离散系统的z域分析

一. z变换的导出
抽样信号的拉普拉斯变换→离散信号的z变换
fs t f kT t kT
f k
O T 2T
t
O 12
k
fs(t) f (t)T (t) f (t) (t kT ) f (kT ) (t kT )
k
k
对 fs (t)取拉氏变换
Fs (s) L
fs(t) L
F(z)
k
) f
1
k
2
(k)zk
k
1
k
的z变换的收敛域。 0
1 k 2
zk
1 k k1 2
zk
k 1
z 2
k
z 2
1
z 2
2
z 2
3
jIm( z)
z z2
所以, z 1 收敛域为： z 2 2
2 0
Re(z)
说明
1. 因果序列ak k 与反因果序列 ak k 1的z变换
z的负幂
f (k)zk
F z是z1的幂级数, 级数的系数是 f k, 幂 k中的k指出 f k 的位置
z1对应于一个单位延迟(右移）
考虑z1F (z) ?
z1F z Z [ f (k -1)]
三. z变换的收敛域
•收敛域
对于任意给定的序列f(k) ，能使幂级数
f (k)zk
k
收敛的所有z 值之集合为收敛域（ROC）。
表达式相同，仅仅收敛域不同：
ak k z ,
za
za
ak k 1 z ， z a
za 2. 如果因果序列的起点移到k 0之前，则变成右边序列，
其收敛域变为 a z （不包括）；
如果反因果序列的终点移到k 0之后，则变成左边序
列，其收敛域变为0 z a（不包括原点）
•双边序列的收敛域
即满足
f (k)zk 的z平面区域
k
注意：不同的f(k)可能具有相同的z变换表达式，只
是其收敛域不同。因此给出一个z变换时，必须同时
指明收敛域，该z变换才与某个时域序列唯一对应。
•有限长序列的收敛域
f (k) 0, k k1, k k2
0 z ，均有
k2
f (k)zk f (k)zk
k 0
k －
注意：一般情况下的z变换是指双边z变换，记为
F z Z f (k)或F z f (k)
单边z变换主要用于差分方程求解（求系统 响应）
对z变换式的直观理解
F (z) f (k)zk k
f (2)z2 f (1)z1
z的正幂
f (0)z0 f (1)z1 f (2)z2
•离散时间信号与系统也可以采用变换域的 方法进行分析 •离散时间信号与系统的变换域分析方法主 要有傅里叶变换和z变换两种(离散时间信 号不能进行拉普拉斯变换） •离散时间信号的傅里叶变换问题将在数字 信号处理课程中介绍，本章讨论离散时间 系统的z变换分析
§ 6.1 z变换
•z变换的导出 •z变换的定义 •z变换的收敛域 •常用离散信号的z变换
•因果序列的收敛域
F(z)
afk(zk)k ak
k 0
k0
azkk
lim
1
a z
k
1
k 1 a
z
当 a 1，即 z a 时收敛
z
F
z
1 1 a
z
z a
z
ROC： z a
例6-1-2
1
k
求信号f (k) 3
k 0的z变换的收敛域。
0
k 0
F(z)
k 0
f (k)zk
f (kT ) (t kT )
k
Fs s f (kT )L (t kT ) f (kT )eskT
k
k
引入复变量z esT ，为连续变量, 将f kT 表示为f k
Fs (s) |zesT
f (k)zk F(z)
k
对任一信号f (k)的（双边）z变换式为
F (z) f (k)zk k
ak zk
k
令m k
F (z) am zm am zm a0z0 1 amzm
m 1
m0
m0
1
m0
z a
m
1
lim
m
1
z a
m 1
1
z a
当 z 1，即 z a 时收敛 a
F
z
1
1
1
z
1
a az
z za
a
ROC:
za
例6-1-3
=2k
0
k 0
求信号x(k 1
•右边序列的ROC为 z R1 的圆外 •左边序列的ROC为 z R2的圆内
• 双边序列的ROC为 R1 z R2 的圆环（若z变
换存在）
四. 常用离散信号的z变换
•单位样本序列
(k)
(k
)
1 0
k 0 k0
Z (k) (k)zk 1 k
例6-1-4
1
k
f
(k
)
3 1
k
2
k0 k0
1 3
k
(k
)
百度文库
2k
(k
1)
j Im( z )
1/3 2
O
Re(z)
F(z) z z z 1 3 z 2
ROC:
1 z 2 3
总结
• f(k)的收敛域（ROC）为 z 平面以原点为圆心 的圆环区域
•有限长序列的ROC为整个 z 平面 （可能除去z = 0 和z = ）
k
k k1
有限长序列的收敛域为整个z平面(有时原点和除外）
例6-1-1
k1 2, k2 3
k2
3
F (z) f (k)zk f (k)zk
k k1
k 2
f (2)z2 f (1)z1 f (0)z0
z
常数
f (1)z1 f (2)z2 f (3)z3
z 0
所以，收敛域为 0 z 的z平面。
f k bk k b 0
或 f k bk k bk k 1
k0
k0
bk k z
zb
z b
f k bk
0b1 1
k
b 1 f k bk
bk
k
1
z
z b1
z b1
1
k
若 0 b 1，则b1 b，此时ROC : b z 1 b
若b 1，则b1 b， 此时F(z)不存在
k 0
1 3
k
zk
k 0
1 3z
k
1 1
1
1
lim
z
1 3z
k
3z (3z)2 (3z)3
k z 1 / 3
jIm( z)
1
若该序列收敛，则要求 1
3z
1 3
0
Re(z)
即收敛域为： z 1
3
半径为 1 的圆外 3
•反因果序列的收敛域
f (k) ak k 1
1
F(z)
注意：z变换在形式上可以由拉普拉斯变换导出，但z变换
并不就是离散时间信号的拉普拉斯变换！
拉普拉斯变换针对的是连续时间信号fs (t) ; z变换针对的是离散时间信号f (k)。
二. z变换的定义
双边z变换 单边z变换
F (z) f (k)zk k －
F (z) f (k)zk f (k) (k)zk