中考试题典型题赏析：有趣的中点四边形(含解析)

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四边形拓展—中点应用

A D CB M 四边形拓展练习——中点应用中点，特别是线段的中点是几何图形中的一个特殊点，直角三角形斜边中线、等腰三角形三线合一、中心对称图形、三角形中位线和梯形中位线等都有其身影．那么，如何恰当地利用中点和处理与中点有关的问题呢？关键在于：充分挖掘中点所包含的信息，合理联想构造含中点的图形来解决问题．一、利用中点构造三角形中线例1．如图，在ABC 中，AB AC ，90BAC ，BD 是中线，AE BD 交BC 于点E ．求证：2BE CE．例2．如图，在ABC 中，AB AC ，90BAC ，BD 是中线，AM BD 于M ，交BC 于点E ．求CDES．【注】如果是等腰三角形的问题，则腰上的中点即为构造全等三角形创造了条件．三角形中线的性质是分三角形为两个面积相等的小三角形．在涉及求面积时，往往是常用的结论之一．二、利用中点构造中心对称三角形例3．如图，在梯形ABCD 中，90D ，M 为AB 中点．若 6.5CM，17BC CD DA ，求梯形ABCD 的面积．E D CAB MEDCBAB C AD M NE 例4．如图，在菱形ABCD 中，120ABC ，F 是DC 的中点，AF 的延长线交BC 的延长线于点E ．求直线BF 与DE 所夹的锐角的度数．【注】：在四边形问题中，若已知条件中有一边的中点，往往可利用中点构造中心对称的全等的三角形，从而把分散的条件相对集中，为解题创造有利条件．三、利用中点构造三角形中位线例5．如图，在ABC中，7AC ，4BC ，D 为AB 的中点，E 为AC 上一点，且1902AED C ．求CE 的长．例6．如图，已知AD 为ABC的角平分线，AB ＜AC ，在AC 上截取CE AB ，M 、N 分别为边BC 、AE 的中点．求证：//MN AD ．【注】：在四边形问题中，当已知条件中出现四边形对边的两个中点时，常见的方法是：另外作对角线的中点，再利用三角形的中位线来解题．F CA DBE EDACBA B C DEFA BC PD E45°A D BC E四、利用中点构造直角三角形斜边中线和三角形中位线例7．如图，在ABC中，AB AC ，AD BC ，垂足为D ，E G 、分别为AD AC 、的中点，DF BE ，垂足为F ．求证：FG DG．例8．如图，在ABC内取一点P ，使PBA PCA ，作PD AB 于点D ，PE AC 于点E ．求证：DE 的垂直平分线必经过BC 的中点M ．【注】：当题目的条件中涉及到三角形一边的中点和直角三角形时，常用的方法是：另取一边（一般取斜边）的中点，为沟通直角三角形斜边中线定理和三角形中位线定理架起一座桥梁．五、利用中点构造梯形中位线例9．在梯形ABCD 中，90ABC DCB ，AD 上有一点E 使得BE EC ，且45CED ．求证：AB CD BC ．例10．如图，M N 、分别是四边形ABCD 边AB CD 、的中点，BN 与MC 交于点P ，AN 与MD 交于点Q ．求证：BCPADQMQNP SSS四边形．六、利用多个中点构造三角形和四边形例11．如图，在任意五边形ABCDE中，M N P Q 、、、分别为AB CD BC DE 、、、的中点，K L 、分别为MN PQ 、的中点．求证：//KL AE 且1=4KL AE ．例12．在六边形ABCDEF中，//AB DE ，//BC EF ，//CD FA ，AB DE BC EF ，1111A B D E 、、、分别是边AB BC DE EF 、、、的中点，且1111A DB E ．求证：CDE AFE．QP NM AD B CK L Q PM NA BCD EE 1D 1B 1A 1EA BCD FABCD配套练习：1．如图，在菱形ABCD 中，100A ，M N 、分别是边AB BC 、的中点，MP CD于点P ，求NPC的度数．2．如图，在ABC中，D 为边BC 的中点，点E F 、分别在边AC AB 、上，且ABE ACF ，BE 与CF 交于点O ，作OP AC ，OQ AB ，P Q 、为垂足．求证：DP DQ．3．如图，在ABC 中，2A B ACB ，8BC ，D 为AB 的中点，且1972CD ，求AC 的长．PQDOABCE F PNMA B C DD BCAFE MABCDEM4．如图，在ABC 中，2B C ，AD BC 于D ，M 为BC 的中点，求证：12DM AB5．如图，在ABC中，2ABC C ，AD 平分BAC ，过BC 的中点M 作AD 的垂线，交AD 的延长线于F ，交AB 的延长线于E ，求证：12BE BD ．6．如图，已知五边形ABCDE中，90,ABC AED BAC EAD。

中考数学复习《四边形》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《四边形》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 平行四边形的判定与计算【命题规律】1.考查内容：①平行四边形的性质及其相关计算；②平行四边形的判定.2.考查形式：①根据平行四边形的性质考查结论判断；②利用平行四边形的性质求角度、线段或面积；③添加条件使四边形为平行四边形.3.考查题型：性质在选择和填空题中考查居多，判定题近年来多在解答题中考查，有时会在二次函数压轴题中探究平行四边形的存在问题．【命题预测】平行四边形是四边形中主要的图形之一，性质与判定常常考查，是近年命题的重点． 1. 已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BC 的中点，以下说法错误的是( )A . OE ＝12DC B . OA ＝OC C . ∠BOE ＝∠OBA D . ∠OBE ＝∠OCE1. D第1题图第2题图2. 如图，在▱ABCD 中，BM 是∠ABC 的平分线交CD 于点M ，且MC ＝2，▱ABCD 的周长是14，则DM 等于( )A . 1B . 2C . 3D . 42. C 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠ABM ＝∠CMB ，∵BM 平分∠ABC ，∴∠ABM ＝∠CBM ，∴∠CBM ＝∠CMB ，∴CB ＝MC ＝2，∴AD ＝BC ＝2，∵▱ABCD 的周长是14，∴AB ＝CD ＝5，∴DM ＝DC －MC ＝3.3. 如图所示，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，若AB ∥CD ，请添加一个条件________(写一个即可)，使四边形ABCD 是平行四边形． 3. AD ∥BC (答案不唯一)第3题图第4题图第5题图 4. 如图，▱ABCD 中，AC ＝8，BD ＝6，AD ＝a ，则a 的取值范围是________．4. 1＜a ＜7 【解析】如解图，对角线AC ，BD 相交于点O ，则OA ＝12AC ＝4，OD ＝12BD ＝3，在△OAD中，OA －OD ＜AD ＜OA ＋OD ，即1＜a ＜7.5. 如图所示，在▱ABCD 中，∠C ＝40°，过点D 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交CB 的延长线于点F ，则∠BEF 的度数为__________． 5. 50°6. 如图，将▱ABCD 的AD 边延长至点E ，使DE ＝12AD ，连接CE ，F 是BC 边的中点，连接FD.(1)求证：四边形CEDF 是平行四边形； (2)若AB ＝3，AD ＝4，∠A ＝60°，求CE 的长．6. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴DE ∥FC.∵F 是BC 的中点， ∴FC ＝12BC ＝12AD ，∵DE ＝12AD ，∴FC ＝DE ，∴四边形CEDF 是平行四边形． (2)解：如解图，过点D 作DH ⊥BC 于点H. 由(1)知四边形DECF 是平行四边形，∴DF ＝CE.∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A ＝60°，AB ＝3，AD ＝4， ∴BC ＝4，CD ＝3，∠BCD ＝60°，在Rt △DHC 中，HC ＝DC·cos ∠HCD ＝32，DH ＝DC ·sin ∠HCD ＝332，∵F 是BC 的中点， ∴FC ＝2，∴FH ＝FC －HC ＝2－32＝12，在Rt △DFH 中，由勾股定理得DF ＝DH 2＋FH 2＝（332）2＋（12）2＝7，∴CE ＝7.命题点2 矩形的判定与计算【命题规律】考查形式：①利用矩形性质，结合勾股定理求线段长或面积；②矩形的判定，一般在解答题中考查，也常在二次函数综合题中考查矩形的存在性问题；③矩形折叠的相关计算与证明(见命题点6：图形折叠的相关计算)．【命题预测】矩形性质将勾股定理、全等、相似等重要知识综合考查，是全国命题趋势之一． 7. 如图，在矩形ABCD 中(AD ＞AB)，点E 是BC 上一点，且DE ＝DA ，AF ⊥DE ，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是( )A . △AFD ≌△DCEB . AF ＝12AD C . AB ＝AF D . BE ＝AD －DF7. B 【解析】逐项分析如下表：选项逐项分析正误A∵四边形ABCD 是矩形，AF ⊥DE ，∴∠C ＝90°＝∠AFD ，AD ∥BC ，∴∠ADF ＝∠CED ，∵AD ＝DE ，∴△AFD ≌△DCE (AAS)√B只有当∠ADF ＝30°时，才有AF ＝12AD 成立×C由△AFD ≌△DCE 可知，AF ＝DC ，∵矩形ABCD 中，AB ＝DC ，∴AB ＝AF√D∵△AFD ≌△DCE ，∴DF ＝CE ，∴BE ＝BC －CE ＝AD －DF √8. 已知矩形的对角线AC 与BD 相交于点O ，若AO ＝1，那么BD ＝________． 8. 2第7题图第8题图第9题图 9. 如图，矩形ABCD 的面积是15，边AB 的长比AD 的长大2，则AD 的长是________．9. 3 【解析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用问题. 设AD ＝x ，由题知，AB ＝x ＋2，又∵矩形ABCD 的面积为15，则x(x ＋2)＝15，得到x 2＋2x －15＝0，解得，x 1＝－5(舍) , x 2＝3，∴AD ＝3. 10. 如图所示，△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线AF 交CE 的延长线于F ，且AF ＝BD ，连接BF. (1)求证：D 是BC 的中点；(2)若AB ＝AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．10. (1)证明：∵点E 是AD 的中点， ∴AE ＝DE. ∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE ，∠FAE ＝∠CDE ， ∴△EAF ≌△EDC(AAS )， ∴AF ＝DC. ∵AF ＝BD ， ∴BD ＝DC ，即D 是BC 的中点．(2)解：四边形AFBD 是矩形．证明如下： ∵AF ∥BD ，AF ＝BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形．∵AB ＝AC ，又由(1)可知D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∴四边形AFBD 是矩形．11. 如图，点P 在矩形ABCD 的对角线AC 上，且不与点A ，C 重合，过点P 分别作边AB ，AD 的平行线，交两组对边于点E ，F 和点G ，H. (1)求证：△PHC≌△CFP；(2)证明四边形PEDH 和四边形PFBG 都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．11. (1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ∥AB ，AD ∥BC ，∠DCB ＝90°.∵EF ∥AB ，GH ∥AD ，∴EF ∥CD ，GH ∥BC ， ∴四边形PFCH 是矩形， ∴∠PHC ＝∠PFC ＝90°，PH ＝CF ，HC ＝PF ， ∴△PHC ≌△CFP(SAS )．(2)证明：由(1)知AB ∥EF ∥CD ， AD ∥GH ∥BC ，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是平行四边形， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠D ＝∠B ＝90°，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是矩形， ∴S 矩形PEDH ＝S 矩形PGBF .命题点3 菱形的判定与计算【命题规律】1.考查内容和形式：①根据菱形性质判断结论正误；②菱形的判定；③根据菱形的性质求角度、周长和面积；④与二次函数压轴题结合考查菱形的存在性问题.2.三大题型均会出现．【命题预测】菱形是特殊平行四边形中的重要内容，是中考常考知识，对菱形的性质与判定应做到牢固掌握．12. 如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O.若增加一个条件，使▱ABCD 成为菱形，下列给出的条件不正确．．．的是( ) A . AB ＝AD B . AC ⊥BD C . AC ＝BD D . ∠BAC ＝∠DAC12. C 【解析】邻边相等的平行四边形是菱形，所以A 正确；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B 正确；对角线相等的平行四边形是矩形，所以C 错误；由∠BAC ＝∠DAC 可得对角线是角平分线，所以D 正确．第12题图第13题图13. 已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，OB ＝45，点P 是对角线OB 上的一个动点，D(0，1)，当CP ＋DP 最短时，点P 的坐标为( )A . (0，0)B . (1，12) C . (65，35) D . (107，57)13. D 【解析】如解图，连接CA 、AD ，CA 与OB 相交于点E ，过点E 作EF ⊥OA ，交OA 于点F .由题知点C 关于OB 的对称点是点A ，AD 与BO 的交点即为点P .根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分两组对角，可知△COE ∽△EOF ，∴CO EO ＝EO OF ，∵OC ＝OA ＝5，OE ＝OB 2＝25，∴OF ＝OE 2CO ＝（25）25＝4，根据勾股定理可得EF ＝OE 2－OF 2＝（25）2－42＝2，点E 的坐标为(4，2)，易得直线OE 的函数解析式为y ＝12x ，直线AD 的函数解析式是y ＝－15x ＋1，联立得：⎩⎨⎧y ＝12x y ＝－15x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝107y ＝57，∴点P 的坐标为(107，57)．14. 如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BD 的中点，若EF ＝2，则菱形ABCD 的周长为________． 14. 16 【解析】∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点，∴AB ＝2EF ＝4，∴菱形ABCD 周长是4AB ＝16.第14题图第15题图15. 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝8，则菱形的面积是________．15. 24 【解析】如解图，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝5，AC ＝8，且菱形的对角线互相垂直平分，∴OA ＝4，在Rt △AOB 中，由勾股定理得OB ＝3，∴BD ＝6，∴S 菱形ABCD ＝12AC ·BD＝12×8×6＝24. 16. 在菱形ABCD 中，∠A ＝30°，在同一平面内，以对角线BD 为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE ，则∠EBC 的度数为________．16. 105°或45° 【解析】如解图，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝150°，∠ABD ＝∠DBC ＝75°，且顶角为120°的等腰三角形的底角是30°.分为以下两种情况：(1)当点E 在△ABD 内时，∠E 1BC ＝∠E 1BD ＋∠DBC ＝30°＋75°＝105°；(2)当点E 在△DBC 内时，∠E 2BC ＝∠DBC －∠E 2BD ＝75°－30°＝45°.综上所述，∠EBC 的度数为105°或45°.17. 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，点E 是AC 的中点，AC ＝2AB ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，作AF∥BC，连接DE 并延长交AF 于点F ，连接FC. 求证：四边形ADCF 是菱形．17. 证明：∵∠B ＝90°，AC ＝2AB ， ∴sin ∠ACB ＝12，∴∠ACB ＝30°， ∴∠CAB ＝60°， ∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝12∠CAB ＝30°，∠CAD ＝∠ACD ，∴AD ＝CD ， ∵AF ∥CD ，∴∠DCE ＝∠FAE ，∠AFE ＝∠CDE ，又∵AE ＝CE ，∴△AFE ≌△CDE(AAS )， ∴AF ＝CD ，又AF ∥CD ，∴四边形ADCF 是平行四边形，又AD ＝CD ，∴四边形ADCF 是菱形．命题点4 正方形的判定与计算【命题规律】正方形的考查相对比较综合，难度较大，常在选择或填空的压轴题位置出现，考查知识点综合性强，涉及到正方形面积、边长和周长的计算．【命题预测】正方形综合了所有特殊四边形的性质，因此以正方形为背景出题更具有对知识的检验性，倍受命题人青睐，考生应加以关注．18. 如图，正方形ABCD 的面积为1，则以相邻两边中点连线EF 为边的正方形EFGH 的周长为( )A . 2B . 2 2C . 2＋1D . 22＋118. B 【解析】∵正方形ABCD 的面积为1，∴BC ＝CD ＝1，∵E 、F 是边的中点，∴CE ＝CF ＝12，∴EF＝（12）2＋（12）2＝22，则正方形EFGH 的周长为4×22＝2 2. 19. ▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC⊥BD，请添加一个条件：________，使得▱ABCD 为正方形． 19. ∠BAD ＝90°(答案不唯一)20. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，N ，P ，G 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，点M ，F ，Q 都在对角线BD 上，且四边形MNPQ 和AEFG 均为正方形，则S 正方形MNPQS 正方形AEFG的值等于________．20. 89【解析】设BD ＝3a ，∠CDB ＝∠CBD ＝45°，且四边形PQMN 为正方形，∴DQ ＝PQ ＝QM ＝NM＝MB ，∴正方形MNPQ 的边长为a ，正方形AEFG 的对角线AF ＝12BD ＝32a ，∵正方形对角线互相垂直，∴S 正方形AEFG ＝12×32a ×32a ＝98a 2，∴S 正方形MNPQ S 正方形AEFG ＝a 298a 2＝89.第20题图第21题图21. 如图，正方形ABCD 的边长为22，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是OC 的中点，连接BE ，过点A 作AM⊥BE 于点M ，交BD 于点F ，则FM 的长为________． 21.55【解析】∵四边形ABCD 为正方形，∴AO ＝BO ，∠AOF ＝∠BOE ＝90°，∵AM ⊥BE ，∠AFO ＝∠BFM ，∴∠FAO ＝∠EBO ，在△AFO 和△BEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOF ＝∠BOE AO ＝BO ∠FAO ＝∠EBO ，∴△AFO ≌△BEO(ASA )，∴FO ＝EO ，∵正方形ABCD 的边长为22，E 是OC 的中点，∴FO ＝EO ＝1＝BF ，BO ＝2，∴在Rt △BOE 中，BE ＝12＋22＝5，由∠FBM ＝∠EBO ，∠FMB ＝∠EOB ，可得△BFM ∽△BEO ，∴FM EO ＝BF BE ，即FM1＝15，∴FM ＝55.22. 如图，已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形，点E 在线段DC 上，点A ，D ，G 在同一条直线上，且AD ＝3，DE ＝1，连接AC ，CG ，AE ，并延长AE 交CG 于点H. (1)求sin ∠EAC 的值； (2)求线段AH 的长．22.解：(1)由题意知EC ＝2，AE ＝10，如解图，过点E 作EM ⊥AC 于点M ， ∴∠EMC ＝90°，易知∠ACD ＝45°， ∴△EMC 是等腰直角三角形， ∴EM ＝2，∴sin ∠EAC ＝EM AE ＝55.(2)在△GDC 与△EDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧DG ＝DE ∠GDC ＝∠EDA DC ＝DA， ∴△GDC ≌△EDA(SAS )，∴∠GCD ＝∠EAD ，又∵∠HEC ＝∠DEA ，∴∠EHC ＝∠EDA ＝90°， ∴AH ⊥GC ，∵S △AGC ＝12×AG ×DC ＝12×GC ×AH ，∴12×4×3＝12×10×AH ， ∴AH ＝6510.命题点5 多边形及其性质【命题规律】1.考查内容：①多边形的内外角和公式；②正多边形的有关计算.2.考查形式：①已知正多边形一个内角或外角的度数或内角之间的关系求边数；②已知正多边形的边数求内角度数；③求多边形的内外角和．【命题预测】多边形是三角形和四边形的延伸拓展，也是中考命题不容忽视的知识点． 23. 六边形的内角和是( )A . 540°B . 720°C . 900°D . 1080°23. B24. 一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为( )A . 7B . 7或8C . 8或9D . 7或8或924. D 【解析】分类讨论：(1)切去一个角，减少一条边，设减少一条边后的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是9；(2)切去一个角，增加一条边，设增加一条边后的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是7；(3)切去一个角，边数无改变，设边数没有改变时的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是8，综上所述，原多边形的边数是9，7，8都符合题意，答案选择D.25. 若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是________．25. 6 【解析】设这个多边形的边数为n ，则内角和为(n －2)·180°，外角和为360°，则根据题意有：(n －2)·180°＝2×360°，解得n ＝6. 26. 一个正多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是________．26. 8 【解析】由正多边形的每一个外角都是45°，其外角和为360°，可得这个正多边形的边数是360°45°＝8.方法指导设正多边形的边数为n ，正多边形的外角和为360°，内角和为(n －2)×180°，每个内角的度数为180°×（n －2）n.命题点6 图形折叠的相关证明与计算【命题规律】考查内容和形式：图形折叠计算以矩形折叠考查居多，常考查：①图形的折叠计算角度；②图形的折叠计算线段长或边长；③图形折叠的证明和计算结合；④图形折叠的操作探究．【命题预测】图形折叠将原有图形变得可操作化，且又很好地引入了对称知识，使问题升华，有效地考查学生的知识迁移能力和掌握程度，是全国命题的主流趋势之一，值得每位考生关注．27. 如图，把一张矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 的对应点为B′，AB ′与DC 相交于点E ，则下列结论一定正确的是( )A ．∠DAB ′＝∠CAB′ B ．∠ACD ＝∠B′CDC ．AD ＝AE D ．AE ＝CE27. D28. 如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE.若AB 的长为2，则FM 的长为( )A . 2B . 3C . 2D . 128. B第28题图第29题图29. 如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A 落在CD 边上的点A′处，点B 落在点B′处．若∠2＝40°，则图中∠1的度数为( )A . 115°B . 120°C . 130°D . 140°29. A 【解析】由折叠的性质知∠EA ′B ′＝∠A ＝90°，∵∠2＝40°，∴∠B ′A ′C ＝50°，∴∠EA ′D ＝40°，∠DEA ′＝50°，∴∠AEA ′＝130°，∴∠AEF ＝∠FEA ′＝12∠AEA ′＝65°，∵AD ∥BC ，∴∠1＝180°－65°＝115°.30. 如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B 为( )A . 66°B . 104°C . 114°D . 124°30. C 【解析】设∠ACD ＝x ，∠B ＝y ，则根据题意可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋44°＝180°180°－y －（44°－x ）＝44°，解得y ＝114°.第30题图第31题图第32题图31. 如图，将△ABC 沿直线DE 折叠，使点C 与点A 重合，已知AB ＝7，BC ＝6，则△BCD 的周长为________． 31. 13 【解析】由折叠的性质可得：CD ＝AD ，∴△BCD 的周长＝BC ＋CD ＋BD ＝BC ＋AD ＋BD ＝BC ＋BA ＝6＋7＝13.32. 如图，在▱ABCD 中，E 为边CD 上一点，将△ADE 沿AE 折叠至△AD′E 处，A D′与CE 交于点F ，若∠B ＝52°，∠DAE ＝20°，则∠FED′的大小为________．32. 36° 【解析】∵在▱ABCD 中，∠D ＝∠B ＝52°，∴∠AEF ＝∠DAE ＋∠D ＝20°＋52°＝72°，∴∠AED＝180°－∠AEF ＝108°，由折叠的性质得，∠AED ′＝∠AED ＝108°，∴∠FED ′＝∠AED′－∠AEF ＝108°－72°＝36°.33.如图，将矩形纸片ABCD(AD ＞AB)折叠，使点C 刚好落在线段AD 上，且折痕分别与边BC ，AD 相交．设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F.(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；(2)若AB＝3，BC＝9，求线段CE的取值范围．33. 解：(1)四边形CEGF是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE＝∠FEC，∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折痕，∴∠GEF＝∠FEC，∴∠GFE＝∠GEF，∴GF＝GE，∵图形翻折后EC与GE完全重合，FC与FG重合，∴GE＝EC＝GF＝FC，∴四边形CEGF为菱形．(2)如解图①，当点F与点D重合时，四边形CEGF是正方形，此时CE最小，且CE＝CD＝3；如解图②，当点G与点A重合时，CE最大．设EC＝x，则BE＝9－x，由折叠性质知，AE＝CE＝x，在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，即9＋(9－x)2＝x2，解得x＝5，∴CE＝5，所以，线段CE的取值范围为3≤CE≤5.34.如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.(1)求证：四边形BCED′是菱形；(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．34. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D＝60°，由折叠性质可知，∠D＝∠AD′E＝60°，∴∠AD′E＝∠B＝60°，∴ED′∥BC，又∵EC∥D′B，∴四边形BCED′是平行四边形，∴ED′＝BC＝AD＝1，∴DE＝ED′＝1，又DC＝AB＝2，∴EC ＝1， ∴EC ＝ED′，∴四边形BCED′是菱形． (2)解：如解图所示，由折叠性质PD′＝PD ，BD 之长即为所求，作DG ⊥BA 的延长线于点G ， ∵∠DAB ＝120°， ∴∠DAG ＝60°， ∵∠G ＝90°， ∴∠ADG ＝30°，在Rt △ADG 中，AD ＝1， ∴AG ＝12，DG ＝32，∵AB ＝2， ∴BG ＝52，在Rt △BDG 中，由勾股定理得：BD 2＝BG 2＋DG 2＝7， ∴BD ＝7，即PD′＋PB 的最小值为7.方法指导“将军饮马”模型：直线同侧两定点，在直线上确定一点使该点到两定点的距离和最小．作法：作其中一点关于直线的对称点，连接另一点和对称点的线段即是最短距离和；最短距离计算方法：构造以最短距离线段为斜边的直角三角形，利用勾股定理求解．中考冲刺集训一、选择题1.关于▱ABCD 的叙述，正确的是( )A . 若A B⊥BC，则▱ABCD 是菱形B . 若AC⊥BD，则▱ABCD 是正方形C . 若AC ＝BD ，则▱ABCD 是矩形 D . 若AB ＝AD ，则▱ABCD 是正方形2.设四边形的内角和等于a ，五边形的外角和等于b ，则a 与b 的关系是( )A . a ＞bB . a ＝bC . a ＜bD . b ＝a ＋180°3.如图，正五边形ABCDE 放入某平面直角坐标系后，若顶点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b ，m)，(c ，m)．则点E 的坐标是( )A . (2，－3)B . (2，3)C . (3，2)D . (3，－2)第3题图第4题图4.如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＋BD ＝16，CD ＝6，则△ABO 的周长是( )A . 10B . 14C . 20D . 225.菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是AD ，CD 边上的中点，连接EF.若EF ＝2，BD ＝2，则菱形ABCD 的面积为( )A . 2 2B . 4 2C . 6 2D . 8 2第5题图第6题图第7题图6.如图，平行四边形ABCD 的周长是26 cm ，对角线AC 与BD 交于点O ，AC ⊥AB ，E 是BC 中点，△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，则AE 的长度为( )A . 3 cmB . 4 cmC . 5 cmD . 8 cm7.如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ，若BE∶EC ＝2∶1，则线段CH 的长是( )A . 3B . 4C . 5D . 68.如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AB 上一点，过点E 作EF∥AD，与AC 、DC 分别交于点G 、F2H 为CG 的中点，连接DE 、EH 、DH 、FH.下列结论：①EG ＝DF ；②∠AEH＋∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④若AE AB ＝23，则3S △EDH ＝13S △DHC ，其中结论正确的有( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题9.如图，在▱ABCD 中，BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ，若∠1＝20°，则∠2的度数为________．10.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC ＝8，BD ＝6，则菱形ABCD 的高DH ＝________．第9题图第10题图第11题图11.如图，延长矩形ABCD 的边BC 至点E ，使CE ＝BD ，连接AE.如果∠ADB＝30°，则∠E＝________度. 12.如图，正方形ABCO 的顶点C ，A 分别在x 轴，y 轴上，BC 是菱形BDCE 的对角线，若∠D＝60°，BC ＝2，则点D 的坐标是________．第12题图第13题图第14题图 13.如图，正十二边形A 1A 2…A 12，连接A 3A 7，A 7A 10，则∠A 3A 7A 10＝________°.14.如图，菱形ABCD 的面积为120 cm 2，正方形AECF 的面积为50 cm 2，则菱形的边长为________cm . 15.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10.点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处．有下列结论： ①∠EBG ＝45°；②△DEF∽△ABG；③S △ABG ＝32S △FGH ；④AG ＋DF ＝FG.其中正确的是______________．(把所有正确结论的序号都选上)第15题图第16题图16.如图，正方形ABCD 的面积为3 cm 2，E 为BC 边上一点，∠BAE ＝30°，F 为AE 的中点，过点F 作直线分别与AB ，DC 相交于点M ，N.若MN ＝AE ，则AM 的长等于________cm . 三、解答题17.如图，在▱ABCD 中，连接BD ，在BD 的延长线上取一点E ，在DB 的延长线上取一点F ，使BF ＝DE ，连接AF 、CE. 求证：AF∥CE.18.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．19.如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N.(1)求证：四边形CMAN是平行四边形；(2)已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．20.如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE.求证：(1)∠CEB＝∠CBE；(2)四边形BCED是菱形．21.已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P.(1)求证：AP＝BQ;(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ长．22.已知正方形ABCD中，BC＝3，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF＝BE，连接AE、AF，过点A作AH⊥ED于H点．(1)求证：△ADF≌△ABE；(2)若BE＝1，求tan∠AED的值．23.如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，把△ABC 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD 、CE 交于点F. (1)求证：△AEC≌△ADB；(2)若AB ＝2，∠BAC ＝45°，当四边形ADFC 是菱形时，求BF 的长．24.如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作EG∥CD 交AF 于点G ，连接DG. (1)求证：四边形EFDG 是菱形；(2)探究线段EG 、GF 、AF 之间的数量关系，并说明理由； (3)若AG ＝6，EG ＝25，求BE 的长．答案与解析：1. C2. B3. C4. B5. A 【解析】∵E ，F 分别是 AD ，CD 边上的中点，即EF 是△ACD 的中位线，∴AC ＝2EF ＝22，则菱形ABCD 的面积＝12AC ·BD ＝12×22×2＝2 2.6. B 【解析】在▱ABCD 中，AD ＝BC ，AB ＝CD ，BO ＝DO ，∵平行四边形ABCD 的周长为26 cm ，∴AB ＋BC ＝13 cm ，又∵△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，∴AD －AB ＝BC －AB ＝3 cm ，解得AB ＝5 cm ，BC ＝8 cm ，又AB ⊥AC ，E 是BC 的中点，∴AE ＝BE ＝CE ＝12BC ＝4 cm.7. B 【解析】设CH ＝x ，∵BE ∶EC ＝2∶1，BC ＝9，∴EC ＝3，由折叠可知，EH ＝DH ＝9－x ，在Rt △ECH 中，由勾股定理得：(9－x )2＝32＋x 2，解得：x ＝4.8. D 【解析】逐项分析如下表：序号逐项分析正误难点突破对于多选项判断正误性的题目，几乎每个选项之间都是紧密联系的，单独判断其中每个的正误或跳跃式判断往往使题目变得复杂而无法求解，本题目难点在于④中，需将S △FDH 与已知条件AE AB ＝23联系起来，并用含相同未知数的代数式分别表示出S △EDH 和S △DHC ，继而求解．9. 110° 【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，∴∠CAB ＝∠1＝20°，∵BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ，∴∠ABE ＝90°，∴∠2＝∠CAB ＋∠ABE ＝20°＋90°＝110°.10. 4.8 【解析】∵S ＝1AC·BD ＝2AB·DH ，∴AC ·BD ＝2AB·DH.∵四边形ABCD 是菱形，∴∠AOB ＝90°，AO ＝12AC ＝4，BO ＝12BD ＝3，∴在Rt △AOB 中，AB ＝42＋32＝5，∴DH ＝8×62×5＝4.8.第11题解图11. 15 【解析】如解图，连接AC.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AC ＝BD ，又∵AB ＝BA ，∴△DAB ≌△CBA(SSS )，∴∠ACB ＝∠ADB ＝30°，∵CE ＝BD ，∴AC ＝CE ，∴∠E ＝∠CAE ＝12∠ACB＝15°.第12题解图12. (3＋2，1) 【解析】如解图，过点D 作DG ⊥BC 于G ，DF ⊥x 轴于F ，∵在菱形BDCE 中，BD ＝CD ，∠BDC ＝60°，∴△BCD 是等边三角形，∴DF ＝CG ＝12BC ＝1，CF ＝DG ＝3，∴OF ＝3＋2，∴D(3＋2，1)．13. 75 【解析】∵多边形A 1A 2…A 12是正十二边形，作它的外接圆⊙O ，∴劣弧A 10A 3的度数＝5×360°12＝150°，∴∠A 3A 7A 10＝12×150°＝75°.第14题解图14. 13 【解析】如解图，连接AC 、BD 交于O ，则有12AC·BD ＝120，∴AC ·BD ＝240，又∵菱形对角线互相垂直平分，∴2OA ·2OB ＝240，∴ OA ·OB ＝60，∵AE 2＝50, OA 2＋OE 2＝ AE 2，OA ＝OE ，∴OA ＝5，∴OB ＝12，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝122＋52＝13.15. ①③④ 【解析】由折叠的性质得，∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ，∴∠EBG ＝∠FBE ＋∠FBG ＝12×90°＝45°，故①正确；由折叠的性质得，BF ＝BC ＝10，BA ＝BH ＝6，∴HF ＝BF －BH ＝4，AF ＝BF 2－BA 2＝102－62＝8，设GH ＝x ，则GF ＝8－x ，在Rt △GHF 中，x 2＋42＝(8－x)2，∴x ＝3，∴GF ＝5，∴AG ＝3，同理在Rt △FDE 中，由FD 2＝EF 2－ED 2，得ED ＝83，EF ＝103，∴ED FD ＝43≠ABAG ＝2，∴△DEF 与△ABG 不相似，故②不正确；S △ABG ＝12×3×6＝9，S △FGH ＝12×3×4＝6，∴S △ABG S ＝96＝32，故③正确；∵AG ＝3，DF ＝AD －AF ＝2，∴FG ＝5，∴AG ＋DF ＝FG ＝5，故④正确．综上，答案是①③④.第16题解图16.233或33【解析】如解图，过N 作NG ⊥AB ，交AB 于点G ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ＝NG ＝ 3 cm ，在Rt △ABE 中，∠BAE ＝30°，AB ＝ 3 cm ，∴BE ＝1 cm ，AE ＝2 cm ，∵F 为AE 的中点，∴AF ＝12AE ＝1 cm ，在Rt △ABE 和Rt △NGM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝NG AE ＝NM ，∴Rt △ABE ≌Rt △NGM(HL )，∴BE ＝GM ，∠BAE ＝∠MNG ＝30°，∠AEB ＝∠NMG ＝60°，∴∠AFM ＝90°，即MN ⊥AE ，在Rt △AMF 中，∠FAM ＝30°，AF ＝1 cm ，∴AM ＝AF cos 30°＝132＝233 cm ，由对称性得到AM′＝BM ＝AB －AM ＝3－233＝33 cm ，综上，AM 的长等于233或33 cm . 17. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，第17题解图∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴∠1＝∠2，又∵BF ＝DE ，∴BF ＋BD ＝DE ＋BD ，即DF ＝BE.∴△ADF ≌△CBE(SAS )． ∴∠AFD ＝∠CEB ，∴AF ∥CE.18. (1)【思路分析】根据四边形ABCD 是菱形，∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2，可求出∠DBC 的度数，其正切值可求出．解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∠DBC ＝12∠ABC ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°，又∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2， ∴∠ABC ＝60°， ∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∴tan ∠DBC ＝tan 30°＝33. (2)【思路分析】由BE ∥AC ，CE ∥BD 可知四边形BOCE 是平行四边形，再结合菱形对角线垂直的性质即可证明四边形BOCE 是矩形．证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，即∠BOC ＝90°， ∵BE ∥AC ，CE ∥BD ， ∴BE ∥OC ，CE ∥OB ，∴四边形OBEC 是平行四边形，且∠BOC ＝90°，∴四边形OBEC 是矩形．19. (1)证明：∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， ∴AM ∥CN ，又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴MC ∥AN ，∴四边形CMAN 是平行四边形．(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠ADE ＝∠CBF ，AD ＝CB ，又∵∠AED ＝∠CFB ＝90°， ∴△AED ≌△CFB(AAS )， ∴DE ＝BF ＝4，∴在Rt △BFN 中，BN ＝32＋42＝5.20. (1)【思路分析】要证∠CEB ＝∠CBE ，结合CE ∥DB ，可得到∠CEB ＝∠DBE ，从而只需证明∠CBE ＝∠DBE ，结合△ABC ≌△ABD 即可得证．证明：∵△ABC ≌△ABD ， ∴∠ABC ＝∠ABD ， ∵CE ∥BD ，∴∠CEB ＝∠DBE ，∴∠CEB ＝∠CBE.(2)证明：∵△ABC ≌△ABD ，∴BC ＝BD ，由(1)得∠CEB ＝∠CBE ， ∴CE ＝CB ， ∴CE ＝BD ， ∵CE ∥BD ，∴四边形BCED 是平行四边形， ∵BC ＝BD ，∴四边形BCED 是菱形．21. (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝AD, ∠BAQ ＋∠DAP ＝90°＝∠DAB ， ∵DP ⊥AQ ，∴∠DAP ＋∠ADP ＝90°， ∴∠BAQ ＝∠ADP.在△DAP 和△ABQ 中， ⎨⎪⎧∠APD ＝∠AQB ＝90°∠ADP ＝∠BAQ ，∴△DAP ≌△ABQ(AAS )，∴AP ＝BQ.(2)解：①AQ 和AP ；②DP 和AP ；③AQ 和BQ ；④DP 和BQ.【解法提示】①由题图直接得：AQ －AP ＝PQ ；②∵△ABQ ≌△DAP ，∴AQ ＝DP ，∴DP －AP ＝ AQ －AP ＝PQ ；③∵△ABQ ≌△DAP ，∴BQ ＝AP ，∴AQ －BQ ＝AQ －AP ＝PQ ；④∵△ABQ ≌△DAP ，∴DP ＝AQ ，BQ ＝AP ，∴DP －BQ ＝AQ －AP ＝PQ.22. (1)证明：在△ADF 和△ABE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠ABE ＝∠ADF ＝90°EB ＝FD， ∴△ADF ≌△ABE(SAS )．(2)解：∵AB ＝3，BE ＝1，∴AE ＝10，EC ＝4，∴ED ＝CD 2＋EC 2＝5，设AH ＝x ，EH ＝y ，在Rt △AHE 和Rt △AHD 中，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝10x 2＋（5－y ）2＝9，解得，x ＝1.8，y ＝2.6，∴tan ∠AED ＝AH EH ＝x y ＝1.82.6＝913. 23. (1)证明：∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，AE ＝AC ，∠BAC ＝∠DAE ，∵AB ＝AC ，∴AD ＝AB ＝AE ＝AC ，∠EAC ＝∠DAB ，在△AEC 和△ADB 中∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝ AE ∠EAC ＝∠DAB AB ＝AC， ∴△AEC ≌△ADB(SAS )．(2)解：当四边形ADFC 是菱形时，AC ＝DF ，AC ∥DF ，∴∠BAC ＝∠ABD ，又∵∠BAC ＝45°，∴∠ABD ＝45°，又∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，∴∠DAB ＝90°，又∵AB ＝2，由勾股定理可得：BD ＝AD 2＋AB 2＝2AB ＝22，在菱形ADFC 中，DF ＝AD ＝AB ＝2，∴BF ＝BD －DF ＝22－2.24. (1)【思路分析】根据折叠的性质，易得DF ＝EF ，DG ＝EG ，∠AFD ＝∠AFE ，再由EG ∥DC ，可得∠EGF ＝∠AFD ，从而得出EG ＝EF.根据四条边都相等的四边形是菱形得证；证明：由折叠的性质可得，EF ＝FD ，∠AEF ＝∠ADF ＝90°，第24题解图∠EFA ＝∠DFA ，EG ＝GD.∵EG ∥DC ，∴∠DFA ＝∠EGF ，∴∠EFA ＝∠EGF ，∴EF ＝EG ＝FD ＝GD ，∴四边形EFDG 是菱形．(2)【思路分析】由(1)可知EG ＝EF ，连接DE ，则DE 与GF 相互垂直平分，证得Rt △FHE ∽Rt △FEA ，列比例式，结合FH ＝12GF 得到EG 、GF 、AF 的关系；解：如解图，连接ED ，交AF 于点H ，∵四边形EFDG 是菱形，∴DE ⊥AF ，FH ＝GH ＝12GF ，EH ＝DH ＝12DE. ∵∠FEH ＝∠FAE ＝90°－∠EFA ，∴Rt △FEH ∽Rt △FAE ，∴EF FH ＝AF EF，即EF 2＝FH·AF ， ∴EG 2＝12GF·AF. (3)【思路分析】把AG ，EG 代入(2)中的关系式，求得GF ，AF 的值，根据勾股定理求得AD ，DE ，再证Rt △ADF ∽Rt △DCE ，可求出EC ，从而可求出BE 的值．解：∵AG ＝6，EG ＝25，EG 2＝12GF·AF ， ∴(25)2＝12(6＋GF)·GF ，∴GF ＝4， ∴AF ＝10.∵DF ＝EG ＝25，∴AD ＝BC ＝AF 2－DF 2＝45，DE ＝2EH ＝2EG 2－（12GF ）2＝8. ∵∠CDE ＋∠DFA ＝90°，∠DAF ＋∠DFA ＝90°，∴∠CDE ＝∠DAF ，∴Rt △ADF ∽Rt △DCE ，∴EC DF ＝DE AF ，即EC 25＝810， ∴EC ＝855， ∴BE ＝BC －EC ＝AD －EC ＝45－855＝1255.。

专题20 中点四边形模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(解析版)

专题20中点四边形模型【模型】如图20-1，已知点E、F、G、H 分别为四边形ABCD 的边AB、BC、CD、AD 的中点，分别连接EF、FG、GH、EH、AC、BD，所以根据EF、FG、GH、EH 分别是BCA ∆、CDB ∆、DAC ∆、ABD ∆的中位线，根据三角形中位线的性质，可知AC GH AC EF 21,21==⇒GH EF =；同理可得FG EH =；⇒（1）四边形EFGH 为平行四边形；（2）四边形EFGH 的周长为BD AC +。

又因为EF、FG、GH、EH 分别是BCA ∆、CDB ∆、DAC ∆、ABD ∆的中位线，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，∴ABC BEF S S ∆∆=41，CDB CGF S S ∆∆=41，DAC DHG S S ∆∆=41，ABD AEH S S ∆∆=41；∴）（四边形四边形AEH DHG CGF BEF EFGH S S S S S S ∆∆∆∆+++=-ABCD ∴ABCD ABCD ABCD 21241-四边形四边形四边形四边形S S S S EFGH =⨯=。

【模型变式1】矩形中点四边形如图20-2，除具备模型中所有结论外，还可知四边形EFGH 为菱形。

【模型变式2】菱形中点四边形如图20-3，除具备模型中所有结论外，还可知四边形EFGH为矩形。

【模型变式3】正方形中点四边形如图20-4，除具备模型中所有结论外，还可知四边形EFGH为正方形。

【例1】下列命题中，假命题是（）A．顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形B．顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形C．顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形D．顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形【答案】D【分析】根据平行四边形、特殊的平行四边形的判定、中位线定理、中点四边形的定义进行判定即可．【解析】观察图形：,,,E F G H 分别为,,,AC AB BD CD 的中点，根据中位线定理：1//,//,2EF BC GH BC EF GH BC ==A ：顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形,正确；B ：顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形，正确；C ：顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形，正确；D ：顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是平行四边形，错误．故答案选：D ．【例2】如图，连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形EFGH ，还要添加一个条件_____，能使四边形EFGH 是矩形．【答案】AC ⊥BD【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，,,HG BD EH AC ∥∥根据平行线的性质可得：∠EHG =∠1，∠1=∠2，再证明四边形EFGH 是平行四边形，当∠EFG =90°，四边形EFGH 是矩形，所以∠2=90°，因此AC ⊥BD ．【解析】解：如图，∵G 、H 、E 分别是BC 、CD 、AD 的中点，∴,,HG BD EH AC ∥∥∴∠EHG =∠1，∠1=∠2，∴∠2=∠EHG ，同理：,,EF BD FG AC ∥∥,,EF HG EH FG \∥∥∴四边形EFGH 是平行四边形，当∠EHG =90°，四边形EFGH 是矩形，∴∠2=90°，∴AC ⊥BD ．故还要添加AC ⊥BD ，才能保证四边形EFGH 是矩形．【例3】我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，中点四边形EFGH 是．（2）如图2，点P 是四边形ABCD 内一点，且满足PA ＝PB ，PC ＝PD ，∠APB ＝∠CPD ，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜想．（3）若改变（2）中的条件，使∠APB ＝∠CPD ＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH 的形状（不必证明）．【答案】（1）平行四边形；（2）菱形，见解析；（3）正方形【分析】（1）连接BD ，根据三角形中位线定理证明EH ∥FG ，EH =FG ，根据平行四边形的判定定理证明即可；（2）证明△APC ≌△BPD ，根据全等三角形的性质得到AC =BD ，再证明EF =FG ，根据菱形的判定定理证明结论；（3）证明∠EHG =90°，利用△APC ≌△BPD ，得到∠ACP =∠BDP ，即可证明∠COD =∠CPD =90°，再根据平行线的性质证明∠EHG =90°，根据正方形的判定定理证明即可．【解析】解：（1）如图1，连接BD ，∵点E ，H 分别为边AB ，DA 的中点，∴EH ∥BD ，EH =12BD ，∵点F ，G 分别为边BC ，CD 的中点，∴FG ∥BD ，FG =12BD ，∴EH ∥FG ，EH =GF ，∴中点四边形EFGH 是平行四边形，故答案为：平行四边形；（2）结论：四边形EFGH 是菱形，理由：如图2，连接AC ，BD．∵∠APB =∠CPD ，∴∠APB +∠APD =∠CPD +∠APD ，即∠APC =∠BPD ，在△APC 和△BPD 中，AP BP APC BPD PC PD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APC ≌△BPD （SAS ），∴AC =BD ，∵点E ，F ，G 分别为边AB ，BC ，CD 的中点，∴EF =12AC ，FG =12BD ，∴EF =FG ，由（1）知中点四边形EFGH是平行四边形，∴平行四边形EFGH是菱形；（3）结论：四边形EFGH是正方形，理由：如图2，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，∵△APC≌△BPD，∴∠ACP=∠BDP，∵∠DMO=∠CMP，∴∠COD=∠CPD=90°，∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG=∠DOC=90°，由（2）知中点四边形EFGH是菱形，∴菱形EFGH是正方形．一、单选题1．我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，下列说法正确的是()A．任意一个四边形的中点四边形是菱形B．任意一个平行四边形的中点四边形是平行四边形C．对角线相等的四边形的中点四边形是矩形D．对角线垂直的四边形的中点四边形是正方形【答案】B【分析】中点四边形的形状取决于原四边形的对角线的性质：当原四边形的对角线既不相等，也不垂直时，中点四边形的形状为平行四边形；当原四边形的对角线相等时，中点四边形的形状为菱形；当原四边形的对角线垂直时，中点四边形的形状为矩形；当原四边形的对角线互相垂直且相等时，中点四边形的形状为正方形．由此即可解答.【解析】选项A，由任意一个四边形的中点四边形是平行四边形可判定选项A错误；选项B，任意一个平行四边形的中点四边形是平行四边形，选项B正确；选项C，由对角线相等的四边形的中点四边形是菱形可判定选项C错误；选项D，由对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形可判定选项D错误.故选B.2．若顺次连接一个四边形的四边中点所组成的四边形是矩形，则原四边形一定是（）A．一般平行四边形B．对角线互相垂直的四边形C ．对角线相等的四边形D ．矩形【答案】B 【解析】因为任意四边形的中点四边形都是平行四边形，而中点四边形的两组对边分别是和原四边形的两条对角线平行的，矩形相邻两边是互相垂直的，所以原四边形的对角线应该互相垂直.故选B.3．我们给出如下定义，顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图，点P 是四边形ABCD 内一点，且满足PA ＝PB ，PC ＝PD ，∠APB ＝∠CPD ，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则中点四边形EFGH 的形状是（）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形【答案】C 【分析】连接AC 、BD ，证明△APC ≌△BPD （SAS ），再根据中位线定理得到EF ＝FG ＝GH ＝EH ，从而证明四边形EFGH 是菱形．【解析】解：如图，连接AC 、BD，∵∠APB ＝∠CPD ，∴∠APB +∠APD ＝∠CPD +∠APD ，即∠APC ＝∠BPD ，在△APC 和△BPD 中，AP BP APC BPD PC PD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APC ≌△BPD （SAS ），∴AC ＝BD ，∵点E 、F 、G 分别为AB 、BC 、CD 的中点，∴EF 12=AC 、FG 12=BD ，EH 12=BD ，GH 12=AC ，∴EF ＝FG ＝GH ＝EH ，∴四边形EFGH 是菱形．故选：C ．4．如图，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是四条边的中点，AB ＝2，BC ＝4，则四边形EFGH 的面积为（）A ．4B ．6C ．3D ．8【答案】A 【分析】由题意易得△AEH ≌△DGH ≌△BEF ≌△CGF ，然后利用割补法可求解四边形EFGH 的面积．【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴,,90AB CD AD BC A B C D ==∠=∠=∠=∠=︒，∵E 、F 、G 、H 分别是四条边的中点，AB ＝2，BC ＝4，∴2,1AH DH BF CF AE BE DG CG ========，∴△AEH ≌△DGH ≌△BEF ≌△CGF （SAS ），∴142441242AEH ABCD EFGH S S S =-=⨯-⨯⨯⨯= 矩形四边形；故选A ．5．李优的窗帘厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料，用于生产批形状如图所示的窗帘图案来点缀窗帘，点E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的中点．其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，损耗不计）．若生产这批图案需要甲布料50匹，那么需要乙布料（）A ．150匹B ．100匹C ．50匹D ．25匹【答案】C【分析】连接AC ，BD ，根据三角形中位线定理证明△BEF ∽△BAC ，可得14BEF BAC S S ∆∆=，同理可得14DHG DAC S S ∆∆=，从而得到14BEF DHG ABCD S S S ∆∆+=四边形，继而得到12BEF DHG AEH CFG ABCD S S S S S ∆∆∆∆+++=四边形，则有阴影部分面积等于BEF DHG AEH CFG S S S S ∆∆∆∆+++，即可求解．【解析】解：如图，连接AC ，BD，∵点E 、F 为AB 、BC 的中点，∴EF ∥AC ，AC =2EF ，∴△BEF ∽△BAC ，∴214BEF BAC EF S S AC ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴14BEF BAC S S ∆∆=，同理14DHG DAC S S ∆∆=，∴111444BEF DHG BAC DAC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=四边形，同理14AEH CFG ABCDS S S ∆∆+=四边形，∴12BEF DHG AEH CFG ABCD S S S S S ∆∆∆∆+++=四边形，∴阴影部分面积等于BEF DHG AEH CFG S S S S ∆∆∆∆+++，即甲种布料的面积等于乙种布料的面积，∵甲布料50匹，∴乙布料50匹．故选：C6．已知：如图，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若24AB AD ==，，则图中阴影部分的面积为（）A ．8B ．6C ．4D ．3【答案】C 【分析】连接AC BD FH EG ，，，，得出平行四边形ABFH ，推出2HF AB ==，同理4EG AD ==，求出四边形EFGH 是菱形，根据菱形的面积等于12GE HF ⨯⨯，代入求出即可．【解析】解：连接AC BD FH EG ，，，，E F G H ，，，分别为边AB BC CD DA ，，，的中点，1122AH AD BF BC ∴==，，四边形ABCD 是矩形，AD BC ∴=，AD BC ∥，AH BF ∴=，AH BF ∥，∴四边形AHFB 是平行四边形，2FH AB ∴==，同理4EG AD ==，四边形ABCD 是矩形，=AC BD ∴，E F G H ，，，分别为边AB BC CD DA ，，，的中点，∴HG AC ∥，12HG AC =，11==22EF AC EF AC EH BD ，，，EH HG GH EF ∴==，，，GH EF ∥，∴四边形EFGH 是平行四边形，∴平行四边形EFGH 是菱形，FH EG ∴⊥，∴阴影部分EFGH 的面积是1124422HF EG ⨯⨯=⨯⨯=，故选：C ．二、填空题7．顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形是_________________．【答案】平行四边形【分析】根据中点四边形的性质判断即可；【解析】解：如图所示，四边形ABCD，E，F，G，H是四边形的中点，∴//FG AC，12FG AC=，//EH AC，12EH AC=，∴F G E H=，//FG EH，∴四边形EFGH是平行四边形；故答案为：平行四边形．8．如图，连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，还要添加_________，才能保证四边形EFGH是正方形．【答案】AC⊥BD，AC=BD##AC=BD，AC⊥BD【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形EFGH为平行四边形，根据正方形的判定定理即可得解．【解析】解：当AC⊥BD，AC=BD时，四边形EFGH为正方形．∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，∴EF∥AC，EF=12AC，GH∥AC，GH=12AC，EH∥BD，EH=12BD，∴EF∥GH，EF=GH，∴四边形EFGH为平行四边形，当AC⊥BD，AC=BD时，EF⊥EH，EF=EH，∴四边形EFGH为正方形．故答案为：AC⊥BD，AC=BD．9．若顺次连接四边形ABCD四边中点形成的四边形为矩形，则四边形ABCD满足的条件为.___________【答案】AC⊥BD【分析】如图所示，由四边形EFGH为矩形，根据矩形的四个角为直角得到∠FEH=90°，又EF为三角形ABD的中位线，根据中位线定理得到EF与DB平行，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠EMO=90°，同理根据三角形中位线定理得到EH与AC平行，再根据两直线平行，同旁内角互补得到∠AOD=90°，根据垂直定义得到AC与BD垂直．【解析】顺次连接四边形ABCD四边中点形成的四边形为矩形，则四边形ABCD满足的条件为对角线垂直，理由：∵四边形EFGH是矩形，∴∠FEH=90°，又∵点E、F、分别是AD、AB、各边的中点，∴EF是三角形ABD的中位线，∴EF∥BD，∴∠FEH=∠OMH=90°，又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，∴EH是三角形ACD的中位线，∴EH∥AC，∴∠OMH=∠COB=90°，则AC⊥BD，故四边形ABCD满足的条件为对角线垂直．故答案为AC⊥BD．10．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝3，BC＝5，分别以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形ACN，连接MN，D，E，F，G分别是MB，BC，CN，MN的中点，则四边形DEFG的周长为______．【答案】14【分析】连接BN ，CM ，过点N 作NP ⊥BC 角BC 延长线于点P ，先证明△CAM ≌△NAB ，可得CM =NB ，再三角形中位线定理可得四边形DEFG 是菱形，从而得到12DE DG EF FG BN ====，再由直角三角形的性质可得1322PC CN ==，然后根据勾股定理可得BN =7，即可求解．【解析】解：如图，连接BN ，CM ，过点N 作NP ⊥BC 角BC 延长线于点P，∵△ABM 和△ACN 是等边三角形，∴AB =AM ，AN =AC =CN =3，∠BAM =∠CAN =∠ACN =60°，∴∠BAM +∠BAC =∠CAN +∠BAC ，即∠CAM =∠NAB ，在△CAM 和△NAB 中，AC AN CAM NAB AM AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CAM ≌△NAB （SAS ），∴CM =NB ，∵D ，E ，F ，G 分别是MB ，BC ，CN ，MN 的中点，∴DG 是△BMN 的中位线，EF 是△BCN 的中位线，DE 是△BCM 的中位线，∴DG BN ∥，12DG BN =，∥EF BN ，11,,22EF BN DE CM ==∴DG EF ∥，,DG EF DG DE ==，∴四边形DEFG 是平行四边形，∵DE =DG ，∴四边形DEFG是菱形，∴12DE DG EF FG BN ====，∵∠ACB=60°，∴∠NCP=180°-∠ACB-∠ACN=60°，∵NP⊥BC，∴∠CNP=90°-60°=30°，∴1322 PC CN==，∴313522 BP BC PC=+=+=，∴7 BN=，∴1722 DE DG EF FG BN=====，∴四边形DEFG的周长为74142⨯=．故答案为：1411．如图，顺次连接菱形ABCD四边的中点M，N，P，Q，则四边形MNPQ是______形．【答案】矩【分析】连接AC、BD交于点O，由菱形的性质可得AC BD⊥，再利用三角形中位线的性质证明四边形MNPQ是平行四边形，MN MQ⊥，进而证明四边形MNPQ是矩形．【解析】如图，连接AC、BD交于点O，∵四边形ABCD为菱形，∴AC BD⊥，∵点M，N，P，Q分别是菱形ABCD四边的中点，∴MN AC ∥，12MN AC =，PQ AC ∥，12PQ AC =，//MQ BD ，∴MN PQ ∥，MN PQ =，MN BD ⊥，∴四边形MNPQ 是平行四边形，MN MQ ⊥，∴四边形MNPQ 是矩形．故答案为：矩．12．如图，顺次连接第一个矩形各边的中点得到第1个菱形，顺次连接这个菱形各边的中点得到第二个矩形，再顺次连接第二个矩形各边的中点得到第2个菱形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为6，则第n 个菱形的面积为______．【答案】134n -【分析】根据题意求得第二、三个矩形的面积，找到规律，依此类推，第n 个矩形的面积为22162n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，而第1个菱形的面积为第1个矩形面积的一半，据此即可求解．【解析】解：∵已知第一个矩形的面积为6；第二个矩形的面积为原来的222116()624⨯-⨯=⨯；第三个矩形的面积是232116()6;216⨯-⨯=⨯…∴故第n 个矩形的面积为：2211166,24n n --⎛⎫⎛⎫⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由题意易得：第1个菱形的面积为第1个矩形的面积的一半，则第n 个菱形的面积为第n 个矩形的面积的一半，即111111424346=3n n n ---⎛⎫⎛⎫⨯⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：134n -三、解答题13．如图，四边形ABCD 的四边中点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连接E 、F 、G 、H ．（1）判断四边形EFGH 形状，并说明理由；（2）若AC ＝BD ，判断四边形EFGH 形状，并说明理由．【答案】（1）平行四边形，理由见解析；（2）菱形，理由见解析【分析】（1）连接AC，根据三角形中位线定理即可证得；（2）连接BD，由（1）得，四边形EFGH是平行四边形，再由三角形中位线定理，证得邻边相等，即可证得菱形．【解析】（1）四边形EFGH为平行四边形，理由如下：连接AC，如图，在△ABC和△ADC中，∵EF、GH分别为其中位线，∴EF∥AC,且EF=12AC;GH∥AC且GH=12AC，∴EF=GH，EF∥GH，∴四边形EFGH为平行四边形；（2）若AC=BD,则四边形EFGH为菱形，连接BD，如图，在△BCD中，∵GF为其中位线，∴GF=12 BD，∵EF =12AC （已证），且AC =BD ，∴EF =GF ，又∵四边形EFGH 为平行四边形（已证），∴四边形EFGH 为菱形．14．四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH 称为中点四边形．（1）我们知道：无论四边形ABCD 怎样变化，它的中点四边形EFGH 都是平行四边形．特殊的：①当对角线AC BD =时，四边形ABCD 的中点四边形为__________形；②当对角线AC BD ⊥时，四边形ABCD 的中点四边形是__________形．（2）如图：四边形ABCD 中，已知60B C ∠=∠=︒，且 BC AB CD =+，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD 的中点四边形EFGH 的形状并进行证明．【答案】（1）①菱；②矩；（2）菱形，菱形见解析【分析】（1）①连接AC 、BD ，根据三角形中位线定理证明四边形EFGH 都是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明；②根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明；（2）分别延长BA 、CD 相交于点M ，连接AC 、BD ，证明ABC DMB △≌△，得到AC =DB ，根据（1）①证明即可．【解析】（1）解：（1）①连接AC 、BD ，∵点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、D A 边的中点，∴EH ∥BD ，FG ∥BD ，∴EH ∥FG ，同理EF ∥HG ，∴四边形EFGH 都是平行四边形，∵对角线AC =BD ，∴EH =EF ，∴四边形ABCD 的中点四边形是菱形；②当对角线AC ⊥BD 时，EF ⊥EH ，∴四边形ABCD 的中点四边形是矩形；故答案为：菱；矩；（2）四边形ABCD 的中点四边形EFGH 是菱形．理由如下：分别延长BA 、CD 相交于点M ，连接AC 、BD ，∵60ABC BCD ∠=∠=︒，∴BCM 是等边三角形，∴MB BC CM ==，60M ∠=︒，∵BC AB CD =+，∴MA AB AB CD CD DM +=+=+，∴MA CD =，DM AB =，在ABC 和DMB 中，AB DM ABC M BC BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABC DMB △≌△，∴AC DB =，∴四边形ABCD 的对角线相等，中点四边形EFGH 是菱形．15．如图1，在四边形ABCD 中，如果对角线AC 和BD 相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中，______一定是等角线四边形（填写图形名称）；②若M 、N 、P 、Q 分别是等角线四边形ABCD 四边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，当对角线AC 、BD 还要满足______时，四边形MNPQ 是正方形．（2）如图2，已知在ABC 中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，D 为平面内一点．①若四边形ABCD 是等角线四边形，且AD BD =，求符合条件的等角线四边形的面积．②设点E 是ABC 所在平面上的任意一点且1CE =，若四边形ABED 是等角线四边形，求出四边形ABED面积的最大值，并说明理由．【答案】（1）①矩形；②AC BD ⊥；（2）①3+18，理由见解析【分析】（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中，只有矩形的对角线相等，所以矩形是等角线四边形；②当AC BD ⊥时，四边形MNPQ 是正方形，首先证明四边形MNPQ 是菱形，再证明有一个角是直角即可；（2）①如图2中，作DE AB ⊥于E ．根据ADE ABCD DEBC S S S ∆=+四边形梯形计算，求出相关线段即可；②如图3中，设AE 与BD 相交于点Q ，连接CE ，只要证明当AC BD ⊥且A 、C 、E 共线时，四边形ABED 的面积最大即可．【解析】解：（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中，矩形的对角线相等，∴矩形一定是等角线四边形，故答案为：矩形；②当AC BD ⊥时，四边形MNPQ 是正方形．理由：如图1，M 、N 、P 、Q 分别是等角线四边形ABCD 四边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，12PQ MN AC ∴==，12PN QM BD ==，//PQ AC ，//MQ BD ，AC BD = ，MN NP PQ QM ∴===，∴四边形MNPQ 是菱形，12∠=∠ ，23∠∠=，190∠=︒，390∴∠=︒，∴四边形NMPQ 是正方形．故答案为：AC BD ⊥；（2）①如图2，作DE AB ⊥于E ．在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，5AC ∴==，AD BD = ，DE AB ⊥，2AE BE ∴==，四边形ABCD 是等角线四边形，5BD AC AD ∴===，在Rt BDE ∆中，DEADE ABCD DEBC S S S ∆∴=+四边形梯形11()22AE DE DE BC BE =⋅⋅+⋅+⋅1123)222=⨯⨯3=+∴四边形ABCD 的面积为3+②如图3中，设AE 与BD 相交于点Q ，连接CE ，作DH AE ⊥于H ，BG AE ⊥于G ．则DH DQ ，BG BQ ，四边形ABED 是等角线四边形，AE BD ∴=，()()11112222ABE ADE ABED S S S AE DH AE BG AE GB DH AE BQ QD ∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+ 四边形，即12ABED S AE BD ⋅四边形，∴当G 、H 重合时，即BD AE ⊥时，等号成立，AE BD = ，212ABED S AE ∴四边形，即线段AE 最大时，四边形ABED 的面积最大，AE AC CE + ，51AE ∴+，6AE ∴，AE ∴的最大值为6，∴当A 、C 、E 共线时，取等号，∴四边形ABED 的面积的最大值为216182⨯=．故答案为：18．16．问题提出：(1)如图1，在四边形ABCD 中90ABC ∠= ，对角线AC ⊥BD ，AC ＝BD ，E ，F ，G ，H 分别是各边的中点，求证：四边形EFGH 是正方形．问题解决：(2)如图2，某市有一块四边形土地ABCD ，AD ＝60米，DC ＝80米，∠ADC 是直角，P 是该四边形土地内的一点，计划在四个三角形土地△APD ，△APB ，△BCP ，△CPD 中分别种植不同的花草，为了方便种植，王师傅设计出如下方案：取四边形ABCD 各边的中点E ，F ，G ，H ，然后在四边形EFGH 的四条边EF ，FG ，GH ，EH 铺上人行道地砖（人行道宽度不计），铺设地砖成本为20元/米，经测量AP ＝BP ，CP ＝DP ，∠APB ＝∠CPD ＝90°，设计要求是四边形EFGH 为正方形，请问王师傅的设计方案是否符合要求，若符合，请写出证明过程，并计算铺设地砖所需的费用；若不符合，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)符合，证明见解析；4000元．【分析】（1）根据正方形的判定定理证明即可；（2）连接AC ，BD ，AC 与BD 相交于点O ．证明()APC BPD SAS ≌，得到,=∠=∠AC BD ACP BDP ，再证明AC ⊥BD ，利用四边形EFGH 为正方形．由勾股定理，得AC ＝100（米），1502HG AC ==（米），即可求出铺设地砖所需的费用．【解析】（1）证明：∵E ，F ，G ，H 分别是各边的中点，∴11,,,22EF AC FG BD EF GH AC EH GF BD ==== ，∵AC BD =，∴EF HG EH FG ===，∴四边形EFGH 是菱形，∵AC BD ⊥，∴EF FG ⊥，∴四边形EFGH 是正方形．（2）解：符合．如图，连接AC ，BD ，AC 与BD 相交于点O ．∵APB CPD ∠=∠，∴APC BPD ∠=∠，在APC △和BPD△中，AP BP APC BPD CP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()APC BPD SAS ≌，∴AC BD =，ACP BDP ∠=∠，∵90CPD ∠= ，∴90PDC PCD ∠∠+= ，∴90ODC OCD ∠+∠= ，∴90COD ∠= ，∴AC ⊥BD ，由（1）可知，四边形EFGH 为正方形．∵60AD =米，80DC =米，90,ADC ∠= ∴由勾股定理，得100AC ==（米），∴1502HG AC ==（米），504204000⨯⨯=（元）．∴铺设地砖所需的费用为4000元．17．如图，矩形ABCD 中，4AB =，点E 、F 、G 、H ，分别是BC 、CD 、AD 、AB 上的动点（顶点除外），若1234∠=∠=∠=∠；(1)在图1中，点E ，F ，G ，H 分别是BC ，CD ，AD ，AB 上的中点．①判断四边形EFGH 的形状，并证明；②若四边形EFGH 是正方形，求BC 的长；(2)在图2中，已知8BC =，判断四边形EFGH 的周长是否会随着点G 的变化而变化，如不变化，求出其周长，若会变化，说明理由；【答案】(1)①菱形，证明见解析；②4(2)周长不会变化，【分析】（1）①根据题意先进行判断，再利用矩形的性质证明全等从而证明四边形的四条边都相等即可求证；②根据正方形的性质求解即可；（2）通过延长GH 交CB 的延长线于点N ，延长GF 交BC 的延长线于点M ，如图（见详解），证明FCE FCM ≌△△，HEB HNB △≌△，求出MN 的长度，再证明M N ∠=∠，得到GM GN =，过点G 作GK BC ⊥于点K 之后即可利用勾股定理求出四边形EFGH 的周长．【解析】（1）解：①四边形EFGH 是菱形，理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，点E ，F ，G ，H 分别是BC ，CD ，AD ，AB 上的中点，∴AH BH CF DF ===,AG BE CE DG ===，且90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒,∴()GAH EBH ECF GDF SAS ≌≌≌△△△△，∴HG HE EF GF ===，∴四边形EFGH 是菱形．②若四边形EFGH 是正方形，则4BC =；（2）解：四边形EFGH 的周长不会随着DG 的变化而变化；如图，延长GH 交CB 的延长线于点N ，延长GF 交BC 的延长线于点M ．∵12∠=∠，15∠=∠，∴25∠=∠．且FC FC =，90FCE FCM ∠=∠=︒,∴()FCE FCM ASA ≌△△．∴EF MF =，EC MC =，同理：NH EH =，NB EB =．∴216MN BC ==．∵905901M ∠=︒-∠=︒-∠，903N ∠=︒-∠，∴M N ∠=∠．∴GM GN =．过点G 作GK BC ⊥于点K ，则182KM MN ==，∴GM ==EFGH 的周长为2GM =。

中点四边形典型例题

经典题型1
例题1：如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H是边AB、BC、CD、DA的中点.
（1）请问四边形EFGH是什么形状的四边形？并证明；
（2）若四边形ABCD是矩形，四边形EFGH是什么形状的四边形？并证明；
（3）若四边形ABCD是菱形，四边形EFGH是什么形状的四边形？并证明.
思路分析：准确画出图形，通过观察就可以得到（1）四边形EFGH是平行四边形；（2）四边形EFGH是菱形；（3）四边形EFGH是矩形。

证明思路可以有多种——条件中有四个中点，显然在考查中位线的知识，而中位线的结论中有“中位线与第三边”的位置关系与数量关系，所以可以从“边”的角度来判定四边形是平行四边形。

经典题型2
例题2：如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H是边AB、BC、CD、DA的中点.
（1）请问四边形EFGH是什么形状的四边形？并证明；
（2）要使四边形EFGH是矩形，需要原四边形对角线满足怎样的条件？并证明；（3）要使四边形EFGH是矩形，需要原四边形对角线满足怎样的条件？并证明.
思路分析：由例题1，我们就知道四边形EFGH是平行四边形；
（2）四边形EFGH中，图形中就没有给出对角线，说明判定它是矩形，应该用“……的平行四边形中是矩形”，故只能用“一个角是直角的平行四边形是矩形”了，从而应该添加条件“AC⊥BD”即可。

（3）四边形EFGH中，图形中就没有给出对角线，说明判定它是菱形，应该用“……的平行四边形中是菱形”，故只能用“一组邻边相等的平行四边形是矩形”了，从而应该添加条件“AC=BD”即可。

八年级数学下册中点四边形模型(解析版)

专题01中点四边形模型中点四边形:依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形O。

结论1:点M、N、P、Q是任意四边形的中点，则四边形MNPQ是平行四边形结论2:对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形结论3：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形结论4:对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形【典例1】（2023•铜川一模）如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB∥CD D．AC＝BD【解答】解：∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，∴EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC，EH∥BD，∴EF＝GH，EF∥GH，∴四边形EFGH为平行四边形，当AC⊥BD时，EF⊥EH，则四边形EFGH为矩形，故选：A．【典例2】（2023春•和平区校级期末）已知在四边形ABCD中，对角线AC与BD相等，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】C【解答】解：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，AC＝BD，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AC，同理：FG＝BD，GH＝AC，EH＝BD，∵AC＝BD，∴EF＝HG＝EH＝FG，∴四边形EFGH是菱形．故选：C．【典例3】（2023春•庐江县期末）若顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形一定是（）A．矩形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形【答案】D【解答】解：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD，故选：D．1．（2023春•宿豫区期中）顺次连接对角线相等且垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】D【解答】解：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，EF＝AC，FG＝BD，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，AC＝BD，∴EF⊥FG，FE＝FG，∴四边形EFGH是正方形，2．（2022秋•辽阳期末）顺次连接矩形四边中点得到的四边形一定是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四边形【答案】C【解答】解：如图，连接AC、BD．在△ABD中，∵AH＝HD，AE＝EB，∴EH＝BD，同理FG＝BD，HG＝AC，EF＝AC，又∵在矩形ABCD中，AC＝BD，∴EH＝HG＝GF＝FE，∴四边形EFGH为菱形．故选：C．3．（2023•佛山模拟）如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、D A的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件是（）A．AC⊥BD B．AC＝BDC．AC⊥BD且AC＝BD D．不确定【答案】B【解答】解：满足的条件应为：AC＝BD．理由如下：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，所以HG∥AC且HG＝AC；同理EF∥AC且EF＝AC，同理可得EH＝BD，则HG∥EF且HG＝EF，∴四边形EFGH为平行四边形，又AC＝BD，所以EF＝EH，∴四边形EFGH为菱形．故选：B．4．（2023春•涟水县期中）若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形（）A．一定是矩形B．一定是菱形C．对角线一定互相垂直D．对角线一定相等【答案】D【解答】解：如图，根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，∴EF＝FG＝CH＝EH，BD＝2EF，AC＝2FG，∴BD＝AC．∴原四边形一定是对角线相等的四边形．故选：D．5．（2023春•锡山区校级期中）顺次连接对角线长为6的矩形ABCD四边中点所得的四边形的周长为（）A．12B．18C．9D．无法确定【答案】A【解答】解：因为矩形的对角线相等，所以AC＝BD＝10cm，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD、的中点，∴EH＝GF＝BD＝×6＝3，EF＝GH＝AC＝×6＝3，故顺次连接矩形四边中点所得的四边形周长为EH+GF+EF+GH＝12．故选：A．6.（2023春•南京期中）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是线段AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，需添加的条件是（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AB⊥CD【答案】C【解答】解：∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，∴EF＝GH＝AB，EH＝FG＝CD，∵当EF＝FG＝GH＝EH时，四边形EFGH是菱形，∴当AB＝CD时，四边形EFGH是菱形．故选：C．7．（2023春•东莞市校级期中）如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，若AB＝5，AD＝8，则图中阴影部分四边形EFGH的面积为（）A．40B．26C．20D．13【答案】C【解答】解：连接EG、FH，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°，∵E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，∴EG＝AD＝8，HF＝AB＝5，EG⊥HF，＝×5×8＝20，∴S四边形EFGH故选：C．8．（2022•南召县模拟）如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，则下列说法正确的是（）A．在四边形ABCD中，若对角线AC＝BD，则四边形EFGH为矩形B．在四边形ABCD中，若对角线AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形C．在四边形EFGH中，若对角线EG⊥HF，则四边形EFGH为矩形D．在四边形EFGH中，若对角线EG＝HF，且EG⊥HF，则四边形EFGH为正方形【答案】D【解答】解：连接AC、BD，∵E，F分别为边AB，BC的中点，∴EF为△ABC的中位线，∴EF＝AC，EF∥AC，同理，HG＝AC，HG∥AC，EH＝BD，EH∥BD，∴EF＝HG，EF∥HG，∴四边形EFGH为平行四边形，当AC＝BD时，EF＝EH，∴平行四边形EFGH为菱形，故选项A错误；当AC⊥BD时，EF⊥EH，∴平行四边形EFGH为矩形，故选项B错误；在平行四边形EFGH中，若对角线EG⊥HF，则四边形EFGH为菱形，故选项C错误；在平行四边形EFGH中，若对角线EG＝HF，且EG⊥HF，则平行四边形EFGH为正方形，故选项D正确．故选：D．9.（2022春•凤凰县期末）顺次连结任意四边形各边中点所得的四边形必定是（）A．任意四边形B．平行四边形C．菱形D．矩形【答案】B【解答】解：如图根据中位线定理可得：GF＝BD且GF∥BD，EH＝BD且EH∥BD，∴EH＝FG，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．故选：B．10.（2022春•青白江区校级月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EF GH的面积为（）A．48B．24C．32D．12【答案】D【解答】解：∵点E、F分别为四边形ABCD的边AD、AB的中点，∴EF∥BD，且EF＝BD＝3．同理求得EH∥AC∥GF，且EH＝GF＝AC＝4，又∵AC⊥BD，∴EF∥GH，FG∥HE且EF⊥FG．四边形EFGH是矩形．∴四边形EFGH的面积＝EF•EH＝3×4＝12，即四边形EFGH的面积是12．故选：D．11．（2022春•芜湖期中）如图，顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点，得到四边形A1B1C1D1，然后顺次连接四边形A1B1C1D1四边的中点，得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点，得到四边形A3B3C3D3，…，按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：顺次连接正方形ABCD四边的中点得正方形A1B1C1D1，则得正方形A1B1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半，即，则周长是正方形ABCD的；顺次连接正方形A1B1C1D1中点得正方形A2B2C2D2，则正方形A2B2C2D2的面积为正方形A1B1C1D1面积的一半，即正方形ABCD的，则周长是正方形ABCD的；顺次连接正方形A2B2C2D2得正方形A3B3C3D3，则正方形A3B3C3D3的面积为正方形A2B2C2D2面积的一半，即正方形ABCD的，则周长是正方形ABCD的；顺次连接正方形A3B3C3D3中点得正方形A4B4C4D4，则正方形A4B4C4D4的面积为正方形A3B3C3D3面积的一半，即正方形ABCD的，则周长是正方形ABCD的；…故第n个正方形周长是原来的，以此类推：正方形A8B8C8D8周长是原来的，∵正方形ABCD的边长为1，周长为4，∴按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为，故选：C．12．（2022•旌阳区模拟）如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝5，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，连接EG，HF，相交于点O，则EG2+FH2的值为（）A．25B．30C．35D．40【答案】A【解答】解：连接EF、FG、GH、HE，∵点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，∴EF＝AC＝，FG＝BD＝，GH＝AC＝，HE＝BD＝，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH为菱形，∴EG⊥FH，OE＝OG，OF＝OH，∴OE2+OH2＝EH2＝，∴EG2+FH2＝4OE2+4OH2＝25，故选：A．13．（2023春•浦东新区校级期末）顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形的两条对角线为a、b，则等腰梯形的面积为ab．【答案】ab．【解答】解：连接AC、BD，∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AC，同理可得：GH＝AC，EH＝BD，GF＝BD，∵四边形ABCD为等腰梯形，∴AC＝BD，∴EF＝FG＝GH＝EH，∴四边形EFGH为菱形，∵菱形EFGH为对角线分别为a、b，∴等腰梯形ABCD的中位线和高分别为a、b，＝ab，∴S等腰梯形故答案为：ab．14．（2023春•南川区期中）如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为18cm，顺次连结各边中点E、F、G、H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为36cm．【答案】36．【解答】解：∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AC＝×18＝9cm，同理FG＝BD，HG＝AC，EH＝BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH的周长为9×4＝36（cm）．故答案为：36．15．（2022春•临海市期末）如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA 的中点，若AC＝6，BD＝4．则四边形EFGH的周长为10．【答案】10．【解答】解：∵E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点，AC＝6，BD＝4，∴EF是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线，GF是△BDC的中位线，GH是△AD C的中位线，∴EF＝AC＝×6＝3，GH＝AC＝×6＝3，EH＝BD＝×4＝2，FG＝BD＝×4＝2，∴四边形EFGH的周长＝EF+FG+GH+EH＝3+2+3+2＝10，故答案为：10．16．（2022春•克东县期中）如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，BD＝A C．要使四边形EFGH是正方形，BD、AC应满足的条件是AC＝BD且AC⊥BD．【答案】AC＝BD且AC⊥BD．【解答】解：满足的条件应为：AC＝BD且AC⊥BD．理由：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，∴HG∥AC且HG＝AC；同理EF∥AC且EF＝AC，同理可得EH＝BD，则HG∥EF且HG＝EF，∴四边形EFGH为平行四边形，又∵AC＝BD，∴EF＝EH，∴四边形EFGH为菱形，∵AC⊥BD，EF∥AC，∴EF⊥BD，∵EH∥BD，∴EF⊥EH，∴∠FEH＝90°，∴菱形EFGH是正方形．故答案为：AC＝BD且AC⊥BD．17．（2023春•盐城期中）阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，D A的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．（1）这个中点四边形EFGH的形状是平行四边形；（2）如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且△AMD和△MCB为等边三角形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH的形状并证明．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）中点四边形EFGH是平行四边形；理由如下：连接AC，如图1所示：∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，∴EF∥AC，EF＝AC，GH∥AC，GH＝AC，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形；故答案为：平行四边形；（2）四边形EFGH为菱形．理由如下：连接AC与BD，如图2所示：∵△AMD和△MCB为等边三角形，∴AM＝DM，∠AMD＝∠CMB＝60°，CM＝BM，∴∠AMC＝∠DMB，在△AMC和△DMB中，，∴△AMC≌△DMB（SAS），∴AC＝DB，∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，HE是△ABD的中位线，∴EF∥AC，EF＝AC，GH∥AC，GH＝AC，HE＝DB，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形；∵AC＝DB，∴EF＝HE，∴四边形EFGH为菱形．18．（2023春•姜堰区期中）如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、C D、AD的中点，连接AC、BD．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）当对角线AC与BD满足什么关系时，四边形EFGH是菱形，并说明理由．【答案】（1）证明见解答过程；（2）当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形，理由见解答．【解答】（1）证明：∵点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴EF∥AC，EF＝AC，HG∥AC，HG＝AC，∴EF∥HG，EF＝HG，∴四边形EFGH为平行四边形；（2）当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形，理由如下：由（1）知：四边形EFGH是平行四边形．∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH＝BD．又∵EF＝AC，∴当AC＝BD时，EF＝EH，∴平行四边形EFGH是菱形．19．（2022秋•薛城区校级月考）如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、C D、DA的中点．（1）判断四边形EFGH的形状．并说明理由．（2）当四边形ABCD的对角线添加条件AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．（3）在（2）的条件下，说明四边形EFGH是矩形．【答案】（1）四边形EFGH为平行四边形，理由见解析；（2）AC⊥BD；（3）证明见解答过程．【解答】（1）解：四边形EFGH为平行四边形，理由如下：连接AC、BD，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC，∴EF＝GH，EF∥GH，∴四边形EFGH为平行四边形；（2）解：当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形，故答案为：AC⊥BD；（3）证明：∵E、H分别是AB、DA的中点，∴EH∥BD，∴EF∥AC，EH∥BD，AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴平行四边形EFGH为矩形．20．（2022春•工业园区校级期末）如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、B C、CD、DA的中点，（1）求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想．【答案】（1）见解析过程；（2）四边形EFGH是菱形，理由见解析过程．【解答】（1）证明：如图1中，连接BD．∵点E，H分别为边AB，DA的中点，∴EH∥BD，EH＝BD，∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∴FG∥BD，FG＝BD，∴EH∥FG，EH＝GF，∴中点四边形EFGH是平行四边形；（2）解：四边形EFGH是菱形，理由如下：如图2，连接AC、BD，∵∠APB＝∠CPD，∴∠APB+∠APD＝∠CPD+∠APD，即∠APC＝∠BPD，在△APC和△BPD中，，∴△APC≌△BPD（SAS），∴AC＝BD，∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，∴EF＝AC，FG＝BD，∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．21．（2022春•咸安区期末）如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，点O是△A BC内一点，连接OA，OB，OC，点F，G分别是OB，OC的中点，顺次连接点D，F，G，E．（1）求证：四边形DFGE是平行四边形；（2）当OA⊥DE时，求证：四边形DFGE是矩形；（3）若四边形DFGE是正方形，OA与BC之间满足的条件是：OA⊥BC且OA＝BC ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）若四边形DFGE是正方形，OA与BC之间满足的条件是：OA⊥BC且OA＝BC，证明见解析．【解答】（1）证明：∵D、E是AB、AC的中点，∴DE∥BC且DE＝BC，∵F、G是OB、OC的中点，∴GF∥BC且GF＝BC，∴DE∥GF且DE＝GF，∴四边形DFGE是平行四边形；（2）证明：由（1）知，四边形DFGE是平行四边形，如图，连接OA，∵D、G分别是AB、OB的中点，∴DG∥OA，∵OA⊥DE，∴DG⊥DE，∴∠GDE＝90°，∴平行四边形DFGE是矩形，所以当OA⊥DE时，四边形DFGE是矩形；（3）解：若四边形DFGE是正方形，OA与BC之间满足的条件是：OA⊥BC且OA＝B C，由（2）可知，当OA⊥BC时，四边形DFGE是矩形，∵D、G、F分别是AB、OB、OC的中点，∴DG＝AO，GF＝BC，∵AO＝BC，∴DG＝GF，∴矩形DGFE是正方形．故答案为：OA⊥BC且OA＝BC．22．（2022春•龙口市月考）已知四边形ABCD是矩形．（1）如图1，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，求证：四边形EFGH是菱形；（2）如图2，若菱形EFGH的三个顶点E，F，H分别在边AB，BC，AD上，连接CG．已知BE＝2AE＝8，CG＝2，CF﹣BF＝1，求AD的长．【答案】（1）证明见解答过程；（2）14．【解答】（1）证明：如图1，连接AC，BD，∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF＝AC，同理：GH∥AC，GH＝AC，EH＝BD，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴EF＝EH．∴四边形EFGH是菱形；（2）解：如图2，连接FH，过点G作GM⊥BC交BC的延长线于M，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD∥BC．∴∠A＝∠M，∠AHF＝∠MFH，∵四边形EFGH是菱形，∴FG∥EH，FG＝EH，∴∠EHF＝∠GFH．∴∠AHE＝∠MFG，在△AEH和△MFG中，∴△AEH≌△MFG（AAS），∴GM＝AE＝4．∵CG＝2，根据勾股定理，得CM＝2，设BF＝x，则CF＝x+1，在Rt△GFM中，FG2＝（x+1+2）2+16＝（x+3）2+16，同理EF2＝x2+64，∴（x+3）2+16＝x2+64．∴x＝，∴BC＝2x+1＝14，∴AD＝BC＝14．23．（2022春•崇川区校级月考）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，当AB、CD满足什么条件时，有EF⊥GH？请说明你的理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：当AB＝CD时，有EF⊥GH，连接GE、GF、HF、EH．∵E、G分别是AD、BD的中点，∴EG＝AB，同理HF＝CD，FG＝CD，EH＝CD，又∵AB＝CD∴EG＝GF＝FH＝EH∴四边形EFGH是菱形．∴EF⊥GH．。

四边形解题技巧专题中点问题作业ppt

中点在平行四边形中的应用
总结词
矩形中点性质
详细描述
矩形的对角线相等且互相平分，中点到矩形四个顶点的距离相等，利用这一性质可以解决关于矩形中点的问题。
中点在矩形中的应用
菱形中点性质
总结词
菱形的对角线互相垂直且平分，中点到菱形四个顶点的距离相等，利用这一性质可以解决关于菱形中点的问题。
详细描述
中点在菱形中的应用
中点问题经典例题解析
03
VS
平行四边形中点应用例题是解决中点问题的重要题型之一，通过证明两个三角形全等，得到对应边相等，从而得出中点结论。
详细描述
平行四边形中点应用例题通常涉及两个三角形，其中一个是平行四边形，另一个是三角形或平行四边形。通过证明这两个三角形全等，可以得出对应边相等，从而得出中点结论。在证明全等时，通常需要利用平行四边形的性质和全等三角形的判定方法。
总结词
平行四边形中点应用例题
总结词
矩形中点应用例题通常涉及矩形的对角线，通过对角线平分矩形得到两个全等的三角形，从而得出中点结论。
详细描述
矩形中点应用例题通常涉及两个全等的三角形，通过证明这两个三角形全等，可以得出对应边相等，从而得出中点结论。在证明全等时，通常需要利用矩形的性质和对角线平分矩形的性质。
菱形中点应用练习题
中点问题易错点及注意事项
05
1
中点应用常见的错误及解决办法
2
3
四边形中点与中位线概念不同，中点是四边形两边中点的连线，而中位线是四边形两对角线中点的连线。
混淆中点与中位线的概念
中点四边形是指以四边形的各边中点为顶点的四边形，其具有平行四边形的性质，但并不总是平行四边形。
未掌握中点四边形的性质

中点四边形规律之探究及拓展

中点四边形规律之探究及拓展所谓“中点四边形”，是指顺次连接四边形四边的中点所构成的四边形。

在利用平行四边形的知识完成对三角形中位线这一知识点的学习之后，紧接着我们继续学习四边形的有关知识，而“中点四边形”是四边形学习的重点和难点。

一、例题解析例1:在人教版教材《数学》八年级下册第十八章中有这样一道目:我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形。

（1）任意四边形的中点四边形是什么形状?为什么？请证明你的结论，并与同伴进行交流。

在做这道题时，因为没有给出图形，我就学让生依据已知条件画出图形，再写出已知，求证。

然后量一量、猜一猜，并证一证。

如图，在四边形ABCD中，点E是边AB的中点，点F、G、H分别是边BC、边CD、边AD的中点。

顺次连接点E、F、G、H，新构造成了四边形EFGH，四边形EFGH就是一个中点四边形。

思路点拨:为了说明题目的一般性，在画图形的时候我让孩子们不要把四边形画特殊了。

该题目是探索四边形EFGH的形状，我们可从四边形EFGH的四条边的数量关系和位置关系入手。

由题设知点E，F分别为AB，BC的中点，符合三角形中位线定理的条件，可构造三角形的中位线，故连接AC，则EF是△BAC的中位线，同理GH是△DAC的中位线。

解:如图，四边形EFGH是平行四边形。

证明如下：连接AC，点E，F分别是边AB，BC的中点，所以EF∥AC，EF= AC,同理GH∥AC，GH= AC,所以EF∥GH，EF=GH。

四边形EFGH是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)。

评注:该题也可连接BD，通过证EF∥GH，FG∥EH，或证EF=GH，FG=EH，均可获得结论.这是对平行四边形的定义和判定定理的考查。

解该题的思路是构造三角形及其中位线，这是数学中常用的“建模”思想，把四边形两边的中点转化为三角形两边的中点，又体现出转化思想。

从该题的推理过程我们发现:中点四边形EFGH的形状是由原四边形ABCD的两条对角线AC和BD的数量关系和位置关系来确定的，不论原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。

四边形中点习题及答案

多个中点，考虑（或构造）______________．
1. 如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，E ，F ，G 分别是
AB ，CD ，AC 的中点，若∠ACB ＝66°，∠CAD ＝20°，
则∠EFG =________.
2．如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，E 、F 分别是DC 及AB 的中点，射线FE 与AD 及BC 的延长线分别交于点H 及G ．试猜想∠AHF 与∠BGF 的关系，并给出证明．
3．（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB=CD ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，连接FE 并延长，分别与BA ，CD 的延长线交于点M ，N ．
求证：∠BME=∠CNE ；（提示：取BD 的中点H ，连接FH ，HE 作辅助线）
（2）如图2，在△ABC 中，F 是BC 边的中点，D 是AC 边上一点，E 是AD 的中点，直线FE 交BA 的延长线于点G ，若AB=DC=2，∠FEC=45°，求FE 的长度．
A C D F
G
答案：1 . 2.相等
3. 提示：若猜想不出∠AHF 与∠BGF 的关系，可考虑使四边形ABCD 为特殊情况．如果给不出证明，可考虑下面作法，连结AC ，以F 为中心，将△ABC 旋转180°，得到△ABP ．
23。

中考数学微专题六中点四边形

3.如图,依次连接第1个矩形各边的中点得到1个菱形, 再依次连接菱形各边的中点得到第2个矩形,按照此方法继续下去.已知第1个矩形的面积为1,则新得到第n个矩形的面积为_(_14__)n_1_.
4.(2019·苏州相城区期末)如图,在四边形ABCD 中,AB=DC,E,F,G,H分别是AD,BC,BD,AC的中点. (1)证明:EG=EH. (2)证明:四边形EHFG是菱形.
类型三中点四边形是矩形【例3】(2019·龙岩模拟)如图,在四边形ABCD 中,AD=CD,AB=CB,E,F,G,H分别是AD,AB,CB,CD的中点. 求证:四边形EFGH是矩形.
【自主解答】如图,连接AC,BD,
∵E,F为AD,AB的中点,
∴EF∥BD且EF=1 BD,
2
同理HG∥BD且HG1= BD,
【自主解答】结论:四边形EFGH是菱形; 理由:连接AC,BD,
∵E,F分别是AB,BC的中点,
∴EF是△ABC的中位线,
∴EF∥AC,EF= 1AC,
2
同理可得:HG∥AC,HG=1 AC,EH∥BD,EH1= BD,
2
2
∴EF∥HG,EF=HG,
∴四边形EFGH是平行四边形, 又∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD, ∴EH=EF, ∴四边形EFGH是菱形.
2
同理:HG∥AC,且HG=1 AC,
2
∴EF∥HG,且EF=HG,
∴四边形EFGH是平行四边形.
(2)当BD=AC且BD⊥AC时,四边形EFGH是正方形,
同(1)得到四边形EFGH为平行四边形,且EH=GH1=
2
1BD,∠EHG=90°,
2
∴平行四边形EFGH为正方形.

四边形解题技巧专题中点问题作业ppt

四边形的边长和角度关系
对角线分成的两个三角形相似
在四边形中，对角线将四边形分成两个三角形，这两个三角形是相似的。
对角线平分
在凸四边形中，对角线平分四个内角；在凹四边形中，对角线平分四个外角。
四边形的对称性和面积计算
对称性
四边形可以具有轴对称性或中心对称性。轴对称四边形是关于一条直线对称的，中心对称四边形是关于一个点对称的。
详细描述
1. 构造直角三角形：利用矩形的性质，通过连接对角线或构造直角三角形来寻找中点之间的关系。
2. 利用中位线定理：直角三角形的斜边中线等于斜边的一半。即如果一个三角形是直角三角形
3. 解题时要注意：在解决矩形中点问题时，要关注图形中的隐含条件，如角度、线 K YOU.
2. 利用中位线定理：平行四边形的中位线等于它的一半，即如果一个四边形是平行四边形，那么它的中位线等于它的两条对角线的一半。
3. 解题时要注意：在解决平行四边形中点问题时，要关注图形中的隐含条件，如角度、线段长度等。
矩形中点问题例题
总结词：矩形中点问题主要涉及矩形的性质和直角三角形的中位线定理，通过构造直角三角形或利用中位线定理进行求解。
2023
四边形解题技巧专题-中点问题作业
目录
• 四边形基本知识回顾 • 中点问题解题技巧 • 中点问题经典例题解析 • 中点问题解题策略总结
01
四边形基本知识回顾
四边形的定义和性质
定义
四边形是由四条直线段连接的封闭图形。
性质
四边形具有凸性和凹性，其中凸四边形具有最小内角和最大外角，凹四边形具有最大内角和最小外角。
矩形中点问题
总结词
矩形中点问题主要涉及矩形的性质和直角三角形中的中位线定理，通过中点连接可以证明两对相等的线段，从而得到矩形。

初二数学知识点精讲精练——中点四边形

中点四边形【考点】：中点四边形作为四边形和三角形中位线知识点的一个拓展，也是历年期中期末的常考题型。

【知识点】一、中点四边形依托于中位线的性质1. 中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2. 性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。

二、中点四边形1．定义：依次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形。

2．性质：（1）任意四边形的中点四边形是平行四边形。

（2）对角线相等的四边形，其中点四边形是菱形。

（3）对角线相互垂直的四边形，其中点四边形是矩形。

（4）对角线相等且互相垂直的四边形，其中点四边形是正方形。

（5）中点四边形的周长等于原四边形的对角线之和。

（6）中点四边形的面积等于原四边形面积的一半。

【典型例题】例：如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=P A，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H．（1）猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；（2）当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由；（3）如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．解（1）四边形EFGH是菱形．（2）成立．理由：连接AD，BC．∵∠APC=∠BPD，∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD．即∠APD=∠CPB．又∵P A=PC，PD=PB，∴△APD≌△CPB（SAS）∴AD=CB．∵E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，∴EF、FG、GH、EH分别是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位线．∴EF=BC，FG=AD，GH=BC，EH=AD．∴EF=FG=GH=EH．∴四边形EFGH是菱形．（3）补全图形，如图．判断四边形EFGH是正方形．理由：连接AD，BC．∵（2）中已证△APD≌△CPB．∴∠P AD=∠PCB．∵∠APC=90°，∴∠P AD+∠1=90°．又∵∠1=∠2．∴∠PCB+∠2=90°．∴∠3=90°．∵（2）中已证GH，EH分别是△BCD，△ACD的中位线，∴GH∥BC，EH∥AD．∴∠EHG=90°．又∵（2）中已证四边形EFGH是菱形，∴菱形EFGH是正方形．【点评】此题主要考查了菱形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定（手拉手模型）等知识点的综合运用及推理论证能力．【练习】1．如图，已知D是△ABC内任一点，BD⊥CD，AD=8，BD=8，CD=6，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EHGF的周长是（）A．16 B．18 C．20 D．222．如图，锐角三角形ABC中（AB＞AC），AH⊥BC，垂足为H，E、D、F分别是各边的中点，则四边形EDHF 是（）A．梯形B．等腰梯形C．直角梯形D．矩形3．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，A1，B1，C1，D1是四边形ABCD的中点四边形，如果AC=8，BD=10，那么四边形A1B1C1D1的面积为．4．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，AC=BD，S ABCD=8cm2，E、F、G、H 分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于．5．如图：在四边形ABCD中，E是AB上的一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，点P、Q、M、N分别为AB、BC、CD、DA的中点，则四边形MNPQ是（）A．等腰梯形B．矩形C．菱形D．正方形【练习解析】1. 解：如图，∵BD⊥CD，BD=8，CD=6，∴BC==10，∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴HG=BC=5，EF=BC=5，EH=FG=AD=4，∴四边形EFGH的周长是EF+FG+HG+EH=2×（5+4）=18．故选：B．2．解：如图，∵E、D、F分别是各边的中点．∴ED∥AC，ED=AC=FC，EF∥BC，EF=BC=DC．∴四边形EFCD是平行四边形．∴DE=CF．∵AH⊥BC，垂足为H，F是AC的中点．∴HF=AC=CF．∴HF=DE．∵DH∥EF．∴四边形EDHF是等腰梯形．故选：B．3．解：∵A1，B1，C1，D1是四边形ABCD的中点四边形，且AC=8，BD=10∴A1D1是△ABD的中位线∴A1D1=BD=×10=5同理可得A1B1=AC=4根据三角形的中位线定理，可以证明四边形A1B1C1D1是矩形那么四边形A1B1C1D1的面积为A1D1×A1B1=5×4=20．4.解：如图，∵E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，∴EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，根据三角形的中位线的性质知，EF∥AC，GH∥AC且EF=AC，GH=AC∴四边形EFGH是平行四边形又∵AC⊥BD，∴EF⊥FG∴四边形EFGH是矩形，∵AC⊥BD，AC=BD，S ABCD=8cm2，∴AC•BD=8，解得：AC=BD=4，∴EH=HG=2，∴四边形EFGH的周长为8cm，故答案为：8cm．5.【解答】解：连接BD、AC；∵△ADE、△ECB是等边三角形，∴AE=DE，EC=BE，∠AED=∠BEC=60°；∴∠AEC=∠DEB=120°；∴△AEC≌△DEB（SAS）；∴AC=BD；∵M、N是CD、AD的中点，∴MN是△ACD的中位线，即MN=AC；同理可证得：NP=DB，QP=AC，MQ=BD；∴MN=NP=PQ=MQ，∴四边形NPQM是菱形；故选：C．南京新东方数学教研组:李文琦。

专题9.2 中点四边形(压轴题专项讲练)(苏科版)(解析版)

专题9.2 中点四边形【典例1】定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是_____________．A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形性质探究：如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论；问题解决：如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”；拓展应用：如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，（1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由．（2）若AC=2，求AB+CD的最小值．概念理解：根据定义“中方四边形”，即可得出答案；性质探究：由四边形ABCD是“中方四边形”，可得EFGH是正方形且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，利用三角形中位线定理即可得出答案；问题解决：如图2，取四边形BCGE各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形MNRL，连接CE交AB 于P ，连接BG 交CE 于K ，利用三角形中位线定理可证得四边形MNRL 是平行四边形，再证得△EAC ≌△BAG （SAS ），推出▱MNRL 是菱形，再由∠LMN =90°，可得菱形MNRL 是正方形，即可证得结论；拓展应用：（1）如图3，分别作AD 、BC 的中点E 、F 并顺次连接EN 、NF 、FM 、ME ，可得四边形ENFM 是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论；（2）如图4，分别作AD 、BC 的中点E 、F 并顺次连接EN 、NF 、FM 、ME ，连接BD 交AC 于O ，连接OM 、ON ，当点O 在MN 上（即M 、O 、N 共线）时，OM +ON 最小，最小值为MN 的长，再结合（1）的结论即可求得答案．解：概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，故选：D ；性质探究：①AC =BD ，②AC ⊥BD ；理由如下：如图1，∵四边形ABCD 是“中方四边形”，∴EFGH 是正方形且E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 的中点，∴∠FEH =90°，EF =EH ，EH ∥BD ，EH =12BD ，EF ∥AC ，EF =12AC ，∴AC ⊥BD ，AC =BD ，故答案为：AC ⊥BD ，AC =BD ；问题解决：如图2，取四边形BCGE 各边中点分别为M 、N 、R 、L 并顺次连接成四边形MNRL ，连接CE 交AB 于P ，连接BG 交CE 于K ，∵四边形BCGE 各边中点分别为M 、N 、R 、L ，∴MN 、NR 、RL 、LM 分别是△BCG 、△CEG 、△BGE 、△CEB 的中位线，∴MN ∥BG ，MN =12BG ，RL ∥BG ，RL =12BG ，RN ∥CE ，RN =12CE ，ML ∥CE ，ML =12CE ，∴MN ∥RL ，MN =RL ，RN ∥ML ∥CE ，RN =ML ，∴四边形MNRL 是平行四边形，∵四边形ABDE 和四边形ACFG 都是正方形，∴AE =AB ，AG =AC ，∠EAB =∠GAC =90°，又∵∠BAC =∠BAC ，∴∠EAB +∠BAC =∠GAC +∠BAC ，即∠EAC =∠BAG ，在△EAC 和△BAG 中，AE AB EAC BAG AC AG =ìïÐ=Ðíï=î，∴△EAC ≌△BAG （SAS ），∴CE =BG ，∠AEC =∠ABG ，又∵RL =12BG ，RN =12CE ，∴RL =RN ，∴▱MNRL 是菱形，∵∠EAB =90°，∴∠AEP+∠APE=90°．又∵∠AEC=∠ABG，∠APE=∠BPK，∴∠ABG+∠BPK=90°，∴∠BKP=90°，又∵MN∥BG，ML∥CE，∴∠LMN=90°，∴菱形MNRL BCGE是“中方四边形”；拓展应用：（1）MN AC，理由如下：如图3，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，∵四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，∴四边形ENFM是正方形，∴FM=FN，∠MFN=90°，∴MN FM，∵M，F分别是AB，BC的中点，∴FM，∴MN；（2）如图4，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，连接BD交AC于O，连接OM、ON，当点O 在MN 上（即M 、O 、N 共线）时，OM +ON 最小，最小值为MN 的长，∴2（OM +ON ）³ 2MN ，由性质探究②知：AC ⊥BD ，又∵M ，N 分别是AB ，CD 的中点，∴AB =2OM ，CD =2ON ，∴2（OM +ON ）=AB +CD ，∴AB +CD ³2MN ，由拓展应用（1）知：MN AC ；又∵AC =2，∴MN ，∴AB +CD 的最小值为．1．（2023春·八年级课时练习）如图，四边形ABCD 为菱形，6AB =，60A Ð=°，连接四边形中点得到四边形EFGH ，则四边形EFGH 的面积为（）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】连接AC 、BD 交于点O ，由三角形的中位线结合菱形的性质可证明中点四边形EFGH 为矩形，即可得1122EFGH S EH EF BD AC =×=g 四边形，再利用含30度角的直角三角形的性质及菱形的性质可求解AC ，BD 的长，进而可求解．【解题过程】解：连接AC 、BD 交于点O ，∵E ，F ，G ，H 分别是AD ，AB ，BC ，CD 的中点，∴1111,,,,,,2222EF BD GH BD EF BD HG EH AC FG AC EH AC FG ====∥∥∥∥∴EF =GH ，EH =FG ，∴四边形EFGH 为平行四边形，∵四边形ABCD 是菱形，∠BAC =60°，∴AC ⊥BD ，∠BAC =30°，AC =2AO ，BD =2BO ，∴EF ⊥EH ，即∠FEH =90°，∴四边形EFGH 为矩形，∵11.,22EFGH S EH EF BD AC BO AO =×=×=g 四边形,30,6,AC BD BAC AB °^Ð==Q13,2BO AB AO \===3EFGH S \=´=四边形故选：D ．2．（2023春·八年级课时练习）依次连接下列四边形四条边的中点得到四边形不是菱形的是（）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形【思路点拨】根据菱形的性质，矩形的性质，正方形的性质，等腰梯形的性质结合菱形二的判定定理，逐一判断，即可求解．【解题过程】解：如图所示，依次连接四边形四条边的中点，∵矩形ABCD ，∴AB CD P ，AD BC ∥，AB CD =，AD BC =，且点E ，F ，G ，H 分别为四边的中点，∴AEF BGF CGH DEH △≌△≌△≌△，∴EF GF GH EH ===，∴EFGH 是菱形；∴A 选项不符合题意；如上图所示，由A 选项结论得菱形EFGH ，点O ，P ，Q ，R 分别为四边的中点，∴EO OF FP PG QG QH HR ER =======，且菱形的对角相等，∴(SAS)EOR GPQ △≌△，(SAS)OFP HQR △≌△，∴OR PQ =，OP QR =，∴四边形OPRQ 是平行四边形，不一定是菱形；∴B 选项符合题意；如下图所示，正方形ABCD ，点E ，F ，G ，H 分别为四边的中点，∴AE AF FB BG GC CH HD DE =======，且90A B C D Ð=Ð=Ð=Ð=°，∴AEF BGF CGH DEH △≌△≌△≌△，∴EF GF GH EH ===，∴EFGH 是菱形；∴C 选项不符合题意；如下图所示，等腰梯形ABCD ，点E ，F ，G ，H 分别为四边的中点，∴AE DE =，AF DH =，A D Ð=Ð，∴(SAS)AEF DEH △≌△，∴EF EH =，同理可得，FG GH =，连接AC ，在ACD V ，ACB △中，点E ，F ，G ，H 分别为四边的中点，根据三角形的中位线的性质可知，FG AC P ，12FG AC =，EH AC P ，12EH AC =，∴F G E H =，FG EH ∥，∴四边形EFGH 是平行四边形，又∵EF EH =，FG GH =，∴EFGH 是菱形；∴D 选项不符合题意．故选：B ．3．（2022春·北京西城·八年级校考期中）如图，四边形ABCD 中，AC a =，BD b =，且AC BD ^，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形1111D C B A ，再顺次连接四边形1111D C B A 各边中点，得到四边形2222A B C D ，¼，如此进行下去，得到四边形.n n n n A B C D 下列结论正确的有（）①四边形2222A B C D 是矩形； ②四边形4444A B C D 是菱形；③四边形5555A B C D 的周长是4a b +； ④四边形n n n n A B C D 的面积是12n ab +．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【思路点拨】首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD 中各边长的长度关系规律，然后对以下选项做出分析与判断：①根据矩形的判定与性质做出判断；②根据菱形的判定与性质做出判断；③由四边形的周长公式：周长=边长之和，来计算四边形5555A B C D 的周长；④根据四边形n n n n A B C D 的面积与四边形ABCD 的面积间的数量关系来求其面积．【解题过程】解：①连接11A C ，11B D ．Q 在四边形ABCD 中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形1111D C B A ，11A D BD \∥，11B C BD ∥，11C D AC ∥，11A B AC ∥；1111A D B C \∥，1111A B C D ∥，\四边形1111D C B A 是平行四边形；AC BD ^Q ，\四边形1111D C B A 是矩形，1111B D A C \=（矩形的两条对角线相等）；22222222A D C D C B B A \===（中位线定理），\四边形2222A B C D 是菱形；故本选项错误；②由①知，四边形2222A B C D 是菱形；\根据中位线定理知，四边形4444A B C D 是菱形；故本选项正确；③根据中位线的性质易知，553311111248A B A B A B AC ===，553311111248B C B C B C BD ===，\四边形5555A B C D 的周长是()1284a b a b +´+=，故本选项正确；④Q 四边形ABCD 中，AC a =，BD b =，且AC BD ^，2ABCD S ab \=¸四边形；由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，四边形n n n n A B C D 的面积是12n ab +，故本选项正确．综上所述，②③④正确．故选：C ．4．（2023春·八年级课时练习）如图，在四边形ABCD 中，AC=BD ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，且EG 、FH 交于点O ．若AC=4，则EG 2+FH 2=______．【思路点拨】根据三角形的中位线定理和菱形的判定，可得顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形；根据菱形的性质得到EG ⊥HF ，且EG =2OE ，FH =2OH ．在Rt △OEH 中，根据勾股定理得到OE 2+OH 2=EH 2=4，再根据等式的性质，在等式的两边同时乘以4，根据4=22，把等式进行变形，并把EG =2OE ，FH =2OH 代入变形后的等式中，即可求出EG 2+FH 2的值．【解题过程】解：∵E 、F 、G 、H 分别是线段AB 、BC 、CD 、AD 的中点，∴EH 、FG 分别是△ABD 、△BCD 的中位线，EF 、HG 分别是△ABC 、△ACD 的中位线，根据三角形的中位线的性质知，EH =FG 12=BD ，EF =HG 12=AC ．又∵AC =BD ，∴EH =FG =EF =HG ，∴四边形EFGH 是菱形，∴EG ⊥FH ，EG =2OE ，FH =2OH ．在Rt △OEH 中，根据勾股定理得：OE 2+OH 2=EH 2=4，等式两边同时乘以4得：4OE 2+4OH 2=4×4=16，∴（2OE ）2+（2OH ）2=16，即EG 2+FH 2=16．故答案为16．5．（2023春·上海·八年级专题练习）将连接四边形对边中点的线段称为“中对线”．凸四边形ABCD 的对角线AC ＝BD ＝4，且两条对角线的夹角为60°，那么该四边形较短的“中对线”的长度为___．【思路点拨】根据三角形中位线定理可得菱形EFGH ，然后根据菱形的性质及等边三角形的性质可得答案．【解题过程】解：如图，设两条对角线AC 、BD 的夹角为60°，取四边的中点并连接起来，设AC 与EH 交点M ．∴EH 是三角形ABD 的中位线，∴EH ＝12BD ＝2，EH //BD ，同理，FG ＝12BD ＝2，FG //BD ，EF ＝12AC ＝2，EF //AC ，HG ＝12AC ＝2，HG //AC ，∴EH //HG //AC ，EF ＝FG ＝HG ＝HE ，∴四边形EFGH 是菱形，∵EH ＝12BD ＝2，EH //BD ，∴∠AOB ＝60°＝∠AME ，∵FE //AC ，∴∠FEH ＝∠AME ＝60°，∴△HEF 为等边三角形，∴HF ＝EH ＝2，∴较短的“中对线”长度为2．故答案为：2．6．（2022秋·九年级单元测试）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA 的中点．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形．（2）若四边形ABCD的对角线互相垂直且它们的乘积为48，求四边形EFGH的面积．【思路点拨】（1）连接AC，根据三角形中位线定理证明HG＝EF，HG∥EF，根据平行四边形的判定定理可得结论；（2）先由三角形的中位线定理和矩形的判定定理推知四边形EFGH是矩形，进而求出HG HE×即可解答．【解题过程】（1）证明：连接AC．∵点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，∴HG＝12AC，HG∥AC，EF＝12AC，EF∥AC，∴HG＝EF，HG∥EF，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）连接BD，AC．由（1）得：HG ＝12AC ，HG ∥AC ，同理可得：HE ＝12BD ，HE ∥BD ，∵AC BD ^，∴HE HG ^，又∵四边形EFGH 是平行四边形，∴平行四边形EFGH 是矩形，∵48AC BD ×=，∴111222HG HE AC BD ×=×=，∴矩形EFGH 的面积为12．7．（2023春·江苏·八年级校考周测）如图，四边形ABCD 、AEFM 都是正方形，连接BE 、DM ．（1）判断线段DM 、BE 的关系并证明．（2）连接DE 、EM 、MB 、BD ，顺次连接各边中点G 、H 、Q 、N ，试判断四边形GHQN 的形状，并说明理由．【思路点拨】（1）证明MAD EAB V V ≌，根据全等三角形的性质得到DM BE =，ABE ADM Ð=Ð，根据全等三角形的性质、三角形内角和定理证明结论；（2）根据三角形中位线定理、正方形的判定定理证明即可．【解题过程】（1）解：DM BE ^，DM BE =，理由如下：设BE 与DM 交于点O ，BE 与AD 交于点H ，如图所示：Q 四边形ABCD 、AEFM 都是正方形，AM AE \=，AD AB =，90MAE DAB Ð=Ð=°，MAD EAB \Ð=Ð，在△MAD 和EAB V 中，AM AE MAD EAB AD AB =ìïÐ=Ðíï=î，(SAS)MAD EAB \V V ≌，\=DM BE ，ABE ADM Ð=Ð，AHB EHD Ð=ÐQ ，90ABE AHB Ð+Ð=°，90BOD BAH \Ð=Ð=°，即DM BE ^；（2）解：四边形GHQN 是正方形，理由如下：顺次连接DE 、EM 、MB 、BD 的中点G 、H 、Q 、N ，如图所示，∴GN BE HQ ∥∥，12GN HQ BE ==，1,2GH QN MD GH MD NQ ==∥∥，∴四边形GHQN 为平行四边形，DM BE ^Q ，∴,GN MD GH BE ^^，∴GN GH^，即90HGNÐ=°，∴四边形GHQN为矩形，∵DM BE=，∴GH GN=，\四边形GHQN是正方形．8．（2023·全国·八年级专题练习）如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG，GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．（1）四边形EFGH的形状是______，当四边形ABCD的对角线满足______（填入位置关系或数量关系）时，四边形EFGH是矩形．（2）当AC＝BD时，四边形EFGH的形状是______．（3）若AC⊥BD且AC＝BD，求证：四边形EFGH为正方形．【思路点拨】（1）根据三角形的中位线定理和平行四边形判定定理可得EFGH是平行四边形，当AC⊥BD时，由三角形的中位线定理易知EF⊥EH，结合EFGH是平行四边形即可解答；（2）当AC=BD时，由三角形的中位线定理易知EF=EH，结合EFGH是平行四边形即可得到四边形EFGH 是菱形；（3）当AC=BD时，由（2）可得四边形EFGH是菱形，由EF⊥EH和EFGH是平行四边形即可得到四边形EFGH是矩形即可证明结论；【解题过程】（1）解：∵四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，∴线段EH，FG分别是∆ADC，∆ABC的中位线，∴EH//AC，EH=12AC，FG//AC，FG=12AC，∴EH//FG，EH=FG，∴四边形EFGH是平行四边形；∵四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，∴线段EF是∆ABD的中位线，∴EF//BD，∵EH//AC，AC⊥BD，∴EF⊥EH，∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是矩形；故答案是：平行四边形，AC⊥BD．（2）∵四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，∴线段EF是∆ABD的中位线，∴EF=12BD，EH=12AC∵AC=BD，∴EF=EH∵四边形EFGH是平行四边形；∴四边形EFGH是菱形．故答案：菱形．（3）解：由（2）可得当AC=BD时，四边形EFGH是菱形∵EH//AC，EF∥BD，AC⊥BD，∴EF⊥EH∵四边形EFGH是平行四边形∴四边形EFGH是矩形∴四边形EFGH是正方形．9．（2023春·八年级课时练习）已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形(EFGH即四边形ABCD的中点四边形)．（1）四边形EFGH 的形状是______，请证明你的结论；（2）当四边形ABCD 的对角线满足______条件时，四边形EFGH 是菱形；（3）你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种．【思路点拨】（1）连接BD ，根据三角形的中位线定理得到EH BD ∥，12EH BD =，FG BD ∥，12FG BD =，推出，EH FG ∥，EH FG =，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EFGH 是平行四边形；（2）根据有一组是邻边的平行四边形是菱形，可知当四边形ABCD 的对角线满足AC BD =的条件时，四边形EFGH 是菱形；（3）矩形的中点四边形是菱形．根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EH BD ∥，EF AC ∥，再根据矩形对角线相等，然后根据四边相等的四边形是菱形．【解题过程】解：（1）四边形EFGH 的形状是平行四边形．理由如下：如图1，连接BD ．E Q 、H 分别是AB 、AD 中点，EH BD \∥，12EH BD =，同理FG BD ∥，12FG BD =，EH FG \∥，EH FG =，\四边形EFGH 是平行四边形；故答案为：平行四边形；（2）当四边形ABCD 的对角线满足AC BD =的条件时，四边形EFGH 是菱形．理由如下：如图2，连接AC 、BD ．E Q 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 四条边上的中点，EH BD \∥，HG AC ∥，1=2EH BD ，12HG AC =，AC BD =Q ，EH HG \=，又Q 四边形EFGH 是平行四边形\平行四边形EFGH 是菱形；故答案为：AC BD =；（3）矩形的中点四边形是菱形．理由如下：连接AC 、BD ．E Q 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 四条边上的中点，EH BD \∥，HG AC ∥，FG BD ∥，EF AC ∥，12FG EH BD ==，12EF HG AC ==，Q 四边形ABCD 是矩形，AC BD \=，EH BD HG AC ===Q ，\四边形EFGH 是菱形．10．（2022春·河南驻马店·八年级统考期中）已知：如图，四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ，得到四边形EFGH （即四边形ABCD 的中点四边形）．（1）四边形EFGH的形状是，证明你的结论．（2）当四边形ABCD的对角线满足条件时，四边形EFGH是矩形；（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？．【思路点拨】（1）连接BD，根据三角形的中位线定理得到EH∥BD，EH=12BD，FG∥BD，FG═12BD，推出，EH∥FG，EH=FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EFGH是平行四边形；（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知当四边形ABCD的对角线满足AC⊥BD的条件时，四边形EFGH是矩形；（3）菱形的中点四边形是矩形．根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得四边形EFGH是平行四边形，再根据矩形的每一个角都是直角，然后根据平行线的性质，再根据垂直定义解答；【解题过程】解：（1）四边形EFGH的形状是平行四边形．理由如下：如图，连结BD．∵E、H分别是AB、AD中点，∴EH∥BD，EH= 12BD，同理FG∥BD，FG=12BD，∴EH∥FG，EH=FG，∴四边形EFGH是平行四边形；故答案为：平行四边形．（2）当四边形ABCD的对角线满足互相垂直的条件时，四边形EFGH是矩形．理由如下：如图，连结AC、BD．∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，∴EH∥BD，HG∥AC，∵AC⊥BD，∴EH⊥HG，又∵四边形EFGH是平行四边形，∴平行四边形EFGH是矩形；故答案为：对角线互相垂直．（3）菱形的中点四边形是矩形．理由如下：如图，连结AC、BD．∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，∴EH∥BD，HG∥AC，FG∥BD，EH=12BD，FG=12BD，∴EH∥FG，EH=FG，∴四边形EFGH是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵EH∥BD，HG∥AC，∴EH⊥HG，∴平行四边形EFGH是矩形；故答案为：菱形．11．（2023春·八年级课时练习）在四边形ABCD 中，AB BC CD DA 、、、的中点分别为P 、Q 、M 、M ；（1）如图1，试判断四边形PQMN 怎样的四边形，并证明你的结论；（2）若在AB 上取一点E ，连结DE ，CE ，恰好ADE V 和BCE V 都是等边三角形（如图2）：①判断此时四边形PQMN 的形状，并证明你的结论；②当6AE =，3EB =，求此时四边形PQMN 的周长（结果保留根号）．【思路点拨】（1）连接AC 、BD ．利用三角形中位线定理判定四边形PQMN 的对边平行且相等，易证该四边形是平行四边形；（2）①设ADE D 的边长是x ，BCE D 的边长是y ，由于222221())2DB x y x xy y =++=++，22221())2AC x y y x xy y =++=++，可得平行四边形PQMN 的对角线相等，从而得出平行四边形PQMN 是菱形；②如图2，过点D 作DF AB ^于F ，则通过解三角形求得DF =DB =①知四边形PQMN 是菱形，可计算得周长是．【解题过程】解：（1）如图1，连接AC 、BD ．PQ ∵为ABC D 的中位线，12PQ AC \=且1//2PQ AC ，同理12MN AC=且1//2MN AC．MN PQ\=且//MN PQ，\四边形PQMN为平行四边形；（2）①四边形PQMN是菱形，如图2，连接AC，BD，∵△ADE和△BCE都是等边三角形，∴AE=DE，CE=BE，∠AED=∠BEC=60°，∴∠AEC=∠DEB，∴△AEC≌△DEB，∴AC=BD，∵点M，N是AD，CD的中点，∴MN是△ADC的中位线，∴MN=12AC，同理：PN=12BD，∴MN=PN，由（1）知，四边形PQMN是平行四边形，∴平行四边形PQMN是菱形；②过点D作DF AB^于F，则DF=又222DF FB DB+=Q，DB\=\由①知四边形PQMN是菱形，可计算得周长是142´=．12．（2023春·八年级课时练习）【猜想结论】如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，可以根据度量或目测猜想结论：DE ∥BC ，且DE 12=B C ．（1）【验证结论】如图2，在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，延长DE 至F ，使得EF ＝DE ，连接F C ．求证：DE ∥BC ，DE 12=B C ．（2）【应用结论】如图3，在四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，顺次连接四边形ABCD 各边中点得到新四边形EFGH ，称为四边形ABCD 中点四边形．应用上述验证结论，求解下列问题：①证明：四边形EFGH 是平行四边形；②当AC 、BD 满足时，四边形EFGH 是矩形；③当AC 、BD 满足时，四边形EFGH 是正方形．【思路点拨】（1）先根据“SAS”证明AED CEF V V ≌，得出A ECF Ð=Ð，AD CF =，根据平行线的判定得出AD CF ∥，得出BD =CF ，证明四边形BCFD 为平行四边形，得出DE BC ∥，DF BC =，即可证明结论；（2）①连接AC 、BD ，根据中位线性质得出EF GH ∥，EH GF ∥，即可得证明四边形EFGH 为平行四边形；②根据矩形的判定方法，得出结论即可；③根据正方形的判定方法，得出结论即可．【解题过程】（1）证明：∵点E 为AC 的中点，∴AE =CE ，∵在△AED 和△CEF 中AE CE AED CEF DE EF =ìïÐ=Ðíï=î，∴AED CEF V V ≌，∴A ECF Ð=Ð，AD CF =，∴AD CF ∥，∵点D 为AB 的中点，∴AD =BD ，∴BD =CF ，∴四边形BCFD 为平行四边形，∴DE BC ∥，DF BC =，∵12DE DF =，∴12DE BC =，即DE P BC ，DE 12=B C ．（2）①连接AC 、BD ，如图所示：∵点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴EF AC ∥，GH AC ∥，EH BD ∥，GF BD ∥，∴EF GH ∥，EH GF ∥，∴四边形EFGH 为平行四边形；②当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是矩形；根据解析①可知，GH AC ∥，EH BD ∥，四边形EFGH 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，∴90AOB Ð=°，∵GH AC ∥，∴90HMO Ð=°，∵EH GF ∥，∴180EHM HMO Ð+Ð=°，∴1809090EHM Ð=°-°=°，∴四边形EFGH 是矩形；故答案为：垂直；③当AC =BD 且AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是正方形；根据解析②可知，当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是矩形，根据解析①可知，12GH AC =，12EH BD =，∵AC =BD ，∴GH EH =，∴四边形EFGH 是正方形．故答案为：垂直且相等13．（2023春·江苏·八年级专题练习）四边形ABCD ，点M 、N 、P 、Q 分别是边AB 、BC 、CD 、AD 的中点．（1）如图1，顺次连结M 、N 、P 、Q 得到四边形ANPQ ，试猜想四边形MNPQ 的形状并证明；（2）如图2，若∠B ＝∠C ，AB ＝CD ，顺次连结M 、N 、P 、Q 得到四边形MNPQ ，试猜想四边形MNPQ 的形状并证明；（3）如图3，若∠BCD＝90°，BC＝8，CD＝6，AB＝3，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是______．【思路点拨】（1）连结BD，根据三角形中位线的性质可得MQ∥BD，MQ＝12BD，PN∥BD，PN＝12BD，进而可得MQ∥PN，MQ＝PN，根据平行四边形的判定定理即可求解；（2）连结BD、AC，同理可得四边形MNPQ为平行四边形证明△ABC≌△DCB（SAS）得出AC＝BD，根据中位线的性质，即可得出MQ＝MN，根据平菱形的判定定理即可求解；（3）连结BD，取BD的中点P，连接QP、CP，得出PQ是△ABD的中位线，根据三角形三边关系即可求解．【解题过程】（1）解：四边形MNPQ为平行四边形，连结BD∵点M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、AD的中点.∴MQ∥BD，MQ＝12BD，PN∥BD，PN＝12BD∴MQ∥PN，MQ＝PN∴四边形MNPQ为平行四边形．（2）四边形MNPQ 为菱形，连结BD 、AC∵点M 、N 分别是边AB 、BC 的中点.∴MN ＝12AC在△ABC 与△DCB 中AB CD ABC DCB BC CB =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABC ≌△DCB （SAS ）∴AC ＝BD∵点M 、N 、P 、Q 分别是边AB 、BC 、CD 、AD 的中点.∴MQ ∥BD ，MQ ＝12BD ，PN ∥BD ，PN ＝12BD∴MQ ∥MN ，MQ ＝PN∵四边形MNPQ 为平行四边形∴平行四边形MNPQ 是菱形．（3）解：如图，连结BD ，取BD 的中点P ，连接QP 、CP ，在Rt △BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝8，CD ＝6，∴BD ＝10，∵点P 是BD 的中点，∴CP ＝BP ＝CP ＝12BD ＝5，∵点Q 是AD 的中点，点P 是BD 的中点，∴PQ 是△ABD 的中位线，∴PQ ＝12AB ＝32，在△CPQ 中，CP ﹣PQ ＜CQ ＜CP +PQ，∴72＜m＜132，∵点C、点Q是定点，点P是动点，∴当点C、P、Q三点共线，且点Q在线段CP上时，m取得最小值72，当点C、P、Q三点共线，且点Q在射线CP上时，m取得最大值132，综上，m的取值范围为：72≤m≤132．14．（2022秋·陕西宝鸡·九年级统考期中）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）【思路点拨】（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH=FG即可．（2）四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再证明EF=FG即可．（3）四边形EFGH是正方形，只要证明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP=∠BDP，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质即可证明．【解题过程】（1）证明：如图1中，连接BD．∵点E，H分别为边AB，DA的中点，∴EH∥BD，EH=12BD，∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∴FG∥BD，FG=12BD，∴EH∥FG，EH=GF，∴中点四边形EFGH是平行四边形．（2）四边形EFGH是菱形．证明：如图2中，连接AC，BD．∵∠APB=∠CPD，∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD，在△APC和△BPD中，∵AP=PB，∠APC=∠BPD，PC=PD，∴△APC≌△BPD（SAS），∴AC=BD．∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，∴EF=12AC，FG=12BD，∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．（3）四边形EFGH是正方形．证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．∵△APC≌△BPD，∴∠ACP=∠BDP，∵∠DMO=∠CMP，∴∠COD=∠CPD=90°，∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．15．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．试探究下列问题：（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”，不需要证明）（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和BF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．【思路点拨】（1）因为四边形ABCD为正方形，CE=DF，可证△ADF≌△DCE(SAS)，即可得到AF=DE，∠DAF=∠CDE，又因为∠ADG+∠EDC=90°，可推出∠ADG+∠DAF=90°，即有AF⊥DE；（2）同理（1）即可证明；（3）设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，因为点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，可得MQ=PN=12DE，PQ=MN=12AF，MQ P DE，PQ P AF，然后根据AF=DE，可得四边形MNPQ是菱形，又因为AF⊥DE即可证得四边形MNPQ是正方形．【解题过程】（1）上述结论①，②仍然成立，理由是：∵四边形ABCD 为正方形，∴AD =DC ，∠BCD =∠ADC =90°．在△ADF 和△DCE 中，90DF CE ADF DCE AD DC =ìïÐ=Ð=°íï=î，∴△ADF ≌△DCE (SAS )，∴AF =DE ，∠DAF =∠CDE ．∵∠ADG +∠EDC =90°，∴∠ADG +∠DAF =90°，∴∠AGD =90°，即AF ⊥DE ；（2）上述结论①，②仍然成立，理由是：.∵四边形ABCD 为正方形，∴AD =DC ，∠BCD =∠ADC =90°．在△ADF 和△DCE 中，90DF CE ADF DCE AD DC =ìïÐ=Ð=°íï=î，∴△ADF ≌△DCE (SAS )，∴AF =DE ，∠DAF =∠EDC ．∵∠ADG +∠EDC =90°∴∠ADG +∠DAF =90°∴∠AGD =90°，即AF ⊥DE ；（3）四边形MNPQ 是正方形．理由是：如图，设MQ ，DE 分别交AF 于点G ，O ，PQ 交DE 于点H ．∵点M ，N ，P ，Q 分别为AE ，EF ，FD ，AD 的中点，∴MQ =PN =12DE ，PQ =MN =12AF ，////MQ DE PQ AF ，，∴四边形OHQG是平行四边形．∵AF=DE，∴MQ=PQ=PN=MN，∴四边形MNPQ是菱形．∵AF⊥DE，∴∠AOD=90°∴∠HQG=∠AOD=90°∴四边形MNPQ是正方形．16．（2023春·江苏·八年级专题练习）问题背景：△ABC和△CDE均为等边三角形，且边长分别为a，b，点D，E分别在边AC，BC上，点F，G，H，I分别为AB，BE，ED，AD的中点，连接FG，GH，HI，IF猜想证明：（1）如图①，判断四边形FGHI是什么特殊四边形，并说明理由．（2）当a＝6，b＝2时，求四边形FGHI的周长．拓展延伸：（3）如图②，当四边形FGHI是正方形时，连接AE，BD相交于点N，点N，H恰好在FC上．求证：△ABN 和△DEN均为等腰直角三角形．【思路点拨】（1）根据△ABC和△CDE为等边三角形，可得四边形ABED是等腰梯形，再根据点F，G，H，I分别为AB，BE，ED，AD的中点，即可得出FG=IH=FI=GH，进而得到四边形FGHI是菱形；（2）过A作AM⊥BC于M，连接AE，再根据勾股定理，求得Rt△ACM中，AM Rt△AEM中，AE=21）可得，四边形FGHI是菱形，且AE=2FG，即可得出四边形FGHI的周长=4FG=2AE；（3）由点F为AB的中点，△ABC和△CDE均为等边三角形，所以直线CF为△ABC和△CDE的对称轴，则有AN ＝BN ，DN ＝EN ，再利用三角形中位线得FG ∥AEIH ，FI ∥BD ∥GH ，则FG ∥AEIH ，FI ∥BD ∥GH ，又由四边形FGHI 是正方形，得∠FNA ＝∠FHI ＝45°，∠FNB ＝∠FHG ＝45°，即可得∠ANB ＝∠FNA +∠FNB ＝90°，∠DNE ＝90°，即可得出结论．【解题过程】（1）解：四边形FGHI 是菱形.理由：如图①，连接AE ,BD ，∵△ABC 和△CDE 均为等边三角形，∴AC ＝BC ,EC ＝DC ，在△AEC 和△BDC 中，AC BC ACE BCD EC DC =ìïÐ=Ðíï=î，∴△AEC ≌△BDC (SAS)，∴AE ＝BD ，∵点F ，G ，H ，I 分别为AB ，BE ，ED ，AD 的中点，FG ＝12AE ＝IH .FI ＝12BD ＝CH .∴FG ＝GH ＝IH ＝FI .∴四边形FGHI 是菱形；（2）解：如图②，过点D 作DM ⊥EC 于点M ，∵△CDE 为等边三角形，∴MC ＝12EC ＝12×2＝1，∠C ＝60°，∴BM ＝BC －MC ＝6－1＝5，在Rt △DMC 中，DM==，在Rt △BDM 中，BD ==，∴GH ＝12BD 由(1)知四边形FGHI 是菱形，∴.四边形FGHI 的周长为4GH ＝（3）解：∵点F 为AB 的中点，△ABC 和△CDE 均为等边三角形，∴直线CF 为△ABC 和△CDE 的对称轴.∴AN ＝BN ，DN ＝EN ，∵点F ，G ，H ，I 分别为AB ，BE ，ED ，AD 的中点，∴FG ∥AE ，IH ∥AE ，FI ∥BD ，GH ∥BD .∴.FG ∥AEIH ，FI ∥BD ∥GH ，∵四边形FGHI 是正方形，∴∠FNA ＝∠FHI ＝45°，∠FNB ＝∠FHG ＝45°∴.∠ANB ＝∠FNA +∠FNB ＝90°，∠DNE ＝90°.∴△ABN 和△DEN 均为等腰直角三角形.17．（2023春·江苏·八年级专题练习）综合与探究：如图1，四边形ABDC 中，E 、F 、G 、H 分别是AC 、AB 、BD 、CD 的中点，顺次连接E 、F 、G 、H ．（1）猜想四边形EFGH 的形状是________（直接回答，不必说明理由）．（2）如图2，P 在四边形ABDC 内一点，使PC PA =，PD PB =，APC BPD Ð=Ð，其他条件不变，试探究四边形EFGH 的形状，并说明理由．（3）在（2）的条件下，6PA =，PB =60APC BPD Ð=Ð=°，90CPD Ð=°，求四边形EFGH 的面积．【思路点拨】（1）连接AD ，利用三角形中位线定理，证明EH =FG ，且EH ∥FG 即可得证．（2）连接AD ，BC ，证明()SAS @△△APD CPB ，得到AD =CB ，结合三角形中位线定理，得到四边形EFGH 的四边相等，即可得到菱形EFGH ．（3）连接AD ，BC ，交点为M ，设BC 与EH 的交点为Q ，AD 与EF 的交点为O ，证明()SAS @△△APD CPB ，判定四边形EOMQ 是平行四边形，证明∠HEF =60°，连接PG ，过点H 作HN EF ^，垂足为N ，求得EH ，HN 的长度即可．【解题过程】解：（1）平行四边形．理由如下：如图，连接AD ，∵E 、F 、G 、H 分别是AC 、AB 、BD 、CD 的中点，∴EH ∥AD ，EH=12AD ，FG ∥AD ，FG=12AD ，∴EH =FG ，且EH ∥FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形，故答案为：平行四边形．（2）菱形.理由：如图，连接AD ，BC .∵APC BPD Ð=Ð，。

【原创版】2019届数学中考典型题赏析：有趣的中点四边形(含解析)

有趣的中点四边形顺次连结四边形的各边中点所得的四边形叫做中点四边形.中点四边形的形状与原四边形的对角线有密切的关系.现归纳几种情况,供同学们复习时参考.例1.如图1, E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的中点.求证:四边形EFGH 是平行四边形.分析:连结BD 、AC,欲证明四边形EFGH 是平行四边形,只要证明HG ∥EF,HE ∥GF 即可.证明:连结BD 、AC.∵AH=BH,AG=GD,CE=BE,CF=DF,∴HG ∥BD,EF ∥BD. 图1∴HG ∥EF.同理HE ∥GF.∴四边形EFGH 是平行四边形.点评:因为本题中的四边形的对角线BD 与AC 不相等,所以有顺次连结对角线不相等的四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形.(即顺次连结任意四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形）例2.如图2, E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的中点,且AC=BD. 求证:四边形EFGH 是菱形.分析:欲证明四边形EFGH 是菱形,只要先证明HG ∥EF,HE ∥GF. 再有AC=BD 即可证明四边形EFGH 是菱形.证明:∵AH=BH,AG=GD,CE=BE,CF=DF, ∴HG ∥BD,EF ∥图2∴HG ∥EF.同理HE ∥GF.∴四边形EFGH 是平行四边形.∵AC=BD.∴四边形EFGH 是菱形.点评:因为本题中的四边形的对角线BD=AC,所以有顺次连结对角线相等的四边形的各边中点所得的四边形是菱形.例3.如图, E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的中点,且AC ⊥BD. 求证:四边形EFGH 是矩形. 分析:欲证明四边形EFGH 是矩形,只要先证明HG ∥EF,HE ∥GF.再有AC ⊥BD 即可证明四边形EFGH 是矩形.证明:∵AH=BH,AG=GD,CE=BE,CF=DF,∴HG ∥BD,EF ∥∴HG ∥EF.同理HE ∥GF.∴四边形EFGH 是平行四边形.∵HG ∥BD,HE ∥AC,AC ⊥BD,∴∠IJG=∠JID= 90,∠IJG=∠EHG=90.∴∠IJG=∠EHG = 90.∴四边形EFGH 是矩形.点评:因为本题中的四边形的对角线BD ⊥AC,所以有顺次连结对角线垂直的四边形的各边中点所得的四边形是矩形.例4.如图4, E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的中点,且AC ⊥BD,AC=BD.求证:四边形EFGH 是正方形.分析:欲证明四边形EFGH 是正方形,只要先证明HG ∥EF,HE ∥GF.再有AC ⊥BD,AC=BD 即可证明四边形EFGH 是正方形.证明:∵AH=BH,AG=GD,CE=BE,CF=DF,∴HG ∥BD,EF ∥BD.∴HG ∥EF.同理HE ∥GF.∴四边形EFGH 是平行四边形.HG ∥BD,HE ∥AC,∴∠IJG=∠JID= 90,∠IJG=∠EHG= 90.∴∠IJG=∠EHG = 90.∴四边形EFGH 是矩形.∵HG=21BD,HE=214∴HG=HE.∴四边形EFGH 是正方形.点评:因为本题中的四边形的对角线BD ⊥AC,AC=BD,所以有顺次连结对角线垂直且相等的四边形的各边中点所得的四边形是正方形.。

2019秋九年级数学上册解题技巧专题中点问题(新版)北师大版

解题技巧专题：中点问题——遇中点，定思路，一击即中◆类型一直角三角形中，已知斜边中点构造斜边上的中线 1．如图，在四边形ABCD 中，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC ，BD 相交于点E ，点G ，H 分别是AC ，BD 的中点，若∠BEC＝80°，那么∠GHE 等于（） A ．5° B．10° C．20° D．30°第1题图第2题图2．如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD ＝AB ，E ，F 分别是AC ，BD 的中点，AC ＝6，则EF 的长是_______.3．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，M 是AB 的中点，E ，F 分别是AC ，BC 延长线上的点，且CE ＝CF ＝12AB ，则∠EMF 的度数为_______.第3题图第5题图◆类型二中点四边形与特殊平行四边形4．若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是矩形，则该四边形一定是（）A ．菱形B ．等腰梯形C ．对角线相等的四边形D ．对角线互相垂直的四边形5．如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，连接AF ，BE ，CE ，DF ，分别交于点M ，N ，则四边形EMFN 是（）A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．无法确定 6．(2016·兰州中考)阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图①，我们把一个四边形ABCD 的四边中点E ，F ，G ，H 依次连接起来得到的四边形EFGH 是平行四边形吗？小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC.结合小敏的思路作答：(1)若只改变图①中四边形ABCD 的形状(如图②)，则四边形EFGH 还是平行四边形吗？说明理由；(2)如图②，在(1)的条件下． ①当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是菱形？写出结论并证明；②当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是矩形？写出结论并证明．解题技巧专题：中点问题答案 1．B 解析：连接AH ，CH .∵∠BCD ＝∠BAD ＝90°，点H 是BD 的中点，∴AH ＝CH ＝12BD .∵点G 是AC 的中点，∴HG ⊥AC ，∴∠HGE ＝90°.又∵∠GEH ＝∠BEC ＝80°，∴∠GHE ＝10°.故选B.2．3 解析：如图，连接AF .∵AD ＝AB ，F 是BD 的中点，∴AF ⊥BD .又∵E 是AC 的中点，∴EF ＝12AC ＝12×6＝3.3．45° 解析：如图，连接CM .∵∠ACB ＝90°，M 是AB 的中点，∴CM ＝12AB .∵CE＝CF ＝12AB ，∴CE ＝CF ＝MC ，∴∠1＝∠E ，∠2＝∠F .∵∠1＋∠E ＝∠4，∠2＋∠F ＝∠3，∴∠1＝12∠4，∠2＝12∠3，∴∠1＋∠2＝12(∠4＋∠3)＝12×90°＝45°，即∠EMF ＝45°.4．D5.B6．解：(1)四边形EFGH 还是平行四边形．理由如下：如图，连接AC .∵E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，∴EF ∥AC ，EF ＝12AC .同理可得HG ∥AC ，HG ＝12AC ，∴EF ∥HG ，EF＝HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形；(2)如图，连接BD .①当AC ＝BD 时，四边形EFGH 是菱形．证明如下：由(1)可知四边形EFGH 是平行四边形，HG ＝12AC .∵F 是BC 的中点，G 是CD 的中点，∴FG ＝12BD .∵AC＝BD ，∴HG ＝FG ，∴四边形EFGH 是菱形；②当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 为矩形．证明如下：由(1)可知四边形EFGH 是平行四边形，HG ∥AC .∵AC ⊥BD ，∴HG ⊥BD .∵F 是BC 的中点，G 是CD 的中点，∴FG ∥BD ，∴HG ⊥GF ，∴∠HGF ＝90°，∴四边形EFGH 为矩形．。

中考数学复习----《中点四边形》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《中点四边形》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.中点四边形的定义：将任意四边形各条边的中点顺次连接起来得到的四边形叫做中点四边形。

2.中点四边形的判定：①任意四边形的中点四边形是平行四边形。

②对角线相互垂直的四边形的中点四边形是矩形。

（菱形的中点四边形是矩形）③对角线相等的四边形的中点四边形是菱形。

（矩形的中点四边形是菱形）④对角线相互垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形。

（正方形的中点四边形是正方形）练习题1、（2022•玉林）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是（）A．互相平分B．互相垂直C．互相平分且相等D．互相垂直且相等【分析】根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是正方形，那么邻边互相垂直且相等，选择即可，【解答】解：如图，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形EFGH是正方形，即EF⊥FG，FE＝FG，∴AC⊥BD，AC＝BD，故选：D．2、（2022•德阳）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA 边上的中点，则下列结论一定正确的是（）A．四边形EFGH是矩形B．四边形EFGH的内角和小于四边形ABCD的内角和C．四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和D．四边形EFGH的面积等于四边形ABCD的面积的【分析】根据三角形中位线定理可得四边形EFGH是平行四边形，进而逐一判断即可．【解答】解：A．如图，连接AC，BD，在四边形ABCD中，∵点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，∴EH∥BD，EH＝BD，FG∥BD，FG＝BD，∴EH∥FG，EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形，故A选项错误；B．∵四边形EFGH的内角和等于360°，四边形ABCD的内角和等于360°，故B选项错误；C．∵点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，∴EH＝BD，FG＝BD，∴EH+FG＝BD，同理：EF+HG＝AC，∴四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和，故C选项正确；D．四边形EFGH的面积不等于四边形ABCD的面积的，故D选项错误．故选：C．。

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