初三数学圆的经典例题
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初三数学 有关圆的经典例题 1. 在半径为的⊙中,弦、的长分别为和,求∠的度数。132O AB AC BAC
分析:根据题意,需要自己画出图形进行解答,在画图时要注意AB 与AC 有不同的位置关系。
解:由题意画图,分AB 、AC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论, 当AB 、AC 在圆心O 的异侧时,如下图所示,
过O 作OD ⊥AB 于D ,过O 作OE ⊥AC 于E ,
∴∠OAD=30°,∠OAE=45°,故∠BAC=75°,
当AB 、AC 在圆心O 同侧时,如下图所示,
同理可知∠OAD=30°,∠OAE=45°,
∴∠BAC=15°
点拨:本题易出现只画出一种情况,而出现漏解的错误。
例2. 如图:△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上,⊙O 的半径为R ,⊙O 与AC 交于D ,
(1)求证:△ABC 是直角三角形;
分析:()1由为的中点,联想到垂径定理的推论,连结交于,D AB OD AB F ⋂
则AF=FB ,OD ⊥AB ,可证DF 是△ABC 的中位线;
(2)延长DO 交⊙O 于E ,连接AE ,由于∠DAE=90°,DE ⊥AB ,∴△ADF 解:(1)证明,作直径DE 交AB 于F ,交圆于E
又∵AD=DC
∴AB ⊥BC ,∴△ABC 是直角三角形。
(2)解:连结AE
∵DE 是⊙O 的直径
∴∠DAE=90°
而AB ⊥DE ,∴△ADF ∽△EDA
例3. 如图,在⊙O 中,AB=2CD ,那么( )
分析:
要比较与的大小,可以用下面两种思路进行:AB CD ⋂⋂2
解:解法(一),如图,过圆心O 作半径OF ⊥AB ,垂足为E ,
∵AF FB AF FB ⋂=⋂=,∴
在△AFB 中,有AF+FB>AB
∴选A 。
解法(二),如图,作弦DE=CD ,连结CE
在△CDE 中,有CD+DE>CE
∴2CD>CE
∵AB=2CD ,∴AB>CE
∴选A 。
例4. 如图,四边形内接于半径为的⊙,已知,ABCD 2O AB BC AD ===14
1求CD 的长。
分析:连结BD ,由AB=BC ,可得DB 平分∠ADC ,延长AB 、DC 交于E ,易得△EBC ∽△EDA ,又可判定AD 是⊙O 的直径,得∠ABD=90°,可证得△ABD ≌△EBD ,得DE=AD ,利用△EBC ∽△EDA ,可先求出CE 的长。
解:延长AB 、DC 交于E 点,连结BD
∵⊙O 的半径为2,∴AD 是⊙O 的直径
∴∠ABD=∠EBD=90°,又∵BD=BD
∴△ABD ≌△EBD ,∴AB=BE=1,AD=DE=4
∵四边形ABCD 内接于⊙O ,
∴∠EBC=∠EDA ,∠ECB=∠EAD
例5. 如图,、分别是⊙的直径和弦,为劣弧上一点,⊥AB AC O D AC DE AB ⋂
于H ,交⊙O 于点E ,交AC 于点F ,P 为ED 的延长线上一点。
(1)当△PCF 满足什么条件时,PC 与⊙O 相切,为什么?
分析:由题意容易想到作辅助线OC ,
(1)要使PC 与⊙O 相切,只要使∠PCO=90°,问题转化为使∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH 就可以了。
解:(1)当PC=PF ,(或∠PCF=∠PFC )时,PC 与⊙O 相切,
下面对满足条件PC=PF 进行证明,
连结OC ,则∠OCA=∠FAH ,
∵PC=PF ,∴∠PCF=∠PFC=∠AFH ,
∵DE ⊥AB 于H ,∴∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH=90°
即OC ⊥PC ,∴PC 与⊙O 相切。
即AD 2=DE ·DF
点拨:本题是一道条件探索问题,第(1)问是要探求△PCF 满足什么条件时,PC 与⊙O 相切,可以反过来,把PC 与⊙O 相切作为条件,探索△PCF 的形状,显然有多个答案;第(2)问也可将AD 2=DE ·DF 作为条件,寻找两个三角形相似,探索出点D 的位置。
例6. 如图,四边形是矩形,以为直径作半圆,过点ABCD ()AB BC BC O >12
D 作半圆的切线交AB 于
E ,切点为
F ,若AE :BE=2:1,求tan ∠ADE 的值。
分析:要求tan ∠ADE ,在Rt △AED 中,若能求出AE 、AD ,根据正切的定义就可以得到。ED=EF+FD ,而EF=EB ,FD=CD ,结合矩形的性质,可以得到ED 和AE 的关系,进一步可求出AE :AD 。
解:∵四边形ABCD 为矩形,∴BC ⊥AB ,BC ⊥DC
∴AB 、DC 切⊙O 于点B 和点C ,
∵DE 切⊙O 于F ,∴DF=DC ,EF=EB ,即DE=DC+EB ,
又∵AE :EB=2:1,设BE=x ,则AE=2x ,DC=AB=3x ,
DE=DC+EB=4x ,
在Rt △AED 中,AE=2x ,DE=4x ,
点拨:本题中,通过观察图形,两条切线有公共点,根据切线长定理,得到相等线段。
例7. 已知⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点,且点O 2在⊙O 1上,
(1)如下图,AD 是⊙O 2的直径,连结DB 并延长交⊙O 1于C ,求证CO 2⊥AD ;
(2)如下图,如果AD 是⊙O 2的一条弦,连结DB 并延长交⊙O 1于C ,那么CO 2所在直线是否与AD 垂直?证明你的结论。
分析:(1)要证CO 2⊥AD ,只需证∠CO 2D=90°,即需证∠D+∠C=90°,考虑到AD 是⊙O 2的直径,连结公共弦AB ,则∠A=∠C ,∠DBA=90°,问题就可以得证。
(2)问题②是一道探索性的问题,好像难以下手,不妨连结AC ,直观上看,AC 等于CD ,到底AC 与CD 是否相等呢?考虑到O 2在⊙O 1上,连结AO 2、DO 2、BO 2,可得∠1=∠2,且有△AO 2C ≌△DO 2C ,故CA=CD ,可得结论CO 2⊥AD 。
解:(1)证明,连结AB ,AD 为直径,则∠ABD=90°
∴∠D+∠BAD=90°
又∵∠BAD=∠C ,∴∠D+∠C=90°
∴∠CO 2D=90°,∴CO 2⊥AD
(2)CO 2所在直线与AD 垂直,
证明:连结O 2A 、O 2B 、O 2D 、AC
在△AO 2C 与△DO 2C 中
∵∠O 2BD=∠O 2AC ,又∠O 2BD=∠O 2DB ,∴∠O 2AC=∠O 2DB
∵O 2C=O 2C ,∴△AO 2C ≌△DO 2C ,∴CA=CD ,
∴△CAD 为等腰三角形,
∵CO 2为顶角平分线,∴CO 2⊥AD 。
例8. 如下图,已知正三角形ABC 的边长为a ,分别为A 、B 、C 为圆心, 积S 。(图中阴影部分)
分析:阴影部分面积等于三角形面积减去3个扇形面积。
解:S a S a a ABC △扇,×·===3433628
222ππ() 分析:因三个扇形的半径相等,把三个扇形拼成一个扇形来求,因为∠A+∠B+∠C=180°, 原题可在上一题基础上进一步变形:⊙A 1、⊙A 2、⊙A 3…⊙A n 相外离,它们的半径都是1,顺次连结n 个圆心得到的n 边形A 1A 2A 3…A n ,求n 个扇形的面积之和。
解题思路同上。
解:()n -22
π 一、填空题(10×4=40分)
1. 已知:一个圆的弦切角是50°,那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为___________。
2. 圆内接四边形ABCD 中,如果∠A :∠B :∠C=2:3:4,那么∠D=___________度。
3. 若⊙O 的半径为3,圆外一点P 到圆心O 的距离为6,则点P 到⊙O 的切线长为___________。
4. 如图所示CD 是⊙O 的直径,AB 是弦,CD ⊥AB 于M ,则可得出AM=MB ,AC BC ⋂=⋂等多
个结论,请你按现有的图形再写出另外两个结论:___________。
5. ⊙O 1与⊙O 2的半径分别是3和4,圆心距为43,那么这两圆的公切线的条数是___________。
6. 圆柱的高是13cm ,底面圆的直径是6cm ,则它的侧面展开图的面积是___________。
7. 已知:如图所示,有一圆弧形桥拱,拱的跨度AB=16cm ,拱高CD=4cm ,那么拱形的半径是___________。