OFDM 系统中基于注水定理的协同功率分配算法

优化设计方法导论课程论文
问单个发射机。 为了准确确定水位的值，迭代注水算法已经在许多文献中被提及 用来解决数值计算[7][8]。 为了验证无线网络中协作通信的优点，它在不同的性能指标下得到测试 [9]-[12]。 协作通信的本质在于通过交换信息，个别独立的传输链路或系统可以 合并成一个更大的平等链路或系统。然后，我们从全局最优而不是局部最优的层 面来研究通过联合设计的发射机或接收机结构的功率分配问题。 在非协作的情况 下，可以得到不同的增益。协作中继 OFDM 网络的资源分配一直是一个热门话题， 并且可以在文献中找到一些解决方案。 有文献介绍过一种在用户合作的两用户串 扰信道之下的一个协作注水算法，能够最大限度地提高每个子信道用户为的速 率。 如图 1，本文研究了在每个发射机相互独立的情况下，一种应用于 OFDM 系 统的协同功率分配方案。我们研究的前提是每个发射机都能够达到最佳信道状 态，他们首先合作交换各自的信道状态，再共同优化系统容量中的功率分配。 这个模型很类似于我们已知的实际 OFDM 系统，它的功率分配情况我们也早就已 知。在本文中，我们重点研究 2 个发射机的模型，显然 n 个发射机的情况要比 2 个发射机的情况复杂。在之前的研究中，一些不完整的结论都是通过海森矩阵和 仅仅是探索式的协作注水算法得出，并没有经过严格的分析。 这篇文章的主要突出点在于，通过 KKT 条件的应用，我们寻求有着 2 个发射 机、多个接收机系统的最大系统容量的闭式解。这是一个非凸优化的约束条件问 题。最终，我们发现解决方案与传统的注水方案有着一定的相似，并且具有一些 有趣的协同特点。根据得出的结论，再通过一些理论上的分析和数值上的推导， 我们找到一种最优协作注水算法（Co-WF） ，这个算法可以实现我们的目标。 文章剩余的部分由其他的 4 部分组成。 第二部分介绍了系统模型和我们要解 决的问题。第三部分，根据上文提到的最优协作注水算法，我们由闭式解给出最 优协作功率分配方案。 第四部分进行了仿真来验证提出的方案。 第五部分是总结。
证明：非凸问题（3）的 KKT 条件可以表示为：
xnk 0, xnk 1 0, nk 0, nk xnk 0,
k 1
K
nk
1 xlk lk
l 1 2
nk vn , n 1, 2，k 1, 2,..., K
(5)
其中 nk 和vn 是拉格朗日乘子，分别对应于不等式约束和等式约束条件。接 下来，我们将证明优化问题（3）能够在特定的边界结合域实现。 假设问题（3）能够在 R 定义域内取到，即 xnk 0, n 1, 2 , k 1, 2,..., K . 然后从式 （5） 的第四个条件可以推导出对于 n 1, 2 , k 1, 2,..., K ,有 nk 0 。 结合式（5）的最后一个条件，有:
max R log(1 xnm nm )
n 1
2
k 1, k m

K
log 2 (1 xnk k nk k )
（4）
s.t.m 1, 2,..., N , nk 1, 2 ,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
k
nk
1and , xnk 0, n, k
这表明为了最大化总容量， 只有第 m 个接收机是由两个发射机共同发送，而 其他的接收器是由一个单一的发射机发送。等式（4）的右边第一项表示由两个 发射机共同发送的接收机总容量， 右边第二项表示由单个发射机发送的接收机的 总容量。从数学的角度来看，最优化问题必须在一个特定的边界结合域来实现。
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target ,which we have the same total power, how to get greater system capacity.This is a typical convex optimization problem.Through an application of Karush-Kuhn-Tucker (KKT ) conditions, the convex optimization problem is reformulated as a simplified convex one. Key words ： OFDM;Convex Optimization;KKT conditions;traditional water-filling algorithm
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各自独立的功率限制。 在这里，我们不明确考虑子载波的调度。然而，值得强调的是本文中功率分 配的结果是适用于任何调度策略的，这不失一般性。这样的策略的效果是简单地 诱导对选择副载波不同的副载波的统计。 假设任意的调度算法选择一定的 K 个子载波。 我们假定每一个子载波是足够 狭窄，能够经历平稳衰变，在给定的时隙常数下，信道增益是稳定的。那么可提 供的总容量能够被表示为：
2
系统模型
我们考虑只有 2 个发射机和 K 个独立的接收机的情况， 并且我们假设所有的 发射机都能达到最佳信道状态（CSI） ，如图 1 中的 OFDM 系统模型。我们也假设 所有的发射机能够通过公共的信道分享最佳信道状态。 通过 K 个具有相同频谱带 宽 B 的正交子载波，发射机共同发射分离的信息到 K 个接收机。每个发射机有
R log（1 + 2
k 1 K
K
P
n 1
2
2
nk
hnk ）
（1）
N 0 B
s.t. Pnk Pn , n 1, 2, Pnk 0, n, k
k 1
N 0 :AWGN 信道的功率谱密度 Pnk :第 n 个发射机到第 k 个子载波的传输功率 Pn :第 n 个发射机的功率限制 hnk :第 n 个发射机到第 k 个子载波的信道响应
max R log 2 (1 xnk nk )
k 1 n 1 K 2
s.t. xnk 1andxnk 0, n, k
k 1
K
（3）
注意点（1） ：在我们移项之前，问题（3）是一个凸优化问题，而且能够运 用 KKT 条件转换为一种简单的凸优化形式。接下来，我们首先通过转换成一种较 为简单的凸优化形式来实现闭式解的情形。然后，根据已知条件推导出最优功率 分配算法。 定理 1：凸优化问题（3）能够转换成如下形式：
考虑以下问题，如何在 K 个正交窄子载波分配功率，才能使系统容量最大， 我们可以应用如下优化问题来寻求最优协作功率分配方案。
Pn ( Pn*,1 ,..., Pn*, K ) arg max R, n 1, 2 K
Pn
K 其中， K Pn | k (1,..., K ), 0 Pnk Pn , Pnk Pn 是可行集合。 k 1
鉴于 OFDM 以上优势，本章研究 OFDM 传输技术下的注水功率分配算 法。认知用户在通信开始前可以根据频谱检测的信息，选择性的关闭被授权用户 占用或者信道状况糟糕的子载波，从而在保证授权用户利益的前提下，实现了对 空闲频谱的有效利用。 1.2 协作注水算法 传输功率分配结合速率适配被认为是一种增加无线网络容量的有效方法 [1],[2]。在 OFDM 系统中，多个 PLE 接收机通过正交副载波访问单个发射机。在 发射机发射功率的约束下， 传统的注水功率分配算法方案已经被证明是最大化吞 吐量[3]的最优方案。注水问题的解决由最大互信息问题推导而来，它被广泛应 用于 OFDM 系统或可建模为多个接收器的任何其它方案通过正交信道[4]-[6]访
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OFDM 系统中基于注水定理的协同功率分配算法
蔡依伦（04012628）
（东南大学信息工程学院，南京 211189）
摘要：正交频分复用是一种利用多载波调制的特殊频率复用技术。正 交频分复用的基本定理就是把高速数据流通过串并变换，分配到传输 速率相对较低的若干个子信道中进行传输。一直以来，正交频分复用 系统的功率分配问题得到了广泛的研究。根据香农定理，C=B*W*log （1+S/I） ，由于实际信道是频率选择性信道，那么每个载波上其衰落 是不一样的，如果将功率平均分配在所有载波上，不能做到容量最大。 通过信息容量定理的注水解释，如果在信道条件更好的载波上，加上 更多的能量，信道条件差的载波，减少能量，最终同样的总功率下， 可以达到更大的容量。本文的目的就是通过结合传统注水算法来研究 功率分配，也就是希望在同等总功率下，获得更大的系统吞吐量。这 是一个典型的凸优化问题。我们能够应用 KKT 条件，使得该凸优化问 题变得较容易解决。
正文： 1 介绍 1.1 OFDM 系统在无线网络中的优势 由于 OFDM 传输技术在配置空闲频谱时具有巨大的灵活性， 以及在分析授权 用户频谱活动方面的方便性， 将其作为认知无线网络的一部分，具有巨大的应用 价值。下面将 OFDM 技术优势总结如下表 表 1 OFDM 作为认知无线电传输方案的技术优势
因此等式（1）有一个解决方案。 3 最优协同功率分配 为了计算简便，我们令
nk
(P h ) n nk N0 B Pnk Pn
2
2
xnk
此时等式（1）可以写成：
R log 2 (1 xnk nk )
k 1 n 1
K
（2）
因此最大容量问题可以另外定义成：
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关键词：OFDM
凸优化
KKT 条件
传统注水算法
Abstract ： Orthogonal Frequency Division Multiplexing is a multi-carrier modulation of specific frequency multiplexing.Fundamental Theorem of Orthogonal Frequency Division Multiplexing is the high-speed data stream through the serial parallel conversion, transmission rate assigned to a relatively low number of sub-channels for transmission.All along, the orthogonal frequency division multiplexing system of power distribution problems have been extensively studied.According to Shannon theorem, Since the actual channel is frequency-selective channels, then each carrier on its decline is not the same.If the average distribution of power on all carriers, we can not achieve the maximum capacity. By injection interpret the information capacity theorem, if the channel conditions are better carrier, with more energy, poor channel conditions of the carrier, reducing energy, at the same final total power,we can achieve greater capacity.The purpose of this paper is to study the theorems by combining traditional water-filling power algorithm to realize the