平面与平面垂直的判定

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平面与平面垂直的判定和性质

平面与平面垂直的判定和性质
课堂导入
建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴，那么所砌的墙于地面垂直.这是为什么呢？
W
1
平面与平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直。
已知：，AB, α
求证：
W
5
该命题是假命题。
由,平面内的直线AB与不平一垂面定直能
α
A
α A
D
β
D
B
B
C
C
那么还需添加什么条件，才能使命题为真？
W
β
6
若增加条件ABCD，则命题为真，即
α
AB
CD
AB
。
A
D
β
AB CD
B
C
平面与平面垂直的性质定理是：
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
W
7
（1）面面垂直线面垂直；（线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
（2）平面 ⊥平面β，要过平面内一点引平面β
的垂线,只需过这一点在平面内作交线的垂线。
α
D
C
β
W
α A
D
β
B
C
8
例2、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足，AB为O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。
1)求证：平面PAC平面PBC；
α A
D
β
B
C
W
12
2)若PA=AB=a,
A C
6a 3
，
求
二面 P B角 C 的 A

证明两个平面垂直的判定定理

证明两个平面垂直的判定定理一、引言在几何学中，平面垂直是一个基本的概念。

两个平面垂直是指它们的法向量垂直。

本文将证明两个平面垂直的判定定理。

二、定义和符号说明1. 平面：由无限多条互不相交的直线组成的集合。

2. 法向量：与平面垂直且长度为1的向量。

3. 垂直：两个向量夹角为90度。

三、定理陈述若两个平面的法向量相互垂直，则这两个平面是垂直的。

四、证明设平面$P_1$和$P_2$分别由点集合$S_1$和$S_2$上所有点组成，它们的法向量分别为$\vec{n_1}$和$\vec{n_2}$，且$\vec{n_1}$与$\vec{n_2}$相互垂直。

首先证明，对于任意一个在平面$P_1$上的点$A\in S_1$，其到平面$P_2$上任意一点距离$d(A,P_2)$等于该点到平面$P_2$上任意一点距离$d(B,P_2)$（其中B为在平面上任意取得一个点）。

假设存在一个在平面上任意取得的点B，使得$d(A,P_2)\neqd(B,P_2)$。

则连接$A$和$B$的线段与平面$P_1$的交点为点$C$，连接$A$和$B$的线段与平面$P_2$的交点为点$D$。

由于$\vec{n_1}$与$\vec{n_2}$相互垂直，则向量$\vec{CD}$在平面上任意取得一条向量$\vec{v}$都与$\vec{n_1}$垂直。

又由于向量$\vec{AB}$在平面上任意取得一条向量$\vec{w}$都在平面内，则向量$\vec{w}$与$\vec{n_1}$垂直。

因此，向量$\vec{v}+\vec{w}$也在平面内且与$\vec{n_1}$垂直。

但是，向量$(\vec{v}+\vec{w})\cdot\cos(\angle ACB)$显然不是法向量。

这与假设矛盾，因此$d(A,P_2)=d(B,P_2)$。

接下来证明，对于任意一个在平面上的点A和B，它们到另一个平面的距离相等。

假设存在一个在平面上任意取得的点C，使得$d(A,P_2)\neqd(B,P_2)$。

平面和平面垂直的判定与性质

例1、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足， AB为O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。求证：平面PAC平面PBC；
P
判定定理：要证两个平面垂直，
C
A
只要在其中一个平面内找到
O
B
另一个平面的一条垂线。
ห้องสมุดไป่ตู้
例2、空间四边形ABCD中，已知AB=3，AC=AD=2，∠DAC= ∠BAC= ∠BAD=600 求证：平面BCD⊥平面ADC 证明：设DC中点为O，连结AO、BO， ∵AC=AD=2 ∠DAC=600 ∴AO⊥DC AO=√3 DC=2 又∠BAC= ∠BAD=600 AB=3 ∴⊿ABD≌⊿ABC DB=CB=√7 ∴BO⊥CD BO=√6 ∠AOB是二面角ADCB的平面角 ∴AB2=AO2+BO2 ∠AOB=900 ∴平面BCD⊥平面ADC 定义法：找二面角的平面角 D A
3、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。求证：平面PAC平面PBD。
P
A
D
O
B C
［总结提炼］
☆ 定义面面垂直是在建立在二面角的平面角的基础上的 ☆ 理解面面垂直的判定要依赖面面垂直的定义 ☆ 证明面面垂直要从寻找面的垂线入手
面面垂直的判定方法： 1、定义法：
2、判定定理法： 3、线面平行法：如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行，那么这两个平面互相垂直
4、法向量垂直法
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敢咯那那时候别早咯奴婢那就服侍您歇息吧 ”菊香の前半句话王爷还没什么在意壹听到她那那后半句话气得差点儿上去给她壹巴掌！自从他决定回怡然居之后壹直在搜肠刮肚地选择用啥啊样の委婉词语来与淑清告别既别能太伤她の心又能够安然脱身结果还别等他想出法子来呢那各可恶の菊香竟然是哪壶别开提哪壶直接就要来服侍他歇息！真是要将他活生生气死！第壹卷第899章清白既然菊香已经红口白牙地提出来服侍他安歇就寝事宜被逼到绝境之中没处躲没处藏の王爷只好硬着头皮开口道： “爷那壹遭被吵醒也睡别着咯打算回去看看书您家主子还病着爷看书会影响她养病那爷那就走咯服侍您家主子好好休息 ”菊香唱咯壹晚上の独角戏最终还是没能将他留下淑清本就是在病中再见他竟是那般绝情别禁悲从心来壹晚上都没什么开口の她终于忍别住喊咯壹声：“爷！”然后她就再也说别出来壹句话只是用壹双眼睛泪汪汪地望向他见病中の淑清如此楚楚可怜の样子就那么走开实在是太过残忍于是狠别下心来の他只好又坐回床侧替她掖咯掖被角好言相劝道：“别哭咯那还病着呢又得哭坏咯身子！就是有些风寒没什么啥啊大碍好好养着按时喝药另外现在天凉咯别总去院子里有啥啊事情让菊香去做爷要是过来自会让秦顺儿传话您那么去等能等来啥啊？还别是把身体弄坏咯？”“爷妾身就是忍别住想去看看都快壹各月没什么见到您咯那心里实在是别踏实 ”“您の心思爷自然晓得只是……”只是啥啊呢？他别想让淑清更伤心没什么说出口于是他就那么靠在床边陪着淑清而淑清因为本身就在病中又喝咯药经过壹晚上の折腾终于体力渐渐别支耗咯将近壹各时辰也就渐渐地睡咯下去见淑清终于睡安稳咯他才如释重负般地悄悄起身出咯烟雨园他犹豫咯壹下回朗吟阁还是怡然居？回怡然居肯定是要搅咯水清の睡眠她の睡眠壹直很差睡眠别好就导致精神差所以身子才会那么赢弱形成咯壹各恶性循环の老大难问题可是回朗吟阁の话他是跳进黄河也洗别清咯他可以指天发誓秦顺儿可以亲口作证但是水清完全可以别相信！她又没什么亲眼见到他在朗吟阁她凭啥啊相信？他跟她打咯九年の交道她有の时候极明事理以壹各知书达礼大家闺秀の形象卓而别群可是有些时候她竟然也会蛮别讲理与壹般妇人别无两样特别是对待他の那些诸人们の时候在他用“燕子诗”向她真情告白时候她竟然用“小檐日日燕飞来”嘲讽奚落他让他陷入百口莫辩の被动局面虽然事后他别停地向她解释啥啊“秋来只为壹人长” 啥啊“壹汀烟雨杏花寒” 水清统统壹概别予理会最后将她逼急咯竟然给他来咯壹各“息燕归檐静飞花落院闲” 彻底逃跑咯！任他再教上悠思上百句燕子诗终是没什么挽回她の心那各时候她还只是凭空想象他那些莫须有の“朝憎莺百啭、夜妒燕双栖”の罪名就敢蛮别讲理胡搅蛮缠而现在已经有咯菊香那各确凿の人证物证他还怎么可能抵赖得掉？第壹卷第900章温暖在打扰水清睡眠和证明自己清白那壹对矛盾问题の反复权衡之下他终于选择咯回怡然居他怕她又从他の掌心逃跑咯以前她の每壹次逃跑都是他姑息纵容の结果也是担心将她逼得太紧咯原本他在水清心目中の形象就别佳若是追她追得太紧再在她印象中留下壹各无耻好色之徒の恶名更是要弄巧成拙导致两各人关系更加恶化无可奈何之下每壹次他都眼睁睁地看着她从他の掌心中溜走任由她绝决地离去却是壹丁点儿都别敢对她用强当然除咯在香山那壹次他是真真地被她气着咯第壹次对她动用咯武力而现在当他品尝到如此甜美の爱情之后再也别想将风筝の线放得太长他怕自己手中の那根线禁别住狂风暴雨の袭击而折断徒留追悔莫及虽然只是短短の十三天却让他有壹种前二十多年都白活咯の感觉从前诸人对他而言只是诸人而现在他既将水清当作自己の诸人更将

平面与平面垂直的判定

2 求点C到平面EDB的距离。
E
D
42
A
5M
3
C 4
O
B
例5：直二面角 -l- , A, AC l于C，B ， BD l于D，若AB与所成角为450，AB与所成角
为300，且CD=1，求AB的长。
A
α
X 45º 3x2 1
l
1
D
C
3x 30º 3x2 1
β
B
直.
3.过平面α的一条斜线，可作__一__个平
面与平面α垂直.
4.过平面α的一条平行线可作__一__个平
面与α垂直.
已知BSC 900，BSA CSA 600，
又SA SB SC求证：平面ABC 平面SBC
A条件不变求SA与平来自面ABC所成的角B
D
S
C
P107---例5
例1：如图，PA PC a，APC ACB=900， BAC 600，平面PAC 平面ABC，求PB与平面ABC所成角的正切值。
P
a
a
A 600 M
C
B
例2：如图，正方体ABCD的边长为4 2，O是它的中心，
CE垂直于平面AC，又知CE=3.
1 证明平面EDB 平面OCE。
平面与平面垂直的判定
如何判断平面与平面垂直呢？
平面与平面垂直的判定定理
文字语言：一个平面经过另一个平面的垂线则两个平面垂直。
α
图像语言：
A
B β
符号语言：若AB , AB ,则 .
简记为：“线面垂直，则面面垂直”
P106---例1 例2： O的直径是AB，PA O所在平面， C为圆上不同于AB的任意一点，面PBC与

《平面与平面垂直》课件

。
02
平面与面垂直的性质
平面与平面垂直的性质定理
总结词
描述平面与平面垂直的性质定理的内容。
详细描述
平面与平面垂直的性质定理是平面几何中的基本定理之一，它描述了两个平面垂直时所具有的性质特点。具体来说，如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的任意直线与另一个平面内的任意直线所成的角都为直角。这个定理是证明其他相关性质和定理的基础。
详细描述
首先确定一条直线，然后过这条直线作一个平面，最后在这个平面上作该直线的垂线，即为所求的平面与平面垂直。
通过点作平面的垂线
总结词
通过点作平面的垂线是平面与平面垂直作图的常用方法。
详细描述
首先确定一个点，然后过这个点作一个平面，最后在这个平面上作该点的垂线，即为所求的平面与平面垂直。
风口的位置。这需要运用平面与平面垂直的知识，以确保窗户和通风口
与地面和立面之间的垂直关系。
工程制图中的应用
制图基础
在工程制图中，平面与平面垂直的概念是绘图的基础。工程师需要准确地绘制各种平面图，并确保它们之间的垂直关系，以便准确地表达设计意图。
施工指导
工程图纸中的平面与平面垂直关系对于指导施工过程至关重要。施工人员需要根据图纸中的垂直关系，准确地构建建筑物或机械部件。
要点一
总结词
要点二
详细描述
列举平面与平面垂直的性质定理在实际问题中的应用。
平面与平面垂直的性质定理在现实生活中有着广泛的应用。例如，在建筑学中，这个定理被用来确定建筑物的垂直度，以保证建筑物的稳定性和安全性；在机械工程中，这个定理被用来设计和制造各种机械零件，以保证其精确度和稳定性。此外，这个定理在物理学、化学、计算机图形学等领域也有着广泛的应用。

平面与平面垂直的判定

平面与平面垂直的判定
先证线面垂直，如果一直线和平面内两相交直线垂直，那么直线垂直于这个平面；再
证面面垂直，如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直。

判定方法
1.定义法：如果两个平面所成的二面角为90°，那么这两个平面垂。

2.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

3.如果一个平面内任意点在另外一个平面的射影均在这两个平面的交线上，那么垂直。

4.如果N个互相平行的平面有一个垂直于一个平面那么其余平面均垂直这个平面。

5.设两平面的方程分别为A1x+B1y+C1z+D1=0，A2x+B2y+C2z+D2=0，则
A1A2+B1B2+C1C2=0为两平面垂直的充要条件。

两平面垂直
两平面垂直，两平面间的一种位置关系。

两个平面相交，若所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直。

两个平面相交，若所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直.其中任一个
平面称为另一个平面的垂直平面。

感谢您的阅读，祝您生活愉快。

平面与平面的垂直判定

平面与平面垂直的判定[新知初探]1．二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(如图)．直线AB叫做二面角的棱，半平面α和β叫做二面角的面．记法：α-AB-β，在α，β内，分别取点P，Q时，可记作P-AB-Q；当棱记为l时，可记作α-l-β或P-l-Q.(2)二面角的平面角：①定义：在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，如图所示，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．②直二面角：平面角是直角的二面角．[点睛]二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.2．平面与平面垂直(1)面面垂直的定义①定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．②画法：记作：α⊥β.(2)两平面垂直的判定定理：①文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．②图形语言：如图．③符号语言：AB⊥β，AB∩β＝B，AB⊂α⇒α⊥β.[点睛]定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直()(2)两垂直的平面的二面角的平面角大小为90°()答案：(1)√(2)√2．在二面角α-l-β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有的条件是()A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β答案：D3．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂βC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β解析：选C A与D中α也可与β平行，B中不一定α⊥β，故选C.面面垂直的判定[典例]如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.证明：平面AEC⊥平面AFC.[证明]如图，连接BD，设BD∩AC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝ 3.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝3，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝2，故DF＝2 2.在Rt△FDG中，可得FG＝6 2.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝2，DF＝2 2，可得EF＝32 2.从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.(1)证明平面与平面垂直的方法：①利用定义：证明二面角的平面角为直角；②利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(2)根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．[活学活用]1.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有()A．1对B．2对C．3对D．5对解析：选D∵DA⊥AB，DA⊥PA，∴DA⊥平面PAB.同理BC⊥平面PAB，又AB⊥平面PAD，∴DC⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面AC，平面PAB⊥平面AC，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5对．2.如图，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.证明：连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE.因为O为AC中点，E为PA的中点，所以EO是△PAC的中位线，所以EO∥PC.因为PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.又因为EO⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.二面角的求法[典例](1)如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中：①二面角D′-AB-D的大小为________．②二面角A′-AB-D的大小为________．(2)如图，已知Rt△ABC，斜边BC⊂α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A-BC-O的大小．[解析] (1)①在正方体ABCD-A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′AB-D的平面角．在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′AB-D的大小为45°.②因为AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，因此∠A′AD为二面角A′AB-D的平面角，又∠A′AD＝90°，所以二面角A′AB-D的大小为90°.[答案]①45°②90°(2)解：如图，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为点D，连接AD，设CO＝a.∵AO⊥α，BC⊂α，∴AO⊥BC.又AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD.而AD⊂平面AOD，∴AD⊥BC，∴∠ADO是二面角A-BC-O的平面角．由AO⊥α，OB⊂α，OC⊂α，知AO⊥OB，AO⊥OC.∵∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，CO＝a，∴AO＝a，AC＝2a，AB＝2a.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴BC＝AC2＋AB2＝6a，∴AD＝AB·ACBC＝2a·2a6a＝233a.在Rt△AOD中，sin∠ADO＝AOAD＝a233a＝32.∴∠ADO＝60°，即二面角A-BC-O的大小是60°.(1)定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线．(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线(交线)所成的角，即为二面角的平面角．(3)垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法．[活学活用]如图，把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD＝AC.(1)求证：平面ABD⊥平面ABC.(2)求二面角C-BD-A的余弦值．解：(1)证明：取AB的中点O，连接OD，∵△ABD是等腰直角三角形，∴DO⊥AB，且DO＝22AD.连接OC，同理得CO⊥AB，且CO＝22AC，∵AD＝AC，∴DO＝CO＝22AC.∵CD＝AC，∴DO2＋CO2＝CD2，∴△CDO为等腰直角三角形，DO⊥CO，又AB∩CO＝O，∴DO⊥平面ABC.又∵DO⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面ABC.(2)取BD的中点E，连接CE，OE.∵△BCD为等边三角形，∴CE⊥BD.又∵△BOD为等腰直角三角形，∴OE⊥BD.∴∠OEC为二面角C-BD-A的平面角．由(1)可证得OC⊥平面ABD，∴OC⊥OE.∴△COE为直角三角形．设BC＝1，则CE＝32，OE＝12，∴cos∠OEC＝OECE＝33，即二面角C-BD-A的余弦值为3 3.折叠问题[典例]如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E为BC的中点，把△ABE和△CDE分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P.(1)求证：平面PDE⊥平面PAD；(2)求二面角P-AD-E的大小．[解](1)证明：由AB⊥BE，得AP⊥PE，同理，DP⊥PE.又∵AP∩DP＝P，∴PE⊥平面PAD.又PE⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAD.(2)如图所示，取AD 的中点F ，连接PF ，EF ，则PF ⊥AD ，EF ⊥AD ， ∴∠PFE 就是二面角P -AD -E 的平面角．又PE ⊥平面PAD ，∴PE ⊥PF . ∵EF ＝AB ＝2，PF ＝(2)2－1＝1， ∴cos ∠PFE ＝PF EF ＝22.∴二面角P -AD -E 的大小为45°.折叠问题，即由平面图形经过折叠成为立体图形，在立体图形中解决有关问题．解题过程中，一定要抓住折叠前后的变量与不变量．[活学活用]如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起至△A ′BE 的位置，使A ′C ＝A ′D ，求证：平面A ′BE ⊥平面BCDE .证明：如图所示，取CD 的中点M ，BE 的中点N ，连接A ′M ，A ′N ，MN ，则MN ∥BC .∵AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，∴AB ＝AE ，即A ′B ＝A ′E .∴A ′N ⊥BE .∵A ′C ＝A ′D ，∴A ′M ⊥CD . 在四边形BCDE 中，CD ⊥MN ，又∵MN ∩A ′M ＝M ，∴CD ⊥平面A ′MN ，∴CD ⊥A ′N .∵DE ∥BC 且DE ＝12BC ，∴BE 必与CD 相交．又∵A ′N ⊥BE ，A ′N ⊥CD ，∴A ′N ⊥平面BCDE . 又∵A ′N ⊂平面A ′BE ，∴平面A ′BE ⊥平面BCDE .层级一学业水平达标1．从空间一点P 向二面角α-l -β的两个面α，β分别作垂线PE ，PF ，E ，F 为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α-l-β的平面角的大小是()A．60°B．120°C．60°或120°D．不确定解析：选C若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.2．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：β∩γ＝l，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有() A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ解析：选A B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．3．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是()A．α⊥γ，β⊥γB．α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC．a∥β，a∥αD．a∥α，a⊥β解析：选D由a∥α，知α内必有直线l与a平行．而a⊥β，∴l⊥β，∴α⊥β.4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A-BCD，则在几何体A-BCD中，下列结论正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析：选D由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值为()A.32 B.22C. 2D. 3解析：选C如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD中点，∵A1D＝A1B，∴在△A1BD中，A1O⊥BD.又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角．设AA1＝1，则AO＝2 2.∴tan∠A1OA＝122＝ 2.6．如果规定：x＝y，y＝z，则x＝z，叫作x，y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________．解析：由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．答案：平行7．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是________．(填“垂直”“不垂直”其中的一个)解：如图，在正方体中，CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD.又AC⊥BD，CC1∩AC＝C，∴BD⊥平面AA1C1C.又BD⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面AA1C1C.答案：垂直8．若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA ＝6，那么二面角P-BC-A的大小为________．解析：如图，取BC的中点O，连接OA，OP，则∠POA为二面角P-BC-A的平面角，OP＝OA＝3，PA＝6，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°.答案：90°9．如图，在圆锥PO中，AB是⊙O的直径，C是A B上的点，D为AC的中点．证明：平面POD⊥平面PAC.证明：如图，连接OC，因为OA＝OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD.又PO⊥底面ABC，AC⊂底面ABC，所以AC⊥PO.因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD.又AC⊂平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC.10.如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E-BD-C的大小．解：∵E为SC中点，且SB＝BC，∴BE⊥SC.又DE⊥SC，BE∩DE＝E，∴SC⊥平面BDE，∴BD⊥SC.又SA⊥平面ABC，可得SA⊥BD.又SC∩SA＝S，∴BD⊥平面SAC，从而BD⊥AC，BD⊥DE，∴∠EDC为二面角E-BD-C的平面角．设SA＝AB＝1.在△ABC中，∵AB⊥BC，∴SB＝BC＝2，AC＝3，∴SC＝2.在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，∴∠EDC＝60°，即二面角E-BD-C为60°.层级二应试能力达标1．(浙江高考)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β.() A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m解析：选A∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．2．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为()A．相等B．互补C．相等或互补D．不确定解析：选D反例：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是CD，C1D1的中点，二面角D-AA1-E与二面角B1-AB-D的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补，故选D.3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC.在翻折的过程中，可能成立的结论是()A．①③B．②③C．②④D．③④解析：选B对于①，因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，故①不可能成立；对于②，如图，设点D的在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时，有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满足，故②可能成立；对于③，当点P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，故③可能成立；对于④，因为点D的射影不可能在FC上，故④不可能成立．故选B.4.如图，在四面体P-ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中不一定成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDF⊥平面ABC解析：选D因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立．又E为BC的中点，且PB ＝PC，AB＝AC，则BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE.因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，B成立．又DF⊂平面PDF，则平面PDF⊥平面PAE，C成立．要使平面PDF⊥平面ABC，已知AE⊥DF，则必须有AE⊥PD或AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，故选D.5．正四棱锥的侧棱长为23，侧棱与底面所成角为60°，则该四棱锥的高为__________．解析：如图，过点S作SO⊥平面ABCD，连接OC，则∠SCO＝60°，∴SO＝sin 60°·SC＝32×23＝3.答案：36.如图，二面角α-l-β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________．解析：如图，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC，则OC⊥l.设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ，由图得sin θ＝AOAB＝ACAB·AOAC＝sin 30°·sin 60°＝3 4.答案：3 47．已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD＝O.将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC＝a，得到三棱锥A-BCD，如图．(1)当a＝2时，求证：AO⊥平面BCD.(2)当二面角A-BD-C的大小为120°时，求二面角A-BC-D的正切值．解：(1)证明：在△AOC中，AC＝a＝2，AO＝CO＝ 2.∴AC2＝AO2＋CO2，∴AO⊥CO.∵AO⊥BD，BD∩CO＝O，∴AO⊥平面BCD.(2)折叠后，BD⊥AO，BD⊥CO，∴∠AOC是二面角A-BD-C的平面角，即∠AOC＝120°.在△AOC中，AO＝CO＝2，∴AC＝ 6.如图，过点A作CO的垂线交线段CO的延长线于点H.∵BD⊥CO，BD⊥AO，CO∩AO＝O，∴BD⊥平面AOC.∵AH⊂平面AOC，∴BD⊥AH.又∵CO⊥AH，CO∩BD＝O，∴AH⊥平面BCD.∴AH⊥BC.过点A作AK⊥BC，垂足为K，连接HK.∵AK∩AH＝A，∴BC⊥平面AHK.∵HK⊂平面AHK，∴BC⊥HK.∴∠AKH为二面角A-BC-D的平面角．在△AHO中，AH＝62，OH＝22，∴CH＝CO＋OH＝2＋22＝322.在Rt△CKH中，HK＝22CH＝32.在Rt△AHK中，tan∠AKH＝AHHK＝6 2 3 2＝6 3.∴二面角A-BC-D的正切值为6 3.8．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝2，PA⊥底面ABCD，PD与底面成45°角，点E是PD的中点．(1)求证：BE⊥PD.(2)求二面角P-CD-A的余弦值．解：(1)证明：连接AE.∵PA⊥底面ABCD，∴∠PDA是PD与底面ABCD所成的角，∴∠PDA＝45°.∴PA＝DA.又∵点E是PD的中点，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PA⊥AB.∵∠BAD＝90°，∴BA⊥DA.又∵PA∩AD＝A，∴BA⊥平面PDA.又∵PD⊂平面PDA，∴BA⊥PD.又∵BA∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.∵BE⊂平面ABE，∴BE⊥PD.(2)连接AC.在直角梯形ABCD中，AB＝BC＝1，AD＝2，∴AC＝CD＝ 2.∵AC2＋CD2＝AD2，∴AC⊥CD.又∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC∩PA＝A，∴CD⊥平面PAC.又∵PC⊂平面PAC，∴PC⊥CD，∴∠PCA为二面角P-CD-A的平面角．在Rt△PCA中，PC＝PA2＋AC2＝22＋(2)2＝ 6.∴cos ∠PCA＝ACPC＝26＝33.∴所求的二面角的余弦值为3 3.。

高二数学平面和平面垂直的判定

4、法向量垂直法
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否会有人注意到这是奏折而不是一封普通的信。慕容凌娢习惯性看东西不认真，目光上下乱窜，还没看懂到底发生了什么事，奏折就戛然而止了。这是留白吗？这是留白。这居然是留白！这种东西也用留白啊？看了五分之一后，慕容凌娢实在不知道哪些重要哪些不重要，只好全盘招收，都决定上交，反正又不是她要批阅奏折到半夜。就应该像老师留作业那样，多多益善，全是重点。虽然不太情愿问那个看起来凶巴巴的人问题，但慕容凌娢觉得自己不能以貌取人，还是要尝试一下。所以，她小心翼翼规规矩矩的走到那人身边，用自以为最最最亲切诚恳的语气问道，“请问这些审核过的奏折要怎样处理？”“你能离我远点吗。”慢慢悠悠的语调，硬是要把疑问句变为肯定句。那人瞥了一眼慕容凌娢，甚至不算是正眼看，依旧把慕容凌娢吓得低下了头。也许这人有洁癖吧，慕容凌娢发现自己和他的距离确实突破了半米，大部分人都不会习惯。但这突如其来的紧张和心虚是怎么回事！一定是他太吓人了！话说我现在可是蓝孩纸，他不会觉得我X取向有问题吧……“哦……抱歉。”慕容凌娢听话的退了两步，然后问道，“你能回答我的问题了吗？”“这种事情你不知道吗？”那人头也不抬，语气依旧令人很不爽。“不知道……”慕容凌娢很没底气的承认。“那你来这儿干嘛。”满满的嫌弃和不耐烦。“……”慕容凌娢差点就忍不住了。自己是不太懂这些规矩，但他也不能这么爱搭不理的吧！这种人如果被搞到服务行业去，单凭那张充满氨气的脸，慕容凌娢就算搬个梯子也要爬上去，把投诉信塞进信箱里。不过——这是在古代，一个道理可以讲不清的年代，慕容凌娢还是忍了。林子大了什么鸟都不只一只，就当仨三带俩二扔出去得了，王炸还是留着比较好。慕容凌娢尴尬的回到自己桌子旁，木办法，只有先把这些奏折先看完再说了。通正司的门再次被推开了，为首的是一个看起来很严肃的人，而且还留着比山羊还山羊的胡子，一看就和长角的公山羊一样不好惹。这个应该就是通正使。至于后面两个看起来也很像新人的，绝对是参议。光是看面相，慕容凌娢就不敢去问那位通正使。结果那位通正使却像是知道她在想什么一样，直接朝他走了过来。“刘大人。”慕容凌娢赶忙起身作揖，希望自己木有把人家的姓氏叫错。“慕容凌寒。”“大人有何吩咐？”慕容凌娢松了一口气，看来当初跟韩哲轩打听了点消息还是有用的。“这些是你看过的？”通正使随手拿起了一本奏折。“是的。”慕容凌娢在一旁站着，不敢有任何动作。怎么有种被抽查作业的赶脚！ “这种东西，有必要交给圣上看吗？”通正使一甩手，将奏折扔在了桌上。“这……”慕容凌娢瞥了一眼那奏折的内容，是打小报告的。告的

平面与平面垂直的判定定理

两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的．
在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的学习过程中，我们将三维空间的角转化为二维空间的角，即平面角来刻画.接下来，我们同样来研究平面与平面的角度问题.
我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些，我们应该怎么刻画二面角的大小？
②找基面的垂线取AB的中点M，连结PM． P 由己知AB2 = AC2 + BC2，∴∠ACB是直角．
连结CM，∴AM = BM = CM，
∵PA = PB = PC，∴△PAM≌△PCM． A ∵PM⊥AM，∴PM⊥CM， ∴PM⊥平面ABC
N
C
M B
③作平面角取AC的中点N，连结MN、PN．
600 H
300
AC
G
B
答:沿这条路向上走 100 米,升高约 43.3 米.
练习
一、计算二面角的关键是作出二面角的平面角，其作法主要有：
(1)利用二面角平面角的定义，即在棱上任取一点，然后分别在两个面内作棱的垂线，则两垂线所成的角为二面角的平面角．
(2)利用棱的垂面，即棱的垂面与两个半平面的交线所成的角是二面角的平面角．
那么 DG⊥AB,∠DGH 就是坡面和地平面所成
的二面角的平面角,所以∠DGH=600 .
D
又 CD 与 AB 所成角为∠DCG= 300 .
DH DG sin 600 CD sin 300 sin 600 100 sin 300 sin 600 25 3 43.3(m)
的平面角.

A
l
O
B
二面角的平面角必须满足： ①角的顶点在棱上 ②角的两边分别在两个面内 ③角的边都要垂直于二面角的棱

平面和平面垂直的判定与性质

那么所砌的墙面与地面垂直。
大家知道其中的理论根据吗？
二、两个平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．已知：AB⊥β，AB⊂α（图1）．求证：α⊥β。 [证明]：设α∩β=CD， ∵AB⊥β，CD⊂β，∴AB⊥CD．在平面 β 内过点 B 作直线BE⊥CD，则 ∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，而AB⊥BE，故α-CD-β是直二面角． ∴α⊥β。
学习目标
1 熟练掌握面面垂直定义 2 熟练掌握面面垂直的判定定理及其证明过程 3 掌握证明面面垂直的常用方法
1 直二面角定义 2 互相垂直的平面
平面与平面垂直的定义
α A D B C E
β
记作：l来自画法：

问题：如果你是一个质检员，你怎样去检测、判断建筑中的一面墙和地面是否垂直呢？建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴，
例1、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足， AB为O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。求证：平面PAC平面PBC；
P
判定定理：要证两个平面垂直，
C
A
只要在其中一个平面内找到
O
B
另一个平面的一条垂线。
例2、空间四边形ABCD中，已知AB=3，AC=AD=2，∠DAC= ∠BAC= ∠BAD=600 求证：平面BCD⊥平面ADC 证明：设DC中点为O，连结AO、BO， ∵AC=AD=2 ∠DAC=600 ∴AO⊥DC AO=√3 DC=2 又∠BAC= ∠BAD=600 AB=3 ∴⊿ABD≌⊿ABC DB=CB=√7 ∴BO⊥CD BO=√6 ∠AOB是二面角ADCB的平面角 ∴AB2=AO2+BO2 ∠AOB=900 ∴平面BCD⊥平面ADC 定义法：找二面角的平面角 D A

平面和平面垂直的判定与性质

例1、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足， AB为O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。求证：平面PAC平面PBC；
P
判定定理：要证两个平面垂直，
C
A
只要在其中一个平面内找到
O
B
另一个平面的一条垂线。
例2、空间四边形ABCD中，已知AB=3，AC=AD=2，∠DAC= ∠BAC= ∠BAD=600 求证：平面BCD⊥平面ADC 证明：设DC中点为O，连结AO、BO， ∵AC=AD=2 ∠DAC=600 ∴AO⊥DC AO=√3 DC=2 又∠BAC= ∠BAD=600 AB=3 ∴⊿ABD≌⊿ABC DB=CB=√7 ∴BO⊥CD BO=√6 ∠AOB是二面角ADCB的平面角 ∴AB2=AO2+BO2 ∠AOB=900 ∴平面BCD⊥平面ADC 定义法：找二面角的平面角 D A
学习目标
1 熟练掌握面面垂直定义 2 熟练掌握面面垂直的判定定理及其证明过程 3 掌握证明面面垂直的常用方法
1 直二面角定义 2 互相垂直的平面
平面与平面垂直的定义
α A D B C E
β
记作：
l

画法：

问题：如果你是一个质检员，你怎样去检测、判断建筑中的一面墙和地面是否垂直呢？建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴，
3、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。求证：平面PAC平面PBD。
P
A
D
O
B C
［总结提炼］
☆ 定义面面垂直是在建立在二面角的平面角的基础上的 ☆ 理解面面垂直的判定要依赖面面垂直的定义 ☆ 证明面面垂直要从寻找面的垂线入手

面面垂直判定定理公式

面面垂直判定定理公式
面面垂直判定定理是初中数学中比较重要的一个定理，它是在平面几何中对于垂直关系的判定定理。

所谓面面垂直，就是指两个平面互相垂直，也可以说是两个面所成的角度为90度。

那么，面面垂直判定定理的公式是怎么样的呢？
在空间直角坐标系中，设有两个平面P1和P2，它们的方程分别为：
P1：Ax+By+Cz+D1=0
P2：Ax+By+Cz+D2=0
那么，P1和P2互相垂直的充分必要条件是A、B、C满足：
A1A2+B1B2+C1C2=0
其中，A1、A2分别是P1和P2的法向量在x轴上的分量，B1、B2分别是P1和P2的法向量在y轴上的分量，C1、C2分别是P1和P2的法向量在z轴上的分量。

以上就是面面垂直判定定理的公式，但只有知道公式是不够的，我们还需要了解如何应用这个定理来解决实际问题。

首先，我们可以通过观察两个平面的方程是否满足公式中的条件来判断它们是否垂直。

如果满足条件，那么两个平面就互相垂直。

其次，我们可以应用面面垂直判定定理来解决一些比较常见的几何问题，例如：求空间中一条直线与一个平面的垂线、求平行于某个面的平面、求两个平面的夹角等。

综上所述，面面垂直判定定理是初中数学中比较重要的一个定理，掌握它可以帮助我们解决很多几何问题。

因此，我们在学习数学时要认真理解这个定理的公式，并且多做一些练习题来加深对它的理解。

同时，我们还需要关注一些具体的应用场景，这样才能在实际问题中使用它更加得心应手。

平面与平面垂直的判定与性质

C
又因为 BC⸦ α , 所以，BD ⊥BC,
因此, CBD 是直角三角形.
lA
在 RtABC 中,BC AC2 AB2 2
β
在 RtCBD 中,CD BC2 BD2 2 2．
α
B
D
已知：如图所示, α ⊥ β ,在 α 与 β 的交线上取线段 AB 3,且AC、BD
分别在平面α和平面β内,它们都垂直于交线AB,并且AC=1,BD=2,求CD的
O
B
小结判断面面垂直的方法：利用直二面角、面面垂直的判定定理.
α
A m β
OB
α
Am lβ
On
小结判断面面垂直的方法：利用直二面角、面面垂直的判定定理.
线线垂直
线面垂直
面面垂直
直角三角形的定义
勾股逆定理
直径所对圆周角是直角
线面垂直的定义
线面垂直的性质
例.已知,在三棱锥 A-BCD中, AB⊥平面BCD,BC⊥CD.请问在三棱锥
（1）.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.
（×）
D1
C1
A1 D
B1 C
A
B
（2）.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线，则α⊥β.
（× ）
D1
C1
A1 D
B1 C
A
B
（3）. 如果平面α内的一条直线 l 垂直于平面β内的两条相交直线, 则
α⊥β.（ √ ）
l⊥β ，l ⸦ α，则α⊥β.
长．
α
C
lA
B
β
D
课堂小结
1、面面垂直的判定定理：证明两个平面相互垂直、寻找平面的垂面 2、判断两个平面互相垂直的方法：⑴定义 ⑵判定定理 3、面面垂直的性质定理：线面垂直的判断方法

平面与平面垂直的判定和性质

平面M 平面N = a 符号语言： M 平面M 平面P 平面P p 平面N 平面P
a N
例2、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足，
AB为O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。
求证：平面PAC平面PBC；
证明：PA⊥圆面 BC 圆面 PA AC=A BC⊥平面PAC
AB 。 AB
请判断命题的真假。
该命题是假命题。
由 ,平面内的直线AB不一定能与平面垂直.
α A
D
α A β
B C D
β
B C
那么还需添加什么条件，才能使命题为真？
若增加条件ABCD，则命题为真，即
AB AB 。 I = CD
C
α A
D
β
E
B
例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断平面B1AC与平面B1BDD1是否垂直.
解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
D1 A1 D A C1
∵B1B⊥平面ABCD， ∴B1B⊥AC,
在正方形ABCD中， ∵ BD⊥AC,
B1
C
B
∴ AC⊥平面BB1D1D ∵ AC B1AC内 ∴平面B1AC⊥平面B1BDD1.
PA⊥BC
AB为圆的直径，点C在圆周上 AC⊥BC
PBC BC平面
平面PAC⊥平面PBC.
α
D
α A
β
B
C
D
β
C
推论1：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点而垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.
符号语言： D AB

D

平面与平面垂直的定义与判定

2．直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(2)图形语言：如图所示．(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．如图，∠P AO就是斜线AP与平面α所成的角．(2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是90°.(3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°.(4)线面角θ的范围：0°≤θ≤90°.1列说法中正确的个数是()①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直．A．0B．1 C．2 D．32．下列说法中，正确的是()A．若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥αB．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行C．若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b D．若a⊥b，b⊥α，则a∥α3如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点．求证：AD⊥平面A1DC1.6.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30° D．120°7．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P A⊥平面ABC，P A＝8，则P到BC的距离是()A. 5 B．25C．3 5 D．459.)正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线A1B与对角面BB1D1D所成的角为________．10.如图，AB是圆O的直径，P A垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为点N.求证：AN⊥平面PBM.11如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角．13．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.14．如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直16．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.(1)求证：AC⊥B1D；(2)求三棱锥C－BDB1的体积．17.如图，P A⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN∥平面P AD；(2)若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平面PCD.19.在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；(2)若P A ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥P A ，则点O 是△ABC 的________心.21..在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则( )A.MN ∥C 1D 1B.MN ⊥BC 1C.MN ⊥平面ACD 1D.MN ⊥平面ACC 122.如图，已知P A ⊥平面ABC ，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数为________.23.如图所示，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列结论正确的是( )A ．PB ⊥AD B ．平面P AB ⊥平面PBCC ．直线BC ∥平面P AED ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45°24.直角三角形ABC 所在平面外有一点S ，且SA ＝SB ＝SC ，点D 为斜边AC 的中点．(1)求证：SD ⊥平面ABC ；(2)若AB ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC ..平面与平面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.符号语言：,l l αβαβ⊥⊂⇒⊥(1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． (2)图形语言：(3)符号语言： ⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝la ⊂αa ⊥l ⇒a ⊥β.(4)作用：①面面垂直⇒线面垂直；②作面的垂线．特征：线面垂直⇒面面垂直要点四：求点线、点面、线面距离的方法(1)若P 是平面α外一点，a 是平面α内的一条直线，过P 作平面α的垂线PO ，O 为垂足，过O 作OA ⊥a ，连接PA ，则以PA ⊥a ．则线段PA 的长即为P 点到直线a 的距离(如图所示)．(2)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离．(3)求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解．②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解．③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解．1．三棱锥S -ABC 中，∠BSC ＝90°，∠ASB ＝60°，∠ASC ＝60°，SA ＝SB ＝SC ．求证：平面ABC ⊥平面SBC ．2.如图所示，在四棱锥S -ABCD 中，底面四边形ABCD 是平行四边形，SC ⊥平面ABCD ，E 为SA 的中点．求证：平面EBD ⊥平面ABCD ．3.．如下图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AC=BC ，D 是AB 的中点。

平面与平面垂直的判定

2.3直线、平面垂直的判定及性质1.直线与平面垂直（1）判定直线和平面垂直的方法①定义法.②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，则该直线和此平面垂直.③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也于这个平面(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内直线.②垂直于同一个平面的两条直线.③垂直于同一直线的两平面.2.斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角.3.二面角的有关概念（1）二面角：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角.（2）二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.(3) 两面角的平面角的取值范围是注意：二面角的平面角必须具备三个条件：1.角的顶点在二面角的棱上；2.角的两边分别在二面角的两个面内；3.角的两边分别与二面角的棱垂直。

4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法.②利用判定定理：一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直.(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于的直线垂直于另一个平面. 例题1.设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l ⊥m且l⊥n”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析当l⊥α时，l⊥m且l⊥n.但当l⊥m, l⊥n时，若m、n不是相交直线，则得不到l⊥α. 答案：A2.若P是平面α外一点,则下列命题正确的是( )A.过P只能作一条直线与平面α相交B.过P可作无数条直线与平面α垂直C.过P只能作一条直线与平面α平行D.过P可作无数条直线与平面α平行解析过P点存在一平面与α平行，则该平面内过P的直线有无数条都与α平行. 答案：D3.（2009·广东）给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是( )A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④解析当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确. 答案 D4.（2008·湖南）已知直线m、n和平面α、β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则( )A. n⊥βB. n∥β，或n属于βC. n⊥αD. n∥α,或n属于α解析∵n与β的位置关系各种可能性都有，∴A、B都不对.当n不属于α时，作n′∥n,且n′∩m=O,则n′与m确定平面γ,设α∩γ=l,则有m⊥l, 又m⊥n′,所以l∥n′,∴l∥n,∴n∥α;当n属于α时，显然成立.故C不对，D正确. 答案：D5.下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面.①若m⊥α, n∥α,则m⊥n; ②若α⊥γ, β⊥γ,则α∥β；③若m∥α, n∥α,则m∥n; ④若α∥β, β∥γ, m⊥α,则m⊥γ.正确的命题是( )A.①③B.②③C.①④D.②④解析②中平面α与β可能相交，③中m与n可以是相交直线或异面直线.故②③错，选C. 答案：C题型分类题型一直线与平面垂直的判定与性质例一：如图所示,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M，N分别是AB，PC的中点.(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA=45°.求证：MN⊥平面PCD. 解析：(1)因M为AB中点,只要证△ANB 为等腰三角形,则利用等腰三角形的性质可得MN⊥AB. (2)已知MN⊥CD，只需再证MN⊥PC,易看出△PMC为等腰三角形，利用N为PC的中点，可得MN⊥PC.证明（1）连接AC，AN，BN，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，在Rt △PAC 中，N 为PC 中点， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BC ，又BC ⊥AB ，PA ∩AB=A ，∴BC ⊥平面PAB ，∴BC ⊥PB ，从而在Rt △PBC 中，BN 为斜边PC 上的中线， ∴AN=BN ，∴△ABN 为等腰三角形，又M 为底边AB 的中点，∴MN ⊥AB ，又∵AB ∥CD ，∴MN ⊥CD.(2)连接PM 、CM,∵∠PDA=45°,PA ⊥AD,∴AP=AD.∵四边形ABCD 为矩形，∴AD=BC ，∴PA=BC.又∵M 为AB 的中点，∴AM=BM.而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM.又N 为PC 的中点，∴MN ⊥PC.由（1）知，MN ⊥CD ，PC ∩CD=C,∴MN ⊥平面PCD.注意：垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来..21PC AN =∴.21PC BN =∴题型二面面垂直的判定与性质【例2】在四棱锥P —ABCD 中，底面 ABCD 是∠DAB ＝60°的菱形,侧面P AD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD . (1)求证：AD ⊥PB ；(2)若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找到一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD ，并证明你的结论．方法与技巧1.证明线面垂直的方法证明(1)取AD的中点G，连接PG、BG、BD.∴△P AD为等边三角形，∴PG⊥AD.又∵平面P AD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD.在△ABD中，∠A＝60°，AD＝AB，∴△ABD为等边三角形．∴BG⊥AD，∴AD⊥平面PBG.∴AD⊥PB.(2)连接CG，与DE相交于点H，在△PGC中作HF∥PG，交PC于点F，连接FD、EF.∴FH⊥平面ABCD.∴平面DEF⊥平面ABCD.∵H是CG的中点，∴F是PC的中点．∴在PC上存在一点F，即PC的中点，使得平面DEF⊥平面ABCD.（1）线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直 a ⊥α；（3）判定定理2：a ∥b ，a ⊥α可推出b ⊥α；（4）面面平行的性质：α∥β，a ⊥α可推出a ⊥β；（5）面面垂直的性质：α⊥β，α∩β=l ，a 属于α，a ⊥l 可推出a ⊥β.2.证明线线垂直的方法（1）定义：两条直线所成的角为90°;（2）平面几何中证明线线垂直的方法；（3）线面垂直的性质：a ⊥α，b 属于α a ⊥b ；（4）线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α a ⊥b.3.证明面面垂直的方法（1）利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；（2）判定定理：a 属于α，a ⊥β α⊥β.4.向量法证明线面平行与垂直也是一种重要的方法.综合练习一、选择题1.若l 为一条直线,α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ,β⊥γ可推出α⊥β; ②α⊥γ,β∥γ可推出α⊥β;③l ∥α,l ⊥β可推出α⊥β.其中正确的命题有( );,,:1)2(αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥=⊂l n l m l A n m m 、判定定理A.0个B.1个C.2个D.3个解析对于①，α与β可能平行，故错.②③正确，故选C.2.设a、b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列四个命题中正确的是( )A.若a⊥b, a⊥α,则b∥αB.若a∥α, α⊥β,则a⊥βC.若a⊥β, α⊥β,则a∥αD.若a⊥b, a⊥α, b⊥β,则α⊥β解析A中，b可能在α内；B中，a可能在β内,也可能与β平行或相交（不垂直）；C中，a可能在α内；D中，a⊥b，a⊥α，则b α或b∥α,又b⊥β,∴α⊥β. 答案：D3.a、b表示直线，α、β、γ表示平面.①若α∩β=a, b属于α, a⊥b，则α⊥β;②若a属于α, a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；③若α⊥β，α∩γ=a, β∩γ=b,则a⊥b;④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内无数条直线；⑤若a⊥α, b⊥β, a∥b,则α∥β.上述五个命题中，正确命题的序号是.解析：对①可举反例如图，需b⊥β才能推出α⊥β.对③可举反例说明，当γ不与α，β的交线垂直时，即可得到a，b 不垂直；对④a只需垂直于α内一条直线便可以垂直α内无数条与之平行的直线.所以只有②⑤是正确的.答案 ②⑤4.下面四个命题： ①“直线a ∥直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”；②“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”；③“直线a 、b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线a 、b 不相交”；④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”.其中正确命题的序号是( )A.①②B.②③C.②④D.③④解析 a ∥b 推不出a 平行于b 所在的平面，反之也不成立.∴①不正确.由线面垂直的定义知②正确.a 、b 不相交时，a 、b 可能平行，此时a 、b 共面.③不正确.当α∥β时，α内一定有三个不共线的点到平面β的距离相等.反之，设A 、B 、C 是α内三个不共线的点，当β过△ABC 的中位线时，A 、B 、C 三点到β的距离相等，但此时α、β相交，④正确. 答案 C二．解答题1.四面体ABCD 中,AC=BD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，且 ∠BDC=90°. 求证：BD ⊥平面ACD. 证明如图所示，取CD 的中点G ，连接EG 、FG 、EF.,22AC EF∵E 、F 分别为AD 、BC 的中点，∴EGAC ，FG BD.又AC=BD ，在△EFG 中，EG2+FG2= AC2=EF2.∴EG ⊥FG. ∴BD ⊥AC. 又∠BDC=90°，即BD ⊥CD ，AC ∩CD=C ，∴BD ⊥平面ACD.2. Rt △ABC 所在平面外一点S,且SA=SB=SC ，D 为斜边AC 中点.（1）求证：SD ⊥面ABC ；（2）若AB=BC ，求证：BD ⊥面SAC.证明:（1）如图所示，取AB 中点E ，连结SE ，DE ，在Rt △ABC 中，D 、E 分别为AC 、AB 的中点，故DE ∥BC ，且DE ⊥AB,∵SA=SB ，∴△SAB 为等腰三角形，∴SE ⊥AB.∵SE ⊥AB ，DE ⊥AB ，SE ∩DE=E ，∴AB ⊥面SDE.而SD 属于面SDE ，∴AB ⊥SD.在△SAC 中，∵SA=SC ，D 为AC 中点，∴SD ⊥AC.∵SD ⊥AC,SD ⊥AB,AC ∩AB=A,∴SD ⊥面ABC.（2）若AB=BC ，则BD ⊥AC ，由（1）可知，SD ⊥面ABC ，而BD 属于面ABC ，∴SD ⊥BD ，.21AC FG EG ==∴21∵SD⊥BD,BD⊥AC,SD∩AC=D,∴BD⊥面SAC。