等差数列应用题教师版

【例 1】 100以内的自然数中。所有是3的倍数的数的平均数是。

【考点】等差数列应用题【难度】1星【题型】填空

【关键词】希望杯，五年级，复赛，第3题，5分

【解析】 100以内的自然数中是3的倍数的数有0，3,6,9,99L 共33个，他们的和是()09934179916832

+⨯=⨯=，则他们的平均数为1683÷34=49.5。 【答案】49.5

【例 2】 一群小猴上山摘野果，第一只小猴摘了一个野果，第二只小猴摘了2个

野果，第三只小猴摘了3个野果，依次类推，后面的小猴都比它前面的小猴多摘一个野果。最后，每只小猴分得8个野果。这群小猴一共有

_________只。

【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】填空

【关键词】希望杯，四年级，二试，第7题

【解析】 平均每只猴分8个野果，所以最后一只猴摘了821=15⨯-只果，共有15只

猴.

【答案】15只猴子

【例 3】 15位同学排成一队报数，从左边报起思思报10．从右边报起学学报

12．那么学学和思思中间排着有位同学．

【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】填空

【关键词】学而思杯，1年级

【解析】因为从左边起思思报10，所以，思思的右边还有15105-=（个）；又因为

从右边起学学报12，所以，学学的左边还有15123-=（个），15645

--=（个）学学和思思中间排着5位同学．

<考点>排队问题

【答案】5位

例题精讲

等差数列应用题

【例 4】 体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到

排尾依次报数。如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？

【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答

【解析】 首项=17，末项=150，公差=7，项数=（150-17）÷7+1=20

【答案】20

【例 5】 一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人，

那么这个队列共有多少人？

【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答

【解析】 （方法一）利用等差数列求和公式：通过例1的学习可以知道，这个数

列一共有50个数，再将和为102的两个数一一配对，可配成25对．

所以2469698100++++++L =2+10025=10325=2550⨯⨯（）

（方法二）根据12398991005050++++++=L ，

从这个和中减去1357...99+++++的和，就可得出此题的结果，这样从“反面求解”的思想可以给学生灌输一下，为今后的学习作铺垫．

【答案】2550

【例 6】 有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成

的．第一个雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？

【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答

【解析】 也就是已知一个数列：3、5、7、9、11、13、15、……，求这个数列的

第102项是多少？999是第几项？由刚刚推导出的公式——第n 项=首项+公差1n ⨯-（）

， 所以，第102项321021205=+⨯=（-）；由“项数=(末项-首项)÷公差1+”，999所处的项数是：

【答案】499

【例 7】 如右图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形。其

中最小的三角形顶点的个数(重合的顶点只计一次)依次为：3，6，10，15，21，…问：这列数中的第9个是多少？

【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】填空

【关键词】华杯赛，初赛，第6题

【解析】 这列数第一项为3，第二项比第一项多3，以后每项比前项多项数加1，所以第9项为3＋3＋4＋

5＋6＋…＋10＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋…＋10＝55。

【答案】55

【例 8】 有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下

一层增加一根，一共堆了28层．问最下面一层有多少根

【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答

【解析】 将每层圆木根数写出来，依次是：5，6，7，8，9，10，…可以看出，这

是一个等差数列，它的首项是5，公差是1，项数是28．求的是第28项．我们可以用通项公式直接计算．

解：1(1)n a a n d =+-⨯

32=(根)

故最下面的一层有32根．

【答案】32

【巩固】 建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，

第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？

【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答

【解析】 项数=（2106-2）÷4+1=527，因此，层数为奇数，中间项为（2+2106）

÷2=1054，数列和=中间项×项数=1054×527=555458，所以中间一层有1054块砖，这堆砖共有555458块。

【答案】555458

【例 9】 一个建筑工地旁，堆着一些钢管（如图），聪明的小朋友，你能算出这

堆钢管一共有多少根吗？

【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答

【解析】 (方法一）不难发现，这堆钢管每一层都比上一层多1根，也就是从上到

下每层钢管的数量构成了一个等差数列，而且首项为3，末项为10，项数为8．由等差数列求和公式可以求出这堆钢管的总数量：3108252+⨯÷=（）（根）

（方法二）我们可以这样假想：通过对几何图形进行旋转，从而达到配对的目的是解决问题的关键（如图）

这个槽内的钢管共有8层，每层都有31013+=（根），所以槽内钢管的总数为：3108104+⨯=（）（根）．取它的一半，可知例题图中的钢管总数为：104252÷=（根）