大学 数学专业 空间解析几何 第二章 平面与方程 PPT
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大学课程《高等数学》PPT课件：6-1 空间解析几何简介
例1 求点 M 2,1, 1 到 y轴的距离.
解 :过点 M 做 y 轴的垂线，其垂足点 P 的坐标
为 0,1,0 ，所以
MP 2 02 112 1 02 5
例2 设动点 M 与两定点 P1 1, 2,1，P2 2,1, 2 等距
离，求动点M 的轨迹.
解 :设动点 M x, y, z ，因为 P1M P2M ，所以
（2）已知方程 F x, y, z 0,研究此方程所表
示的曲面形状.
例3 求球心在点 M0 x0, y0, z0 、半径为 R 的球面方程. 解 设 M x, y, z 是球面上任一点（见图），
则有 M0M R，由两点间距离 公式得 :
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R
本节先简要介绍空间解析几何的有关内容。
第六章
空间解析几何简介
一、空间直角坐标系 二、空间曲面及其方程 三、空间曲线及其方程
在空间任意选取一定点 O ,过点 O 做三条互相垂直
的以点 O 为原点的数轴，依次记为 x 轴(横轴)、y 轴
(纵轴)、z 轴(竖轴)，统称为坐标轴. 它们的顺序按下
述右手规则确定:以右手握住 z 轴，让右手的四个手
含有三个坐标轴正半轴的那个卦限叫做第 I 卦限，
其他第 II、第 III 、第 IV 卦限在 xOy 平面的上方,按 逆时针方向确定. 第 I 、II 、III 、IV 卦限下面的空间
部分，分别称为第 V、V、V、V 卦限(见图).
设 M 为空间任意点,过该点分别
做垂直于 三坐标轴的平面, 与坐标轴
二次曲面
我们把三元二次方程 F (x, y, z) 0所表示的曲
面称为二次曲面. 而把平面称为一次曲面.
《平面解析几何》课件
向量运算
向量的加法和减法
向量加法和减法是向量运 算中的基本运算，包括向 量的平移、旋转和拉伸等。
向量的数量积和向量 积
在所有的线性代数中，向 量的数量积和向量积是最 常用的向量积运算之一。
向量的投影
向量的投影是计算向量在 投影方向上的长度的一种 方法，是一种常用的数学 概念，应用广泛。
二次曲线
椭圆 双曲线 抛物线
《平面解析几何》PPT课 件
本课程介绍平面解析几何，一门研究平面上点、直线、圆、二次曲线等图形 的位置关系和相互运算的学科。
简介
什么是平面解析几何
是最基础的空间几何的入门课，学习解析几何可以帮助你更好地理解各种数学问题。
历史发展
解析几何的提出是十七世纪科学革命时期的一项重要成就。
坐标系
直角坐标系
由平面上到定点F1、F2的距离之和为定常值 2a。
双曲线也由平面上到定点F1、F2的距离之差 为定常值2a。
抛物线是是一个平面曲线，因其具有完美的抛 物线形状而得名。
结论
平面解析几何的应用
平面解析几何是现代数学的一个分支，它对于计 算机科学、物理学、经济学、心理学等学科都有 非常重要的应用。
本课程的主要内容回顾
截距法是三种构图法之一，大大简化了复 杂的运算。
3 法线式
4 点斜式
数学中，直线的法线式是表示某直线在某 点处垂直的一条直线的代数式。
在点斜式中，直线上任意一点的坐标及其 方向与坐标平面上已知一点相对应的斜率 确定。
圆的方程
标准式
以坐标系原点为圆心，以半 径长为圆的方程。
一般式
圆的一般式是用Ax2 + Ay2 + Bx + By + C = 0的形式表示 的。
高数空间解析几何学平面与空间直线的方程PPT课件
y2
a2 4
表示怎样的曲线？
解 za2x2y2
上半球面,
(xa)2y2a2 圆柱面,
2
4
交线如图.
20
2、空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t)
空间曲线的参数方程
z z ( t )
当 给 定 tt1时 ， 就 得 到 曲 线 上 的 一 个 点 (x1,y1,z1)， 随 着 参 数 的 变 化 可 得 到 曲 线 上 的 全
空间直角坐标系中表示母线平行于 z轴的柱
面 ， 其 准 线 为 xo面 y上 曲 线 C （.其他类推）
实 例
y2 z2 b2 c2 1 椭圆柱面 // x轴
x2 a2
y2 b2
1
双曲柱面
// z轴
x2 2pz 抛物柱面 // y轴
9
3、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
1
一般研究空间曲面主要考虑两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论柱面、二次曲面）
2
例 1 求 与 原 点 O 及 M 0 ( 2 ,3 ,4 ) 的 距 离 之 比 为 1 : 2 的
点 的 全 体 所 组 成 的 曲 面 方 程 .
得方程 f x 2 y 2 ,z 0 ,
y坐 o 标 面 上 z的 已 知 曲 线 f(y ,z ) 0 z 绕 轴 旋
转 一 周 的 旋 转 曲 面 方 程 .
同 理 ： yo 坐 标 z面 上 的 已 知 曲 线 f(y,z)0 绕 y轴 旋 转 一 周 的 旋 转 曲 面 方 程 为
《大学数学解析几何》PPT课件
➢笛卡尔的《几何》虽然不像现在的解析几何那样，给读者展现 出一个从建立坐标系和方程到研究方程的循序过程，但是他通过 具体的实例，确定表达了他的新思想和新方法．这种思想和方法 尽管在形式上没有现在的解析几何那样完整，但是在本质上它却 是地道的解析几何．
➢笛卡尔的解析几何有两个基本思想： （１）用有序数对表示点的坐标； （２）把互相关联的两个未知数的代数方程，看成平面上的一 条曲线。
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四、学习要求
１、课前预习. ２、课上认真听讲，积极思考，记好笔记. ３、课后及时复习，独立认真地完成作业. ４、课外适当阅读课外参考书，拓宽知识面，加深对课本内 容的理解.
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五、考核方式及成绩评定
考核方式：闭卷考试 总评成绩＝平时成绩×30%
+期末考试成绩70%
《解析几何》
－Chapter 1
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3．解析几何创立的意义
➢ 笛卡尔和费马创立解析几何，在数学史上具有划时代的意义。
➢解析几何沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间 的联系，从此，代数与几何这两门学科互相吸取营养而得到迅速 发展，并结合产生出许多新的学科，近代数学便很快发展起来了。
➢恩格斯高度评价了笛卡尔的革新思想。他说：“数学中的转折 点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩 证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的 了。”
关于解析几何产生的历史，可以查阅数学史方面的 书，例 如李文林的《数学史概论》（高等教育出版社），或 上网查阅 查关的内容，网址：
/2/22/07/0641.htm
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二、本课程的主要内容及基本要求
本课程在中学平面向量和平面解析几何的基础上，进一步 学习空间向量和空间解析几何。主要内容有：
➢笛卡尔的解析几何有两个基本思想： （１）用有序数对表示点的坐标； （２）把互相关联的两个未知数的代数方程，看成平面上的一 条曲线。
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四、学习要求
１、课前预习. ２、课上认真听讲，积极思考，记好笔记. ３、课后及时复习，独立认真地完成作业. ４、课外适当阅读课外参考书，拓宽知识面，加深对课本内 容的理解.
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五、考核方式及成绩评定
考核方式：闭卷考试 总评成绩＝平时成绩×30%
+期末考试成绩70%
《解析几何》
－Chapter 1
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3．解析几何创立的意义
➢ 笛卡尔和费马创立解析几何，在数学史上具有划时代的意义。
➢解析几何沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间 的联系，从此，代数与几何这两门学科互相吸取营养而得到迅速 发展，并结合产生出许多新的学科，近代数学便很快发展起来了。
➢恩格斯高度评价了笛卡尔的革新思想。他说：“数学中的转折 点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩 证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的 了。”
关于解析几何产生的历史，可以查阅数学史方面的 书，例 如李文林的《数学史概论》（高等教育出版社），或 上网查阅 查关的内容，网址：
/2/22/07/0641.htm
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二、本课程的主要内容及基本要求
本课程在中学平面向量和平面解析几何的基础上，进一步 学习空间向量和空间解析几何。主要内容有：
空间解析几何与平面的方程
空间解析几何与平面的方程空间解析几何是研究空间中几何对象及其性质的数学学科。
在空间解析几何中，平面是一个重要的概念，平面可以通过一个点和两个不共线的向量来确定。
本文将介绍空间解析几何中平面的方程表示方法及其应用。
一、平面的一般方程在空间解析几何中，平面一般可以用以下方程表示：Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C为不全为零的实数，A、B、C不全为零是因为平面至少要有一个法向量。
A、B、C表示平面的法向量的坐标，D则为一个常数。
例如，对于平面2x + 3y - z + 4 = 0，可以得到法向量为(2, 3, -1)。
平面上的点(x, y, z)满足2x + 3y - z + 4 = 0，即满足方程的解。
二、平面的点法向式方程除了一般方程外，平面还可以用点法向式方程表示。
点法向式方程表示平面上的一点和平面的法向量之间的关系。
点法向式方程的一般形式如下：r · n = p · n其中r为平面上一点的位置向量，n为平面的法向量，p为平面上一点的坐标。
·表示向量的点积。
根据点法向式方程，我们可以计算平面上任意一点的坐标，并且判断一个点是否在平面上。
三、平面与直线的关系平面与直线的关系是空间解析几何中的一大重要内容。
平面可以与直线相交，也可以平行于直线。
两个平面还可以相交或平行。
1. 平面与直线相交时，它们的交点满足平面和直线的方程。
2. 平面与直线平行时，它们的法向量互相平行。
3. 两个平面相交时，它们的交线满足两个平面的方程。
4. 两个平面平行时，它们的法向量互相平行。
四、平面与平面之间的关系平面与平面之间的关系也是空间解析几何的重要内容。
两个平面可以相交、平行或重合。
1. 两个平面相交时，它们的交线满足两个平面的方程。
2. 两个平面平行时，它们的法向量互相平行。
3. 两个平面重合时，它们的法向量完全相同。
五、平面方程的应用平面方程的应用十分广泛，以下是一些常见的应用领域：1. 几何图形：平面方程可以用于描述几何图形中的平面，如平面几何中的圆、三角形等。
最新高等数学 平面及其方程精品课件
z R (0, 0, c)
n
Q (0, b, 0)
O
y
P (a, 0, 0) x
第十六页，共25页。
例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、 R(0, 0, c)三点， 求这平面的方程(其中a 0，b 0，c 0)．
解 设所求平面(píngmiàn)的方程为 A x B y C z D 0． 因P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)三点都在这平面上，所以(suǒyǐ)
所以 A(xx 0)B(yy 0)C(zz 0)0．
这就是平面的方程．
此方程叫做平面的点法式方程．
第八页，共25页。
M0
O
My
x
例1 求过点(2，3，0)且以 n{1，2，3}为法线(fǎ xiàn)向量
面的方程(fāngchéng)． 解 根据平面(píngmiàn)的点法式得方程所，求平面的方程为
第十一页，共25页。
方法二：设平面方程(fāngchéng)为A（x-2）+B（y+1）+C（Z-
4）=0
点M3A2、4MB 3满6C足方0程(fāngchéng)，代入方程(fāngchéng)：
2A 3B C 0
解之得：
B C
9A 14 1
14
A
因此(yīncǐ)有：A(x 2) 9 A( y 1) 1 A(z 4) 0
第十四页，共25页。
例3 求通过 x 轴和点(4， 3， 1)的平面(píngmiàn)的方程． 解 由于平面(píngmiàn)通过 x 轴，从而它的法线向量垂直于 x 轴， 于是法线向量在 x 轴上的投影为零，即A0．
大学高数空间解析几何
培养逻辑思维
学习空间解析几何有助于培养人的逻辑思维和抽象 思维能力，提高解决问题的能力。
空间解析几何的历史与发展
早期发展
空间解析几何起源于17世纪，随着笛卡尔坐标系的建立和 解析几何方法的完善，开始形成独立的数学分支。
近代发展
随着计算机科学和数学的不断发展，空间解析几何在理论 和应用方面都取得了重要进展，如微分几何、线性代数和 微分方程等与空间解析几何的交叉融合。
详细描述
如果两个平面的法向量 $mathbf{a}$ 和 $mathbf{b}$ 是共线的，即存在一个非零实数 $lambda$ 使得 $mathbf{a} = lambda mathbf{b}$，那么这两个平面就是平行的。如果两个平面的法向量不共线，那么 这两个平面就是相交的。
04
空间几何的应用
空间几何在计算机图形学中的应用
01
02
03
三维建模
空间几何用于创建三维模 型，包括曲面建模、实体 建模和参数化建模等。
光照计算
空间几何用于计算物体表 面的光照效果，以实现逼 真的渲染效果。
动画制作
空间几何用于动画制作中 的骨骼绑定、运动轨迹规 划和角色动画等，以创建 动态的视觉效果。
05
空间几何的习题与解答
平面与平面的交线
总结词求平面与平面Fra bibliotek交线，需要消元法或参数方程法。
详细描述
平面与平面的交线可以通过消元法或参数方程法来求解。消元法是通过联立两个平面的方程组，然后消元得到一 个一元一次方程，这个一元一次方程就是两平面的交线。参数方程法则是设定一个参数，将两个平面的方程都表 示成参数的函数，然后令参数相等，解出交线的参数方程。
未来展望
随着科技的不断进步和应用领域的拓展，空间解析几何将 继续发挥重要作用，并有望在人工智能、机器学习等领域 取得新的突破和应用。
学习空间解析几何有助于培养人的逻辑思维和抽象 思维能力，提高解决问题的能力。
空间解析几何的历史与发展
早期发展
空间解析几何起源于17世纪，随着笛卡尔坐标系的建立和 解析几何方法的完善，开始形成独立的数学分支。
近代发展
随着计算机科学和数学的不断发展，空间解析几何在理论 和应用方面都取得了重要进展，如微分几何、线性代数和 微分方程等与空间解析几何的交叉融合。
详细描述
如果两个平面的法向量 $mathbf{a}$ 和 $mathbf{b}$ 是共线的，即存在一个非零实数 $lambda$ 使得 $mathbf{a} = lambda mathbf{b}$，那么这两个平面就是平行的。如果两个平面的法向量不共线，那么 这两个平面就是相交的。
04
空间几何的应用
空间几何在计算机图形学中的应用
01
02
03
三维建模
空间几何用于创建三维模 型，包括曲面建模、实体 建模和参数化建模等。
光照计算
空间几何用于计算物体表 面的光照效果，以实现逼 真的渲染效果。
动画制作
空间几何用于动画制作中 的骨骼绑定、运动轨迹规 划和角色动画等，以创建 动态的视觉效果。
05
空间几何的习题与解答
平面与平面的交线
总结词求平面与平面Fra bibliotek交线，需要消元法或参数方程法。
详细描述
平面与平面的交线可以通过消元法或参数方程法来求解。消元法是通过联立两个平面的方程组，然后消元得到一 个一元一次方程，这个一元一次方程就是两平面的交线。参数方程法则是设定一个参数，将两个平面的方程都表 示成参数的函数，然后令参数相等，解出交线的参数方程。
未来展望
随着科技的不断进步和应用领域的拓展，空间解析几何将 继续发挥重要作用，并有望在人工智能、机器学习等领域 取得新的突破和应用。
大一解析几何课件ppt
两点式方程
表示两点之间的直线方程，形式 为$frac{x-x_1}{x_2-
x_1}=frac{y-y_1}{y_2y_1}=frac{z-z_1}{z_2-z_1}$。
空间中平面与球面方程
平面方程
表示平面上所有点的坐标满足的 方程，形式为 $Ax+By+Cz+D=0$。
球面方程
表示球面上所有点的坐标满足的 方程，形式为$(x-a)^2+(yb)^2+(z-c)^2=R^2$。
上的向量即为这两个向量的和。
向量的模
向量的模表示向量的大小，记作|a|，计算 公式为$sqrt{a_1^2 + a_2^2 + cdots +
a_n^2}$。
数乘
数乘是指用一个实数乘以一个向量，结果 仍为同一向量类型的向量。数乘满足结合 律和分配律。
向量的积
向量的积分为点乘和叉乘两种，点乘结果 为标量，叉乘结果为向量。点乘满足交换 律和分配律，叉乘满足结合律。
矩阵及其运算
矩阵的加法
矩阵的加法是指对应元素相 加，得到的结果仍为一个矩 阵。
数乘矩阵
数乘矩阵是指用一个实数乘 以一个矩阵，结果仍为一个 矩阵。数乘矩阵满足结合律 和分配律。
矩阵的乘法
矩阵的乘法需要满足一定的 条件，即左矩阵的列数等于 右矩阵的行数。矩阵的乘法 不满足交换律和结合律。
转置矩阵
转置矩阵是指将矩阵的行列 互换得到的新矩阵。转置矩 阵满足$A^T = (A^T)^T$ 和$A^T B = B^T A$。
05
解析几何的应用
解析几何在物理学中的应用
解析几何在物理学的应用非常广泛，特别是在经典力学和电 磁学中。通过解析几何的方法，我们可以更好地理解和描述 物理现象，例如在研究物体的运动轨迹、速度和加速度时， 解析几何提供了重要的数学工具。
苏教版必修2数学课件-第2章平面解析几何初步第2节直线与方程教学课件
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3．如何判断点(m，n)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系？ [提示] 将点A(m，n)代入方程左边，若(m－a)2＋(n－b)2＝r2， 点A在圆上；若(m－a)2＋(n－b)2<r2，点A在圆内；若(m－a)2＋(n－ b)2>r2，点A在圆外．
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【例3】 已知圆C的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)． (1)若点M(6，9)在圆上，求半径a； (2)若点P(3，3)与Q(5，3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的 取值范围．
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自主预习 探新知
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1．圆的定义及标准方程 (1)圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．其中定点是 圆的圆心；定长是圆的半径．
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(2)圆的标准方程
圆
特殊情况
一般情况
圆心
(0，0)
(a，b)
半径 标准方程
备注
r(r>0)
r(r>0)
_x_2_＋__y_2＝__r_2_
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[解] 法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
a＋b＋5＝0，
则（0－a）2＋（2－b）2＝r2， （－3－a）2＋（3－b）2＝r2，
a＝－3，
解得b＝－2， r＝5.
∴圆的标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
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法二：因为A(0，2)，B(－3，3)，所以线段AB的中点坐标为 －32，52，直线AB的斜率kAB＝－3－3－20＝－13，
_(x_－__a_)_2_＋__(y_－__b_)_2＝__r_2_
确定圆的标准方程的关键是确定_圆__心__和_半__径__
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3．如何判断点(m，n)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系？ [提示] 将点A(m，n)代入方程左边，若(m－a)2＋(n－b)2＝r2， 点A在圆上；若(m－a)2＋(n－b)2<r2，点A在圆内；若(m－a)2＋(n－ b)2>r2，点A在圆外．
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【例3】 已知圆C的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)． (1)若点M(6，9)在圆上，求半径a； (2)若点P(3，3)与Q(5，3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的 取值范围．
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1．圆的定义及标准方程 (1)圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．其中定点是 圆的圆心；定长是圆的半径．
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(2)圆的标准方程
圆
特殊情况
一般情况
圆心
(0，0)
(a，b)
半径 标准方程
备注
r(r>0)
r(r>0)
_x_2_＋__y_2＝__r_2_
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[解] 法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
a＋b＋5＝0，
则（0－a）2＋（2－b）2＝r2， （－3－a）2＋（3－b）2＝r2，
a＝－3，
解得b＝－2， r＝5.
∴圆的标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
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法二：因为A(0，2)，B(－3，3)，所以线段AB的中点坐标为 －32，52，直线AB的斜率kAB＝－3－3－20＝－13，
_(x_－__a_)_2_＋__(y_－__b_)_2＝__r_2_
确定圆的标准方程的关键是确定_圆__心__和_半__径__
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空间解析几何-第2章-空间的平面与直线ppt
(2) L // Am Bn Cp 0.
例 1 设直线L : x 1 y z 1，平面 2 1 2
: x y 2z 3，求直线与平面的夹角.
解
n (1,1, 2), s (2,1, 2),
sin
| Am Bn Cp |
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
M0M { x x0 , y y0 , z z0 }
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
平面的点法式方程
其中法向量
n
{ A, B,C},
已知点
( x0 ,
y0 ,
z0 ).
平面上的点都满足上方程，不在平面上的 点都不满足上方程，上方程称为平面的方程， 平面称为方程的图形．
化简得 2x 3 y z 6 0.
例3 已知两点M(1,-2,3)与N(3,0,-1)，求线段 MN的垂直平分面方程。
二、平面的一般式方程
由平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
z
s
L
M
M0
M0 ( x0 , y0 , z0 ), M ( x, y, z), o
y
M L,
M0M // s
x
s (m, n, p), M0M { x x0 , y y0 , z z0 }
x x0 m
y y0 z z0
n
p
直线的对称式方程 （标准方程、点向式
方程）
注: 当方向向量的某个坐标 为零时，比如
解析几何
第2章 空间的平面与直线
10/26/2024
§2.1.1 平面的方程
例 1 设直线L : x 1 y z 1，平面 2 1 2
: x y 2z 3，求直线与平面的夹角.
解
n (1,1, 2), s (2,1, 2),
sin
| Am Bn Cp |
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
M0M { x x0 , y y0 , z z0 }
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
平面的点法式方程
其中法向量
n
{ A, B,C},
已知点
( x0 ,
y0 ,
z0 ).
平面上的点都满足上方程，不在平面上的 点都不满足上方程，上方程称为平面的方程， 平面称为方程的图形．
化简得 2x 3 y z 6 0.
例3 已知两点M(1,-2,3)与N(3,0,-1)，求线段 MN的垂直平分面方程。
二、平面的一般式方程
由平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
z
s
L
M
M0
M0 ( x0 , y0 , z0 ), M ( x, y, z), o
y
M L,
M0M // s
x
s (m, n, p), M0M { x x0 , y y0 , z z0 }
x x0 m
y y0 z z0
n
p
直线的对称式方程 （标准方程、点向式
方程）
注: 当方向向量的某个坐标 为零时，比如
解析几何
第2章 空间的平面与直线
10/26/2024
§2.1.1 平面的方程
《平面及其方程》PPT课件
则
M0M
n,
故
M0M
n＝0。
即有
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0。 (点法式)
2. 平面的一般方程
由平面的点法式方程A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0, 得 Ax By Cz Ax0 By0 Cz0 0。
n
—
M1M
2
—
M1M 3
点法式方程
M (x, y, z)
M3
向量共面
M2
M1
定理 1
设 R3 空间中不在同一直线上的三点
M1(x1, y1, z1), M 2 (x2 , y2 , z2 ), M3(x3, y3, z3)
确定一个平面 , 则空间中点M (x, y, z) 位于平面 上
(2) 通过点 M1(4, 0, 2) 和 M2 (5, 11, 7) 且平行于x 轴; (3) 通过点 A(1, 1, 1) 和 B(0, 2, 1) 且平行于a (0, 3, 1)。
解
(2) 平面 // x 轴,
即平面
//
i,
故 n i。
i
j
k
平面的法向量
规定: 1. 0 。 ( 为两平面间的夹角) 2. 若 1 // 2 , 则 0 或 。
夹角的计算公式
设两平面的方程为
1 : A1x B1 y C1z D1 0, n1 ( A1, B1, C1), 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 , C2 )。
空间解析几何平面ppt课件
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微积分
第五章 向量代数与空间解析几何
P ( a , 0 , 0 ) x ,y ,z 例 4设 平 面 与 三 轴 分 别 交 于 、
Q ( 0 , b , 0 ) R ( 0 , 0 , c ) a 0 b 0 c 0 、 （ 其 中 ， ， ） ，
求 此 平 面 方 程 .
解
设平面为 Ax By Cz D 0 ,
例 1 求 过 点 A ( 1 , 1 , 1 ) 且 垂 直 于 点 A 的 向 径 O A 的 平 面 方 程 。
例 2 求 过 点 M ( 1 , 1 , 1 ) , M ( 2 , 2 , 2 ) , M ( 1 , 1 , 2 ) 1 2 3 的 平 面 方 程 。
abc返回第五章向量代数与空间解析几何微积分返回第五章向量代数与空间解析几何微积分ax将三点坐标代入得返回第五章向量代数与空间解析几何微积分平面的截距式方程x轴上截距轴上截距z轴上截距返回第五章向量代数与空间解析几何微积分定义通常取锐角三两平面的夹角返回第五章向量代数与空间解析几何微积分两平面夹角余弦公式两平面位置特征
M ( 1 , 1 , 0 ) ( 1 , 1 , 0 ) 1M 2
两平面平行但不重合．
2 1 1 (3) , 4 2 2 两平面平行 M ( 1 , 1 , 0 ) M ( 1 , 1 , 0 ) 1 2
两平面重合.
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微积分
类似地可讨论 A 情形. C 0 , B C 0
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第五章 向量代数与空间解析几何
例 3 求 过 z 轴 和 点 A ( 1 , 1 , 1 ) 的 平 面 方 程 。
大学 数学专业 空间解析几何 第二章 平面与方程 PPT
M1
n
M3
M
M2
一般地，设平面 过 M1, M2, M3 三点, M1, M2,
M3 不共线. 即 M1 M2 M1 M3 0.
则得平面方程为：
(M1M2 M1M3 ) M1M 0,
M1
n
M3 M2
M
根据向量混合积的计算公式即得：
x2 x1 x3 x1 x x1
pzznyyxxpnm0000000???时方程仍然写为为零时比如当方向向量的某个坐标注???????n?pzzyyxx0000线此时理解为二平面的交xyzos?l0m?m?时方程也仍然写为zz00?标为零时比如当方向向量的某两个坐pnm00pyyxx0000??考虑其几何意义0理解为交线?????000yyxxxyzos?l0m?m?pzznyymxx000???直线的另外一种表达式两点式设l
y2 y1 y3 y1 y y1
z2 z1 z3 z1 0. z z1
平面的三 点式方程.
M1M 2 X1, Y1, Z1 M1M3 X 2 , Y2 , Z2
三向量共面
M1
n
M3 M2
M
(M1M2 M1M3 ) M1M 0,
根据向量混合积的计算公式即得：
(2)
称为空间直线的点向式方程.
由直线的点向式方程
x x 0 y y0 z z 0 m n p
x x0 z z0 m p y y0 z z 0 p n
x az c (*) 整理得： y bz d
此时理解为二平面的交线.
例4.2. 求过点 M1(2, 1, 4), M2(1, 3, 2) 和
n
M3
M
M2
一般地，设平面 过 M1, M2, M3 三点, M1, M2,
M3 不共线. 即 M1 M2 M1 M3 0.
则得平面方程为：
(M1M2 M1M3 ) M1M 0,
M1
n
M3 M2
M
根据向量混合积的计算公式即得：
x2 x1 x3 x1 x x1
pzznyyxxpnm0000000???时方程仍然写为为零时比如当方向向量的某个坐标注???????n?pzzyyxx0000线此时理解为二平面的交xyzos?l0m?m?时方程也仍然写为zz00?标为零时比如当方向向量的某两个坐pnm00pyyxx0000??考虑其几何意义0理解为交线?????000yyxxxyzos?l0m?m?pzznyymxx000???直线的另外一种表达式两点式设l
y2 y1 y3 y1 y y1
z2 z1 z3 z1 0. z z1
平面的三 点式方程.
M1M 2 X1, Y1, Z1 M1M3 X 2 , Y2 , Z2
三向量共面
M1
n
M3 M2
M
(M1M2 M1M3 ) M1M 0,
根据向量混合积的计算公式即得：
(2)
称为空间直线的点向式方程.
由直线的点向式方程
x x 0 y y0 z z 0 m n p
x x0 z z0 m p y y0 z z 0 p n
x az c (*) 整理得： y bz d
此时理解为二平面的交线.
例4.2. 求过点 M1(2, 1, 4), M2(1, 3, 2) 和
大学数学解析几何
01
统计学
解析几何在统计学中用于可视化数据和 发现数据中的模式和趋势，以及进行多 元分析和回归分析。
02
03
计量经济学
解析几何在计量经济学中用于建立经 济模型的几何解释和推导，以及进行 模型检验和预测。
在其他领域的应用
计算机图形学
解析几何在计算机图形学中用于生成和渲染二维和三 维图形，以及进行图像处理和计算机视觉。
解析几何在大数据分析中的应用
数据可视化
01
利用解析几何的方法，将大数据进行可视化处理，帮助人们更
好地理解和分析数据。
数据挖掘
02
通过解析几何的方法，挖掘大数据中的模式和规律，为决策提
供支持。
数据降维
03
利用解析几何的方法，将高维度的数据降维处理，以便更好地
进行数据分析和处理。
谢谢
THANKS
Hale Waihona Puke 在18世纪和19世纪，解析几何得到了进一步的发展和完善。许多数学家，如牛顿、莱布尼茨、高斯等 ，都对解析几何的发展做出了重要的贡献。同时，随着计算机技术的不断发展，解析几何的应用范围 也在不断扩大。
02 平面解析几何
CHAPTER
点与坐标
总结词
坐标系是平面解析几何的基础，点是坐标系的基本元素。
详细描述
生物学和医学
解析几何在生物学和医学中用于描述生物体的形态和结 构，以及进行医学影像分析和诊断。
05 解析几何的未来发展
CHAPTER
解析几何与其他数学分支的交叉研究
解析几何与拓扑学的交叉
研究几何对象在连续变形下的性质和结构，如 几何拓扑。
解析几何与代数学的交叉
将几何问题转化为代数问题，或者将代数问题 几何化，如线性代数、矩阵几何等。
大学 数学专业 空间解析几何 第三章 轨迹与方程 PPT
x2 y2 z2 1 例4 求曲线 1 在坐标面上的投影. z 2
解 （1）消去变量z后得 3 2 2 x y , 4 在xOy面上的投影为
3 2 2 x y 4, z 0
z
O
x
y
2 2 2 x y z 1 1 z （2）因为曲线在平面 上， 1 2 z 2
P
2
2
)
z
x cos cos y cos sin z sin
Q
x
M
θ
ρ
y
P
三组坐标面是 :
z
R O z
z
0
y O y O
x
x
0
y
r 常数 (以O为球心R为 半径的)球面
常数
— 半平面
x 常数 (顶点在 O , z轴是对称轴, 半顶 角为 )圆锥面. 0
表示什么样的曲线？
解 交线如图:
z
1
x
o
1
y
三、空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z ) 0 设空间曲线C的一般方程： G ( x , y , z ) 0
消去变量z后得：H ( x , y ) 0 称为曲线C关于xOy的投影柱面. 投影柱面与xOy面的交线：
z
C
y
H ( x, y) 0 C : x z0 称为曲线C在xOy面上的投影曲线.
z 0.
2 2 z ( x 1 ) ( y 2 ) 1的图形是怎样的？ 例6 方程
解
根据题意有 z 1
高等数学《空间解析几何(第1章)》课件
个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做___ 共__面__向__量___； 7、两向量_模__相__等__且__方__向，相我同们称这两个向量相等； 8、两个模相等、__方__向__相__反____的向量互为逆向量； 9、把空间中一切单位向量归结到共同的始点，则终点
构成__半__径__为__1_的__球_； 面
|
a
|
|
a
|
a
0
a 0
a与a 反向，
|
a
||
|
|
a
|
a
2a
1
a
2
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：
(
a)
(
a)
(
)a
（2）分配律： ( )a a a
(a
b)
a
b
思考
1.向量 a ，b 平行(共线)条件是什么？
2.与向量 a 0共线的单位向量________.
e3 O e2
e1
一个空间标架,决定一个空间坐标系
z
e3
O
e2
e1 x
当{O; e1, e2 , e3 }确定后, e1, e2 , e3依次确定以O为原点 的三数轴:x轴(横轴),y轴(纵轴), y z轴(竖轴),统称坐标轴. 它们构成空间坐标系o xyz.
也用{O; e1, e2 , e3 }表示. 把e1, e2 , e3称为坐标向量.
e3
F
的中点为P1 , 其余各组对边
中点分别为P2 , P3 .
A
P1
e2
C
只需证明P1, P2 , P3三点
重合即可.
E
e1 B
取 AB e1, AC e2 , AD e3 , 先求 AP1用e1, e2 ,e3表示的关系式.
构成__半__径__为__1_的__球_； 面
|
a
|
|
a
|
a
0
a 0
a与a 反向，
|
a
||
|
|
a
|
a
2a
1
a
2
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：
(
a)
(
a)
(
)a
（2）分配律： ( )a a a
(a
b)
a
b
思考
1.向量 a ，b 平行(共线)条件是什么？
2.与向量 a 0共线的单位向量________.
e3 O e2
e1
一个空间标架,决定一个空间坐标系
z
e3
O
e2
e1 x
当{O; e1, e2 , e3 }确定后, e1, e2 , e3依次确定以O为原点 的三数轴:x轴(横轴),y轴(纵轴), y z轴(竖轴),统称坐标轴. 它们构成空间坐标系o xyz.
也用{O; e1, e2 , e3 }表示. 把e1, e2 , e3称为坐标向量.
e3
F
的中点为P1 , 其余各组对边
中点分别为P2 , P3 .
A
P1
e2
C
只需证明P1, P2 , P3三点
重合即可.
E
e1 B
取 AB e1, AC e2 , AD e3 , 先求 AP1用e1, e2 ,e3表示的关系式.
解析几何全册课件
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目录
Contents
01 添 加 目 录 项 标 题 02 解 析 几 何 概 述 03 平 面 解 析 几 何 04 空 间 解 析 几 何 05 解 析 几 何 中 的 变 换 06 解 析 几 何 中 的 重 要 定 理 和 公 式
01
添加章节标题
02
解析几何概述
空间直线方程
空间直线方程的定义 空间直线方程的表示方法 空间直线方程的性质 空间直线方程的应用
空间平面方程
空间平面方程的定义 空间平面方程的表示方法 空间平面方程的性质 空间平面方程的应用
球面和旋转曲面
球面：定义、性质、方程 旋转曲面：定义、性质、方程 球面和旋转曲面的应用：几何、物理、工程等领域 球面和旋转曲面的实例：球、圆柱、圆锥、球面镜等
的应用
空间曲线和 曲面方程： 描述空间中 曲线和曲面 的形状和位
置
空间解析几 何在实际生 活中的应用： 如建筑设计、 机械制造等
领域
变换中的重要定理和公式
旋转变换：旋转角度、旋转中心、旋转 矩阵
投影变换：投影矩阵、投影向量
平移变换：平移向量、平移矩阵
反射变换：反射向量、反射矩阵
缩放变换：缩放因子、缩放矩阵
05
解析几何中的变换
平移变换
定义：将图形 沿某个方向移 动一定距离的
变换
性质：保持图 形的形状和大
小不变
应用：在解析 几何中，平移 变换常用于求 解方程、证明
定理等
例子：平移变 换可以将一个 图形移动到另 一个位置，例 如将直线y=x 平移到y=x+1
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D Ax By Cz D 0 平面的一般(式)方程
法向量 n ( A, B, C ).
结论：平面方程是三元一次方程，任意三元一次
方程的图形是一平面.
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
特殊三元一次方程表示图形特点
z
这个平面平行y 轴.
O x Ax+Cz+D=0,B=0
高等院校本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 空间解析几何
第六讲 平面的方程
脚本编写：
教案制作：
一、平面的方程
1. 平面的点法式和一般式方程
如果一非零向量垂直于一平面，这 向量就叫做该平面的法向量.
z
M0
M
n
o
y
已知平面的法向量 n ( A , B , C ),
M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 是平面上的一定点，
例4.1 求过点 M0(1, 3, 2) 且以 n=(2, 3, 4) 为法
向的平面方程.
解：由点法式方程，得所求平面方程为 2(x 1)+3(y 3) 4(z+2)=0,
即
2x+3y 4z19=0.
z
M0
M
n
o
y
x
例3、已知两点M1(1,-2,3),M2(3,0,-1)，求线段的垂直 平分面的方程。 解： 因为矢量M1M2={2，2，-4}=2{1，1，-2} 垂直于平面，所以平面的一个法矢量为 n={1,1,-2}.
b
例4
设平面与x , y , z 三轴分别交于P (a ,0,0) 、
z
Q(0, b,0) 、 R(0,0, c )（其中a 0 ，b 0 ， c0 ） ，
求此平面方程.
D D D 将A , B , C , a b c
代入所设方程
c
o
y
Ax By Cz D 0, 得
y
z
平面一般方程的几种特殊情况：
Ax By Cz D 0
(1) D 0, 平面通过坐标原点； x
o
y
D 0, 平面平行于 x 轴； ( 2) A 0, D 0, 平面过 x 轴； 类似地可讨论 B 0, C 0 情形.
( 3) A B 0, 平面平行于xOy 坐标面；
x
O z
y
所求平面方程为 By 3Bz = 0 即: y 3z = 0
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
例2 求通过点 M1 2, 1,1 与M2 3, 2,1 , 且平行于 z 轴的平面的方程. 解:设平行于 z 轴的平面的方程为
Ax By D 0,
又所求平面过点M1M2的中点M0(2,-1,1)，故 平面的点法式方程为
(x-2)+(y+1)-2(z-1)=0 整理得 x+y-2z+1=0
M1 M2
z
M0
M
n
由平面的点法式方程
o
y
x
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0 Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
y
x
M 0 M n ( x x0 , y y0 , z z0 ) ( A, B , C )
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
平面的点法式方程
平面上的点都满足上述方程，不在平面 上的点都不满足上述方程，上述方程称为平 面的方程，平面称为方程的图形．
类似地可讨论 A C 0, B C 0 情形.
例3: 求通过x 轴和点(4, 3, 1)的平面方程.
解: 由于平面过x 轴, 所以 A = D = 0. 设所求平面的方程是 By + Cz = 0 又点(4, 3, 1)在平面上, 所以 3 B C = 0 C = 3B
(垂直于平面内的任一向量)．
x
则平面上的任一点 M ( x , y , z ) 满足几何条件
M0 M n M0 M n 0
代入向量的坐标
其中法向量 n ( A, B, C ),
z
M0
M
n
已知定点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ).
M0 M n M0 M n 0
z
Q(0, b,0) 、 R(0,0, c )（其中a 0 ，b 0 ， c0 ） ，
求此平面方程.
c
o
y
解
设平面为 Ax By Cz D 0,
aA D 0, a 将三点坐标代入得 bB D 0, x cC D 0, D D D A , B , C . a b c
例4.2. 求过点 M1(2, 1, 4), M2(1, 3, 2) 和
M3(0, 2, 3) 的平面方程.
z
M3
因为通过点 M1 2, 1,1 与M2 3, 2,1 , 所以有
2 A B D 0, 3 A 2 B D 0,
A D, B D.
因此所求方程为
x y 1 0.
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
例2 求通过点 M1 2, 1,1 与M2 3, 2,1 , 且平行于 z 轴的平面的方程. 解法二：M1M 2 1, 1,0 ,
x
a
b
x y z 1 平面的截距式方程 a b c
x 轴上截距
y 轴上截距
z 轴上截距
例6 求平面 6 x y 4 z 5 0 与三个坐标面所围四 面体的体积 .
解 把平面方程化为截距式
z
x y z 1, 5/6 5 5/4
x
o
y
1 5 5 125 V 5 . 6 6 4 144
z 轴方向为 0,0,1 ,
n 1, 1,0 0,0,1 ,
即
i j k n 1 1 0 0 0 1
1 i j.
z
M2
因此平面方程为 1 x 2 y 1 0, 即 x y 1 0.
x
M1
y
n
例4
设平面与x , y , z 三轴分别交于P (a ,0,0) 、
法向量 n ( A, B, C ).
结论：平面方程是三元一次方程，任意三元一次
方程的图形是一平面.
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
特殊三元一次方程表示图形特点
z
这个平面平行y 轴.
O x Ax+Cz+D=0,B=0
高等院校本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 空间解析几何
第六讲 平面的方程
脚本编写：
教案制作：
一、平面的方程
1. 平面的点法式和一般式方程
如果一非零向量垂直于一平面，这 向量就叫做该平面的法向量.
z
M0
M
n
o
y
已知平面的法向量 n ( A , B , C ),
M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 是平面上的一定点，
例4.1 求过点 M0(1, 3, 2) 且以 n=(2, 3, 4) 为法
向的平面方程.
解：由点法式方程，得所求平面方程为 2(x 1)+3(y 3) 4(z+2)=0,
即
2x+3y 4z19=0.
z
M0
M
n
o
y
x
例3、已知两点M1(1,-2,3),M2(3,0,-1)，求线段的垂直 平分面的方程。 解： 因为矢量M1M2={2，2，-4}=2{1，1，-2} 垂直于平面，所以平面的一个法矢量为 n={1,1,-2}.
b
例4
设平面与x , y , z 三轴分别交于P (a ,0,0) 、
z
Q(0, b,0) 、 R(0,0, c )（其中a 0 ，b 0 ， c0 ） ，
求此平面方程.
D D D 将A , B , C , a b c
代入所设方程
c
o
y
Ax By Cz D 0, 得
y
z
平面一般方程的几种特殊情况：
Ax By Cz D 0
(1) D 0, 平面通过坐标原点； x
o
y
D 0, 平面平行于 x 轴； ( 2) A 0, D 0, 平面过 x 轴； 类似地可讨论 B 0, C 0 情形.
( 3) A B 0, 平面平行于xOy 坐标面；
x
O z
y
所求平面方程为 By 3Bz = 0 即: y 3z = 0
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
例2 求通过点 M1 2, 1,1 与M2 3, 2,1 , 且平行于 z 轴的平面的方程. 解:设平行于 z 轴的平面的方程为
Ax By D 0,
又所求平面过点M1M2的中点M0(2,-1,1)，故 平面的点法式方程为
(x-2)+(y+1)-2(z-1)=0 整理得 x+y-2z+1=0
M1 M2
z
M0
M
n
由平面的点法式方程
o
y
x
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0 Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
y
x
M 0 M n ( x x0 , y y0 , z z0 ) ( A, B , C )
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
平面的点法式方程
平面上的点都满足上述方程，不在平面 上的点都不满足上述方程，上述方程称为平 面的方程，平面称为方程的图形．
类似地可讨论 A C 0, B C 0 情形.
例3: 求通过x 轴和点(4, 3, 1)的平面方程.
解: 由于平面过x 轴, 所以 A = D = 0. 设所求平面的方程是 By + Cz = 0 又点(4, 3, 1)在平面上, 所以 3 B C = 0 C = 3B
(垂直于平面内的任一向量)．
x
则平面上的任一点 M ( x , y , z ) 满足几何条件
M0 M n M0 M n 0
代入向量的坐标
其中法向量 n ( A, B, C ),
z
M0
M
n
已知定点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ).
M0 M n M0 M n 0
z
Q(0, b,0) 、 R(0,0, c )（其中a 0 ，b 0 ， c0 ） ，
求此平面方程.
c
o
y
解
设平面为 Ax By Cz D 0,
aA D 0, a 将三点坐标代入得 bB D 0, x cC D 0, D D D A , B , C . a b c
例4.2. 求过点 M1(2, 1, 4), M2(1, 3, 2) 和
M3(0, 2, 3) 的平面方程.
z
M3
因为通过点 M1 2, 1,1 与M2 3, 2,1 , 所以有
2 A B D 0, 3 A 2 B D 0,
A D, B D.
因此所求方程为
x y 1 0.
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
例2 求通过点 M1 2, 1,1 与M2 3, 2,1 , 且平行于 z 轴的平面的方程. 解法二：M1M 2 1, 1,0 ,
x
a
b
x y z 1 平面的截距式方程 a b c
x 轴上截距
y 轴上截距
z 轴上截距
例6 求平面 6 x y 4 z 5 0 与三个坐标面所围四 面体的体积 .
解 把平面方程化为截距式
z
x y z 1, 5/6 5 5/4
x
o
y
1 5 5 125 V 5 . 6 6 4 144
z 轴方向为 0,0,1 ,
n 1, 1,0 0,0,1 ,
即
i j k n 1 1 0 0 0 1
1 i j.
z
M2
因此平面方程为 1 x 2 y 1 0, 即 x y 1 0.
x
M1
y
n
例4
设平面与x , y , z 三轴分别交于P (a ,0,0) 、