复变函数与积分变换第1章
复变函数与积分变换第一章(1).
第一章复数与复变函数本章讨论复数的概念，相关的运算，几何表示;复变函数的概念。
第一节复数及其代数运算本节给出复数的概念，以及相应的运算。
1.1.复数在平面上的几何表示1.1.1复数的概念Z = AT-Fiy 其中，兀』为实数，，为虚单位，I 2=-1 实部：Re(z) = X 虚部：Im(z) = y(real part) (imaginary part) 注：与实数不同，一般虬 任意两个复数不能匕较大小. 例：2 + 2T>l, l+iv3 + 4d, —lvzvl 的！1.1.2 复数的平面几何表示(1)点表示(复平面表示)x 轴—实轴 y 轴—虚轴平面—复平面(z 平面) 平面内横坐标为兀, 纵坐标为y 的点.----- 对应 —对应?=兀+巧 < ----- 实数对(乂」)<——>⑵•向量表示复数z与从原点o至U点Z = x +4y的向量一一对应。
注：(1)平面内起点为Z],终点为乙2的向量2忆2对应的复数G 一Z](2)平面内向量经过平移后，对应的复数是不变的。
J长度 ------------- 濮"斑・[方向-------------- 角I复数-my复数的模:称向量嬴的长度厲为复如的模,£己作|z性质：（l）z < x + y x < Zy y < z(2) |z2 - Z||的几何意义:TS -Z］对应着向量牛2 ______________O/• 1^1 ~Z2|表示悬1与Z2间的距离。
Z2例：方程|z-l+i =10表示平面内以点为圆心，半径为10的圆周以实轴的正向为始边，以向量云为终边的角的弧度笏称为复魏:的辐角记作Argz （argument:辐角，变元）Argz有无穷多个值，每两个值相差2兀的整数倍。
辐角主值：满足条件-兀＜&0＜兀的辐角気记作arg Z注：Argz = argz + Ikn (k = 0,±l,+2,…)给定复数z的辐角，辐角主值的算a.确定复数z = x + iy所处复平面的象限及对应的向量;b.从图形上确定circtg— e argz G (-兀，创x 2 2及二者的关系；得到argz;c.辐角Argz = argz 2kn (k =0,±l,...).例：求复数=2-2i,z? =-1 +孙的辐角，辐角主值。
《复变函数与积分变换》(华中科技大学第二版)高等教育出版社课件-第一章
2
3、x yi 与 x yi 称为共轭复数， 记为 z 和 z
4、z1 x1 y1i 与 z2 x2 y2i 可以进行 加、减、乘、除等运算
z1 z2 x1 x2 y1 y2 i z1z2 x1 y1i x2 y2i
z1z2 r1ei1r2ei2 r1r2ei12
z1 z2
r1e i1 r2e i2
r1 ei12 r2
于是有：
z1z2 z1
z2
,
z1 z2
z1 z2
Arg z1z2 Arg z1 Arg z2
Arg z1 / z2 Arg z1 Arg z2
一、复数的基本概念
1、z x yi 称为复数，记为 z C 其中 i 称为虚单位满足：i2 1 实数 x 和 y 称为实部和虚部，记为 x Re z, y Im z
2、z1 x1 y1i 与 z2 x2 y2i 相等 当且仅当 x1 x2 , y1 y2
例如：
y x 的复数方程为 z t ti 1 i t y x2 的复数方程为 z t t2i t R
x2 y2 a2 a 0 的复数方程为
z acost iasint aeit t 0,2
或 z a
而圆心在 z0 x0 y0i 的圆复数方程为 z z0 a 或 z aeit z0
例如 w f z z2 x yi 2
x2 y2 2xyi
u x, y x2 y2,v x, y 2xy
w f z ez e x yi e xe yi e x cos y i sin y
复变函数与积分变换
C f ( z )dz lim 1 f ( k ) zk . n k
n
3.积分的性质
g 设 f ( z ) ， ( z ) 在曲线 C 上可积，则 C 1) C f ( z )dz C f ( z )dz ， 与 C 反向； 2) C Kf ( z )dz K C f ( z )dz，K 为常数；
习题：
1.设C是正向圆周z 1, 计算下列各积分的值。 dz dz dz 1 ） ; 2) ; 3) ; i z2 cos z c c c ( z )( z 2) 2 解：
dz 1) 0; z2 c dz 2) 0; cos z c 4i 3) 2i ; i i c ( z )( z 2) 2 i4 2 2 dz 1
z re i
z x iy
(5)代数表示:
5.运算 1)相等; 2)四则运算,及运算规律; 3)共轭运算,及运算规律; 4) z z r r [cos( ) i sin( )]
1 2 1 2 1 2 1 2
5)
z1 r 1 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )] z2 r2 r i (1 2 ) 1e ． r2
2i
3.沿指定曲线计算下列各积分.
ez 1 ） z 2 dz, C : z 2 1; c ez 3) C ( z 1)( z 2) dz, C : z 3; eiz 3 2) 2 dz, C : z 2i ; z 1 2 c ez 4) 3 dz, C : z 2; C z
2 2
在区域x 0内连续，且 u v v u , 在区域x 0上成立时， 1, 2a x y x y 1 即，当a 时，函数f ( z )在区域x 0内是解析的。 2
复变函数与积分变换第1章
z1 r1 [cos( 1 2 ) i sin(1 2 )] z2 r2
z1 z1 结论【P3-（1.3）】(1) z2 z2 z1 (2) Arg ( ) Argz1 Argz 2 . z2
思考题:
(1 i )(2 i )(3 i ) 已知 z 则 ( 3 i )(2 i )
11 2i (2 i )(5i ) 25 5i (5i )
16 8 i 25 25
16 Re( z ) 25 8 Im( z ) 25
16 8 16 8 64 zz ( i )( i ) 25 25 25 25 125
• 练习． 设复数z 1 3i , 求 Re( z ), Im( z )与zz .
实部： Re(z) x
(real part)
虚部：Im(z) y
(imaginary part)
注：与实数不同，一般 地，任意两个复数不能 比较大小。
例:
2 2i 1, 1 i 3 4i , 1 z 1 错误的!
1.1.2
复数的平面几何表示
一一对应 一一对应
n n
k 0
w0
n
n
r (cos
n
i sin
n n个根是于中心在原点,半径
)
n 为圆心，半径为 r 的圆周上
2 2 为r1/n的圆的内接正n边形的 k 1, w1 r (cos i sin ) n n n个顶点.
2(n 1) 2(n 1) k n 1, wn1 r (cos i sin ) n n
i 1 i
1 3i 解：因为z i 1 i
复变函数与积分变换第1章
*
复数 复平面点集 扩充复平面及其球面表示
第一章 复数和复平面
*
§1.1 复数
1.复数的概念
在实数范围, 方程 x2=-1是无解的. 引进一个新数i, 称为虚数单位, 并规定 i2 =-1 从而i是方程x2=-1的一个根. 对于任意二实数x,y, 称z=x+iy或z=x+yi为复数, x,y分别称为z的实部和虚部, 记作 x=Re(z), y=Im(z)
汇报人姓名
*
在复平面上, 复数z还与从原点指向点z=x+iy的平面向量一一对应, 因此复数z也能用向量OP来表示. 向量的长度称为z的模或绝对值, 记作
O
x
y
x
y
q
P
z=x+iy
|z|=r
*显然, 下列各式成立来自Oxy
x
y
q
P
z=x+iy
|z|=r
*
在z0的情况, 以正实轴为始边, 以表示z的向量OP为终边的角的弧度q称为z的幅角, 记作 Arg z=q 这时, 有
上述结论可简明地表示为
*
乘幂 n个相同复数z的乘积称为z的n次幂,记作zn
zn=rn(cos nq+isin nq). (1.14)
如|z|=1,则(棣莫弗(De Moivre)公式).
(cos q+isin q)n = cos nq+isin nq. (1.15)
则对任意正整数n, 我们有
如果E内的每个点都是它的内点, 则称E为
开集。
01
03
02
平面点集D称为一个区域, 如果它满足下列 两个条件: 1) D是一个开集; 2) D是连通的, 就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来.
复变函数与积分变换第1章Fourier解读
第一章Fourier变换§ 1.1 Fouriei•积分§ 1.2 Fourier变换的概念与性质§ 13 Fourier变换的应用主要内容Fourier变换是一种对连续时间函数的积分变换，通过特定形式的积分建立函数之间的对应关系•它既能简化计算（如解微分方程或化卷积为乘积等），又具有明确的物理意义（从频谱的角度来描述函数的特征），因而在许多领域被广泛地应用•离散和快速Fourier变换在计算机时代更是特别重要.§ 1.1 Fouriei•积分Recall:周期函数在一定条件下可以展开为Fourier级数;但全直线上的非周期函数不能有Fourier表示;引进类似于F ourier级数的Fourier积分（周期趋于无穷时的极限形式）1.1 Recall:在工程计算中，无论是电学还是力学，经常要和随时间而变的周期函数广应）打交道•例如：具有性质/ra+rW/G,其中卩称作周期，而1/T代表单位时◎动的次数，单位时间通常取秒，即每秒重复多少次，单匸疋赫兹（Herz,或Hz）.最常用的一种周期函数是三角函数。
人们发现，所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近••…Fourier 级数研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况，通常研究在闭区间［-T/2JV2］内函数 变化的情况.Dirichlet 条件:•心⑴连续或仅有有限个第一类间断点;⑴仅有有限个极值点贝呢⑴可展开为Fourier 级数，且在连续点f 处成立:Q0九⑴为T-周期函数,在上满足©叶鉴+ 工（色cos neat + b n sin ncot^n=\其中3=2兀「£ = ¥『;/(/) bn =討丁;/厂⑴sin 叱血(〃 =1,2,…) 在间断点f 处成立：M+ 0) +m - 0)七 +£ (a” COST +b n sin n^t)2n=\• incot—e2i级数化为:2 2令5 =等C” = 乎,d” = 屮，则c° =缶心 S £ J ；；齐⑴ 2°cosncotdt (H = 0,1,2,-・・)2 引进复数形式： 』net * ^ incot cos HCD Z = ------------------------ , sin neo t = ---- 2 Jn (dt . -in (dt / -in (x )t 、e 4-ef e —ean -------------- - ----------- + O’ ------------- --- ----------22i )'a n - ib n in(dt + % +比八^一和冋]7占dtfc /=: —flWsin 妁M = * J；；") 〃” =£ J；；加)[COSM/+i sin ncot]dt= ”：J ⑴^^n = l,2,・.)(j =耳)合并为：C 弓］T ：J T (”叫心=0,± 1, ±2,…)=ly Pf 72T 厶 J-r/2丄 M=—8」C n = F(nco^—f T (J )的离散频谱；|c”|—A ・(r)的离散振幅频谱； argc”一/^(f)的离散相位频谱；乙若以触/)描述某种信号，贝陀”可以刻画齐(/)的◎频率特征。
复变函数与积分变换第1章函数与复变函数
04
幂级数与泰勒级数
幂级数展开
幂级数展开
将一个函数表示为幂级数的形式， 即$f(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + cdots$，其中$z$是复数。
幂级数展开的收敛
域
幂级数展开的收敛域是指在这个 区域内，级数收敛并可以表示该 函数。收敛域的大小取决于函数 的性质和幂级数的系数。
03
复变函数的积分
复变函数的积分定义
实数范围内函数的积分
实数范围内函数的积分是数学分析中的基础概念，通过分割、近似、求和、取极限等步骤来计算。
复数范围内函数的积分
复数范围内函数的积分是实数范围内函数的积分的扩展，需要考虑到复数范围内函数的解析性、奇偶性、周期性 等特点。
柯西积分公式
柯西积分公式是复变函数中一个重要 的公式，它给出了在单连通区域内解 析的函数f(z)的积分与边界上的值之间 的关系。
柯西积分公式的应用：柯西积分公式 可以用于求解一些复杂的积分问题， 例如计算某些函数的原函数、求解某 些微分方程等。
积分定理与路径无关性
积分定理
复变函数中的积分定理包括线积分定理和面积分定理，它们分别描述了函数在曲线和曲 面上的积分与边界上的值之间的关系。
路径无关性
在复变函数中，如果一个函数的积分与路径无关，则称该函数是某个变量的全纯函数或 解析函数。路径无关性是全纯函数的一个重要性质，它可以用于求解一些复杂的积分问
图像处理
在图像处理中，复变函数主要用于图像的频 域处理。通过快速傅里叶变换（FFT），可以 将图像从空间域转换到频域，实现图像滤波、
边缘检测、频域增强等操作。
在物理和工程中的应用
物理
在物理学中，复变函数被广泛应用于量子力学、电磁 学等领域。例如，在量子力学中，波函数通常被描述 为复数形式的函数。
复变函数与积分变换第1章复数与复变函数精品PPT课件
（1）z0z, 0z0 （2） z1z, z11
z
（3）若 z1z2 0，则 z 1 与 z 2 至少有一个为零， 反之亦然.
共轭复数的运算性质：
（1） z z
（2） z1z2 z1z2
（3） z1z2 z1z2
Argz
并规定按逆时针方向取值为正，顺时针方
向取值为负.
4.复数的三角表示式
称 zr(coissin )
为复数 z的三角表示式.
5.复数的指数表示式
称 z rei为复数 z的指数表示式.
例3 求 Arg2(2i)和 Arg3 (4i). 解
A 2 r2 i) g a (2 r 2 g i) 2 (k
25
25
zz(16 8i)1 ( 6 8i)64 25252525 125
1.1.3 复数的各种表示、模与辐角
1.复数的几何表示
由复数 zxiy的定义可知，复数是由一对 有序实数 (x, y) 惟一确定的，于是可建立全 体复数和 x O y 平面上的全部点之间的一一
对应关系，即可以用横坐标为 x，纵坐标
所以
rz (1)2( 3)22
设 argz,
则
tant 3 3
1
又因为 z1i 3 位于第II象限，
所以 argz 2 ,
于是
3
z 1i
3 2(cos2isin2)
i 2
2e 3
3
3
1.1.4. 复数的幂与根
1. 复数的乘幂
设 n为正整数，n个非零相同复数 z的乘积，
称为 的 z次幂n，记为 ，z即n
6
高等数学复变函数与积分变换第一章 复数与复变函数
第一章 复数与复变函数第一节 复数1．复数域每个复数z 具有x iy +的形状，其中x 和R y ∈，1-=i 是虚数单位；x 和y 分别称为z 的实部和虚部，分别记作z x Re =，z y Im =。
复数111iy x z +=和222iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等。
如果0Im =z ，则z 可以看成一个实数；如果0Im ≠z ，那么z 称为一个虚数；如果0Im ≠z ，而0Re =z ，则称z 为一个纯虚数。
复数的四则运算定义为：)21()21()22()11(b b i a a ib a ib a ±+±=+±+)1221()2121()22)(11(b a b a i b b a a ib a ib a ++-=++ ()()11121221122222()222222a ib a a b b a b a b i a ib a b a b ++-=++++ 复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C 。
2．复平面C 也可以看成平面2R ，我们称为复平面。
作映射：),(:2y x iy x z R C +=→，则在复数集与平面2R 之建立了一个1-1对应。
横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z -平面，w -平面等。
3．复数的模与辐角复数z x iy =+可以等同于平面中的向量。
向量的长度称为复数的模，定(,)x y义为：||z向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：Arg arctan 2y z i xπ=+（k Z ∈）。
复数的共轭定义为：z x iy =-；复数的三角表示定义为：||(cos sin )z z Argz i Argz =+；复数加法的几何表示：设1z 、2z 是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：（1）、||||||1212z z z z +≤+；（2）、||||||||1212z z z z +≥-； （3）、||||||1212z z z z -≤+；（4）、||||||||1212z z z z -≥-； （5）、|Re |||,|Im |||z z z z ≤≤；（6）、2||z zz =；例1．1试用复数表示圆的方程：22()0a x y bx cy d ++++= （0a ≠）其中a,b,c,d 是实常数。
复变函数与积分变换第一章 复变函数和解析函数
|z|=2的内接正方形的四个顶点(如图).
1
一般情况下, n z z n
n个根就是以原点为中心、
y
w1
w0
1
半径为 r n 的圆的内接正多边
o
x
形的n个顶点所表示的复数.
w2
w3
1.1.5 复球面与无穷远点
第一章 复变函数与解析函数
§1.1 复 数
1 复数的概念 2 复数的四则运算 3 复数的表示方法 4 乘幂与方根
1.1.1 复数的概念
由于解代数方程的需要, 人们引进了复数. 例如，简单的代数方程
x2 1 0 在实数范围内无解. 为了建立代数方程的普遍 理论，引入等式
i2 1. 由该等式所定义的数称为虚数单位
cosq i sinq n (cos nq i sin nq )
称为De Moivre公式.
如果定义负整数幂为
zn
1 zn
,
那么
De Moivre公式仍然成立. 设
z1 r1(cosq1 i sinq1 ), z2 r2(cosq2 i sinq2 ),
当 z2 0 (即 r2 0 )时,
y
y
为起点而以点P为终点的向
量表示(如图).
o
Pz x iy
x
x
这时复数加、减法满足向量加、减法中的平
行四边形法则. 用 OP表示复数z时, 这个向量在x轴和y轴上
的投影分别为x和y.
把向量 OP 的长度r 称为复数z的 模 或称为z
的绝对值, 并记做|z|. 显然 z r x2 y2 ,
q r1
o
q1
q2
•
r2
z2
z2 r2(cosq2 i sinq2）.
复变函数与积分变换-第一章
(1)
( z1 z2 ) z1 z2 ( z1 z2 ) z1 z2
( 2) z z
(3)z z Re(z )2 Im(z )2 x 2 y 2
z1 z1 ( ) z2 z2
(4) z z 2 Re (z ) z z 2i Im (z )
( z1 z1 )( z 2 z 2 )
( z 1 ) 2 ( z 2 ) 2 z1 z 2
24
复变函数与积分变换
证明：2)
z1 z 2 z1
2 2
(z1 z 2 )(z1 z 2 ) (z1 z 2 )( z1 z 2 )
2
z1 z1 z1 z 2 z1z 2 z 2 z 2 z2 z1 z 2 z1z 2
点的表示
向量表示法 三角表示法 指数表示法 复球面
15
复变函数与积分变换
1. 点的表示
易见， z x iy 一对有序实数 ( x, y),
在 平 面 上 取 定 直 角 坐系 标， 则 任意点 P ( x, y) 一 对 有 序 实 数 ( x, y) z x iy 平 面 上 的 点 P ( x, y)
z2
z1
复数和与差的模的性质
z 2 z1 — 点z1与z 2之间的距离
由此得 : z 2 z1 z 2 z1 z1 z 2 z1 z 2 (三角不等式)
z1 z2
z 2
z1 z 2
x
21
复变函数与积分变换
例题
例 1. 将下列复数化为三角表示式与指数表示式 ）z sin i cos 1 ）z 12 2i 2 5 5 解 1）r z 12 4 4 ， 由于z在第三象限，所以 2 3 5 arctg ( ) arctg 3 6 12 5 5 三角表示形式 z 4cos( ) i sin( ) 6 6
复变函数与积分变换经典PPT—复变函数第一章小结与习题
z 2 r2 (cos 2 i sin 2） ,
则有
z2 z1
z2 z1
,
z2 Arg Arg z 2 Arg z 1 . z1
设复数 z 1 和 z 2的指数形式分别为
z 1 r1 e
z re
i
称为复数 z 的指数表示式.
4.复数的乘幂与方根 1) 乘积与商 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.
若 z 1 r1 (cos 1 i sin 1） ,
z 2 r2 (cos 2 i sin 2） ,
则有
z1 z2 r1 r2 [cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )] Arg( z1 z2 ) Argz1 A应的向量分别为 z 1 , z 2 ,
z
z1
y
先把 z 1 按逆时针方向 旋转一个角
所得向量
z 就表示积
z1 z 2 .
2 1
o
r2
复数相乘就是把模相乘, 辐角相加.
再把它的模扩大到
r2 倍 ,
r1
2,
r
z2
x
两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个 复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.
设 G 是一个复数 个确定的法则存在 每一个复数 z x iy 的集合 . 如果有一 , 按这个法则 , 对于集合 G 中的
z , 就有一个或几个复数 w 是复变数
w u iv 与 z 的函数 ( 简称
之对应 , 那末称复变数 复变函数 ), 记作
复变函数及积分变换第一章
例1.1 求arg(-3-i4).
解： Arg(-3-i4)= arg(-3-i4)+2k, k=0,±1,±2,….
点-3-i4位于第四象限
arg(3 i4) arctan (4) π arctan 4 π
(3)
3
Arg(3 i4) arctan 4 (2k 1)π, 3
k=0,±1,±2,….
曲线的内部均属于D，则称D为单连通区域，否则就 称为多连通区域.
2.直线和半平面
设L表示C中的直线，如果a是L上的任一点，b是 它的方向向量，那么
L {z a tb : t }
对于L上的z，有
Im
z
b
a
0
L
z
:
Im
z
b
a
0
z
:
Im
z
b
a
0
z
:
Im
z
b
a
如果两个复数的实部和虚部分别相等,称这两 个复数相等. 2. 复数的向量表示和复平面 复数可用点z(a,b)表示
用直角坐标系表示的复数 的平面称为复平面，x轴叫 做实轴，y轴叫做虚轴.
实轴上的点表示实数；除 了原点外，虚轴上的点表 示纯虚数.
当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两 个复数叫做互为共轭复数.
0
假定|b|=1，a=0.
H0
z
:
Im
z b
0
b ei z rei z / b rei( )
于是 z H0，当且仅当sin( ) 0即 π .
如果 “按照b的方向沿着L前进”，H0是位于L的 左边的半平面.
Ha
z
:
Im
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记作θ0=argz。
计算 argz(z≠0)
arg
z
arctan y x
2
x 0, y R
x 0, y 0
的公式
arctan y
2
x2
arctan
y x
x 0, y 0
x 0, y 0
当z落于一,四象限时，不变。
当z落于第二象限时，加 。 当z落于第三象限时，减 。
(2)复数的四则运算 —相当于代数中的多项运算
z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积、商为：
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)
z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
z
z1 z2
x1 x2 x22
y1 y2 y22
i
x2 y1 x1 y2 x22 y22
由向量表示法知
y
(z)
z2 z1 — 点z1与z2之间的距离
由此得 :
z1
z2 z1 z2 z1 (三角不等式)
z2
z2 z1 z2 z1
(3). 三角表示法
由
x y
r r
cos sin
得
z r(cos i sin )
o
x
(4). 指数表示法
再由Euler公式 :
ei cos i sin得
点的表示：z x iy 复平面上的点P( x，y)
数z与点z同义.
（2） 向量表示法
z x iy 点P( x，y) OP { x, y}
可用向量OP表示z x iy .
称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；
以正实轴 为始边, 以向量OP 为终边的角的
弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)
(z2 0)
复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域
(对加、减、乘、除运算封闭），记为C，复数域可以 看成实数域的扩张。
（3）共轭复数
定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.
•共轭复数的性质
(conjugate)
(1) (z1 z2 ) z1 z2 (z1z2 ) z1z2 ( z1 ) z1 z2 z2
则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2)
= r1r2[cos (θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] =r1r2e i(θ1+θ2) 因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2
(2) z z
(3)z z Re( z)2 Im( z)2 x2 y2
(4)z z 2 Re(z) z z 2i Im(z)
1z z | z |2
2 复数的表示方法
（1）点的表示 （2）向量表示法 （3）三角表示法 （4）指数表示法
（1） 点的表示
z x iy 一对有序实数( x, y),
(法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以 及 Gauss (德国1777-1855)与Hamilton (爱尔兰1805-1865)
定义复数 a ib 为一对有序数后，才消除人们对复数 真实性的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此 才顺利地得到建立和发展。
1. 复数的概念及运算
y
Hale Waihona Puke (z)P(x,y) 模：| z || OP | r x 2 y2 ,
y
记作
z r
辐角 : Argz
z 0 OP 0
o
xx
z=0时，辐角不确定。
z 0时，tan( Argz) y / x
辐角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ， k∈Z，
把其中满足 0 的θ0称为辐角Argz的主值，
们所理睬，并被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。
2. 直到十七与十八世纪，
随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 L.Euler的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如
大家所熟知的Euler公式,ei cos i sin ，揭示了
复指数函数与三角函数之间的关系。
3. 然而一直到C.Wessel (挪威.1745-1818)和R.Argand
学习方法：要善于同实变函 数进行比较、区别，特别要 注意复变函数特有的那些性 质与结果。
Ch1 复数和复平面
§1 复 数
1. 复数的概念及运算 2. 复数的表示方法
背景介绍
1. 在十六世纪中叶， G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次方程
x10 x 40
时引进了复数。他发现这个方程没有根，并把这个方程 的两个根形式地表为 5 15与5 15 。在当时， 包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什么好处。事 实上，复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人
（1）复数 形如 z x iy ，其中x和y是实数，i是 虚单位( i2 1 ), 称为复数。其中x和y分别称为复
数z的实部和虚部，分别记作：
x Re z, y Imz
两个复数相等是指它们的实部与虚部分别相等。 如果Imz=0，则z可以看成一个实数； 如果Imz不等于零，那么称z为一个虚数； 如果Imz不等于零，而Rez=0，则称z为一个纯虚数。 z 0 Re(z) Im(z) 0
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform 教材： 《复变函数与积分变换》 马柏林编，复旦大学出版社 主要参考书: 《复变函数》， 西安交大（第四版） 《积分变换》， 东南大学（第四版） …….
一、复变函数
我们以复数为自变量 的函数—复变函数，研究 其在复数域上的微积分， 并以解析函数为中心内容。
z rei
3 复数的乘幂与方根
(1) 复数三角表示的乘积与商 （2）复数的乘幂 （3）复数的方根
（1）乘积与商的几何意义
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。
证明
设 z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1 z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2
在 平 面 上 取 定 直 角 坐 标系 ， 则
y
z x iy
y
(x, y)
任意点P( x, y) 一对有序实数( x, y)
z x iy 平面上的点P( x, y) o
x
x
复数z x iy可用平面上坐标为( x，y)的点P表示. 此时， x轴 — 实轴 y轴 — 虚轴
平面 — 复平面或z平面