利用函数性质判定方程解的存在

(a>0)的根
实数根x1 、x2 实数根x1 = x2
问题1:从该表你可以y得出什么结论y ？
Δ< 0 没有实数根
y
函数y=ax2 +bx+c O
(问a>题0)2的:图其象他函数与x1 方程之x2间x 也有O同x样1 结x论吗？O
x
函数的图象与x 两个交点
轴的交点 (x1,0)，(x2,0)
一个交点 (x1,0)
小试牛刀
我的零点
是10
练习：判断下列函数是否有零点，若有，求出零点。
我的零点是
（1） f (x) lg x 1
1，-2和3
（2） f (x) (x 1)(x 2)(x 3) 不好意思，
（3）f (x) 3x 1
我没有零点
（4）f (x) 3x x2
我的零点在 哪里？
三、讨论探究，揭示定理
请观察下列图像：
y
y
0a
bx
0a
y
0a
bx
bx
函数零点存在性定理：
y
ac O
bx
y
c Oa百度文库
b x
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲 线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b) 内 至少有一个零点．即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也 就是方程f(x)=0的根．
y 2
1
f4(x)
O 12
x
堂上练习
2.判定方程4x3+x-15=0在[1,2]内实数解的 存在性,并说明理由. 解 考虑函数f(x)=4x3+x-15,有
f(1)=-10<0
f(2)=19>0 函数f(x)=4x3+x-15图像是连续曲线, 所以函数f(x)在区间[1,2]内有零点. 即方程4x3+x-15=0在区间[1,2]内有实数 解.
堂上练习
3.指出下列方程存在实数解,并给出一个 实数解的存在区间:
1x 1 0;
x
2lg x x 0.
五、观察感知，例题学习
例 求函数f(x)= 2x x 的零点的个数.
解法1：列出x、f(x)的对应值表：
x0123 4
5
6 78
f(x) 1 -0.5 -7/4 -23/8 -63/16 -159/32 … ...
转化为
函数y= 2x 与y=x的图象交点的个数．y
试求函数 f (x) 3x x2 的零点的个数.
y= 2x
6
y=x
.
O 1234
x
六、反思小结，培养能力
一个关系：函数零点与方程根的关系:
函数
方程
数值
零点
存在性
根
个数
两种思想：函数方程思想；数形结合思想．
三种题型：求函数零点、确定零点个数、 求零点所在区间．
cd
x
在区间a, b 上 有 （有/无）零点
（2）f (b) f (c) ＜__ 0 ( 或 )
在区间b,c 上 有 （有/无）零点
（3）f (c) f (d) _＜__ 0 ( 或 )
在区间c,d 上 有 （有/无）零点
探究4：
若函数 y f (x) 在区间 a,b 上有定义，而且满足 f (a) f (b) 0 ， 则函数 y f (x) 在区间a,b 内一定存在零点吗？
没有交点
一元二次方程的实数根二次函数图象与x轴交点的横坐标
二、启发引导，形成概念 函数零点的定义：
一般地，我们把函数y=f(x)的图像与x轴交点的 横坐标称为这个函数的零点．
等价关系 函数y=f(x)的零点
函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标 方程f(x)=0的实数根
注意
零点是一个点吗？
函数一定有零点吗？
一、设问激疑，创设情景
引例 解方程：
（1）2x 1 0
（2）x2 2x 3 0 （3）3x x2 0
xx
1 2
1 2
xx1133,,xx22 11
有没有根？有几个根？根在什么区间内？
这一节我们就讨论如何利用方程与函数的 关系求方程的实数解.
f(x)0 y f(x)
二、启发引导，形成概念
方程
函数
2x 1 0
xx
1 2
1 2
f (x) 2x 1
x2 2x 3 0 f (x) x2 2x 3
xx1133,,xx22 11
图 像y
1
- 0 11 2
x
1
2
-1
y
2
O
-1 1 2 3 x -2
-4
二、启发引导，形成概念
方判别式程Δ
Δ> 0
Δ= 0
方程ax2 +bx+c=0 两个不相等的 有两个相等的
设问2：结合所画图像，试用恰当的数学语言表述小马在什么情况下一定
成功过河呢？
用f（A）·f（B）<0来表示
探究2：
观察f(x)=2x-1的图象 0.5附近的函数值变化情况
观察f(x)=x2－2x－3的图象 -1附近的函数值变化情况:
y
0
x
探究3：
y
观察函数 y f (x)的图像
（1）f (a) f (b) ＜__ 0 ( 或 ) a 0 b
A. （-1,0） B. (1，2) C. (0，1) D. (0，0.5)
练3 判定方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实
数解,且一个大于5,一个小于2. y
解:函数f(x)=(x-2)(x-5)-1
f(5)=(5-2)(5-5)-1=-1
f(2)=(2-2)(2-5)-1=-1 f(x)的图像开口向上的抛物 线,所以抛物线与横轴在(5,+∞) 内有一交点,在(-∞,2)内也有一 个交点.
四、知识应用，尝试练习
练1、已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下对应值表：
x 1 23456 7 f(x) 23 9 –7 11 –5 –12 –26
那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（C ）个
A. 5个
B. 4个
C. 3个 D. 2个
练2、函数 f (x) 3x x2 的零点所在的大致区间为（A ）
O x1 2
-1
5 x2
x
方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解,且一个大 于5,一个小于2
堂上练习
1.观察下面的四个函数图像,指出在区间
(-∞,0)内,方程fi(x)=0(i=1,2,3,4)哪个有解?
说明理由. y 2
y 2
f1(x) 1
1
O 1 2x
y 2
f3(x) 1
O 1 2x
O 1 2x f2(x)
y
由表可知f(1)<0，f(0)>0，从而f(0)·f(1)<0， ∴函数f(x)在区间(0,1)内有零点．
10 8
f(x)= 2x x
6
问题:如何说明零点的唯一性？
4
2
由于函数f(x)在定义域R内是减函数，所以O 1 2 3 4 5 6 x
它仅有一个零点．
-2
-4
解法2：
将函数f(x)= 2x x 的零点的个数
探究:在什么情况下，函数f(x)在区间(a,b)一定存在零 点呢？
探究1：（小马过河）观察下列两组画面,请你推断一下哪一组一定能说 明小马已经成功过河？
Ⅰ
Ⅱ
设问1：将河流抽象成x轴，将小马前后的两个位置视为A、B两点。请问 当A、B与x轴怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴 一定会有交点（即小马的运动轨迹一定经过小河）？