双口网络的等效电路
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简单电路分析3二端口网络Circuits_Lec4
i2
+ u2
法1
Gb Gc Gb Ga Gc
u2 0
u1
i1
u1 0
Ga
i2
u2
+
i1 Ga Gb G11 u2 0 u1 i2 G21 u2 0 Gb u1 i1 G12 u1 0 Gb u2 G22 i2 u2
u2 0
Gb Gc
35二端口网络的等效电路等效电路r参数1111iru端口vcr相同rri212221121121iirruu22212122i12rriru二端口吸收的功率pu1i1u2i236g参数22212122121111ugugiugugi37h参数22212122121111uhihiuhihu38t参数没有直接的拓扑结构对应利用参数比较的方法求等效电路111i1ur1r22ir32ur21t21r1t11r3t221t211t21112121222222uitututitiriu111322uriurir12u223212ii1r312132211r1rrrruurrirr321222ii39二端口网络的联接级联串联并联级联将一个二端口的输出端直接与另一个端口的输入端相连的方式特征前一个双口的输出端口电压与后一个双口的输入端口电压相等前一个双口的输出端口电流与后一个双口的输入端口电流大小相等方向相反
G12 G22
（电气）对称二端口：端口互换后对外特性完全一样。
G11=G22 G12=G21
（电气）对称二端口
对称二端口， G中有2个独立参数 激励无论加在那个端口上，相应端口上的响应不变。 电气对称二端口 结构对称二端口（从结构上看拓扑 结构元件参数一致）
18
§6-5 含独立源双口网络的等效电路
1.5 0.5 R= 0.5 0.5来自 计算双口网络两个端口的开路电压
uoc1 = 2.5V uoc2 = 0.5V
写出含源双口网络矩阵形式的流控表达式
u1 1.5 0.5i1 2.5V u = 0.5 i + 0.5V 2 0.5 2
图6－23 －
2 将电流源开路，电压源短路，按照上一节介绍的方法求得 将电流源开路，电压源短路， 短路电导参数矩阵
§6－5 含独立源双口网络的等效电路 －
前面讨论了不包含独立源线性电阻双口网络参数的 计算。当双口网络包含独立源时，如图6－ 所示， 计算。当双口网络包含独立源时，如图 －22(a)所示， 所示 这些独立电源在端口会产生开路电压和短路电流。 这些独立电源在端口会产生开路电压和短路电流。
图6－22(a)所示双口网络的流控表达式为 － 所示双口网络的流控表达式为
时间 2:54 3:02 3:00
名 称 1 3 5 7 双口电阻参数测量 双口混合参数测量 双口传输参数测量 互易定理实验
时间 2:57 3:13 2:58 3:22 2 4 6
名
称
双口电导参数测量 双口混合2参数测量 双口混合2 双口传输2 双口传输2参数测量
郁金香
相应的等效电路如图6－ 所示。 相应的等效电路如图 －22(c)所示。 所示
例6－11 求图 －23所示含独立电源双口网络的流控表达式 － 求图6－ 所示含独立电源双口网络的流控表达式 和压控表达式
图6－23 －
将电流源开路，电压源短路， 解：1 将电流源开路，电压源短路，按照上一节介绍的方法 求得开路电阻参数矩阵
1 1 G= S 1 3
计算双口网络两个端口的短路电流
isc1 = 2A isc2 = 1A
双口网络的等效电路
双口网络的等效电路
双口网络用某个等效电路来替代时，等效电路必须和原网络具有相同的外部特性。
对于无独立源和受控源的双口网络，可以用三个独立参数来表征它。
通常，一组确定的参数所对应的电路是不唯一的，其中最简单的有三个阻抗或导纳元件组成的等效电路。
图5-7-1 所示的T 型和型电路即为最简双口网络等效电路。
图5-7-1
对于T 型等效电路，如果一个双口网络的参数已知，则可采用反推法来计算出等效电路的阻抗。
若已知双口网络的开路参数Z，则可根据图5-7-1a 算出T 型等效电路的Z 参数为：
由上式解出：
（5-7-1）
若Z 参数已知，可立即得到T 型等效电路的三个阻抗值。
如果已知双口网络的传输参数，则先计算T 型等效电路的传输参数：
，，
由上面三式得：
（5-7-2）
若双口网络的传输参数已知，则可由上式得到T 型等效电路的阻抗值。
tips:感谢大家的阅读，本文由我司收集整编。
仅供参阅！。
双口网络
1 i1
i2 2
N
1 i1
i2 2
特别地，当
i1 i1
i2 i2
称此四端网络为双口网络（二端口网络）。
习惯上称 11 端口为输入口，2 2 端口为输出端口。
因此双口网络的四个端口变量分别为
u1, i1, u。2 , i2
5.2 双口网络的参数及其方程
5.2.1 双口网络的开路电阻参数（R 参数）
Rs
I1
I2
Us
U1
N
U2
RL
采用方法：（1）双口网络的VAR方程 （2）双口网络两端外接电路的方程
UU12
U
s Rs RL I 2
I1
联立求解即可。
5.6 含运算放大器的电阻电路的分析
1. 运放及其特性
（1） 运放的电路符号 运算放大器,简称运放，是目前获得广泛应用的多端
器件，因为它能完成加法、减法、微分、积分等运算， 所以称为运算放大器。虽然运算放大器有许多端钮，但 仅有四个端钮可与外部电路连接，因此，从电路角度来 看，运放可作为一个四端器件，它的电路符号为
I1
R12 (I1
R11 R12
I2)
(
R22 R12
R22 R12
)
I-2
(+R21
R12 )I1
I2
+
(R21 R12 )I1
+
U1
-
R12
U2
-
如果网络是互易的，上图变为T型等效电路。
2.G 参数表示的等效电路
I1 I2
G11U1 G21U1
G12U2 G22U2
方法一:直接由参数方程得到等效电路。
双口网络的等效电路
U
电路分析基础课程
全部内容结束
希望在复习考试阶段努力 培养你的总结归纳能力；
预祝同学们考出好成绩！
14
8
方法一：用参数方程和端口方程
ZS
U1
I1
I2
U2
US
N
ZL
其中有参数方程两个： I1 Y11U1 Y12U 2 如Y参数方程 I 2 Y21U1 Y22U 2 端口方程两个：
U 1 U S Z S I1 U Z I
(3)试求获得最大功率时的负 载阻抗和负载获得的最大功率。
500 I1
10.5k 1500I1
600
500
I2
U OC 1500I1 500 I1 833.33V
求等效电阻：(如图所示)
500V
I1
5k
故，获得最大功 U 1000 R0 10500 10833.33 率的负载应为： L R0 10833.33 Z I 3 2 U OC 833.332 负载获得的最大功率为 P2 max 16.03W 4 R0 4 10833.33
I2
U2
数可 方证用 程明网 其孔 方法 程列 就网 是孔 Z方 参程
2
Y参数方程及等效电路
返回
Y参数方程为
I1 Y11U1 Y12U 2 I 2 Y21U1 Y22U 2
受控源等效电路： 直接根据Y参数方程画出。
U1 I1 I2
第十一章二端口网络解析
电工基础
第二节 二端口网络的参数方程
一、导纳参数方程
1. 导纳参数方程
I1 I2
Y11U1 Y12U 2 Y21U1 Y22U 2
上式也称为Y参数方程，式中Y11、Y12、Y21、Y22
称为 Y参数，具有导纳的性质，是一组只与网络内
部结构、参数及电源频率有关而与电源大小无关的
参数。
电工基础
3. A参数矩阵
A=
A
A11 A21
A12
A22
线性无源二端口网络即互易二端口网络的A参数中只
有三个是独立的。存在
A11 A22 A12 A21 1
电工基础
第二节 二端口网络的参数方程
四、混合参数方程
1. 混合参数方程
U1 H11I1 H12U 2
I2
H 21I1
H 22U 2
•
•
•
•
图示网络P 满足端口条件 I 1 I1'
;I2
I
' 2
形成两个端口,称之为二端口网络或双口网络。
电工基础
第一节 二端口网络的概念
二端口网络内部含有电源(包括独立电源和受控电源) 时称为含源二端口网络；内部没有电源时称为无源二端口 网络。根据构成网络的元件是线性还是非线性，二端口网 络又可以分为线性和非线性两种。
第十一章 二端口网络
本章重点 二端口网络的参数方程 二端口网络的等效电路
电工基础
第十一章 二端口网络
主要内容 第一节 二端口网络的概念 第二节 二端口网络的参数方程 第三节 二端口网络的特性阻抗 第四节 二端口网络的等效电路 第五节 二端口网络的连接 第六节 理想变压器 本章小结
电工基础
第一节 二端口网络的概念
第二节 二端口网络的参数方程
一、导纳参数方程
1. 导纳参数方程
I1 I2
Y11U1 Y12U 2 Y21U1 Y22U 2
上式也称为Y参数方程，式中Y11、Y12、Y21、Y22
称为 Y参数，具有导纳的性质，是一组只与网络内
部结构、参数及电源频率有关而与电源大小无关的
参数。
电工基础
3. A参数矩阵
A=
A
A11 A21
A12
A22
线性无源二端口网络即互易二端口网络的A参数中只
有三个是独立的。存在
A11 A22 A12 A21 1
电工基础
第二节 二端口网络的参数方程
四、混合参数方程
1. 混合参数方程
U1 H11I1 H12U 2
I2
H 21I1
H 22U 2
•
•
•
•
图示网络P 满足端口条件 I 1 I1'
;I2
I
' 2
形成两个端口,称之为二端口网络或双口网络。
电工基础
第一节 二端口网络的概念
二端口网络内部含有电源(包括独立电源和受控电源) 时称为含源二端口网络；内部没有电源时称为无源二端口 网络。根据构成网络的元件是线性还是非线性，二端口网 络又可以分为线性和非线性两种。
第十一章 二端口网络
本章重点 二端口网络的参数方程 二端口网络的等效电路
电工基础
第十一章 二端口网络
主要内容 第一节 二端口网络的概念 第二节 二端口网络的参数方程 第三节 二端口网络的特性阻抗 第四节 二端口网络的等效电路 第五节 二端口网络的连接 第六节 理想变压器 本章小结
电工基础
第一节 二端口网络的概念
23二端口网络参数及等效电路
_
2'
R1 0
H
1
R2
电路
南京理工大学
四、传输方程和T参数
传输方程和T参数
.1 I 1
+
.U_1
N
1’
. I 2 2 + .U_2 2’
取U 2, ( I 2 )作自变量，取U1, I1为因变量
U 1 AU 2 B( I 2 ) I1 C U 2 D( I 2 )
(1) ，求T参数
(2)
解：由(2)式：I1 1 U 2 Z22 ( I 2 ) (3)
Z21
Z21
将(3)式代入(1)式得：
U1
Z11 U 2 Z 21
Z 22 Z11 Z21
(
I2)
Z12 ( I 2 )
Z11 U 2 Z21
Z22Z11 Z12Z21 Z21
(
对称二端口满足：AD – BC = 1, A=D
选用二端口网络何种参数要看实际需要。 如分析晶体管等效电路常用H参数和Y参数； 分析电力系统级联网络则常用T参数。 选择的原则在于：便于分析和易于实际测量
电路
南京理工大学
四、传输方程和T参数
例：已知
U
1
Z11
I1
Z12
I
2
U 2 Z21 I 1 Z22 I 2
j4
j3
S
电路
南京理工大学
二、导纳方程和Y参数
例：求如图所示二端口的Y参数
I 1 1Ω
1
+
U1
_
1'
2Ω I 2
2'
R1 0
H
1
R2
电路
南京理工大学
四、传输方程和T参数
传输方程和T参数
.1 I 1
+
.U_1
N
1’
. I 2 2 + .U_2 2’
取U 2, ( I 2 )作自变量，取U1, I1为因变量
U 1 AU 2 B( I 2 ) I1 C U 2 D( I 2 )
(1) ，求T参数
(2)
解：由(2)式：I1 1 U 2 Z22 ( I 2 ) (3)
Z21
Z21
将(3)式代入(1)式得：
U1
Z11 U 2 Z 21
Z 22 Z11 Z21
(
I2)
Z12 ( I 2 )
Z11 U 2 Z21
Z22Z11 Z12Z21 Z21
(
对称二端口满足：AD – BC = 1, A=D
选用二端口网络何种参数要看实际需要。 如分析晶体管等效电路常用H参数和Y参数； 分析电力系统级联网络则常用T参数。 选择的原则在于：便于分析和易于实际测量
电路
南京理工大学
四、传输方程和T参数
例：已知
U
1
Z11
I1
Z12
I
2
U 2 Z21 I 1 Z22 I 2
j4
j3
S
电路
南京理工大学
二、导纳方程和Y参数
例：求如图所示二端口的Y参数
I 1 1Ω
1
+
U1
_
1'
2Ω I 2
§5-3 双口网络的T型与II型等效电路
1
U1
Yb Ya Yc
I2 YU1
U2
Ya Y11 Y12 , Yb Y12 , Yc Y22 Y12
X
例题
已知某不含独立源的双口网络的阻抗矩阵
1 7 ，求此双口网络的等效电路。 8 7
解： Z12 Z 21，所词此双口网络是非互易的，其T型等效 因为
电路及其参数分别如下： 3 1 2 Z a Z11 Z12 1 7 7 7
I1
+ -
3 7 Z 为： 4 7
I2 +
+
7 8 1 Z c Z 22 Z12 1 Z Z Z 4 1 5 21 12 7 7 7 7 7
-
-
X
2.型等效电路（不含独立源）
2.2 非互易双口网络的型等效电路
I1 Y11U1 Y12U 2 I 2 Y21U1 Y22U 2 Y12U1 Y22U 2 (Y21 Y12 )U1 其中： Y21 Y12 , Y
I
Z b Z12
U1
Za
Zb
Z c ZI 1
U2
-
Y12U 2 将方程 改写为如下形式： I 2 Y21U1 Y22U 2 I1 Y11 Y12 U1 Y12 U1 U 2 YaU1 Yb U1 U 2 I 2 Y22 Y12 U 2 Y12 U 2 U1 YcU 2 Yb U 2 U1 Y 其中： a Y11 Y12 Yb Y12 Y21 Yc Y22 Y12
U1
Yb Ya Yc
I2 YU1
U2
Ya Y11 Y12 , Yb Y12 , Yc Y22 Y12
X
例题
已知某不含独立源的双口网络的阻抗矩阵
1 7 ，求此双口网络的等效电路。 8 7
解： Z12 Z 21，所词此双口网络是非互易的，其T型等效 因为
电路及其参数分别如下： 3 1 2 Z a Z11 Z12 1 7 7 7
I1
+ -
3 7 Z 为： 4 7
I2 +
+
7 8 1 Z c Z 22 Z12 1 Z Z Z 4 1 5 21 12 7 7 7 7 7
-
-
X
2.型等效电路（不含独立源）
2.2 非互易双口网络的型等效电路
I1 Y11U1 Y12U 2 I 2 Y21U1 Y22U 2 Y12U1 Y22U 2 (Y21 Y12 )U1 其中： Y21 Y12 , Y
I
Z b Z12
U1
Za
Zb
Z c ZI 1
U2
-
Y12U 2 将方程 改写为如下形式： I 2 Y21U1 Y22U 2 I1 Y11 Y12 U1 Y12 U1 U 2 YaU1 Yb U1 U 2 I 2 Y22 Y12 U 2 Y12 U 2 U1 YcU 2 Yb U 2 U1 Y 其中： a Y11 Y12 Yb Y12 Y21 Yc Y22 Y12
152二端口等效网络PPT课件
Z11=Z1+Z2 Z12=Z21=Z2 Z22=Z2+Z3
从而得 T 形电路的阻抗
Z 1 Z 11 Z 12
•
I 1 Z1
Z3
Z 2 Z 12 Z 21 Z 3 Z 22 Z 21
+
•
U1
Z2
图（a）
•
I2
+
•
U2
互易网络
Z12=Z21
•
I1
Z11-Z12
+
•
U1
Z12
Z22-Z12
注意 (1) 两个二端口并联时，其端口条件可能被破坏, 此时上 述关系式就不成立。例如：
2A 1A
+
5
10V
10
2A 1A
1A
2.5
2A 1A
++
5V 10V
1A 2.5 1A 2.5
1A
+
5V
1A
4A
+
10V
4A
YYY
2A 1A
1A
104A 2A5 2.5来自1A 2A-1A
2.5 2A
0
2.5 0
•
I1
+
•
U1
Y2
Y1
Y3
图（b）
•
I2
+
•
U2
若二端口内部含有受控源，则二端口的4个参数是相互独立 的。电路如图所示：
I1=Y11U1+Y12U2
I2=Y12U1+Y22U2+(Y21-Y12)U1
•
I1
-Y12
•
I2
+
电路分析 第5章 双口网络(new)
⎧ ⎨
i1
⎩i2
= =
g11 u1 + g 21 u1 +
g12 u 2 g 22 u2
i1
i2
+
+
u1
N
u2
−
−
g11
=
i1 u1
u2 =0
g11是输出端口短路时 输入端的驱动点电导
g12
=
i1 u2
u1 =0
g12是输入端口短路 时的反向转移电导
g21
=
i2 u1
u2 =0
电导参数又称为 短路电导参数
g22
=
i2 u2
u1 =0
g21是输出端口短路 时的正向转移电导
g 22是输入端口短路时 输出端的驱动点电导
例
i1
+
u1 =u01
−
G3
G1
G2
i2 +
u_22 =0
求G参数矩阵
( ) g11
=
i1 u1
u2 =0
=
G1 + G3 u1
u1 = G1 + G3
g21
=
i2 u1
u2 =0
=
− G3u1 u1
端口物理量4个
u1 u2 i1 i2
端口电压电流有六种不同的方程来表示，即可用六 套参数描述二端口网络。
u1 ⇔ i1 u2 i2
u1 ⇔ u2 i1 i2
u1 ⇔ i1 i2 u2
1
1. R参数矩阵
线性电阻双口网络的流控表达式(即以电流为自变
量的表达式)为:
i1
i2
⎧ ⎨
u1
⎩u2
双口网络的相量模型综述
0 I 2பைடு நூலகம்
U Z12 1 I 2 Z 22 U 2 I 2
1
0 I 1
1
0 I 2
(1 j1)
0 I 1
二、双口网络端接负载时的输入阻抗
与电阻双口网络相似，当双口网络端接负载ZL=1/YL
时的输入阻抗和输入导纳为
Z12 Z 21 Z in Z11 Z 22 Z L Y12Y21 Yin Y11 Y22 YL
(10 51) (10 52) (10 53) (10 54) (10 55) (10 56)
从这六种电压电流关系中，得到表示双口网络特性的 六种参数。这几种参数矩阵之间满足以下关系
Z Y 1 HH T T
' 1 ' 1
Y Z 1 ' 1 H H ' 1 T T
得到图(b)所示等效电路，由此求得
I 1
8 2 2 45 A 1 1 j2
,可以先求出连接负载电阻的戴维宁等 为了求电压 U 2
效电路，其开路电压和输出阻抗为
2 8 0 U U Z I 4 0 V oc 2 I 21 1 0 2 1 3 Z12 Z 21 j6 2 Z o Z 22 j3 0 Z11 Z S 31
这是一个电压源，最后得到
U2 Uoc 40 V
三、互易双口网络相量模型的等效电路
当双口网络由线性时不变电阻、电感、电容和理想变 压器组成时，称为互易双口网络，其Z参数和Y参数存在以 下关系
Z12 Z21
Y12 Y21
(10 60)
在这种情况下，双口网络存在T型和П型等效电路，其 参数关系如图10-50所示:
U Z12 1 I 2 Z 22 U 2 I 2
1
0 I 1
1
0 I 2
(1 j1)
0 I 1
二、双口网络端接负载时的输入阻抗
与电阻双口网络相似，当双口网络端接负载ZL=1/YL
时的输入阻抗和输入导纳为
Z12 Z 21 Z in Z11 Z 22 Z L Y12Y21 Yin Y11 Y22 YL
(10 51) (10 52) (10 53) (10 54) (10 55) (10 56)
从这六种电压电流关系中，得到表示双口网络特性的 六种参数。这几种参数矩阵之间满足以下关系
Z Y 1 HH T T
' 1 ' 1
Y Z 1 ' 1 H H ' 1 T T
得到图(b)所示等效电路，由此求得
I 1
8 2 2 45 A 1 1 j2
,可以先求出连接负载电阻的戴维宁等 为了求电压 U 2
效电路，其开路电压和输出阻抗为
2 8 0 U U Z I 4 0 V oc 2 I 21 1 0 2 1 3 Z12 Z 21 j6 2 Z o Z 22 j3 0 Z11 Z S 31
这是一个电压源，最后得到
U2 Uoc 40 V
三、互易双口网络相量模型的等效电路
当双口网络由线性时不变电阻、电感、电容和理想变 压器组成时，称为互易双口网络，其Z参数和Y参数存在以 下关系
Z12 Z21
Y12 Y21
(10 60)
在这种情况下，双口网络存在T型和П型等效电路，其 参数关系如图10-50所示:
双口网络的等效参数与联接
其中： A U 1
U 2 I2 0
C I1 U 2 I2 0
，
B U1 I2 U2 0
， D I1
I2 U2 0
2．双口电路连接的有效性测试 两个双口电路相互连接在一起后，假设各自的端口
电流约束条件不被破坏，那么两者的连接有效。两个双 口电路之间的连接是否有效，可通过有效性测试判定。
二端口网络的联接 串联 并联 串并联 并串联 级联
本卷须知
1. 测量时注意电流表的极性。 2. 测量过程中，双口网络的内部构造不能改变。
实验标准报告
一、实验目的
1. 测量无源线性双口网络的等效参数。 2. 研究双口网络的联接方式。
二、实验内容 分别测量双口电路1的Z、Y、H和T参数。 分别测量双口电路2的Z、Y、H和T参数。 对双口电路1和双口电路2分别进展串、并联
假设以端口电压U 2 和端口电流 I 2 为独立变量， 那么
双口UI网11络CAU的U22特D性B((方II22程)) 为即：：U I11C A D B UI22T UI22
其中：
A U1 U 2 I1 0
C I1 U 2 I1 0
B U1 I2 U2 0
D I1 I2 U2 0
即：
U U12ZZ1211 ZZ1222II12
其中：
Z 11
U1 I1
I2 0
，Z 12
U1 I2
I1 0
Z 21
U2 I1
I2 0
，Z 2 2
U2 I2
I1 0
假设用电压表示电流的双口网络特性方程为：
I1 Y11U1 Y，12U2
即：
I2 Y21U1 Y22U2
II12 YY1211
§6-1双口网络的电压电流关系
§6-1双口网络的电压电流关系
目录
• 双口网络基本概念 • 阻抗参数与导纳参数 • 传输参数与混合参数 • 端口电压电流关系分析 • 双口网络等效电路模型 • 双口网络应用举例
01 双口网络基本概念
双口网络定义及特点
双口网络定义
双口网络是指具有两个端口的电路网络，每个端口都有两个端子，可以分别接 入电路中的电压和电流。
混合参数定义及计算
混合参数定义
混合参数（Hybrid Parameters）是双口网络的另一种参数表示方法，它同时考虑了网络的传输特性和反 射特性。混合参数包括h参数、g参数等。
混合参数计算
混合参数的计算方法与传输参数类似，也需要测量双口网络的端口电压和电流，并利用相应的公式进 行求解。不同类型的混合参数（如h参数、g参数）具有不同的计算公式和物理意义。
Z表示，单位为欧姆(Ω)。
阻抗计算
阻抗可以通过端口电压和电流的 测量值计算得到，即Z=U/I，其 中U和I分别为端口电压和电流的
相量。
阻抗性质
阻抗是一个复数，包含实部和虚 部，实部表示电阻，虚部表示电 抗。阻抗的模表示电压与电流的 幅值比，阻抗的辐角表示电压与
电流的相位差。
导纳参数定义及计算
01
导纳定义
应用场景
T型等效电路常用于分析 传输线、滤波器等双口网 络的特性。
Π型等效电路模型
电路结构
Π型等效电路由三个阻抗元件组 成，呈Π字形连接。
电压电流关系
与T型等效电路类似，通过解析电 路结构，可以得到Π型等效电路中 电压与电流之间的数学关系。
应用场景
Π型等效电路也常用于分析传输线、 滤波器等双口网络的特性，特别适 用于需要考虑信号源内阻和负载阻 抗的情况。
目录
• 双口网络基本概念 • 阻抗参数与导纳参数 • 传输参数与混合参数 • 端口电压电流关系分析 • 双口网络等效电路模型 • 双口网络应用举例
01 双口网络基本概念
双口网络定义及特点
双口网络定义
双口网络是指具有两个端口的电路网络，每个端口都有两个端子，可以分别接 入电路中的电压和电流。
混合参数定义及计算
混合参数定义
混合参数（Hybrid Parameters）是双口网络的另一种参数表示方法，它同时考虑了网络的传输特性和反 射特性。混合参数包括h参数、g参数等。
混合参数计算
混合参数的计算方法与传输参数类似，也需要测量双口网络的端口电压和电流，并利用相应的公式进 行求解。不同类型的混合参数（如h参数、g参数）具有不同的计算公式和物理意义。
Z表示，单位为欧姆(Ω)。
阻抗计算
阻抗可以通过端口电压和电流的 测量值计算得到，即Z=U/I，其 中U和I分别为端口电压和电流的
相量。
阻抗性质
阻抗是一个复数，包含实部和虚 部，实部表示电阻，虚部表示电 抗。阻抗的模表示电压与电流的 幅值比，阻抗的辐角表示电压与
电流的相位差。
导纳参数定义及计算
01
导纳定义
应用场景
T型等效电路常用于分析 传输线、滤波器等双口网 络的特性。
Π型等效电路模型
电路结构
Π型等效电路由三个阻抗元件组 成，呈Π字形连接。
电压电流关系
与T型等效电路类似，通过解析电 路结构，可以得到Π型等效电路中 电压与电流之间的数学关系。
应用场景
Π型等效电路也常用于分析传输线、 滤波器等双口网络的特性，特别适 用于需要考虑信号源内阻和负载阻 抗的情况。
二端口网络
11 二端口网络
11-1 二端口网络 11-2 二端口网络的方程与参数 11-3 二端口网络的等效电路 11-5 二端口网络的连接
11-1 二端口网络
具有多个端子与外电路连接的网络 （或元件），称为多端网络（或多端元 件）。在这些端子中，若在任一时刻， 从某一端子流入的电流等于从另一端子 流出的电流，这样一对端子，称为一个 端口。二端网络的两个端子就满足上述 端口条件，故称二端网络为单口网络。 假若四端网络的两对端子分别均满足端 口条件，称这类四端网络为二端口网络 ，也称双口网络。
图11-1单口网络与双口网络
通常，只讨论不含独立电源、初始储能 为零的线性二端口网络，现分别介绍它 们的表达式。
本章仅讨论实际应用较多的四种参数： Z参数、Y参数、H参数和A参数。
并注意与第九章9-1(次级不是开路就是 短路)的不同。
11-2 二端口网络的方程与参数
11-2-1 Z参数
若将二端口网络的端口电流作为自变量，则
,
AD
BC
Y11Y22 Y221
Y
1
可见，无源二端口网络只有三个参数是独
立的。
3.对于既无源又对称的二端口网络，由 于输入端口和输出端口的阻抗或导纳相 等，故四个参数中只有两个是独立的。
下面举例说明已知双口网络，求双口网络 参数的方法：
1.直接应用定义来做；
例：试求下图所示二端口网络的Z参数。
。
3 8
U 1
1 12
U
2
I1
1 8
U 1
1 4
U
2
I2
3
Y
81 81 12Fra bibliotek1 4
这就是Y参数的方程和Y参数矩阵。如
11-1 二端口网络 11-2 二端口网络的方程与参数 11-3 二端口网络的等效电路 11-5 二端口网络的连接
11-1 二端口网络
具有多个端子与外电路连接的网络 （或元件），称为多端网络（或多端元 件）。在这些端子中，若在任一时刻， 从某一端子流入的电流等于从另一端子 流出的电流，这样一对端子，称为一个 端口。二端网络的两个端子就满足上述 端口条件，故称二端网络为单口网络。 假若四端网络的两对端子分别均满足端 口条件，称这类四端网络为二端口网络 ，也称双口网络。
图11-1单口网络与双口网络
通常，只讨论不含独立电源、初始储能 为零的线性二端口网络，现分别介绍它 们的表达式。
本章仅讨论实际应用较多的四种参数： Z参数、Y参数、H参数和A参数。
并注意与第九章9-1(次级不是开路就是 短路)的不同。
11-2 二端口网络的方程与参数
11-2-1 Z参数
若将二端口网络的端口电流作为自变量，则
,
AD
BC
Y11Y22 Y221
Y
1
可见，无源二端口网络只有三个参数是独
立的。
3.对于既无源又对称的二端口网络，由 于输入端口和输出端口的阻抗或导纳相 等，故四个参数中只有两个是独立的。
下面举例说明已知双口网络，求双口网络 参数的方法：
1.直接应用定义来做；
例：试求下图所示二端口网络的Z参数。
。
3 8
U 1
1 12
U
2
I1
1 8
U 1
1 4
U
2
I2
3
Y
81 81 12Fra bibliotek1 4
这就是Y参数的方程和Y参数矩阵。如
二端口网络等效电路
•
I1
2
+
•
3 / 0° U–1
4Z12
Z–224––Zj132
+ U–•2
1’
2’
I2
j 0.75 4 - j4
4 U2 0.53 /
135°V
一、非互易 Z 参数等效电路
U1 Z11I1 Z12I2 (Z11 Z12 )I1 Z12(I1 I2 )
U2 Z21I1 Z22I2
Z12 (I1 I2 ) (Z21 Z12 )I1 (Z22 Z12 )I2
1
•
I1
•
1 I1 Z1
+
U–• 2
Z3
•
Z2 I2 2
+ U–• 2
1’
T
型(星型)等效电路2’
Z12 = Z21 Y12 = Y21 AD – BC = 1
H12 = – H21
•
1 I1
Y3
+
U–• 2 Y1
Y2
•Hale Waihona Puke I2 2+ U–• 2
1’
2’
型(三角形)等效电路
第10章 二端口网络
一、T 型等效电路
I2 Y22U2 Y21U1
Y12 (U2 U1 ) (Y22 Y12 )U2 (Y21 Y12 )U1
1
•
I1
Y12U2
Y21U1
•
I22
+• U–1 Y11
+• Y22 U–2
1’
2’
双受控源等效电路
1
•
I1
– Y12
电路分析第十章-二端口网络
2‘
双口网络参数间的相互换算
一般情况下，一个双口网络可以用以上四种参数中 的任何一种进行描述 （只要它的各组参数有意义），这 四种参数之间可以相互转换
Y参数方程
I1
I2
= =
Y11U1 Y21U1
+ Y12U 2 + Y22U 2
Z参数方程
U1 = Z11I1 + Z12I2 U 2 = Z21I1 + Z22I2
Y参数与Z参数的关系
I1 I2
=
[Y
]
UU12
UU12
=
[Z
]
II12
I1 I2
=
[Y
][Z
]
I1 I2
∴[Y][Z]=[E] [Y]=[Z]-1 [Z]=[Y]-1
例10.2-4: 求图(a) 所示电路的Z参数矩阵和Y参数矩阵。 .
3U3
.
1 I1
2Ω
+. U1
. 1 I1 Z1 +. U1 -
Z3
. I2 2
Z2
- +.
(Z21-Z12)I1
+. U2
-
1‘
2‘
图(b) 含受控源的T形等效电路
Z2 Z1
= Z12 = Z11 −
Z12
Z3 = Z 22 − Z12
U1 = Z11I1 + Z12I2 = Z11I1 + Z21I2 + (Z12 − Z21)I2 U 2 = Z21I1 + Z22 I2
1Ω
+ .2I1 2Ω
+. U3
. I2 2
+. U2
1‘
解：由Z参数方程：
双口网络参数间的相互换算
一般情况下，一个双口网络可以用以上四种参数中 的任何一种进行描述 （只要它的各组参数有意义），这 四种参数之间可以相互转换
Y参数方程
I1
I2
= =
Y11U1 Y21U1
+ Y12U 2 + Y22U 2
Z参数方程
U1 = Z11I1 + Z12I2 U 2 = Z21I1 + Z22I2
Y参数与Z参数的关系
I1 I2
=
[Y
]
UU12
UU12
=
[Z
]
II12
I1 I2
=
[Y
][Z
]
I1 I2
∴[Y][Z]=[E] [Y]=[Z]-1 [Z]=[Y]-1
例10.2-4: 求图(a) 所示电路的Z参数矩阵和Y参数矩阵。 .
3U3
.
1 I1
2Ω
+. U1
. 1 I1 Z1 +. U1 -
Z3
. I2 2
Z2
- +.
(Z21-Z12)I1
+. U2
-
1‘
2‘
图(b) 含受控源的T形等效电路
Z2 Z1
= Z12 = Z11 −
Z12
Z3 = Z 22 − Z12
U1 = Z11I1 + Z12I2 = Z11I1 + Z21I2 + (Z12 − Z21)I2 U 2 = Z21I1 + Z22 I2
1Ω
+ .2I1 2Ω
+. U3
. I2 2
+. U2
1‘
解：由Z参数方程：
29二端口网络方程参数及等效电路
29二端口网络方程参数及等效电路
一、二端口网络方程
二端口网络的方程如下：
V1=Z11I1+Z12I2
V2=Z21I1+Z22I2
其中V1和V2代表两端口的电压，I1和I2代表两端口的电流，Z11、Z12、Z21和Z22代表四个参数，每个参数对应一条电阻等效的连续线。
二、网络方程参数
网络方程的参数：
（1）Z11：端口1的电阻或电抗，它代表端口1电流I1通过端口1
电阻时，端口1的电压。
（2）Z12：端口1和端口2的电阻或电抗，它代表端口1电流I1通
过端口1和端口2电阻时，端口2的电压。
（3）Z21：端口2的电阻或电抗，它代表端口2电流I2通过端口2
电阻时，端口1的电压。
（4）Z22：端口2和端口1的电阻或电抗，它代表端口2电流I2通
过端口2和端口1电阻时，端口2的电压。
三、网络方程等效电路
二端口网络方程可以用下图所示的等效电路来表达：
等效电路中的电压源的电压值与实际网络中可以使用的电压值相同，即V1和V2分别代表端口1和端口2的电压。
同时，Z11、Z12、Z21和
Z22分别代表端口1、端口1和端口2、端口2之间的电阻或电抗。
四、总结
二端口网络方程的形式为：V1=Z11I1+Z12I2；V2=Z21I1+Z22I2，其中V1和V2代表两端口的电压，I1和I2代表两端口的电流。
双口网络的等效电路
Z11称为端口1-1/的输入阻抗 Z22称为端口2-2/的输 入阻抗，Z12、Z21称为转移阻抗。只含线性电阻、电 感（含耦合电感）、电容，不含独立源和受控源的二 端口网络，Z12 = Z21；如果含有受控源，则Z12 ≠ Z21。 对于Z12 = Z21的二端口网络，如果从端口1-1/和端口 2-2/看进去的电气特性是一致的，则还有Z11 = Z22的 关系。
解：首先验证网络的互易性。
AD BC (0 83 j0 8) (3 5 j2 7) (952 j0 48) ( j0 53) 29 j28 j2 24 216 j5 04 0 25 1
此二端口网络为互易网络。
于是，求得等效电路的阻抗值为：
Z1
A 1 C
0 83 j0 8 j0 53
不同的二端口网络参数既然是同一个网络的不同 表述方式，它们之间必然存在着相互转换关系。利用 这种转换关系，知道了某一种参数后，就可求得另一 种参数。这些关系如下表所列。
5.5 双口网络的等效电路
求解二端口网络的等效电路实质上就是根据给定的 二端口网络的参数，确定T形电路的三个阻抗值或∏形 电路的三个导纳值。
解： （1）求短路导纳参数矩阵
•
Y11
I1
•
U1
2 S 02S 10
•
Y21
I2
•
U1
4 S 04S 10
•
Y12
I1 • U2
32S 04S 8
•
Y22
I2
•
U2
6 4 S 08S 8
所以网络的短路导纳矩阵为
Y
0 2 0 4
0 4 0 8S
（2）列出网络的短路导纳方程为
•
•
•
解：首先验证网络的互易性。
AD BC (0 83 j0 8) (3 5 j2 7) (952 j0 48) ( j0 53) 29 j28 j2 24 216 j5 04 0 25 1
此二端口网络为互易网络。
于是，求得等效电路的阻抗值为：
Z1
A 1 C
0 83 j0 8 j0 53
不同的二端口网络参数既然是同一个网络的不同 表述方式，它们之间必然存在着相互转换关系。利用 这种转换关系，知道了某一种参数后，就可求得另一 种参数。这些关系如下表所列。
5.5 双口网络的等效电路
求解二端口网络的等效电路实质上就是根据给定的 二端口网络的参数，确定T形电路的三个阻抗值或∏形 电路的三个导纳值。
解： （1）求短路导纳参数矩阵
•
Y11
I1
•
U1
2 S 02S 10
•
Y21
I2
•
U1
4 S 04S 10
•
Y12
I1 • U2
32S 04S 8
•
Y22
I2
•
U2
6 4 S 08S 8
所以网络的短路导纳矩阵为
Y
0 2 0 4
0 4 0 8S
（2）列出网络的短路导纳方程为
•
•
•
电路-第8章 二端口网络
在工程实际中，研究信号及能量的传输和信号变换时，经常碰到如下形式的电路(或网络)：放大器A滤波器R C C三极管传输线n:1变压器3. 研究二端口网络的意义①两端口的分析方法易推广应用于n端口网络；②大网络可以分割成许多子网络（两端口）进行分析；③仅研究端口特性时，可以用二端口网络的电路模型进行研究。
4. 分析方法①分析前提：讨论初始条件为零的线性无源二端口网络；②找出两个端口的电压、电流关系的独立网络方程，这些方程通过一些参数来表示。
约定端口物理量4个i 1u 1i 2u 2端口电压电流有六种不同的方程来表示，即可用六套参数描述二端口网络。
线性RLCM 受控源i 1i 2i 2i 1u 1+–u 2+–注意1. Z参数和方程将两个端口各施加一电流源，则端口电压可视为电流源单独作用时产生的电压之和。
即：Z 参数方程①Z 参数方程+-+-N其矩阵形式为：Z参数矩阵+-2∙I +-1∙I N②Z 参数的物理意义及计算和测定Z →开路阻抗参数转移阻抗输入阻抗输入阻抗转移阻抗1）互易双口和互易定理互易双口：满足互易定理的双口网络根据互易定理：互易双口满足：1221Z Z ③互易性和对称性互易二端口四个参数中只有三个是独立的。
特点：只含线性非时变二端元件（R 、L 、C ）耦合电感和理想变压器的双口网络注意2）对称双口对称双口：无独立源双口网络，若其两个端口可以互换而不改变外部电路的工作状况，则称该网络为（电气）对称双口网络。
特点：▪对称双口网络的每组参数中只有2个是独立。
▪结构对称的双口网络一定是电气对称的，反之却不一定。
2211Z Z 对称二端口满足:④Z 参数的求解方法1：由定义求得；21U U 、方法2：假定已知，对原电路求解，求出，即得Z 方程。
21I I 、解法1Z bZ aZ c+-+-求图示两端口的Z 参数。
【例8.2.1】解法2列KVL 方程：Z bZ aZ c+-+-求图示两端口的Z参数。
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第10讲 双口网络
重点： 1、双口网络的基本方程及参数； 2、双口网络的等效电路； 3、双口网络的连接； 4、双口网络的应用电路举例。
5.3 双口网络
一、双口网络的定义 有四个（两对）端子与外电路联系的网络，称为 四端网络，也叫双口网络。如变压器、滤波器、放大 器、反馈网络等，如下图（a）、（b）、（c）所示。 对于这些电路，都可以把两对端子之间的电路概括在 一个方框内，如图（d）所示。 根据广义的KCL，流入四端网络四个端子的电流 的代数和恒等于零。
称为二端口的传输参数矩阵，又称
为T参数矩阵。A、B、C、D称为二端口的传输参数。 如分别令输出端口开路与短路， 对于互易二端口网络，由于Y12 = Y21，故有
Y22 Y11 Y11Y22 Y12 1 AD CB ( )( ) ( )(Y12 ) 1 Y21 Y21 Y21 Y21 Y21
说明：
Z参数都是在一个端口开路时确定的参数，所以Z 参数又称为开路Z参数或开路阻抗参数。 Z11称为端口1-1/的输入阻抗 Z22称为端口2-2/的输 入阻抗，Z12、Z21称为转移阻抗。只含线性电阻、电感 （含耦合电感）、电容，不含独立源和受控源的二端 口网络，Z12 = Z21；如果含有受控源，则Z12 ≠ Z21。 对于Z12 = Z21的二端口网络，如果从端口1-1/和端口 2-2/看进去的电气特性是一致的，则还有Z11 = Z22的 关系。
【例10-1】
设有一线性二端口网络，如下图（a）所示。当2-2/ 端口短 路，U1 = 10V时测得I1= 2A，I2= 4A，如图（b）所示；当1-1/ 端口短路，U2= 8V时测得I1= 3.2A，I2= 6.4A，如图（c）所示。 试求：（1）此网络的短路导纳参数矩阵；（2）若要求负载电 压U2= 0.5V，电流I2= 0.5A，测得电源电压、电流为多少？
0 2 0 4 Y S 0 4 0 8
（2）列出网络的短路导纳方程为
I 1 0 2U 1 0 4 U 2
I 2 0 4U 1 0 8 U 2
将已知负载电压U2 = 0.5V，电流I2 = 0.5A代入 第二个方程式，可求得
二、双口网络的分析方法 用二端口概念分析电路，就是要找出它的输入、 输出端口处电压、电流之间的关系。这种关系可以用 一些参数来表示，而这些参数只取决于构成二端口本 身的元件及它们的连接方式。如果能够确定出表征这 个二端口的参数，那么当一个端口的电压、电流发生 变化时，要找出另外一个端口上的电压、电流就比较 容易了。同时，还可以利用这些参数比较不同的二端 口在传递电能和信号方面的性能。这种分析方法有它 的特点，与前面介绍的一端口（二端）网络有相似的 地方。
三、传输参数方程及传输参数
U 1 A B U 2 U 2 T I 1 C D I 2 I 2
A B 式中，T C D
解： （1）求短路导纳参数矩阵
Y11 I1 U1
Y12 I1 U2 Βιβλιοθήκη 2 S 0 2S 10
4 Y21 S 0 4 S U 1 10
I2
I2 U2
3 2 S 0 4S 8
Y22
64 S 0 8S 8
所以网络的短路导纳矩阵为
5.4 双口网络的基本方程及参数
一、导纳参数方程及导纳参数
I 1 Y11 Y12 U 1 U 1 Y I 2 Y21 Y22 U 2 U 2
Y11 Y12 Y Y Y 21 22
其中，
称为二端口网络的导纳参数矩
阵，也叫Y参数矩阵。Y11、Y12、Y21、Y22称为二端口 网络的Y参数。
说明：
Y参数都是在一个端口短路时确定的参数，所以Y 参数又称为短路Y参数或短路导纳参数。一个不知内 部元件参数和结构的二端口可以通过试验测试的端口 电压、电流数据，直接用定义式来确定Y参数；一个 已知元件参数和结构的二端口，也可以通过电路计算 确定Y参数。
三、双口网络的电压电流关系（VCR） 由于二端口网络中共有4个电压电流变量，因此 在描述二端口网络时，可任意选择其中2个作为自变 量，另外2个作为因变量，故二端口网络可有6种不 同的基本描述方式，相对应地有6组基本方程及6种 基本参数。本章介绍其中最常用的4中：Z（阻抗） 参数、Y（导纳）参数、T（传输）参数和H（混合） 参数。
Z11 Z 其中， Z 21
Z 12 I 1 I1 Z Z 22 I I 2 2
Z12 称为二端口网络的阻抗参数矩阵， Z 22
也叫Z参数矩阵。Z11、Z12、Z21、Z22称为二端口网络的 Z参数。
四、混合参数方程及混合参数
U 1 H 11 I 2 H 21
H11 式中，H H 21 H12 H 22
H 12 I 1 I1 H H 22 U U 2 2
0 5 08 0 5 U1 V 0 25 V 04
将U1、U2代入第一个方程式，求得
I 1 (0 2 0 25 0 4 0 5) A 0 25 A
二、阻抗参数方程及阻抗参数
U 1 Z 11 U 2 Z 21
重点： 1、双口网络的基本方程及参数； 2、双口网络的等效电路； 3、双口网络的连接； 4、双口网络的应用电路举例。
5.3 双口网络
一、双口网络的定义 有四个（两对）端子与外电路联系的网络，称为 四端网络，也叫双口网络。如变压器、滤波器、放大 器、反馈网络等，如下图（a）、（b）、（c）所示。 对于这些电路，都可以把两对端子之间的电路概括在 一个方框内，如图（d）所示。 根据广义的KCL，流入四端网络四个端子的电流 的代数和恒等于零。
称为二端口的传输参数矩阵，又称
为T参数矩阵。A、B、C、D称为二端口的传输参数。 如分别令输出端口开路与短路， 对于互易二端口网络，由于Y12 = Y21，故有
Y22 Y11 Y11Y22 Y12 1 AD CB ( )( ) ( )(Y12 ) 1 Y21 Y21 Y21 Y21 Y21
说明：
Z参数都是在一个端口开路时确定的参数，所以Z 参数又称为开路Z参数或开路阻抗参数。 Z11称为端口1-1/的输入阻抗 Z22称为端口2-2/的输 入阻抗，Z12、Z21称为转移阻抗。只含线性电阻、电感 （含耦合电感）、电容，不含独立源和受控源的二端 口网络，Z12 = Z21；如果含有受控源，则Z12 ≠ Z21。 对于Z12 = Z21的二端口网络，如果从端口1-1/和端口 2-2/看进去的电气特性是一致的，则还有Z11 = Z22的 关系。
【例10-1】
设有一线性二端口网络，如下图（a）所示。当2-2/ 端口短 路，U1 = 10V时测得I1= 2A，I2= 4A，如图（b）所示；当1-1/ 端口短路，U2= 8V时测得I1= 3.2A，I2= 6.4A，如图（c）所示。 试求：（1）此网络的短路导纳参数矩阵；（2）若要求负载电 压U2= 0.5V，电流I2= 0.5A，测得电源电压、电流为多少？
0 2 0 4 Y S 0 4 0 8
（2）列出网络的短路导纳方程为
I 1 0 2U 1 0 4 U 2
I 2 0 4U 1 0 8 U 2
将已知负载电压U2 = 0.5V，电流I2 = 0.5A代入 第二个方程式，可求得
二、双口网络的分析方法 用二端口概念分析电路，就是要找出它的输入、 输出端口处电压、电流之间的关系。这种关系可以用 一些参数来表示，而这些参数只取决于构成二端口本 身的元件及它们的连接方式。如果能够确定出表征这 个二端口的参数，那么当一个端口的电压、电流发生 变化时，要找出另外一个端口上的电压、电流就比较 容易了。同时，还可以利用这些参数比较不同的二端 口在传递电能和信号方面的性能。这种分析方法有它 的特点，与前面介绍的一端口（二端）网络有相似的 地方。
三、传输参数方程及传输参数
U 1 A B U 2 U 2 T I 1 C D I 2 I 2
A B 式中，T C D
解： （1）求短路导纳参数矩阵
Y11 I1 U1
Y12 I1 U2 Βιβλιοθήκη 2 S 0 2S 10
4 Y21 S 0 4 S U 1 10
I2
I2 U2
3 2 S 0 4S 8
Y22
64 S 0 8S 8
所以网络的短路导纳矩阵为
5.4 双口网络的基本方程及参数
一、导纳参数方程及导纳参数
I 1 Y11 Y12 U 1 U 1 Y I 2 Y21 Y22 U 2 U 2
Y11 Y12 Y Y Y 21 22
其中，
称为二端口网络的导纳参数矩
阵，也叫Y参数矩阵。Y11、Y12、Y21、Y22称为二端口 网络的Y参数。
说明：
Y参数都是在一个端口短路时确定的参数，所以Y 参数又称为短路Y参数或短路导纳参数。一个不知内 部元件参数和结构的二端口可以通过试验测试的端口 电压、电流数据，直接用定义式来确定Y参数；一个 已知元件参数和结构的二端口，也可以通过电路计算 确定Y参数。
三、双口网络的电压电流关系（VCR） 由于二端口网络中共有4个电压电流变量，因此 在描述二端口网络时，可任意选择其中2个作为自变 量，另外2个作为因变量，故二端口网络可有6种不 同的基本描述方式，相对应地有6组基本方程及6种 基本参数。本章介绍其中最常用的4中：Z（阻抗） 参数、Y（导纳）参数、T（传输）参数和H（混合） 参数。
Z11 Z 其中， Z 21
Z 12 I 1 I1 Z Z 22 I I 2 2
Z12 称为二端口网络的阻抗参数矩阵， Z 22
也叫Z参数矩阵。Z11、Z12、Z21、Z22称为二端口网络的 Z参数。
四、混合参数方程及混合参数
U 1 H 11 I 2 H 21
H11 式中，H H 21 H12 H 22
H 12 I 1 I1 H H 22 U U 2 2
0 5 08 0 5 U1 V 0 25 V 04
将U1、U2代入第一个方程式，求得
I 1 (0 2 0 25 0 4 0 5) A 0 25 A
二、阻抗参数方程及阻抗参数
U 1 Z 11 U 2 Z 21