数学高考中椭圆、双曲线的焦半径、焦点弦的考法
高中数学有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点
<一>圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。
（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D^2+E^2-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。
⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。
⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。
圆与直线的位置关系判断平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F）<二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。
高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结
高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结姓名：（一）椭圆1.椭圆的定义如果平面内一动点到两定点距离之和等于正的常数（大于两定点的距离），则动点的规迹是椭圆即|PF1|+|PF2|=2a其中P是动点，F1,F2是定点且|F1F2|=2C当a>c时表示当a=c时表示当a<c时第二定义：动点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0<e<1)时，这个点的规迹是椭圆。
定点是，定直是e是2.椭圆的标准方程参数方程（1）标准方程（2）参数方程3.椭圆的性质（1）焦点在x轴上的椭圆标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e=范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|=|PF2|=(F1，F2分别为椭圆的左右两焦点，P为椭圆上的一点)椭圆的通径（过椭圆的一个焦点F且垂直于它过焦点的对称轴的弦）|P1P2|=（2）焦点在y轴上的椭圆标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e=范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|=|PF2|=(F1，F2分别为椭圆的下上两焦点，P为椭圆上的一点)4.椭圆系（1）共焦点的椭圆系方程为2221x yk k c+=-(其中k>c2,c为半焦距)（2）具有相同离心率的标准椭圆系的方程2222(0) x ya bλλ+=>(二)双曲线1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是(2)若|P F1|-|PF2|=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质（1）焦点在x轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e=范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|=|PF2|= (F1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点)（3）焦点在y轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e=范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|=|PF2|= (F1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)4.等轴双曲线22(0)x yλλ=±③离心率为-=≠特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直y x5.共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线22221x ya b+=的共轭双曲线是6.双曲线系（1）共焦点的双曲线的方程为2221x yk k c+=-(0<k<c2,c为半焦距)（2）共渐近线的双曲线的方程为2222(0) x ya bλλ-=≠。
高中数学椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用
椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用摘要：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即12AB x -或者12AB y -，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式：22222cos ab AB a c θ=-，如果记住公式，可以给我们解题带来方便.下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用.解法一：根据弦长公式直接带入解决.题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .椭圆方程12222=+by a x 可化为0222222=-+b a y a x b ……①，直线l 过右焦点，则可以假设直线为：x my c =+(斜率不存在即为0m =时)，代入①得：222222222()20b m a y mcb y b c a b +++-=，整理得，222224()20b m a y mcb y b ++-=∴2412122222222,mcb b y y y y b m a b m a +=-=-++，∴12AB y -==∴()2222221ab AB m b m a=++ （1）若直线l 的倾斜角为θ，且不为90,则1tan m θ=，则有： ()2222222222221111tan tan ab ab AB m b m a b a θθ⎛⎫=+=+ ⎪+⎝⎭+,由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为22222cos ab AB a c θ=-……②. （2）若=90θ，则0m =，带入()2222221ab AB m b m a =++,得通径长为22b a ，同样满足②式.并且由()222232222222222222222222()222()2()21=22ab a b m a a ab a a b a a b b AB m a a b m a b m a b m a a a +-+--=+=-≥-=+++,当且仅当0=m 即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为a b 22，故可知通径是最短的焦点弦，.综上，焦点弦长公式为22222cos ab AB a c θ=-.解法二：根据余弦定理解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：如右图所示，连结11,F A F B ，设22=,F A x F B y =，假设直线的倾斜角为θ，则由椭圆定义可得11=2,2F A a x F B a y -=-，在12AF F ∆中，由余弦定理得222(2)(2)cos()4c x a x cx πθ+---=，化简可得2cos b x a c θ=-，在12BF F ∆中，由余弦定理同理可得2cos b y a c θ=+，则弦长2222222=cos cos cos b b ab AB x y a c a c a c θθθ=+=+-+-.解法三：利用焦半径公式解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：由解法一知22212121222222222=()22m cb a cx x my c my c m y y c c b m a b m a ++++=++=-+=++.由椭圆的第二定义可得焦半径公式，那么2122,F A a ex F B a ex =-=-故222221212222222222(1)=2()ab m ab ab m AB a ex a ex a e x x b m a b m a ++-+-=-+==++后面分析同解法一.解法四：利用仿射性解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：利用仿射性，可做如下变换''x xa y yb =⎧⎪⎨=⎪⎩，则原椭圆变为222(')(')x y a +=，这是一个以原点为圆心，a 为半径的圆.假设原直线的斜率为k ，则变换后斜率为ak b.椭圆中弦长212=1AB k x x +-，经过变换后变为212''1()a A B k x x b=+-，带入，得变换前后弦长关系为22221=''b k AB A B b a k++……③而我们知道圆的弦长可以用垂径定理求得.如图所示，假设直线为()ay k x c b=-，圆心到直线的距离为21()a kc bd a k b=+，根据半径为a ，勾股定理求得弦长为222222222()(1)''=221()akc a b k b A B a ak b a k b+-=++，将此结果带入③中，得222222222222222222211(1)2(1)=''=2=b k b k a b k ab k AB A B b a k b a k b a k b a k++++++++，由tan k θ=，带入得 22222cos ab AB a c θ=-.上面我们分别用了四种不同的方法，求出了椭圆中过焦点的弦长公式为：22222cos ab AB a c θ=-，记住这个公式，可以帮助我们快速解决一些题目，下面我们举例说明.例1已知椭圆2212521x y +=的直线交椭圆于,A B 两点，求AB . 分析：如果直接用弦长公式解决，因为有根号，特别繁琐，利用公式则迎刃而解.解：由题，225,21,4=3a b c πθ===，,带入22222cos ab AB a c θ=-得=10AB . 例2已知点3(1,)2P -在椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上，过椭圆C 的右焦点2(1,0)F 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点. （1）求椭圆的标准方程；（2）若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，且MNAB ，2ABW MN=,试判断W 是否为定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.分析：因为l 过焦点，故弦长可以用过焦点的弦长公式解决，显得十分简洁简单. 解：（1）由题知1c =，将点P 带入得221914a b+=，又222a b c =+，解得224,3a b ==，故椭圆方程为22143x y +=. （2）假设(,)A m n，则AB =，设倾斜角为θ，则cos θ=，根据过焦点的弦长公式则2222222222221234cos 12()4abm n MN m a c m n m n θ+===-+-+，故222=443ABm n W MN =+（）=4. 例3如图，已知椭圆22143x y +=的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线1l 交椭圆于,A C 两点，过1F 的直线2l 交椭圆于,B D 两点，12,l l 交于点P (P 在x 轴下方)，且1234F PF π∠=，求四边形ABCD 的面积的最大值.分析：注意到以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆没有交点，故形成1234F PF π∠=的点P 在圆内，先可以用焦点弦长公式表示出面积，再利用换元求出其最大值.解：假设1l 的倾斜角为θ,则2l 的倾斜角为3+4πθ，由椭圆的焦点弦长公式得：2124cos AC θ=-, 2124cos ()4BD πθ=--，221221212=2244cos 4cos ()4S AC BD πθθ⋅⋅⋅=⋅⋅---, 设22()(4cos )(4cos ())4f πθθθ=---71714971(cos 2)(sin 2)sin 2+cos 2+sin 42222448θθθθθ=--=-（） 设sin 2cos 2(2,2)t t θθ⎡⎤+=∈-⎣⎦， 则2sin 41t θ=-,带入得24971()+(1)448f t t t =-- 即21797()848f t t t =-+ min 99142()8f t -=,此时2t =， 即sin 2cos 22θθ+=，得到=8πθ.综上，四边形ABCD 的最大值为2882=5.1499142S ≈-.此时=8πθ，得到2l 的倾斜角为78π,刚好两直线关于y 轴对称，如右图所示.。
高中数学高考几何解析(椭圆双曲线抛物线)课本知识讲解及练习(含答案)
高中数学高考几何解析（椭圆双曲线抛物线）课本知识讲解及练习（含答案）第五节椭圆一、必记3个知识点1．椭圆的定义(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时，P在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c.二、必明3个易误点1．椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a<|F1F2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．三、技法1.求椭圆标准方程的2种常用方法(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解.4.判断直线与椭圆位置关系的四个步骤第一步：确定直线与椭圆的方程．第二步：联立直线方程与椭圆方程．第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程．第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．5．直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝(y1＋y2)2－4y1y2])(k为直线斜率).参考答案①F1，F2②|F1F2|③x轴，y轴④坐标原点⑤(－a,0)⑥(a,0)⑦(0，－b)⑧(0，b)⑨(0，－a)⑩(0，a)⑪(－b,0)⑫(b,0)⑬2a⑭2b⑮2c⑯(0,1)⑰c2＝a2－b2第六节双曲线一、必记3个知识点1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离①________________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的②________，两焦点间的距离叫做③________.(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(ⅰ)当④________________时，M点的轨迹是双曲线；(ⅱ)当⑤________________时，M点的轨迹是两条射线；(ⅲ)当⑥________________时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质⑧________x ∈对称轴：⑪________对称中心：⑫________顶点坐标：A 1⑮______，A 2⑯________⑱____________c ＝⑳________|＝21________；线段________；a 叫做双曲线的虚半轴长＞b ＞0)(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x 轴上时，渐近线斜率为±ba，当焦点在y 轴上时，渐近线斜率为±ab.(3)渐近线与离心率．x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为ba＝e2－1.(4)若P 为双曲线上一点，F 为其对应焦点，则|PF |≥c －a .二、必明4个易误点1．双曲线的定义中易忽视2a <|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a >|F 1F 2|则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2；若0<a <b ，则双曲线的离心率e >2.3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±ba，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±ab.三、技法1.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．[注意]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.2.求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为：x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.3.求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．4．求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程为：xa±yb＝0.参考答案①之差的绝对值②焦点③焦距④2a<|F1F2|⑤2a＝|F1F2|⑥2a>|F1F2|⑦x≥a或x≤－a⑧y≥a或y≤－a⑨x轴，y轴⑩坐标原点⑪x轴，y轴⑫坐标原点⑬(－a,0)⑭(a,0)⑮(0，－a)⑯(0，a)⑰y＝±ba x⑱y＝±ab x⑲ca⑳a2＋b2212a222b23a2＋b2第七节抛物线一、必记2个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质x轴⑤________y轴⑥________O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)F⑦________⑧________⑨________设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p.二、必明2个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l 的距离，否则无几何意义．三、技法1.应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.2.求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．3．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.4.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.参考答案①相等②y2＝－2px(p＞0)③x2＝－2py(p＞0)④x2＝2py(p＞0)⑤x轴⑥y轴⑦F(－p2，0)⑧F(0，－p2)⑨F(0，p2)⑩e＝1⑪x＝－p2⑫y＝－p2⑬－y0＋p2⑭y0＋p2⑮y≤0⑯y≥0。
高考数学椭圆与双曲线的经典性质技巧归纳总结
椭圆的定义、性质及标准方程高三数学备课组 刘岩老师1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围x a y b ≤≤， x b y a ≤≤， 顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率)10(<<=e a ce )10(<<=e a ce 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
第二讲 椭圆焦半径与焦点弦3(用焦半径的角参公式解题)(教案)【椭圆小题突破】高考数学二轮复习专题
椭圆的焦半径和焦点弦3――用焦半径的角参公式解题知识点：（1） 若F 为椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的右焦点，设∠AFx =θ,22||,||,1+cos 1-cos b b a a AF BF e e θθ== 222222||.1+cos 1-cos 1-cos b b b a a a AB e e e θθθ=+=（2）若F 为椭圆y 2a2+x 2b 2=1(a >b >0) 左焦点，22||,||,1-cos 1+cos b b a a AF BF e e θθ== 222222||.1+cos 1-cos 1-cos b b b a a a AB e e e θθθ=+= 3．（1）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，过左焦点F (-2,0)倾斜角为π3的直线交椭圆上半部分于点A ，以FA ，FO 为邻边作平行四边形OFAB ，若点B 在椭圆上，则b 2等于（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 法一：坐标法以，为邻边作平行四边形，则且. 所以轴，所以两点关于轴对称，又 设，则，由条件可得直线的方程为 所以,即由点在椭圆上可得，，又代入得，整理得： 解得法二：焦半径坐标形式,a+ex 0=2,a -e =2，a-2a＝2，222201323,a a a b --=⇒=+⇒=法三：焦半径角参形式3233343FA FO OFAB //AB OF AB OF =AB y ⊥A B ，y 2AB OF c ===()11,A x y 11x =-AF ()32y x =+13y =()1,3A -22221x y a b+=22131a b +=22224a b c b =+=+()()2222344b b b b ++=+412b =223b =()1,3A -2222,1cos b a b a c e θ=⇒=-- 2222242201323,c a b a a a b =⇒-=⇒--=⇒=+⇒=（2）已知椭圆C ：x 22+y 2=1的右焦点为F ，直线l ：x =2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C于点B ，若FA ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝3FB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，则|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ |＝( ) A ．2 B ．2 C ．3 D ．3【答案】A 法一：坐标法根据题意作图：设点()2,A n ，()00,B x y ．由椭圆C ：2212x y += ，知22a =，21b =，21c =，即1c =，所以右焦点F (1,0)．由3FA FB =，得()()001,31,n x y =-．所以()0131x =-，且03n y =.所以043x =，013y n =. 将x 0，y 0代入2212x y +=，得221411233n ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解得21n =， 所以()2212112AF n =-+=+=.法二：焦半径角参形式11112||,3cos ||21cos cos 21cos 2FA FA θθθθ==⋅⇒=⇒=+法三：焦半径坐标形式 A (2,n ),B (x 0,y 0)，F (1,0), FA ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝3FB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，(1,n)=3(x 0-1,y 0)，1=3x 0,n=3y 0, |FA ⃑⃑⃑⃑⃑ | ＝3|FB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |，√(3y0)2+1=3(√2−1√2x0)，9y02+1=9(2−2x0+12x02)9(1−12x02)+1=9(2−2x0+12x02)9x 02-18x 0+8=0 (3x 0-4)(3x 0-2)=0 x 0=43或23(舍去)|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ | ＝3|FB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=3(√2−1√2x0)=3(√2−1√2·43)=√2.（3）如图，椭圆x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ，点P 在y 轴上，线段FP 交椭圆于点Q ．若OQ ⊥FP ，|FP |=3|FQ |，则椭圆的离心率是（ ）A ．13B ．12 C ．22D ．32【答案】D 法一：坐标法由题意得(,0)F c -，设00(,)Q x y ，因为3FP FQ =，所以023x OF=，得023x c =-， 因为OQ FP ⊥，所以()22000222339y x OF x c c c c ⎛⎫=⋅-=-= ⎪⎝⎭，所以023y c =，因为00(,)Q x y 在椭圆上，所以222242199c ca b+=，化简得，222222429b c a c a b +=，因为222b a c =-，所以222222224()29()c a c a c a a c -+=-，422491540a a c a -+=，得2222(34)(3)0a c a c --=，解得32c a =或3c a =（舍去） 法二：焦半径坐标形式 Q (x 0,y 0)，F (c ,0),|FQ |＝m ,由等面积法知c√(3m )2−c2=3m √c2−m2，m =1√3c ，a+ex 0=1√3c,a+e(-23c )=1√3c,1-23e 2=1√3e,2e 2+√3e −3=0, (2e −√3)(e +√3)=0, e =√32法三：焦半径角参形式设FQ ＝x ，则213,cos .33x cc x x c c cθ=⇒=== ()()22222333332032302313b ca b ac c a ac c a ca c e e =⇒=-⇒--=⇒-+=⇒=-（4）不经过椭圆E ：x 24+y 23=1的焦点的直线l:y=kx+m (km <0)与以坐标原点为圆心､√3为半径的圆相切，且与椭圆E 交于M,N 两点，试判断△MFN 的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.法一：用弦长公式求弦长由题意，r =l=()2231m k ∴=+，设()()1122,,,M x y N x y ，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222438430k x kmx m +++-=，由Δ0>，得()2121222438,4343m km x x x x k k -+=-=++，则12MN x =-=2443km k =-+又2122112,222MF x NF x =-=-()221221444243kmMF NF x x k +=-+=++ 2MNF 周长224MN MF NF =++=，2MNF ∴周长为定值4.法二：用圆的切线求弦长()()112212,,,,0,0,P x y Q x y x x >>12112,222PF x QF x =-=-设直线l 与圆的切点为M，1211,22,PM x QM x ====121,122PQ x x += 4Q PF F P Q ++=2MNF ∴周长为定值4.（5）（2018全国Ⅲ20） 已知斜率为k 的直线l 与椭圆C:x 24+y 23=1交于A,B 两点，线段AB的中点为M (1,m )(m >0)． （Ⅲ）证明：k <-12；（Ⅲ）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP ⃑⃑⃑⃑⃑ ＋FA ⃑⃑⃑⃑⃑ ＋FB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝0⃑ ．证明：|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ |,|FP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |,|FB|⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 成等差数列，并求该数列的公差．（Ⅲ）法一：设点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，直线AB 的方程为y=kx+t.由{y =kx +t 3x2+4y2=12，得(3+4k2)x 2+8ktx +4t2−12=0， △＝64k2t2−4 (3+4k2)(4t2−12)=−48(t2−3−4k2)>0，（Ⅲ） x 1+x 2=−8tk 3+4k2，x 1x 2=4t2−123+4k2，−4tk3+4k2=1，得-t =34k +k , 代入（Ⅲ）得(34k+k )2-3-4k2<0,即316k2−12-k2<0, 即16k 4+8k 2-3>0, 即(4k 2-1)(4k 2+3)>0, 即4k 2-1>0,k<-12或k >12. 又M (1,m )(m >0)在直线AB ：y=kx+t 上，所以m =t+k >0. 而-t =34k +k ，所以k <0.所以k <-12. 法二：设，则.两式相减，并由得.由题设知，于是.①由题设得，故.（Ⅲ）设点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，P (x 0,y 0).且x 1+x 2=2.由FP ⃑⃑⃑⃑⃑ ＋FA ⃑⃑⃑⃑⃑ ＋FB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝0⃑ ，得 x 1+x 2+x0=3,x0=1,P (1,± 32) 又y 1+y 2+y 0=0，y 1+y 2=2m ，所以m =-y02>0,P (1,- 32)|AF |=√(x 1−1)2+y 12=√(x 1−1)2+3(1−x 24)=√x 24−2x 1+4=|2- x12|= 2- x12, 同理|BF |=2-x22，|PF |= 2- x02＝ 32. 所以|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ |+|FB|⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =4- x1+x22=3， 2|PF |=3.所以|FA⃑⃑⃑⃑⃑ |,|FP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |,|FB|⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 成等差数列. 设该数列的公差为d ，则.②将代入①得.所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.故，代入②解得.所以该数列的公差为或。
高考高频考点(圆锥曲线)9、两套抛物线的焦半径与焦点弦公式
第9讲 两套抛物线的焦半径与焦点弦公式知识与方法1.设点()00,P x y 在抛物线上，()11,A x y 、()22,B x y ，AB 是抛物线的焦点弦，则抛物线p pp p2．如图，设抛物线22y px =()0p >的焦点为F ，AB 为抛物线的一条焦点弦，AFO α∠=．则抛物线的“角版”焦半径、焦点弦、面积公式如下： ①1cos pAF α=+；②22sin p AB α=；③22sin AOBp S α=.典型例题【例1】抛物线22y px =()0p >的焦点为F ，点()1,P m 在抛物线上，且3PF =，则p =______. 【解析】由焦半径公式，1342pPF p =+=⇒= 【答案】4变式1 抛物线24x y =−的焦点为F ，点A 在抛物线上，且4AF =，则点A 的坐标为______.【解析】设()00,A x y ，则()20000143123AF y y x x P =−=⇒=−⇒=⇒=±±−.【答案】()3±−变式2 抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过F 且倾斜角为60°的直线l 被抛物线C 截得的弦长为______.【解析】解法1：由题意，1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设1:2l y x ⎫=−⎪⎭，代入22y x =整理得：233504x x −+=， 设两根为1x 和2x ，则1253x x +=，故直线l 被抛物线C 截得的弦长12813L x x =++=.解法2：直线l 被抛物线C 截得的弦长22228sin sin 603p L α===︒.【答案】83变式3 抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为2的直线被抛物线C 截得的弦长为______.【解析】设直线的倾斜角为α，tan 2sin αα=⇒=⇒弦长22225sin 2p L α===⎝⎭. 【答案】52【例2】过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若3AF =，则BF =_____.【解析】设AFO α∠=，则231cos AF α==+，所以1cos 3α=−，故()231cos 2BF πα==+−.【答案】32变式1 过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若8AB =，且AF BF >，则AF BF=______.【解析】不妨设直线l 的倾斜角为锐角，如图，设AFO α∠=，则22418sin sin sin 2AB ααα==⇒=⇒=， 所以135α=︒，45BFO ∠=︒，从而)211cos135AF ==++︒，)211cos 45BF ==+︒故3AF BF=+【答案】3+变式2 过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若2AF BF =，则AB =______.【解析】不妨设直线l 为如图所示的情形，设AFO α∠=，则21cos AF α=+，()221cos 1cos BF παα==+−−，2222144922cos 1cos 1cos 3sin 1cos 2AF BF AB ααααα=⇒=⋅⇒=−⇒===+−−.【答案】92变式3 已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，准线为l ，过点F 作倾斜角为120°的直线与准线l 相交于点A ，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，且43AB =，则抛物线C 的方程为______.【解析】如图，作BD l ⊥于D ，直线AF 的倾斜角为120°2601cos603p pBFO BF ⇒∠=︒⇒==+︒，由抛物线定义，BD BF =，所以23p BD =， 易得60ABD ∠=︒，所以213cos 423p BD ABD AB ∠===，解得：1p =，故抛物线C 的方程为22y x =.【答案】22y x =变式4 设F 为抛物线2:2C y px =()0p >的焦点，经过点F 且倾斜角为02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，O 为原点且OAB 的面积为32sin α，若线段AB 的中垂线与x 轴相交于点M ，则FM =______.【解析】解法1：如图，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线():02p l x my m =+>，()11,A x y ，()22,B x y ，其中cos sin m αα=，联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去x 整理得：2220y pmy p −−=，故122y y pm +=，()212122x x m y y p pm p +=++=+，所以AB 中点为2,2p G pm pm ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，AB 中垂线的方程为22p y pm m x pm ⎛⎫−=−−− ⎪⎝⎭，令0y =得：232x p pm =+，所以23,02M p pm ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故22322p FM p pm p pm =+−=+，又21222AB x x p pm p =++=+，原点O 到直线l的距离d =所以()21122222OABp SAB d pm p =⋅=⋅+=由题意，32sin OABSα=，32sin α=，将cos sin m αα=代入整理得：22sin p α=，所以()22222cos 112sin sin pFM p pm p m p ααα⎛⎫=+=+=+== ⎪⎝⎭. 解法2：如图，22sin pAB α=，则22sin AOBp Sα=， 23322sin 2sin 2sin 2sin OAB p S p αααα=⇒=⇒=①，设AB 中点为G ，则()22112cos 21cos 2sin sin p p p FG AF AG AF AB απααα=−=−=−⋅=+−， 所以2cos sin FG pFM αα==，由①知22sin p α=，故2FM =.【答案】2变式5 过抛物线2:4C y x =焦点F 作两条互相垂直的直线分别与抛物线C 交于A 、B 和D 、E 四点，则四边形ADBE 面积的最小值为______.【解析】解法1：由题意，()1,0F ，设直线AB 的方程为1x my =+()0m ≠，()11,A x y ，()22,B x y ， 联立214x my y x =+⎧⎨=⎩消去x整理得：2440y my −−=，所以124y y m +=，()21212242x x m y y m +=++=+，故212244AB x x m =++=+，用1m−替换m 可得：244DE m =+，从而四边形ADBE 的面积()2222114144482823222S AB DE m m m m ⎛⎛⎫⎛⎫=⋅=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当1m =±时等号成立，即四边形ADBE 面积的最小值为32.解法2：不妨设直线AB 为02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则直线DE 的倾斜角为2πα+，由焦点弦公式，24sin AB α=，2244cos sin 2DE παα==⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 四边形ADBE 的面积2222211448323222sin cos sin cos sin 2S AB CD ααααα=⋅=⋅⋅==≥， 当且仅当4πα=时取等号，所以四边形ADBE 面积的最小值为32.【答案】32强化训练1.（★★）抛物线22y px =()0p >的焦点为F ，点()2,P m 在抛物线上，且4PF =，则p =______.【解析】由焦半径公式，2442pPF p =+=⇒=. 【答案】42.（★★）抛物线22x y =的焦点为F ，点A 在抛物线上，且3AF =，则点A 的坐标为______. 【解析】设()00,A x y ，则200000155325222AF y y x y x A ⎛⎫=+=⇒=⇒==⇒=⇒ ⎪⎝⎭.【答案】52⎛⎫ ⎪⎝⎭3.（★★）抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 斜率为3的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，则AB =______.【解析】设直线l 的倾斜角为α，2440tan 3sin sin 9AB ααα=⇒=⇒==. 【答案】4094.（★★★）抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若4AB =，则AOB 的面积为______. 【解析】设AOF α∠=，则224sin AB α==，所以sin 2α=，故12sin 2AOBS α==.5.（★★★）过抛物线2:2C y x =焦点F 的直线l 与C 交于A 、B 两点，若4AF =，则BF =______.【解析】如图，设AFO α∠=，则()131144cos 1cos 41cos 1cos 7AF BF ααπαα==⇒=−⇒===++−−.【答案】476.（★★★）过抛物线2:2C y x =的焦点F 的直线1与C 交于A 、B 两点，若8AB =，则AF BF ⋅=______【解析】设直线l 的倾斜角为α， 则222211118sin 4sin 41cos 1cos sin AB AF BF ααααα==⇒=⇒⋅=⋅==−+. 【答案】47.（★★★）过抛物线2:3C y x =的焦点F 的直线与C 交于A 、B 两点，若2AF BF =，则AB =______.【解析】设AFO α∠=，则1cos p AF α=+，()1cos 1cos p pBF παα==+−−，22212232722cos 1cos 1cos 3sin 1cos 8113p p p pAF BF AB ααααα=⇒=⋅⇒=−⇒====+−−⎛⎫−− ⎪⎝⎭【答案】2788.（2012·重庆·★★★）过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，若2512AB =，AF BF <，则AF =______.【解析】不妨设直线AB 的倾斜角为锐角，如图，设BFO α∠=， 则2225sin 12AB α==，所以sin α=，从而1cos 5α=−，故()1151cos 1cos 6AF παα===+−−.【答案】569.（★★★）如下图所示，经过抛物线2:2C y px =()0p >的焦点F 的直线l 与抛物线C 及其准线相交于A 、B 、C 三点，若4BC BF =，且4AF =，则p =______.【解析】设AFO α∠=，则BFO πα∠=−， 过B 作BD ⊥准线于D ，则BD BF =，144cos 4BD BC BF BC BD CBD BC=⇒=⇒∠==()11cos cos cos cos 44BFO πααα⇒∠=−=−=⇒=−， 所以4431cos 3p AF p p α===⇒=+.【答案】310.（★★★★）过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线l 交抛物线C 于P 、Q 两点，交圆()2211x y −+=于M 、N 两点，其中P 、M 位于第一象限，则11PM QN+的最小值为______. 【解析】如图，设()0PFO ααπ∠=<<，由题意，1FM FN ==， 21cos 111cos 1cos PM PF FM PF ααα−=−=−=−=++，()21cos 111cos 1cos QN QF FN QF απαα+=−=−=−=+−−， 所以()()()()()222221cos 1cos 1cos 111cos 1cos 1cos 1cos 1cos 1cos sin PM QN αααααααααα+++−+−+=+==−++− ()222222sin 2cos 2cos 212sin sin ααααα+⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当2πα=时取等号，故11PM QN+的最小值为2.【答案】211.（★★★）已知F 为抛物线()220y px p =>的焦点，经过F 且倾斜角为45°的直线与抛物线交于A 、B 两点，线段AB 的中垂线与x 轴相交于点M ，则4pFM=______. 【解析】解法1：由题意，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AB 的方程为2p x y =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立222p x y y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去x 整理得：2220y py p −−=，所以122y y p +=，12123x x y y p p +=++=， 从而AB 中点G 为3,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，故AB 中垂线的方程为32y p x p ⎛⎫−=−−⎪⎝⎭令0y =得：52x p =，所以5,02p M ⎛⎫⎪⎝⎭，故5222p FM p p =−=，所以42p FM =.解法2：如图，G 为AB 中点，由题意，MFG 是等腰直角三角形，12FG AF AG AF AB =−=−2121cos1352sin 45p p =−⋅=+︒︒，所以422pFM p FM=⇒=.【答案】212.（★★★★）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，若位于x 轴上方的动点A 在准线l 上，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，且1AF AF BF−=，则抛物线C 的方程为______.【解析】解法1（特值法）：取,2p A p ⎛⎫− ⎪⎝⎭，则1AF k =−，直线AF 的方程为2p x y =−+，由222p x y y px ⎧=−+⎪⎨⎪=⎩得：2220y py p +−=，解得：()1y p =−， 显然点B 在x轴上方，所以)1B y p =，故(2322B B p y x p −==， 从而点B的坐标为()3,12pp ⎛⎫−⎪− ⎪⎝⎭因为1AF AF BF−=，而AF =，((3222p p BF p −=+=，1−=，解得：1p =，故抛物线C 的方程为22y x =. 解法2（特值法）：取直线AB 的倾斜角为120°， 如图，则60AFK ABD ∠=∠=︒，此时22AF FK p ==，而11213AF AB BF AB AB BFBFBFBD+==+=+=+=，所以233AF pBF==，将2AF p =、23p BF =代入1AF AF BF−=可得1p =， 故抛物线C 的方程为22y x =.解法3（极限位置分析法）：让点A 无限接近点,02p ⎛⎫− ⎪⎝⎭，则点B 无限接近原点， 此时1AFAF BF −=即为21p −=，解得：1p =，所以抛物线C 的方程为22y x =解法4：设()00,B x y ，则02p BF x =+，由~FBT FAK 可得AF KF BF TF =，即02AF p p BF x =− 所以0022p p AF x p x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭−，代入1AF AF BF −=知0001222p p p x p p x x ⎛⎫−+⋅= ⎪⎝⎭−−，解得1p =， 故抛物线C 的方程为22y x =.解法5：过B 作BD l ⊥于D ，因为1AFAF BF −=，所以AF AF BF BF −⋅=， 故AF BF AF BF −=⋅，由图可知AF BF AB −=，所以AB AF BF =⋅，又BF BD =，所以AB AF BD =⋅，故1BDAB AF =，从图上来看，cos BD ABD AB=∠，而ABD AFK ∠=∠，所以1cos KFAFK AF AF∠==，故1KF =，即1p =，所以抛物线C 的方程为22y x =. 解法6（用焦半径公式）：设BFO α∠=，则1cos p BF α=+，cos cos p AF KF p AF αα==⇒=，代入1AF AF BF−=得：cos 1cos 1cos p p p ααα−=+， 解得：1p =，所以抛物线C 的方程为22y x =【答案】y 2=2x。
双曲线 焦半径 焦点弦
双曲线、焦半径和焦点弦1. 双曲线的定义和性质双曲线是解析几何中的一种重要曲线，它是由平面上满足特定数学关系的点集所组成。
双曲线的定义如下：在平面上取定两个不重合的点F1和F2，并给定一个常数a，称为焦距。
点P到F1和F2的距离之差的绝对值等于常数a，即|PF1 - PF2| = a，那么P的轨迹就是一条双曲线。
双曲线的形状和性质与焦距a的大小有关。
当a的值增大时，双曲线的形状变得更加扁平，离焦点越远。
当a的值减小时，双曲线的形状变得更加尖锐，离焦点越近。
在双曲线上，有两个特殊的点，称为焦点F1和F2，它们是双曲线的两个极点。
2. 焦半径的定义和计算方法焦半径是指从焦点到双曲线上任意一点的线段的长度。
我们可以通过以下步骤来计算焦半径：步骤1：给定双曲线的焦点F1和F2的坐标，以及焦距a的值。
步骤2：选择双曲线上的任意一点P，求出点P到焦点F1和F2的距离PF1和PF2。
步骤3：计算焦半径r，即焦点到点P的距离的一半，即r = (PF1 + PF2) / 2。
焦半径的计算方法可以用于确定双曲线上任意一点的位置和性质。
3. 焦点弦的定义和性质焦点弦是指双曲线上通过焦点的直线。
具体来说，给定双曲线的焦点F1和F2，以及焦距a的值，我们可以通过以下步骤来确定焦点弦的性质：步骤1：选择双曲线上的两个点A和B，分别与焦点F1和F2相连，得到直线AB。
步骤2：求出直线AB与双曲线的交点C和D。
步骤3：根据焦点弦的定义，焦点F1和F2分别位于焦点弦CD的两个焦点。
焦点弦具有以下性质：•焦点弦的中点是双曲线的中心点，也是双曲线的对称中心。
•焦点弦的长度等于双曲线的焦距。
4. 双曲线、焦半径和焦点弦的应用双曲线、焦半径和焦点弦在数学和物理学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：4.1. 光学在光学中，双曲线被用于描述抛物面镜和双曲面镜的形状。
焦半径可以用于计算镜面的曲率半径，从而确定光线的聚焦和散焦效果。
焦点弦可以用于确定光线的传播路径和聚焦点的位置。
椭圆双曲线焦点弦问题新解
椭圆双曲线焦点弦问题新解罗荣建【摘要】椭圆双曲线焦点弦问题是高考经常考查的内容,用常规方法解答此类问题,计算量大,多数考生费时费力最终不能圆满计算出结果,文章给出解答此类问题的一种新方法.【期刊名称】《文山学院学报》【年(卷),期】2013(026)003【总页数】5页(P37-41)【关键词】高考真题;椭圆双曲线;焦点弦【作者】罗荣建【作者单位】马关县第一中学,云南马关663700【正文语种】中文【中图分类】O122查阅近6年的高考真题，椭圆双曲线焦点弦问题在高考中最常见，在全国及各省市的高考题中。
焦点弦问题较多。
解答此类题的方法最常见的有两种，一是用弦长公式求解。
二是用圆锥曲线的定义，即圆锥曲线上的点到焦点的距离与它到对应准线的距离之比等于常数来求解。
两种方法的优点是入手容易，缺点是化简计算太复杂，特别是碰上含有两个参数以上的参数方程的化简更是难上加难。
为解决椭圆双曲线焦点弦计算难的问题，笔者在多年高三教学实践中，发现了解答椭圆双曲线焦点弦问题的一组结论，用它来解决椭圆双曲线焦点弦问题显得简易快捷。
笔者先给出三个定理及其推论的证明。
定理1 若椭圆的左右焦点是F1，F2。
过焦点F2且倾斜角为θ的直线L与 C相交于A，B两点，则焦点弦。
证明：如图1，设（c为半焦距）根据椭圆的定义，。
［1-2］于是，在中，由余弦定理得：化简后得同理，在中，由余弦定理得：化简后得：所以，。
推论：若r1，r2是椭圆同焦点弦的两个焦半径，则。
定理2 若双曲线的左右焦点分别是F1，F2，过焦点F2且倾斜角为θ的直线L与C相交于一支上的A，B两点，则焦点弦。
证明：如图2，设。
根据双曲线的定义［1-2］。
于是在BF2F1中，（2a+r1）2=4c2+r12-2×2c×r1cos（π-θ）。
化简后得：。
同理，在AF2F1中，（2a+r2）2=4c2+r22-2×2c×r2cos θ化简后得：，所以，。
解析几何专题二(焦点弦及焦点三角形)
专题二:圆锥曲线焦点弦、焦点△知识专题【焦半径——椭圆】θ取弦与焦点轴的锐角为121212::=2:=2a ex;a ex;|AB |a e(x x );|AB |a e(x x )ρρ=+=-++-+左焦半径右焦半径左焦弦右焦弦【焦半径——双曲线】θ取弦与焦点轴的锐角为 (1) 单支焦点半径112::=-2(a ex );|AB |a e(x x );ρ=-+-+左焦半径左焦弦 1122::=ex a;|AB |e(x x )a;ρ=-+-右焦半径右焦弦(2) 双支焦点半径1122::=a ex;|AB |a e(x x );ρ=+++异支左焦半径异支左焦弦 1122::=a ex;|AB |a e(x x );ρ=--+异支右焦半径异支右焦弦【焦半径——抛物线】θ取弦与焦点轴的锐角为1212==y x |AB |x x p;y |AB |y p ++++焦点在轴上焦点在轴上::【焦点弦有关推论——椭圆】θ取弦与焦点轴的锐角为1.过椭圆、双曲线的一焦点F 交椭圆或双曲线(单支)于A,B 两点, 则2.过双曲线的焦点F 的直线分别与两支交于A,B, 与焦点轴夹角为3.过抛物线的焦点F直线交抛物线于A,B两点, 与焦点轴夹角为（1）4.已知点是离心率为的椭圆或双曲线的焦点, 过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为, 且。
（2）当焦点内分弦时, 有当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）, 有【椭圆焦三角形面积】q为动点到原点的距离,,m,n为弦长,α为弦夹角【椭圆【双曲线焦△面积】q为动点到原点的距离,,m,n为弦长,α为弦夹角【抛物线焦点弦与原点△面积】θ取弦与焦点轴的锐角为【焦点△顶角】椭圆:双曲线一、焦半径与焦点弦 2πθ取弦与焦点轴小于的夹角22221x y a b+=焦点弦,准线图【焦半径——椭圆】 分析: 如上左图,11111|F A |epx e |F A |e |AM |e(p |F A |cos )|F A ||AM |e cos θθθ=⇒==+⇒=-设焦点弦与轴成角;11111|F B |epe |F B |e |BN |e(p |F B |cos )|F B ||BN |e cos θθ=⇒==-⇒=+12222111::=ep ep ep;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ==-+-小结:长半焦短半焦焦点弦分析: 如上右图,11111|F A |epx e |F A |e |AM |e(p |F A |cos )|F A ||AM |e cos θθθ=⇒==-⇒=+设焦点弦与轴成角;11111|F B |epe |F B |e |BN |e(p |F B |cos )|F B ||BN |e cos θθ=⇒==+⇒=-12222111::=ep ep epx ;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ==-+-焦点在轴上结论:长半焦短半焦焦点弦22221y x a b += 22221y x a b+=分析: 如上左图,11111|F A |epx e |F A |e |AM |e(p |F A |cos )|F A ||AM |e cos θθθ=⇒==-⇒=+设焦点弦与轴成角;11111|F B |epe |F B |e |BN |e(p |F B |cos )|F B ||BN |e cos θθ=⇒==+⇒=-分析: 如上右图,11111|F A |epe |F A |e |AM |e(p |F A |cos )|F A ||AM |e cos θθ=⇒==+⇒=-11111|F B |epe |F B |e |BN |e(p |F B |sin )|F B ||BN |e sin θθ=⇒==-⇒=+121212::=2:=2a ex;a ex;|AB |a e(x x );|AB |a e(x x )ρρ=+=-++-+左焦半径右焦半径左焦弦右焦弦21a a a |F A |e |AM |e(x )a ex c ==+=+21b ba |F B |e |BN |e(x )a ex c ==+=+22a aa |F A |e |AM |e(x )a ex c==-=-22b ba |F B |e |BN |e(x )a ex c==-=-AB MN2b p c=2a x c=θ【焦半径——双曲线】内部焦点半径 2）x(y πθ取弦与或轴小于的夹角22221y x a b -=12222:=111ep ep ep;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ==-+-:短结论:长半焦半焦焦点弦外部焦点半径 2πθ取弦与焦点轴小于的夹角分析: 如上左图,11111|F A |x e |F A |e |AM |e(|AM'|p )|AM |epe(|F A |cos p )|F A |e cos θθθ=⇒==-=-⇒=-设焦点弦与轴成角;11111|F B |epe |F B |e |BN |e(p |F B |cos )|F B ||BN |e cos θθ=⇒==-⇒=+ 11222111ep ep ep|AB ||AF ||BF |e cos e cos e cos θθθ⇒=-=-=-+- 分析: 如上右图,ABM N2b p c=2a x c=θθM‘MN’NBAABθN‘M’ N M22221|F A |epe |F A |e |AM |e(|AM'|p )e(|F A |cos p )|F A ||AM |e cos θθ=⇒==-=-⇒=-22221|F B |epe |F B |e |BN |e(p |F B |cos )|F B ||BN |e cos θθ=⇒==-⇒=+11222111ep ep ep|AB ||AF ||BF |e cos e cos e cos θθθ⇒=-=-=-+- 12222111焦点在轴上结论:=ep ep epx ;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ==-+-:长半焦半焦焦点弦:短同理可以推出:(也可从旋转的角度得出以下结论)12222111:短ep ep epy ;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ==-+-:=焦点在轴上结论:长半焦半焦焦点弦【焦半径——抛物线】2）x(y πθ取弦与或轴小于的夹角从上图容易得出以下结论θM‘MN’NBA21a aa |F A |e |AM |e(x )a ex c==+=+22a aa |F A |e |AM |e(x )a ex c ==-+=-122:==ab a b a b a b a ex;a ex|AB |a ex a ex e(x x )|AB |a ex a ex a e(x x )ρρ=+=-+--=--+-=-+异左焦半径异右焦半径异左异右122211p p p;;|AB |cos cos sin ρρθθθ==-+:=:短结论:长半焦半焦焦点弦从上图分析12在轴上=x |AB ||AM ||B N |(|AM'||M'M |)(|BN'||N'N |)|AB |x x p −−−→=+=+++⇒++焦点定义:12在轴上=y |AB ||AM ||B N |(|AM'||M'M |)(|BN'||N'N |)|AB |y y p−−−→=+=+++⇒++焦点定义:【焦半径与焦点弦有关推论】 【推论1】——常用来求定值过椭圆、双曲线的一焦点F 交椭圆或双曲线(单支)于A,B 两点, 则21122a |AF ||BF |b ep+== 过双曲线的一焦点F 的直线分别与两支交于A,B, 与焦点轴夹角为21122cos a cos |AF ||BF |p b θθ•+==过抛物线的一焦点F 直线交抛物线于A,B 两点, 与焦点轴夹角为112|AF ||BF |p+= 【推论2】2πθ取弦与焦点轴小于的夹角————常用来求定角或斜率（3） 已知点 是离心率为 的椭圆或双曲线 的焦点, 过点 的弦与 的焦点所在的轴的夹角为 , 且 。
高考高频考点(圆锥曲线)8、椭圆、双曲线的角版焦半径、焦点弦公式
第8讲 椭圆、双曲线的角版焦半径、焦点弦公式知识与方法1．椭圆()222210x y a b a b +=>>的一个焦点为F ，P 为椭圆上任意一点，设PFO α∠=，则椭圆的焦半径2cos b PF a c α=−，若延长PF 交椭圆于另一点Q ，则椭圆的焦点弦22222cos ab PQ a c α=−. 2．双曲线()222210,0x y a b a b −=>>的一个焦点为F ，P 为双曲线上任意一点，设PFO α∠=，则双曲线的焦半径2cos b PF c aα=±，若直线PF 交双曲线于另一点Q ，则双曲线的焦点弦22222cos ab PQ a c α=−.（焦半径公式中取“+”还是取“－”由P 和F 是否位于y 轴同侧决定，同正异负）典型例题【例1】已知椭圆22:142x y C +=的左焦点为F ，过F 且倾斜角为45°的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则AB =______；若AF BF >，则:AF BF =______. 【解析】如图，设AFO α∠=，则45α=︒由焦点弦公式，2222222228cos 42cos 453ab AB a c α︒⨯⨯===−−⨯，由焦半径公式，22cos b AF a c α===−，23BF ==，所以:3:1AF BF =.【答案】83，3:1变式1 已知椭圆22:142x y C +=的左焦点为F ，过F 且斜率为2的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则AB =______【解析】设直线l 的倾斜角为α，则tan 2α=，所以cos α=，由焦点弦公式，22222222220cos 942ab AB a c α⨯⨯===−−⨯⎝⎭. 【答案】209变式2 已知椭圆22:142x y C +=的左焦点为F ，过F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若3AF =，则AB =______.【解析】设AFO α∠=，则由焦半径公式，23cos b AF a c α===−，解得：cos 3α=，由焦点弦公式，2222218cos 5ab AB a c α==−. 【答案】185变式3 已知椭圆22:142x y C +=的左焦点为F ，过F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若AF BF AF BF λ+=⋅，则λ=________.【解析】设AFO α∠=，则BFO πα∠=−，由焦半径公式，2cos b AF a c α==−，()2cos b BF a c πα==−−，所以112AF BF +==，从而2AF BF AF BF +=⋅，即2λ=.【反思】一般地，设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为F ，过F 的直线l 交椭圆C于A 、B 两点，则2112aAF BF b +=.变式4 已知椭圆222:14x y C b+=()02b <<的右焦点为F ，过F 且倾斜角为60°的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若167AB =，则椭圆C 的离心率为________. 【解析】由焦点弦公式，()222222222216cos 744cos 60ab b AB a c b α⨯⨯===−−−⨯︒，解得：22b =，所以e =.变式5 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且斜率为1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若2AF 、AB 、2BF 成等差数列，则椭圆C 的离心率为______. 【解析】直线l 的斜率为1l ⇒的倾斜角45α=︒，由焦点弦公式，22222cos 45ab AB a c =−︒，2AF 、AB 、2BF 成等差数列222223AB AF BF AB AF BF AB ⇒=+⇒=++， 如图，由椭圆定义可得224AF BF AB a ++=， 所以34AB a =，故222264cos 45ab a a c =−︒， 化简得：22232b a c =−，所以2222332a c a c −=−，从而224a c =，故椭圆C 的离心率12c e a ==.【答案】12【例2】过双曲线22:142x y C −=的右焦点且斜率为的直线截该双曲线所得的弦长为【解析】k =⇒直线的倾斜角60α=︒，由焦点弦公式，222222222165cos 46cos 60ab AB a c α⨯⨯===−−︒. 【答案】165变式1 过双曲线22:142x y C −=的右焦点F 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若8AB =，则直线l 的方程为_______.【解析】由题意，2a =，b =，c =)F，设直线AFO α∠=，则由焦点弦公式，22222248cos 23cos ab AB a c αα===−−，解得：25cos 6α=或12，若25cos 6α=，则21sin 6α=，所以21tan 5α=，从而直线l 的斜率tan 5k α==，故直线l 的方程为y x =−； 若21cos 2α=，则21sin 2α=，所以2tan 1α=，从而直线l 的斜率tan 1k α==±，故直线l 的方程为(y x =±；综上所述，直线l 的方程为5y x =或(y x =±【答案】5y x =±−或(y x =± 变式2 过双曲线22:142x y C −=的右焦点F 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若23AF =，则BF =______.【解析】设AFO α∠=，因为23AF =，所以点A 必在双曲线右支上，由焦半径公式，22cos 3b AF c a α===+，解得：cos α=，所以sin α=，从而tan αC 的渐近线的斜率为2±，2>，所以点B 也在双曲线的右支上，如图， 由图可知，BFO AFO ππα∠=−∠=− 所以()22cos b BF c a πα==−+.【答案】2强化训练1.（★★）已知椭圆22:143x y C +=的左焦点为F ，过F 且倾斜角为60°的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则AB =_______.【解析】由焦点弦公式，22222222316cos 51412ab AB a c α⨯⨯===−⎛⎫−⨯ ⎪⎝⎭. 【答案】1652.（★★）已知椭圆22:193x y C +=的左焦点为F ，过F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若3AB =，则直线l 的方程为________.【解析】设直线l 的倾斜角为α，由焦点弦公式，2222222333cos 96cos ab AB a c αα⨯⨯===−−⨯，从而cos 2α=，所以45α=︒或135°，从而直线l 的斜率为1±，显然()F ，故直线l的方程为y x =+或y x =−.【答案】y x =+或y x =−−3.（★★★）已知椭圆22:142x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且倾斜角为45°的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则2ABF 的面积为________. 【解析】如图，由焦点弦公式，222228cos 3ab AB a c α==−， 所以21218sin 4523ABF SF F AB =⋅⋅︒=.【答案】834.（★★★）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>一个焦点为F ，过F 且斜率为1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若34AB a =，则椭圆C 的离心率为________.【解析】由题意，直线l 的倾斜角为45°，由焦点弦公式，22222cos 45ab AB a c =−︒，因为34AB a =，所以222264cos 45ab a a c =−︒，结合222b a c =−化简得：222a c =，故离心率2c e a ==.【答案】25.（★★★）已知F 是椭圆22:142x y C +=的左焦点，过F 且不与x 轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，弦AB 的中垂线交x 轴于点M ，则AB FM=________.【解析】解法1：如图，由对称性，不妨设直线的倾斜角为锐角，A 在x 轴下方， 则22222442cos 2cos AB αα⨯⨯==−−，AF ==，所以21222cos FN AN AF AB AF α=−=−==−，从而cos FN FM α==AB FM=解法2（特值法）：考虑AB y ⊥的情形，此时4AB =，M与原点重合，所以FM =AB FM=【答案】6.（★★★）如图，椭圆22:12x C y +=的左焦点为F ，过F 作两条互相垂直的直线分别与椭圆交于A 、B 和D 、E 四点，则四边形ADBE 的面积的取值范围是________.【解析】设AFO α=，不妨假设02πα≤≤，则2EFO πα∠=+，由焦点弦公式，AB =22cos 2DE α=−+ ⎪⎝⎭， 所以四边形ADBE 的面积()()2222114222cos 2sin 2cos 2sin S AB DE αααα=⋅=⨯⨯=−−−− 2222241642sin 2cos sin cos 8sin 2ααααα==−−++，显然20sin 21α≤≤，所以1629S ≤≤，即四边形ADBE 的面积的取值范围是16,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【答案】16,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦7.（★★★）双曲线22:1C x y −=的右焦点为F ，过F 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若4AB =，则直线l 的方程为________. 【解析】由题意，1a b ==，c =)F，设直线AFO α∠=，则由焦点弦公式，22222224cos 12cos ab AB a c αα===−−，解得：23cos 4α=或14， 若23cos 4α=，则21sin 4α=，所以21tan 3α=，从而直线l的斜率tan k α==， 故直线l的方程为y x =；若21cos 4α=，则23sin 4α=，所以2tan 3α=，从而直线l的斜率tan k α==故直线l的方程为y x =，综上所述，直线l的方程为y x =或3y x =±【答案】y x =−或3y x = 8.（★★★）双曲线22:163x y C −=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若213AF AF =，则2BF =________.【解析】由题意，21213AF AF AF AF ⎧=⎪⎨−=⎪⎩，所以1AF =1AFO α∠=，则21cos b AF c a α==+，所以=，解得：cos α=，从而sin α==sin tan cos ααα==C的渐近线斜率为，因为<，所以点B 也在左支上，且1BFO πα∠=−， 故()22cos b BF c aπα===−+【答案】39.（★★★）双曲线22:13y C x −=的左焦点为F ，点P 在双曲线C 的右支上，且5PF =，则PFO 的面积为________.【解析】解法1：由题意，1a =，b =2c =，设PFO α∠=，由焦半径公式，23cos 2cos 1b PFc a αα==−−，又5PF =，所以352cos 1α=−，解得：4cos 5α=，所以3sin 5α=，如图，显然113sin 523225PFOSPF OF α=⋅⋅=⨯⨯⨯=. 解法2：由题意，1a =，2c =，离心率2e =，设()00,P x y ，由焦半径公式，0125PF x =+=，又5PF =，所以0125x +=，解得：02x =或3−，因为P 在右支上，所以02x =， 代入双曲线方程可求得03y =±，所以01123322PFOSOF y =⋅=⨯⨯±=. 解法3：如图，设双曲线C 的右焦点为1F ，由双曲线定义，12PF PF −=，又5PF =，所以13PF =， 易求得14FF =，所以22211PF FF PF +=，故11PF FF ⊥， 所以1111143622PFF SFF PF =⋅=⨯⨯=， 显然O 是1FF 的中点，所以1132PFOPFF SS ==.【答案】3。
圆锥曲线二级结论(2)讲义-2022届山东省高考数学二轮复习
【知识讲解】1.1 椭圆焦半径公式（2）已知直线l 过左焦点1F 与椭圆交于B A ,两点，设α=∠21F AF ，则焦半径αcos ||2⋅-=c a b AF ，αcos ||2⋅+=c a b BF ，22||1||1ba BF AF =+ 1.2 椭圆焦点弦长公式：α2222cos 2||||||⋅-=+=c a ab BF AF AB ，最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径。
2.1 双曲线焦半径公式（2） 已知直线l 过左焦点1F 与双曲线交于B A ,两点，设α=∠21F AF ，则焦半径αcos ||2⋅-=c a b AF ，αcos ||2⋅+=c a b BF ，22||1||1ba BF AF =+ 2.2 双曲线焦点弦长公式：α2222cos 2||||||⋅-=+=c a ab BF AF AB 3 焦点弦定理已知焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，经过其焦点F 的直线交曲线于B A ,两点，直线AB 的倾斜角为θ，FB AF λ=，则曲线的离心率满足等式：|11||cos |+-=λλθe 【典型例题】 1. 已知椭圆13422=+y x ，直线01:1=-+y x l ，01:2=++y x l 与椭圆分别交于B A ,和D C ,，则||||CD AB +的值为（ ）。
2. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，过右焦点F 且斜率为k )0(>k 的直线与椭圆交于B A ,两点。
若FB AF 3=，则k 的值为（ ）。
1. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交双曲线于B A ,两点，若FB AF 4=，则双曲线的离心率为（ ）。
2. 设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆相交于B A ,两点，直线l 的倾斜角为︒60，FB AF 2=。
题型43 椭圆、双曲线的焦点弦被焦点分成定比
题型43 椭圆、双曲线的焦点弦被焦点分成定比【方法点拨】1. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆相交于A B 、两点，直线l 的倾斜角为θ，且=()AF FB λλ＞0，则e θλ、、间满足1cos 1e λθλ-=+. 2.长短弦公式:如下图,长弦=1cos ep AF e θ-,短弦=1cos epBF e θ+（其中p 是焦参数，即焦点到对应准线的距离，θ是直线l 与x 轴的夹角，而非倾斜角）. 说明：（1）公式1的推导使用椭圆的第二定义，不必记忆，要有“遇过将焦半径转化为到准线距离”的意识即可.（2）双曲线也有类似结论.【典型题示例】例1 已知椭圆方程为2214x y +=，AB 为椭圆过右焦点F 的弦，则的最小值为 ． 【答案】【解析】由，得，，则椭圆的离心率为，右准线方程为如图，过作于，则，① 设的倾斜角为，||2||AF FB ∴+3224+2214x y +=2a =3c =32e =43:.3l x =A AM l ⊥M ||3||2AF AM =AB θFxABO则，① 联立①①，可得，同理可得，． 令，，，．当且仅当时上式取等号．．．例 2（2021·江苏南京盐城二调·7）已知双曲线()2222100x y C a b a b-=>>：，的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作倾斜角为θ的直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，且cos θ＝14.若|AB |＝|AF 1|，则双曲线C 的离心率为A ．4B ．15C ．32 D ．2【答案】D||||||cos ||cos ||cos AM CF AF AF AF θθθ=-==||AF =||BF ||2||AF BF ∴++==cos t θ=[1t ∈-1]1||2||32(6)12AF FB ∴+==-+322(6)1263t-+++326363t =+t ||2||AF FB ∴+【解析】22cos b AF a c θ=-，22cos b BF a c θ=+，2222122122230124b AB AF BF AF a AF BF a a e e ac =+==+⇒=⇒=⇒--=⇒+2e =．例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，与过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线相交于A ，B两点．若AF →＝3FB →，则k ＝________.【答案】2【解析】如右图，设l 为椭圆的右准线，过A 、B分别向l 作垂线AA /、BB /，A /、B /分别是垂足，过B 作AA /垂线BD ，D 是垂足 设BF =t ，AF =3t则t BB e '=，3t AA e'= Rt ABD 中，2,4tAD AB t e==故11cos 23AD AB e θ=== 又k >0，所以tan 2k θ==.xDF BBAyOB/A /【巩固训练】1. 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2①x 轴，则椭圆E 的离心率为________．2.已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF ＝2FD ，则C 的离心率为________．3. 已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点．设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于 ．（公众号：钻研数学）4.已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右焦点，若E 上存在不同两点A ，B ，使得123F A F B =，则该椭圆的离心率的取值范围为( )A ．1，1)B ．1)C ．(21)D ．(0,2-【答案与提示】1.【解析】如右图，设直线AB 的倾斜角为θ则12Rt AF F ，21212,b F F c AF a==所以cos θ=由|AF 1|＝3|F 1B |、长短弦公式得：31cos 1cos ep epe e θθ=-+，化简得：2cos 1e θ=1=，即4e ===解之得：213e （负值已舍），所以33e . 2.【答案】333.【答案】3+4.【答案】C【解析】延长1AF 交椭圆于1A ，根据椭圆的对称性，则211F B A F =，1113F A A F =， 由12F A F B λ=，且1||1cos ep F A e θ=-，11||1cos epA F e θ=+，由112A F F B =，所以1cos 1cos ep epe e λθθ=-+，整理得1cos 1e λθλ-=+，其中[0θ∈，2)π，由A ，B 不重合，所以0θ≠，cos e e θ=<，解得2e >，所以，椭圆的离心率的取值范围(2，1)．。
高中数学双曲线知识点及题型总结(学生版)
双曲线知识点及题型总结1 双曲线定义：①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.5.曲线的简单几何性质22a x －22by =1（a ＞0，b ＞0） ⑴范围：|x |≥a ，y ∈R⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线：①若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程⇒=-02222b y a x x aby ±=②若渐近线方程为x aby ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）④特别地当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-22y x ；y =a b x ，y =－abx (什么是共轭双曲线?)⑸准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =c a 2，两准线之距为2122a K K c=⋅⑹焦半径：21()a PF e x ex a c =+=+，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；22()a PF e x ex a c=-=-，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质（略）⑺与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222by a x 0(≠λ⑻与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 6曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b⇔-<. 7曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=.(2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）. 8双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b-=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y a b -=.（3）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c -=.9线与椭圆相交的弦长公式 AB =若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ， A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)，则弦长]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+= ]4)[()11(11212212122y y y y ky y k -+⋅+=-⋅+=,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；高考题型解析题型一：双曲线定义问题1.“ab <0”是“曲线ax 2+by 2=1为双曲线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C .充分必要条件 D.既不充分又不必要条件2.若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k yk x 表示双曲线”的( )A .充分不必要条件. B.必要不充分条件. C.充要条件. D.既不充分也不必要条件.3.给出问题：F 1、F 2是双曲线162x －202y =1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上. _________.4.过双曲线x 2-y 2=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |=7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是 .题型二：双曲线的渐近线问题1.双曲线42x －92y =1的渐近线方程是( )A . y =±23x B.y =±32x C.y =±49x D.y =±94x2.过点（2，－2）且与双曲线22x－y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是( )A .22y －42x =1 B.42x －22y =1 C.42y －22x =1 D.22x －42y =1题型三：双曲线的离心率问题1已知双曲线 x 2a 2 － y 2b2 = 1 (a ＞0,b ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且∣PF 1∣=4∣PF 2∣,则此双曲线的离心率e 的最大值为 （ ）A ．43B ．53C ．２D ．732.已知21,F F 是双曲线)0(,12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点,若2ABF ∆是正三角形,那么双曲线的离心率为 ( )A.2 B.3 C. 2 D. 33.过双曲线M:2221y x b -=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 (4.在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为21，则该双曲线的离心率为( ) A.22 B. 2 C .2 D. 225..已知双曲线12222=-by a x (a>0,b<0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.( 1,2)B. (1,2) C .[2,+∞) D.(2,+∞) 题型四：双曲线的距离问题1.设P 是双曲线22ax －92y =1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y =0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF 1|=3，则|PF 2|等于( ) A.1或5 B.6 C .7 D.92.已知双曲线141222=-y x 的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是 A.(33-,33) B. (-3,3) C .[ 33-,33] D. [-3,3] 3.已知圆C 过双曲线92x －162y =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________.题型五：轨迹问题1.已知椭圆x 2+2y 2 =8的两焦点分别为F 1、F 2，A 为椭圆上任一点。
【600分考点-700分考法】2020版高考数学(理科)：专题(10)圆锥曲线课件(附答案)
考点一 椭圆 4．椭圆中的特殊量
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考点一 椭圆
对于椭圆
由焦半径公式
可得，椭
圆上任一点P到焦点F1的最小距离为a－c，最大距离为a＋c，此时点P在长轴 的两端点处；由椭圆的对称性知，点P到焦点F2也有相同的结论．
(2)椭圆的焦点弦
当直线和椭圆相交时，截在椭圆内的线段(包括端点)叫做椭圆的弦．当弦过
焦点时，称其为焦点弦．
设
是椭圆
上两点，若弦AB过左焦点F1，则
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考点一 椭圆
(3)椭圆的焦点三角形
设F1，F2为椭圆 则△PF1F2为焦点三角形． 如图所示，
的左、右焦点，P为椭圆上异于左、右顶点的点，
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考点一 椭圆
⑥焦点三角形的周长是2(a＋c)．
⑦若焦点三角形的内切圆圆心为I，延长PI交线段F1F2于点Q， (角平分线定理)，
求椭圆方程一般采取“先定位，后定量”的方法．所谓定位，就是研究 一下此椭圆是不是标准形式的椭圆，其焦点在x轴上还是在y轴上；所谓定量就 是求出椭圆的a，b，c，从而写出椭圆的方程．
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考点一 椭圆 2．椭圆系方程
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考点一 椭圆
例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－12，0)，(12，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和
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考点一 椭圆
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考点一 椭圆
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考点一 椭圆 方法2 椭圆定义的应用
椭圆定义的应用类型及方法
(1)利用定义确定平面内的动点的轨迹是否为椭圆；
(2)利用定义解决与焦点三角形相关的周长、面积及最值问题．利用定义和余弦定
理可求得|PF1|·|PF2|，再结合
进行转化，进而求得
焦半径公式在2000年高考题中的应用
焦半径公式在2000年高考题中的应用
阮鹏峰
【期刊名称】《数学教学通讯：中教版》
【年(卷),期】2001(000)001
【摘要】焦半径是指圆锥曲线上任一点到焦点的距离.设 P（x0,y0）为圆锥曲线上任一点,则其对应于抛物线、椭圆、双曲线的焦半径分别有如下结论:1.设抛物线
y2=2px（p>0）
【总页数】2页(P16-17)
【作者】阮鹏峰
【作者单位】浙江省慈溪中学,315300
【正文语种】中文
【相关文献】
1.焦半径公式--攻克2000年高考解几题的杀手锏 [J], 李桂初
2.焦半径公式在解题中的应用 [J], 曾安雄
3.数形结合在2000年高考题中的应用 [J], 王小红
4.焦半径、焦点弦公式在高考中的应用 [J], 李乐恒
5.积化和差与和差化积公式在解高考题中的应用 [J], 董立伟
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众所周知，抛物线上任意一点与焦点之间的所连线段的长度，叫做焦 半径；过抛物线焦点的直线被抛物线截得的线段叫做焦点弦，焦半径、焦 点弦是抛物线中的重要几何性质，因其能与直线的倾斜角、向量（定比分 点） 、 三角形面积等知识交汇， 故倍受命题人青睐， 而成为近年来高考试题、 自主招生试题中的一个热点问题，作为客观题中的压轴题，甚至解答题进 行考查，以测试考生数学知识和思想方法的掌握和运用。
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