波动方程与理想介质中的平面波(中文)
平面波的波动方程
各种平面波都满足下列方程
y y =u t x
2 2 2 2 2
称为平面波的波动方程 平面简谐波波动式是它的解
例2
弦上的横波，设线密度 张力T 不变） 弦上的横波，设线密度，张力T（不变）
T
αT
2
T
α
1
T sinα2 T sinα1 ≈ T(tgα2 tgα1 ) 2 y y y y = T dx = dx 2 =T x x x x 2 2 T y T y u= =
y1 = Acos(ωt kx) y2 = Acos(ωt + kx)
y = y1 + y2 = 2 Acos kx cosωt
y = y1 + y2 = 2 Acos kx cosωt
３. 振幅
kx = ±nπ
腹－腹
n = 012L 波腹 ,,
x =
λ
2
kx = ±( 2n +1)
节－节 腹－节
二、波的干涉 １.相干条件 相干条件 频率相同，振动方向相同， 频率相同，振动方向相同，相位差恒定 两相干波在空间相遇， 两相干波在空间相遇，某些点的振动始终加强另一 些点的振动始终减弱，即出现干涉现象。 些点的振动始终减弱，即出现干涉现象。
设 y1 = A cos(ωt +1 kr ) 1 1
3 λ 2
P
解:
Q
R
= 1 2 k(r1 r2 ) 3 = k λ = 3π 减弱 2
A= 0
三、驻波 当两列振幅相同，频率相同， 当两列振幅相同，频率相同，振动方向相同的 波以相反方向传波时，叠加形成驻波 驻波。 波以相反方向传波时，叠加形成驻波。 1. 演示： Zlcai 演示： 2.表达式 表达式 设
理想介质中的平面波
平面波的参数 Ex (t) E0 cos(t kz)
空间相位kz变化2π所经过的距离称为波长或相位波长, 以λ表
示。 由kλ=2π得
k 2
k称为波数, 因为, 空间相位变化2π相当于一个全波, k表示单位
长度内所具有的全波数目。
时间相位ωt变化2π所经历的时间称为周期, 以T表示; 而一秒 内相位变化2π的次数称为频率, 用f表示。因ωT=2π, 得
即一个波长对应 2
2.
平面波在空间某点z=z0处的Ex与t的关系曲线 如图。 由图可以看出， 均匀平面波在空间 任意观察点处， 其场强是以角频率ω随时间 按正弦规律变化的。当t增加一个周期T， ωT=2π， 场强恢复其初始的大小和相位。
Ex
T
z＝z0
0
t
电场与时间的关系
空间固定点（如z=0）电场随时间振荡
f 1 T 2
等相面(波前)传播的速度称为相速。我们来考察波前上的一个
特定点, 这样的点对应于cos(ωt-kz)=const. 即ωt-kz=const., 由此可得
ωdt-kdz=0, 故相速为
vp
dz dt
k
1
Ex t1 t2
(t2＞t1)
0
z
对于真空,
vp
1
0 0
1
3 108m / s c
电磁波的磁场强度:
ex ey ez
H j E j
x
y
z
ey
j
Ex z
Ex 0 0
ey
j（
jk）E0e jkz
ey
k
E0e jkz
ey
E0
e jkz
/
η具有阻抗的量纲, 单位为欧姆(Ω), 它的值与媒质的参数有关, 因 此它被称为媒质的波阻抗。在真空中
平面单色波波动方程
平面单色波波动方程
平面单色波是指波形在空间中保持不变且波动方向垂直于波前的波。
其波动方程可以由电磁场方程和麦克斯韦方程得出，如下式：
∇²E - με∂²E/∂t² = 0
其中，E为电场强度，μ和ε分别为电磁介质的磁导率和电容率，∇²表示Laplace算子，∂²E/∂t²表示电场强度随时间的二阶偏微分。
我们可以将波动方程近似为平面波，即波动方向沿z轴方向，电场分布仅在x-y平面内。
此时，波动方程可以简化为：
∂²E/∂x² + ∂²E/∂y² + k²E = 0
其中，k为波数，由空间中的介质性质决定。
在同质均匀介质中，k与角频率ω和波长λ的关系为k = 2π/λ = ω√(με)。
通过解决波动方程，可以得到平面单色波的一般解：
E = E0sin(kz - ωt + φ)
其中，E0为电场强度的最大值，φ为相位常数。
此解表明电场强度沿z轴方向传播，其振幅和相位随时间和空间的变化而变化。
实际应用中，我们经常需要计算电磁波在各种介质和场景中的传播，以便进行通信、雷达探测、医学成像等方面的研究和应用。
平面单色波波动方程是这些计算的基础。
通过此方程，我们可以了解电磁场在空间中的传播规律，预测无线信号的传输性能，设计天线和波导等电磁器件，还可以优化电磁隐身技术和调制解调技术，提高无线通信的可靠性和效率。
总之，平面单色波波动方程是电磁波传播研究中的基础问题，具有重要的理论和应用价值。
我们可以通过数学分析和计算模拟得到电磁波的传播特性，为相关领域的工程设计和实验研究提供有力支撑。
平面波的波动方程
探究平面波的波动方程
平面波是物理学中一种基本的波动形式，它在自然界中有着广泛的应用。
其中平面波的波动方程是研究平面波特性的重要基础。
本文将详细讲解平面波的波动方程，并深入探讨其物理意义。
平面波是指波的振动方向垂直于波传播方向的波动形式。
在数学上，平面波可以用以下公式表示：
A = A0sin(kx - ωt + φ)
其中A是波的振幅，k是波数，x是波的传播方向，t是时间，ω是角频率，φ是初相位。
根据波的定义，平面波的波动方程可以表示为：
∂2A/∂x2 = (1/v2)∂2A/∂t2
其中v是波的速度。
将平面波的表达式代入波动方程中，可得：
-k2A0sin(kx - ωt + φ) = (1/v2)(ω2A0sin(kx - ωt + φ)/∂t2)
整理后可得到平面波的波动方程：
∂2A/∂x2 + k2A = (ω2/v2)A
通过对波动方程的分析，我们可以得到以下结论：
1. 平面波的波动方程是二阶偏微分方程。
2. 平面波的波数k与角频率ω满足波速公式v = ω/k。
3. 平面波的波动方程可以描述出平面波的传播和振动状态。
通过以上的分析，我们可以进一步探讨平面波的物理意义。
首先，平面波的波动方程告诉我们，平面波的传播速度与波长和频率有关。
其次，平面波的波动方程将平面波的传播和振动状态联系在了一起，
揭示了平面波的本质特性。
总之，平面波的波动方程是研究平面波特性的重要基础。
通过对
波动方程的分析，我们可以深入探讨平面波的物理意义，并为平面波
的应用提供理论基础。
波动方程与波速
切应变
x 处，由胡克定律
=
|
，G为切变模量
。
= (, )
(, )
=
|
+ 处
+ (, )
=
|+
(, )
(, )
+ − =
|+ −
| GS
在忽略高级无穷小性模量;
在液体和气体中只能传播纵波.
绳 =
ൗ线
流 =
Τ
为质量密度.
理想气体纵波波速
(声速)
=
气 =
RT
为气体的摩尔质量,
T为热力学温度；
R为摩尔气体常数,
是气体的比热容比.
波速与温度有关
深水波
=
2
浅水波
=
gh
深水波的波速依赖于频率，这种现象称色散.
§10.3 波动方程与波速
§10.3.1 波动方程
§10.3.2 波速色散
§10.3 波动方程与波速
§10.3.1 波动方程
波动方程——由动力学规律得到的概括振动传播规律的方程.
以平面横波为例讨论
Ԧ+
y
切应变
y
O
x
x+x
x
Ԧ
设横波沿x方向传播，
体元横截面积S，密度 .
(, )
(, )
2 (, )
|+ −
| =
|
2
2 (, )
+ − =
| xGS
物理学14-平面简谐波的波函数与波动方程
若波源（原点）振动初位相不为零 y0 A cos( t 0 )
x y A cos[ (t ) 0 ] u
或
t x y A cos[ 2 ( ) 0 ] T 2x y A cos[ 2t ) 0 ] 2 y A cos[ (ut x) 0 ] A cos[ k (ut x) 0 ]
y
O
u
x
x
p
x O点振动状态传到p点需用 t u t 时刻p处质点的振动状态重复
y
O
u
x
x
p
x t 时刻O处质点的振动状态 u
x p点的振动方程： y A cos ( t ) u 沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程
沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动 x 为p点的振动落后与原点振动的时间 u x 沿x轴负向传播的 y A cos ( t ) 平面简谐波的波动方程 u
在时间t内整个波形沿波的 传播方向平移了一段距离x
y
O
u
t
t t
x x
x
可见，波函数y(x,t)反映了波形的传播。 它描述的是在跑动的波，这种波被称为 行波（travelling wave）
三、平面波的波动微分方程
x y A cos[ ( t ) 0 ] u
求t 的二阶导数
2x0
若x0= 则 x0处质点落后于原点的位相为2
为x0处质点落后于原点的位相
是波在空间上的周期性的标志
同一波线上任意两点的振动位相差 x2 x1 x 2 1 2 2
பைடு நூலகம்
2、如果给定t，即t=t0 则y=y(x) Y x y A cos[ ( t 0 ) 0 ] u 表示给定时刻波线上各质 O 点在同一时刻的位移分布 ，即给定了t0 时刻的波形
理想介质中的均匀平面波
解：由已知条件可知：频率: f 100MHz
(1) vp
振幅: Ex0 104V / m 1 1 1 3 108 m / s
r r 00 2
k 2 108 2 108 4
3
3
l 2 1.5m
k
(2)设 E ex E0 cos(t kz 0 )
0
0 0
4 107 120 377()
1 109
36
在自由空间中传播的电磁波，电场幅度与磁场幅度之比为377。
能量密度和能流密度
实数表达形式
电场能量密度： we
1 2
E2
磁场能量密度：wm
1 2
H
2
1 2
(
E)2 1 E2
2
we wm
结论：理想媒质中均匀平面波的电场能量等于磁场能量。
z
1 2
Re
ex 50e-
jkz
ey
50 377
e
jkz
ez
1 2
2500 377
W
m2
垂直穿过半径R=2.5m的圆平面的平均功率为
P
S
S平均
dS
S平均
R2
2500 2.52
2 377
65.11
W
例
空气中传播的均匀平面波的电场为 E ez E0e j(3x4 y)
试求:(1)波的传播方向； (2)波的频率和波长； (3)与E相伴的磁场H；(4)坡印廷矢量和平均坡印廷矢量； (5)波的能量密度。
k exkx eyky ezkz , r exx ey y ez z 则：k r (exkx eyky ezkz )(exx ey y ez z)
第三章波动方程
▪ 式中：A为振幅，决定位移的大小，ψ为波的相位. ▪ 2πf/V = w/V为简谐波参数，f频率，w圆频率，V波速。 ▪ i为虚数符号，仅考虑实数时为简谐波。 ▪ k1xk2yk3z 为 传V播 tc 项。 ▪ 此式表达的波函数为沿k方向传播的平面简谐波。
精品课件
8
3.1 无限大、均匀各向同性介质中的平面波
)
4V
2 p
1(
t
Vp
)
再
将
C
带
1
到
特
解
式
中
，
则
得
（r ,t
)
1 r C1( t
r
Vp
)
1
4rV
2 p
1( t
r
Vp
)
精品课件
20
3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
➢力位函数不为零的波动方程的达郎贝尔解为：
(r,t)4r1V p21(tr/Vp)
➢ 该式为用震源函数表示的波动方程的位移位解。 ➢ 在实际工作中，人们不可能接收到质点的位移位， 而只能接收到质点的位移。 ➢ 地震记录上地震波的振幅A值就是反映质点的位 移。所以必须把位移位转换成位移。
A3 V精品2A课3件 0
10
无限大、均匀各向同性介质中的波动方程的解有两组。
第一组解：当
VVp 时(，2)/
i
U
A1
exp( V
(
xVpt
))
vw0
沿x方向的位移分量不为零，其他方向的位移为零，即波的传播方向与位移 方向一致，所以称为平面纵波，也称为胀缩波，通常简称为P波。
第二组解：当 VVs 时，/
理想介质中的波动方程理想介质中的波动方程
d 2E x 2 dz 2 d Ey dz 2 2 d Hx dz 2 d 2H y dz 2
0 k 2E x 0 k 2E y 0 k 2H x 0 k 2H y
e jkz A e jkz A E x 1 2 jkz jkz E y B1e B2 e jkz jkz H x C1e C2 e D e jkz D e jkz H 1 2 y
物理意义？
e e
jkz表示向+z方向传播的正弦波 jkz
表示向 -z方向传播的正弦波
Ex A1e jkz E B e y 1 jkz H C e 1 x H y D1e jkz
jkz
Ex Ex e jkz j x jkz j y Ey Eye jkz j 'x H H e x x H H e jkz j ' y y y
试问：1、该波是不是均匀平面电磁波？ 2、求该波的频率、波长、相速度； 3、求磁场强度； 4、指出波的传播方向。
5.2 沿任意方向传播的均匀平面波
沿+z方向传播的均匀平面波，其电磁场的一般
表示式为：
E e jkz E 0 1 H e E z 用矢径表示： E e jke z r E 0 1 H e E z (ez E0 0)
w we wm 表示电磁能平均密度。
ve
pav ve w
在理想介质中：
p
s
ห้องสมุดไป่ตู้
ve v p
平面波的基本性质
p(t,x)paej(tkx)
v(t,
x)
1
0
pdt x
v(t,x)vaej(tkx)
pa ej(tkx) 0c0
一、平面波波动方程的解
C0代表单位时间内波阵面传播的距离，也就是声传播速度，简称 为声速。
一、平面波波动方程的解
声波在传播过程中，等相位面是平面，所以通常就 称为平面波。
一、平面波波动方程的解
二、声波传播速度
理想气体中的小振幅声波
c
2 0
P0 0
对空气 ＝1.4，0＝1.293kg/m3，P0=1.013 × 105Pa，得 空气中的声速为 c0=331.6m/s.
声速与媒质温度的关系（理想气体）
二、声波传播速度
对理想气体有 PV M RT （克拉柏龙公式）
则声速公式变为 c0
p(t,x)paej(tkx)
v(t,x) pa ej(tkx)
0c0
原因：理想媒质；平面波 平面声场中任何位置处，声压和质点速度都是同相位的。
一、平面波波动方程的解
④ 质点的位移
vdt va ej(tkx)
j
vaej(kx02)ejt aej(t)
二、声波传播速度
二、声波传播速度
如，对20摄氏度的空气，其特性阻抗为 0c0415Pa.s/m
对20摄氏度的水，其特性阻抗为 0c01.48106Pa.s/m
平波声波的声阻抗率数值上恰好等于媒质的特性阻抗，即平面 声波处除与媒质的特性阻抗相匹配。
dP dP
ds dVVs
1s
绝热体积压缩系数：s
(dV V)s dP
对于水，20oC时，0＝998 kg/m3，βs=45.8×10-11m2/N， 得水中的声速为 c0 (20 oC) =1480 m/s.
第二章 波动方程和平面波解
kR
kI
之间的夹角为未知。 在半空间介质反折射情况需要通过边界条件才可确定。
若 kR // kI 例如平面波垂直于有耗介质表面入射时的透射波
kR2 kI2 2 2kR kI
《高等电磁场理论》
kR2
2
2
1
2
1
kI2
2
2
1
材料名称 电导率σ /(S/m) 趋肤深度δ /m
银
6.17×107
紫铜
5.8×107
铝
3.72×107
钠
2.1×107
黄铜
1.6×107
锡
0.87×107
石墨
0.01×107
《高等电磁场理论》
0.064 / f 0.066 / f 0.083/ f 0.11/ f 0.13/ f 0.17 / f 1.6 / f
vphase
k
0 0
k 0
vgroup
1 dk
d
dk 0
d 0
若波数k不是频率ω的线性函数，这时 vphase vgroup，且和
频率有关，这一类介质称为色散介质。 《高等电磁场理论》
y1
cos
1
t
z c
,
1
51
y2
cos 2
t
z c
,
2
49
《高等电磁场理论》
18
E
2
E0
cos
为电子浓度 为电子电量 为电子质量
《高等电磁场理论》
5000 1000
白天 夜间
F2
电离层电子密度的典型高度分布
F1
100
§61均匀平面波在理想介质中的传播
吸收系数
吸收系数描述了波在传播过程中能量被介质吸收 的程度。
吸收系数与介质的电导率、磁导率和介电常数等 因素有关。
在理想介质中，吸收系数通常是一个恒定的值， 表示波在单位路径上被吸收的能量。
散射与吸收的物理机制
散射机制
当波遇到介质中的微小粒子时，粒子会将部分波的能量反射回周围空间，形成 散射现象。散射的程度取决于粒子的尺寸、形状和分布情况。
吸收机制
当波在介质中传播时，介质中的分子或原子会与波相互作用，将部分波的能量 转化为热能或其他形式的能量，导致波的能量逐渐减少。吸收的程度取决于介 质的电导率、磁导率和介电常数等因素。
根据不同介质界面，菲涅尔公式有不同的形式， 但都反映了能量守恒和边界条件。
应用范围
适用于理想介质和非理想介质，是研究波传播的重要工具。
04
均匀平面波的散射与吸收
散射系数
01
散射系数描述了波在传播过程中受到介质中微小粒 子散射的程度。
02
散射系数与介质的微观结构、波长以及入射角度等 因素有关。
03
高频电磁波在真空中的传播
高频电磁波
01
高频电磁波是指频率较高的电磁波，如可见光、紫外线和X射线
等。
真空中的传播
02
在真空中，由于没有介质吸收和散射，高频电磁波可以以光速
传播。
电磁场
03
高频电磁波是由变化的电场和磁场相互激发而传播的。
低频声波在液体中的传播
低频声波
低频声波是指频率较低的声波，如次声波。
能量与功率流密度
能量密度
在理想介质中，均匀平面波的能量密度是指单位 时间内通过单位面积的能量。
理想介质中的平面波解
理想介质中的平面波若介质中的传导电流与位移电流相比完全可以忽略，这样的介质称为理想介质，或称为完全介质、无损耗介质(σ = 0)。
由前面，我们有：220ωμε∇+=E E令22k ωμε=对于给定频率，它是一个常数。
由此得：220k ∇+=E E此方程称为其次亥姆霍兹矢量方程。
由此我们得到三个其次亥姆霍兹标量方程：220x x E k E ∇+= 220y y E k E ∇+=220z z E k E ∇+=现在，我们用分离变量法先求解第一个方程。
令(,,)()()()x x E E x y z X x Y y Z z ==将其带入第一个方程，并除以XYZ ，我们得到：22222221d 1d 1d 0d d d X Y Zk X Y Z x y z+++= 重新整理为：22222221d 1d 1d d d d X Y Z k X Y Z x y z ++=- 上式左边仅是x 和y 的函数，而右边仅是z 的函数，它们相等只能说明它们等于同样一个常数。
我们将此常数写为2z k 。
因此，我们得到：222d 0d z Zk Z z+= 重复此过程，我们还可得到：222d 0d x Xk X x+= 222d 0d y Y k Y y+= 2x k 和2yk 也是常数。
三个分离变量常数k x 、k y 和 k z 并不全是独立的，它们满足： 2222x y z k k k k ++=由于我们仅对行波解感兴趣，对于前行波，场的相位随坐标变量的增加而延迟。
因此，我们得到上面方程前行波解为：x y z ik x f ik yf ik zf X X e Y Y eZ Z e ===下标表示前行（forward-traveling ）即有：i x xf E E e =k x式中E xf = X f Y f Z f 。
同样地有：i y yf E E e =k x i z zf E E e =k x式中E xf 、E yf 和E zf 为积分常数。
理想介质中的平面波(中文)
由上求得 式中
vp 1 f f 0 0
0 f
1
0 0
0 r r
rr 0
0 为平面波在真空中传播时的波长。
0 的现象称为波长缩短效应，或简称为缩
波效应。 由 H y 可j 得Ezx
Hy
Ex0e
jkz
H
e jkz
y0
H y0
E x0
可见，在理想介质中，电场与磁场相位相同， 且两者空间相位均与变量 z 有关，但振幅不会改变。
Ex
Hy
1 Z
ez
Ex
z
或
E x ZH y ez
Hy
对于传播方向而言，电场及磁场仅具有横向
分量，因此称为横电磁波，或称为 TEM 波。以后
将会遇到在传播方向上具有电场或磁场分量的非
TEM 波。
T－
均匀平面波是TraTnEsvMer波se ，只有非均匀平面波
才 可形成非 TEM 波，但是 TEM 波也可以是非均
均匀平面波的波面是无限大的平面，波面上各点的 场强振幅又均匀分布，因而波面上各点的能流密度相 同，可见这种均匀平面波具有无限大的能量。因此， 实际中不可能存在这种均匀平面波。
当观察者离开波源很远时，因波面很大，若观察 者 仅限于局部区域，则可以近似作为均匀平面波。
利用空间傅里叶变换，可将非平面波展开为很多 平面波之和。
H (z)
1 Z0
ez
E
ey
1 6π
e
j2πz
A/m
③
Sc
E
H*
e z
10 3π
W/m2
④
vp ve
3108 m/s
k
电磁波的波段划分及其应用
7.1 电磁波动方程和平面电磁波
7 平面电磁波的传播从基本方程的微分形式可以看出它们包含了产生电磁场的全部场源信息。
在电磁波中，变化的电场产生变化的磁场，变化的磁场又产生变化的电场，伴随着电场和磁场的传播是能量的传输。
本章从电磁场的基本方程出发，首先介绍电磁波动方程，然后介绍了电磁波中最简单的形态--均匀平面电磁波在理想介质和导电媒质中的情况。
7.1电磁波动方程和平面电磁波变化的电场和变化的磁场之间存在着耦合，这种耦合是以波动的形式存在于空间中。
这种变化的电磁场以波动的存在通常称为电磁波。
电磁波的存在，意味着在空间中有电磁场的变化和电磁能量的传播。
光波、无线电波等都是电磁波，它们在空间不需借助任何媒质就能传播。
7.1.1 一般电磁波动方程设空间为各向同性、线性、均匀媒质，考虑 0=f ρ，0=f J 。
则电磁场基本方程组可写为t∂∂+=⨯∇E E H εγ （7.1.1） t∂∂-=⨯∇H E μ （7.1.2） 0=⋅∇H （7.1.3）0=⋅∇E （7.1.4）对（7.1.1）式两端求旋度()H H H 2∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇()22t t t t ∂∂-∂∂-=⨯∇∂∂+⨯∇=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⨯∇H H E E E E μεγμεγεγ利用（7.1.3）有0222=∂∂-∂∂-∇tt H H H μεγμ （7.1.5） 同理由对（7.1.2）两边取旋度，再代入（7.1.3）、（7.1.2）式等，可推得0222=∂∂-∂∂-∇t t E E E μεγμ （7.1.6） 称上面两式为电磁波动方程（它们是一般性的波动方程）。
我们就是在各向同性、线性、均匀媒质中研究电磁波的基础问题。
H 和E 满足的方程在数学上属同一类方程。
对于电场E 或磁场H 的分量，若用统一的标量符号()t r ,ψ来表示，就可以将原问题转化成标量方程的求解问题0222=∂∂-∂∂-∇t t ψγεψγμψ （7.1.7） 7.1.2 平面电磁波及基本性质对于电磁波传播过程中的某一时刻t ，空间电磁场中E 或H 具有相同相位的点构成的面称为等相面，又称为波阵面。
波动方程与理想介质中的平面波(双语)
2H z (r) k 2H z (r) 0
which are called homogeneous scalar Helmholtz equations.
All of these equations have the same form, and the solutions are similar.
J (r,t) t
1
(r , t )
2 H
(r,t)
2H (r,t) t 2
J (r, t)
which are called inhomogeneous wave equations,and
J (r,t) J (r,t) E(r,t)
where J (ri,st)the impressed source.
obtain Considering
Ez z
H z z
0
2Ez
2Ez x 2
2Ez y 2
2Ez z 2
2Ez z 2
0
2Hz
2Hz x 2
2H y 2
z
2H z 2
z
2H z 2
z
0
Substituting that into Helmholtz
Ez Hz 0
Since the field is independent of the variables x and y, we have
E
E x x
E y y
E z z
E z z
H
Байду номын сангаас
H x x
H y y
H z z
H z z
Due to E 0, H 0 , from the above equations we
7.1_2_波动方程_理想介质中平面波及偏振
109 t
54.41z)
r az1.33
104
cos(10
x)
sin(6
109
t
54.41z)
电磁场与电磁波
13
Er& j0Hr&
Er&
r ay
0.1sin(10
x)e
j
z
Hr& 1 Er&
j0
ar x
ar y
ar z
Hr& 1
E&x z
j H&y
H&z 0
均匀平面波在传播方向上没有电磁分量， 是横电磁波（TEM波）
电磁场与电磁波
19
对以上各式对z求导数，考虑到场量只是z的函数，将
偏微分改成微分，得到
d 2E&x dz 2
2
E&x
d 2 E&y dz 2
2 E&y
E&y
x
E&x y
j H&z
18/37
对于均匀平面波
Ev& Ev& 0, Hv& Hv& 0 x y x y
H&y
z
j E&x
H&x z
j E&y
E&z 0
E&y
z
j H&x
j
z
]
电磁场与电磁波
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2 2
H H
x y
(r) (r)
k k
2 2
H H
x y
(r) (r)
0 0
2H z (r) k 2H z (r) 0
这些方程称为齐次标量亥姆霍兹方程。
由于各个分量方程结构相同，其解具有同一形式。
若场量仅与 z 变量有关，则可证明Ez H z 0
若。场量与变量 x 及 y 无关，
则
为
(E )
t
若无外源J(ﾢ 0 ) ，且为理想介质 (0 ) ，此
时传导电流为零，自然也无体分布的时变电荷 0( )
，则上述波动方程变为
2 E(r,t)
2 E (r, t ) t 2
0
2 H (r,t)
2H (r,t) t 2
0
此式称为齐次波动方程。
对于研究平面波的传播特性，仅需求解齐次波动
方程。
1. 波动方程 在无限大的各向同性均匀线性介质中，时变 电磁场的方程为
2
E
(r
,
t
)
2 E (r , t ) t 2
J (r,t) t
1
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ , t )
2 H (r,t)
2H (r,t) t 2
J
(r,t)
上式称为非齐次波动方程。 式中
J (r,t) J (r,t) E(r,t)
电荷体密度 (r, t) 与传导电流 (E ) 的关系
E
E x x
E y y
E z z
E z z
H
H x x
H y y
H z z
H z z
因 E 0, ， H得 0
Ez z
H z z
0
考虑到
2Ez
2Ez x 2
2Ez y 2
2Ez z 2
2Ez z 2
0
2H z
2Hz x 2
2H y 2
z
2H z 2
z
2Hz z 2
0
代入标量亥姆霍兹方程，即知 Ez H z 0
Ex Ex0e jkz Ex0e jkz
上式第一项代表向正 z 轴方向传播的波，第二项反之
。
首先仅考虑向正 z 轴方向传播的波，即
Ex (z) Ex0e jkz
式中， Ex0 为 z = 0 处电场强度的有效值 。 瞬时值为 Ex (z,t) 2Ex0 cos( t kz)
Ex(z, t)
j
[(ѴEx
)
ex ExѴ
ex
]
j
(ѴEx
)
ex
H
j
(ѴEx )
ex
因
�Ex
ex
ﾢEx ﾢx
ey
ﾢEx ﾢy
ez
ﾢEx ﾢz
ez
ﾢEx ﾢz
得
H
ey
j
E x z
eyHy
Hy
j
E x z
已知 ExEx满x 足E齐yx 次 0标量亥姆dd2z霍E2x 兹 k方2 E程x ，0 考虑到 这是一个二阶常微分方程，其通解为
O
2
t1 = 0
t2
T 4
t3
T 2
电场强度随着时间 t
及空间 z 的变化波形如图
3 2
z 所示。 可见，电磁波向正
z 方向传播。
Ex (z,t) 2Ex0 sin( t kz)
上式中 t 称为时间相位。 kz 称为空间相位 。空间相位相等的点组成的曲面称为波面。
由上式可见， Z = 常数的平面为波面。因此 ，这种电磁波称为平面波。
第八章 平面电磁波
主要内容 理想介质中的平面波、平面波极化特性、平面边界 上的正投射、任意方向传播的平面波的表示、平面边界 上的斜投射、各向异性介质中的平面波
1. 波动方程 2. 理想介质中平面波 3. 导电介质中平面波 4. 平面波极化特性 5. 平面波对平面边界正投射
6. 平面波对多层边界上正投射 7. 任意方向传播的平面波 8. 平面波对理想介质边界斜投射 9. 无反射与全反射 10. 平面波对导电介质表面斜投射 11. 平面波对理想导电表面斜投射 12. 等离子体中的平面波 13. 铁氧体中的平面波
2. 理想介质中平面波
正弦电磁场在无外源的理想介质中满足下列方程
2E(r) k 2 E(r) 0 2H (r) k 2 H (r) 0
若电场强度 E 仅与 z 有关，则不可能存在 z 分
量。 令电场强度方向为 x 方向，即E exEx ，
则磁场强度 H 为
H j Ѵ
E j Ѵ
(exEx )
因 Ex(z) 与 x, y 无关 ，在 Z = 常数的波面上，各点场 强振幅相等。因此，这种平 面波又称为均匀平面波。
时间相位 t 变化 2 所经历的时间称为周期 ( T )
。一秒内相位变化 2 的次数称为频率 ( f )
。
T 2π
T
2π
1 f
空间相位 kz 变化 2 所经过的距离称为波长 ( )
对于正弦电磁场，则上式变为
2 E(r) k 2 E(r) 0 2 H (r) k 2 H (r) 0
此式称为齐次矢量亥姆霍兹方程，式中，k 。
在直角坐标系中，各个分量分别满足下列方程：
2 2
Ex Ey
(r (r
) )
k k
2Ex 2Ey
(r) (r)
0 0
2Ez (r) k 2Ez (r) 0
。
k 2π
2π k
频率描述电磁波的相位随时间的变化特性。
波长描述电磁波的相位随空间的变化特性。
k 2π
k 2π
k 表示单位长度内的相位变化，因此称为相位常数
。