等比数列前n项和公式 (2)ppt课件
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等比数列的前n项和PPT课件
等比数列的前n项和ppt课件
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。
等比数列的前n项和ppt课件
S15 210
例1 ： 求通项为 an = 2n + 2n -1 的数列的前n项和
解：设 bn = 2n , 且对应的前n项和为 S′ n
cn=2n-1 , 对应的前n项和为 S″n
则 an = bn ＋cn ，Sn = S′ n+ S″n
∴ S′ n = ∴ S″n =
2 ( 1–2n) 1–2
解：
（1） Sn = ( x + x2 + … + xn ) + (
1 y
+
1 y2
+
…
+
1 yn
)
当x=1时
Sn = n +
当x≠1时
1 y
(1-
1 yn
1-
1 y
Sn = x ( 1 - xn ) + 1-x
)
yn - 1
= n + yn+1 - yn
1 y
(1-
1 yn
)
1-
1 y
x ( 1 - xn )
这首古诗的答案是什么？
分析：这首古诗前三句给大家展现了一幅美丽的夜景，最后一句把
它变成了一个数学问题？你能用今天的知识求出这首古诗的答案吗？
数学建模：已知等比数列an ，公比q=2 n=7，S7=381求a1
解：设尖头有灯a1盏，则由题意得：
S7=
a1 a1q7 即 a1 a1 27 381
先求通项，再 分组求和法
∴ Sn a1 a2 …… an
(2 1) (22 1) …… (2n 1)
2 22 …… 2n n
2(12n ) 12
n
2n1 n 2
练习
例1 ： 求通项为 an = 2n + 2n -1 的数列的前n项和
解：设 bn = 2n , 且对应的前n项和为 S′ n
cn=2n-1 , 对应的前n项和为 S″n
则 an = bn ＋cn ，Sn = S′ n+ S″n
∴ S′ n = ∴ S″n =
2 ( 1–2n) 1–2
解：
（1） Sn = ( x + x2 + … + xn ) + (
1 y
+
1 y2
+
…
+
1 yn
)
当x=1时
Sn = n +
当x≠1时
1 y
(1-
1 yn
1-
1 y
Sn = x ( 1 - xn ) + 1-x
)
yn - 1
= n + yn+1 - yn
1 y
(1-
1 yn
)
1-
1 y
x ( 1 - xn )
这首古诗的答案是什么？
分析：这首古诗前三句给大家展现了一幅美丽的夜景，最后一句把
它变成了一个数学问题？你能用今天的知识求出这首古诗的答案吗？
数学建模：已知等比数列an ，公比q=2 n=7，S7=381求a1
解：设尖头有灯a1盏，则由题意得：
S7=
a1 a1q7 即 a1 a1 27 381
先求通项，再 分组求和法
∴ Sn a1 a2 …… an
(2 1) (22 1) …… (2n 1)
2 22 …… 2n n
2(12n ) 12
n
2n1 n 2
练习
4.3.2等比数列的前n项和公式(2)课件-高二人教A版数学选择性【05】
4
把q5 4代入（1）得 a1 10 1q 3
所以S15
a1(1 q15 ) 1 q
a1 1 q
(1
(q5 )3 )
( 10) (21) 3
210
法2：利用性质速解（自主完成）
变式 2．已知各项均为实数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若
S10＝10，S30＝70，则 S40＝ ( )
数列的前n项和公式解决
实际问题
温故知新：等比数列的前n项和Sn
Sn
a1
na1 (1 q
n
(q )
1 q
1) (q 1)
因为a n
a1q n1 , 所以Sn
a1 anq 1q
注意：
(q 1)
1.当q≠1时，基本量a1,an,q,n,Sn；知三求二
2.使用公式求和时，需注意对q=1和q≠1的情况加以 讨论；
S3n S2n 3na1 2na1 na1
所以Sn，S2n Sn ，S3n S2n 成等比数列，公比为 1.
当q 1时
Sn
a1(1 qn ) 1 q
S2n
Sn
a1 (1 1
q2n ) q
a1(1 qn ) 1 q
a1qn (1 qn ) 1 q
qnSn
S3n
S2n
a1 (1 1
q3n q
2. Sn为等比数列的前n项和,Sn≠0, q≠－1或k不是偶数时, 则Sk, S2k－Sk, S3k－S2k(k∈N*)是等比数列. 性质：Sn＋m＝Sn＋qnSm⇔qn＝Sn＋Sm－m Sn(q 为公比.
基础巩固练习
1.若等比数列{an}中，Sn＝m·3n－5，则实数m＝__5___.
等比数列前n项公式2课件
（3）求证：数列{bn }是等比数列； （4）记 dn
an bn ,求{dn }的前 n项和 Sn 。
6
探究1：
1. 等比数列通项an与前n项和Sn的关系？
{an}是等比数列
Sn Aq B
n
其中A 0, q 1, A B 0.
练习1：
若等比数列{an}中，Sn＝m· 3n＋1，则
1 1 2 例3. 求和 : ( x ) ( x 2 ) y y
练习： 求数列1，x，x2，x3，…，xn，…的前n项和。
5
0.999
n个9
99
1 (x n ) y
n
1 1 2 1 3 例4：求和Sn = 2( ) 3( ) 2 2 2
练习： 求和S n 1 3 2 5 2 7 2
-1 实数m＝__________.
7
探究2：
an 的 前n项 和, 已 知Sn 是 等 比 数 列
且S10 5, S20 15.
(1).求S30 ;
35
( 2).问S10 , S20 S10 , S30 S20
是否成等比数列?
结论： S n 是等比数列an 的前n项和，
Sn≠0，
2 3
1 n n( ) 2
n 1
(2n 1) 2
a2 6, a5 18，数列{bn } 例5已知数列{an }是等差数列，
1 的前 n项和是 Tn ，且 Tn bn 1 。 2
（1）求数列{an } 的通项公式；
4 , 求{cn } 的前 n 项的和An ； （2）记 cn an an 1
2.5 等比数列的前n项和(2)
an bn ,求{dn }的前 n项和 Sn 。
6
探究1：
1. 等比数列通项an与前n项和Sn的关系？
{an}是等比数列
Sn Aq B
n
其中A 0, q 1, A B 0.
练习1：
若等比数列{an}中，Sn＝m· 3n＋1，则
1 1 2 例3. 求和 : ( x ) ( x 2 ) y y
练习： 求数列1，x，x2，x3，…，xn，…的前n项和。
5
0.999
n个9
99
1 (x n ) y
n
1 1 2 1 3 例4：求和Sn = 2( ) 3( ) 2 2 2
练习： 求和S n 1 3 2 5 2 7 2
-1 实数m＝__________.
7
探究2：
an 的 前n项 和, 已 知Sn 是 等 比 数 列
且S10 5, S20 15.
(1).求S30 ;
35
( 2).问S10 , S20 S10 , S30 S20
是否成等比数列?
结论： S n 是等比数列an 的前n项和，
Sn≠0，
2 3
1 n n( ) 2
n 1
(2n 1) 2
a2 6, a5 18，数列{bn } 例5已知数列{an }是等差数列，
1 的前 n项和是 Tn ，且 Tn bn 1 。 2
（1）求数列{an } 的通项公式；
4 , 求{cn } 的前 n 项的和An ； （2）记 cn an an 1
2.5 等比数列的前n项和(2)
等比数列前n项和公式课件PPT
等比数列的特殊前n项和
对于等比数列，当公比q=1时，前n项和公式为Sn=na1；当q=-1时，Sn=a1a1*q^n/1+q。
等比数列前n项和公式的变种
倒序相加法
错位相减法
将等比数列的前n项和公式倒序相加， 可以得到新的求和公式。
通过错位相减法，可以求出等比数列 的通项公式。
分组求和法
将等比数列分组求和，可以简化计算 过程。
公式与其他数学知识的结合
总结词：综合运用
详细描述：等比数列前n项和公式可以与其他数学知识结合使用，以解决更复杂的数学问题。例如，可以与等差数列、函数、 极限等知识结合，用于解决一些综合性数学问题。
03
等比数列前n项和公式的扩展
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和
等差数列是一种特殊的等比数列，其前n项和公式为Sn=n/2 * (a1+an)，其中 a1为首项，an为第n项。
等比数列前n项和公式的证明方法
数学归纳法
通过数学归纳法证明等比数列的前n 项和公式。
累乘法
通过累乘法证明等比数列的前n项和公 式。
04
等比数列前n项和公式的练习 与巩固
基础练习题
详细描述：通过简单的等比数列求和问题，让 学生熟悉并掌握等比数列前n项和的公式。
解题思路：利用等比数列前n项和公式，将数列中的 每一项表示为2的幂，然后求和。
05
等比数列前n项和公式的总结 与回顾
本节课的重点回顾
等比数列前n项和公 式的推导过程
等比数列前n项和公 式的适用范围和限制 条件
如何应用等比数列前 n项和公式解决实际 问题
本节课的难点解析
如何理解和掌握等比数列前n项和公 式的推导过程
对于等比数列，当公比q=1时，前n项和公式为Sn=na1；当q=-1时，Sn=a1a1*q^n/1+q。
等比数列前n项和公式的变种
倒序相加法
错位相减法
将等比数列的前n项和公式倒序相加， 可以得到新的求和公式。
通过错位相减法，可以求出等比数列 的通项公式。
分组求和法
将等比数列分组求和，可以简化计算 过程。
公式与其他数学知识的结合
总结词：综合运用
详细描述：等比数列前n项和公式可以与其他数学知识结合使用，以解决更复杂的数学问题。例如，可以与等差数列、函数、 极限等知识结合，用于解决一些综合性数学问题。
03
等比数列前n项和公式的扩展
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和
等差数列是一种特殊的等比数列，其前n项和公式为Sn=n/2 * (a1+an)，其中 a1为首项，an为第n项。
等比数列前n项和公式的证明方法
数学归纳法
通过数学归纳法证明等比数列的前n 项和公式。
累乘法
通过累乘法证明等比数列的前n项和公 式。
04
等比数列前n项和公式的练习 与巩固
基础练习题
详细描述：通过简单的等比数列求和问题，让 学生熟悉并掌握等比数列前n项和的公式。
解题思路：利用等比数列前n项和公式，将数列中的 每一项表示为2的幂，然后求和。
05
等比数列前n项和公式的总结 与回顾
本节课的重点回顾
等比数列前n项和公 式的推导过程
等比数列前n项和公 式的适用范围和限制 条件
如何应用等比数列前 n项和公式解决实际 问题
本节课的难点解析
如何理解和掌握等比数列前n项和公 式的推导过程
等比数列的前n项和公式(2)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
1 = 4.
4
所以 Sn=
1
1- 2
1
1+
2
8
3
= −
8
3
1
-2 .
8 8
= n3 3
·
8
8
= n+
3
9
1
2
1-
1
1- 2
1
1- 2
1
2
.
练习巩固
典例解析
反思感悟 数列综合问题的关注点
(1)等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点,特别是等差
与等比数列的通项公式、前n项和公式,以及等差中项、等比中项问题是
（2）将+1 − = ��( − )化成
+1 = − + . ②
比较①②的系数，可得
= 1.08,
− = −100.
解这个方程组，得
= 1.08,
= 1250.
新知探究
典例解析
所以（1）中的递推公式可以化为
（3）由（2）可知，数列{ -1250}是以-50为首项，1.08为公比的等比数
列，则
(1 −1250) + (2 −1250) + (3 −1250) + ⋯ + ( −1250)
−50 × 1 − 1.0810
=
≈ −724.8.
1 − 1.08
所以
10 =1 + 2 +3 + ⋯ +10 ≈ 1250 × 10 − 724.8 = 11775.7 ≈ 11776.
练习巩固
典例解析
题型一 等比数列前n项和的性质
例1(1)在等比数列{an}中,若S2=7,S6=91,则S4=
4
所以 Sn=
1
1- 2
1
1+
2
8
3
= −
8
3
1
-2 .
8 8
= n3 3
·
8
8
= n+
3
9
1
2
1-
1
1- 2
1
1- 2
1
2
.
练习巩固
典例解析
反思感悟 数列综合问题的关注点
(1)等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点,特别是等差
与等比数列的通项公式、前n项和公式,以及等差中项、等比中项问题是
（2）将+1 − = ��( − )化成
+1 = − + . ②
比较①②的系数，可得
= 1.08,
− = −100.
解这个方程组，得
= 1.08,
= 1250.
新知探究
典例解析
所以（1）中的递推公式可以化为
（3）由（2）可知，数列{ -1250}是以-50为首项，1.08为公比的等比数
列，则
(1 −1250) + (2 −1250) + (3 −1250) + ⋯ + ( −1250)
−50 × 1 − 1.0810
=
≈ −724.8.
1 − 1.08
所以
10 =1 + 2 +3 + ⋯ +10 ≈ 1250 × 10 − 724.8 = 11775.7 ≈ 11776.
练习巩固
典例解析
题型一 等比数列前n项和的性质
例1(1)在等比数列{an}中,若S2=7,S6=91,则S4=
数学人教A版选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式课件
a1 1 q
Sn
1 q
前
n
项
和
首
项
公
比
特殊情况：
n
项
数
a1 an q
q 1
1 q
通
项
a1 1 q n
Sn
1 q
a1 an q
Sn
1 q
回顾思考
国王需要给发明者多少粒小麦？
估计1000粒麦子的质量约为40g，那么麦粒
的总质量超过了7000亿吨，而目前世界年度
4.3.2 等比数列前n项和公式
复习回顾
等比数列的有关概念
an 1
q an 0, n N *
1. 定义:
an
2.通项公式：
an a1q
n 1
新课引入
国际象棋的传说
相传古印度的国王打算重赏国际象棋的发明者——宰相西萨。
于是，这位国王对宰相说:我可以满足你的任何要求.
陛下，赏小
等比数列求和问题
Sn a1 a2 a3 a4 an
Sn a1 a1q a1q a1q 究
问题2:当公比为时,等比数列前项和是什么呢？
Sn a1 a1q a1q a1q a1q
2
3
n -1
1
1 q
1
n
1 q
a1 , q, n, Sn , an ，五个基本量，知三求二．
特殊情况：
数学思想：特殊到一般、归纳猜想、分类讨论、方程思想。
课后作业
课本37页练习题
等差数列求和
高斯用首尾相加法来“消项”
人教版(2019)数学选择性必修二 4_3_2等比数列的前n项和公式(2)课件
大班科学长眼睛的皮肤教案反思1、大班科学长眼睛的皮肤教案反思活动目标：1、了解皮肤的特点与作用，能凭借触觉及原有经验辨认触摸对象。
2.知道护肤的重要性。
3、培养探索自然的兴趣。
4.对科学活动感兴趣，积极探索，寻找答案，感受探索的乐趣。
活动:1。
每组一个纸箱，内装毛皮玩具、树皮、羽毛、棉絮、浸泡过的塑料、木板、金属制品、棉布等容易触摸和感觉到的物品。
在纸盒的一边剪一个小洞，这样一只手可以伸进去。
2.用于蒙住眼睛的眼罩或手帕。
3.绘画用纸和铅笔各一份。
活动过程：一、神奇"紧身衣"(1) 我们身体上有一样神奇的东西，请你猜一猜它是什么?(2) 教师讲述科学小品《神奇的紧身衣》(3) 幼儿说说，皮肤有哪些"本领"，(它有触觉，能知道冷热软硬和痛痒，它能调节体温，排泄废物)应该怎样保护它?(防止烫伤、划破…….)二、不看也知道(1) 皮肤有一样了不起的本领，它碰到一样东西，不用眼睛帮忙，就能"猜"出是什么?(2)每组派一名幼儿触摸纸箱内的物品，并说出物品的名称或种类。
老师拿出物品验证猜测是否正确。
(3)每组一个纸箱，轮流蒙住眼睛触摸箱内物品，谈论物品的名称或种类。
(4)每组一个纸箱，轮流蒙住眼睛触摸箱内物品，并说出名称或型号。
(5) 取出盒中物品，用其接触其他身体部位上的皮肤，说说有什么感觉。
三、好像长了眼睛。
(1)皮肤很神奇，好像有眼睛一样。
看看谁的皮肤更神奇。
(2) 幼儿两两结伴，幼儿甲在幼儿乙背上用手指画简单的图形(或写字、写数字)，乙在纸上记录甲所画的图形。
然后，两人对换。
(3)连续做几次，看谁感觉更准确，能正确记录背面画的简单图形。
教学反思：在活动的准备中，不仅有物质方面的准备，比如：认识、感知皮肤特征和作用所用的放大镜、玻璃球、铅笔、面团、印泥等;而且还有知识方面的准备，比如：活动前几天和孩子一起收集树皮、水果皮、蔬菜皮，并让幼儿观察其变化，了解植物也有自己的皮肤等等知识方面经验的积累。
等比数列前n项和公式ppt课件
－
Sn qSn a1 a1qn
(1 q)Sn a1(1 qn )
公比q能否为1
Sn
a1(1 qn ) 1 q
乘公比错位相减法
新知讲解
当q 1时，Sn na1
等比数列的前n项和公式
na1
q=1
Sn
a1
(1
q
n
)
1 q
q≠1
典型例题-例1
已知an 是等比数列，若
a1
1 2
,
q
1 2
, 求S8
S8
a1(1 qn ) 1 q
1 2
(1
1 2
8
）
1（ -
1
）8
1-
1- 1
2
1 256
1 255
2
S8
1 255
典型例题-例2
已知an43
,q
0, 求S8
a1
27, a9
1 ,27 q8 243
1 243
q8 (1)8 3
q 0,q 1 3
新知探究
问题1：请问如何表示西萨到底要求的麦粒数？
1 2 22 23 263
问题2：仔细观察，1,2,22 ,23,24...... 263是什么数列
等比数列
问题3：1 2 22 23 263可以归结为什么数学问 题？
等比数列的前n项和求和问题
新知探究
S64 1 2 22 23 24...... 263
S8
27 [1 ( 1)8 ] 3
1（- 1）
1640 81
3
典型例题-例3
例3已知等比数列 {an }的首项为
-1，前
n项和为
S
高二上学期数学人教A版选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式课件
an bn a1 a2
an b1 b2
20 1.05n 7.5 9
6 1.5n
bn
3 2 27
n
n
7.5 6 1.5n 420 1.05 n n 420.
4
4
20
1
5%
为公比的等比数列.
n
结论2 从今年起每年以环保方式处理的垃圾量构成以 6 1.5 为首项，
1.5为公差的等差数列.
bn 6 1.5n
追问3 怎样表示每年通过填埋方式处理的垃圾总量？
答案： an bn
知识应用
例2
解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列an ，每年
例1
如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，
作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L ，作第3个
正方形IJKL ，依此方法一直继续下去.
（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；
（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些
以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列 bn ，n年内通过填埋
方式处理的垃圾总量为 S n （单位：万吨），则
S n a1 b1 a2 b2
20 1.05 20 1.052
20 1.05 1 1.05n
1 1.05
1
2
1
2
随着n的无限增大， 无限趋近
于50.
所以，所有这些正方形的面积之和将无限趋近于50.
4.3.2等比数列的前n项和课件(人教版)
2
…
+2 +2
28
29
2S30 = 2 + 22 + 23 + … + 229 + 230
1
2
S30 = 1 + 2 + 2 +
2
2S30 =
+2 +2
29
2+2 +2 + … +2 +2
2
2 一 1 得：S 30
错
…
28
位
3
29
1
作
减
30 法 2
1.07 10
= 2 1≈10.7亿元
30
1
2
)
① 1 + 2 + 22 + 23 + L + 2n =
n
1 2
（
2
）
n
n
2
1
(
1
)
n 1
②1 2 + 4 8 + 16 L + (2) =
1 ( 2 )
2
2 n
c
[
1
(
c
) ]
2
4
6
2n
③若c 0 且 c 1 ,则c + c + c + L + c =
T 30 = 100 × 30
= 3000 ( 万元
每月投资100万元，
连续30个月
)
=
第一个月月末返还1元，
第二个月月末返还2元，
第三个月月末返还4元……
每月返还数为前一月的2倍．
…
+2 +2
28
29
2S30 = 2 + 22 + 23 + … + 229 + 230
1
2
S30 = 1 + 2 + 2 +
2
2S30 =
+2 +2
29
2+2 +2 + … +2 +2
2
2 一 1 得：S 30
错
…
28
位
3
29
1
作
减
30 法 2
1.07 10
= 2 1≈10.7亿元
30
1
2
)
① 1 + 2 + 22 + 23 + L + 2n =
n
1 2
（
2
）
n
n
2
1
(
1
)
n 1
②1 2 + 4 8 + 16 L + (2) =
1 ( 2 )
2
2 n
c
[
1
(
c
) ]
2
4
6
2n
③若c 0 且 c 1 ,则c + c + c + L + c =
T 30 = 100 × 30
= 3000 ( 万元
每月投资100万元，
连续30个月
)
=
第一个月月末返还1元，
第二个月月末返还2元，
第三个月月末返还4元……
每月返还数为前一月的2倍．
等比数列的前n项和-优秀PPT课件
1
Sn
a1 anq 1 q
,q
1
na1, q 1
na1, q 1
练习1.判断是非
（ 2）n
①1 2 4 8 16 (2)n1 1 (1 2n) 1 (2)
n+1
② 1 2 22 23 2n 1 (1 2nn ) 12
③
c2
c4
c6
c2n
c2[1 (c2 )n ] 1 c2
, 14
,
1 8
,116
,
求前2n项中所有偶数项的和.
练习4
思考
资料表明，2000年我国工业废弃垃圾达 7.4×108t，每吨占地1m2，环保部门每回收或 处理1t废旧物资，相当于消灭4t工业废弃垃 圾．如果环保部门2002年共回收处理了100t 废旧物资，且以后每年的回收量递增20%． (1)2010年能回收多少吨废旧物资？ (2)从2002年到2010年底，可节约土地多少m2?
小结：
乘公比 错位相减
等比数列的 前n项和公式
q≠1,q=1 分类讨论
数学
源于生活
Sn
a1
(1 q 1q
n
)
q1
na1
q 1
知三求二
a1 anq
Sn
1q
na1
数学 用于生活
q1
q1
分组求和
方
转
程
化
思
思
想
想
课后作业：
必做：P61 A组 1、4、6题 选做：
思考题(1): 求和 x + 2 x2 + 3 x3 + + nxn .
等比数列的前n项和
选自人教A版必修5第二章第五节
高中数学同步教学课件 等比数列的前n项和公式 (2)
国王为了使自己不失信于民，于是他向发明者说：你这个提议很好，你自
己去数吧.大家知道吗，要把这些数完，如果一秒钟数一粒，大约需要5
800亿年.同学们，看来学好数学是多么的重要.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
知识梳理
等比数列的前n项和公式
已知量
首项、公比与项数
首项、公比与末项
求和 公式
a111－－qqnq≠1，
a11－－aqnqq≠1，
反思感悟
在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的，当条 件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组 求解.在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的，这是方程思 想与整体思想在数列中的具体应用.(注意：q＝1和q≠1的讨论)
思路二：当 q≠1 时，由等比数列的定义得aa21＝aa32＝…＝aan－n1＝q， 根据等比数列的性质，有aa1＋2＋aa2＋3＋……＋＋aan－n 1＝SSnn－－aa1n＝q⇒(1－q)Sn＝a1－anq， 所以当q≠1时，Sn＝a11－－aqnq，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定 义出发，运用等比数列的性质，推导出了公式，通过上述两种推导方法，
拘泥于课本，又能使问题得到解决.
问题2 同学们，现在你能帮国王算一下他需要付出多少颗麦粒吗？如果
他无法实现他的诺言，你能帮他解决吗？ 提示 S64＝1＋2＋22＋23＋…＋263＝11－－2264＝264－1＝18 446 744 073 709 551 615， 然而这个数字对国王来说是一个天文数字，显然国王无法实现他的诺言，
例1 (1)在等比数列{an}中， ①a1＝2，q＝－12 ，求S10；
S10＝a111－－qq10＝2×11－－－－1221 10＝43×1－1 0124＝324516.
己去数吧.大家知道吗，要把这些数完，如果一秒钟数一粒，大约需要5
800亿年.同学们，看来学好数学是多么的重要.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
知识梳理
等比数列的前n项和公式
已知量
首项、公比与项数
首项、公比与末项
求和 公式
a111－－qqnq≠1，
a11－－aqnqq≠1，
反思感悟
在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的，当条 件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组 求解.在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的，这是方程思 想与整体思想在数列中的具体应用.(注意：q＝1和q≠1的讨论)
思路二：当 q≠1 时，由等比数列的定义得aa21＝aa32＝…＝aan－n1＝q， 根据等比数列的性质，有aa1＋2＋aa2＋3＋……＋＋aan－n 1＝SSnn－－aa1n＝q⇒(1－q)Sn＝a1－anq， 所以当q≠1时，Sn＝a11－－aqnq，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定 义出发，运用等比数列的性质，推导出了公式，通过上述两种推导方法，
拘泥于课本，又能使问题得到解决.
问题2 同学们，现在你能帮国王算一下他需要付出多少颗麦粒吗？如果
他无法实现他的诺言，你能帮他解决吗？ 提示 S64＝1＋2＋22＋23＋…＋263＝11－－2264＝264－1＝18 446 744 073 709 551 615， 然而这个数字对国王来说是一个天文数字，显然国王无法实现他的诺言，
例1 (1)在等比数列{an}中， ①a1＝2，q＝－12 ，求S10；
S10＝a111－－qq10＝2×11－－－－1221 10＝43×1－1 0124＝324516.
4.3.2等比数列的前n项和公式课件(人教版)
( 1) (1 q )
32
m
Sm 1 q
则
（
. q 1）
n
1
Sn 1 q
∴q .
不要忘记考
2
虑q=1与q≠1
两种情况.
跟踪训练
在等比数列{an}中，设前n项和为Sn，S3= ，S6= ，求公比q .
解 : (1)q 1时, S 6 6a1 , S3 3a1 , 则S 6 2S3 , 不符合题意.
3
课堂小结
获取知识的方法
知识内容
这节课
收获了什么
思想、素
养
课堂小结
，q 1
na1
n
S
a
1
q
a1 an q
➢ 数学知识：等比数列的前n项和公式 n 1
=
，
q 1
1
q
1
q
➢数学方法： 错位相减法
➢数学思想:
转化和化归
➢数学素养:
逻辑推理、数学抽象素养、数学运算、数学
学抽象素养。
2.通过等比数列的前n项和公式
的运用，培养数学运算素养。
3.借助等比数列的前n项和公式
解决简单的实际问题，培养数学
建模素养。
新课导入
数学小故事
相传，古印度的国王打算重赏国际象棋的发明者——宰相西
萨。问他想要什么。于是，这位宰相跪在国王面前说：
2
3
1 2 2 2 2
4
263
思考：
问题1：1,2,2 2 ,23 , ,263 构成什么数列？
1
32
m
Sm 1 q
则
（
. q 1）
n
1
Sn 1 q
∴q .
不要忘记考
2
虑q=1与q≠1
两种情况.
跟踪训练
在等比数列{an}中，设前n项和为Sn，S3= ，S6= ，求公比q .
解 : (1)q 1时, S 6 6a1 , S3 3a1 , 则S 6 2S3 , 不符合题意.
3
课堂小结
获取知识的方法
知识内容
这节课
收获了什么
思想、素
养
课堂小结
，q 1
na1
n
S
a
1
q
a1 an q
➢ 数学知识：等比数列的前n项和公式 n 1
=
，
q 1
1
q
1
q
➢数学方法： 错位相减法
➢数学思想:
转化和化归
➢数学素养:
逻辑推理、数学抽象素养、数学运算、数学
学抽象素养。
2.通过等比数列的前n项和公式
的运用，培养数学运算素养。
3.借助等比数列的前n项和公式
解决简单的实际问题，培养数学
建模素养。
新课导入
数学小故事
相传，古印度的国王打算重赏国际象棋的发明者——宰相西
萨。问他想要什么。于是，这位宰相跪在国王面前说：
2
3
1 2 2 2 2
4
263
思考：
问题1：1,2,2 2 ,23 , ,263 构成什么数列？
1
4.3.2等比数列的前n项和公式课件(人教版)(2)
解：（1）由题意，得 c1 1200 ，并且 cn1 1.08cn 100 .①
（2）将 cn1 k r(cn k ) 化成 cn1 rcn rk k .②
比较①②的系数，可得
r k
1.08 rk
.解方程组得 100
r k
1.08 1250
.
所以（1）中的递推公式可以化为 cn1 1250 1.08cn 1250 .
（3）由（2）可知，数列cn 1250是以-50 为首项，1.08 为公比的等比数
列，则 c1 1250 c2 1250 c3 1250 c10 1250
50 11.0810
724.3 .
11.08
所以 S10 c1 c2 c3 c10 125010 724.3 11775.7 11776 .
量约为 63.5 万吨.
例 6 某牧场今年初牛的存栏数为 1200，预计以后每年存栏数的增长率为 8%，且在每年年底卖出 100 头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次 为 c1 ， c2 ， c3 ，….
（1）写出一个递推公式，表示 cn1 与 cn 之间的关系； （2）将（1）中的递推公式表示成 cn1 k r(cn k) 的形式，其中 k，r 为 常数； （3）求 S10 c1 c2 c3 c10 的值（精确到 1）.
2 1 3n
则 Sn 1 3 242 ，解得 n 5 .故选 A.
6.（多选）已知正项等比数列an满足 a1 2 ， a4 2a2 a3 ，若设其公比为 q，
ABD 前 n 项和为 Sn ，则( )
A. q 2
B. an 2n
C. S10 2047
D. an an1 an2
S10
25
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（1）已知
a1
4
,q
1 2
，求S10。
（2）已知 a1 1 , ak 243 , q 3 ，求Sk。
解:（1）
S10
a1(1 q10 ) 1 q
4[1 (1)10 ] 2
1 1
1023 128
2
（2）
Sk
a1 ak q 1 q
1 243 3 13
364
10
拓展训练 、深化认识
求数列1
1 2
2
6.3.3 等比数列的前n项和公式
教学过程
❖ 创设情境、提出问题 ❖ 类比联想、推导公式 ❖ 例题选讲、变式强化 ❖ 拓展训练 、深化认识 ❖ 归纳总结、内化知识 ❖ 作业布置、强化知识
3
创设情境、提出问题
数学小故事
相传，古印度的舍罕王打算重赏国际 象棋的发明者——宰相西萨·班·达依尔。 于是，这位宰相跪在国王面前说：
第3格： 22
第4格： 23
……
第63格： 262
第64格： 263
5
这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？
1 2 22 23 262 263 ?
这实际上是求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和。
S64 1 2 22 23 263 2S64 2 22 23 263 264
12
归纳总结、内化知识
小结
当q 1时，
1、等比数列前n项和：
Sn
a1 anq 1 q
Sn
a1(1 qn ) 1 q
错
位 相 减
法
当q 1时，Sn na1.
2、注意选择适当的公式，必要是分情况讨论。
3、学会建立等比数列的数学模型，来解决实际问题。
归纳总结：鼓励学生自己总结，使自身的认知结构得以提高和发1展3 。
,
2
1, 4
3
1, 8
4
1 16
,
的前n项的和.
解:
Sn
11 2
21 4
31 8
4 1 16
(n
1 2n
)
反思
(1
1) 2
(2
1) 4
(3
1) 8
(n
1 2n
)
111
1
(1 2 3
n)
( 2
4
8
2n
)
n(n 1) 2
1 2
[1 (1)n 2
1 1
]
n2 2
n
1
1 2n
2
分组求和
采用变式教学设计题组，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点
6
证思维能力的良好契机．
类比联想、 推导公式 一般地，设有等比数列： a1, a2 , a3,, an ,,
它的前n项和是： Sn a1 a2 a3 an. （1）
(1)的两边乘以q qSn a1q a2q a3q an1q anq.
由定义 qSn a2 a3 a4 an anq. （2）
这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成．通过以上形式， 11
让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识．
选用公式、变用公式、理解内化
变式练习：求和
（1
1) (2 x
1 x2 )
(n
1 xn
)(
n
N
x
0）
该题有助于培养学生对含有参数的问题 进行分类讨论的数学思想． 训练学生注意考察q是否为1的情况，突破易错点。
当q 1时， Sn na1.
Sn
a1(1 qn ) 1 q
(1) a1, an , q, Sn 和各已知 a1, n, q, Sn
三个可求第四个。
(2)注意求和公式是qn，不要和通项公
式中的qn1混淆。
(3)注意q是否等于1，如果不确定，就要
分q 1和q 1两种情况讨论。
8
例题选讲:
针对知识点精选例题，初步掌握公式运用。
作业布置、强化知识：
必做： 课本P17-18 练习6.3.3 1.2题
选做：
等比数列中，S3
7 2
,
S6
623，求an。
必做题，有助学生课后巩固提高， 选作题是注意分层教学和因材施教， 让学有余力的学生有思考的空间
14
15
(1)-(2) Sn qSn a1 anq 整理 (1 q)S n a1 anq
a a q 当q
1时，Sn
a1 anq 1 q
n
n1 1
Sn
a1(1 qn ) 1 q
当q 1时，Sn na1.
错位相减法
7
深化学生对公式的认识和理解：
等比数列的前n项和公
式当q 1时，
Sn
a1 anq 1 q
S64 264 1 ＝18,446,744,073,709,551,615
这位宰相所要求的，竟是全世界在两千年内所产 的小麦的总和！
让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为
“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思
议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培养学生的辩
例1 .写出等比数列 1,-3,9，-27…的前n项和公式并求
出数列的前8项的和。
解：因为a1
1，q
3 1
3，所以等比数列的前
n项和公式为：
Sn
1[1 (3)n ] 1 (3)
1 (3)n 4
故
S8
1 （ 3）8 4
1640
9
变式强化： 深化对公式的理解与灵活运用，巩固强化。
课堂练习 1．求等比数列中，
中职数学基础模块下册
第六章 数列6.3Leabharlann 3 等比数列的前n项和公式 教学法
1
6.3.3 等比数列的前n项和公式
教学重点、难点
❖ 教学重点：等比数列前n项和公式的推导与应用。
❖ 教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用。公式推导 所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和
方 法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学 思想，所以既是重点也是难点．
陛下，请您在这张棋盘的第一 个小格内，赏给我一粒麦子； 在第二个小格内给两粒，第三 格内给四粒，照这样下去，每 一小格都比前一小格加一倍。 陛下啊，把这样摆满棋盘上所 有64格的麦粒，都赏给您的仆 人罢！
4
鼓励学生合作讨论， 通过自己的努力解决问题， 激发进一步深入学习的兴趣和欲望。
第1格： 1
第2格： 2