波动方程与理想介质中的平面波(中文)

。
k 2π
2π k
频率描述电磁波的相位随时间的变化特性。
波长描述电磁波的相位随空间的变化特性。
k 2π
k 2π
k 表示单位长度内的相位变化，因此称为相位常数
。
E
E x x
E y y
E z z
E z z
H
H x x
H y y
H z z
H z z
因 E 0, ， H得 0
Ez z
H z z
0
考虑到
2Ez
2Ez x 2
2Ez y 2
2Ez z 2
2Ez z 2
0
2H z
2Hz x 2
2H y 2
z
2H z 2
z
Fra Baidu bibliotek
2Hz z 2
0
代入标量亥姆霍兹方程，即知 Ez H z 0
O
2
t1 = 0
t2
T 4
t3
T 2
电场强度随着时间 t
及空间 z 的变化波形如图
3 2
z 所示。 可见，电磁波向正
z 方向传播。
Ex (z,t) 2Ex0 sin( t kz)
上式中 t 称为时间相位。 kz 称为空间相位 。空间相位相等的点组成的曲面称为波面。
由上式可见， Z = 常数的平面为波面。因此 ，这种电磁波称为平面波。
Ex Ex0e jkz Ex0e jkz
上式第一项代表向正 z 轴方向传播的波，第二项反之
。
首先仅考虑向正 z 轴方向传播的波，即
Ex (z) Ex0e jkz
式中， Ex0 为 z = 0 处电场强度的有效值 。 瞬时值为 Ex (z,t) 2Ex0 cos( t kz)
Ex(z, t)
对于正弦电磁场，则上式变为
2 E(r) k 2 E(r) 0 2 H (r) k 2 H (r) 0
此式称为齐次矢量亥姆霍兹方程，式中，k 。
在直角坐标系中，各个分量分别满足下列方程：
2 2
Ex Ey
(r (r
) )
k k
2Ex 2Ey
(r) (r)
0 0
2Ez (r) k 2Ez (r) 0
第八章 平面电磁波
主要内容 理想介质中的平面波、平面波极化特性、平面边界 上的正投射、任意方向传播的平面波的表示、平面边界 上的斜投射、各向异性介质中的平面波
1. 波动方程 2. 理想介质中平面波 3. 导电介质中平面波 4. 平面波极化特性 5. 平面波对平面边界正投射
6. 平面波对多层边界上正投射 7. 任意方向传播的平面波 8. 平面波对理想介质边界斜投射 9. 无反射与全反射 10. 平面波对导电介质表面斜投射 11. 平面波对理想导电表面斜投射 12. 等离子体中的平面波 13. 铁氧体中的平面波
j
[(ѴEx
)
ex ExѴ
ex
]
j
(ѴEx
)
ex
H
j
(ѴEx )
ex
因
�Ex
ex
ﾢEx ﾢx
ey
ﾢEx ﾢy
ez
ﾢEx ﾢz
ez
ﾢEx ﾢz
得
H
ey
j
E x z
eyHy
Hy
j
E x z
已知 ExEx满x 足E齐yx 次 0标量亥姆dd2z霍E2x 兹 k方2 E程x ，0 考虑到 这是一个二阶常微分方程，其通解为
1. 波动方程 在无限大的各向同性均匀线性介质中，时变 电磁场的方程为
2
E
(r
,
t
)
2 E (r , t ) t 2
J (r,t) t
1
(r , t )
2 H (r,t)
2H (r,t) t 2
J
(r,t)
上式称为非齐次波动方程。 式中
J (r,t) J (r,t) E(r,t)
电荷体密度 (r, t) 与传导电流 (E ) 的关系
2. 理想介质中平面波
正弦电磁场在无外源的理想介质中满足下列方程
2E(r) k 2 E(r) 0 2H (r) k 2 H (r) 0
若电场强度 E 仅与 z 有关，则不可能存在 z 分
量。 令电场强度方向为 x 方向，即E exEx ，
则磁场强度 H 为
H j Ѵ
E j Ѵ
(exEx )
2 2
H H
x y
(r) (r)
k k
2 2
H H
x y
(r) (r)
0 0
2H z (r) k 2H z (r) 0
这些方程称为齐次标量亥姆霍兹方程。
由于各个分量方程结构相同，其解具有同一形式。
若场量仅与 z 变量有关，则可证明Ez H z 0
若。场量与变量 x 及 y 无关，
则
为
(E )
t
若无外源J(ﾢ 0 ) ，且为理想介质 (0 ) ，此
时传导电流为零，自然也无体分布的时变电荷 0( )
，则上述波动方程变为
2 E(r,t)
2 E (r, t ) t 2
0
2 H (r,t)
2H (r,t) t 2
0
此式称为齐次波动方程。
对于研究平面波的传播特性，仅需求解齐次波动
方程。
因 Ex(z) 与 x, y 无关 ，在 Z = 常数的波面上，各点场 强振幅相等。因此，这种平 面波又称为均匀平面波。
时间相位 t 变化 2 所经历的时间称为周期 ( T )
。一秒内相位变化 2 的次数称为频率 ( f )
。
T 2π
T
2π
1 f
空间相位 kz 变化 2 所经过的距离称为波长 ( )