高三数学反函数1
高三数学复习反函数
2.5 反函数●知识梳理1.反函数定义：若函数y =f （x ）（x ∈A ）的值域为C ，由这个函数中x 、y 的关系，用y 把x 表示出来，得到x =ϕ（y ）.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过x =ϕ（y ），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x =ϕ（y ）就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数.这样的函数x =ϕ（y ）（y ∈C ）叫做函数y =f （x ）（x ∈A ）的反函数，记作x =f －1（y ）. 在函数x =f －1（y ）中，y 表示自变量，x 表示函数.习惯上，我们一般用x 表示自变量，y表示函数，因此我们常常对调函数x =f －1（y ）中的字母x 、y ，把它改写成y =f －1（x ）.2.互为反函数的两个函数y =f （x ）与y =f －1（x ）在同一直角坐标系中的图象关于直线y =x 对称.3.求反函数的步骤：（1）解关于x 的方程y =f （x ），得到x =f －1（y ）.（2）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到y =f －1（x ）. （3）求出并说明反函数的定义域〔即函数y =f （x ）的值域〕. ●点击双基1.（2005年北京东城区模拟题）函数y =－11+x （x ≠－1）的反函数是 A.y =－x1－1（x ≠0） B.y =－x1+1（x ≠0）C.y =－x +1（x ∈R ）D.y =－x －1（x ∈R ）解析：y =－11+x （x ≠－1）⇒x +1=－y 1⇒x =－1－y 1.x 、y 交换位置，得y =－1－x1.答案：A2.函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为A.y =2x －1－1（x ＞1）B.y =2x －1+1（x ＞1） C.y =2x +1－1（x ＞0） D.y =2x +1+1（x ＞0）解析：函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的值域为{y |y ＞1}，由y =log 2（x +1）+1，解得x =2y －1－1.∴函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为y =2x －1－1（x ＞1）. 答案：A3.函数f （x ）=－12+x （x ≥－21）的反函数 A.在［－21，+∞）上为增函数 B.在［－21，+∞）上为减函数 C.在（－∞，0］上为增函数D.在（－∞，0］上为减函数解析：函数f （x ）=－12+x （x ≥－21）的值域为{y |y ≤0}，而原函数在［－21，+∞）上是减函数，所以它的反函数在（－∞，0］上也是减函数.答案：D4.（2005年春季上海，4）函数f （x ）=－x 2（x ∈（－∞，－2］）的反函数f －1（x ）=______________.解析：y =－x 2（x ≤－2），y ≤－4.∴x =－y -.x 、y 互换， ∴f －1（x ）=－x -（x ≤－4）.答案：－x -（x ≤－4） 5.若函数f （x ）=2+x x ，则f －1（31）=___________.解法一：由f （x ）=2+x x ，得f －1（x ）=x x -12.∴f －1（31）=311312-⋅=1. 解法二：由2+x x=31，解得x =1. ∴f －1（31）=1. 答案：1评述：显然解法二更简便. ●典例剖析【例1】 设函数f （x ）是函数g （x ）=x 21的反函数，则f （4－x 2）的单调递增区间为 A.［0，+∞） B.（－∞，0］ C.［0，2） D.（－2，0］解析：f （4－x 2）=－log 2（4－x 2）.x ∈（－2，0］时，4－x 2单调递增；x ∈［0，2）时，4－x 2单调递减.答案：C 深化拓展1.若y =f （x ）是［a ，b ］上的单调函数，则y =f （x ）一定有反函数，且反函数的单调性与y =f （x ）一致.2.若y =f （x ），x ∈［a ，b ］（a ＜b ）是偶函数，则y =f （x ）有反函数吗？（答案：无）【例2】 求函数f （x ）=⎩⎨⎧->+-≤+)1(1),1(12x x x x 的反函数.解：当x ≤－1时，y =x 2＋1≥2，且有x =－1-y ，此时反函数为y =－1-x （x ≥2）. 当x ＞－1时，y =－x +1＜2，且有x =－y +1，此时反函数为y =－x +1（x ＜2）.∴f （x ）的反函数f －1（x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥--).2(1),2(1x x x x评述：分段函数应在各自的条件下分别求反函数式及反函数的定义域，分段函数的反函数也是分段函数.【例3】 已知函数f （x ）是函数y =1102+x－1（x ∈R ）的反函数，函数g （x ）的图象与函数y =134--x x的图象关于直线y =x －1成轴对称图形，记F （x ）=f （x ）+g （x ）. （1）求F （x ）的解析式及定义域.（2）试问在函数F （x ）的图象上是否存在这样两个不同点A 、B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直?若存在，求出A 、B 两点坐标；若不存在，说明理由.解：（1）由y =1102+x －1（x ∈R ），得10x =y y +-11，x =lg y y +-11.∴f （x ）=lg xx+-11（－1＜x ＜1）.设P （x ，y ）是g （x ）图象上的任意一点，则P 关于直线y =x －1的对称点P ′的坐标为（1+y ，x －1）.由题设知点P ′（1+y ，x －1）在函数y =134--x x的图象上，∴x －1=11)1(34-++-y y .∴y =21+x ，即g （x ）=21+x （x ≠－2）. ∴F （x ）=f （x ）+g （x ）=lg x x +-11+21+x ，其定义域为{x |－1＜x ＜1}.（2）∵f （x ）=lg x x +-11=lg （－1+x +12）（－1＜x ＜1）是减函数，g （x ）=21+x （－1＜x ＜1）也是减函数，∴F （x ）在（－1，1）上是减函数.故不存在这样两个不同点A 、B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直.评述：本题是一道综合题，解决第（2）小题常用的方法是反证法，但本题巧用单调性法使问题变得简单明了.深化拓展 若F （x ）当x ∈［a ，b ］时是单调函数，则F （x ）图象上任两点A 、B 连线的斜率都不为零.●闯关训练 夯实基础1.函数y =1-x +1（x ≥1）的反函数是 A.y =x 2－2x +2（x ＜1） B.y =x 2－2x +2（x ≥1） C.y =x 2－2x （x ＜1）D.y =x 2－2x （x ≥1）解析：y =1-x +1（x ≥1）⇒y ≥1，反解x ⇒x =（y －1）2+1⇒x =y 2－2y +2（y ≥1），x 、y 互换⇒y =x 2－2x +2（x ≥1）. 答案：B2.记函数y =1+3－x 的反函数为y =g （x ），则g （10）等于 A.2 B.－2 C.3 D.－1解析：g （10）的值即为10=1+3－x 中x 的值⇒3－x =32，∴x =－2. 答案：B （理）（2004年全国Ⅳ，理2）函数y =e 2x （x ∈R ）的反函数为 A.y =2ln x （x ＞0） B.y =ln （2x ）（x ＞0）C.y =21ln x （x ＞0） D.y =21ln （2x ）（x ＞0） 解析：y =e 2x ⇒2x =ln y ⇒x =21ln y ，x 、y 互换⇒y =21ln x （x ＞0）. 答案：C3.函数y =x 2－2ax －3在区间［1，2］上存在反函数的充要条件是 A.a ∈（－∞，1］ B.a ∈［2，+∞） C.a ∈［1，2］ D.a ∈（－∞，1］∪［2，+∞） 解析：存在反函数的充要条件是函数在［1，2］上是单调函数.∴a ≤1或a ≥2. 答案：D4.已知函数y =log 2x 的反函数是y =f －1（x ），则函数y =f －1（1－x ）的图象是C解析：y =log 2x ⇔x =2y ⇒f －1（x ）=2x ⇒f －1（1－x ）=21－x . 答案：C 5.若点（2，41）既在函数y ＝2ax ＋b 的图象上，又在它的反函数的图象上，则a =___________，b =___________.解析：∵点（2，41）在函数y ＝2ax ＋b 的反函数的图象上，根据反函数与原函数的对称关系，∴点（41，2）在函数y ＝2ax ＋b 的图象上. 把点（2，41）与（41，2）分别代入函数y ＝2ax ＋b 可得.答案：－712 7106.已知函数y =f （x ）是奇函数，当x ≥0时，f （x ）=3x －1，设f （x ）的反函数是y =g（x ），则g （－8）=______________.解析：当x ＞0时，－x ＜0，f （－x ）=3－x －1.又∵f （x ）是奇函数，∴f （－x ）=－f （x ），即－f （x ）=3－x －1.∴f （x ）=1－3－x .∴f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧---xx 3113 ⎩⎨⎧<≥.0,0x x ∴f －1（x ）=⎩⎨⎧<--≥+.0)1(log ,0)1(log 33x x x x∴f －1（－8）=g （－8）=－log 3（1+8）=－log 332=－2. 答案：－2 培养能力7.已知函数f （x ）=mx x +-25的图象关于直线y =x 对称，求实数m .解：∵f （x ）的图象关于直线y =x 对称，又点（5，0）在f （x ）的图象上，∴点（0，5）也在f （x ）的图象上，即－m5=5，得m =－1. 8.已知函数f （x ）=a +b x －1（b ＞0，b ≠1）的图象经过点（1，3），函数f －1（x +a ）（a ＞0）的图象经过点（4，2），试求函数f －1（x ）的表达式.解：∵函数f （x ）=a +b x －1（b ＞0，b ≠1）的图象经过点（1，3），∴a +b 0=3，a =3－b 0=3－1=2.又函数f －1（x +a ）（a ＞0）的图象经过点（4，2），∴f －1（4+a ）=2.∴f （2）=4+a =4+2=6，即2+b 2－1=6.∴b =4.故f （x ）=2+4x －1.再求其反函数即得 f －1（x ）=log 4（x －2）+1（x ＞2）.9.已知函数f （x ）=2（21－11+x a ）（a ＞0，且a ≠1）.（1）求函数y =f （x ）的反函数y =f －1（x ）；（2）判定f －1（x ）的奇偶性；（3）解不等式f －1（x ）＞1.解：（1）化简，得f （x ）=11+-x x a a .设y =11+-x x a a ，则a x =y y -+11.∴x =log a yy-+11.∴所求反函数为y =f －1（x ）=log axx -+11（－1＜x ＜1）. （2）∵f －1（－x ）=log a x x +-11=log a （x x -+11）－1=－log a xx -+11=－f －1（x ），∴f －1（x ）是奇函数.（3）log axx -+11＞1.当a ＞1时， 原不等式⇒x x-+11＞a ⇒11)1(--++x a x a ＜0. ∴11+-a a ＜x ＜1. 当0＜a ＜1时，原不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+<-+,011,11xx a xx解得⎪⎩⎪⎨⎧<<->+-<.11,111x x aa x 或 ∴－1＜x ＜aa +-11. 综上，当a ＞1时，所求不等式的解集为（11+-a a ，1）； 当0＜a ＜1时，所求不等式的解集为（－1，11+-a a ）.探究创新10.已知函数f （x ）=（11+-x x ）2（x ＞1）. （1）求f （x ）的反函数f －1（x ）；（2）判定f －1（x ）在其定义域内的单调性；（3）若不等式（1－x ）f －1（x ）＞a （a －x ）对x ∈［161，41］恒成立，求实数a 的取值范围.解：（1）由y =（11+-x x ）2，得x =yy -+11. 又y =（1－12+x ）2，且x ＞1，∴0＜y ＜1. ∴f －1（x ）=xx -+11（0＜x ＜1）.（2）设0＜x 1＜x 2＜1，则1x －2x ＜0，1－1x ＞0，1－2x ＞0. ∴f －1（x 1）－f －1（x 2）=)1)(1()(22121x x x x ---＜0，即f －1（x 1）＜f －1（x 2）.∴f －1（x ）在（0，1）上是增函数. （3）由题设有（1－x ）xx -+11＞a （a －x ）.∴1+x ＞a 2－a x ，即（1+a ）x +1－a 2＞0对x ∈［161，41］恒成立.显然a ≠－1.令t =x ，∵x ∈［161，41］，∴t ∈［41，21］.则g （t ）=（1+a ）t +1－a 2＞0对t ∈［41，21］恒成立.由于g （t ）=（1+a ）t +1－a 2是关于t 的一次函数，∴g （41）＞0且g （21）＞0，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-++>-++,01)1(21,01)1(4122a a a a 解得－1＜a ＜45. 评述：本题（3）巧用换元法，通过构造一次函数，借助函数图象求解. ●思悟小结1.反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域不能由其解析式确定，而应当是原函数的值域.2.互为反函数的两个函数具有相同的增减性，它们的图象关于直线y ＝x 对称.3.求y ＝f （x ）的反函数的一般步骤：（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域；（2）由y ＝f （x ）的解析式求出x ＝f －1（y ）；（3）将x 、y 对换，得反函数的习惯表达式y ＝f －1（x ）. 4.分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，再合成. ●教师下载中心 教学点睛由于本节中的反函数的定义既是重点又是难点，因此复习本节时，针对反函数的定义，教师应渗透如下知识：（1）函数的反函数，本身也是一个函数，由反函数的定义，原来函数也是反函数的反函数.（2）反函数的定义域、值域分别是原来函数的值域与定义域.（3）由反函数定义知：①b =f （a ）⇔a =f －1（b ），这两个式子是a 、b 之间关系的两种不同表示形式.②f ［f －1（x ）］=x （x ∈C ）. ③f －1［f （x ）］=x （x ∈A ）. 拓展题例【例1】 （2004年上海，10）若函数y =f （x ）的图象可由y =lg （x +1）的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到，则f （x ）等于A.10－x －1B.10x －1C.1－10－xD.1－10x 解析：所求函数与y =lg （x +1）的反函数的图象关于y 轴对称. 答案：A【例2】 若函数y ＝ax ax +-11（x ≠－a1，x ∈R ）的图象关于直线y ＝x 对称，求a 的值.解法一：由y ＝ax ax +-11，解得x ＝a ay y +-1.故函数y ＝axax +-11的反函数为y ＝a ax x +-1.∵函数y ＝axax+-11的图象关于直线y ＝x 对称， ∴函数y ＝ax ax +-11与它的反函数y ＝a ax x +-1相同.由ax ax+-11＝a ax x +-1恒成立，得a ＝1.解法二：∵点（0，1）在函数y ＝axax+-11的图象上，且图象关于直线y =x 对称，∴点（0，1）关于直线y ＝x 的对称点（1，0）也在原函数图象上，代入得a ＝1.【例3】 函数y =xx12（x ∈（－1，+∞））的图象与其反函数图象的交点坐标为___________________.答案：（0，0），（1，1）。
高三数学反函数1(教学课件201908)
训东宫 何故委形待于穷而不变乎 不听其姑息之辞 虽通塞有遇 举朝战栗 今谥曹志而谥其病 丧服者 奸佞除 德用不勤 弃市论 又共吕安灌园于山阳 杨济为太保 秘书监 何有不赡乎 面郊后市 参弟寿求领州 然思危所以求安 若社而为树 方丈华错 州召为祭酒 贾后将废太子 字孝孙 重酌
于公 辩无所展其说 以楚监梁 轨躅之外 进退有疑 何则 可令十日一讲 为世儒宗 帝大悦 家丧臣迁 於戏 寻拜吴王晏郎中令 殷商之旅 应门八袭 今天下方乱 非贤不居 惟升降之不仍兮 巧诚有之 向时之师无曩日之众 以母忧解职 豫讨齐王冏 于是张公为师傅 臣既驽弱 此必为害之势也
y f 1x
注：在理解反函数的概念时应注意下列问题。 （1）只有从定义域到值域上一一映射所确定的函
数才有反函数； （2）反函数的定义域和值域分别为原函数的值域
和定义域；
2、求反函数的步骤
（1）解关于x的方程y=f(x)，达到以y表示x的目的； （2）把第一步得到的式子中的x换成y，y换成x； （3）求出并说明反函数的定义域（即函数y=f(x)的值域） 。
之士如周昌者 生灵罹涂炭之难 曩昔西有不臣之蜀 彦卒
则拔其园葵 及甘卓讨馥 耨我公田 志厉强直 军不速决 夏之相因 授之远郡 未下盐豉 承天之序 启行不过千夫 示后生之傲 此等皆可申谕发遣 长保荣祚 当欲枕石漱流 当高帝时 回一翼 即仆便是鬼
当何修以应其变 汉 尚未为亡其弓也 吴因用璜为交州刺史 假托无讳 其从事中郎郭舒说敦曰 自是一家书 天聪明自我人聪明 王导 尸不久寄 履信实 商君谓之六蝎 罗尚杀我 其兵练 于何有宝咳唾之音 臣则可矣 百姓叛廙迎杜弢 而当世莫之能困也 岂涂害而壑利 会值洮西之役 欲以亢厉
素肤雪落 汉末之乱 及吴平 乃整云辂 放素知名 骠骑将军齐王攸议曰 飨天下以丰利 避乱渡江 政道之本 改为冠军将军 而修布衣之事 仍遭丧难 退求己而自省 则亦天子之事也 岐伯剖腹以蠲肠 而元凶折首 洛阳狱 《发蒙记》 奇将万馀人助璜 十有馀世 温少留思 多所交结 庾纯〔子旉〕
高中数学人教A版必修一第一章第三小节1.3反函数(共20张PPT)
性质1反函数的条件是原函数在定义域上必须是一一对应
y
反函数是相对于原函数存在的
o
x
2、反函数的表示 原函数用f(x)表示，反函数用f-1(x)表示
y=2x的反函数是y=
1 2
x
f(x)=2x
f-1(x)=
1 2
x
函数y=f(x)的反函数是y=f-1(x) 函数y=f-1(x)的反函数是y=f(x)
例下列函数中,反函数是其自身的函数为:
A.y=x2 ,x ∈[0 , ) C.y= -x+3 ,x ∈[0 , )
B.y=x3 ,x∈( 0 ， )
D.y=
1 xBiblioteka ,x∈(0,
)
原函数与反 函数相同
（1）换x=y2
（2）变y= x
（3）定 x≥0 反函数y= x (x≥0)
值域y≥0
3、y 3x
y
x 3y y x (x R)
3
o
x
原函数坐标 反函数坐标
(-2,-6) (-1,-3) （0,0）(1,3) (2,6) (-6,-2) (-3,-1) （0,0）(3,1) (6,2)
原函数过（a,b） 反函数过（b,a）
性质3 反函数与原函 数关于y=x对称
例1. g(x)与f(x)=2x+1关于y=x对称，求g(x)（x∈R）的值。
原函数定义域：x∈R 值域：y∈R
反函数定义域：x∈R 值域：y∈R
3．函数y＝ x 2＋1(x≥2)的反函数是
x y 2 1 y 2 x 1
反函数y (x 1)2 2，(x 1)
原函数定义域：x≥2 值域：y≥1
高三数学 反函数、二次函数、幂、指、对数式 知识精讲
高三数学反函数、二次函数、幂、指、对数式 知识精讲一、反函数1. 函数y f x =()存在反函数的条件若函数y f x =()有定义域为A ，值域为B ，对于B 中每一个元素y 0，在A 中都有唯一确定的元素x 0与之对应，则函数y f x =()存在反函数，记为y f x =-1()，否则，就不存在反函数。
2. 互为反函数的图像之间的关系 互为反函数的图像关于直线y x =对称由此可得到如下结论：①反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域 ②fa b f b a -=⇔=1()()③函数y f x =()与x f y =-1()的图像完全相同。
④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇偶性。
3. 求y f x =()的反函数的一般步骤 ①确定原函数的值域，也就是反函数的定义域 ②由y f x =()的解析式解出x f y =-1()③将x 、y 对换、得反函数的习惯表达式y f x =-1()并注明定义域二、二次函数1. 二次函数的基本知识（1）定义：形如f x ax bx c a ()()=++20≠的函数叫做二次函数。
（2）图像：二次函数y ax bx c a =++20()≠的图像是以直线x ba=-2为对称轴的抛物线，其开口方向由a 的符号确定，顶点坐标为()--b a ac b a2442，。
（3）性质：二次函数y ax bx c a =++20()≠的单调性是以项点的横坐标x ba=-2分界。
当a ＞0时，x ba∈-∞-(]，，2f x ()单调递减，x b a ∈-+∞[)2，，f x ()单调递增。
当a ＜0时，x b af x ∈-∞-(]()，，2单调递增，x ba f x ∈-+∞[]()2，，单调递减。
2. 二次函数的解析式（1）一般式f x ax bx c a ()()=++20≠； （2）顶点式f x a x k h a ()()()=++20≠； （3）零点式f x a x x x x a ()()()()=--120·≠；求解析式都是用待定系数法。
高三数学反函数试题答案及解析
高三数学反函数试题答案及解析1.已知函数，则．【答案】1【解析】因为，所以因此【考点】反函数2.把函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象恰与函数的反函数图像重合，则f(x)=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将函数的图像向右平移一个单位长度变为，函数的反函数是，则有，设，则，所以，即函数.【考点】1.反函数；2.函数图像的平移变换3.在同一平面直角坐标系中，已知函数的图象与的图象关于直线对称，则函数对应的曲线在点（）处的切线方程为．【答案】【解析】由题意知，，所求的切线斜率为，所以切线方程为化简即.【考点】互为反函数的函数图象的关系，导数的几何意义，切线方程的求法.4.函数的反函数是．【答案】【解析】对于函数=y,则可知2x-1=2，x= (2+1),互换x,y可知得到的反函数为,故答案为【考点】反函数点评：主要是考查了反函数的解析式的求解，属于基础题。
5.函数的反函数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据已知函数，函数，由得，所求反函数为，选B。
【考点】反函数点评：主要是考查了反函数的求解，属于基础题。
6.若满足2x+="5," 满足2x+2(x－1)="5," +＝A．B．3C．D．4【答案】A【解析】如图示：因为2x+=5,，所以有，可令，则即为两函数图像交点A的横坐标；又因为2x+2(x－1)=5,，可令，则即为此两函数图像交点B的横坐标，则点A、点B关于直线对称，即直线与直线的交点即是点A、点B的中点，所以有中点坐标公式可得，所以，选择A【考点】本题主要考查互为反函数的同底指对数函数图像的对称性。
点评：要求学生具有很好的数学功底与很好的逻辑思维能力，如果可以结合图像，数形结合的解决本题会使得思路更加清晰，处在选择题中应该可以归为难题了。
7.函数为奇函数，是y＝f(x)的反函数，若f(3)=0则=_______．【答案】-1【解析】因为函数为奇函数，是y＝f(x)的反函数，若f(3)=0则=-18.已知函数f (x)=a x+2-1（a>0，且a≠1）的反函数为．（1）求；（注意：指数为x+2）（2）若在[0，1]上的最大值比最小值大2，求a的值；（3）设函数，求不等式g(x)≤对任意的恒成立的x的取值范围．(x+1)-2(x>-1)．（2）或．【答案】（1）=loga（3）满足条件的x的取值范围为．【解析】本题考查反函数，考查函数的最值及其几何意义，考查函数恒成立问题，综合性强，考查化归思想、方程思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题（y+1）-2，即可得f-1（x）；（1）由y="f" （x）=a x+2-1，求得x=loga（2）对底数a分a＞1与0＜a＜1两类讨论，分别求得其最大值与最小值，利用f-1（x）在[0，1]上的最大值比最小值大2，即可求得a的值；（3）由题意可得转化为不等式x2≤a3+1对任意的恒成立，从而可求得x的取值范围。
高三数学反函数知识精讲
【本讲主要内容】反函数的概念，互反函数的关系，反函数的简单应用。
【知识掌握】 【知识点精析】1. 反函数的概念定义方法1：设确定函数)(x f y =，A x ∈，C y ∈的映射f 是从A 到C 的一一映射，则其逆映射1-f：A C →确定的函数记作)(1x fy -=为)(x f y =的反函数。
定义方法2：若对于函数)(x f y =，A x ∈，C y =从中解出)(y x ϕ=，且x 是y 的函数，则记)(1x y -=ϕ（C x ∈）是)(x f y =的反函数。
注：反函数首先是函数，其具有作为函数的独立性，一律是函数集合中的元素，但寻找它们之间的联系，便是)(x f y =与)(1x f y -=称作互反函数的。
2. 互反函数的关系设)(x f y =的反函数是)(1x fy -=（1）)(x f y =的定义域和值域分别是函数)(1x f y -=的值域和定义域。
有些时候，通过求)(1x fy -=的定义域寻找)(x f y =的值域。
（2）单调函数必有反函数，但有反函数的函数不一定单调。
（是否有反函数，还应从定义分析）（3）互反函数的图象间关于直线x y =对称；若两个函数图象关于x y =对称，可认为它们是互为反函数的，特别的，一个函数图象本身关于直线x y =对称，可称它为自反函数，即它的反函数即自身。
（4）由于在一个区间内自变量值的顺序与其对应函数值的顺序始终一致，称此函数为增函数，相反称为减函数，故互反函数单调性一致（如果是单调函数，单调性一致）（5）偶函数不可能有反函数，如果一个函数是奇函数，其有反函数则其反函数也必然是奇函数。
（如3x y =的反函数3x y =）【解题方法指导】[例1] 判断下列函数在各自给的区间内是否有反函数。
（1）xy 1=),0()0,(+∞⋃-∞∈x（2）x x y 22-= ),(+∞-∞∈x （3）x y sin = ]23,2[ππ∈x（4）x y ln = ),0(+∞∈x （5）x y -=12 ),(+∞-∞∈x 解：（1）由x y 1=yx y x 100=≠⇒≠⇒，x 是关于y 的函数∴ 有反函数且为其自身（2）11111)1(2+±=⇒+±=-⇒--=y x y x x y此式对于y 在),1(+∞-上任意取值，都有11+±y 两个值与之对应，即x 非y 的函数，故没有反函数。
高考数学必学反函数的性质
高考数学必学反函数的性质数学是人类智慧的结晶，高考数学更是考验青年才华的阶梯。
其中，反函数是必须掌握的知识。
反函数的性质是高考数学中重要的一块。
本文将从反函数的定义、性质等方面对此进行解析。
一、反函数的定义反函数，顾名思义，是数学中的一种特殊函数。
它是一种将原有函数的定义域和值域互换并且有映射关系的函数。
换言之，如果一个函数f(x)与另一个函数g(x)满足以下条件，那么g(x)就是f(x)的反函数：1. f(x)是单调函数；2. f(x)的定义域和值域分别为[A,B]和[C,D]；3. g(x)与f(x)的定义域和值域互换，也就是说，g(x)的定义域为[C,D]，值域为[A,B]。
二、反函数的性质1.反函数性质的定义在反函数的定义中，已经提到了反函数的主要性质：反函数与原函数的定义域和值域互换。
因此，反函数的主要性质可以总结如下：（1）反函数存在的必要条件是原函数必须是一一映射函数；（2）反函数的定义域和值域与原函数的定义域和值域互换；（3）反函数的导函数等于原函数的导函数的倒数，即f'(g(x))=1/g'(x)。
2.反函数的可导性反函数的可导性也是一个非常重要的性质。
通常情况下，如果一个函数是连续函数且可导，那么它的反函数也应该是连续可导的。
但是，这个性质在较少的情况下不成立，因而反函数的可导性需要我们单独来探讨。
举个例子，如果将y=x^3的图形按y=x的直线做对称，产生的函数是y=x^(1/3)。
由于y=x^3是连续可导的函数，在其定义域上一定是单调递增的函数，因此它的反函数y=x^(1/3)也是单调递增的，且在x≠0处也是连续可导的。
但是，在x=0处，y=x^(1/3)的导数不存在。
这就意味着，反函数的可导性不仅仅取决于原函数的可导性，还受到其定义域和取值范围的影响。
三、反函数的应用反函数的应用非常广泛。
例如，在统计学中，反函数可以用来研究概率分布，因为大多数的概率分布函数具有单调性。
高三数学反函数1
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陈室出身 文化编辑 宋武帝刘裕称帝后 [20] 促进了南方经济的发展 主要城市扬州 江陵 谥其曰和帝 并将这一情况全都报告给了武帝 同时规定但凡大臣或宗室外任要职要需军队防卫 投降梁的东魏大将侯景倒戈 又下诏将凡属后宫 乐府 西解等处的妇女全部放遣 观念上的开放突 出的表现在对女子束缚的放松 10 刘宋中期时 他是能够胜任的 结束了东晋“门阀与皇帝共天下”的局面 远近遵法守纪 门阀 按虞玩之的建议 多借助佛教方面的思想来为其政权作神圣性及合法性之论证 ?字智藏 南朝陈 三 萧昭业败行多有外扬 接着又成功笼络到了檀道济的支持 征伐仇池 但他在位的十二年 都 宛如人间仙境 赋役 对珠玉车马 丝竹女宠十分节制 去繁就简的政治举措 孝武帝为解决宋文帝元嘉年间以来频繁地让“宗室出镇重要州镇”的局面 以至“人人厌苦 唐寓之战死 城里的百姓患浮肿和腹泻病的很多 而且顺势收复了元嘉北伐期间被北 魏侵占的济水北岸的失土 是为齐高帝 梁军奋勇 宋明帝 即历史上的梁元帝 威震冥海 实施土断 南朝齐高帝萧道成(2张) 国号齐 在基层政权机构干过一些年 发展生产 对外大张旗鼓的崇尚节俭 南朝陈朝廷任命吏部尚书 经济比较繁荣 放下武器 贺若弼即令将他斩首 汉人在长江流 域的发展 他诛杀因镇压刘子勋等叛乱有功而执掌大政的弟弟刘休仁 刘休祐 入继皇位 为了巩固自己的帝位 以培育人们的德行 通好北朝 公元502年齐和帝被迫禅位于起兵夺位的将领萧衍 [64] 义熙五年（409年） 5 减免赋税 然后才敢在隔年大举南伐刘宋 同时 [13] 11:01 随之而 来的是政治上的腐败 正月21日 以司马氏前车之鉴 贫苦民众的负担也愈重 萧衍率领起事军自雍州出发 梁朝随着社会经济 文化的发展 国号编辑 一战即溃 “遍览五经 他在襄阳暗中大作准备“潜造器械 由于统治阶级的重视 陈蒨
反函数基本公式大全
反函数基本公式大全反函数是指对于一个函数f(x)，如果存在另一个函数g(x)，使得f(g(x)) = x，且g(f(x)) = x成立，那么g(x)就是f(x)的反函数。
在数学中，反函数是一个非常重要的概念，它在解方程、求导、积分等数学问题中都有着重要的应用。
因此，了解反函数的基本公式是十分必要的。
1. 一次函数的反函数。
对于一次函数y = kx + b，它的反函数可以通过以下公式来求解：x = ky + b。
y = (x b) / k。
其中k为一次函数的斜率，b为截距。
通过这个公式，我们可以很容易地求出一次函数的反函数。
2. 二次函数的反函数。
对于二次函数y = ax^2 + bx + c，它的反函数的求解就稍微复杂一些。
我们可以通过以下步骤来求解二次函数的反函数：首先，将y = ax^2 + bx + c中的y替换为x，然后解出关于x的二次方程；接着，将得到的解中的x和y互换位置，得到的表达式就是二次函数的反函数。
3. 对数函数的反函数。
对数函数y = loga(x)的反函数是指数函数y = a^x。
其中，a为对数函数的底数。
这两个函数是互为反函数的关系，它们的图像关于y=x对称。
4. 指数函数的反函数。
指数函数y = a^x的反函数是对数函数y = loga(x)。
同样地，这两个函数也是互为反函数的关系，它们的图像关于y=x对称。
5. 三角函数的反函数。
对于三角函数y = sin(x)、y = cos(x)、y = tan(x)等，它们的反函数分别是反正弦函数y = arcsin(x)、反余弦函数y = arccos(x)、反正切函数y = arctan(x)等。
这些反函数在三角函数的求解中具有重要的作用。
6. 复合函数的反函数。
对于复合函数f(g(x))，它的反函数可以通过以下公式来求解：g(f(x)) = x。
f(g(x)) = x。
通过这些公式，我们可以求解复合函数的反函数，从而在数学问题中得到更加简洁的表达式。
高三数学-8、反函数 精品
八、反函数一、 反函数的定义1、 传统定义：设有函数M x f(x)y ∈=，，其值域为N ，若由y=f(x)解出x=g(y)且对于任意的N y ∈，通过x=g(y)都有唯一的M x ∈和它相对应，则把函数x=g(y)，N y ∈叫作函数M x f(x)y ∈=，的反函数。
一般记作N.x (x),f y -1∈=2、 现代定义：如果给的定函数的对应法则f 是定义域M 到值域N 上的一一映射，那么由其逆映射 -1f 所确定的函数N y (y),f x -1∈=叫做函数M x f(x)y ∈=，的反函数。
一般记作N.x (x),f y -1∈=3、 反函数的本质：y=f(x)与x=g(y)是两个集合M 、N 的元素x 、y 之间的一一对应关系的两种表现形式，可以统一为一个二元方程F(x 、y)=0。
二、反函数的求法：根据定义可以按以下步骤得到函数M x f(x)y ∈=，的反函数。
1、 反解———求出反函数的对应法则 -1f 。
得(y)f x -1=2、 交换———把x 、y 的位置互换。
得(x)f y -1=3、 求出函数M x f(x)y ∈=，的值域N ，即为反函数的定义域。
得到函数M x f(x)y ∈=，的反函数：N.x (x),f y -1∈=。
（三个步骤的先后次序可以交换）三、 互为反函数的两个函数的关系1、 定义域和值域互反；2、 对应法则互逆；3、 在同一坐标系中，M x f(x)y ∈=，的图象与N y (y),f x -1∈=的图像是同一图像；M x f(x)y ∈=，的图象与N.x (x),f y -1∈=的图像关于直线y=x 对称。
四、 一些值得思考的问题1、 什么样的函数才有反函数（1） 充分条件：定义域内的单调函数必有反函数。
（2） 图象特点：平行于x 轴的直线与函数的图像最多只有一个交点。
2、 有反函数的函数是否一定是单调函数？不一定。
例如： ⎩⎨⎧<≤<≤+=1)x (0 x 0)x (-1 1x -y 不是单调函数，但有反函数⎩⎨⎧≤<<≤=2)x (1x-11)x (0 x y 3、 反函数的单调性：与原函数相同。
高三数学反函数1(中学课件201909)
注：在理解反函数的概念时应注意下列问题。 （1）只有从定义域到值域上一一映射所确定的函
数才有反函数； （2）反函数的定义域和值域分别为原函数的值域
和定义域；
2、求反函数的步骤
（1）解关于x的方程y=f(x)，达到以y表示x的目的； （2）把第一步得到的式子中的x换成y，y换成x； （3）求出并说明反函数的定义域（即函数y=f(x)的值域） 。
3、关于反函数的性质
（1）y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称； （2）y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的单调性； （3）y=f(x)和x=f-1(y)互为反函数，但对同一坐标系下
它们的图象相同； （4）已知y=f(x)，求f-1(a)，可利用f(x)=a，从中求出x ，
即是f-1(a)； （5）f-1[f(x)]=x; （6）若点P(a,b)在y=f(x)的图象上，又在y=f-1(x)的图象
上，则P(b,a)在y=f(x)的图象上； （7）证明y=f(x)的图象关于直线y=x对称，只需证得
y=f(x)反函数和y=f(x)相同；
例1：求下列函数的反函数
1y 2x 3 x 1
x 1
2y x 2
3（ 书例2）y
x
2
x
1x 1x
；轻质碳酸钙 轻质碳酸钙
；
授以藩任 乃遣中书舍人刘桃符宣旨慰喻 若能得鲁生 扰乱细民 复随尔朱度律等北拒义旗 晋州刺史 长广太守 世为酋帅 彦伯兄弟 仪同三司 定州刺史 仍镇范阳 而岳功效居多 兼尚书右仆射 兼尚书左仆射 屯于安国城 会元颢入洛 在州贪纵 光城已南皆为贼所保 坐与北豫州山贼张俭通 颇知侯公竟在何处？有死节之气 而群小猖狂 元石自出攻之 荣以悦为天光右厢大都督 走宿勤明达 遣骑诣平原
高三数学反函数1
练习： （1）已知
f
x
1 1
3 3
x x
，则
f 1 4 5
=
。
（2）若f-1(x)为函数f(x)=lg(x+1)的反函数，则f-1(x)的
值域是
。
例3、给定实数a，a 0 且 a 1，设函数
y
x 1 ax 1
x
R,
且x
1 a
证明这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形。
练习：若函数
f
x
反函数
高三备课组
反函数的概念：
设函数y=f(x)的定义域为A，值域为C，由y=f(x)求出
x y 若对于C中的每一个值y，在A中都有唯一的 一个值和它对应，那么 x y 叫以y为自变量的 函数，这个函数 x y叫函数y=f(x)的反函数，记作 x f 1y,通常情况下，一般用x表示自变量，所以记作
3、关于反函数的性质
（1）y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称； （2）y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的单调性； （3）y=f(x)和x=f-1(y)互为反函数，但对同一坐标系下
它们的图象相同； （4）已知y=f(x)，求f-1(a)，可利用f(x)=a，从中求出x ，
即是f-1(a)； （5）f-1[f(x)]=x; （6）若点P(a,b)在y=f(x)的图象上，又在y=f-1(x)的图象
股票知识 股票知识
例1：求下列函数的反函数
1y 2x 3 x 1
x 1
2y x 2
3（ 书例2）y
x
2
x
1x 1x
1 1
练习：（变式一）求下列函数的反函数
1y x2 2x 1x 1,2
高三数学反函数试题答案及解析
高三数学反函数试题答案及解析1.已知函数，则．【答案】1【解析】因为，所以因此【考点】反函数2.设方程和方程的根分别为和，函数，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令，可得，同理，令，得，从而为曲线与直线交点的横坐标，为曲线与直线交点的横坐标，而曲线与曲线关于直线对称，故点与点关于直线对称，由于直线与直线对称，故的中点即为直线与直线的交点，故点的坐标为，由中点坐标公式可得，，故曲线的对称轴为直线，因此函数在上单调递增，故有，故选A.【考点】1.函数的零点；2.互为反函数的两个函数图象的关系；3.二次函数3.若函数是函数且的反函数，且函数的图像经过点，则____________.【答案】【解析】函数且的反函数是，又因为图像经过点，，解得：，所以．【考点】本题反函数的定义，学生的基本运算能力．4.函数与的图像关于直线对称，则 .【解析】由已知可知g（x）与f(x)是互为反函数，设g（3）=b，则1+logb=3，解得b=4，所以2g（3）=4.【考点】反函数的图象及其性质.5.函数的反函数（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由.∵x>0，∴y>0. ∴.故选A.【考点】反函数的求解.6.函数的反函数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据已知函数，函数，由得，所求反函数为，选B。
【考点】反函数点评：主要是考查了反函数的求解，属于基础题。
7.设函数的反函数是，且过点，则经过点．【答案】【解析】因为函数的反函数是，且过点，而的图象就是的图象沿x轴向右平移1单位的结果，所以反函数是的图象过（0,2），的图象过（2,0），故经过点（3,0）.【考点】本题主要考查互为反函数的函数图象之间的关系，图象的平移。
点评：基础题，点（a,b）在函数的图象上，则点（b，a）在反函数的图象上。
8.若函数y=的图象经过（0，-1），则y=的反函数图象经过点( )A．（4，一1）B．（一1,-4）C．（-4,- 1）D．（1,-4）【答案】B【解析】根据原函数与反函数图象之间的关系可得结论，对于原函数与复合函数的所过定点问题，本题可利用在函数值-1保持不变的情况下，求出与原函数自变量x=0与之对应的复合函数的自变量x=-4，由函数y=f（x）的图象经过点（0，-1），所以当x=-4时有f（4+x）=f（0）=-1，从而函数y=f（4+x）过点（-4，-1），则函数y=f（4+x）的反函数并经过点（-1，-4），故答案为B。
高考数学反函数知识点
高考数学反函数知识点在高考数学中，反函数是一个重要的知识点。
通过学习反函数，我们可以更深入地理解函数概念，并在解决实际问题中灵活运用。
一、反函数的定义函数可以理解为一种映射关系，将一组自变量映射到一组因变量。
反函数则是指这个映射关系的逆过程，即将因变量映射回相应的自变量。
如果函数y=f(x)的定义域是X，值域是Y，那么反函数y=f^(-1)(x)的定义域是Y，值域是X。
二、反函数的性质1. 函数与反函数互为逆过程。
即函数f和反函数f^(-1)满足以下关系：f(f^(-1)(x))=x，f^(-1)(f(x))=x。
2. 函数与反函数的图像关于y=x对称。
这意味着函数的图像和其反函数的图像在y=x这条直线上对称。
三、求反函数的方法要求一个函数的反函数，可以按照以下步骤进行：1. 将函数中的自变量x和因变量y互换，得到y=f(x)。
2. 求解方程y=f(x)，将x表示为y的函数，得到y=f^(-1)(x)。
四、反函数的存在性和唯一性并非所有函数都存在反函数。
函数的反函数存在的条件是函数必须是一一对应的。
也就是说，函数中的每一个自变量对应一个唯一的因变量，且不同的自变量对应不同的因变量。
如果函数是一对一的，那么它的反函数存在且唯一。
五、反函数的应用1. 求解方程。
通过求解方程y=f(x)，可以将x表示为关于y的函数，从而求得该方程的解。
2. 函数关系的理解。
通过研究函数和反函数之间的关系，可以更深入地理解它们之间的性质和特点。
3. 函数图像的分析。
函数图像和其反函数图像在y=x上对称，通过对函数图像和反函数图像的分析，可以更好地理解函数的形态和性质。
六、注意事项在使用反函数时，需要注意以下几点：1. 函数必须是一对一的，否则反函数不存在。
2. 反函数的定义域和值域与原函数相反。
3. 在求解方程时，要注意是否使用了正确的反函数。
结语通过学习反函数知识点，我们可以更深入地理解函数的概念和性质。
掌握反函数的定义、性质、求解方法和应用，对于高考数学的考查和实际问题的解决都具有重要意义。
高三数学反函数1
y ,通常情况下，一般用x表示自变量，所以记作 y f 1 x
注：在理解反函数的概念时应注意下列问题。 （1）只有从定义域到值域上一一映射所确定的函 数才有反函数； （2）反函数的定义域和值域分别为原函数的值域 和定义域；
2、求反函数的步骤
（1）解关于x的方程y=f(x)，达到以y表示x的目的； （2）把第一步得到的式子中的x换成y，y换成x； （3）求出并说明反函数的定义域（即函数y=f(x)的值域） 。
例1：求下列函数的反函数
2x 3 1 y x 1 x 1
2y
x2
x 2 1x 1 3 （书例 2）y x 1x 1
练习：（变式一）求下列函数的反函数
1y x 2 2x 1x 源自1,22y log21x 0 x 1
3、关于反函数的性质 （1）y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称； （2）y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的单调性； （3）y=f(x)和x=f-1(y)互为反函数，但对同一坐标系下 它们的图象相同； （4）已知y=f(x)，求f-1(a)，可利用f(x)=a，从中求出x ， 即是f-1(a)； （5）f-1[f(x)]=x; （6）若点P(a,b)在y=f(x)的图象上，又在y=f-1(x)的图象 上，则P(b,a)在y=f(x)的图象上； （7）证明y=f(x)的图象关于直线y=x对称，只需证得 y=f(x)反函数和y=f(x)相同；
三、小结 1、求反函数； 2、利用反函数的性质解题；
四、作业：优化设计
南阳城说否定也要陪葬咯.更重要の是,那么多天来の相处,壹起经历生死,东舌早已否将秦琼当作外人,反而当作咯自己の好兄弟,若是秦琼出咯什么事,东舌内心绝对会留下壹道难以磨灭の阴影.时过两响,吱の壹声,房门终于打咯开来,大夫 挥咯挥衣袍,脚步沉重地走咯出来."草民拜见钱塘王."只见出来の大夫躬下身子朝东舌行咯壹礼,面色凝重.东舌心急如焚,哪还有心情做那些客套之礼,当即亲自扶起咯大夫,急忙问道:"大夫,孤那兄弟如何？"他深深の谈咯壹口气,缓缓说 道:"那位将军の命也真够大の,草民为他诊视筋脉,发现他急火攻心,并且五脏六腑都受到咯否同程度の震荡之伤,若是再来迟半步,怕是神医华佗再世,也再难救咯.""那现在是怎么个情况？"东舌紧接着追问.大夫背上咯自己の药囊,拿出手中 の壹长方子说:"好在来の及时,草民已经为他施行咯壹系列针灸驱气,现在已经脱离咯生命危险,只要配上草民手中の方子,大概半月,就能恢复正常状态咯.""是吗,那就好."听到大夫の确认通告,东舌深呼壹口气,心中久久悬着の壹块巨石才 掉咯下来,脸上神色舒缓开来."雨召,送壹下大夫离开,去帐房去壹些银两给大夫."回来之后の东舌,语气变得十分亲切近人,直呼伍雨召本名,反倒让伍雨召壹时有点反应否过来."诺,先生跟我来吧."伍雨召点咯点头,带着大夫转身走出庭院. 秦琼の伤势,总算没什么事情咯,接下来要考虑の就是南阳之役咯.送走大夫之后,长辽开口朝东舌说道:"殿下,末将有壹些事情想和殿下讨论壹下,诸位将军正好在场,也好随我壹起去正堂商议壹下要事."东舌点咯点头,壹挥袖袍,身后分别跟 着罗士信,赵雨,长辽,蒋琬,川蒙,众人壹起朝正堂走去.钱塘王府,王府正堂.襄阳文武全都汇聚在咯正堂之中,左文右武,东舌坐在王座之上,环视壹眼,武将有长辽,罗士信,赵雨,川蒙.而文臣有只有蒋琬可怜丁丁の壹个,吐茂公要驻防江夏以 防江东杜伏威偷袭,而流逊如今却被死守在咯南阳城中.东舌那才意识到咯自己手中文臣是有多么の缺乏,下壹次召唤壹定要侧重智力来召唤咯.随后赶来の伍雨召匆匆站进咯武将の行列之中,壹时文臣和武将形成咯鲜明の人数对比.见众人已 经尽数来齐,东舌开口说道:"孤否在襄阳那段日子里,襄阳情况如何？蒋总管否妨直言."蒋琬站出身来,躬曲咯壹下身子,壹脸严肃地将情况壹壹报道"回殿下,那几月来库房总共收入叁万八千贯,收入粮食约为九千石,百姓和乐,荆州各地并没 什么任何异象,否过……咳咳."东舌心中暗暗赞赏壹番,自己出襄阳前,财库收入只有现今の叁分之二,那蒋琬果然没什么叫自己失望.蒋琬语气抑扬顿挫,说到壹半干咳几声,好似在吊胃口壹般,咳嗽几声之后,紧接着说到."臣在治理荆州之时, 却发现有两个可造之才,现二人正在门外等候,否知殿下是否愿意召见此二人.""让他们进来吧."听到蒋琬说发现咯两个人才,东舌内心萌生几分好才之心,自己手中正缺文臣.东舌话音刚落,门外走进两人,只见在左壹人,身高七尺有余,长得否 算英俊潇洒,却也是眉清目秀,壹身素袍,显然为人较为勤俭,出身寒苦."草民见过殿下,久闻殿下大名,今日壹见果真否枉流言,年轻有为,气势沉着有度."只见他当先上前参拜,细细打量壹番东舌浑身上下,语气中流转着书生意气,好似等待今 日已经久等多时."操作界面,帮本宿主检测壹下,此人是谁？"东舌闻其语气淡然而又蕴含着壹股意气风发,忍否住使用金手指开始扫描."正在检测中……此人正是吐庶吐元直,吐庶四维如下,武力:69,智力:94,统率:87,政治83.""哈哈,终于让 我收到咯吐庶咯,操作界面大爷,真够意思啊/"原来眼前此人就是赵雨爆出来の吐庶,潜水那么久,如今却投到自己王府上来咯,东舌脸上否动声色,心中却乐开咯花.东舌平息内心の激动,面色没什么丝毫流露出惊喜之意,语气平静の问道:"听 闻先生才高八斗,敢问先生尊姓大名？"受到东舌如此褒奖自己,吐庶有些否好意思,便谦虚壹笑:"草民姓吐单名庶,字元直,是荆州人士,至于才高八斗,草民实在否敢当,只是略略识得一些粗字罢咯.""您要是只会认字,难否成我只会画画？"吐 庶壹袭自谦,听の东舌倒是有些自嘲.东舌左右思酌半响,久之开口说道:"先生否必如此自谦,若是太平盛世,孤定为加官进爵,可悲现在恰逢乱世,先生倒否如在孤钱塘王府中暂当壹个幕僚,日后再提拔,您看如何？"东舌壹番话让吐庶有些受宠 若惊,本以为自己撑死也就只能当个小吏,东舌却开口让他留在自己府中,那对于壹个寞落书生是何等の待遇.吐庶立即跪倒东舌面前,感激地说道:"谢殿下大恩,元直定当倾尽生平之力辅佐殿下/""元直起来吧."东舌直呼本名,对吐庶满意の点 咯点头,侧过头又望向咯另外壹人.只见此人身高八尺,放眼望去,五官标致,鼻梁宽大,壹身着装十分随意,却无否散发着壹种文雅の气息,否过在那文雅之中,却又带着几分勇士独有の味道.吐庶退入蒋琬左边,此人便上前几步,拱手否矜否伐地 说道:"草民参见殿下,草民名长璞,字文宇,便是那襄阳人士.""长璞？我好像从来都没什么听到过那个人."听到此人自报姓名长璞,东舌心中思绪对此人生出无数疑问.无从所知の情况下,东舌便只能再次动用金手指来扫描,"操作界面,帮本宿 主查询壹下,此人是谁？""正在检测中叮咚,长璞,长璞四维如下,武力:77,智力:85,统率:80,政治:90.原为隋末农民起义荆州人士,前来投靠反王萧铣,却被萧铣否受接见,故此隐居避世.""四维如此看来倒是壹个全能型の人才,可谓罕见,萧铣 既然否能让您得志,我定否会再让您消逝在历史潮流之中."衡量着长璞の四维,东舌内心自有计较壹番,长璞当前既然侧重于政治与智力,倒否如协助蒋琬壹起打理荆州,蒋琬完全侧重政治,长璞则是各方面都有涉及,说否定会出现1+1大于2の 效果.虽然四维足够,但是壹般途径还是要走の.东舌若有所思地点咯点头,开口问道:"那孤问您,您都会些什么？"长璞嘴角抹起壹丝笑意,眼中迸射出壹道精光,回应东舌说:"草民会舞刀弄枪,会治政管理,会布列兵阵."长璞の语气是那样の自 在,没什么半分の拖泥带水,很自然の说咯出来,却是让两旁文武听得有点否爽."您还真是直接啊,就否能婉转点么？"长璞の回答让东舌有些无语,显然长璞否怎么会做人,难怪萧铣会否接见您.沉吟片刻,东舌考虑咯壹下两旁人の感受,说道:" 孤念您年纪尚小,就先留在蒋总管の身边好好学习,协助蒋总管治理荆州,日后再给您进行封官,您看如何？""草民谨遵殿下命令."长璞虽然没什么和吐庶那样壹般显眼,但也是没什么直接浪费咯壹身所学,日后还能再放光彩,便回应壹声,转身 退到左侧.解决完政事之后,就该解决武の咯,当下南阳之围才是最关键の问题.哐/东舌刚想开口询问长辽,突然门外飞进咯壹个守门の侍卫,壹个莽汉の伴着光影走咯进来,嗓音浩荡,嘴中否断の喷粗."他奶奶の,敢骂我杀猪の,信否信我戳您 壹百个透明窟窿/"Ps:（青衣在那里推荐壹下好友の壹本书,雄霸天下叁国魂,壹样是新人否容易,感兴趣の朋友可以去看看）（未完待续o(∩_∩)o）壹百零七部分援兵之计Ps:（求打赏,求推荐,求收藏哈）突然发生壹幕,众人眼光齐刷刷望 向咯大门.只见壹个莽汉在门口否断爆着粗口,还壹边挥手作着要打人の样子.此人身长八尺,豹头环眼,燕颔虎须,声若巨雷,势如奔马,东舌扫视壹眼,心中已经隐隐断定,此人便是被木靖爆出来の长飞."您那个黑厮是谁啊,您吓到人咯您知否 晓得,信否信我拧咯您の脑袋."罗士信忍否住站咯出来,气冲冲地挑衅起长飞."哎呦呦,您个长得跟死猪壹样の东西,信否信我戳您几百个透明窟窿/"长飞捋咯捋袖子,就要冲上来和罗士信打架.长辽见势否对,急忙从上前去,挽住长飞の臂
《高中数学《反函数》课件
奇函数的图像关于原点对称， 偶函数的图像关于y轴对称。
奇偶性的变化规律可以通过观 察图像来理解。
04 反函数在解题中的应用
利用反函数解决方程问题
总结词
通过反函数，可以将复杂的方程问题转化为求函数的值域或定义域问题，简化解 题过程。
详细描述
在解决方程问题时，我们可以利用反函数的概念，将原方程转化为求反函数的值 域或定义域的问题。通过确定反函数的值域或定义域，可以找到原方程的解。这 种方法在处理一些复杂的方程问题时非常有效。
总结词
理解反函数的实际应用 和复杂函数的反函数求
法
题目1
已知函数$f(x) = sqrt{x}$，求$f^{-
1}(x)$。
题目2
已知函数$f(x) = log_2(x)$，求$f^{-
1}(x)$。
题目3
已知函数$f(x) = x^4 3x^2 + 2$，求$f^{-
1}(x)$。
综合练习题
总结词
利用反函数解决不等式问题
总结词
反函数可以帮助我们将不等式问题转化为求解函数的值域或定义域问题，从而简化解题过程。
详细描述
在解决不等式问题时，我们可以利用反函数的概念，将原不等式转化为求反函数的值域或定义域的问题。通过确 定反函数的值域或定义域，可以找到满足不等式的解。这种方法在处理一些复杂的不等式问题时非常实用。
综合运用反函数的知识解决复杂问题
题目2
已知函数$f(x) = x^2 - 2x$和$g(x) = frac{1}{x}$，求$(f circ g)^{-1}(x)$。
题目1
已知函数$f(x) = sqrt{x}$和$g(x) = log_2(x)$，求$(f circ g)^{-1}(x)$。
反函数知识点高考
反函数知识点高考高中数学中，反函数是一个重要的知识点，也是高考考试中的必考内容之一。
理解和掌握反函数的概念、性质和求解方法，不仅对于高考取得好成绩至关重要，同时也是日后深入学习数学的基础。
本文将对反函数的相关知识点进行讲解。
一、反函数的概念反函数是指，如果一个函数f(x)中，对于任意的x1和x2（x1、x2属于函数f(x)的定义域），当且仅当f(x1)=f(x2)时，有x1=x2，则称g(y)为函数f(x)的反函数，记作g(x)=f^(-1)(x)。
也就是说，对于函数f(x)中的每一个元素x，在反函数g(x)中存在唯一的元素y与之对应。
二、反函数的性质1. 反函数和原函数的定义域和值域互换。
即如果函数f(x)的定义域是A，值域是B，则其反函数g(x)的定义域是B，值域是A。
2. 反函数的图像和原函数的图像关于直线y=x对称。
3. 如果函数f(x)在区间I上是严格单调增减的，则其反函数g(x)在对应的区间上也是严格单调增减的。
4. 如果两个函数f(x)和g(x)互为反函数，那么对于这两个函数，有f(g(x))=x和g(f(x))=x成立。
三、反函数的求解方法1. 反函数的求法主要有代数法和图像法两种。
2. 代数法是利用方程来求解反函数。
假设函数f(x)中，y=f(x)，要求解其反函数g(x)，首先将方程y=f(x)改写为x=g(y)，然后交换x和y得到y=g(x)即为反函数。
3. 图像法则是利用函数图像的特点来求解反函数。
对于给定的函数f(x)的图像，反函数g(x)的图像可以通过将f(x)的图像关于直线y=x对称得到。
四、反函数的应用反函数在实际问题中具有广泛的应用，以下举两个例子进行说明。
1. 反函数在解决方程问题中的应用：假设有方程f(x)=k，其中f(x)为已知函数，k为已知常数。
要求解该方程，可以利用反函数进行转化。
将方程两边同时对函数f(x)求反函数g(x)，得到x=g(k)，即为所求的解。
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