B两点，把它挂在两个 弹簧测力计下面，并在D处挂4个钩码（其总重量 G1），如图1.5-1所示。调节测力计的高低，使杆 在水平方向上平衡。
10G – 2P Wmin = 8 10×200－2×700 = kN 8 = 75kN
空载时G = 0，为了保证起重机不致绕A点 翻倒，所受力的力矩必须满足平衡方程ΣMA = 0，即所有外力对A点的力矩之和为零。在临界 情况下，FB = 0，这时求出的W值是所允许的 最大值。由ΣMA = 0 ，得
据牛顿第三定律，后轮对地面的压力大小为
5.3 ×103N
例题
W 塔式起重机如图1.5-4所示。机 架重P = 700kN，重力作用线通过 塔架中心。最大起重量G = 200kN， 最大悬臂长为12m，轨道AB的间 距为4m。平衡块重W，到机身中 心线距离为6m，试问： 图1.5-4 G
刚体平衡刚体在平衡状态下的力学条件
刚体平衡刚体在平衡状态下的力学条件刚体平衡及其力学条件刚体平衡是力学中的重要概念，指的是刚体处于不发生任何平动或转动的静止状态。
在刚体平衡的情况下，存在一系列力学条件。
本文将详细介绍刚体平衡的力学条件。
一、平衡定义在力学中，平衡指物体处于静止状态或匀速直线运动状态下，若外力对物体的合力等于零，则称物体处于平衡状态。
二、刚体平衡条件在刚体平衡的情况下，需要满足以下条件：1. 力矩平衡条件刚体平衡的一个重要条件是力矩平衡，即刚体所受外力的合力矩等于零。
力矩是力作用在刚体上产生的转动效果，用向量表示为M=rxF，其中r为力到转轴的距离，F为力的大小。
在刚体平衡的情况下，力矩的代数和为零。
2. 力平衡条件力平衡指刚体所受外力的合力等于零。
在刚体平衡的状态下，所有作用在刚体上的外力矢量的代数和为零，即ΣF=0。
3. 质心条件刚体平衡的另一个条件是质心条件。
刚体的质心是指刚体所有质点质量乘以各自位置矢量的代数和除以总质量。
在刚体平衡的情况下，质心在不受力的作用下保持静止或匀速直线运动。
三、刚体平衡实例以下是几个常见的刚体平衡实例，用于帮助理解力学条件：1. 杆的平衡考虑一个平衡在水平地面上的杆，支点在一个端点。
要使杆保持平衡，支点需要施加一个反作用力，使得另一端的力矩和受力的合力为零。
2. 平板的平衡当一个平板平衡在平面上时，平衡条件要求所受合力和合力矩都为零。
其中合力矩的计算需要考虑平板上各个点的力矩大小和方向。
3. 悬挂物体的平衡考虑一个静止的悬挂物体，例如一个吊钩。
要使其保持平衡，需要使得悬挂点所受合力和合力矩为零。
四、刚体平衡的应用刚体平衡的概念和力学条件在生活和工程中有广泛的应用。
例如：1. 建筑物的稳定性分析在建筑物的设计和构建过程中，需要考虑其结构的稳定性。
通过分析各个部分的受力和力矩平衡情况，可以确保建筑物在负载和地震等外力作用下保持平衡和稳定。
2. 机械结构的设计机械系统中的各个部件也需要满足力学条件，以保证整个系统的平衡和运行。
刚体系统的平衡问题的特点与解法
刚体系统的平衡问题的特点与解法你有没有过这样的体验？在玩积木的时候，总是要找到那个平衡点，把它们摆得稳稳的。
这其实就涉及到刚体系统的平衡问题。
虽然听起来有些学术，但其实它的原理很简单。
今天我们就来聊聊这个话题，看看如何把复杂的理论变成简单易懂的知识。
1. 什么是刚体系统的平衡问题？1.1 刚体是什么？首先，咱们得搞清楚“刚体”是什么。
简单来说，刚体就是一个不变形的物体，比如一块砖头，或者你的书桌。
刚体的特点是，它的每一个部分都保持固定的距离，不会因为受力而变形。
换句话说，它就像是一块铁板，坚硬得很，不容易弯曲。
1.2 平衡又是什么？平衡，说白了，就是物体在受力作用下，保持稳定不动的状态。
拿你的书桌来说，如果桌子上的每一只脚都均匀受力，桌子就不会倾斜，就算你在桌子上放了重物，它也不会摇摇欲坠。
2. 刚体系统的平衡特点2.1 力的作用一个物体要保持平衡，就得有力气平衡力。
这就像在玩平衡木的时候，你的身体得找准重心，才能不掉下去。
力的作用力和反作用力必须均衡，不然物体就会倾斜或翻倒。
2.2 力矩的作用除了力，还有一个叫力矩的东西。
力矩就是力的“旋转能力”。
比如你在转动门把手，力矩就是你施加的力和门把手距离门轴的长度的乘积。
如果力矩平衡了，门就不会歪。
这个力矩平衡是刚体平衡的关键之一。
3. 刚体平衡问题的解法3.1 找到支点要想解决刚体系统的平衡问题，首先得找对支点。
支点就是物体受力的点。
比如说一根杠杆，它的支点决定了杠杆的平衡。
就像跷跷板，支点在中间时，两个孩子才能平衡，支点偏一边，就得调整位置了。
3.2 力与力矩平衡解决平衡问题，还得让所有的力和力矩平衡。
简单点说，就是你需要让所有施加在物体上的力和力矩加起来等于零。
就像你把两边的积木摆得一样高一样重，才能确保它不会倒。
这个过程通常需要算算力和力矩，确保它们刚好平衡。
4. 实际应用在现实生活中，刚体系统的平衡问题无处不在。
比如，建筑师在设计建筑时，就要考虑到这些平衡问题。
力学中的刚体平衡问题
力学中的刚体平衡问题力学中的刚体平衡问题是研究力对物体的平衡效应的一个重要课题。
在力学中，刚体是指其内部的各个点相互保持不变相对位置的物体。
刚体平衡问题则是研究在不同力的作用下，刚体是否能够保持平衡以及如何保持平衡的问题。
解决刚体平衡问题需要运用一些基本的力学定律和原理，并通过分析力的作用点、作用线和作用面等特性来得出结论。
一、刚体的平衡条件刚体平衡的条件有两个：力的合力为零，力的合力矩为零。
这是因为力的合力为零意味着刚体在平衡时不产生加速度，力的合力矩为零则意味着刚体在平衡时不产生转动。
根据这两个条件，我们可以得出两个方程：∑F = 0 (力的合力为零)∑M = 0 (力的合力矩为零)其中，∑F 表示所有作用在刚体上的力的合力，∑M 表示所有作用在刚体上的力的合力矩。
二、刚体平衡问题的解决方法解决刚体平衡问题的方法有两种：图解法和代数法。
1. 图解法图解法是通过绘制力的示意图，利用几何关系求解刚体平衡问题。
在解决刚体平衡问题时，我们可以将力的作用点、作用线及其方向用箭头表示，根据刚体平衡条件进行几何分析，得出力的大小和方向。
2. 代数法代数法是通过列方程，利用代数关系求解刚体平衡问题。
在解决刚体平衡问题时，我们可以选择一个适合的坐标系，根据刚体平衡条件列出方程，通过求解方程组求出未知数的值。
三、刚体平衡问题的实际应用刚体平衡问题在实际生活中有着广泛的应用。
下面以一个简单的例子来说明。
假设有一根悬挂在两个固定点之间的杆，我们需要确定悬挂点的位置，使得杆保持平衡。
根据刚体平衡条件，我们可以得到力的合力为零以及合力矩为零的方程。
通过解方程，我们可以求得悬挂点的位置。
刚体平衡问题还可以应用于桥梁设计、建筑物结构设计等领域。
通过合理分析力的作用点、作用线和作用面等特性，可以设计出稳定可靠的结构，并确保其在不同外力作用下保持平衡。
总结：力学中的刚体平衡问题是一个重要的课题，解决该问题需要运用基本的力学定律和原理，并通过分析力的合力和合力矩来得出结论。
刚体在平面上的平衡条件
刚体在平面上的平衡条件刚体力学是物理学的一个重要分支，研究物体在受力作用下的平衡和运动规律。
在平面上，刚体的平衡是指刚体受到的合力和合力矩为零的状态。
本文将介绍刚体在平面上的平衡条件，并讨论其数学表达和应用。
一、平衡条件的数学表达1.1 力的平衡条件刚体在平面上的力的平衡条件要求刚体受到的合力为零。
即对于一个刚体在平面上受到的若干力F1、F2...Fn，它们的合力向量为：ΣF = F1 + F2 + ... + Fn = 0只有当合力为零时，刚体才能保持力的平衡状态。
1.2 力矩的平衡条件除了力的平衡条件外，刚体在平面上的力矩也必须为零。
力矩是描述力对物体旋转影响的物理量，它可以通过力的大小、作用点和力臂三个因素来确定。
对于一个刚体在平面上受到的若干力M1、M2...Mn，它们的合力矩为：ΣM = M1 + M2 + ... + Mn = 0只有当合力矩为零时，刚体才能保持力矩的平衡状态。
二、平衡条件的应用2.1 平衡体的判断根据刚体在平面上的平衡条件，我们可以判断一个物体是否处于平衡状态。
对于一物体而言，如果它所受外力的合力为零，并且合力矩也为零，则该物体处于平衡状态。
若合力或合力矩不为零，则物体将具有平面上的运动，或者发生倾倒、翻转等运动。
2.2 平衡条件的应用举例以下是几个利用平衡条件解决问题的实际案例。
案例一：悬挂物体平衡考虑一个悬挂在绳子上的物体。
根据平衡条件，绳子所受的拉力必须与物体所受重力相等，且合力矩为零。
通过求解该问题，我们可以确定物体悬挂的位置和绳子所受的张力大小。
案例二：木板上的物体平衡想象一个木板上平放着的物体，我们可以根据平衡条件来计算物体所受的支撑力大小和作用点位置。
通过平衡条件的应用，我们可以解决木板上物体处于平衡状态的问题。
案例三：浮体在液体中的平衡液体中的浮体在受到浮力和重力的作用下，可以通过平衡条件来确定其处于平衡状态的条件。
通过分析浮体所受的合力和合力矩，我们可以推导出浮体在液体中保持平衡的条件，进而研究浮力和浮体的关系。
刚体在作用力与反作用力必定平衡
刚体运动的力学平衡在物理学中，刚体是一个非常重要的概念。
刚体被定义为一个质点系列，这些质点彼此能够保持固定的相对位置。
当一个刚体受到外力的作用时，它会发生运动。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用力成正比，方向与作用力方向相同。
作用力与反作用力根据牛顿第三定律，作用在两个物体之间的力，其大小相等、方向相反。
也就是说，当一个物体对另一个物体施加一定大小和方向的力时，另一个物体也将对第一个物体施加同样大小和反向的力。
这种作用力和反作用力之间的关系，也称为作用与反作用力对。
力的平衡条件对于一个刚体，当作用在其上的所有力都达到平衡时，刚体将保持静止或做匀速直线运动。
这就意味着，作用在刚体上的所有外力的合力为零，即ΣF = 0。
这种力的平衡条件被称为静力平衡条件。
刚体在作用力与反作用力必定平衡考虑一个简单的情况，在一个平滑水平面上的质量为m的刚体，另一个质量为M的物体以水平方向对其施加一个力F。
根据牛顿第三定律，刚体对物体也会施加相同大小但方向相反的力。
假设这个力为f，根据静力平衡条件有：\[ F - f = 0 \]\[ f = F \]这说明，在作用力F的情况下，刚体对物体施加的反作用力总是等于F，而且方向相反。
因此，刚体在作用力与反作用力必定平衡。
结论刚体在作用力与反作用力必定平衡，这是牛顿第三定律和静力平衡条件的结果。
作用力与反作用力之间始终保持平衡，无论这些力是在相同物体上还是不同物体之间产生。
这种平衡与运动状态的转换，体现了物理规律的普适性和对称性。
刚体力学-刚体的平衡
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[解] 受力分析如图. 建立 直角坐标系 Exyz，得 Fx FN sin30 0
Fy FN cos30 W W 0
选择过E点 z 轴为定轴
第七章 刚体力学
y
F
Fy j
C
C´
E
Fx i30W°
B W
x
A FN
M z EA FN sin30 W (EB cos 30 CB sin30 )
W (EB cos 30 CB sin30 ) 0
解以上三方程得 FN 8.75 kN
Fx 4.38 kN, Fy 2.08 kN F Fx2 Fy2 4.85 kN, tan 0.4748
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第七章 刚体力学 [例题2]将长为l ,质量为 m1 的均匀梯子斜靠在墙角下, 已知梯子与墙面间以及梯子与地面间的静摩擦因数分
对共面力系, 在直角坐标系O-xyz中平衡条件化为
Fix 0
Fiy 0
Miz 0
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第七章 刚体力学
其中
Miz 0
是力对z轴力矩的代数和为零,z是垂直于Oxy面的任意轴.
刚体平衡方程的其它形式
(1) 诸力对任意轴的力矩和为零. 在力的作用平面内选O
在下面三个条件下，可认为杆仅受两力而平衡. 1. 杆件两瑞与其它物体的联结是光滑铰链联结.对 光滑铰链联结,只有通过节点的压力.
节点——铰销中心. 2. 负荷对杆的作用力过节点. 3. 杆的自重与负荷相比可忽略不计.
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第七章 刚体力学
[例题1] 如图表示小型火箭发射架.火箭重量为W=1.5 kN，
刚体平衡的条件与分析方法
刚体平衡的条件与分析方法刚体平衡是物理学中的一个重要概念，用来描述物体在静止状态下所处的平衡条件。
刚体指的是质量分布均匀、形状保持不变的物体，不会发生形变。
在这篇文章中，我们将介绍刚体平衡的条件和分析方法。
一、刚体平衡的条件要使一个刚体处于平衡状态，需要满足以下两个条件：1. 力矩平衡条件：当刚体处于平衡状态时，对于刚体上的任意一点，合外力矩以及合内力矩都必须为零。
这意味着刚体受到的力矩总和必须等于零。
合外力矩是指作用在刚体上的来自于外部的力矩，而合内力矩是指刚体内部的各部分之间相互作用产生的力矩。
力矩的计算可以通过力矩公式：力矩 = 力的大小 ×力臂，其中力臂是力矩的杠杆长度。
2. 力平衡条件：当刚体处于平衡状态时，对刚体上的任意一点，合外力以及合内力的合力必须为零。
合外力是指作用在刚体上的来自于外部的力，而合内力是指刚体内部的各部分之间相互作用产生的力。
力的合力可以通过求解所有力的矢量和来计算，如果合力为零，则刚体在力方向上达到平衡。
二、刚体平衡的分析方法在分析刚体平衡时，我们通常采用以下方法：1. 绘制自由体图：首先，我们需要绘制刚体的自由体图，即将刚体从整个系统中剥离，将作用在刚体上的力与力矩标出来。
自由体图能够帮助我们清楚地了解刚体所受力的方向和大小。
2. 选取合适的坐标系：为了简化问题，我们需要选取合适的坐标系来进行计算。
通常情况下，选择刚体上某一个点作为原点，并选择与平衡有关的方向为正方向。
3. 列写力矩平衡方程：通过自由体图，我们可以根据力矩平衡条件列写方程。
按照力矩方程，对于刚体上所有的力矩，我们可以将其与压力乘以杠杆的长度相加，并将合外力矩与合内力矩相等于零。
4. 列写力平衡方程：同样地，我们可以根据力平衡条件列写方程。
根据力平衡方程，对于刚体上所有的力，我们将其在 x 和 y 方向上的合力相加，并将合外力与合内力相等于零。
5. 求解方程：根据力矩平衡方程和力平衡方程，我们可以得到一组方程，通过求解这组方程，我们可以确定刚体平衡时的各个未知量。
刚体运动研究刚体在空间中的运动和平衡状态
一直线上。
02
刚体平动与转动分析
平动定义及特点
平动特点 刚体上各点的速度、加速度等运动学量相同。
平动定义：刚体在运动过程中，其上任意两点 间的连线始终保持平行且长度不变，这种运动 称为平动。
刚体上各点的运动轨迹相同，形状和大小不发生 变化。
转动类型与描述方法
转动类型
根据刚体转动的特点，可 分为定点转动和定轴转动
刚体的角动量变化量等 于外力矩的冲量矩。
当外力矩为零时，刚体 保持匀速转动或静止状 态。
能量守恒原理在刚体上应用
能量守恒原理：在刚体 的运动中，外力对刚体 所做的功等于刚体动能
的增量。
01
刚体的动能等于其质量 与其质心速度平方的一
半的乘积。
03
在无外力作用的情况下 ，刚体的机械能（动能 和势能之和）保持守恒
01
碰撞过程中的能量 吸收
通过优化车身结构和材料，提高 车辆在碰撞过程中的能量吸收能 力，降低乘员受到的冲击。
02
乘员舱变形控制
确保乘员舱在碰撞过程中的变形 在可接受范围内，以保障乘员的 生存空间。
03
安全气囊等被动安 全装置的性能
评估安全气囊、安全带等被动安 全装置在碰撞过程中对乘员的保 护作用。
关节结构设计
根据机器人所需完成的动作和负载要求，设计合理的关节结构，以 实现机器人的灵活运动和精确控制。
关节驱动方式选择
针对不同类型的机器人和应用场景，选择合适的关节驱动方式，如 电动、液压或气动等。
控制策略制定
基于刚体动力学理论，制定机器人的控制策略，以实现其稳定、快速 和准确的运动。
汽车碰撞安全性评估指标
飞行器姿态控制
通过控制飞行器的刚体运动，实现其在空中的稳定飞行和精确制 导。
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稳定平衡
不稳定平衡
随遇平衡
例7.1 匀质杆OA重P1，长为l1，能在竖直平面内绕 固定铰链O转动，此杆的A端用铰链连另一重为P2、 长为l2的均匀杆AB，在AB杆的B端加一水平力F。
求平衡时此两杆与水平线所成的角度与的大小，
以及OA与AB间的作用力。
O
P1 A
F
B
P2
解：
（1） 以AB为研究对象，有
Ll n1 n
l
1
2
x1
3
x2
4
x3
……
L
10 1/ n n1 1.258
10
H 9/4
例7.4 有一半径为R的圆柱A，静止 在水平地面上，并与竖直墙面相接 触。现有另一质量与A相同，半径 为r的较细圆柱B，用手扶着圆柱A， 将B放在A的上面，并使之与墙面 相接触，如图所示，然后放手。己 知圆柱A与地面的静摩擦系数为 0.20，两圆柱之间的静摩擦系数为 0.30。若放手后，两圆柱体能保持 图示的平衡，问圆柱B与墙面间的 静摩擦系数和圆柱B的半径的值各 应满足什么条件？
Br A
R
解：对A球：
mg N1 N3 sin F3 cos 0（1）
F1 N3 cos F3 sin 0 （2）
F1R F3R
（3）
对B球：
mg F2 N3 sin F3 cos 0 （4）
N2 N3 cos F3 sin 0
N
N 的方向与水平线的夹角满足： A
F
B
tan P2
P2
F
例 7.2 有 6 个完全相同 的刚性长条薄片 AiB（i i=l， 2…，6），其两端下方各有 一个小突起。薄片及突起 的重量均可以不计。现将 此 6 个薄片架在一只水平 的碗口上，使每个薄片一 端的小突起 Bi 恰在碗口 上。另一端小突起 Ai 位于 其下方薄片的正中，由正上方俯视如囹所示。若将一质量为 m 的质点放在薄片 A6B6 上一点，这一点与此薄片中点的距离 等于它与小突起 A6 的距离，求薄片 A6B6 中点所受的（由另 一薄片的小突起 A1 所施的）压力。
Pi-1
Ai
Ai-1
Pi P6
A1 C
A6
P1 mg
例7.3 用20块质量均匀分布的相同光滑积木块， 在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥，如图 所示。已知每一积木块的长度为l，横截面是边长 为h＝l/4的正方形。要求此桥具有最大跨度（即桥 孔底宽）。试计算跨度与桥孔高度的比值。
l h
H
L
解：
l x1 2
F3
3 N3
3
F3 N3
cos 1 sin
r
7 13
2
R
0.29R
综合上述结果，可得到r满足的条件：
R r 0.29R
解：设任一小突起Ai对其的压力为Pi，则
Pi 2Pi（1 i=2 … 6）
P2 2P1
P3 2P2 22 P1
Bi-1
LL
P6 25 P1 32P1 考虑薄片A6B6，根据力矩平衡条件可得
P1
l 2
mg
3 4
l
P6l
0
B6
P6 32P1 代入可解得：
1 P1 42 mg
r mgr N1
r F1
圆柱B与墙面的接触点不发生滑动：
F2 2N2 2 1
圆柱A在地面上不发生滑动：
F1
1N1
1
F1 N1
cos 2 cos 2sin
cos R r , sin 1 cos2 2 Rr
Rr
Rr
r1R 9
两圆柱的接触点不发生滑动：
F3r F2r
（5）
（6） A
联立（1）~（6）解得：
N1
2 cos 2sin 1 cos sin
mg
N2
F1
F2
F3
1
cos cos
sin
mg
1 sin N3 1 cos sin mg
B
r F3
r N3 r
N3
r r F2
N2
mgr r F3
Fl2
sin
P2
l2 2
cos
O
tan P2
2F
P1 A
F
B
以OA+l1 2
cos
P2
(Fl1
cos
l2 2
)
F
(l1
sin
l2
sin
)
tan P1 2P2
2F
（2） 以AB为研究对象，其所受的合力为零，因此
N F 2 P22
x1
x2
mx1
m( x1 2m
l
/
2)
x1
l 4
x2
l 4
x1
x2
x3
m( x1
x2 )
m( x1 2m
x2
l
/
2)
x1
x2
l 6
LL
x3
l 6
xn
l 2n
L 10
l 10 1
2 n1 xn 2 n1 n
H 9h 9 l 4
10 1
1.刚体平衡条件
1）物体受力的矢量和为零：
r
Fi 0
i
2）对矩心的合力矩为零
r
Mi
rri
r Fi
0
i
i
重要推论：
刚体受三个非平行力作用而平衡时，此三个力的 合力为零，而且这三个力的力线（含延长线）相 交于一点。
2.刚体平衡的稳定性
满足平衡条件的刚体，若受到扰动，便离开 平衡位置。若它会自动回到平衡位置，则称为稳 定平衡；若它会更远离平衡位置，则称为不稳定 平衡；若平衡位置的周围仍是平衡位置，则称为 随遇平衡。