流体力学 第二章 基本方程组
第二章 动量传输基本方程.
2.1 流体运动的描述
研究方法－－（2）欧拉法 欧拉法以流场中某一空间点作研究对象，分析该点 以及该点与其他点之间物理量随时间的变化过程来研究 流体运动情况的。因此，凡是表征流体运动特征的物理 量都可表示为时间 τ 和空间x、y、z的函数。 z着眼点不是流体质点，而是空间点，设法在流体空间的 每一个点上，描述出流体运动随时间变化的状况。 z每一空间点的运动 整个流场的运动状况。 z以速度作为描述流体在空间变化的变量，研究流体速度 在空间的分布。 z欧拉法把流体视为连续介质，用场论的方法研究流体流 动，是一套最重要的研究方案。我们将采用它来研究动 量传输。
第二章 动量传输的基本方程
2.1 流体运动的描述 2.2 连续性方程 2.3 理想流体动量传输微分方程－欧拉方程 2.4 实际流体动量传输方程－纳维尔-斯托克斯方程 2.5 柏努利方程 2.6 柏努利方程的应用 小结
2.1 流体运动的描述
引入场的概念——物理量在空间的分布 流场的概念
流场是指充满运动流体的空间。运动参数表 示流体运动特征的所有物理量，如速度、密度、 压力、粘性力等。流体动力学研究流体质点的运 动参数随时间及空间位置变化的规律。
v v ′(M ′,τ + Δτ ) v v (M , τ )
M′
v ∂v ∂τ
)+
Δτ → 0
M
lim v (M ′ , τ
v dv v (M , τ + Δ τ ) − v (M , τ = lim Δτ dτ Δτ → 0
) − v (M , τ )
Δτ
v v MM ′ v (M ′, τ ) − v (M , τ ) ∂v (M , τ ) v lim lim = Δτ → 0 Δτ MM ′ → 0 ∂S MM ′
第二章--计算流体力学的基本知识
第二章计算流体力学的基本知识流体流动现象大量存在于自然界及多种工程领域中，所有这些工程都受质量守恒、动量守恒和能量守恒等基本物理定律的支配。
这章将首先介绍流体动力学的发展和流体力学中几个重要守恒定律及其数学表达式，最后介绍几种常用的商业软件。
2.1计算流体力学简介2.1.1计算流体力学的发展流体力学的基本方程组非常复杂，在考虑粘性作用时更是如此，如果不靠计算机，就只能对比较简单的情形或简化后的欧拉方程或N-S方程进行计算。
20世纪30～40年代，对于复杂而又特别重要的流体力学问题，曾组织过人力用几个月甚至几年的时间做数值计算，比如圆锥做超声速飞行时周围的无粘流场就从1943年一直算到1947年。
数学的发展，计算机的不断进步，以及流体力学各种计算方法的发明，使许多原来无法用理论分析求解的复杂流体力学问题有了求得数值解的可能性，这又促进了流体力学计算方法的发展，并形成了"计算流体力学"。
从20世纪60年代起，在飞行器和其他涉及流体运动的课题中，经常采用电子计算机做数值模拟，这可以和物理实验相辅相成。
数值模拟和实验模拟相互配合，使科学技术的研究和工程设计的速度加快，并节省开支。
数值计算方法最近发展很快，其重要性与日俱增。
自然界存在着大量复杂的流动现象，随着人类认识的深入，人们开始利用流动规律来改造自然界。
最典型的例子是人类利用空气对运动中的机翼产生升力的机理发明了飞机。
航空技术的发展强烈推动了流体力学的迅速发展。
流体运动的规律由一组控制方程描述。
计算机没有发明前，流体力学家们在对方程经过大量简化后能够得到一些线形问题解读解。
但实际的流动问题大都是复杂的强非线形问题，无法求得精确的解读解。
计算机的出现以及计算技术的迅速发展使人们直接求解控制方程组的梦想逐步得到实现，从而催生了计算流体力学这门交叉学科。
计算流体力学是一门用数值计算方法直接求解流动主控方程(Euler或Navier-Stokes方程)以发现各种流动现象规律的学科。
高等流体力学-流体力学基本方程组ppt
状态方程
总结词
描述流体状态变化的方程
详细描述
状态方程是流体动力学中描述流体状态变化的方程。它 表达了流体的某些物理属性之间的关系。在流体力学中 常用的状态方程包括理想气体状态方程、理想液体状态 方程和真实气体状态方程等。理想气体状态方程通常可 以表示为：$pV = nRT$，其中$p$是压力，$V$是体积， $n$是摩尔数，$R$是气体常数，$T$是温度。理想液体 状态方程通常可以表示为：$rho = text{常数}$。
非线性性
大多数流体力学方程是非线性的，这 意味着它们不满足叠加原理。非线性 方程的解通常更加复杂，可能需要特 定的初始和边界条件来求解。
定常与非定常性
要点一
定常性
定常或稳态方程描述的是不随时间变化的流动状态。定常 方程通常更容易求解，因为它们不包含时间导数项。
要点二
非定常性
非定常或非稳态方程描述的是随时间变化的流动状态。求 解非定常方程通常需要使用数值方法，因为它们包含时间 导数项，需要追踪流动随时间的变化。
02
流体的运动规律对于理解自然现 象、优化工程设计、提高生产效 率等方面具有重要意义。
流体力学的发展历程
01
流体力学的发展可以追溯到古代，如中国的水利工程和灌溉系 统等。
02
17世纪，牛顿建立了经典力学体系，为流体力学的发展奠定了
基础。
19世纪末到20世纪初，随着工业革命和科技的发展，流体力学
03
03
流体力学基本方程组的推导
连续性方程的推导
总结词
连续性方程描述了流体质量守恒的性质，通过质量守恒原理推导得出。
详细描述
连续性方程基于质量守恒原理，即流入和流出一个封闭系统的质量之差等于系统内质量的增加或减少。在流体力 学中，连续性方程表达了单位时间内流入流出控制体的流体质量流量与控制体内流体质量的变化率之间的关系。
《流体力学》第二章流体静力学
p z C g
pa 4 3 真空 1
p2 g
p=0
z1
z3
2
z=0
p 为压强水头 g
z 为位置水头
2.3 重力场中的平衡流体 重要结论
p p0 gh
(1) 在重力作用下的静止液体中，静压强随深度按线性 规律变化，即随深度的增加，静压强值成正比增大。 (2)在静止液体中，任意一点的静压强由两部分组成： 一部分是自由液面上的压强P0；另一部分是该点到自由 液面的单位面积上的液柱重量ρgh。 (3)在静止液体中，位于同一深度(h＝常数)的各点的静 压强相等，即任一水平面都是等压面。
2.2 流体平衡微分方程 一、欧拉平衡方程
p dx 1 p dx 1 p dx p 2 3 x 2 2 x 2 6 x 2
2 3
2
3
p dx 1 p dx 1 p dx p 2 3 x 2 2 x 2 6 x 2
dA dA n
dF pdAn
F pdAn
A
流体静压力：作用在某一面积上的总压力； （矢量） 流体静压强：作用在某一面积上的平均压强或某一点的 （标量） 没有方向性 压强。
2.1 平衡流体上的作用力 证明：
z A
pn px
微元四面体受力分析
py
dx C x
dz O dy B y
y
p x p y p z pn
C x
pz
f
↑
z
表 面 力 质 量 力
1 d yd z 2 1 Py p y d zd x 2 1 P p d yd x z z 2 P n pn d A P x px
流体力学的基本方程
z
(vz)dxdydz
vy
v
z
vx (x, y,z)
第二章 流体力学的基本方程
§2.1 连续方程
二、连续方程推导方法之二
1.笛卡尔坐标系下的连续方程
微元六面体内密度变化引起 的每秒的流体质量的变化量：
tCVdvt dxdydz
故 ： tdx d x (v x y ) dd x z d y (v y y ) d d x z d z (v z y ) dd x z 0 dydz
t
xkuku
——单位体积的流体控制体的质量变化率 ——单位体积的流体控制体的质量净流出量
第二章 流体力学的基本方程
§2.1 连续方程
四、其他形式的连续方程
1.定常流动 0
t
xk
uk 0
Duk 0
Dt xk
t xk
uk0
2.不可压缩流体
D 0
Dt
uk 0 xk
注意：不可压流体各点的密度不变，但各点间的密度可能不同，即不要求密度场为均匀场。
左面微元面积流 入的流体质量：
右面微元面积流出 的流体质量：
( xd 2)xv(x vxxd 2)d x ydz ( xd 2)xv (x vxxd 2)d x ydz
vy
v
z
vx (x, y,z)
第二章 流体力学的基本方程
§2.1 连续方程
二、连续方程推导方法之二
1.笛卡尔坐标系下的连续方程
D D ttuk xk 0 但
0
xk
例： 密度分层流动
均质不可压缩流体： const
在绝大多数情况下，不可压缩流体也是均质的。
2
1
第二章 流体力学的基本方程
学习笔记_推导流体力学基本方程组
①连续性方程推导依据：质量守恒，密度变化导致减少的质量=净流出的质量x 方向：单位时间由ABCD 流入质量：dydz dx x u u dx x )2)(2(∂∂-∂∂-ρρ 单位时间由EFGH 流出质量：dydz dx x u u dx x )2)(2(∂∂+∂∂+ρρ 净流出质量：dxdydz x u dxdydz x u x u ∂∂=∂∂+∂∂)()(ρρρ 同理y 、z 方向dxdydz y v ∂∂)(ρ，dxdydz zw ∂∂)(ρ 单位时间密度变化导致减少的质量dxdxdz t ∂∂-ρ所以连续性方程0)()()(=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z w y v x u t ρρρρ（微分形式）矢量形式0)(·=∇+∂∂v tρρ连续性方程是流体流动最基本的方程，任何流体连续运动均必须满足。
②理想流体运动方程（欧拉运动方程）理想流体是一种设想的没有黏性的流体,在流动时各层之间没有相互作用的切应力。
推导依据：牛顿第二定律（动量定理）合外力等于动量对时间的变化率x 方向 面力：dydz dx x p p dydz dx x p p )2()2(∂∂--∂∂+ 质量力：dxdydz f x ρ 合外力dydz dx x p p dydz dx x p p dxdydz f x )2()2(∂∂--∂∂++ρ 动量对时间的变化率dxdydz dt du ρ 整理得xp f dt du x ∂∂+=ρ1 同理y 、z 方向y p f dt dv y ∂∂+=ρ1，zp f dt dw z ∂∂+=ρ1 理想流体运动方程z p f dt dw y p f dt dv xp f dt du z y x ∂∂+=∂∂+=∂∂+=ρρρ111，矢量形式p f dt v d ·1∇+=ρ可写成zp f z w w y w v x w u t w dt dw yp f z v w y v v x v u t v dt dv xp f z u w y u v x u u t u dt du z y x ∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=ρρρ111 根据亥姆霍兹速度分解定理v v t v v v rot v t v v v t v dt v d ⨯+∇+∂∂=⨯+∇+∂∂=∇+∂∂=ω222·22所以欧拉运动方程可以写成兰姆-葛罗米柯方程p f v v t v ∇+=⨯+∇+∂∂ρω1222，把有旋部分凸显出来。
§3.7流体力学基本方程组Navier-Stokes方程,NS方程这里只讨论牛顿
• 连续性方程
dρ dt
+
ρ∇
·
V
=
0
• 运动方程
ρ
dV dt
=
ρF + ∇ · P
• 能量方程
ρT
ds dt
=
∇(κ∇T )
+
Φ
+
ρq
或
ρCV
dT dt
= −p ∇ · V + ∇(κ∇T ) + Φ + ρq
• 应力张量
P
=
−pI
+
2µS
−
2 3
µ(∇
·
V)I
• 完全气体的状态方程
p = ρRT
ν
∂2Vi ∂xk2
+
1 3
ν
∂ ∂xi
∂Vk ∂xk
其中
ν
=
µ ρ
，称为运动学粘度，将
µ
称为动力学粘度。
1
对于无粘流体，运动方程可化简为
dV dt
=
F
−
1 ρ
∇p
(6)
方程(6)常称为欧拉（Euler）方程。 三、能量方程 单位质量的流体内能设为 U，它应满足的微分方程是
ρ
dU dt
=
P
:
S
+ ∇ · (κ∇T )
F−
ρ = ρ(p)
1 ρ
∇
p
+
ν∇2V
(14)
该方程组有5个方程，5个变量即 ρ, p 和 V 的3个分量。它主要用于低速的气体流动和液
体流动，可以忽略可压缩性，但不能忽略粘性。
此时，能量方程与连续性方程、运动方程并不耦合，如果对流场中的温度分布不感
流体力学的基础方程组
这里首先介绍流体力学的基础方程组：1质量守恒方程在这里我采用拉格朗日法（L 法）下对有限体积和体积元应用质量守恒定律（1） L 法有限体积分析取体积为τ，质量为m 的一定的流体质点团，则有00m t t t t tD D DD D m d d d d d D D D D D ττττττττττρρρρρ=⇒==⇒=+=⎰⎰⎰⎰⎰ 因为速度散度的物理意义是相对体积膨胀率及密度的随体导数，即1D div d d Dtυττ= d y u v w v dt t x y z tρρρρρρ∂∂∂∂∂=+++=+⋅∇∂∂∂∂∂ (())(())0D D d d v divv d div v d Dt Dt tt ττττρρρτρτρρτρτ∂∂+=+⋅∇+=+=∂∂⎰⎰⎰⎰ 由奥高定理()s u v w d udydz vdzdx wdxdy x y zττ∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (cos cos cos )su v w ds αβγ=++⎰⎰ n s sv nds v ds =⋅=⎰⎰⎰⎰ 得 (())0s div v d d vds t t ττρρρττρ∂∂+=+=∂∂⎰⎰⎰假定被基函数连续，而且体积τ是任意选取的，由此可知被基函数必须等于0，即00i iv D D divv Dt Dt x ρρρρ∂+=⇔+=∂ 或()()00i iv div v t t x ρρρρ∂∂∂+=⇔+=∂∂∂ 在直角坐标系中，连续性方程为()()()0u v w t x y zρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ 或()D u v w Dt x y zρρ∂∂∂=-++∂∂∂2.动量守恒方程任取一个体积为τ的流体，他的边界为S 。
根据动量定理，体积τ中流体动量的变化率等于作用在该体积上的质量力和应力之和。
单位面积上的应力n P n p =⋅，其中P 是二阶对称应力张量，所以n P 不是通常指的P 在n(单位体积面元的法线方向)方向的分量。
流体力学II教材讲解
流体力学II（Viscous Fluid and Gas Dynamics）讲义第一章、粘性不可压缩流体运动基本方程组（学时数：6）1-1．绪论流体力学是力学的一个重要分支，主要研究流体介质（液体、气体、等离子体）的特性、状态，在各种力的作用下发生的对流、扩散、旋涡、波动现象和质量、动量、能量传输，以及同化学、生物等其他运动形式之间的相互作用。
它既是一门经典学科，又是一门现代学科，对自然科学和工程技术具有先导作用。
历史上，力学包括流体力学，曾经经历基于直观实践经验的古代力学、基于严密数学理论的经典力学、基于物理洞察能力的近代力学三个阶段。
在人类早期的生产活动过程中，力学即与数学、天文学一起发展。
17世纪，Newton基于前人的天文观测和力学实验，发明了微积分，并总结出机械运动三大定律和万有引力定律，发表了著名的《自然哲学的数学原理》一书。
由于原理是普适自然与工程领域的规律，从而使力学成为自然科学的先导。
从17世纪开始，人们逐步建立了流体力学的基本理论体系，从Pascal定律、Newton粘性定律、Pitot 管测速，到Euler方程和Bernoulli方程，标志着流体动力学正式成为力学的一个分支学科。
18世纪，人们着重发展无粘流体的位势理论。
到了19世纪，为了解决工程实际问题，开始注重粘性的影响，Navier-Stokes方程的建立为流体力学的进一步发展奠定了完整的理论基础，但该方程解的存在性与光滑性的证明至今仍是一大难题。
20世纪初，Prandtl凭借出色的物理洞察能力，提出边界层理论，从而开创了流体力学的近代发展阶段，使力学成为人类实现“飞天”梦想的重要理论先导。
60年代以来，由于超级计算机、先进测试技术的发展和应用，力学进一步凸显宏微观结合和学科交叉的特征，进入现代力学发展新阶段。
刚刚过去的2011年，人类遭遇了一系列极端事件：日本海底地震导致海啸和福岛核电站泄露事故；澳大利亚飓风；我国干旱洪水灾害等异常气候问题。
流体力学中的三大基本方程
vy 和 dxdydz y
v z dxdydz z
故单位时间内流出与流入微元体流体质量总变化为：
（ ） （ ） （ ） d x d y d z x y z x y z
⑵控制体内质量变化：
因控制体是固定的，质量变化是因密度变化引起的，dt时间内：
2 2 g
：单位重量流体所具有的动能；
理解：质量为m微团以v 运动，具有mv2/2动能，若用 重量mg除之得v2/2g
三者之和为单位重量流体具有的机械能。
物理意义：
理想、不可压缩流体在重力场中作稳定 流动时，沿流线or无旋流场中流束运动 时，单位重量流体的位能，压力能和动 能之和是常数，即机械能是守恒的，且 它们之间可以相互转换 。
y y y y x y z y
运动方程：
y x z 0 x y z
2 y 2
2 2 2 1 p z z z z z z z f ( ) x y z z 2 2 2 t x y z z x y z
当地加速度：流场中某处流体运动速度对时间 的偏导数，反映了流体速度在固定位置处的时 间变化特性 迁移加速度：流场由于流出、流进某一微小区 域而表现出的速度变化率。
流体质点加速度
dx x x x x ax x y z dt t x y z dy y y y y ay x y z dt t x y z dz z z z z az x y z dt t x y z
a在三个坐标轴上的分量表示成：
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程： 得x方向上的运动微分方程：
d p x d x d y d z d x d y d z f d x d y d z x d t x
高等流体力学Chapt2-控制方程.
作业： 在直角坐标系中推导出动量方程，并解释其中每项的意思。（NavierStokes 和Euler方程）
一般形式的能量方程：
t
CV
(u
2
2
)dV
CS
n (u
2
2
)dA
CV
f
dV
CS
pn
t
（1）
v vv f
t
（2）
v2 2
t
e
v2 2
ev
T
v
v
f
（3）
（1）、（2）、（3）构成流体力学基本控制方程组，其形式相同，包
含代表时间变化率的非定常项，由流动引起的对流项，由分子运动引起
的扩散项，以及其它源项。如果用代表通用变量，控制方程可用统一形
式表示
dt t
A Ax i Ay j Az k x y z
A Ax Ay Az x y z
A
Az y
Ay z
i
Ax z
Az x
j
Ay x
Ax y
k
i jk A
x y z Ax Ay Az
2.2 流动的类型
从时间、空间角度分类
1. 定常流动、非定常流动（steady and unsteady flow)
t
V
t
d衡关系
t
S
v
ndS
t
V
t
dV
（1）
利用高斯定理 S ndS VdV
将面积分写为体积分 t v ndS t (v)dV
S
V
公式（1）变为
流体力学基本方程
连续方程两边同时除以 0U0 L0 整理 得
L0 * *vi*
U0t0 t*
xi*
0
（3-2）
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第一节 黏性流动的近似和无量纲参数
运动方程两边同时除以
U
2 0
L0
整理得
L0 U0t0
vi* t*Βιβλιοθήκη v*jvi* x*j
L0 g0 U02
g*
p0
0U02
1
*
p* xi*
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第二节 平行定常流动
不可压缩平行流动是流动问题中最简 单的情况，它只有一个速度分量不为零， 所有流体质点均沿一个方向流动，即vy= vz=0，且vx沿x轴方向不变化。
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第二节 平行定常流动
当质量力只考虑重力且y轴竖直向上 时，N-S方程（2-28）简化为
* *
2vi* x*jx*j
（3-3）
式中由特征量组成了几个重要的无量纲参 数，即
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第一节 黏性流动的近似和无量纲参数
L0 U0t0
St，称为斯特劳哈尔（Strouhal）数
U0 Fr，称为弗劳德（Froude）数 g0 L0
p0 Eu，称为欧拉（Eular）数
0U
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第一节 黏性流动的近似和无量纲参数
在基本方程中，若各种物理量均以相 应的具有某种特征的同类物理量度量，则 有量纲的物理量均变为无量纲的物理量， 有量纲的方程组就可以表示为无量纲的方 程组。
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第一节 黏性流动的近似和无量纲参数
各物理量的无量纲量为
流体力学基本方程
流体的本构关系
流体均匀各向同性 流体可承受正应力 静止流体不能承受剪切 运动流体不同速度层之间存在剪切力（粘性） 静止流体表面应力为
p ij
ij p ij dij
流体的本构关系
Resistentian, quae oritur ex defectu lubricitatis partuim fluidi, caeteris paribus, proportionalem esse velocitati, qua partes fluidi separantur ab invicem. Isaac Newton, 1687, From Section IX of Book II of his Principia
流体的输运系数
粘性系数（动量输运）： 热传导率（能量输运）： k
( p, T ) k ( p, T )
n
幂函数公式：
T 0 T0
k T k0 T0
1.5
n
Sutherland公式：
T T0 Ts 0 T0 T T
0
Du p f Dt
Euler Equation
1 p U 2 C 2
Bernoulli’s Equation
涡量方程
u 0 : Du 2 p f u Dt
0:
Du p f Dt
Skk u
1 v u ( ) 2 x y v y 1 w v ( ) 2 y z
1 w u ( ) 2 x z 1 w v ( ) 2 y z w z
单位体积变化率（描述流体均匀膨胀，压缩）
粘性流体力学基本方程组
牛顿流体具有剪切应力和剪切速率成线性关系的特性，这种 关系可以用本构方程来表示。
牛顿流体的本构方程
本构方程
本构方程是描述流体应力与应变之间 关系的方程，对于牛顿流体，其本构 方程为剪切应力等于粘性系数乘以剪 切速率。
本构方程的意义
本构方程是粘性流体力学中的基本方 程之一，它描述了流体在受到外力作 用时内部应力的产生和分布情况。
有限差分法
将流场离散化为网格，用差分表达式近似代 替微分方程中的导数项，从而将微分方程转 化为差分方程进行求解。
有限元法
将流场离散化为单元，用有限元近似表示流场中的 物理量，通过求解有限元方程得到流场中的数值解 。
有限体积法
将流场离散化为体积，每个体积单元上的物 理量通过中心值或平均值表示，通过求解离 散方程得到流场中的数值解。
VS
详细描述
非牛顿流体在剪切力作用下不会表现出恒 定的剪切粘度，其流动行为受到许多因素 的影响，如温度、压力、浓度、分子间相 互作用等。
非牛顿流体的本构方程
总结词
本构方程是描述非牛顿流体在剪切力作用下 的应力与应变率之间关系的数学模型。
详细描述
非牛顿流体的本构方程通常由实验数据确定， 并可以用来预测流体在不同剪切力作用下的 流动行为。常见的本构方程包括幂律模型、 Carreau模型、Bingham模型等。
理论分析方法
01
02
03
数学建模
通过建立数学模型来描述 粘性流体的运动规律，包 括连续性方程、动量方程、 能量方程等。
解析求解
对建立的数学模型进行解 析求解，得到流体运动的 解析解，用于分析流体运 动的特性。
近似方法
在某些情况下，可以采用 近似方法来求解数学模型， 如摄动法、匹配渐近展开 等。
流体力学-第二章
二、解析法 求解作用在任意平面上的液体总压力
二、解析法 求解作用在任意平面上的液体总压力 作用在dA面积上的液体总压力为 作用在 面积上的液体总压力为 作用在整个受压平面面积为A上的液体总压力为 作用在整个受压平面面积为 上的液体总压力为
作用在任意形状平面上的液体总压力大小， 作用在任意形状平面上的液体总压力大小，等于该平面的淹没 面积与其形心处静压强的乘积， 面积与其形心处静压强的乘积，而形心处的静压强就是整个受 压平面上的平均压强。 压平面上的平均压强。 总压力的方向垂直于平面，并指向平面。 总压力的方向垂直于平面，并指向平面。
ω
旋转
等压面方程
自由表面方程
第五节 一、图解法
作用在平面上的液体总压力来自液体总压力的方向垂直于矩形平面，并指向平面， 液体总压力的方向垂直于矩形平面，并指向平面，液体总压力的 作用线通过静压强分布图体积的重心。 作用线通过静压强分布图体积的重心。液体总压力作用线与矩形 平面相交的作用点D称为压力中心 称为压力中心。 平面相交的作用点 称为压力中心。
三、流体静力学基本方程的物理意义和几何意义 1. 流体静力学基本方程的物理意义
Z：单位重量流体从某一基准面算起所 ： 具有的位能，因为是对单位重量而言， 具有的位能，因为是对单位重量而言， 所以称单位位能。 所以称单位位能。
：单位重量流体所具有的压能，称 单位重量流体所具有的压能， 单位压能。 单位压能。
等压面方程
三、等压面 帕斯卡定 律 等压面方程 当流体质点沿等压面移动距离ds时 质量力所作的微功为零。 当流体质点沿等压面移动距离ds时，质量力所作的微功为零。 ds 因为质量力和位移ds都不为零，所以等压面和质量力正交。 ds都不为零 因为质量力和位移ds都不为零，所以等压面和质量力正交。 这是等压面的一个重要特性。 这是等压面的一个重要特性。
第2章 流体运动方程组
第二章 流体运动方程组§1.连续方程§2.作用于流体上的力§3.流体运动方程及其简化形式 §4.能量方程§5.Naver-Stokes 方程的简单解本章重点：流体的三大守恒定律，作用在流体上的力，Naver-Stokes 方程。
作为物体的形态之一，流体也遵循基本的物理规律：质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律，其分别对应本章的连续方程、运动方程和能量方程。
§1.连续方程1. 连续方程 设流体块体积δτδδδ=x y z ，则质量δρδτm =。
由于质量守恒，有：()dd δm =0t （2.1）()d d ρδτ=0t（2.1´）’展开：()d d d d δτρδτρ+=0t t（2.2） 同除δτ，得：()d d d d δτρρδτ+=0t t（2.3）∵()d d δτδτ∇⋅ =1V t（体胀速度）∴（2.3）式可变为:——连续方程（速度散度形式） （2.4）∵d d ρρρ∂⋅∇∂+=V t t，而()ρρ⋅∇∇⋅∇⋅ +ρ V V =V ，则（2.4）式可改写为:——连续方程（质量散度形式） （2.5） 其中称为（速度）散度，表示单位体积的流体通量。
而∇⋅V ()ρ∇⋅V 称为质量散度，表示单位体积的流体质量通量。
质量有净流入,→()ρ∇⋅V <0ρ∂∂>0t（密度增大）；质量有净流出,()ρ∇⋅ V >0→ρ∂∂<0t（密度减小）。
2. 有关流体密度的几种近似 1） 若d d ρ=0t，即const ρ()x,y,z,t =，称为不可压(缩）流体。
∵d d ρ=0t →∇⋅ V =0，∴不可压流体＝（三维）无辐散流体。
2）若d d ρ=0t，且各处的ρ（常数）也一样， const ρ=（不随而异），称为均质（均匀）不可压（缩）流体。
x,y,z,t 3）若ρ∂∂=0t ，则ρ与无关，称为（密度）定常流体（不同于定常流场）。
流体力学第02章流体静力学
于质量力只有重力的同一种连续介质。对不连续液体或
一个水平面穿过了两种不同介质，位于同一水平面上的
各点压强并不相等。
二 气体压强的分布（不讲） （不讲就不考）
三 压强的度量--绝对压强与相对压强
1、 绝对压强
设想没有大气存在的绝对真空状态作为零点计量的压 强，称为绝对压强。总是正的。
2、 相对压强
解：相对静水压强：
p pabs pa p0 gh pa
代入已知值后可算得
h ( p p0 pa ) (9.8 85 98) / 9.8 2.33m
g
例： 如图，一封闭水箱，其自由面上气体压强为
25kN/m2，试问水箱中 A、B两点的静水压强何处为大？
已知h1为5m，h2为2m。 解：A、B两点的绝对静水
因水箱和测压管内是互相连通的同种液体故和水箱自由表面同高程的测压管内n点应与自由表面位于同一等压面上其压强应等于自由表面上的大气压强即ghgh11测压管测压管若欲测容器中若欲测容器中aa点的液体压强点的液体压强可在容器上设置一开口细管可在容器上设置一开口细管
第二章 流体静力学
流体静力学的任务：是研究液体平衡的规律及其
p
g
p0
g
得出静止液体中任意点的静水压强计算公式：
p p0 gh
式中
h z0 z ：表示该点在自由面以下的淹没
深度。
p0 ：自由面上的气体压强。
静止液体内任意点的静水压强有两部分组
成：一部分是自由面上的气体压强P0，另一部分 相当于单位面积上高度为h的水柱重量。
(a)
(b)
(c)
淹没深度相同的各点静水压强相等，只适用
pA gLsin
当被测点压强很大时：所需测压管很长，这时可以改 用U形水银测压计。
流体力学-知识点
第一章 流体的基本概念质量力：f X i Yj Z k =++表面力：0lim =limA A P T p AAτ∆→∆→∆∆=∆∆/w w g s γργγρρ== =/体积压缩系数：111dV d V dpdp Kρβρ=-==温度膨胀系数： 11dV d V dTdTραρ==-pRT ρ= =du du T Adydyμμτμνρ= =第二章 流体静力学欧拉平衡微分方程：()dp Xdx Ydy Zdz ρ=++0p p h γ=+ vv a v p p p p p h γ'=-=-=12sin A p l Kl A γα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭匀加速水平直线运动中液体的平衡：0arctan s a a ap p x z ax gz C z x g g g γα⎛⎫⎛⎫=+--+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=匀角速度旋转运动容器中液体的平衡：2222220222s r r rp p z z C z g g g ωωωγ⎛⎫=+--== ⎪⎝⎭静止液体作用于平面壁上的总压力：1．解析法：C c c D C C J P h A p A y y y Aγ===+2．图解法：静水总压力大小等于压强分布图的体积，其作用线通过压强分布图的形心，该作用线与受压面的交点即是压力中心D 。
第三章 流体运动学基础欧拉法：速度为()()(),,,,,,,,,x x y y z z u u x y z t u u x y z t u u x y z t ⎧=⎪=⎨⎪=⎩加速度为x x x x x xx y z y y y y y y x y z z z z z zz x y zdu u u u u a u u u dt t x y zdu u u u u a u u u dt t x y z du u u u u a u u u dt t x y z ∂∂∂∂⎧==+++⎪∂∂∂∂⎪∂∂∂∂⎪==+++⎨∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂==+++⎪∂∂∂∂⎩()u a u u t ∂=+⨯∇∂0utu t⎧∂≠⎪⎪∂⎨∂⎪=⎪∂⎩非恒定流： 恒定流： ()()u u u u ⎧⨯∇≠⎪⎨⨯∇=⎪⎩非均匀流： 均匀流： 流线微分方程：xyzdx dy dz u u u ==迹线微分方程：xyzdx dy dz dt u u u ===流体微团运动分解：1．亥姆霍兹（Helmhotz ）速度分解定理 2．微团运动分解 （1）平移运动（2）线变形运动 线变形速度：x xy y z z u xu y u z θθθ∂⎧=⎪∂⎪∂⎪=⎨∂⎪⎪∂=⎪∂⎩（3）角变形运动 角变形速度： 121212yz x x z y y x z u u y z u u z x u u x y εεε⎧∂⎛⎫∂=+⎪⎪∂∂⎝⎭⎪⎪∂∂⎪⎛⎫=+⎨ ⎪∂∂⎝⎭⎪⎪∂⎛⎫∂⎪=+⎪∂∂⎪⎝⎭⎩ （4）旋转运动 旋转角速度： 121212yz x x z y y x z u u y z u u z x u u x y εεε⎧∂⎛⎫∂=-⎪⎪∂∂⎝⎭⎪⎪∂∂⎪⎛⎫=-⎨ ⎪∂∂⎝⎭⎪⎪∂⎛⎫∂⎪=-⎪∂∂⎪⎝⎭⎩3．有旋运动与无旋运动定义涡量：2xyzij k u xy z u u u ω∂∂∂Ω==∇⨯=∂∂∂有旋流：0Ω≠ 无旋流：0Ω= 即y z x z y xu u y z u u z x u u xy ∂⎧∂=⎪∂∂⎪⎪∂∂=⎨∂∂⎪∂⎪∂=⎪∂∂⎩ 或 000x y z ωωω⎧=⎪=⎨⎪=⎩平面无旋运动：1．速度势函数（简称势函数）(),,x y z ϕ （1）存在条件：不可压缩无旋流。
流体力学-2-1
第一节
连续方程
连续方程是流体力学的基本方程之一，流体运动 的连续方程，反映流体运动和流体质量分布的关系， 它是在质量守恒定律在流体力学中的应用。
重点讨论不同表现形式的流体连续方程。
首先回忆一下描写流体运动的两种观点： 拉格朗日观点和欧拉观点
1、拉格郎日(Lagrange) 观点下的流体连续方程
0
考虑到 u, u / x 与 z 无关，并消掉等式两端公共项xy 可得：
h h h h h u h z h u u z dz 0 0 0 0 x t t x x
考虑水为不可压缩的，根据连续方程有： h u z 0 0 x t
2、欧拉(Euler)观点下的流体连续方程 利用欧拉控制体积法导出流体的连续方程的微分形式。 在空间上选取一无限小的控制体，如图所示。
单位时间内通过左侧面 流入控制体的流体质量为：
z
z
u y z
单位时间内通过右侧面 流出控制体的流体质量为：
[ u ( u ) x] y z x
[ ( u) ( v) ( w)] x y z x y z
单位时间内，该控制体内的质量减少为： x y z
t
根据质量守恒定律，对于固定的控制体，单位时间内流出控制体的流体质量 应等于单位时间内该控制体内质量的减少，由此得到：
( u ) ( v) ( w) 0 t x y z
1
h
h
0
h dz h
均匀流体
自由表面附近的流体（浅流体）
h h u u h 0 进一步有： t x x
讨论时流向仅取x轴。如流向取任意方向，上式可写为：
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n
una
u
dA
Q ,netout un dA Q,out Q,in CS
Q,out undA Aout
Q,in un dA Ain
6
2.1.2 输运方程
流体力学基本方程的推导：应用物理学基本定律 —— 需要用到系统物理量S随时间的变化率。
输运方程可以将系统物理量的导数（随体导数）转换为控制 体中物理量的导数与控制面上流量之和。
Vin
Ain
Ain
8
S(t t) (t t)dV Q,out Q,in t V( t )
随体导数
lim dS
S (t t) S (t )
dt
t 0
t
lim lim
t0
1
(t t)dV
(t)dV
t V(t )
V(t)
t0
t t
Q ,out Q ,in
取控制体CV＝t 时刻系统所占据的空间位置V(t)
（欧拉法的概念）
→ 控制体、控制面的位置、形状和大小不随时间变化，而流体能
够出、入控制体，所以控制体与外界既有能量、动量交换，也有质 量交换。
时刻t位于控制体内的流体所具有的物理量的大小为
CV t tdV CV
3
（3） 流量（输运通量）
物理量的流量Q = 单位时间通过给定曲面A的流体所具有的 物理量的大小。
――积分形式的连续性方程。
13
mCV dxdydz
t
t
dy
= 控制面上流体质量的净流入速率
ux
( ux ) x
dx 2
(
x
,y ,z
,t
)
dydz
z
y
M dz dx
ux
( ux ) x
dx 2
(
x
,y
,z
,t
)
dydz
x-dx/2
x+dx/2 x
uy
( uy ) y
dy
2
uy
( uy ) y
设系统S在时间t内从体积V(t)移至V(t+t)，其物理量S的随体
,
导数为
lim dS
S (t t) S (t )
dt
t 0
t
S(t) (t)dV , S(t t) (t t)dV
V( t )
V( tt )
7
Ain dV=－unt dA
Vin
dA
dA
Vout
dV=unt dA
Aout
dt t
Q out
Q in
12
2.2 连续性方程
dmS
dt
t
CV
dV
undA
CS
mCV t
Qm,out
Qm,in 0
控制体CV＝系统在瞬时t占据的空间
mCV t
Qm,in
Qm ,out
单位时间内，控制体中质量的增加＝从控制面流入的质量
t
CV
dV
undA
CS
0
Q ucosadA u •ndA
A
A
n
a
u
A
体积流量（流量） Q ucosadA A
( m3/s )
质量流量 动量流量
Qm ucosadA
A
QK uucosadA
A
（kg/s） （kg·m/s2）
4
总流的过水断面：恒与流速正交的断面, cosa = 1
1
2
Q udA
Q udA
物质线 物质面 物质体 在流动过程中均维持其连续性
物质体的系统物理量 St dV S 的密度=单位体积流体内具有的物理量的大小
系统总质量 mS d
S
2
（2） 控制体（Control volume，简称CV）：流场中一个给定的 空间体积，其边界称为控制面（Control surface，简称CS）。
dy 2
dxdz
uz
( uz z
)
dz 2
uz
( uz z
)
dz 2
dxdy
(
ux x
)
( uy ) y
( uz z
)
dxdydz
14
微分形式的连续性方程 (ux ) (uy ) (uz ) 0
t x
y
z
矢量形式 张量形式
divu 0
t (u j ) 0 t x j
V (t+t) = V(t) + Vout－Vin
S(t t) (t t)dV (t t)dV (t t)dV
V( t )
Vout
Vin
dV (untdA) t undA Q,outt
Vout
Aout
Aout
dV untdA t un dA Q,int
经典力学基本定律：质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律
→ 流体力学基本方程组
推导时用到输运方程相结合
↑
系统、控制体、随体导数等相关概念
1
2.1 系统、控制体和输运方程
2.1.1 系统和控制体
（1）系统（System）： 由确定的流体质点组成的流体团，在 流动过程中其位置、体积和形状可随时间变化，可与外界交换能 量、动，但与外界没有质量交换。（拉格朗日法的概念）。
( u j ) t x j
t
u
j
x j
u j x j
d u j dt x j
d
divu
0
dt
15
◆只有满足连续性方程的流动才是可能的。 几种特殊情况：
lim 1
(t t)dV
(t)dV
CV
t0 t V( t )
V(t)
t
9
dS dt
CV t
Q,out Q,in
雷 诺
输
或
dS dt
t
dV
CV
undA CS
运 方 程
体积源项 表面源项
系统中的随体导数＝控制体中随时间的变化率 ＋流出控制面的的流量（输运通量）
★该式也可以用于运动和变形的控制体，此时要用相对于控制 面的相对速度来计算流量。
恒定流 CV t 0
dS dt
Q ,out
Q ,in
10
★固定不变的控制体：
d dt
S
dV
CV
t
dV
u n dA
CS
高斯定理→
undA
u • ndA
n • udA
• udV
CS
CS
CS
CV
场论中的公式
•
u
u
•
•
u
质点随体导数
d
u
•
dt t
d
dt
S
dV
1
2
A
A
Qm udA QK uudA
A
A
总流的断面平均流速
v Q 1 udA A AA
( m/s)
A =过水断面的面积
5
通过控制面上面积元dA 的物理量的出 流流量
dQ undA u cos adA
CS
出流边界Aout上：un > 0 入流边界Ain 上: un < 0
整个控制面上物理量向外的净出流流量为
CV
t
divu dV
CV
d dt
divu dV
11
2.1.3 流管的输运方程
dS dt
CV t
Q2
Q1
恒定流：
dS dt
Q2 Q1
Q2 A2
Q1
A1
侧壁un=0, Q侧 = 0
★ 流管上所取的控制体有多个入流和出流断面：
恒定流：
dS dt
Q out
Q
in
非恒定流： dS CV