数学期望及其性质17页PPT
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3.1 数学期望的定义与性质ppt课件
1. 一维离散型随机变量函数的数学期望
设 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 为 P { a i } p i ,( i 1 , 2 ,) ,
x 若g(x)为 的单值函数,
如 果g (a i)p i ,有 E g () g (a i)p i
i= 1
i 1
15
证明 令=g（），则仍是一个离散的随机
引例 某手表厂在出产产品中抽查了N=100只手表的日走误差，数据如下：
日走误差(秒） 2 1 0 1 2 3 4
只数（ Nk )
3 10 17 28 21 16 5
3
这时抽查到的100只手表的品均日走时误差为：
4
k2kNk (2)3...451.2（ 2秒 /日 ）
N
100
记作
fk
为事N 件k “日走时误差为k秒”的概率： N
P( xi)xxii1p(x)dxp(xi)xi.(i0,n) 23
离 散 化 后 的 R .V .的 分 布 列 ：
x0
x1
p(x0)x0 p(x1)x1
p(xx n)nxn.
显然这个分布列可作为连续型R.V.的一种近似.
而这个离散型R.V.的数学期望为
n
xip(xi)xi
i0
此 式 近 似 地 表 达 连 续 型 R .V .的 数 学 期 望 E .
第三章 随机变量的数字特征 第一节 随机变量的数学期望
1
一、随机变量的数学期望 二、数学期望的性质 三、小结
2
一、离散型随机变量的数学期望
离散型随机变量的分布列全面地描述了随机变量的统计性规律，但这样“全面 的描述”有时不方便，或不必要。如比较两个班级的成绩的优劣，通常比较考试 的平均成绩即可；要比较两地的粮食收成，一般比较平均亩产。
天津大学《概率论与数理统计》数学期望.ppt
例如， 1. 假定发生意外的概率是 0.001，则在购买保险的 15,000 人中，平均起来有多少个人需要赔偿？ 2. 统计资料表明强烈地震的间隔服从参数 430 (天) 的指数分布，则平均多长时间发生一次强震？
1.离散型随机变量的数学期望
数学期望——描述随机变量取值的平均特征 引例 1 设某班40名学生的概率统计成绩及得 分人数如下表所示： 分数 40 60 70 80 90 100 人数 1 6 9 15 7 2 则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即 1 40 660 970 1580 790 2100 76.5(分) 1 6 9 15 7 2
随机变量某一方面的概率特性
都可用数字来描写
本 r.v.的平均取值 —— 数学期望
章 r.v.取值平均偏离均值的情况
内
—— 方差
容 描述两 r.v.间的某种关系的数
—— 协方差与相关系数
或者是：两个随机变量相依的程度。
第一节 数学期望
一. 数学期望(均值) 的定义
直观理解，数学期望就是一个随机变量所有可能 取值的加权平均值，权就是这些可能值相应的概率。
E(X )
xf (x, y)dxdy, E(Y )
yf (x, y)dxdy
证 关于X、Y的边缘概率密度函数分别为
fX (x) f (x, y)dy
于是有
fY ( y) f (x, y)dx
E(X )
xfX (x)dx
x[
f (x, y)dy]dx
xf (x, y)dxdy
1500x2 x3 15002
/
3
3000 1500
500 2000 1000 1500
例: 由5个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 服从同一指数分布，其概率密度为
1.离散型随机变量的数学期望
数学期望——描述随机变量取值的平均特征 引例 1 设某班40名学生的概率统计成绩及得 分人数如下表所示： 分数 40 60 70 80 90 100 人数 1 6 9 15 7 2 则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即 1 40 660 970 1580 790 2100 76.5(分) 1 6 9 15 7 2
随机变量某一方面的概率特性
都可用数字来描写
本 r.v.的平均取值 —— 数学期望
章 r.v.取值平均偏离均值的情况
内
—— 方差
容 描述两 r.v.间的某种关系的数
—— 协方差与相关系数
或者是：两个随机变量相依的程度。
第一节 数学期望
一. 数学期望(均值) 的定义
直观理解，数学期望就是一个随机变量所有可能 取值的加权平均值，权就是这些可能值相应的概率。
E(X )
xf (x, y)dxdy, E(Y )
yf (x, y)dxdy
证 关于X、Y的边缘概率密度函数分别为
fX (x) f (x, y)dy
于是有
fY ( y) f (x, y)dx
E(X )
xfX (x)dx
x[
f (x, y)dy]dx
xf (x, y)dxdy
1500x2 x3 15002
/
3
3000 1500
500 2000 1000 1500
例: 由5个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 服从同一指数分布，其概率密度为
《数学期望》课件
注意事项
在计算过程中需要注意积分的上下 限以及概率密度函数的取值范围。
连续型随机变量的数学期望的性质
01
02
03
非负性
E(X) ≥ 0，即数学期望的 值总是非负的。
可加性
如果X和Y是两个独立的随 机变量，那么E(X+Y) = E(X) + E(Y)。
线性性质
如果a和b是常数，那么 E(aX+b) = aE(X)+b。
方差是数学期望的度量，表示随机变量取值 与数学期望的偏离程度。
04
CATALOGUE
连续型随机变量的数学期望
连续型随机变量的定义
连续型随机变量
如果一个随机变量X的所有可能 取值是实数轴上的一个区间变量。
概率密度函数
描述连续型随机变量X在各个点 上取值的概率分布情况，其数学
《数学期望》PPT课件
CATALOGUE
目 录
• 引言 • 数学期望的基本性质 • 离散型随机变量的数学期望 • 连续型随机变量的数学期望 • 数学期望的应用 • 总结与展望
01
CATALOGUE
引言
数学期望的定义
数学期望是概率论和统计学中的 一个重要概念，它表示随机变量
取值的平均数或加权平均数。
数学期望的定义基于概率论的基 本原理，通过将每个可能的结果 与其对应的概率相乘，然后将这
些乘积相加得到。
数学期望具有一些重要的性质， 如线性性质、期望值不变性质等 ，这些性质在概率论和统计学中
有着广泛的应用。
数学期望的起源和历史
数学期望的起源可以追溯到17世纪，当时的一些数学家开始研究概率论和统计学中 的一些基本概念。
通过计算投资组合的数学期望， 我们可以了解投资组合的预期收 益，从而制定更加合理的投资策
在计算过程中需要注意积分的上下 限以及概率密度函数的取值范围。
连续型随机变量的数学期望的性质
01
02
03
非负性
E(X) ≥ 0，即数学期望的 值总是非负的。
可加性
如果X和Y是两个独立的随 机变量，那么E(X+Y) = E(X) + E(Y)。
线性性质
如果a和b是常数，那么 E(aX+b) = aE(X)+b。
方差是数学期望的度量，表示随机变量取值 与数学期望的偏离程度。
04
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连续型随机变量的数学期望
连续型随机变量的定义
连续型随机变量
如果一个随机变量X的所有可能 取值是实数轴上的一个区间变量。
概率密度函数
描述连续型随机变量X在各个点 上取值的概率分布情况，其数学
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目 录
• 引言 • 数学期望的基本性质 • 离散型随机变量的数学期望 • 连续型随机变量的数学期望 • 数学期望的应用 • 总结与展望
01
CATALOGUE
引言
数学期望的定义
数学期望是概率论和统计学中的 一个重要概念，它表示随机变量
取值的平均数或加权平均数。
数学期望的定义基于概率论的基 本原理，通过将每个可能的结果 与其对应的概率相乘，然后将这
些乘积相加得到。
数学期望具有一些重要的性质， 如线性性质、期望值不变性质等 ，这些性质在概率论和统计学中
有着广泛的应用。
数学期望的起源和历史
数学期望的起源可以追溯到17世纪，当时的一些数学家开始研究概率论和统计学中 的一些基本概念。
通过计算投资组合的数学期望， 我们可以了解投资组合的预期收 益，从而制定更加合理的投资策
概率论课件--3-1 数学期望17p
若
g ( x , y ) f ( x , y ) dxdy
绝对收敛,
则 Z g ( X , Y ) 的数学期望存在, 且有
E ( Z ) E ( g ( X , Y ))
g ( x , y ) f ( x , y ) dxdy
(6)
特例 E ( X )
定义1 设离散型随机变量 X 的分布律为
P{ X = x i } = p i , i = 1, 2,...
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
若级数 xi p i 绝对收敛, 则称级数 xi p i 的和
i i
为 X 的数学期望, 简称期望或均值. 记为: E ( X ) = xi p i
的数学期望存在, 且有
E ( Z ) E ( g ( X , Y ))
g(x , y
i i j
j
) p ij
(5)
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
2. 二维连续型随机变量函数的数学期望 设二维连续型随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度函数为
f ( x , y ),
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
1. 二维离散型随机变量函数的数学期望 设二维离散型随机变量( X , Y ) 的联合分布律为
P X x i , Y y i p ij
( i , j 1, 2, )
若
g(x , y
i i j
j
) p ij 绝对收敛, 则 Z g ( X , Y )
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
第一节数学期望ppt
0
0
xe x e x dx 1 e x 1
0
0
0
概率论
3) 正态分布 N(, 2)
概率论
X ~ f (x)
1
( x )2
e , 2 2 x
2
E( X ) x
1
( x )2
Z是一维随机变量,则
(1) 若( X ,Y )是二维连续型,
概率密度为f ( x, y), 则有:
E(Z ) E[g(X ,Y )] g(x, y) f (x, y)dxdy
(2) 若( X ,Y )是二维离散型,
概率分布为P{ X xi ,Y y j } pij (i, j 1, 2,
一般是比较复杂的 .
概率论
2. 定理: 设Y是随机变量X的函数: Y=g(X) (g是连续函数)
(1) 当X为离散型时,它的分布律为P(X= xk)=pk,
(k 1,2,),若 g( xk ) pk绝对收敛，则有
k 1
E( X ) xk pk
k 1
(2) 当X为连续型时,它的密度函数为 f (x), 若
pk (1 p)nk
n!
pk (1 p)nk
k1 k !(n k)!
k1 (k 1)!(n k)!
n
np
(n 1)!
pk1 (1 p)n1(k1)
k1 (k 1)!(n k )!
n1
令l k 1 np
C
l n1
p
l
(1
p)n1l
g( x) f ( x)dx绝对收敛，则有
《数学期望》课件
《数学期望》PPT课件
欢迎来到《数学期望》PPT课件。从定义到应用，本课程将为您全面介绍数学 期望的相关知识。
什么是数学期望
1 定义
数学期望是随机变量取值的加权平均数，是 一个平均性的数值特征。
2 意义
数学期望能够用来描述随机变量的中心位置， 是概率分布的重要特征之一。
离散型随机变量的期望
1
期望的运算规律
期望的运算规律
期望也具有线性性、单调性和保号性等运算规律， 但概率密度函数的图像更难以直观展示。
期望的性质
期望的线性性质
期望具有加法和数乘的线性运算规律，对于相互独 立的随机变量，期望还满足可加性。
期望的矩估计
期望的矩估计可以帮助我们了解随机变量的高阶特 征，如方差、偏度和峰度等。
应用实例
期望在概率分布中的应用
量的期望
离散型随机变量的期望等于随机变量取
每个值的概率乘以该值的加权和，连续
型随机变量的期望等于其概率密度函数
3
期望的运算规律和性质
的加权积分。
期望具有线性性、单调性和保号性等运
算规律，还具有可加性和矩估计等特性。
应用实例
4
期望在概率分布中和随机变量期望在实 际问题中都有广泛应用。
参考资料
• 离散数学 • 概率论与数理统计 • 数理统计方法及其应用
2
期望具有线性性、单调性和保号性等运
算规律。
3
离散型随机变量的期望定义
离散型随机变量的期望等于随机变量取 每个值的概率乘以该值的加权和。
概率分布的图像
概率分布的图像能够直观地展示数学期 望的定义和特性。
连续型随机变量的期望
连续型随机变量的期望定义
连续型随机变量的期望等于其概率密度函数的加权 积分。
欢迎来到《数学期望》PPT课件。从定义到应用，本课程将为您全面介绍数学 期望的相关知识。
什么是数学期望
1 定义
数学期望是随机变量取值的加权平均数，是 一个平均性的数值特征。
2 意义
数学期望能够用来描述随机变量的中心位置， 是概率分布的重要特征之一。
离散型随机变量的期望
1
期望的运算规律
期望的运算规律
期望也具有线性性、单调性和保号性等运算规律， 但概率密度函数的图像更难以直观展示。
期望的性质
期望的线性性质
期望具有加法和数乘的线性运算规律，对于相互独 立的随机变量，期望还满足可加性。
期望的矩估计
期望的矩估计可以帮助我们了解随机变量的高阶特 征，如方差、偏度和峰度等。
应用实例
期望在概率分布中的应用
量的期望
离散型随机变量的期望等于随机变量取
每个值的概率乘以该值的加权和，连续
型随机变量的期望等于其概率密度函数
3
期望的运算规律和性质
的加权积分。
期望具有线性性、单调性和保号性等运
算规律，还具有可加性和矩估计等特性。
应用实例
4
期望在概率分布中和随机变量期望在实 际问题中都有广泛应用。
参考资料
• 离散数学 • 概率论与数理统计 • 数理统计方法及其应用
2
期望具有线性性、单调性和保号性等运
算规律。
3
离散型随机变量的期望定义
离散型随机变量的期望等于随机变量取 每个值的概率乘以该值的加权和。
概率分布的图像
概率分布的图像能够直观地展示数学期 望的定义和特性。
连续型随机变量的期望
连续型随机变量的期望定义
连续型随机变量的期望等于其概率密度函数的加权 积分。
数学期望及其性质共17页
数学期望及其性质
•ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
•ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
《数学期望》PPT课件
于X 和Y 的二元函数，则同样可定义随机变量 Z 的数学期望如下：
24
(1)c(rX,Y)已{知 pij},
则 ZgX,Y的数学期望为
E Z E gX ,Y gx i,yj p i.j i, 1j 1
(2)c(tX,Y)已f知 (x,y),
则 ZgX,Y的数学期望为
P { X x } p k 1 , 2 , , kk
若级数 gxk收 敛pk，则 k1 E (Y )E g X gxk pk k1
16
例1 设离散型随机变量X 的分布列为
X
-1
0
2
3
1131
P k
8
4
8
4
试计算：E X , E X 2和 E 2 X 1 。
17
解 由数学期望的定义可得
E X 1 10123311;1
8 4 8 48
E X 2 1 2 1 0 2 1 2 2 3 3 2 1 3;1 8 4 8 48
E 2 X 1 3 1 1 1 3 3 5 1
84 8 4
7. 4
18
例2 设 X 服从参数为 的泊松分布，试
Ex
x
fxd
x
9
反之，如果积分
x
发f 散x，d则x
称随机变量 X 的数学期望不存在。
例4 设 X 服从 (a,b)区间上的均匀分布， 求 X 的数学期望。
10
解 已知 X 的概率密度为
1
f
x
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
0
, xa,b，
从而
, 其它。
E x xx fd x b ax b 1 a d x 1 2 a b
14
24
(1)c(rX,Y)已{知 pij},
则 ZgX,Y的数学期望为
E Z E gX ,Y gx i,yj p i.j i, 1j 1
(2)c(tX,Y)已f知 (x,y),
则 ZgX,Y的数学期望为
P { X x } p k 1 , 2 , , kk
若级数 gxk收 敛pk，则 k1 E (Y )E g X gxk pk k1
16
例1 设离散型随机变量X 的分布列为
X
-1
0
2
3
1131
P k
8
4
8
4
试计算：E X , E X 2和 E 2 X 1 。
17
解 由数学期望的定义可得
E X 1 10123311;1
8 4 8 48
E X 2 1 2 1 0 2 1 2 2 3 3 2 1 3;1 8 4 8 48
E 2 X 1 3 1 1 1 3 3 5 1
84 8 4
7. 4
18
例2 设 X 服从参数为 的泊松分布，试
Ex
x
fxd
x
9
反之，如果积分
x
发f 散x，d则x
称随机变量 X 的数学期望不存在。
例4 设 X 服从 (a,b)区间上的均匀分布， 求 X 的数学期望。
10
解 已知 X 的概率密度为
1
f
x
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
0
, xa,b，
从而
, 其它。
E x xx fd x b ax b 1 a d x 1 2 a b
14
4-1数学期望 ppt课件
若级数 xk pk 绝对收敛，则称此级数的和为随 i 1
机变量 X 的数学期望。记作 :EX.
既有 EX xk pk i 1
数学期望简称期望，又称均值.
PPT课件
4
数学期望
例1 甲、乙两人射击，他们射击水平由下表给出：
X:甲击中的环数
Y:乙击中的环数
X
8
9 10
Y
P
0.1 0.3 0.6
5
1 ex 0
4 e x
EM xfM (x)dx
x0 x0
0 x 5 1 ex 4 exdx
137 1
160
PPT课件
10
数学期望
2. 令：N=min{X1, X2, X3, X4, X5}, X1, X2, X3, X4, X5是 独立同分布的,于是 利用第三章第五节P99;5.8式
P
试问哪一个人的射击水平高?
解:甲、乙的平均环数为:
8
9
10
0.2 0.5 0.3
EX 8 0.1 9 0.3 10 0.6 9.5
EY 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1
甲的射击水平比乙的高.
从平均环数上看
PPT课件
5
数学期望
2. 连续型
第四章 随机变量的数字特征
§1 数学期望 §2 方差 §3 协方差及相关系数 §4 矩
PPT课件
1
数学期望
§4.1 数学期望
数学期望的概念
随机变量函数的数学期望
数学期望的性质
PPT课件
2
数学期望
例1： 某班有N人参加 考试，其中有ni个人为ai ,i=1,2,…
概率论课件-3-1数学期望17p
在未来，概率论将会与更多的学科领域进行交叉 融合，如物理学、生物学、计算机科学等，从而 产生更加丰富的研究成果和应用价值。
同时，概率论本身也还有很多未解决的问题和需 要进一步研究的方向，如高维随机变量的性质、 复杂系统的概率模型等，这些问题的解决将会推 动概率论的进一步发展。
THANKS FOR WATCHING
数学期望在统计学、金融学、决策理论等领域中有着广泛的应用，是这些领域中重 要的数学工具之一。
数学期望的概念可以帮助我们理解随机变量的本质和特性，从而更好地应用概率论 解决实际问题。
未来研究方向和展望
随着科技的发展和实际应用的需要，概率论将会 得到更加广泛的应用和发展。
随着大数据和人工智能的兴起，概率论将会在数 据分析和机器学习等领域中发挥更加重要的作用 ，为这些领域的发展提供更加有力的支持。
应用
可以利用极限性质来研究随机变量的期望在极限情况下的 性质。
04 数学期望的应用
在统计推断中的应用
参数估计
数学期望可以用来估计未知参数，例如使用样本 均值来估计总体均值。
假设检验
通过比较样本均值与预期值，可以检验关于总体 分布的假设。
回归分析
在回归分析中，数学期望可以用来预测因变量的 值，基于自变量的值。
定义
对于随机变量X的函数f(X)，其数 学期望E[f(X)]定义为
E[f(X)]=∫f(X)p(X)dX。
性质
如果函数f(X)是线性函数aX+b， 则E[f(X)]=aE(X)+b；如果函数f(X) 是非线性函数，则需要进行相应的 变换和计算。
计算方法
根据定义，对概率密度函数进行积 分并应用相应的变换即可得到随机 变量的函数的数学期望。
[工学]41-数学期望PPT课件
![[工学]41-数学期望PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/e0903cce59eef8c75ebfb3c0.png)
先确定g(X)的分布
E[g(X)]=?
电子科技大学
数学期望
定理4.1.1* 设 Y 是随机变量X的函数Y=g(X),
g(x)为连续函数
本章核心定理
1) X 是离散型随机变量，分布律为
P {X x i}p i, i 1 ,2 ,3 ....
若： g(xi)pi 绝对收 则敛 有，
i1
E(Y)E [g(X) ] g(xi)pi i1
电子科技大学
数学期望
2) X是连续型随机变量, 其概率密度为fX (x).
若 g (x )f(x ) 则
E (Y )E g (X ) g (x )fX (x )dx
例 4.1.1
例 4.1.2
例 4.1.3
思考 如何将定理推广到二维甚至更多维 的情况？
电子科技大学
数学期望
定理4.1.2. 设 ( X, Y ) 是二维随机变量, 如 果 Z = G( X, Y ) 也是同类型随机变量并且数 学期望存在, 则有
(1) 当( X, Y ) 是离散型随机变量时
E(Z) G(xi,yj)pij i1j1
(2) 当( X, Y ) 是连续型随机变量时
E (Z ) G (x ,y )f(x ,y )dxdy 电子科技大学
数学期望
例 4.1.4
例 4.1.5
例 4.1.6
练习 设随机 X与 变 Y相 量互,独 且 X立 ,Y
~N(0,1 2),则 E (X Y )
解答
三. 随机变量的数学期望的性质 设 X , X1, X2 , … , Xn 是随机变量，c, b 是常数 1）E( c ) = c;
电子科技大学
数学期望
2）E( c X) = cE(X);
概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差
回归分析
在回归分析中，数学期望和方差 等统计指标用于描述因变量和自 变量之间的关系，以及预测未来
的趋势。
假设检验
在假设检验中，数学期望和方差等 统计指标用于比较两组数据或样本 的差异，判断是否具有显著性。
方差分析
方差分析利用数学期望和方差等统 计指标，分析不同组别或处理之间 的差异，确定哪些因素对数据变化 有显著影响。
质量控制
统计分析
在统计分析中，方差分析是一种常用 的统计方法，通过比较不同组数据的 方差，可以判断它们是否存在显著差 异。
在生产过程中，方差用于度量产品质 量波动的程度，通过控制产品质量指 标的方差，可以提高产品质量稳定性。
03
期望与方差的关系
期望与方差的关系式
期望值是随机变量取值的平均数 ，表示随机变量的“中心趋势”
方差的性质
方差具有可加性
当两个随机变量相互独立时，它们组 合而成的随机变量的方差等于它们各 自方差的线性组合。
方差与期望值的关系
方差与期望值之间存在一定的关系， 如方差等于期望值减去偏差的平方和 再求平均值。
方差的应用
风险评估
在金融和经济学中，方差被用来度量 投资组合的风险，通过计算投资组合 中各个资产的方差和相关系数，可以 评估投资组合的整体风险。
期望与方差的拓展
期望与方差在金融中的应用
金融风险评估
利用数学期望和方差计算 金融资产的风险，评估投 资组合的风险和回报。
资产定价
利用数学期望和方差等统 计指标，对金融资产进行 定价，确定其内在价值。
保险精算
通过数学期望和方差等统 计方法，评估保险产品的 风险和回报，制定合理的 保费和赔付方案。
期望与方差在统计学中
期望与方差在其他领域的应用
在回归分析中，数学期望和方差 等统计指标用于描述因变量和自 变量之间的关系，以及预测未来
的趋势。
假设检验
在假设检验中，数学期望和方差等 统计指标用于比较两组数据或样本 的差异，判断是否具有显著性。
方差分析
方差分析利用数学期望和方差等统 计指标，分析不同组别或处理之间 的差异，确定哪些因素对数据变化 有显著影响。
质量控制
统计分析
在统计分析中，方差分析是一种常用 的统计方法，通过比较不同组数据的 方差，可以判断它们是否存在显著差 异。
在生产过程中，方差用于度量产品质 量波动的程度，通过控制产品质量指 标的方差，可以提高产品质量稳定性。
03
期望与方差的关系
期望与方差的关系式
期望值是随机变量取值的平均数 ，表示随机变量的“中心趋势”
方差的性质
方差具有可加性
当两个随机变量相互独立时，它们组 合而成的随机变量的方差等于它们各 自方差的线性组合。
方差与期望值的关系
方差与期望值之间存在一定的关系， 如方差等于期望值减去偏差的平方和 再求平均值。
方差的应用
风险评估
在金融和经济学中，方差被用来度量 投资组合的风险，通过计算投资组合 中各个资产的方差和相关系数，可以 评估投资组合的整体风险。
期望与方差的拓展
期望与方差在金融中的应用
金融风险评估
利用数学期望和方差计算 金融资产的风险，评估投 资组合的风险和回报。
资产定价
利用数学期望和方差等统 计指标，对金融资产进行 定价，确定其内在价值。
保险精算
通过数学期望和方差等统 计方法，评估保险产品的 风险和回报，制定合理的 保费和赔付方案。
期望与方差在统计学中
期望与方差在其他领域的应用
概率论与数理统计-数学期望_图文
因每个球落入每个盒子是等可能的均为1/M, 所以，对第i 个盒子，一个球不落入这个盒子 内的概率为(1-1/M)。故N个球都不落入这个 盒子内的概率为(1-1/M)n ，即
最常用的数字特征是：期望和方差。
第四章 数字特征
§4.1 数学期望
4.1.1 离散型随机变量的数学期望 概念引入：
某车间对工人生产情况进行考察，车工 小张每天生产的废品数 X 是一个随机变量 。如何定义 X 的平均值？
若统计了100天小张生产产品的情况，发现 ： 32天没有出废品；30天每天出一件废品； 17天每天出两件废品；21天每天出三件废品。
可以得到这n天中，每天的平均废品数为
这是以频率为 权的加权平均
由频率与概率的关系，
不难想到：求废品数X的平 均值时，用概率替代频率， 得平均值为：
这样，就得到一个确定的数
这是以概率为 权的加权平均
——随机变量X的期望(均值) 。
定义1: 设X是离散型随机变量, 概率分布为 P{X=xk}=pk , k=1,2, …。
解：设组织货源 t 吨。显然，应要求
2000≤t ≤4000。国家收益Y(单位:万元)是X
的函数Y=g(X)。表达式为
由已知条件, 知X的概率密度函为
可算得当 t = 3500 时， E(Y)=-2t2 + 14000t-8000000
达到最大值 1.55×106。 因此，应组织3500吨货源。
概率论与数理统计-数学期望_图文.ppt
前面讨论了随机变量及其分布。 如果我 们知道了随机变量 X 的概率分布，那么，关 于 X 的全部概率特征也就知道了。
然而，在实际问题中，概率分布是较难 确定的。且有时在实际应用中，我们并不需 要知道随机变量的所有性质，只要知道其一 些数字特征就够了。
数学期望课件
le lx , f ( x) 0, x0 , 其它
lx
E ( X ) xf ( x)dx
0
lxe
dx
1
0
xdelx
[ xe
《概率统计》
lx 0
|
e
0
lx
dx ] e
0
lx
dx
l
.
下页 结束
第四章 随机变量的数字特征
何谓随机变量的数字特征？ 通常是指与随机变量有关的，虽然不能完整地 刻划随机变量，但却能较为集中地反映随机变量某 些方面的重要特征的一些数值.
1. 数学期望的概念及性质
2. 方差的概念及性质 3. 常见分布的数字特征 4. 协方差、相关系数的概念及性质
《概率统计》 返回 下页 结束
E (Z ) E[ g ( X , Y )]
特别 E ( X )
g ( x, y) f ( x, y)dxdy .
xf ( x, y)dxdy ; E (Y )
yf ( x, y)dxdy.
y
例8．设二维随机向量(X,Y)的概率密度为
§4.1 数学期望
一、离散型随机变量的数学期望 引例．有甲、乙两射手各射击100次，他们的射击技术用 下表给出：
击中环数 次 数 频 率 击中环数 次 数 频 率 8 30 0.3 8 20 0.2 甲射手射击情况 9 10 0.1 乙射手射击情况 9 50 0.5 10 60 0.6 10 30 0.3
E ( X ) xk pk .
k 1
lx
E ( X ) xf ( x)dx
0
lxe
dx
1
0
xdelx
[ xe
《概率统计》
lx 0
|
e
0
lx
dx ] e
0
lx
dx
l
.
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第四章 随机变量的数字特征
何谓随机变量的数字特征？ 通常是指与随机变量有关的，虽然不能完整地 刻划随机变量，但却能较为集中地反映随机变量某 些方面的重要特征的一些数值.
1. 数学期望的概念及性质
2. 方差的概念及性质 3. 常见分布的数字特征 4. 协方差、相关系数的概念及性质
《概率统计》 返回 下页 结束
E (Z ) E[ g ( X , Y )]
特别 E ( X )
g ( x, y) f ( x, y)dxdy .
xf ( x, y)dxdy ; E (Y )
yf ( x, y)dxdy.
y
例8．设二维随机向量(X,Y)的概率密度为
§4.1 数学期望
一、离散型随机变量的数学期望 引例．有甲、乙两射手各射击100次，他们的射击技术用 下表给出：
击中环数 次 数 频 率 击中环数 次 数 频 率 8 30 0.3 8 20 0.2 甲射手射击情况 9 10 0.1 乙射手射击情况 9 50 0.5 10 60 0.6 10 30 0.3
E ( X ) xk pk .
k 1
《数学数学期望》课件
连续型随机变量及其期望
连续型随机变量是一种可以取任意实数值的 随机变量，期望等于概率密度函数与变量的 乘积在整个区间上的积分。
离散型随机变量及其期望
离散型随机变量是一种只取一些特定值的随 机变量，期望等于每个取值乘以其对应概率 的总和。
期望的应用
期望在概率统计和实际生活中都有广泛应用， 是一种非常重要且实用的工具。
离散型随机变量的期望
1
定义离散型随机变量
离散型随机变量是一种只取一些特定
离散型随机变量的期望公式
2
值的随机变量，其取值为有限的或可 数无限的。
期望等于每个取值乘以其对应概率的
总和。
3
求解离散型随机变量期望的例
子
我们将结合案例进行详细讲解，帮助 你深入理解离散型随机变量的期望。
连续型随机变量的期望
2
期望在概率统计中的应用
期望是概率统计中的重要概念，广泛应用于风险评估、实验设计、假设检验、抽 样调查等领域。
3
期望在实际生活中的应用
期望在实际生活中也有着广泛的应用，如股票投资、保险计算、游戏设计等领域。
总结
期望的概念及相关性质
期望是随机变量所有可能取值的概率乘以其 相应取值的总和，具有多种重要性质。
定义连续型随机变量
连续型随机变量是一种可以取 任意实数值的随机变量，其取 值是一个区间。
连续型随机变量的期望 公式
期望等于概率密度函数与变量 的乘积在整个区间上的积分。
求解连续型随机变量期 望的例子
以正态分布为例，演示如何求 解连续型随机变量的期望。
期望的应用
1
期望值的意义
期望值可以代表随机变量的中心趋势，帮助人们更好地理解和描述随机事件的特 征。
连续型随机变量是一种可以取任意实数值的 随机变量，期望等于概率密度函数与变量的 乘积在整个区间上的积分。
离散型随机变量及其期望
离散型随机变量是一种只取一些特定值的随 机变量，期望等于每个取值乘以其对应概率 的总和。
期望的应用
期望在概率统计和实际生活中都有广泛应用， 是一种非常重要且实用的工具。
离散型随机变量的期望
1
定义离散型随机变量
离散型随机变量是一种只取一些特定
离散型随机变量的期望公式
2
值的随机变量，其取值为有限的或可 数无限的。
期望等于每个取值乘以其对应概率的
总和。
3
求解离散型随机变量期望的例
子
我们将结合案例进行详细讲解，帮助 你深入理解离散型随机变量的期望。
连续型随机变量的期望
2
期望在概率统计中的应用
期望是概率统计中的重要概念，广泛应用于风险评估、实验设计、假设检验、抽 样调查等领域。
3
期望在实际生活中的应用
期望在实际生活中也有着广泛的应用，如股票投资、保险计算、游戏设计等领域。
总结
期望的概念及相关性质
期望是随机变量所有可能取值的概率乘以其 相应取值的总和，具有多种重要性质。
定义连续型随机变量
连续型随机变量是一种可以取 任意实数值的随机变量，其取 值是一个区间。
连续型随机变量的期望 公式
期望等于概率密度函数与变量 的乘积在整个区间上的积分。
求解连续型随机变量期 望的例子
以正态分布为例，演示如何求 解连续型随机变量的期望。
期望的应用
1
期望值的意义
期望值可以代表随机变量的中心趋势，帮助人们更好地理解和描述随机事件的特 征。
数学期望的定义与性质优秀课件
N
4
kNk
k2
N
4
=k
k2
Nk N
4
kfk
k2
4
定 义 ：设离散型随机变量 的可能的取为ai(i=1,2...)，
其分布列为 P { a i} p i, i 1 ,2 , . 若
aipi
绝对收
i1
敛，则称随机变量 存在数学期望
E = ai pi i 1
思考 ：1、为什么要绝对收敛？
变量，设其可能取值为bj,(j 1,2,...)
则 P(bj)
P(ai)
g(ai )bj
由数学期望的定义有：Eg()EbjP(bj) j1
b j P ( ai ) j1 g (ai )b j
g (ai )Байду номын сангаасP ( ai ) j 1 g ( ai )b j
g(ai)P( ai) i1 16
其 分 布 列 为 ： 1 k 1 1 k
q
k
1 qk
由此可求的每人所需的平均检验次数：
E=a1p1a2p2 1kqk (11k)(1qk)
1qk 1k
每 人 检 验 一 次 ， 所 以 当 1-qk+1k1时 ， 即 q>1kk,
需 要 分 组 ， 若 q已 知 ， 还 可 以 从 E=1-qk+1k
6
例1 谁的技术比较好? 甲,乙两个射,他 手们的射击技术分别为
甲射手
击中环数 概率
8 9 10 0.3 0.1 0.6
乙射手
击中环数 8 9 10
概率
0.2 0.5 0.3
试问哪个射手技术较好?
7
解 设 甲 ,乙 射 手 击 中 的 环 数 分 别 为 ,.
4
kNk
k2
N
4
=k
k2
Nk N
4
kfk
k2
4
定 义 ：设离散型随机变量 的可能的取为ai(i=1,2...)，
其分布列为 P { a i} p i, i 1 ,2 , . 若
aipi
绝对收
i1
敛，则称随机变量 存在数学期望
E = ai pi i 1
思考 ：1、为什么要绝对收敛？
变量，设其可能取值为bj,(j 1,2,...)
则 P(bj)
P(ai)
g(ai )bj
由数学期望的定义有：Eg()EbjP(bj) j1
b j P ( ai ) j1 g (ai )b j
g (ai )Байду номын сангаасP ( ai ) j 1 g ( ai )b j
g(ai)P( ai) i1 16
其 分 布 列 为 ： 1 k 1 1 k
q
k
1 qk
由此可求的每人所需的平均检验次数：
E=a1p1a2p2 1kqk (11k)(1qk)
1qk 1k
每 人 检 验 一 次 ， 所 以 当 1-qk+1k1时 ， 即 q>1kk,
需 要 分 组 ， 若 q已 知 ， 还 可 以 从 E=1-qk+1k
6
例1 谁的技术比较好? 甲,乙两个射,他 手们的射击技术分别为
甲射手
击中环数 概率
8 9 10 0.3 0.1 0.6
乙射手
击中环数 8 9 10
概率
0.2 0.5 0.3
试问哪个射手技术较好?
7
解 设 甲 ,乙 射 手 击 中 的 环 数 分 别 为 ,.
4.1-数学期望PPT
➢ 离散型
E (X Y ) i
(x i y j)p ijx i
j
i j
p ij j y j i
p ij
xip ig yjp gjE XE Y
➢ 连续型
i
i
+ +
E (X Y ) (x y )f(x ,y )d x d y
+ +
+ +
x f(x ,y ) d x d y y f(x ,y )d x d y
性质2 设r.v.X, C是常数, 则E(CX)=CE(X).
➢ 离散型
E (C X) C xkpkCxkpkC E (X).
k 1
k 1
➢ 连续型
+
+
E ( C X )c x f( x ) d x cx f( x ) d x C E (X ) .
19
性质3 设r.v.X和Y, 则E(X+Y)= E(X)+E(Y).
设X表示掷一次骰子的得分, 则X的分布律为
X
x1
x2
x3
pk
1/6
3/6
2/6
求掷了N次的平均得分?
3
平 均 分 总 总 次 分 数 x 1 n 1 x 2 N n 2 x 3 n 3 x 1n N 1 x 2n N 2 x 3n N 3
nN1 f1当 N p116
平 均 分 x 1p 1 x 2p 2 x 3p 3
1
1
84
1
13
例4.5 Xe(), 求EX?
f
(
x)
1
x
e
,
0,
x0 x0
E X f(x )d x 1 x e xd x0x d (e x)
《数学数学期望》课件
《数学数学期望》ppt课 件
CATALOGUE
目 录
• 数学期望的基本概念 • 数学期望的性质与定理 • 数学期望的应用 • 特殊随机变量的数学期望 • 数学期望的扩展与展望
01
CATALOGUE
数学期望的基本概念
定义与性质
定义
数学期望是随机试验在大量重复 下出现的频率的稳定值。
性质
数学期望具有可加性、可数性、 线性性质等。
分位数与分位数函数
分位数
分位数是概率论中的一个概念，用于描述数据分布的位置特征。常见的分位数包括中位 数、四分位数等。分位数的计算和应用对于统计分析、数据挖掘等领域具有重要意义。
分位数函数
分位数函数是描述分位数与概率之间关系的函数。通过分位数函数，可以更方便地理解 和应用分位数的概念，从而更好地分析数据的分布特征。
通过计算投资组合的数学期望， 投资者可以了解投资组合的预期
收益，并据此做出投资决策。
数学期望在金融学中还用于资产 定价、风险管理、资本预算和股
票期权定价等领域。
在决策理论中的应用
在决策理论中，数学期望被用来评估 不同决策方案的预期结果。
数学期望在决策理论中还用于风险决 策、不确定性决策和多目标决策等领 域，以帮助我们做出更加科学和合理 的决策。
大数定律与中心极限定理
大数定律
当试验次数趋于无穷时，随机事件的频率趋于该事件 发生的概率。即 limn→∞P(|En−E)/n→0P(|En−E)/n→0limn→∞P(|En −E)/n→0=1。
中心极限定理
无论随机变量X1,X2,…,XnnX_1, X_2, ldots, X_{nn}Xi1,Xi2,…,Xinn的分布如何，当它们的数量趋于 无穷时，它们的平均值的分布趋于正态分布。即 limn→∞P(|En−μ)/σ≤z)=1−12z2lim_{n to infty} P(|En−μ)/σ≤z|)=1−12z2limn→∞P(|En−μ)/σ≤z|)=1 −12z2，其中En=1n∑i=1nXiEn = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} X_iEn=n1∑i=1nXi，μ是随机变量的均 值，σ是标准差，z是正态分布的分位数。
CATALOGUE
目 录
• 数学期望的基本概念 • 数学期望的性质与定理 • 数学期望的应用 • 特殊随机变量的数学期望 • 数学期望的扩展与展望
01
CATALOGUE
数学期望的基本概念
定义与性质
定义
数学期望是随机试验在大量重复 下出现的频率的稳定值。
性质
数学期望具有可加性、可数性、 线性性质等。
分位数与分位数函数
分位数
分位数是概率论中的一个概念，用于描述数据分布的位置特征。常见的分位数包括中位 数、四分位数等。分位数的计算和应用对于统计分析、数据挖掘等领域具有重要意义。
分位数函数
分位数函数是描述分位数与概率之间关系的函数。通过分位数函数，可以更方便地理解 和应用分位数的概念，从而更好地分析数据的分布特征。
通过计算投资组合的数学期望， 投资者可以了解投资组合的预期
收益，并据此做出投资决策。
数学期望在金融学中还用于资产 定价、风险管理、资本预算和股
票期权定价等领域。
在决策理论中的应用
在决策理论中，数学期望被用来评估 不同决策方案的预期结果。
数学期望在决策理论中还用于风险决 策、不确定性决策和多目标决策等领 域，以帮助我们做出更加科学和合理 的决策。
大数定律与中心极限定理
大数定律
当试验次数趋于无穷时，随机事件的频率趋于该事件 发生的概率。即 limn→∞P(|En−E)/n→0P(|En−E)/n→0limn→∞P(|En −E)/n→0=1。
中心极限定理
无论随机变量X1,X2,…,XnnX_1, X_2, ldots, X_{nn}Xi1,Xi2,…,Xinn的分布如何，当它们的数量趋于 无穷时，它们的平均值的分布趋于正态分布。即 limn→∞P(|En−μ)/σ≤z)=1−12z2lim_{n to infty} P(|En−μ)/σ≤z|)=1−12z2limn→∞P(|En−μ)/σ≤z|)=1 −12z2，其中En=1n∑i=1nXiEn = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} X_iEn=n1∑i=1nXi，μ是随机变量的均 值，σ是标准差，z是正态分布的分位数。
4 第 一节 数学期望精品PPT课件
它的数学期望不存在
例3
按规定,某车站每天8 : 00 ~ 9 : 00 , 9 : 00 ~
10 : 00都恰有一辆客车到站 , 但到站的时刻是随机
的, 且两者到站的时间相互 独立 ,其规律为
8 : 10
到站时刻 9 : 10
8 : 30 9 : 30
8 : 50 9 : 50
概率 1
3
2
6
6
6
(1) 一旅客8：00到车站,求他候车时间的数学期 望
在这些数字特征中，最常用的是 期望、方差和协方差
第四章 随机变量的数字特征
数学期望 方差 协方差与相关系数
数学期望的引例
例如：某7人的高数成绩为90，85，85，80，80，
75，60，则他们的平均成绩为
90 85 2 80 2 75 60
7
90 1 85 2 80 2 75 1 60 1
例5 已知 X 服从0,2 上的均匀分布，求
Y sin X 的数学期望。
解
EY
E sin
X
sin
x
f
x
dx
因为
f
x
1
2
,
0 x 2；
0,
其它。
所以 E sin X 2 1 sin xdx 0
0 2
例6 设相互独立的随机变量X，Y的密度函数分别为
2x, (0 x 1) f1(x) 0, 其它
如何计算随机变量函数的数学期望? 一种方法是，因为g(X)也是随机变量，
故应有概率分布，它的分布可以由已知的X 的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布， 就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.
使用这种方法必须先求出随机变量函数 g(X)的分布，一般是比较复杂的 .
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