氢原子中电子势能函数定态薛定谔方程
氢原子 薛定谔方程
氢原子薛定谔方程引言薛定谔方程是量子力学的基石之一，描述了微观粒子的行为。
而氢原子是最简单的原子系统，因此研究其薛定谔方程有助于我们理解量子力学的基本原理。
本文将深入探讨氢原子薛定谔方程，从基本概念到具体计算，全面分析该方程的背景、推导和解析。
薛定谔方程简介薛定谔方程是描述量子系统的一维时间无关定态的方程。
对于一个粒子的波函数ψ(x)、能量E和势能V(x)，薛定谔方程可以写作：Ĥψ(x)=Eψ(x)其中，Ĥ是哈密顿算符，定义为Ĥ=−ℏ22md2dx2+V(x)，ℏ是约化普朗克常数，m是粒子的质量，x是粒子的位置。
对于氢原子，势能V(x)由于原子核和电子之间的相互作用而产生。
氢原子的薛定谔方程氢原子是由一个质子和一个电子构成的，因此氢原子的薛定谔方程是描述电子在氢原子中的运动。
使用球坐标系，薛定谔方程可以重写为：[−ℏ22m(1r2ddr(r2ddr)−L̂22mr2)+V(r)]ψ(r,θ,ϕ)=Eψ(r,θ,ϕ)其中，L̂2是角动量算符的平方，定义为L̂2=−ℏ2(1sinθddθ(sinθddθ)+1sin2θd2dϕ2)。
氢原子的径向方程为了简化氢原子的薛定谔方程，我们考虑分离变量，假设波函数可以表示为一个径向部分和一个角向部分的乘积：ψ(r,θ,ϕ)=R(r)Y(θ,ϕ)。
代入薛定谔方程并分离变量，可以得到径向方程和角向方程。
径向方程的推导通过分离变量，我们将薛定谔方程转化为径向方程和角向方程。
径向方程可以通过将薛定谔方程乘以r2并对角度积分得到。
经过一系列数学推导，可以得到氢原子的径向方程为：[−ℏ22md2dr2+ℏ22ml(l+1)r2+V(r)−E]R(r)=0其中，l是角量子数，通过求解该方程可以得到径向波函数R(r)和能量E。
解析解与数值解氢原子的薛定谔方程可以通过解析方法求解，得到精确的解析解。
然而，尽管存在解析解，推导和计算过程非常复杂，通常需要使用数值方法来近似求解。
量子力学对氢原子的处理
(2)若 E<0, 即E=Ek+U<0 则 Ek＜U 根据其波函数必须满足的标准条件,解得
En
mee4
4
2 0
(2)2
1 n2
me4
8 02 h
2
1 n2
n=1,2,3,…
n 称为主量子数 n=1,2,3 ，…其决定着氢原子能量的取值。
5
n=1 ，称之为基态，代入有关数据,算得
E1 13.6eV
+
计算表明：
Lz ml ml 0,1,2...... l
Ml 称为磁量子数，其决定了电子角动量在空间的可能取向。 对于一个给定的 l ml=0， ± 1， ± 2，... ± l， 这时 L 在空间可以有 (2l+1) 个可能取向。
9
例：当 l=2 时， L 与轴的夹角可有如图的几种形式。 ml=0，± 1,± 2 ml=0 ，表示 L与 Z轴垂直 ,"±"表示 L 对 Z 轴正负向的投影,
l 0
2
对应于每一个能级有 n2 个简并态，
对应于每一个电子状态,需要三个量子数 n, l, ml 来描述。
11
3, … (n-1) 电子的状态 , 现仍沿用这些称号。 例如， n=2,l=0,1 就分别称之为 2 s态和 2 p 态，其对应关 系详见下节教材。 (3)简并现象，简并态,简并度
上面计算表明，对应于一个主量子数 n,可有 n 个不同的 l 值，也就是说，在同一能级，电子可取 n 个不同的角动量，电 子可取若干个不同的运动状态，这种现象称作 "简并" 现象。
d 2
d 2
ml
2
0
(1)
1
sin
氢分子的薛定谔方程
氢分子的薛定谔方程
氢分子的薛定谔方程是描述氢分子体系的基本定律。
它是由薛定谔方程推导而来，其中包括两个氢原子核和两个电子的相互作用。
这个方程表示了氢分子的波函数在空间中的变化规律和时间的演化。
氢分子的薛定谔方程可以写成：
HΨ= EΨ
其中，H是哈密顿算符，Ψ是氢分子的波函数，E是氢分子的能量。
哈密顿算符包括两部分，分别是动能和势能：
H = T + V
其中，T是氢分子中两个电子的动能，V是氢分子中两个电子和两个原子核之间的相互作用势能。
这个势能包括库伦势能和交换-相关势能。
解决氢分子的薛定谔方程需要用到量子力学的一些基本概念和数学方法，如波函数、本征值和本征函数等。
解得氢分子的波函数后，可以通过它来计算氢分子的性质，如能量、电荷密度、偶极矩等。
总之，氢分子的薛定谔方程是描述氢分子体系的一种数学表达方式，它是量子力学的基础之一。
氢原子薛定谔方程求解
氢原子薛定谔方程一、薛定谔方程1.定态薛定谔方程波函数所满足的微分方程：记哈密顿算符分离变量即，代入式得两边同时除以，令则有将时间和空间部分合并，薛定谔方程的解可以表示成：上式称为薛定谔方程的本征解，为哈密顿算符的本征函数，为能量本征值。
2.氢原子的定态薛定谔方程氢原子有质量较大的质子，通过正负电荷的相互吸引作用，束缚着一个质量很小带负电−e的电子绕其运动。
由库仑定律,势能为（SI单位），所以势函数为将式子代入定态薛定谔方程得到其中Z为核电荷数，r为电子与质子之间的距离，m为电子质量（忽略原子核的动能），式也称为库仑力场下定态薛定谔方程。
时，为氢原子的薛定谔方程。
二、球坐标下分离变数在球坐标下有拉普拉斯算符：则氢原子薛定谔方程为分离变数乘遍各项，并做适当移项左边是r的函数，右边是θ和φ的函数，我们通常有下面设法分解为两个方程角向分布的方程径向分布的方程进一步分离变数代入球函数方程得乘遍各项并适当移项得左边是的函数，右边是的函数，令此等式等于一常数分解为两个常微分方程：综上氢原子薛定谔方程可以分解为下面三个方程角向分布方程径向分布方程其中。
式与“自然的周期条件”构成本征值问题，解得这里可以采用更为简介等价的解的形式对进行归一化处理得到为磁量子数将代入到式并进行一定处理得连带勒让德方程令，将自变量变为得到此方程和自然边界条件有限构成本征值问题，本征值为，本征函数为，由梁老师的数学物理方法[2]可以得出本征解为综合角向解求得的归一化系数为归一化的解是缔合勒让德函数，也成为球谐函数。
氢原子的量子理论
1)
R
0
(1) (2)
(3)
其中 m 和 l 是引入的常数。
解此三个方程，并考虑到波函数应满足的
标准化条件，即可得到波函数 (r, , )
并且可得到： 能量量子化 角动量量子化 角动量空间量子化
三个量子数
1.能量量子化和主量子数
求解方程(3) ，并使 R ( r ) 满足标准化条件，求得 E必等于
32 2022
1 n2
L l(l 1)
Lz m
对于给定的 n ，l 可以有n 个值
对于给定的 l ，m 可以有 2l+1 个值
对于给定的 n ，可能的波函数(状态)数量
n1
N (2l 1) n2 简并度
l 0
n 1, 2 , 3 ,
K, L, M, N, …… 壳层
l 0,1, 2 , , n 1
26.5.2.原子的壳层结构
原子中的电子 n , l , m , ms
壳层 n 1, 2,3, K, L, M, N, …… 壳层
次壳层 l 0, 1, 2 , , n 1 s, p, d, f, g, …… 次壳层
如：n = 3, l = 0, 1, 2 分别称为3s态,3p态,3d态
电子在原子内的分布 多电子原子系统中，核外电子在不同的壳层上
r 2 r r r 2 sin
r 2 (sin )2 2
同乘 r 2/RY,并且移项
1 R
d dr
(r 2
dR ) dr
K 2r2
Y
1 sin
(sin
Y
)
Y
1 (sin
)2
2Y
2
1 R
d dr
(r 2
氢原子薛定谔方程
氢原子薛定谔方程氢原子薛定谔方程是研究氢原子的基本理论模型，可以用于解析和预测氢原子的行为。
在氢原子中，只存在一个质子和一个电子，因此，它是理论物理学研究的首要模型之一。
氢原子薛定谔方程是基于量子力学原理推导而来的，它描述了氢原子在电磁场中的一系列行为，包括电子的能量、波函数及其演化规律等。
其数学表达式如下：$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi}{\partial r^2}-\frac{1}{r}\frac{\partial^2 (r\psi)}{\partialr^2}+\frac{\ell(\ell+1)\hbar^2}{2mr^2}\psi+V(r)\psi=E\psi$该式是解析薛定谔方程的基本形式。
其中，$\psi$是波函数，$m$是电子的质量，$\hbar$是普朗克常数，$r$是离子核与电子之间的距离，$\ell$是角动量量子数，$V(r)$是电子在离子核中的势能，$E$是氢原子的能量。
氢原子薛定谔方程的求解并非易事，这主要是因为它是一个偏微分方程。
在解析方面，有许多数学工具可以帮助我们进行计算，如分离变量法、拉普拉斯变换、傅里叶变换等等。
但对于比较复杂的氢原子体系，解析解可能并不是最好的选择。
通常，科学家和工程师使用不同数值技术，如有限元方法、有限差分方法等，来求解氢原子薛定谔方程。
在量子力学的研究中，最常用的氢原子薛定谔方程所表示的氢原子中，没有其他电子和离子核之间的相互作用。
如果涉及多个原子的分子时，我们就需要使用其他方程来解析它们的行为。
因此，氢原子薛定谔方程是在物理学研究中至关重要的方程之一。
总之，在理论物理学研究的发展中，氢原子薛定谔方程发挥了无比重要的作用。
它为科学家们提供了一个完整的模型来预测、解析氢原子在电磁场中的运动和行为，为人类探索宇宙和理解自然规律提供了更深刻的理论基础。
氢原子的薛定谔方程
氢原子的薛定谔方程
薛定谔方程是一个著名的电子结构理论，可以用来描述一个原子的电子状态。
它是一个带有四个变量的复合实现方程，被称为薛定谔方程。
它由20世纪伟大的物理学家Ernst Schrdinger发明，他是量子力学的创始人。
当谈到氢原子时，薛定谔方程还可以用来解释它的电子状态。
氢原子只有一个电子，因此为了解释它的电子状态，只需要一个薛定谔方程。
薛定谔方程可以如下表达：
iψ/t = ^2/2m·^2ψ + Vψ
其中，ψ表示波函数；i是虚数单位；表示普朗克常数，ψ/t表示时间导数；m是电子的质量；^2表示laplace算符；V表示电子的势能。
薛定谔方程简写为：
Hψ = εψ
其中，H表示哈密顿量，ε表示电子的能量。
对氢原子的薛定谔方程可以写为：
[^2/2m·^2+ V(r)E]ψ(r) = 0
其中，V(r)表示电子势能，E表示电子能量，r表示电子的位置半径。
解决氢原子的薛定谔方程需要一些技巧——定义一个适应性正交基函数组，利用拉普拉斯算符变换到正交空间，然后使用矩阵方法解决。
有时，哈密顿量可以被简化为一个对角矩阵，这一点取决于电
子势能的类型。
任何时候，电子能量的计算都是从在某个特定的位置的电子的能量开始的。
氢原子可以通过薛定谔方程来解释，并且可以计算出它的电子能量，解释的结果可以用来解释它的原子结构。
薛定谔方程对氢原子的电子状态起着至关重要的作用。
氢原子薛定谔方程的解
-13.6eV 1
主量子数 n
氢原子能级图
氢原子薛定谔方程的解 （2）角动量量子化
第十一章 量子物理
方程（2）得到的波函数()表明：电子绕核转动的角动 量是量子化的，其大小为：
其中：l 称为角量子数或称副量子数。用来描述波函数 的空间对称性。
说明：1、L只能取由l 决定的一系列分立值，即量子化。 2、不同的 n 值，只要 l=0，则L=0 3、对于同一n值，l 不同时，L有不同的值。所以 氢原子内电子的运动状态必须同时用n, l 才能 确切地表征。
氢原子薛定谔方程的解
第十一章 量子物理
在球坐标系下：x r sin cos,
z
y r sin sin,
z r cos ,
y
在球坐标系下的薛定谔方程：
x
此偏微分方程可以用分离变数法化成常微分方程
求解，即设 R(r)( )() 代入上式得：
氢原子薛定谔方程的解
2 a0 me 2
为一常数，
L2l 1 nl
为缔合勒盖尔多项式。
同时规定了 l 的取值范围，即对于某一确定n ,l 可能取n个值：l=0,1,2,…n-1
氢原子的波函数： nlm (r, , ) Rnl (r)Ylm ( , )
氢原子薛定谔方程的解
第十一章 量子物理
讨论n、l、ml 参数的物理意义
4r 2dr
电子在这些地方出现 的概率最大
玻尔氢原子理论中，电子的轨道位置······
氢原子薛定谔方程的解
2. 角动量量子化
第十一章 量子物理
Байду номын сангаас
电子绕核转动的角动量 L 的大小 L l(l 1)
氢原子的量子力学描述
氢原子是最简单的原子，核外只有一个电子绕核运动，质子和电子之间存在库仑相互作用。
由于质子的质量是电子质量的大约2000倍，一般可以建立一个坐标系，把坐标原点取在质子上。
电子受原子核的库仑场作用，势能函数为：r e r U 024)(πε-=0222=-+∇)r ()]r (U E [m )r ( ψψ0)()4(2)(0222=++∇r r e E m r ψπεψ由于氢原子具有球对称性，可用球坐标系表示定态薛定谔方程：)(sin sin 1)(1222θψθθθψ∂∂∂∂+∂∂∂∂r r r r r 0)4(2sin 10222222=++∂∂+ψπεϕψθr e E m r 其解一般为的函数：ϕθ,,r ),,(ϕθψψr =定态薛定谔方程设波函数为)()()(),,(ϕθϕθψΦΘ=r R r 代入球坐标系的薛定谔方程，在求解波函数时，考虑到波函数应满足的单值、有限、连续以及归一化的标准化条件，可得到氢原子的量子化特征。
我们主要对一些重要的结论进行讨论。
()),3,2,1(12422204 =⋅-=n nme E n πε1. 能量量子化 主量子数求解薛定谔方程，得到氢原子的能量为n — 主量子数注意：⑴ 氢原子能量是一系列离散值 —— 反映能量量子化能级间隔随主量子的增大而减小，↓∆↑⇒E n ⑵ 最低能级对应1=n eV E 6.131-=基态能量eV nE n 26.13-=采用分离变量法，可得到三个常微分方程，分别求解出相应的函数和量子数。
n =1 基态能量eV 6.131-=E eV 6.131=-∞E E n = 2,3,… 对应的能量 称为激发态能量eV 40.32-=E eV 51.13-=E 当 n 很大时，能级间隔消失而变为连续值对应于电子被电离∞=n 当 ，0=∞E ∞=n 11E 232E 3E 454E ∞E ∞2. 角动量（动量矩）量子化 角量子数电子绕核运动 求解薛定谔方程结论：电子绕核运动的转动角动量是量子化的)1(+=l l L 角动量— l 副量子数（角量子数）氢原子的电子电离能为：eV n E n 26.13-=氢原子能量公式)1(,,2,1,0-=n l氢原子中电子的量子态n =1n =2n =3n =4n =5n =6l = 0l = 1l = 5l = 4l = 3l = 2( s )( p )( h )( g )( f )( d )1s 5f 5d 5p 5s 6s 6p 6d 6f 6g 6h 4s 3s 3p 4f 3d 4p 4d 5g 2p 2s )1(+=l l L 共有 n 个可能的取值用,,,,f d p s 分别代表 ,3,2,1,0=l 等各个量子态玻尔的旧量子论与量子力学描述电子运动的角动量量子化的区别注意：若 l = 0有 L = 0电子的概率分布具有球对称性角动量为零)1(,,2,1,0-=n l 角动量（动量矩）量子化3. 空间量子化（空间取向量子化） 磁量子数角动量空间取向是量子化的—— 电子运动具有角动量量子化波函数 电子运动相当于一圆电流圆电流具有一定磁矩 磁矩在外磁场作用下具有一定取向 电子运动的磁矩方向与其角动量方向相反 电子转动角动量方向有确定的空间取向ZB , LθμzL o 经典理论：空间取向连续θ可取π→0的任意值量子力学：空间取向不连续z L ，只取一系列的离散值 m L z =ll l l l m -----=),1(,,2,1, 角动量空间取向是量子化的 m —— 磁量子数对应一个角量子数 l ，角动量有 2 l +1个取值例 11=l 1,0±=m Z B , o -例 22=l 2,1,0±±=m Z B , o- 22- 6)1(=+=l l L 2=L 21=+=)l (l L 例 3 设氢原子处于2 p 态，试分析氢原子的能量、角动量大小及角动量的空间取向？解：2 p 态表示： n = 2, l = 1得eV 40.32-=E 角动量的大小为2)1(=+=l l L 当 l =1 时，磁量子数 m l 的可能值：-1, 0, +1，则角动量方向与外磁场的夹角的可能值为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=4324)1(arccos πππθl l m l eV 6.132nE n -=4. 电子云 （Electron cloud ）—— 电子的概率分布电子在绕核运动中无固定点、无轨道概念，只能用各处出现的概率来描述电子运动的状态，故用电子云的密度形象地显示概率分布。
薛定谔方程 求解氢原子
薛定谔方程求解氢原子
氢原子的薛定谔方程为：（−h¯22m∇2+V）ψ=Eψ（−h28π2m∇2−Ze24πε0r）ψ=Eψ。
薛定谔方程（Schrödinger equation），又称薛定谔波动方程（Schrodinger wave equation），是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定。
它是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。
在量子力学中，粒子以概率的方式出现，具有不确定性，宏观尺度下失效可忽略不计。
薛定谔方程（Schrodinger equation）在量子力学中，体系的状态不能用力学量（例如x）的值来确定，而是要用力学量的函数Ψ（x，t），即波函数（又称概率幅，态函数）来确定。
力学量取值的概率分布如何，这个分布随时间如何变化，这些问题都可以通过求解波函数的薛定谔方程得到解答。
这个方程是奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，它是量子力学最基本的方程之一。
近代3(氢原子 四个量子数)
m l = 0、 ± 1、 ±2
LZ = 0,± ,±2
6
z ml=2 Lz = 2 O − − 2 ml=1 Lz = ml=0 Lz = 0 ml=-1 ml=-2
11
5.本征波函数
ψ n ,l ,m ( r ,θ , ϕ ) = Rn ,l ( r )Θ l ,m (θ )Φ m (ϕ ) = Rn ,l ( r )Yl ,m (θ , ϕ )
ν ＝
Ei − E j h
7
例：处于第三激发态的氢原子，可能发出的光谱线有多少?
其中可见光谱线几条？
解：第三激发态 n = 4
喇曼系3条 ——紫外线 六条谱线 巴耳末系2条 ——可见光 帕邢系1条 ——红外线 n=1 n=4 n=3 n=2
h = 6.63 × 10 −34 J ⋅ S hν = E n − E k − 13.6 En = n2
−
r a0
求电子处于半径为 a0 的球面内的概率P0。 解：概率密度P100=|ψ 100 |2，电子处于半径为r 、厚度 为dr 的壳层内的概率为 dP= P100 4πr2dr 在半径为 a0 的球面内的概率
P0 =
∫
a0
0
ψ 100 4π r 2 dr
4 e 3 a0
− 2r a0
2
=
∫
a0
0
d 2Φ 2 + m Φ =0 l 2 dϕ
ml 只能取整数，ml=0，±1， ±2 …
1, 2, 3,) −13.6 2 (eV ) (n = 能根据氢原子能级讨论氢原子光谱特征 En =
1 n
15
§6 电子的自旋 四个量子数
斯特恩－盖拉赫实验（1921年） e L • 轨道运动⇒磁矩 µ = −
氢原子的量子力学处理
2、能量最小原理 原子系统处于正常态时， 原子系统处于正常态时，每个电子总是尽先占据能量 最低的能级。 最低的能级。
例1、分别计算量子数n=2、l=1和n=2的电子的可能状态数。 分别计算量子数 =2、 =1和 =2的电子的可能状态数。 =2 =1 =2的电子的可能状态数 解： 对n=2、l=1的电子，可取 l=-1,0,1三种状态， 三种状态， 的电子， 三种状态 、 的电子 可取m 对每一种m 又可取m 对每一种 l，又可取 s=1/2,-1/2。故总的状态 。 数为： 数为： 对于n=2的电子， 可取0和1。 对于n=2的电子，l 可取0和1。 的电子
角动量空间取向量子化示意图(P352) 角动量空间取向量子化示意图
(ℏ)
z
(ℏ) 3zຫໍສະໝຸດ (ℏ) z 1 02 1
0
2 1
0
−1
l =1
−1 −2
l =2
−1 −2 −3
l =3
三、电子的自旋和自旋磁量子数 1921年 斯特恩(O.Stern)和格拉赫(W.Gerlach)从实 1921年，斯特恩(O.Stern)和格拉赫(W.Gerlach)从实 验中发现一些处于S 态的原子射线束， 验中发现一些处于S 态的原子射线束，在非均匀磁场中一 束分为两束。 束分为两束。
1515-9 氢原子的量子力学处理 一、氢原子的定态薛定谔方程 氢原子由一个质子和一个电子 组成，质子质量是电子质量的1837 组成，质子质量是电子质量的1837 可近似认为质子静止， 倍，可近似认为质子静止，电子受 质子库仑电场作用而绕核运动。 质子库仑电场作用而绕核运动。 电子的势能 或
⋅
⋅ ( x, y , z )
h Sz = ms 2π
ms —自旋磁量子数
氢原子中电子势能函数定态薛定谔方程
n =6 6s 6p 6d 6f 6g 6h
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3.轨道角动量空间量子化和磁量子数
氢原子中电子绕核运动的角动量不仅大小取分
离值，其方向也有一定限制。若取外磁场B的方向Байду номын сангаас
为 z轴，角动量在 z 轴上的投影 Lz 只能取
Lz ml ml 0, 1, 2,..., l
值，即 l 0，1，2， ，n 1 ,用s, p, d,…表示角动
量状态。
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氢原子内电子的状态
l=0 l=1 l=2 l=3 l=4 l=5 (s) (p) (d) (f) (g) (h) n =1 1s n =2 2s 2p n =3 3s 3p 3d n =4 4s 4p 4d 4f
拉普拉斯算符变为
2 1 (r2 ) 1 (sin ) 1 2
r2 r r r2 sin
r 2 sin2 2
设波函数为 (r,,) R(r)( ) ()
代入薛定谔方程，采用分离变量法得到三个常 微分方程。
在解波函数时，考虑到波函数应满足的标准 条件，很自然地得到氢原子的量子化特征。
16π
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电子出现在原子核的周围概率为
(r,,) 2 R(r)( ) () 2
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氢原子中电子径向概率分布
上页 下页 返回 退出
空间体积元内电子出现的概率
2 dV R 2 2 2 r2 sindrdd
r2 R 2 径向概率密度
E
5
n =2,3,… 对应的能量称为激发态能量 E4
§17-6氢原子
2p 3p 3d 4p 4d 4f 5p 5d 5f 6p 6d 6f 太原理工大学物理系
5g 6g
6h
4.氢原子的能级简并度 一组量子数n，l，m取值之间的制约关系为 n=1，2，3… l=0，1，2，…，（n-1） m=0，±1，±2，…，±l 对每一组量子数n，l，m，有相应的波函数
Ψ n, l , m ( r , , )
自旋角动量的空间取向是量子化的，它在外 场方向（取为z方向）上的投影只能有两种取值：
1 1 S z ms , ms ( )或 ( ) 2 2
ms称为自旋量子数
施特恩--格拉赫实验其实 是电子自旋角动量在磁场中 的空间量子化的体现.
Z
1 ms 2
ms
1 2
太原理工大学物理系
氢原子核外电子的状态可由 n, l, m, ms 四个 量来共同确定。 例1 氢原子处在n=3时有多少个不同的状态？在 不考虑电子自旋的情况下，写出状态的量子态， 考虑到自旋后重新回答上述问题。 解 n=3, l=0,1,2 l=0, m=0 l=1, m=0,1,-1 l=2, m=0,1,2,-1,-2 太原理工大学物理系
l称为角量子数，或副量子数。 角动量也是量子化的. 角动量只能取一系列分 立值,这些值由l 决定. 太原理工大学物理系
3.轨道角动量空间量子化 氢原子中电子绕核运动的角动量大小取分离值， 角动量的方向如何呢? 氢原子中角动量L在空间的取向不是任意的， 只能取一些特定的方向（空间量子化）. 这个特征是以角动量在空间某一特定方向Z 轴上的投影来表示的。
实验结果无法解释：轨道角动量（L）的取值 有2l+1个可能性，并非偶数。 1925年，乌仑贝克和高德斯密特大胆地提出： 电子具有固有角动量——自旋角动量。 由量子力学计算 自旋角动量 S s( s 1) s — 自旋量子数 可以证明
大学物理课件 氢原子
答案C
2.具有下列哪一能量的光子，能被处在n = 2的能 级的氢原子吸收？ (A) 1.51 eV． (B) 1.89 eV．
(C) 2.16 eV．
(D) 2.40 eV．
答案B
例题1. 实验发现基态氢原子可吸收能量为 12.75 eV的 光子． (1) 试问氢原子吸收该光子后将被激发到哪个能级？ (2) 受激发的氢原子向低能级跃迁时，可能发出哪几 条谱线？请画出能级图(定性)，并将这些跃迁画在能 级图上． （3）巴耳末线系有几条？ 莱曼系有几条？
定态薛定谔方程变为
1 2 1 1 (r ) 2 (sin ) 2 2 2 r r r r sin r sin 2
2
2m e2 2 (E ) 0 4π 0 r
设波函数
(r , , ) R(r )Θ( )Φ( )
解（1） 激发态能量 (n 1) E1 13.6 En 2 - 2 eV n n
1 E n - E1 13.6(1 2 ) 12.75e V n
n =4
第三激发态
43 42 32 41 31 21
n =4 3 2 1
42 21 六条谱线． 41 43 31 32 (2) 可以发出 （3）巴耳末线系有 42 32 2条 莱曼线系有 41 31 21 3条
h Em En
第一激发态
第二激发态
基态 n 1
13.6
氢 原 子与 能光 级谱 跃系 迁
n4 n3 n2
n
帕邢系 巴耳末系
莱曼系
E 0
n 1
E
氢原子光谱
1.由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激 发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光． (C) 三种波长的光． (B) 两种波长的光． (D) 连续光谱．
薛定谔方程求解氢原子
一、氢原子的薛定谔方程
电子在原子核的库仑场中运动：
U Ze2
4 0r
定态薛定谔方程：
[ 2 2
e2
]
(r )
E
(r )
2 4 0r
氢原子问题是球对称问题，通常采用球坐标系：
x r sin cos y r sin sin z r cos
l 动量，但是大小是非连续取值的！角量子数 来自于薛定谔方程求解
过程条件限制的必然结果！ ~ l 0,1,2,3, , , , , , n 1
L l l 1
名字s.p.d. f .g.h.i. j.k
对于同一个总能级量子数第n个轨道,会有对应的n
个亚轨道，这些亚轨道对应的总能量大致相等，
亚轨道l=0,取名s轨道，对应的角动量L=0，亚轨道l=1,取名p轨道角
动量大小L= 2 ！l=2,取名d轨道，L= 6 ；l=3,取名f 轨道，
L= 12 ！
其实，不同的角动量大小对能级的能量值有细微影响
1926年，海森堡解得氢原子的
能量 En,l为
En,l
13.6 n2
L 转动惯量I 角速度 mr2 mvr
但是电子绕原子核运动形成角动量的方向并不是跟宏观一样，
方向只能取特定值！（方向量子化）而且这些特定值跟l有关,可能 存在的方向为2l+1个！
比如，n=1，亚能级只有一个，对应的
轨道量子数l=0,取名s亚能级，对应的角 动量L=0！所以不存在方向问题！对应 的能量值为[-13.6-ΔE(1,0) ]eV
L l l 1
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可以取 2(l 1)个值。
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B(z)
2 角动量的空间量子化 o 2
L 6
l2
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例题13-18 设氢原子处于2p态，求氢原子的能量、角 动量大小 及角动量的空间取向。
ml =±1
ml =±2
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选择进入下一节 §13-0 教学基本要求 §13-1 热辐射 普朗克的能量子假设 §13-2 光电效应 爱因斯坦的光子理论 §13-3 康普顿效应 §13-4 氢原子光谱 玻尔的氢原子理论 §13-5 德布罗意波 微观粒子的波粒二象性 §13-6 不确定关系 §13-7 波函数及其统计诠释 薛定谔方程 §13-8 一维定态薛定谔方程的应用 §13-9 量子力学中的氢原子问题 §13-10 电子的自旋 原子的电子壳层结构
n =5 5s 5p 5d 5f 5g
n =6 6s 6p 6d 6f 6g 6h
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3.轨道角动量空间量子化和磁量子数
氢原子中电子绕核运动的角动量不仅大小取分
离值，其方向也有一定限制。若取外磁场B的方向
为 z轴，角动量在 z 轴上的投影 Lz 只能取
Lz ml ml 0, 1, 2,..., l
解 ： 2p态表示 n=2, l=1。
根据 En
13.6 eV n2
得
E2
13.6eV 3.40eV 22
角动量的大小为 L l(l1) 2
当l=1时，ml的可能值是-1, 0, +1，
π 4
arccos ml π 2
l(l1) 3π 4
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0.6
n= 1 ,
0.5
l= 0
0.4
0.3
n= 2 ,
0.2
l= 1
n= 2 ,
0.1
l= 0
r
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
r1
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n = 1, l = 0
ml = 0
n = 2, l = 1
ml = 0
ml =±1
n = 3, l = 2
ml = 0
值，即 l 0，1，2， ，n 1 ,用s, p, d,…表示角动
量状态。
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氢原子内电子的状态
l=0 l=1 l=2 l=3 l=4 l=5 (s) (p) (d) (f) (g) (h) n =1 1s n =2 2s 2p n =3 3s 3p 3d n =4 4s 4p 4d 4f
E
5
n =2,3,… 对应的能量称为激发态能量 E4
4
E2 3.40eV E3 1.51eV
E3
3
当n很大时，能级间隔消失而变为连续。 E2
2
当 n ，E 0
n 对应于电子被电离，氢原子
的电子电离能为
E E1 13.6 eV
E1
1
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三个函数分别满足关系
d 2 d 2
ml2
0
1
sin
d
d
sin
d d
ml2
sin2
0
1 r2
d dr
r
2
dR dr
2m 2
E
e2
4π 0r
r2
R
0
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§13-9 量子力学中的氢原子问题
一、氢原子的薛定谔方程
氢原子中电子的势能函数 U e2
定态薛定谔方程
4π 0r
2 2m (E e2 ) 0
2
4π0r
z
r x2 y2 z2
电子
为使求解的问题变得简便,
原核子 θ r
y
通常采用球坐标(r, ,) 。
xφ
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三、氢原子中电子的概率分布
要知道电子在氢原子中的分布，必须要知 道定态波函数：
n，l，ml Rn，l (r ) l，ml ( ) ml ( )
Rnl (r) 称为径向函数；
Yl，ml l，ml ( )ml ( ) 称为角分布函数。
以下给出前几个函数：
R1,0
(r)
(
1 a0
二、量子化条件和量子数
1.能量量子化和量子数
在求解 R(r) 得到氢原子能量必须满足量子化条件为
En
me4
32π
2
2 0
2
1 n2
me4820h21 n2
13.6
1 n2
n 称为主量子数
同玻尔得到的氢原子的能量公式一致，但却没有认 为的假设。
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n =1 基态能量 E1 13.6eV
)
3 2
2e
r
a0
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R2,0
(r)
(
1 2a0
3
)2
(2
r a0
)e
r
2 a0
R2,1 (r )
(
1
3
)2
2a0
r a0
3
e r 2a0
角分布函数：
a0为玻尔半径
Y0,0
1 4π
Y1,1
3 sin ei
8π
Y1,0
3 cos
4π
Y2,0
5 (3cos2 1)
2.轨道角动量量子化和角量子数
在求解角量 ,为变量的函数所满足的方程时，
进一步得到角动量量子化的结果。
L l(l 1) , l 1, 2,3, , (n 1)
l 称为角量子数，或副量子数。
说明角动量只能取由l决定的一系列分立值， 即角动量也是量子化的。
处于能级 En 的原子,其角动量共有n种可能
16π
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电子出现在原子核的周围概率为
(r,,) 2 R(r)( ) () 2
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氢原子中电子径向概率分布
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空间体积元内电子出现的概率
2 dV R 2 2 2 r2 sindrdd
r2 R 2 径向概率密度
拉普拉斯算符变为
2 1 (r2 ) 1 (sin ) 1 2
r2 r r r2 sin
r 2 sin2 2
设波函数为 (r,,) R(r)( ) ()
代入薛定谔方程，采用分离变量法得到三个常 微分方程。
在解波函数时，考虑到波函数应满足的标准 条件，很自然地得到氢原子的量子化特征。