氢原子中电子势能函数定态薛定谔方程

拉普拉斯算符变为
2 1 (r2 ) 1 (sin ) 1 2
r2 r r r2 sin
r 2 sin2 2
设波函数为 (r,,) R(r)( ) ()
代入薛定谔方程，采用分离变量法得到三个常 微分方程。
在解波函数时，考虑到波函数应满足的标准 条件，很自然地得到氢原子的量子化特征。
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三、氢原子中电子的概率分布
要知道电子在氢原子中的分布，必须要知 道定态波函数：
n，l，ml Rn，l (r ) l，ml ( ) ml ( )
Rnl (r) 称为径向函数；
Yl，ml l，ml ( )ml ( ) 称为角分布函数。
以下给出前几个函数：
R1,0
(r)

(
1 a0
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三个函数分别满足关系
d 2 d 2
ml2

0
1
sin
d
d

sin

d d





ml2
sin2



0
1 r2
d dr

r
2
dR dr


2m 2
E

e2
4π 0r


r2

R

0
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E

5
n =2,3,… 对应的能量称为激发态能量 E4
4
E2 3.40eV E3 1.51eV
E3
3
当n很大时，能级间隔消失而变为连续。 E2
2
当 n ，E 0
n 对应于电子被电离，氢原子
的电子电离能为
E E1 13.6 eV
E1
1
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n =5 5s 5p 5d 5f 5g
n =6 6s 6p 6d 6f 6g 6h
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3.轨道角动量空间量子化和磁量子数
氢原子中电子绕核运动的角动量不仅大小取分
离值，其方向也有一定限制。若取外磁场B的方向
为 z轴，角动量在 z 轴上的投影 Lz 只能取
Lz ml ml 0, 1, 2,..., l
ml 称为磁量子数。对于一定的角量子数 l，ml
可以取 2(l 1)个值。
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B(z)
2 角动量的空间量子化 o 2
L 6
l2
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例题13-18 设氢原子处于2p态，求氢原子的能量、角 动量大小 及角动量的空间取向。
ml =±1
ml =±2
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选择进入下一节 §13-0 教学基本要求 §13-1 热辐射 普朗克的能量子假设 §13-2 光电效应 爱因斯坦的光子理论 §13-3 康普顿效应 §13-4 氢原子光谱 玻尔的氢原子理论 §13-5 德布罗意波 微观粒子的波粒二象性 §13-6 不确定关系 §13-7 波函数及其统计诠释 薛定谔方程 §13-8 一维定态薛定谔方程的应用 §13-9 量子力学中的氢原子问题 §13-10 电子的自旋 原子的电子壳层结构
§13-9 量子力学中的氢原子问题
一、氢原子的薛定谔方程
氢原子中电子的势能函数 U e2
定态薛定谔方程
4π 0r
2 2m (E e2 ) 0
2
4π0r
z
r x2 y2 z2
电子
为使求解的问题变得简便,
原核子 θ r
y
通常采用球坐标(r, ,) 。
xφ
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2.轨道角动量量子化和角量子数
在求解角量 ,为变量的函数所满足的方程时，
进一步得到角动量量子化的结果。
L l(l 1) , l 1, 2,3, , (n 1)
l 称为角量子数，或副量子数。
说明角动量只能取由l决定的一系列分立值， 即角动量也是量子化的。
处于能级 En 的原子,其角动量共有n种可能
0.6
n= 1 ,
0.5
l= 0
0.4
0.3
n= 2 ,
0.2
l= 1
n= 2 ,
0.1
l= 0
r
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
r1
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n = 1, l = 0
ml = 0
n = 2, l = 1
ml = 0
ml =±1
n = 3, l = 2
ml = 0
解 ： 2p态表示 n=2, l=1。
根据 En
13.6 eV n2
得
E2
13.6eV 3.40eV 22
角动量的大小为 L l(l1) 2
当l=1时，ml的可能值是-1, 0, +1，
π 4
arccos ml π 2
l(l1) 3π 4
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二、量子化条件和量子数
1.能量量子化和量子数
在求解 R(r) 得到氢原子能量必须满足量子化条件为
ห้องสมุดไป่ตู้
En


me4
32π
2
2 0
2
1 n2


me4
8
2 0
h2
1 n2

13.6
1 n2
n 称为主量子数
同玻尔得到的氢原子的能量公式一致，但却没有认 为的假设。
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n =1 基态能量 E1 13.6eV
值，即 l 0，1，2， ，n 1 ,用s, p, d,…表示角动
量状态。
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氢原子内电子的状态
l=0 l=1 l=2 l=3 l=4 l=5 (s) (p) (d) (f) (g) (h) n =1 1s n =2 2s 2p n =3 3s 3p 3d n =4 4s 4p 4d 4f
16π
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电子出现在原子核的周围概率为
(r,,) 2 R(r)( ) () 2
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氢原子中电子径向概率分布
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空间体积元内电子出现的概率
2 dV R 2 2 2 r2 sindrdd
r2 R 2 径向概率密度
)
3 2
2e
r
a0
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R2,0
(r)

(
1 2a0
3
)2
(2

r a0
)e
r
2 a0
R2,1 (r )

(
1
3
)2
2a0
r a0
3
e r 2a0
角分布函数：
a0为玻尔半径
Y0,0
1 4π
Y1,1
3 sin ei
8π
Y1,0
3 cos
4π
Y2,0
5 (3cos2 1)