函数的解析式及其定义域

函数的解析式及其定义域

一、求函数解析式的题型主要有：

1.已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；

2.已知求或已知求：换元法、配凑法；

3.已知函数图像，求函数解析式；

4.满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另个等式：解

方程组法；

5.应用题求函数解析式常用方法待定系数法．

二、求函数定义域一般有三类问题：

1.给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的

取值集合；

2.实际问题中函数的定义域除要考虑解析式有意义外，还应考虑使

实际问题有意义；

3.已知的定义域求的定义域或已知的定义域求的定义域：

①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三

角函数）的定义域；

②若已知的定义域，其复合函数的定义域应由解出.

知识点1 求函数解析式

求函数解析式主要是根据己知条件采用合适的方法求出函数的表达式。在求函数定义域的过程中一定要根据函数自变量的取值范围确定函数的定义域，特别是在应用换元法求函数解析式和一些实际应用问题中。

【例题1】己知f(x)是二次函数，若f(0)=0，且f(x+1)=f(x)+x+1,试

求f(x)的解析式。

【分析】已知函数类型，求函数的解析式，考虑待定系数法

【答案】解：设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由知c=0,所以(x)= ax2+bx,又f(x+1)=f(x)+x+1，所以a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1，即ax2+

(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1,故有2a+b=b+1,a+b=1,所以a=b=.因

此，f(x)=x2+x

【点评】当函数类型确定时求解析式，可采用待定系数法。设出字母为系数的函数的一般式，再寻求字母满足的等到量关系式，列出字母的方程解决问题。.

巩固练习 己知函数f(x)=x2,g(x)一次函数，且为增函数，又f[g(x)]=4x2-20x+25.求g(x)的解析式。

【例题2】（1）已知，求；

（2）已知，求.

【分析】己知复合函数,可考虑换元法,第(1)题除换元法外还可用配凑法.

【答案】解：（1）(配凑法)∵，

∴（或）．

（2）(换元法)令（），则，∴，∴

【点评】换元后一定注意确定新元的取值范围,如本例（2）中令，则t 的范围是的范围，所以.

巩固练习己知f(x-2)=3x-5,求f(x).

【例题3】已知满足，求．

【分析】因为与互为倒数,所以可再构造等式,通过解方程组求解.

【答案】（4）…①，把①中的换成，得… ②，

①②得，∴．

【点评】应用解方程组法求解析式,必须准确把握己知条件中未知量的多个表达式之间的关系.常见的有两种类型:倒数型、相反数型。

巩固练习 已知是一次函数，且满足，求.

知识点2 求函数定义域

求函数定义域实质是求使函数有意义的x的取值集合(实际问题还应考虑实际意义)，对于常见函数如分式函数、无理函数、对数函数、三角函数和各种不常见类型的函数定义域的求法及复合函数定义域的求法必须熟练掌握。

【例题4】已知函数的定义域为，函数的定义域为，则

【分析】先求出集合再判断.

【答案】解：，，

令且，故

【点评】此类题象上述解法一样将函数转化为具体函数求定义域比按复合函数求定义域要简单.

巩固练习 求函数定义域.

【例题5】求函数的定义域.

【分析】因为函数中含有参数,所以应讨论.

【答案】由，解得①

当时，①不等式解集为；当时，①不等式解集为，

∴的定义域为．

【点评】当时，①不等式解集为,不符合函数的定义,所以此种情况不合

题意.

巩固练习 己知函数y=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1]的定义域为R，求实数a的

取值范围。

【例题6】已知的定义域为，求的定义域。

【分析】按复合函数定义域求解。

【答案】 解：的定义域为,即-1,所以，因为与是同一对应法则，所以

与的取值范围相同。即解得。所以的定义域为。 【点评】求函数义域就是求x的取值范围，如在例6中不能求出的范围作

为函数定义域。

巩固练习 己知的定义域是[-2，3]，求的定义域。

【例题7】我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采取价格调控等手段来达到节约用水的目的，某地用水收费的方法是：水费＝基本费＋

超额费＋损耗费．若每月用水量不超过最低限量时，只付基本费8元

和每月每户的定额损耗费元；若用水量超过时，除了付同上的基本

费和定额损耗费外，超过部分每付元的超额费．已知每户每月的定

额损耗费不超过5元．

该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费如下表所示：

月份用水量水费（元）

1 2 39

15

22

9

19

33

根据上表中的数据，求、、．

【分析】先写出函数解析式，再根据表中数据列出、、的等量关系式进而求出、、.

【答案】解：设每月用水量为，支付费用为元，则有

因为若每月用水量不超过最低限量时，只付基本费8元和每月每户的定额损耗费元又已知每户每月的定额损耗费不超过5元,所以如果每月支付水费不超过13元,则该月用水量一定超过最低限量.由表知第二、第三月份的水费均大于13元，故用水量15，22均大于最低限量，于是就有

，解之得，从而

再考虑一月份的用水量是否超过最低限量，不妨设，将代入（2）

式，得，即，这与（3）矛盾．∴．

从而可知一月份用水不超过最低限量,所以一月份支付水费应选（1）式，因此，就有，得．