《高等数学》(Ⅰ)期中试题参考答案

中国石油大学(北京)2007─ 2008学年第一学期

《高等数学》(Ⅰ) 期中考试试题参考答案( 2007.12.1.)

一、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）

M

x f I x M I x f >∈∃>∀)(,,0)(.111有上无界的定义是

区间在函数．

即第一类

且均是跳跃间断点则其间断点及其类别是设,,1,1lim

)(.2212±=+-=+∞

→x x

x x x f n

n n ．

2

3ln ln )

()(lim ),0()(.3a a x a f x f a a a f a

x =

-->='+→+则为常数设．

4. 曲线2

1

11x

e y x

-+=

的垂直渐近线有 3 条？，其方程是1,1,0=-==x x x ． 0

lim

,0)(,)(.5000=

∆-∆≠'=→∆x

dy

y x f x x f y x 则且处可导在点设函数．

二、计算下列极限（本题共3小题，每小题5分，满分15分）

．求且恒不为连续函数为设1

31

sin )(1

lim

,0,]11[)(.10

--+-→x

x x x f ，x f 【解】3ln sin )(lim

2

1)1sin )(1()1(sin )(lim

03

ln 0

x x

x f x x f e x x f x x x →→=++-=原式 3

ln 2)

0(sin lim )(lim 3ln 2100f x x x f x x =

=

→→．◆ 2

1

0sin lim .2x x x x ⎪⎭

⎫ ⎝⎛→．

【解】=

原式2

sin ln lim

x x x x e

→, 又 x x x x x x x x x x x x 2sin cos sin lim sin ln

lim

2

02

-⨯=→→

61

6sin lim 6cos sin cos lim

2sin cos lim

2

3

-=-

=--=-=→→→x x x x

x x x x x

x x x x x ,

6

1-

=∴e

原式．◆

2

1

)!(lim .3n n n ∞

→．

【解】n n

n n n n n

n n ==≤≤

1

1

12

2

)()!(1 ， 且1lim

=∞

→n

n n ，

故由夹逼定理有：1)!(lim 2

1

=∞

→n

n n ．◆

【注】第二法：

2

2

2

ln ...2ln 1ln !

ln 1

)!(n n

n n n

e

e

n +++==

n n n n n n n

n n ln ln ln ...2ln 1ln 1ln 02

2

2

=

≤+++≤

=

0ln lim =+∞

→x x

x 且 0ln lim =∴∞→n n n 0!ln lim

,2

=∞

→n

n TH n 故由夹逼

1)!(lim 0!ln lim

1

2

2

===∴∞

→∞

→e e n n n n

n n

三、求解下列各题（本题共4小题，每小题5分，满分20 分）

试求其一阶导数确定由方程设隐函数,0)(.122

=-=+xy e x y y y

x

．

【解】02)2(:,22

=--+

+dx

dy

xy y dx dy x e x y

x

得求导方程两端关于 xy

e e x y dx dy y x y

x 2222

2--=

∴

++．◆ 2. 设函数)(x f y =由参数方程222

2,arcsin 11dx y d t

t t y e

t x 求确定⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=． 【解】22222

12111221t t t t t dt dy -=-+---= ， 21t

t dt dx --=

t

t dt

dx dt dy

dx dy )1(22-=

=∴)1(2t t -=， dt

dx t t dt dx dx dy dt d dx dy dx d dx y d t 1

)1(21)()(22⨯

'-=⨯==∴t t t --⨯+=221)11(22231)1(2

t t t

-+-=．◆

3.的凹凸性及拐点讨论曲线)0()(>=x x x f x . 【解】),ln 1()(x x x f x +='

),0(:],1

)ln 1[()(2+∞∈++=''D x x

x x x f x

且无拐点为凹曲线恒有上在,)(,0)(),0(:x f x f D ∴>''+∞∴.◆

4.设)(x f 是有连续的二阶导数的偶函数，且0)(≠''x f ，试说明0=x 为)(x f 的极值点. 【解法一】0)0()(='⇒'⇒f x f 为奇函数由题意

,0)0(0)(≠''⇒≠''f x f .0点是极值点知故由极值第二判定定理=x

【解法二】0)(>''x f 不妨

，0)0()(='⇒'⇒f x f 为奇函数由题意

:)(),0(公式为型余项的具有上在Taylor Lagrange x f δ ∴之间介于0,,!

2)()0()(2

x x f f x f ξξ''+=，

)(,0)(>''>''ξf x f 即又，

点是极小值点故成立0,),0()

0()(=∈>∴

x x f x f δ ．◆ 【解法三】0)(>''x f 不妨，0)0()(='⇒'⇒f x f 为奇函数

由题意

0)

(lim )0()(lim

)0(00

>'='-'=''→→x

x f x f x f f x x 由 同号与当x x f x o

)(,),0(,0'∈>∃∴δδ ， ,),0(,0)0,(,0)(⎩

⎨⎧∈>-∈<'δδx x x f 即

.0点是极小值点=∴x