新课标人教A版选修1-1导数及其应用复习学案

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《导数在研究函数中的应用》学案3(新人教A版选修1-1).doc

3. 3. 1函数的单调性和导数学案学习目标1.理解函数单调性和导数的关系；2.会利用导数判断函数的单调性。

学习重点和难点1.重点：函数单调性和导数的关系;2.难点：函数单调性和导数的关系。

一、复习引入：1.常见函数的导数公式：2•法则1 |w(x) ± v(x)| = u (x) ± v (x).法则2 法则3二、讲授新课1・问题:图3.3-1 (1),它表示跳水运动中高度力随时间r变化的函数处)=—4.9八+6.5/+ 10的图像,3.3-1 (2)表示高台跳水运动员的速度卩随吋间1变化的函数v(r) = h ⑴=-9.8/+ 6.5 的图像.运动员从起跳到最高点，以及从最髙点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：(1)(2)2.函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与英导数正负的关系.如图3.3-3,导数/(x0)表示函数f\x)在点(x0,y0)处的切线的斜率.在x = x0处，/(x0)>0,切线是“左下右上”式的，这时，函数/(Q在兀°附近单调递增；在% =处，/(x0)<0,切线是“左上右下”式的，这时，函数/(x)在占附近单调递减.结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(a,b)内，如果/(x)>0,那么函数y = /(x)在这个区间内单调递增；如果f (无)< 0,那么函数y = /(x)在这个区间内单调递减.说明：(1)特别的，如果/(x) = 0,那么函数y = /(x)在这个区间内是常函数.3.求解函数y = /(x)单调区间的步骤:(1)确定函数y = /(%)的定义域;(2)求导数y = f (x)；(3)解不等式/(x)>0,解集在定义域内的部分为增区间;(4)解不等式f (x) < 0 ,解集在定义域内的部分为减区间.三.典例分析例1.已知导函数f(x)的下列信息:当1 vxv4时，/(x)>0；当x>4 ,或xv 1 时，/ (%)<0；当x = 4 ,或x = l 时，/ (x) = 0试画出函数y = /(兀)图像的大致形状.解：例2.判断下列函数的单调性，并求出单调区问.(1)/(x) = x3 +3% ；(2) /(x) = x2 -2x-3(3) /(x) = sinx-x xe (0,^) ；(4) /(x) = 2%3 + 3x2 -24x +1例3・如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度力与时间(的函数关系图像.分析:解：思考：一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡悄”；反之，函数的图像就“平缓” 一些. 如图3.3-7所示,函数y = /(兀)在(0,5)或(a,0)内的图像"陡悄”，在(b, + 8)或(-^卫) 内的图像“平缓”.例4・求证：函数y = 2X 3+3X 2-12X + 1在区间(-2,1)内是减函数.证明：说明：证明可导函数/(x)在(d,b)内的单调性步骤:(1)；(2) ；(3) .2例5・已知函数/(x)=4x + ox 2 一一X 3 (XG R)在区间［一1,1］上是增函数，求实数Q 的取值范围. 解：说明:(1) (2)(O)例6・已知函数)匸兀+―,试讨论出此函数的单调区间. X解：⑵解:2、设y = f'(x)是函数y = f(x)的导数，y = f'(x)的图象女口图所不，则y = f(x)的图象最有可能是()五、课堂小结: 1.2.3..六、课后作业：课本习题3. 3 A 组1, 2【思考题】对于函数fix)=2x 3—6$+7思考1、能不能画出该函数的草图？思考2、2丘+7 = 6兀在区间(0, 2)内有儿个解? 四、课堂练习：1.确定下列函数的单调区间(1 )j=? 一 9X 2+24X (2)y=3x-?⑴解：。

高中数学《第三章导数及其应用》复习学案新人教A版选修

高中数学《第三章导数及其应用》复习学案新人教A版选修一、知识点梳理（1）平均变化率：对于一般的函数，在自变量从变化到的过程中，若设, 则函数的平均变化率为（2）导数的概念一般的，定义在区间（，）上的函数，，当无限趋近于0时，无限趋近于一个固定的常数A，则称在处可导，并称A为在处的导数，记作或（3）导数的几何意义函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的。

基本初等函数的导数公式表及求导法则（默写）（5）函数单调性与导数：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内；如果，那么函数在这个区间内、说明：（1）特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数、（6）求解函数单调区间的步骤：（7）求可导函数f(x)的极值的步骤: 注：列成表格后，检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值（8）函数的最值：一般地，在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有、二、典型例题1、曲线y＝在点(1，－1)处的切线方程为()A、y＝x－2B、y＝－3x＋2C、y＝2x－3D、y＝－2x＋12、函数在区间 ( )(A)上单调递减 (B)上单调递减 (C)上单调递减 (D)上单调递增3、若函数在处有极大值，则常数的值为_________；4、函数的一个单调递增区间是（）(A)(B)(C)(D)5、函数的极值是6、已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如下，则( )A、函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B、函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C、函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D、函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点7、求函数y=x2（x－3）的减区间8、函数的极大值为6，极小值为2，（Ⅰ）求实数的值、（Ⅱ）求的单调区间、9、已知在时取得极值，且、Ⅰ、试求常数a、b、c的值；Ⅱ、试判断是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由、。

高中数学第三章导数及其应用3.1.3导数的几何意义学案新人教A版选修1_1

3.1.3 导数的几何意义内容标准学科素养 1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义． 2.会求简单函数的导函数．3.根据导数的几何意义，会求曲线上某一点处的切线方程.利用数学抽象发展逻辑推理提高数学运算授课提示：对应学生用书第53页[基础认识]知识点一导数的几何意义导数f ′(x 0)表示函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，反映了函数f (x )在x ＝x 0附近的变化情况．那么，导数f ′(x 0)的几何意义是什么呢？如图，当点P n (x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4)沿着曲线f (x )趋近于点P (x 0，f (x 0))时，割线PP n 的变化趋势是什么？预习教材P 76－79，思考并完成以下问题提示：当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为点P 处的切线．割线PP n 的斜率是k n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0.当点P n 无限趋近于点P 时，k n 无限趋近于切线PT 的斜率．因此，函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线PT 的斜率k ，即k ＝limΔx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)．知识梳理(1)导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(2)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．特别提醒：曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可能有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．知识点二导函数的概念知识梳理从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′.即f′(x)＝y′＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.[自我检测]1．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为()A．4B．16C．8 D．2答案：C2．曲线y＝2x2＋1在点P(－1,3)处的切线方程为________．答案：4x＋y＋1＝0授课提示：对应学生用书第54页探究一导数几何意义的应用[阅读教材P77例2]如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t ＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况．题型：导数几何意义的应用．方法步骤：①分别观察得出h(t)在t0，t1，t2处的导数，即切线的斜率的大小．②导数是刻画函数的变化快慢情况的量．③得出t0处h(t)几乎没有升降．又∵h′(t1)<h′(t2)<0，∴h(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢．[例1]如图表示物体运动的位移随时间变化的函数f(t)＝4t－2t2的图象，试根据图象，描述、比较曲线f(t)在t0，t1，t2附近的变化情况，并求出t＝2时的切线方程．[解析]用曲线f(t)在t0，t1，t2处的切线，刻画曲线f(t)在t0，t1，t2附近的变化情况．(1)当t＝t0时，曲线f(t)在t0处的切线l0平行于x轴，所以，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降；(2)当t＝t1时，曲线f(t)在t1处的切线l1的斜率f′(t1)<0，所以，在t＝t1附近曲线下降，即函数f(t)在t＝t1附近单调递减；(3)当t＝t2时，曲线f(t)在t2处的切线l2的斜率f′(t2)<0，所以，在t＝t2附近曲线下降，即函数f(t)在t＝t2附近也单调递减．由图象可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，说明曲线f(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢；(4)当t＝2时，f(2)＝0.在t＝2时的切线的斜率k＝f′(2)＝limΔx→0f(2＋Δt)－f(2)Δt＝limΔx→04(2＋Δt)－2(2＋Δt)2－8＋8Δt＝limΔx→04Δt－2(Δt)2－8ΔtΔt＝limΔx→0(－2Δt－4)＝－4.所以切线的方程为y＝－4(x－2)，即4x＋y－8＝0.方法技巧函数y＝f(x)在点P处的切线的斜率，即函数y＝f(x)在点P处的导数，反映了曲线在点P处的变化率．一般地，切线的斜率的绝对值越大，变化率就越大，曲线的变化就越快，弯曲程度越大；切线斜率的绝对值越小，变化率就越小，曲线的变化就越慢，弯曲程度越小，即曲线比较平缓；反之，由曲线在点P附近的平缓、弯曲程度，可以判断函数在P 处的切线的斜率的大小．跟踪探究1．已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)解析：从图象上可以看出f (x )在x ＝2处的切线的斜率比在x ＝3处的斜率大，且均为正数，所以有0<f ′(3)<f ′(2)，此两点处的斜率f (3)－f (2)3－2比f (x )在x ＝2处的切线的斜率小，比f (x )在x ＝3处的切线的斜率大，所以0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故选B.答案：B探究二求曲线在某点处的切线方程[教材P 110复习参考题A 组1题]已知点P 和点Q 是曲线y ＝x 2－2x －3上的两点，且点P 的横坐标是1，点Q 的横坐标是4，求：(1)割线PQ 的斜率； (2)点P 处的切线方程．解析：(1)由题可知P (1，－4)，Q (4,5)， ∴k PQ ＝93＝3.∴割线PQ 的斜率为3.(2)点P 处切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝limΔx →0 (1＋Δx )2－2(1＋Δx )－3－(12－2－3)Δx＝limΔx →0Δx ＝0，当x ＝1时y ＝－4， ∴P 处切线方程为y ＝－4.[例2] 求曲线y ＝1x在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线方程． [解析] 因为y ′|x ＝2＝limΔx →012＋Δx －12Δx ＝limΔx →0－12(2＋Δx )＝－14，所以这条曲线在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线斜率为－14，由直线的点斜式方程可得切线方程为y －12＝－14(x －2)，即x ＋4y －4＝0.方法技巧求曲线在某点处的切线方程的步骤求斜率―→求出曲线在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率f ′(x 0)→用点斜式y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)写出切线方程变形式―→将点斜式变为一般式跟踪探究 2.曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________．解析：k ＝limΔx →0 (2＋Δx )2＋1－22－1Δx＝limΔx →0(Δx ＋4)＝4， ∴曲线在P 处的切线方程为y －5＝4(x －2)，即y ＝4x －3，令x ＝0得y ＝－3,∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3. 答案：－33．若曲线y ＝x 3＋3ax 在某点处的切线方程为y ＝3x ＋1，求a 的值．解析：∵y ＝x 3＋3ax .∴y ′＝limΔx →0 (x ＋Δx )3＋3a (x ＋Δx )－x 3－3ax Δx＝limΔx →0 3x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3＋3aΔx Δx＝limΔx →0[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2＋3a ]＝3x 2＋3a . 设曲线与直线相切的切点为P (x 0，y 0)，结合已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 20＋3a ＝3，x 30＋3ax 0＝y 0＝3x 0＋1，解得⎩⎨⎧a ＝1－322，x 0＝－342，∴a ＝1－322. 探究三求曲线过某点的切线[例3] 已知曲线y ＝2x 2－7，求曲线过点P (3,9)的切线方程． [解析] y ′＝limΔx →0ΔyΔx＝limΔx →0 [2(x ＋Δx )2－7]－(2x 2－7)Δx ＝limΔx →0 (4x ＋2Δx )＝4x . 由于点P (3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝4x 0，故所求的切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0)，将P (3,9)及y 0＝2x 20－7代入上式，得9－(2x 20－7)＝4x 0(3－x 0)．解得x 0＝2或x 0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x －y －15＝0或16x －y －39＝0. 方法技巧求曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线方程的步骤(1)设切点为A (x A ，f (x A ))，求切线的斜率k ＝f ′(x A )，写出切线方程．(2)把P (x 0，y 0)的坐标代入切线方程，建立关于x A 的方程，解得x A 的值，进而求出切线方程．跟踪探究 4.求过点A (2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线方程．解析：易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P (x 0，y 0)，由 y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0 1x 0＋Δx －1x 0Δx ＝－1x 20，得所求直线方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)．由点(2,0)在直线上，得x 20y 0＝2－x 0，再由P (x 0，y 0)在曲线上，得x 0y 0＝1，联立可解得x 0＝1，y 0＝1，所求直线方程为x ＋y －2＝0.授课提示：对应学生用书第55页[课后小结](1)导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝limΔx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．(2)“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值．(3)利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点．[素养培优]切线问题中忽视切点的位置致误求过曲线f (x )＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程．易错分析求过一点P 的曲线的切线方程，该点P 不一定是切点，易把P 点当作切点求解致误．考查数学抽象及逻辑推理的数学素养．自我纠正设P (x 0，y 0)为切点， f ′(x 0)＝limΔx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝limΔx →0 (x 0＋Δx )3－2(x 0＋Δx )－x 30＋2x 0Δx＝3x 20－2，所以切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)，即y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0)．又知切线过点(1，－1)，所以－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12.故所求切线方程为y －(1－2)＝(3－2)(x －1)，或y －⎝⎛⎭⎫－18＋1＝⎝⎛⎭⎫34－2⎝⎛⎭⎫x ＋12，即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.。

人教A版高中数学选修1-1第三章导数及其应用复习课说课教学课件(共32张PPT)

x[3， )有三个零点，求实数t的取值范围。
分类讨论是否重复或遗漏？定义域优先考虑了吗？隐含条件注意了吗？分类讨论后“综上所述”了吗？计算过程都正确吗？有谁可以把错解拿来辨析吗？有没有其他方法？
2.5【引申拓展------说变式】例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)ex,(aR)。
对题目的思维过程，即“说数学思维”，这样可以及时了解学习动态，对症指导，从而提高复习效率。数学思想上本题考察了转化与化归思想、分类讨论思想以及数形结合解决问题的能力.
1A、dd完Yx成ou 作r T业e[x题t 及3其，任意两个)有不同三类的个变式零。点，求实数t的取值范围。
导数、二次函数均是高考考试的热点，要引起足够的注意．对于三次函数的零点讨论问题，可以通过典型例题的讲解，让学生建立解决此类问题的模型，熟悉思路．另外要注意对学生进行掌握解决问题的通性通法的渗透教育，通过典型问题潜移默化逐步培养学生掌握常见的数学思想，如：分类讨论思想、转化与化归思想、数形结合思想等，还有如分离参数的方法等．对于学生而言，这些远远胜过掌握了某一道题的解法。 6【畅所欲言------说反思】 1、题目给的已知条件：背景说明：高中数学复习课离不开解题，如何讲题、解题才能提高复习课的效率？波利亚在《怎样解题》中指出解题的四个步骤：“ 弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着，而“说题”就是把审题、分析、解答和回顾的思维过程按一定规律一定顺序说出来，要求学习者暴露面对题目的思维过程，即“说数学思维”，这样可以及时了解学习动态，对症指导，从而提高复习效率。 6【畅所欲言------说反思】怎样分离变量？要变成怎样的目标呢？导数、二次函数均是高考考试的热点，要引起足够的注意．对于三次函数的零点讨论问题，可以通过典型例题的讲解，让学生建立解决此类问题的模型，熟悉思路．另外要注意对学生进行掌握解决问题的通性通法的渗透教育，通过典型问题潜移默化逐步培养学生掌握常见的数学思想，如：分类讨论思想、转化与化归思想、数形结合思想等，还有如分离参数的方法等．对于学生而言，这些远远胜过掌握了某一道题的解法。出题者的意图想考我们求导知识，极值与零点概念、分类讨论思想，数形结合思想等，所以我们平时要加强这方面知识，同时它也反应出用导数知识解决函数问题的基本题型与基本步骤，其它的可根据个人依不同角度总结。

高中数学第三章导数及其应用 3.2.1 几个常用函数的导数导学案新人教A版选修1-1(202

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几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式4．若f(x)＝log a x，则f′(x)＝___________________．若f(x)＝ln x，则f′（x）＝__________。

牛刀小试2．函数f(x)＝0的导数是（）A．0 B．1 C．不存在 D．不确定3．已知函数f（x)＝错误!,则f′（－2)＝( ）A．4 B．错误! C．－4 D．－错误! 4．若f（x）＝tanx，f ′（x0)＝1，则x0的值为__________。

二．例题分析例1求下列函数的导数．（1）y＝a2(a为常数);(2)y＝x12;(3)y＝x－4；(4）y＝lgx。

练习:求下列函数的导数(1）y＝错误!；（2）y＝错误!；（3）y＝2x；（4）y＝log3x。

例2 求函数f(x）＝1x在x＝1处的导数．练习：已知f(x)＝错误!，且f′（1)＝－错误!，求n.例3 求过曲线y＝cos x上点P错误!且与在这点的切线垂直的直线方程．练习：曲线y＝e x在点(0,1)处的切线斜率为（)A．1 B．2 C．e D．错误!例4 若曲线y＝x－错误!在点(a，a－错误!）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值．练习：已知函数f(x)在R上满足f(x）＝2f（2－x）－x2＋8x－8,求曲线y＝f（x)在点（2,f(2)）处的切线方程．例5求函数y＝2x在x＝1处的切线方程．课后作业（基础）一、选择题1．设y＝e3，则y′等于（）A．3e2 B．e2 C．0 D．以上都不是2．已知函数f(x）＝x3的切线的斜率等于3，则切线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．不确定3．给出下列结论：①若y＝错误!，则y′＝－错误!；②若y＝错误!，则y′＝错误!错误!；③若y＝错误!，则y′＝－2x3；④若f(x）＝3x,则f′(1)＝3，其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．44．下列结论正确的是( )A．若y＝sin x，则y′＝cos xB．若y＝cos x，则y′＝sin x C．若y＝错误!，则y′＝错误!D．若y＝错误!，则y′＝错误!错误!5．f(x）＝错误!,则f′(－1）＝（）A．错误! B．－错误! C．错误! D．－错误!6．函数y＝e x在点（2,e2)处的切线与坐标轴围成三角形的面积为( )A．错误!e2 B．2e2 C．e2 D．错误!二、填空题7．曲线y＝x n在x＝2处的导数为12，则n等于________.8．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s＝错误!，则质点在t ＝32时的速度等于____________.9．在曲线y＝错误!上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P点坐标为________。

人教A版高中数学选修1-1《三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的概念》优质课教案_24

1.1.2导数的概念（一）教材分析本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2-2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时.导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度.导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用.导数概念是我们今后学习微积分的基础•同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具.（二）教学目标（1）在上一节学习平均变化率的基础上，了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；（2）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；（3）会求函数在某点的导数及简单应用.（三）教学重点与难点重点：通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念. 难点：使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念.（四）教学过程1. 复习引入（1）函数y = f（x）从x i到X2的平均变化率公式；（2）函数y = f（x）从x0到X Q L X的平均变化率公式.2. 合作探究在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的. 我们把物体在某一时刻（某一位置）的速度称为瞬时速度.探究一：瞬时速度的求解从前面的学习我们知道，平均速度只能粗略地描述某段时间内物体的运动状态，不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度. 如何求运动员的瞬时速度呢？设计意图：让学生产生进一步学习的需求，即有必要知道任意时刻的速度.以高台跳水运动为例，研究运动员在某一时刻的瞬时速度.在高台跳水运动中，如果运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系ht =-4.9t26.5t 10.探究：如何求运动员瞬时速度？比如t =2s的瞬时速度是多少？平均速度与瞬时速度有关系吗？设计意图：问题具体化，即求运动员在t=2s时的瞬时速度.针对具体的问题情境，寻求解决问题的想法.我们求t=2s的瞬时速度是多少，先察t=2s附近平均速度的情况：(2) 我们如何表示运动员在t=2s 时的瞬时速度？ (3) 运动员在某一时刻t o 的瞬时速度怎样表示？设计意图：从特殊到一般，即从特殊点t=2上升到任意点t=t °瞬时速度的表示. (4) 函数f(x)在x=x 0处的瞬时变化率怎样表示？设计意图：舍弃具体变化率问题的实际意义，抽象为数学问题，定义导数. 探究二：导数的定义瞬时速度是平均速度—当览趋近于0时的极限.L t导数的定义：函数y =f(x)在x =x o 处的瞬时变化率是啊卡=|m f(xo：-f (xo)，我们称它为函数y = f(x)在x=x o 处的导数，记作 f (x o ) 或 y'U 即 f(x o )pm of(x x)—f(x o )注意：(1) 函数应在点X 。

人教版高中数学选修1-1第3章导数及其应用教案

人教版高中数学选修1-1第3章导数及其应用教案3.1.1 变化率问题一. 设计思想：（1）用已知探究未知的思考方法（2）用逼近的思想考虑问题的思考方法．二. 教学目标1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率4. 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体会数学的博大精深以及学习数学的意义。

三. 教学重点1. 通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；2. 掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法；四. 教学难点：平均变化率的概念．五. 教学准备1. 认真阅读教材、教参，寻找有关资料；2. 向有经验的同事请教；3. 从成绩好的学生那里了解他们预习的情况和困惑的地方．六. 教学过程一．创设情景（1）让学生阅读章引言，并思考章引言写了几层意思？（2）学生先阅读，思考，老师再提示；①以简洁的话语指明函数和微积分的关系，微积分的研究对象就是函数，正是对函数的深入研究导致了微积分的产生；②从数学史的角度，概括地介绍与微积分创立密切相关的四类问题以及做出巨大贡献的科学家；③概述本章的主要内容，以及导数工具的作用和价值．让学生对这章书先有一个大概认识，从而使学生学习有了方向，能更好地进行以下学习．二．新课讲授（一）问题提出问题1气球膨胀率问题：老师准备了两个气球，请两位同学出来吹，请观看同学谈谈看见的情景；再请吹气球同学谈谈吹气球过程的感受，开始与结束感受是否有区别？我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈−气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈−−⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈− 气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈−−可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r −−问题2 高台跳水问题：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在怎样的函数关系？在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.）如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t ≤０.5，1≤t ≤2，1.8≤t ≤2，2≤t ≤2.2，时间段里的平均速度.思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =−−=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v −=−−=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =，所以)/(004965)0()4965(m s h h v =−−=，虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．（1）让学生亲自计算和思考，展开讨论；（2）老师慢慢引导学生说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上.（3）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；（二）平均变化率概念:引出函数平均变化率的概念．找出求函数平均变化率的步骤.ht o1．上述问题中的变化率可用式子 1212)()(x x x f x f −−表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率2．若设12x x x −=∆, )()(12x f x f f −=∆ (这里x ∆看作是对于x1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f −=∆=∆) 3．则平均变化率为=∆∆=∆∆x fx y xx f x x f x x x f x f ∆−∆+=−−)()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象平均变化率=∆∆x f 1212)()(x x x f x f −−表示什么? （1）师生一起讨论、分析，得出结果；（2）计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x2-x1；②求函数的增量Δf=f(x2)-f(x1)；③求平均变化率2121()()f x f x fx x x −∆=∆−. 注意：①Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘；②x2= x 1+Δx ；③Δf=Δy=y2-y1；三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +−2的图象上的一点)2,1(−−A 及临近一点)2,1(y x B ∆+−∆+−,则=∆∆xy．解：)1()1(22x x y ∆+−+∆+−−=∆+−，∴x xx x x y ∆−=∆−∆+−+∆+−−=∆∆32)1()1(2 例2．求2x y =在0x x =附近的平均变化率。

新人教A版高中数学(选修1-1)3.3《导数在研究函数中的应用》word学案3篇

舜耕中学高一数学选修1—1导学案(教师版) 编号20 等级：周次上课时间月日周课型新授课主备人胡安涛使用人课题 3.3.1函数的单调性与导数教学目标1.会熟练用求导，求函数单调区间，证明单调性。

2.会从导数的角度解释增减及增减快慢的情况教学重点会熟练用求导，求函数单调区间，会从导数的角度解释增减及增减快慢的情况教学难点证明单调性课前准备多媒体课件一。

【复习回顾】（1）常函数：0'=C (C 为常数)；（2）幂函数：1)'(-=n nnxx (Q n ∈)（3）三角函数：（4）对数函数的导数: 1(ln ).x x '=1(log ).ln a x x a'= （5）指数函数的导数: ().x xe e '= ()l n (0,1x x a a a a a '=>≠ 二。

【创设情境】下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数的图象,图(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数的图象.运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? ①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h 随时间t 的增加而增加,即h(t)是增函数. 相应地, ()()0.v t h t '=>②从最高点到入水,运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少,即h(t)是减函数. 相应地, ()()0.v t h t '=<观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系. 见课本P90图结论：一般地，函数的单调性与其导数的正负有如下关系在某个区间(a ,b )内,如果()0f x '> ,那么函数()y f x =在这个区间内单调递增; 如果()0f x '<,那么函数()y f x =在这个区间内单调递减. 如果恒有'()0f x =，则()f x 是常数。

高中数学：：导数在研究函数中的应用学案(新人教A版选修1-1)

3．3．1函数的单调性和导数学案学习目标1．理解函数单调性和导数的关系；2．会利用导数判断函数的单调性。

学习重点和难点1．重点：函数单调性和导数的关系；2．难点：函数单调性和导数的关系。

一、复习引入：1.常见函数的导数公式：2.法则1 ．法则2法则3二、讲授新课1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1）．（2）．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图3.3-3，导数表示函数在点处的切线的斜率．在处，，切线是“左下右上”式的，这时，函数在附近单调递增；在处，，切线是“左上右下”式的，这时，函数在附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数．3．求解函数单调区间的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．三．典例分析例1．已知导函数的下列信息：当时，；当，或时，；当，或时，试画出函数图像的大致形状．解：例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）；（2）（3）；（4）解：例3．如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像．分析：解：思考：一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数在或内的图像“陡峭”，在或内的图像“平缓”．例4．求证：函数在区间内是减函数．证明：说明：证明可导函数在内的单调性步骤：（1）；（2）；（3）．例5．已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．解：说明：例6．已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.解：四、课堂练习：1．确定下列函数的单调区间(1)y=x3－9x2+24x(2)y=3x－x3(1)解：(2)解：2、设是函数的导数, 的图象如图所示, 则的图象最有可能是( )小结：五、课堂小结：1.2.3..六、课后作业：课本习题3.3 A组 1，2【思考题】对于函数f(x)=2x3－6x2+7思考1、能不能画出该函数的草图？思考2、在区间（0，2）内有几个解？。

高考数学：第三章《导数及其应用》教案(新人教A版选修1-1)

高考数学导数及其应用复习【知能目标】1.了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。

2、熟记基本导数公式：x m(m为有理数)、sinx、cosx、e x、a x、lnx、log a x的导数；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。

3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。

[教学方法]1.采用“学案导学”方式进行教学。

2.讨论法、启发式、自主学习、合作探究式教学方法的综合运用。

[教学流程]：独立完成基础回顾，合作交流纠错,老师点评；然后通过题目落实双基，根据学生出现的问题有针对性的讲评.[教学重点和难点]教学重点：导数的概念、四则运算、常用函数的导数，导数的应用理解运动和物质的关系、教学难点：导数的定义，导数在求函数的单调区间、极值、最值、证明中的应用【综合脉络】1.知识网络2.考点综述有关导数的内容，在2000年开始的新课程试卷命题时，其考试要求都是很基本的，以后逐渐加深，考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算，力求结合应用问题，不过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明。

本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、单调区间、证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课程内容和传统内容相结合，加强了能力考察力度，使试题具有更广泛的实际意义，更体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法，这类问题用传统教材是无法解决的。

[教学过程]一、目标导航：1.复习巩固导数的概念、四则运算、常用函数的导数2.利用导数求函数的单调区间、极值、最值二、基础回顾第一步：自主复习，学生用6分钟时间利用《学案》将以下基础知识填完1、导数的概念：对于函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量△x,那么函数y相应的有增量= ；比值叫做函数y=f(x)在x0到x0+△x之间的 ,当△x→0时，△y△x有极限，就说y=f(x)在点x0处，并把这个极限叫做f(x) 在点x0的导数（瞬时变化率），记作或，当x变化时，f ' (x)便是x的一个函数，称之为f(x)的导函数（简称导数），记f ' (x)=y '=lim△x→0f(x+△x)－f(x)△x2、用定义求导数的一般步骤：（1）求函数的增量△y= (2)求平均变化率△y△x（3）取极限，得导数f ' (x)=lim△x→0△y△x3、导数的几何意义：f ' (x0)是曲线y=f(x)在点P（x0，f (x0)）处的切线的即4、几种常见函数的导数C'=(x n) '=(sinx) '=(cosx) '=(e x) '=(a x) '=(lnx) '=(log a x) '=5、导数的四则运算若y=f(x),y=g(x) 的导数存在，则[f(x)±g(x)] '=[f(x)g(x)] '= [f(x)g(x)]'=6、复合函数y=f(g(x))（其中u= g(x)）的导数y x'=7、函数的单调性与其导函数的正负如下关系：在开区间（a,b）内，如果，那么函数在这个区间内，如果，那么函数在这个区间内，反之？求可导函数y=f(x)的单调区间的步骤：（1）求f ' (x) (2)解不等式f ' (x)>0(或f ' (x)<0)(3)确认并写出单调区间8、极值: 设函数f(x)在附近有定义，如果对x0附近所有的x都有，则称f (x0)是f(x)的一个极大值；如果对x0附近所有的x都有，则称f (x0)是f(x)的一个极小值。

人教A版高中数学选修1-1《三章导数及其应用牛顿法──用导数方法求方程的近似解》优质课教案_2

高中数学人教A版选修1-1第三章导数及其应用3.2.2 探究与发现牛顿法——用导数方法求方程的近似解一、教学目标：1.知识与技能（1）复习和巩固用二分法求方程的近似解（2）探究并总结牛顿法求方程的近似解2.过程与方法（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）培养学生在数学学习的过程中的迁移，类比。

3.情感与价值观让学生了解更多数学史事及数学应用更能增进学生对数学的兴趣以及科学研究的价值观。

二、教学重点、难点：教学重点：牛顿法的迭代思想和过程。

教学难点：理解牛顿法的逼近和迭代原理。

三、学法与教学用具：1.通过探究和实践，使学生能够完全理解牛顿法的迭代原理，提高了学生解决实际问题的能力；2.教学用具：投灯片、多媒体。

四、教学过程：（一）创设情景、导入课题（展示ppt，中外历史上的方程求解）1.从一个三次方程求解问题引入，给出一个数学故事，激发学生兴趣，同时对学生渗透德育教育，引起学生对我国古代数学的自豪感。

（二）复习巩固，启发引导1.求Leonardo方程的近似解，我们学习过什么方法？请大家把课前完成的复习巩固环节进行交流。

2.（师生活动）提问学生复习回顾二分法求方程近似解的步骤及二分法的逼近思想，方便在课程教学时进行类比分析。

3.思考并总结：用二分法求方程的近似解时，需要注意一些什么问题？4.学生回答问题，总结二分法的优缺点，并以其缺点入手，引出今天的课题，（板书主题：牛顿法——用导数方法求方程的近似解）。

〖设计意图〗学生在课前完成了学案相应复习部分的内容，复习了高一时所学习过的二分法的内容，为本节课的课程研究打下坚实的基础，包括对算法思想，逼近思想的体会都能有所加深，为研究牛顿法进行类比提供了很好的基础。

（三）师生互动、探究新知1.层层设问：（1）在研究方程的根的问题时，我们常可以将其等价转化为什么问题进行研究？（2）在研究函数的性质时，我们新学习了什么工具可以用来很方便地刻画函数的什么性质？（3）我们新学习的工具中，在刻画函数性质方面，体现出了什么样的思想？（4）在研究方程的近似解的时候，二分法体现出了什么样的思想？（5）类比二分法的思想，结合我们新学到的工具，我们能产生什么新的想法求方程的近似解？2. 归纳方法，总结整理（小组讨论，选一个小组先展示，老师再板书）给定函数为()y f x =，迭代初始值为0x ，其切线方程可以写为：()()()000'y f x f x x x -=-，求其零点，令0y =，得()()000'f x x x f x =-。

人教版高二数学选修1-1第三章《导数及其应用》章末复习提升学案

人教版高二数学选修1-1第三章《导数及其应用》章末复习提升学案知识网络知识归纳1.对于导数的定义，必须明白定义中包含的基本内容和Δx →0的方式，导数是函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比Δy Δx 的极限，即lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率. 2.曲线的切线方程利用导数求曲线过点P 的切线方程时应注意： (1)判断P 点是否在曲线上；(2)如果曲线y ＝f (x )在P (x 0，f (x 0))处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)，可得方程为x ＝x 0；P 点坐标适合切线方程，P 点处的切线斜率为f ′(x 0).3.利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便.因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键.4.判断函数的单调性(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)注意在某一区间内f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)是函数f (x )在该区间上为增(或减)函数的充分条件. 5.利用导数研究函数的极值要注意(1)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧邻近区域而言的.(2)连续函数f (x )在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小.(3)可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点.因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异号. 6.求函数的最大值与最小值(1)函数的最大值与最小值：在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )，在[a ，b ]上必有最大值与最小值；但在开区间(a ，b )内连续的函数f (x )不一定有最大值与最小值，例如：f (x )＝x 3，x ∈(－1,1). (2)求函数最值的步骤一般地，求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上最大值与最小值的步骤如下： ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.7.应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函数关系)，如果函数在区间内只有一个点x 0，使f ′(x 0)＝0，则f (x 0)是函数的最值.题型一导数几何意义的应用导数几何意义的应用，主要体现在与切线方程有关的问题上.利用导数的几何意义求切线方程的关键是弄清楚所给的点是不是切点，常见类型有两种：一种是求“在某点处的切线方程”，此点一定为切点，先求导，再求斜率，进而求出切线方程；另一种是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，则切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，再由切线过点P (x 0，y 0)得y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1).① 又已知y 1＝f (x 1)②由①②求出x 1，y 1的值，即求出了过点P (x 0，y 0)的切线方程.切线问题是高考的热点内容之一，在高考试题中既有选择题、填空题，也有综合性大题，难度一般为中等.例1 已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R ).(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值.解函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x .(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0),∴f (1)＝1，f ′(1)＝－1,∴y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为 y －1＝－(x －1), 即x ＋y －2＝0.(2)由f′(x)＝1－ax＝x－ax，x>0.①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a;∵x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0∴f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值.综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值.反思与感悟利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出.常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由y0－y1 x0－x1＝f′(x1)和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一类类型.跟踪训练1已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12，直线m∶y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是y＝g(x)的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，说明理由.解(1)因为f′(x)＝3ax2＋6x－6a，且f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，得a＝－2.(2)因为直线m过定点(0,9)，先求过点(0,9)，且与曲线y＝g(x)相切的直线方程.设切点为(x0,3x20＋6x0＋12)，又因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0).将点(0,9)代入，得9－3x20－6x0－12＝－6x20－6x0，所以3x20－3＝0，得x0＝±1.当x0＝1时，g′(1)＝12，g(x)＝21，切点坐标为(1,21)，所以切线方程为y＝12x＋9；当x0＝－1时，g′(－1)＝0，g(－1)＝9，切点坐标为(－1,9)，所以切线方程为y＝9.下面求曲线y＝f(x)的斜率为12和0的切线方程：因为f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，所以f′(x)＝－6x2＋6x＋12.由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.当x＝0时，f(0)＝－11，此时切线方程为y＝12x－11；当x＝1时，f(1)＝2，此时切线方程为y＝12x－10.所以y＝12x＋9不是公切线.由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.当x＝－1时，f(－1)＝－18，此时切线方程为y＝－18；当x＝2时，f(2)＝9，此时切线方程为y＝9，所以y＝9是公切线.综上所述，当k＝0时，y＝9是两曲线的公切线.题型二应用导数求函数的单调区间在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增；在区间(a，b)内，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递减.例2已知函数f(x)＝x－2x＋a(2－ln x)，a＞0.讨论f(x)的单调性.解由题意知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝1＋2x2－ax＝x2－ax＋2x2.设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.①当Δ＜0即0＜a＜22时，对一切x＞0都有f′(x)＞0.此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数.②当Δ＝0即a＝22时，仅对x＝2，有f′(x)＝0，对其余的x＞0都有f′(x)＞0.此时f(x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数.③当Δ＞0即a＞22时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x1＝a－a2－82，x2＝a＋a2－82，0＜x 1＜x 2.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：此时f (x )在在⎝⎛⎭⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减，在⎝⎛⎭⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增. 反思与感悟求解函数y ＝f (x )单调区间的步骤： (1)确定函数y ＝f (x )的定义域； (2)求导数y ′＝f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )＞0，解集在定义域内的部分为增区间； (4)解不等式f ′(x )＜0，解集在定义域内的部分为减区间.特别要注意定义域，写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接. 跟踪训练2 已知函数f (x )＝1－x 1＋x 2e x. (1)求f (x )的单调区间；(2)证明：当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，x 1＋x 2＜0. (1)解函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x 2′e x ＋1－x 1＋x 2(e x)′. ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－2x －1(1＋x 2)2＋1－x 1＋x 2e x ＝－x [](x －1)2＋2(1＋x 2)2e x. 当x ＜0时，f ′(x )＞0；当x ＞0时f ′(x )＜0.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞). (2)证明当x ＜1时，由于1－x 1＋x2＞0，e x ＞0，故f (x )＞0.同理，当x＞1时，f(x)＜0.当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，不妨设x1＜x2，由(1)，知x1∈(－∞，0)，x2∈(0,1).下面证明∀x∈(0,1)，f(x)＜f(－x)，即证1－x1＋x2e x＜1＋x1＋x2e－x.此不等式等价于(1－x)e x－1＋xe x＜0.令g(x)＝(1－x)e x－1＋xe x，则g′(x)＝－x e－x(e2x－1).当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，从而g(x)＜g(0)＝0，即(1－x)e x－1＋xe x＜0.所以∀x∈(0,1)，f(x)＜f(－x).又因为x2∈(0,1)，所以f(x2)＜f(－x2)，从而f(x1)＜f(－x2).因为x1，－x2∈(－∞，0)，f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以x1＜－x2，即x1＋x2＜0.题型三利用导数求函数的极值和最值1.利用导数求函数极值的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)解方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号.若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；否则，此根不是f(x)的极值点.2.求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值. 特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞).例3已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2,1)内，当x＝－1时取极小值，当x＝23时取极大值.(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时对应的切线方程；(2)求函数y＝f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值. 解(1)f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，又因为当x＝－1，x＝23时，函数分别取得极小值、极大值，所以－1，23为方程－3x2＋2ax＋b＝0的两个根.所以23a＝－1＋23，－b3＝(－1)×23.于是a＝－12，b＝2，则f(x)＝－x3－12x2＋2x.当x＝－2时，f(－2)＝2，即切点为(－2,2).又因为切线斜率k＝f′(－2)＝－8，所以，所求切线方程为y－2＝－8(x＋2)，即8x＋y＋14＝0.(2)当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：因此，f(x)在[－2,1]上的最大值为2，最小值为－3 2.跟踪训练3已知函数f(x)＝12x2－a ln x(a∈R)，(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)求证：当x>1时，12x2＋ln x<23x3.(1)解f′(x)＝x－ax，因为x＝2是一个极值点，所以2－a2＝0，则a＝4.此时f′(x)＝x－4x＝(x＋2)(x－2)x，因为f(x)的定义域是(0，＋∞)，所以当x∈(0,2)时，f′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)，f′(x)＞0，所以当a＝4时，x＝2是一个极小值点，则a＝4.(2)解因为f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax，所以当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞).当a ＞0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝(x ＋a )(x －a )x，所以函数f (x )的单调递增区间(a ，＋∞)；递减区间为(0，a ).(3)证明设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，则g ′(x )＝2x 2－x －1x ，因为当x ＞1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x＞0，所以g (x )在x ∈(1，＋∞)上为增函数，所以g (x )＞g (1)＝16＞0，所以当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3.题型四导数与函数、不等式的综合应用利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点.考题利用导数作为工具，考查求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的取值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现.考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强. 例4 设函数f (x )＝－13x 3＋2ax 2－3a 2x ＋b (0<a <1).(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若当x ∈[a ＋1，a ＋2]时，恒有|f ′(x )|≤a ，试确定a 的取值范围；(3)当a ＝23时，关于x 的方程f (x )＝0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根，求实数b 的取值范围.解 (1)f ′(x )＝－x 2＋4ax －3a 2＝－(x －a )(x －3a ). 令f ′(x )＝0，得x ＝a 或x ＝3a .当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：∴f (x )在(－∞，a )和(3a ，＋∞)上是减函数，在(a,3a )上是增函数. 当x ＝a 时，f (x )取得极小值，f (x )极小值＝f (a )＝b －43a 3；当x ＝3a 时，f (x )取得极大值，f (x )极大值＝f (3a )＝b . (2)f ′(x )＝－x 2＋4ax －3a 2，其对称轴为x ＝2a .因为0<a <1，所以2a <a ＋1.所以f ′(x )在区间[a ＋1，a ＋2]上是减函数.当x ＝a ＋1时，f ′(x )取得最大值，f ′(a ＋1)＝2a －1；当x ＝a ＋2时，f ′(x )取得最小值，f ′(a ＋2)＝4a －4.于是有⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≤a ，4a －4≥－a ，即45≤a ≤1.又因为0<a <1，所以45≤a <1.(3)当a ＝23时，f (x )＝－13x 3＋43x 2－43x ＋b .f ′(x )＝－x 2＋83x －43，由f ′(x )＝0，即－x 2＋83x －43＝0，解得x 1＝23，x 2＝2，即f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，23上是减函数，在⎝⎛⎭⎫23，2上是增函数，在(2，＋∞)上是减函数. 要使f (x )＝0在[1,3]上恒有两个相异实根，即f (x )在(1,2)，(2,3)上各有一个实根，于是有⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (2)>0，f (3)≤0，即⎩⎨⎧－13＋b ≤0，b >0，－1＋b ≤0，解得0<b ≤13.跟踪训练4 证明：当x ∈[－2,1]时，－113≤13x 3－4x ≤163. 证明令f (x )＝13x 3－4x ，x ∈[－2,1]，则f ′(x )＝x 2－4.因为x ∈[－2,1]，所以f ′(x )≤0，即函数f (x )在区间[－2,1]上单调递减.故函数f (x )在区间[－2,1]上的最大值为f (－2)＝163，最小值为f (1)＝－113. 所以，当x ∈[－2,1]时，－113≤f (x )≤163，即－113≤13x3－4x≤163成立.1.函数中求参数的取值范围问题，可以有两种类型：一是已知函数单调性(或极值)，求参数范围；二是已知函数最值(或恒成立)等性质，求参数范围.这两种类型从实质上讲，可以统一为：已知函数值的变化规律，探求其参数变化范围.2.在解决问题的过程中主要处理好等号的问题：(1)注意定义域；(2)函数在某区间上递增(或递减)的充要条件是：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，且f′(x)不恒为零；(3)与函数最值有关问题要注意最值能否取得的情况，一般我们可以研究临界值取舍即可.。

人教版高中数学选修1-1教学案讲义与课后作业-导数和导数的应用全章复习

人教版高中数学选修1-1教学讲义年级：高二上课次数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师课题《导数及其应用》全章复习与巩固课型□预习课□同步课■复习课□习题课授课日期及时段教学内容《导数及其应用》全章复习与巩固【知识网络】【要点梳理】要点二：导数的计算 1.基本初等函数的导数基本初等函数导数特别地常数函数()y c c =为常数 '0y ='0π=，'=0e幂函数()ny xn =为有理数1n y n x -=⋅211'x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1'2x x =指数函数xy a = 'ln x y a a =⋅()'xxe e=对数函数log a y x = 1'ln y x a =⋅()1ln 'x x=正弦函数sin y x = 'cos y x =()2sin 1tan '='=cos cos x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()2cos 1cot '='=sin sin x x x x⎛⎫⎪⎝⎭ 余弦函数cos y x ='sin y x =-要点诠释：基本初等函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可． 2.和、差、积、商的导数要点诠释：（1）一个推广：1212()''''n n u u u u u u ±±±=±±±L L ．（2）两个特例：()''cu cu =（c 为常数）；2211'()1'()'()'(()0)()()()g x g x g x g x g x g x g x ⎡⎤⋅-⋅==-≠⎢⎥⎣⎦． 3.复合函数的导数设函数()u x ϕ=在点x 处可导，''()x u x ϕ=，函数()y f u =在点x 的对应点u 处也可导''()u y f u =，则复合函数[()]y f x ϕ=在点x 处可导，并且'''x u x y y u =⋅，或写作'[()]'()'()x f x f u x ϕϕ=⋅．要点三：导数在研究函数性质中的应用 1.利用导数研究可导函数的单调性（2）()ln 25=x y x+‘；（3）()5sin cos sin y x ⎡⎤=⎣⎦；（4）12-5y x =. 【思路点拨】要求函数的导函数，应遵循一定的顺序：先观察：找出函数中的基本函数（或复合函数）；再确定函数的构成：它是由①中的基本函数（或复合函数）由哪种四则运算而成的；最后根据导数的四则运算法则写出导函数.是复合函数的，按照复合函数的求导法则计算. 【解析】（1）观察函数结构：该函数是由二次函数2y x =与1xy e =相乘得到的；导数的乘法法则：()1122'''xxy x e x e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g g ；求出各函数导数：()111221'2=21x xxy x e x e e x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭g g g .（2）观察函数结构：该函数是由复合函数()=ln 25y x +与一次函数=y x 相除得到的；导数的除法法则：()()2ln 25'ln 25'=x x x x y x ++⎡⎤⎣⎦g g ‘ ；求出各函数导数：()()()()222ln 25225ln 2525==25xx x x x x y x x x +++++g ‘. （3）该函数是由函数5sin cos sin y u u v v t t x ====，，，复合而成的，由复合函数求导法则，可得：()()()()()()''''55544555'cos cos sin sin sin cos 5=5cos sin sin cos cos sin u v t x y y u v t x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦⎣⎦g g g g g g g g g ；（4）该函数是由1y u=，u v =和25v x = 复合而成，由复合函数求导法则，可得： ()311'2=2-52-522-5y x x x =g g. 【总结升华】（1）在导数的运算中，最复杂、最应引起重视的莫过于符合函数求导，因此应主要复合函数的求导方法。

高中数学(人教A版)选修1-1教案第三章导数及其运用 3.1.3 导数的概念

一．教学目标
1、知识与技能：
通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。

2、过程与方法：
①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力
②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法
3、情感、态度与价值观：
通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.
二、重点、难点
重点：导数概念的形成，导数内涵的理解
难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵
通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点
四、教学设想（具体如下表）
五、学法与教法
学法与教学用具
学法：
（1）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题。

（如题2的处理）
（2）自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动。

（如题3的处理）（3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。

（如例题的处理）
教后反思：
教法：整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出①动——师生互动、共同探索。

②导——教师指导、循序渐进
（1）新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲
（2）理解导数的内涵——数形结合，动手计算,组织学生自主探索,获得导数的定义
（3）例题处理——始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识
（4）变式练习——深化对导数内涵的理解，巩固新知。

高中数学导数及其应用教案新人教A版选修1-1

导数及其应用一、教材分析导数是本章的主要研究对象，导数与科研、生产以及人类的生活有着密切的关系，导数是变化率的一种特殊的情况，在以前我们已经学习了有关变化率的知识，对变化率有了实步的因而在本章中把导数作为一个整体来研究.我们将从它的定义，几何意义来讨论，导数作为一个新增的知识内容，是教学的重点，涉及的要领是全新的，因此要通过直观的才具演示来探究，使学生理解并明确概念.二、设计理念：为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数．随着对函数的深入研究，产生了微积分．导数概念是微积分的基本概念之一，导数是对事物变化快慢的一种描述，是研究客观事物变化率和优化问题的有力工具．理解和掌握导数的思想和本质显得非常重要．正如《数学课程标准（实验）解读》中所说的，以前是，“先讲极限概念，把导数作为一种特殊极限来讲，于是，形式化的极限概念就成了学生学习的障碍，严重影响了对导数思想和本质的认识和理解；”“…．这样造成的结果是：因为存在着夹生饭现象，大学不欢迎；中学感受不到学导数的好处，反而加重了学生的负担，因此也不欢迎．”故为了让学生充分认识导数的思想和本质，先要理解和掌握平均变化率的概念．在设计这节课时，我把重点放在（1）通过大量实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；（2）掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法．学情分析：我们学校是我市的重点学校，我教的班是政治普通班，学生的基础总体上可以，有个别学生在学习数学时有点困难，他们觉得数学就是太抽象了，所以在教学时要照顾中下的学生，为了加深学生对导数概念的印象，增加上课的气氛，我事先买了两个气球，在上课时准备请两学生上来吹，并让他们谈谈随着气球内空气容量的增加，气球半径变化情况．另我校一节课是40分钟.三教学准备1.认真阅读教材、教参，寻找有关资料；2.向有经验的同事请教；3.从成绩好的学生那里了解他们预习的情况和困惑的地方．四、教学设想1、§3.1.1变化率问题.（1）教具的准备.(a)一个气球充气,随着空气容量的增加,气球半径的半径增加得越来越慢.(b)一根粉笔从手中落下,随着时间的变化,粉笔的距地而的高度也在变化、通过这些日常生活中的例子熟悉的例子，来加深学生对变化率的理解。