复变函数2-3初等函数

1 n
1 n Lnz 1 1 1 z n z e zn . n 1 b (3) 幂函数 w z ( 除去 b n 与 两种情况外) n 也是一个多值函数 , 当b 为无理数或复数时, 是无穷多值的.
Ln z 的主值
其余各值为 Lnz ln z 2ki ( k 1,2,),
对于每一个固定的 k , 上式确定一个单值函数 , 称为 Ln z 的一个分支.
特殊地,
当 z x 0 时, Ln z 的主值 ln z ln x ,
是实变数对数函数.
此时Lnx ln x 2ki ( x 0, k 1,2,),
3
一、指数函数
( e x )' e x 处处可导 实变：
1.指数函数的定义:
当函数 f ( z ) 在复平面内满足以下三 个条件:
(1) f ( z )在复平面内处处解析;
(2) f ( z ) f ( z );
(3)当Im( z ) 0时, f ( z ) e x , 其中x Re( z ).
有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式
cos( z1 z2 ) cos z1 cos z2 sin z1 sin z2 , (1) sin( z1 z2 ) sin z1 cos z2 cos z1 sin z2 , 2 2 sin z cos z 1.
cos( x yi ) cos x cos yi sin x sin yi , ( 2) sin( x yi ) sin x cos yi cos x sin yi .
x x0 y 0
lim arg z
x x0 y 0
lim arg z
所以arg z在负实轴上也不连续。
2
第三节 初等函数
重点把握以下几点
一、指数函数 二、对数函数 三、乘幂 ab 与幂函数 四、三角函数和双曲函数 五、反三角函数和反双曲函数
1、初等函数定义 2、初等函数的性质 3、与实变函数的区别
1 Lnz n
n z
15
例5 求 1
解 1
2
2
和 i 的值.
2Ln1
i
a e
b
2
bLn a
e
e 2 k i
e
2 k 2
b[ln a i (arg a 2 k )]
cos( 2 2k) i sin( 2 2k)
其中 k 0,1,2,. 其中 k 0,1,2,.
chyi cos y,
ez ez 双曲余弦函数为 chz , (偶函数) 2 z z e e 双曲正弦函数为 shz , (奇函数) 2
(周期 2i )
shyi i sin y.
20
五、反三角函数和反双曲函数
1. 反三角函数的定义
设 z cos w, 那么称 w 为 z 的反余弦函数, 记作 w Arc cos z .
(1)e
2 i
( 2)e 3 4 i ;
( k为整数)
z x iy 解 因为e e e x (cos y i sin y )的辐角
Arge z y 2k
其辐角主值 arg e z 为区间(- , ] 内的一个辐角.
(1) Arg e 2 i 1 2k,
或者 ln( 1) ln 1 i arg( 1) i 注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数 对数函数是实变数对数函数的拓广.
10
例４ 解方程 e z 1 3i 0.
解
因为 e z 1 3i ,
所以 z Ln(1 3i ) ln 1 3i i 2k 3 ( k 0, 1, 2,) ln 2 i 2k 3
9
例３ 求 Ln 2, Ln(1) 以及与它们相应的主值.
解 （1）因为 Ln 2 ln 2 2ki ,
所以 Ln2 的主值就是 ln2.
（2）因为 Ln ( 1) ln 1 iArg( 1) ( 2k 1)i ( k为整数)
所以 Ln( 1) 的主值就是 i .
令
w u iv, z re i
e e (cos v i sin v ) re
w u
i
即 所以
e u r , v 2k
u ln r ln | z |;
v Argz
w Lnz ln z iArgz
8
ln z ln z i arg z
此函数称为复变数 的指数函数 z
4
f ( z ) e (cos y i sin y )
x
指数函数(exponential z x function) 记作: exp z e (cos y i sin y ) e
| exp z | e x ,
注：
(其中k为任何整数 ) Arg(exp z ) y 2k ,
arg e 2i 1;
( 2) e
3 4 i
;
4 2k,
arg e 3 4 i 4 2;
7
Arg e
3 4 i
二、对数函数
对数函数是一个多值函数呦!
1. 定义 满足方程 e w z ( z 0) 的函数 w f ( z )
称为对数函数 记为 w Ln z ,
u v , x y
u v y x
u v v u 1 u v f ( z ) i i . x x y y i y y
1
P34 T32
试证 arg z在原点与负实轴上不连 续。
证明：
arg z在z 0处无意义，故不连续。
当z0 x0 0时，
(1) exp z 0
(2) 加法定理仍然成立： z1 exp z2 exp(z1 z2 ) exp
(3)e 仅是代替 exp z的符号，没有幂的意义 。
z
5
重要性质：
指数函数 exp z 为周期函数, 周期是2ki。
e z 2ki e z e 2ki e z (cos 2k i sin 2k ) e z .
11
2. 对数函数的性质
ln z ln z i arg z .
z1 Ln z1 Ln z 2 , z2
(1) Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 , ( 2) Ln
（3）在除去负实轴（包括原点）的复平面内，主值支和其他 各分支处处连续，处处可导．且
1 , (Lnz ) 1 . (ln z ) z z
a b具有 q 个值, 即取 k 0,1,2,, (q 1)时相应的值.
14
2、幂函数定义
如果 a z 为一复变数, 就得到一般的幂函数 w zb;
两种特殊情况的讨论：
z n z z z
单值解析函数
1)当b n (正整数)时,
n ln| z| ( n arg z ) i z n e nLnz e n[ln| z| i (arg z 2 k )] e
a
b
与幂函数
（实数的幂
1. 乘幂的定义
复数 , 乘幂 a b 定义为 e bLna ,
a e
b
b ln a
）
设 a 为不等于零的一个复数 , b 为任意一个
即a e
b
bLna
.
b[ln a i (arg a 2 k )]
注意: (1) a e
b
bLna
e
故
ab
一般是无穷多值的
( 2)当b 为整数时, a b e bLna e b (ln a iarg a ) 2 kbi
但是
z e w 在区域 arg z 内 的反函数 w ln z 是单值的,
1 Lnz nLnz , Ln z Lnz. n
n n
d ln z 1 1 w . dz de z dw
Lnz 2 Ln( z z ) Lnz Lnz

2 Lnz
12
三、乘幂
i i e iLni e
i i 2 ki 2
e
16
3. 幂函数的解析性
(1) 幂函数 z 在复平面内是单值解析的, ( z n ) nz n1 .
n
z e
1 n
1 Lnz n
(2) 幂函数 z 是多值函数, 具有n个分支.
它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的。
| z |n [cos(n arg z ) i sin(n arg z )]
| z | (cos arg z i sinarg z ) | z | (cos arg z i sinarg z )
z z z. 1 2)当 b (分数 )时, n
z e
1 n
(4) 正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数. (sin z ) cos z , (cos z ) sin z .
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(5) | sin z | 1, | cos z | 1不再成立。
e y e y e y e y y | cos yi || || chy | | sin yi || || ishy | 2 2i
cos(x yi) cos xchy i sin xshy, (3) sin(x yi) sin xchy i cos xshy.
19
2. 双曲函数的定义
解 析 函 数
ez ez 双曲正切函数为 thz z . (奇函数) z e e ( shz ) chz, (chz ) shz . 易得:
例1 设 z x e x iy e x (cos y i sin y )
所以其模 e e
z x
e
i2z
e
i 2( x iy )
e
2 x i ( 1 2 y )
,
e
i 2 z
e
2 x
;
6
例2 求出下列复数的辐角主值:
e iw e iw 由 z cos w , 得 e 2iw 2ze iw 1 0, 2
令t e , t 2zt 1 0
a 具有单一的值.
b
e b ln a ,
13
p ( 3)当 b ( p与q为互质的整数, q 0)时, q
a e
b
p [ln a i ( arga 2 k )] q
e
p p ln a i ( arga 2 k ) q q
e
p ln a q
p p cos (arg a 2kπ ) i sin (arg a 2kπ) q q
iy iz
iz iy
iy iy e iz e iz sin z . sin y 2i
e iz cos z i sin z
欧拉公式的推广
(2) sin z 是奇函数 , cosz是偶函数 . (3) sin( z 2) sin z ,
cos( z 2) cos z .
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基本概念： 导数、微分、解析函数 基本关系： 可导与连续、可导与可微、可导与解析 重要定理： 函数在一点可导与在区域内解析的充要条件
定理二 函数 f ( z ) u( x , y ) iv( x , y ) 在其定义域 D 内 解析的充要条件是: u( x , y )与 v ( x , y ) 在 D 内可微, 并且 满足柯西－黎曼方程 .
1 n
它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,
( z b ) bz b1 .
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四、三角函数和双曲函数
1. 三角函数的定义
因为 e iy cos y i sin y, e iy cos y i sin y,
将两式相加与相减, 得
有关性质： (1)
e e e e cos y ,, cos z 22