最新绵阳二诊理科数学试题及答案
绵阳数学二诊试题及答案
绵阳数学二诊试题及答案一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列哪个选项是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 计算下列表达式的值：\(\sqrt{4} + \sqrt{9}\)A. 5B. 7C. 4D. 2答案：A3. 一个数的平方根是4，那么这个数是：A. 16B. 8C. 4D. 2答案：A4. 一个等差数列的前三项是2，5，8，那么第四项是多少？A. 11B. 9D. 10答案：A5. 一个圆的半径是5，那么它的周长是：A. 10πB. 20πC. 25πD. 30π答案：B6. 一个三角形的三个内角分别是30°，60°，90°，那么这个三角形是：A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形答案：A7. 计算下列表达式的值：\(\frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4}\)A. 2B. 2.5C. 3D. 3.5答案：B8. 一个数的绝对值是5，那么这个数可能是：A. 5B. -5C. 5或-5答案：C9. 一个正方体的体积是27，那么它的表面积是：A. 54B. 9C. 108D. 27答案：A10. 一个数的立方根是3，那么这个数是：A. 9B. 27C. 81D. 243答案：B二、填空题（每题5分，共30分）1. 一个数的相反数是-7，那么这个数是____。
答案：72. 一个数的倒数是\(\frac{1}{4}\)，那么这个数是____。
答案：43. 一个等比数列的前三项是2，4，8，那么第四项是____。
答案：164. 一个数的平方是36，那么这个数是____。
答案：±65. 一个圆的直径是10，那么它的半径是____。
答案：56. 一个三角形的面积是24，底边长是8，那么它的高是____。
答案：6三、解答题（每题10分，共20分）1. 已知等差数列的前三项分别是1，3，5，求这个数列的第10项。
四川省绵阳南山2024届高三下学期高考仿真考试(二)理科数学试题含答案
秘密★启用前【考试时间：2024年5月30日15：00-17：00】绵阳南山2024年高三仿真考试（二）理科数学（答案在最后）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}*2N |2nA n n =∈≥，则集合A 的元素个数为（）A.1B.2C.3D.无穷多个【答案】C 【解析】【分析】利用指数与幂的运算性质可求解.【详解】由2*2(N )n n n ≥∈，可得1,2,4n =，所以集合A 的元素个数为3个.故选：C2.虚数1i(R)z b b =+∈满足()i 1z z z z -=-⋅，则b =（）A.0B.1C.2D.0或2【答案】C 【解析】【分析】求出z ，代入()i 1z z z z -=-⋅计算即可.【详解】由已知1i(R)z b b =-∈，0b ≠，所以()i 2z z b -=-，()22111z z b b-⋅=-+=-，所以22b b -=-，解得2b =.故选：C.3.已知双曲线C 的顶点为1A ，2A ，虚轴的一个端点为B ，且12BA A △是一个直角三角形，则双曲线C 的渐近线为（）A.2y x =±B.y x=± C.22y x =±D.y =【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的对称性可得1212,BA BA BA BA ⊥=，求出ba即可得解.【详解】设双曲线的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，由双曲线的对称性可得12BA A △是一个等腰直角三角形，且1212,BA BA BA BA ⊥=，则12OA OA OB ==，即a b =，所以双曲线C 的渐近线为y x =±.故选：B.4.近年来，我国大力发展新能源汽车工业，新能源汽车（含电动汽车）销量已跃居全球首位.某新能源汽车厂根据2021年新能源汽车销售额（单位：万元）和每月销售额占全年销售额的百分比绘制了如图所示双层饼图.根据双层饼图，下列说法错误的是（）A.2021年第四季度销售额最低B.2月销售额占全年销售额的8%.C.2021年全年销售总额约为1079万元D.7月的销售额约为46万元【答案】D 【解析】【分析】根据双层饼图，依次判断选项即可.【详解】解：由图知，第四季度销售额占全年销售额的百分比18%,第三季度为33%，第二季度为29%，第一季度为20%，故第四季度最低，A 正确；2月销售额占全年销售额的占比为20%5%7%8%--=，B 正确；全年销售总额为()31310%9%10%1079÷++≈（万元），C 正确；7月的销售额为107913%140⨯≈（万元），D 错误.故选：D.5.在平面直角坐标系xOy 中，角,αβ的始边均为Ox ，终边相互垂直，若35=cos α，则cos2β=（）A.925B.925-C.725D.725-【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的余弦公式计算即得.【详解】依题意，π2π,Z 2k k βα=++∈，则3sin cos 5βα==，或π2π,Z 2k k βα=-+∈，则3sin cos 5βα=-=-，所以27cos212sin 25ββ=-=.故选：C6.已知点()00,P x y 为可行域*640,N x y x y x y +<⎧⎪->⎨⎪∈⎩内任意一点，则000x y ->的概率为（）A.25B.49C.13D.310【答案】B 【解析】【分析】作出可行域，求得可行域内的整点个数，进而求得满足000x y ->的点个数，由古典概型概率公式求解即可.【详解】可行域*640,N x y x y x y +<⎧⎪->⎨⎪∈⎩内的点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)共9个，其中满足000x y ->的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)共4个，所以所求的概率49P =.故选：B.7.已知Q 为直线:210l x y ++=上的动点，点P 满足()1,3QP =-，记P 的轨迹为E ，则（）A.EB.E 是一条与l 相交的直线C.E 上的点到lD.E 是两条平行直线【答案】C 【解析】【分析】设(),P x y ，由()1,3QP =-可得Q 点坐标，由Q 在直线上，故可将点代入坐标，即可得P 轨迹E ，结合选项即可得出正确答案.【详解】设(),P x y ，由()1,3QP =-，则()1,3Q x y -+，由Q 在直线:210l x y ++=上，故()12310x y -+++=，化简得260x y ++=，即P 的轨迹为E 为直线且与直线l 平行，E 上的点到l的距离d ==A 、B 、D 错误，C 正确.故选：C .8.已知函数()()2sin 2f x x ϕ=+，2πϕ<，那么“6πϕ=”是“()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求得当,4242k x k k Z πϕπϕππ--+≤≤-+∈时，()f x 是增函数,进而判断6πϕ=时，函数的单调性，即可得出结果.【详解】当22222k x k πππϕπ-+≤+≤+，Z k ∈,()f x 单调递增.则当,4242k x k k Z πϕπϕππ--+≤≤-+∈时，()f x 是增函数,当6πϕ=时,()f x 在,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈单调递增，可得()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；当6πϕ=-时,()f x 在,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈单调递增，可得()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；反之，当()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数时，由,,6644ππππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，可知，此时0,0k ϕ==，即6πϕ=不成立.所以“6πϕ=”是“()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数”的充分而不必要条件.故选：A.9.已知函数()f x 满足()()311f x f x +=--，且函数()1f x +为偶函数，若()11f =，则()()()()1232024f f f f +++⋯+=（）A.0B.1012C.2024D.3036【答案】B 【解析】【分析】由题意得()()11f x f x +=-+，()f x 的图象关于直线1x =对称，函数的周期为4，进一步()()()()12342f f f f +++=，由此即可得解.【详解】由题意函数()1f x +为偶函数，所以()()11f x f x +=-+，()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()()()()()()3111111331f x f x f x f x f x f x +=--=-+=---=-=-⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 的周期为4，在()()311f x f x +=--中，分别令0x =和1，得()()131f f +=，()()041f f +=，即()()241f f +=，所以()()()()12342f f f f +++=，所以()()()12202450621012f f f +++=⨯=L .故选：B.10.六氟化硫，化学式为6SF ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m ，则下列错误的是（）A.该正八面体结构的外接球表面积为22πm B.该正八面体结构的内切球表面积为22π3mC.该正八面体结构的表面积为2D.3【答案】D 【解析】【分析】分析正八面体结构特征，计算其表面积，体积，外接球半径，内切球半径，验证各选项.【详解】对A ：底面中心S 到各顶点的距离相等，故S 为外接球球心，外接球半径22R PS m ==，故该正八面体结构的外接球表面积22π)2πS m '=⨯=，故A 正确；对D ：连接AS ，PS ，则22AS PS m ==，PS ⊥底面ABCD ，故该正八面体结构的体积231222323V m m =⨯⨯⨯=，故D 错误；对C ：由题知，各侧面均为边长为m 的正三角形，故该正八面体结构的表面积2284S m =⨯⨯=，故C 正确；对B ：底面中心S 到各面顶点的距离相等，故S 为内切球球心，设该正八面体结构的内切球半径r，则13V Sr =，所以33VrS==故内切球的表面积222π4π3mS⎛⎫''=⨯=，故B正确.故选：D.11.若函数()21ln22f x a x x x=+-有两个不同的极值点12,x x，且()()1221t f x x f x x-+<-恒成立，则实数t的取值范围为（）A.(),5-∞- B.(],5-∞- C.(),22ln2-∞- D.(],22ln2-∞-【答案】B【解析】【分析】首先对()f x求导，得()()22x x af x xx'-+=>，根据题意得到方程220x x a-+=有两个不相等的正实数根，结合根与系数的关系求得a的取值范围，然后将不等式进行转化，结合根与系数的关系得到()()1212f x f x x x+--关于参数a的表达式，从而构造函数，利用导数知识进行求解．【详解】依题意得()()2220a x x af x x xx x-+=+-=>'，若函数()f x有两个不同的极值点12,x x，则方程220x x a-+=有两个不相等的正实数根12,x x，可得1212Δ44020ax xx x a=->⎧⎪+=>⎨⎪=>⎩，解得01a<<，因为()()1221t f x x f x x-+<-，可得()()2212121112221211ln 2ln 222t f x f x x x a x x x a x x x x x <+--=+-++---()()()()()()2221212121212121211ln 3ln 322a x x x x x x a x x x x x x x x =++-+=++--+21ln 232ln 42a a a a a a =+⨯--⨯=--．设()()ln 401h a a a a a =--<<，则()ln 0h a a ='<，则()h a 单调递减，()()15h a h >=-，可知5t ≤-．所以实数t 的取值范围是(],5-∞-.故选：B ．【点睛】关键点睛：1.利用导数与极值点之间的关系及一元二次方程有两个不相等的正实数根，求得a 的取值范围是解决问题的前提；2.利用韦达定理二元换一元，通过构造函数解决问题.12.记椭圆1C ：22221(0)x ya b a b+=>>与圆2C ：222x y a +=的公共点为M ，N ，其中M 在N 的左侧，A 是圆2C 上异于M ，N 的点，连接AM 交1C 于B ，若2tan 5tan ANM BNM ∠=∠，则1C 的离心率为（）A.35B.45C.5D.5【答案】D 【解析】【分析】根据题意可知(),0M a -，(),0N a ，结合图象和椭圆方程可知22tan tan b BMN BNM a ∠⋅∠=，由AMN 为直角三角形，可求得πtan tan 2tan tan BMN ANM BNM BNM⎛⎫-∠ ⎪∠⎝⎭=∠∠，可得2225b a =，即可求得离心率.【详解】由题意可知点M ，N 分别为椭圆的左右顶点，所以(),0M a -，(),0N a ，设点A 在第一象限，设点(),B x y ，所以22222222221tan tan x b a y y y b BMN BNM a x a x a x a x a⎛⎫- ⎪⎝⎭∠⋅∠=⋅===+---，πtan tan 152tan tan tan tan 2BMN ANM BNM BNM BNM BMN ⎛⎫-∠ ⎪∠⎝⎭===∠∠∠⋅∠，所以2225b a =，5c e a ===.故选：D .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.平面向量a 与b相互垂直，已知(6,8)a =- ，||5b = ，且b 与向量(1,0)的夹角是钝角，则b = ______.【答案】(4,3)--【解析】【分析】设(,)b x y = ，根据向量垂直和向量模的坐标表示得到方程组，再结合b与向量(1,0)的夹角为钝角得到0x <，最后解出方程组即可.【详解】设(,),b x y a b =⊥ ，0a b ∴⋅= ，680x y ∴-=，①，||5b == ，②，因为b与向量(1,0)夹角为钝角，∴0x <，③，由①②③解得43x y =-⎧⎨=-⎩，(4,3)b ∴=-- .故答案为：(4,3)--.14.已知函数()π2cos 3f x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭，其中ω为常数，且()0,6ω∈，将函数()f x 的图象向左平移π6个单位所得的图象对应的函数()g x 在0x =取得极大值，则ω的值为_____________________.【答案】2【解析】【分析】先根据图象平移得到()g x 的解析式，然后根据()0g 为最大值得到关于ω的方程，结合ω的范围可知结果.【详解】由题意可知()ππππ2cos 2cos 6363g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为()g x 在0x =取得极大值，所以()g x 在0x =取得最大值，所以ππ2π63k ω-=，Z k ∈，即212k ω=+，又因为()0,6ω∈，所以，当且仅当0k =时，2ω=满足条件，所以2ω=，故答案为：2.15.若随机变量X 服从二项分布115,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，则使()P X k =取得最大值时，k =______．【答案】3或4【解析】【分析】先求得()P X k =的表达式，利用列不等式组的方法来求得使()P X k =取得最大值时k 的值.【详解】依题意015,N k k ≤≤∈，依题意()1515151515151********C 1C C 344444kkk k k kk k k P X k ----⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⋅⋅=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()15150151141515151513130C 3,1C 354444P X P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅===⋅⋅=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()151154P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()()()1501P X P X P X =<=<=，所以()0P X =、()15P X =不是()P X k =的最大项，当114k ≤≤时，由1511615151515151141515151511C 3C 34411C 3C 344k k k kk k k k ----+-⎧⋅⋅≥⋅⋅⎪⎪⎨⎪⋅⋅≥⋅⋅⎪⎩，整理得1151511515C 3C 3C C k k k k -+⎧≥⎨≥⎩，即()()()()()()15!15!3!15!1!16!15!15!3!15!1!14!k k k k k k k k ⎧≥⨯⎪⨯--⨯-⎪⎨⎪⨯≥⎪⨯-+⨯-⎩，整理得131631151k kk k ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，163343315k k k k k -≥⎧⇒≤≤⎨+≥-⎩，所以当k 为3或4时，()P X k =取得最大值.故答案为：3或416.在钝角ABC 中，a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，点G 是ABC 的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围是______.【答案】,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】延长CG 交AB 于D ，由G 为ABC 的重心，可得3322CD AB c ==，根据πBDC ADC ∠+∠=，利用余弦定理可得222222525233c a c b c c--=-，进而可得C 为锐角，设A 为钝角，则222b c a +<，222a c b +>，a b >，进而计算可得03b a <<，利用余弦定理可得cos C 的取值范围.【详解】延长CG 交AB 于D，如下图所示：G 为ABC 的重心，∴D 为AB 中点且3CD DG =，AG BG ⊥ ，12DG AB ∴=，3322CD AB c ∴==；在ADC △中，2222222225522cos 3232c bAD CD AC c b ADC AD CD c c -+--∠===⋅；在BDC 中，2222222225522cos 3232c a BD CD BC c a BDC BD CD c c -+--∠===⋅； πBDC ADC ∠+∠=，cos cos BDC ADC ∴∠=-∠，即222222525233c a c b c c--=-，整理可得：22225a b c c +=>，∴C 为锐角；设A 为钝角，则222b c a +<，222a c b +>，a b >，2222222255a b a b a b b a ⎧+>+⎪⎪∴⎨+⎪<+⎪⎩，22221115511155b b a a b b a a ⎧⎛⎫⎛⎫++<⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴⎨⎛⎫⎛⎫⎪<++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得：223b a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，0a b >>，03b a ∴<<，22222222cos 255533a b c a b a b C ab ab b a ⎛⎫+-+⎛⎫==⋅=+>⨯+= ⎪ ⎝⎭⎝，又C 为锐角，∴cos 13C <<，即cos C的取值范围为,13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查余弦定理的综合应用，利用已知求得603b a <<是关键，考查运算求解能力，难度较大.三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{}n a 满足31720,56a a a =+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()41nn S b n =+，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.设[]x 表示不超过x 的最大正整数，求使[][][][]1232023n b b b b ++++< 的最大正整数n 的值.【答案】（1）84n a n =-（2）64【解析】【分析】（1）根据题意列式求解1,a d ，进而可得结果；（2）由（1）可得,n n S b ，根据题意可得[]1n b n =-，根据等差数列的求和公式分析运算即可.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得311712202656a a d a a a d =+=⎧⎨+=+=⎩，解得148a d =⎧⎨=⎩，所以数列{}n a 的通项公式()48184n a n n =+-=-.【小问2详解】由（1）可得84n a n =-，则()248442n n n n S +-==，所以()()2114111n n S n b n n n n ===-++++，因为*n ∈N ，则()1110,1,n n -∈∈+N ，所以[]1n b n =-，则[][]()111n n b b n n +-=--=，即数列[]{}n b 是以首项为0，公差为1的等差数列，则[][][][]()()123011202322n n n n n b b b b +--++++==<L ，即24046n n -<，又因为()2f n n n =-在[)1,+∞上单调递增，且()()6440324046,6541604046f f =<=>，所以使[][][][]1232023n b b b b ++++< 的最大正整数n 的值为64.18.为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y （单位：万台）关于x （年份）的线性回归方程 4.79459.2y x =-，且销量y 的方差为22545y s =，年份x 的方差为22x s =.（1）求y 与x 的相关系数r ，并据此判断电动汽车销量y 与年份x 的线性相关性的强弱.（2）该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：性别购买非电动汽车购买电动汽车总计男性39645女性301545总计692190依据小概率值0.05α=的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？25=≈.②参考公式：线性回归方程为ˆˆy bx a =+，其中()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx=-；相关系数()()niix x y y r --=∑||0.9r >，则可判断y 与x 线性相关较强；22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.附表：()20P K k ≥0.100.050.0100.0010k 2.7063.8416.63510.828【答案】（1）0.93，电动汽车销量y 与年份x 的线性相关性的较强（2）有关【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用线性回归方程，结合相关系数公式计算作答；（2）根据22⨯列联表，计算2K 的值，并与对应的小概率值比较即得.【小问1详解】由22xs =，得()2212ni x i x x ns n =-==∑，由22545ys =，得()2212545ni y i n y y ns =-==∑，因为线性回归方程 4.79459.2y x =-，则()()()1214.7ˆniii ni i x x y y bx x ==--==-∑∑，即()()()2114.7 4.729.4n ni i i i i x x y y x x n r ==--=-=⨯=∑∑，因此相关系数()() 4.7 4.7250.930.9127127n iix x y y r --⨯===≈≈>∑，所以电动汽车销量y 与年份x 的线性相关性的较强.【小问2详解】零假设0H ：购买电动汽车与车主性别无关，由表中数据得：2290(3915306) 5.031 3.84145456921K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，依据小概率值0.05α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA 与1BB ，12AB AC A B ===，1AC BC ==．（1）证明：平面11A ABB ⊥平面ABC ；（2）若点N 在棱11A C 上，求直线AN 与平面11A B C 所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）7【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质作线线垂直，结合线段长度及勾股定理判定线线垂直，根据线面垂直的判定与性质证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面角结合基本不等式求最值即可.【小问1详解】取棱1A A 中点D ，连接BD ，因为1AB A B =，所以1BD AA ⊥因为三棱柱111ABC A B C -，所以11//AA BB ，所以1BD BB ⊥，所以BD =因为2AB =，所以1AD =，12AA =；因为2AC =，1A C =，所以22211AC AA AC +=，所以1AC AA ⊥，同理AC AB ⊥，因为1AA AB A = ，且1AA ，AB ⊂平面11A ABB ，所以AC ⊥平面11A ABB ，因为AC ⊂平面ABC ，所以平面11A ABB ⊥平面ABC ；【小问2详解】取AB 中点O ，连接1AO ，取BC 中点P ，连接OP ，则//OP AC ，由（1）知AC ⊥平面11A ABB ，所以OP ⊥平面11A ABB 因为1AO 平面11A ABB ，AB ⊂平面11A ABB ，所以1OP A O ⊥，OP AB ⊥，因为11AB A A A B ==，则1A O AB⊥以O 为坐标原点，OP ，OB ，1OA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,1,0)A -，1A，1(0,B ，(2,1,0)C -，可设点(N a =，()02a ≤≤，()110,2,0A B =，(12,1,A C =-，(AN a =，设面11A B C 的法向量为(,,)n x y z =，得1110202n A B yn A C x y ⎧⋅==⎪⎨⋅==--⎪⎩ ，取x =，则0y =，2z =，所以n =设直线AN 与平面11A B C 所成角为θ，则sin cos ,n AN n AN n AN θ⋅=<>==⋅=若0a =，则sin 7θ=，若0a ≠，则sin 7θ=≤，当且仅当4a a=，即2a =时，等号成立，所以直线AN 与平面11A B C所成角的正弦值的最大值7.20.已知抛物线E ：24y x =，过点(1,1)P 作斜率互为相反数的直线,m n ，分别交抛物线E 于,A B 及,C D 两点．（1）若3PA BP =，求直线AB 的方程；（2）求证：CAP BDP ∠=∠．【答案】（1）y x =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由3PA BP = ，得12124343x x y y =-⎧⎨=-⎩，又2114y x =，2224y x =，解得,A B两点的坐标，进而可得答案．（2）设直线AB ：(1)1y k x =-+，则直线CD ：(1)1y k x =--+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，联立直线AB 与抛物线的方程，结合韦达定理由弦长公式计算AP BP ⋅，同理可得CP DP ⋅，进而可得APC BPD ∽△△，即可得出答案．【小问1详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，∵(1,1)P ，∴22(1,1)BP x y =-- ，11(1,1)PA x y =--，∵3PA BP =，∴21213(1)13(1)1x x y y -=-⎧⎨-=-⎩，12124343x x y y =-⎧⎨=-⎩．又∵2114y x =，∴222(43)4(43)y x -=-，即2222384y y x -=-，又∵2224y x =，∴222480y y -=，20y =或22y =，当20y =时，20x =，∴14x =，14y =；当22y =时，21x =，∴11x =，12y =-，此时直线AB 的斜率不存在，舍去，∴(4,4)A ，(0,0)B ，∴直线AB 的方程为：y x =．【小问2详解】设直线AB ：(1)1y k x =-+，则直线CD ：(1)1y k x =--+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y，由2(1)14y k x y x =-+⎧⎨=⎩，即21(1)14x y ky x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，则24440y y k k -+-=，所以124y y k +=，1244y y k =-，又∵1||1|AP y =-，2||1|BP y =-，∴12121222211144||||1(1)(1)1()1141AP BP y y y y y y k k k kk ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+--=+-++=+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2131k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，同理可证：2211||||3131()CP DP k k ⎡⎤⎛⎫⋅=+=+ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦，∴||||||||AP BP CP DP ⋅=⋅，∴||||||||AP CP DP BP =，又∵CPA BPD ∠=∠，∴APC BPD ∽△△，∴CAP BDP ∠=∠．【点睛】方法点睛：解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.已知0a >，函数()()1ln 1f x a x x x =+-+.（1）若()f x 是增函数，求a 的取值范围；（2）证明：当102a <<，且1e a ≠时，存在三条直线123,,l l l 是曲线ln y x =的切线，也是曲线1y a x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的切线.【答案】（1）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先利用导数判断导函数的单调性，再结合函数的单调性，即可求解；（2）首先求曲线ln y x =的切线方程，再与曲线1y a x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的方程联立，再根据判别式构造函数，()21(ln 1)4g t t a a t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，利用导数判断函数的单调性，并结合零点存在性定理判断函数有3个零点.【小问1详解】()f x 的定义域为()()10,,ln 1,x f x a x x ∞+⎛⎫+=- ⎪⎝⎭'+令()()()221111ln 1,a x x F x a x F x a x x x x -+⎛⎫⎛⎫'=+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()0F x '<，得01x <<；令()0F x '>，得1x >，故()f x '在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，从而()min 1()1210,2f x f a a ==-≥≥''，故a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【小问2详解】设曲线ln y x =的切点为()1,ln ,(ln )t t x x'=，则曲线ln y x =在点(),ln t t 处的切线方程为()1ln y t x t t-=-.联立()1ln 1y t x t t y a x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，得()21ln 10a x t x a t ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭，必有()2101Δln 140a t t a a t ⎧-≠⎪⎪⎨⎛⎫⎪=---= ⎪⎪⎝⎭⎩，记函数()21(ln 1)4g t t a a t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，由题2111,ln 10e a g a a ⎛⎫⎛⎫≠∴=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故当()0g t =时，11,0t a a t≠-≠.()()()222ln 12ln 144t t t a a g t tt t --+=+='记()()()()2ln 14,2ln 122ln h t t t a h t t t '=-+=-+=，令()0h t '<，得01t <<；令()0h t '>，得1t >，故()h t 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.当102a <<，且1ea ≠时，(1)420,(e)40h a h a =-<=>，当0t →时，()4h t a →，故存在1201e t t <<<<，使得()()120h t h t ==，当10t t <<，或2t t >时，()()0,0h t g t >>'；当12t t t <<时，()()0,0h t g t <<'，故()g t 在()()120,,,t t +∞上单调递增，在()12,t t 上单调递减.由()10h t =，得()111ln 2t t a -=，代入()()21111ln 14g t t a a t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭并整理得：()()()222111111ln 11ln 12g t t t t t ⎡⎤=-+-+⎢⎥⎣⎦同理()()()222222221ln 11ln 12g t t t t t ⎡⎤=-+-+⎢⎥⎣⎦，记()()11ln 12x x x x ϕ=+-+，由（1）知()x ϕ为增函数，1201e t t <<<< ，()()2212(1)0,(1)0,t t ϕϕϕϕ∴<=>=，()()()()()()22111222ln 10,ln 10g t t t g t t t ϕϕ∴=->=-<又()2222142e 14110e e e a g a a ⎛⎫=-->->-> ⎪⎝⎭ ，当0t →时，()g t →-∞，()g t ∴有三个零点，∴存在三条直线123,,l l l 是曲线ln y x =的切线，也是曲线1y a x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的切线.【点睛】关键点睛：本题考查根据函数的导数判断函数的单调性，以及切线，零点，函数性质的综合应用问题，推理难度较大，第二问的关键是根据判别式来设函数()21(ln 1)4g t t a a t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，转化为函数有3个零点问题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4]坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为44x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）,以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为8sin ρθ=，A 为曲线C 上一点.（1）求A 到直线l 距离的最大值；（2）若B 为直线l 与曲线C 第一象限的交点，且7π12AOB ∠=，求AOB 的面积.【答案】（1）4+（2）4+【解析】【分析】（1）由条件得出直线的普通方程和圆的参数方程，设(4cos ,44sin )A θθ+，利用点到直线的距离公式得到π)14d θ=+-，从而求出结果；（2）由条件求出点B 的坐标，设出,A B 的极坐标方程，再利用面积公式即可求出结果.【小问1详解】由44x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消t 得到80x y +-=，所以直线l 的普通方程为80x y +-=，因为曲线C 的极坐标方程为8sin ρθ=，所以28sin ρρθ=，又cos ,sin x y ρθθ==，所以曲线C 的普通方程为228x y y +=，即()22416x y +-=，所以曲线C 的参数方程为4cos 44sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），因为A 在圆C 上，设(4cos ,44sin )A θθ+，则A 到l 距离为πsin 1)14d θθ==+-=+-，所以当πsin(14θ+=-时，A 到l 距离最大，为4+.【小问2详解】由22808x y x y y+-=⎧⎨+=⎩，消y 得到240x x -=，解得0x =或4x =，又因为B 在第一象限，所以()4,4B ，点A ，B 在曲线C 上，由题可设17,412A ππρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2,4B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入曲线C 的极坐标方程得17π5π8sin 8sin 44126OA πρ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭，2π8sin 4OB ρ===，又因为7πππππππsin sin sin sin cos cos sin 124343434AOB ⎛⎫∠==+=+= ⎪⎝⎭，故AOB 的面积为14424S =⨯⨯=+.[选修4-5]不等式选讲23.已知a ，b 均不为零，且满足221a b +=．证明：（1）a b +≤（2）331a b b a+≥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据完全平方式有222||||(||||)2||||1a b a b a b +=+-⋅=，再利用基本不等式即可证明；（2）根据条件将原式化简为332||a b a b ab b a b a+=+-，再利用基本不等式即可证明.【小问1详解】221a b +=，22||||1a b ∴+=，222||||(||||)2||||1a b a b a b ∴+=+-⋅=.根据基本不等式得22(||||)(||||)12||||2a b a b a b ++-=⋅≤,当且仅当||||2a b ==时,等号成立.整理得2(||||)2a b +≤,a b ∴+≤【小问2详解】()()33222211a b a b a b a b b a b a b a b a +=⋅+⋅=⋅-+⋅-||||2||a b a b ab ab ab b a b a=-+-=+-，由基本不等式和不等式的性质,得2a b b a +≥=，222||1ab a b ≤+=，故2||211a b ab b a+-≥-=，当且仅当||||2a b ==时,等号成立,331.a b b a∴+≥。
四川省绵阳市2021-2022学年高三上学期第二次诊断性考试理科数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 设为虚数单位，则复数（ ）A．B．C．D．2.若函数在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A．B．C．D．3.已知，则的取值范围是（ ）A ．[0，1]B．C ．[1，2]D ．[0，2]4. 已知，是两个不同的平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，下列条件中，可以得到的是（ ）A ．，，，B ．，C ．，D ．，5. 截至2023年2月，“中国天眼”发现的脉冲星总数已经达到740颗以上．被称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST ），是目前世界上口径最大，灵敏度最高的单口径射电望远镜（图1）．观测时它可以通过4450块三角形面板及2225个触控器完成向抛物面的转化，此时轴截面可以看作拋物线的一部分．某学校科技小组制作了一个FAST 模型，观测时呈口径为4米，高为1米的抛物面，则其轴截面所在的抛物线（图2）的顶点到焦点的距离为（）A ．1B ．2C ．4D ．86. 已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．7. 已知，现将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若两函数与图象的对称中心完全相同，则满足题意的的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48. 高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最．对于高斯函数，表示不超过实数的最大整数，如，，表示的非负纯小数，即．若函数（且）有且仅有3个零点，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．9. 已知是数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（ ）A．数列为等比数列B ．数列为等比数列C．D．10. 如图，棱长为2的正方体中，，，，，则下列结论中正确的是（ ）四川省绵阳市2021-2022学年高三上学期第二次诊断性考试理科数学试题(1)四川省绵阳市2021-2022学年高三上学期第二次诊断性考试理科数学试题(1)三、填空题四、解答题A ．存在y，使得B ．当时，存在z 使得∥平面AEFC ．当时，异面直线与EF所成角的余弦值为D ．当时，点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍11. 已知圆，直线l过点，且交圆O 于P ，Q 两点，点M 为线段PQ 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．点M 的轨迹是圆B ．的最小值为6C ．使为整数的直线l 共有9条D ．使为整数的直线l 共有16条12. 过双曲线的左焦点的直线交的左､右支分别于两点，交直线于点，若，则（ ）A．B．C．D．13. 下图是单叶双曲面的立体结构图，且为中心对称图形，此双曲面可由线段绕与其不共面的直线旋转而成，其轴截面为双曲线的一部分，若该几何体的高为2，上底面圆的直径为4，垂直于旋转轴的截面圆的面积最小值为，则双曲线的离心率为___________.14. 已知函数向右平移个单位长度后得到．若对于任意的，总存在，使得，则的最小值为______．15. 某校进行了物理学业质量监测考试，将考试成绩进行统计并制成如下频率分布直方图，a 的值为______；考试成绩的中位数为______．16.在中，已知角，，的对边分别为，，，若，．（1）求角的大小；（2）若的平分线交于点，△的面积为，求线段的长度．17.已知数列的前项和为，且．(1)求的值，并证明：数列是一个常数列；(2)设数列满足，记的前项和为，若，求正整数的值．18. 已知双曲线的离心率为，右顶点到的一条渐近线的距离为.(1)求的方程；(2)是轴上两点，以为直径的圆过点，若直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由.19. 的内角，，的对边分别为，，，且满足=．（1）求；（2）若，求的最小值．20. 如图，在四棱台中，，平面，.(1)证明：；(2)若，，，求平面与平面的夹角的余弦值.21. 如图，直三棱柱中，，M为棱上一点．(1)求三棱锥的体积；(2)求证：．。
四川省绵阳市2021-2022学年高三上学期第二次诊断性考试理科数学试题 (2)
一、单选题二、多选题1.的值为A．B．C．D．2. 下列命题是真命题的是（ ）A ．若平面，，，满足，，则；B ．命题：，，则：，；C ．“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；D ．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”.3. 已知是R 上的偶函数，若的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，则的值为 （ ）A ．1B ．0C ．-1D．4.与向量平行的一个向量的坐标是( )A．B ．(-1,-3,2)C．D ．(,-3,-2)5.函数的图象大致为A．B．C．D．6. 一个质点做直线运动，其位移s （单位：米）与时间t （单位：秒）满足关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（ ）A ．5米/秒B ．8米/秒C ．14米/秒D ．16米/秒7. 在中，若，则最大角为（ ）A．B．C．D．8. 如图，四棱锥的底面为矩形，矩形的四个顶点，，，在球的同一个大圆上，且球的表面积为，点在球面上，则四棱锥体积的最大值为（）A ．8B．C ．16D．9. 已知直三棱柱中，，，M ，N ，Q分别为棱，，AC 的中点，P 是线段上（包含端点）的动点，则下列说法正确的是（ ）A．平面MNA四川省绵阳市2021-2022学年高三上学期第二次诊断性考试理科数学试题 (2)四川省绵阳市2021-2022学年高三上学期第二次诊断性考试理科数学试题 (2)三、填空题四、解答题B．三棱锥的体积为定值C．的最大值为4D ．若P为的中点，则过A ，M ，P三点的平面截三棱柱所得截面的周长为10. 如图，在某城市中，，两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网M ，N 处的甲、乙两人分别要到，处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，处为止，则下列说法正确的有（）A ．甲从到达处的方法有120种B ．甲从必须经过到达处的方法有9种C．甲、乙两人在处相遇的概率为D．甲、乙两人相遇的概率为11.设复数，则下列命题中正确的是（ ）A．B．C ．z的虚部是D ．若，则正整数n 的最小值是312. 双曲线的虚轴长为2，为其左右焦点，是双曲线上的三点，过作的切线交其渐近线于两点.已知的内心到轴的距离为1.下列说法正确的是（ ）A ．外心的轨迹是一条直线B ．当变化时，外心的轨迹方程为C ．当变化时，存在使得的垂心在的渐近线上D ．若分别是中点，则的外接圆过定点13.设函数________．14. 设为抛物线的焦点，，，为该抛物线上不同的三点，若，为坐标原点，则___________.15. 要得到的图象可由图象向__________得到.16. 在中，角的对边分别是，的面积为.(1)若，，，求边；(2)若是锐角三角形且角，求的取值范围.17. 2022年卡塔尔世界杯足球赛于11月21日至12月18日在卡塔尔境内举办，这是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，备受瞩目，一时间掀起了国内外的足球热潮.某机构为了了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各120名观众进行调查，统计数据如下：喜爱足球运动不喜爱足球运动男性8040女性6060(1)根据上表说明，能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为喜爱足球运动与性别有关？(2)现从参与调查且喜爱足球运动的观众中，采用按性别分层抽样的方法，选取7人进行有奖竞答.①求男、女性观众各选取多少人？②若从这7人中随机抽取4人进行本届世界杯赛事集锦分享，求抽到男生人数的分布列和数学期望.附：，.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.841 5.024 6.6357.87910.82818. 已知函数，，m∈R．(1)设的导函数为，试讨论的零点个数；(2)设，当时，若恒成立，求实数m的取值范围．19. 已知函数.（1）求函数在上的最小值；（2）证明：对任意实数，函数有唯一零点.（注：为自然对数的底数）20. 已知二次函数与的图象有唯一的公共点．(1)求的值；(2)设，若在上是单调函数，求的范围，并指出是单调递增函数还是单调递减函数．21.已知锐角的内角所对的边分别为，且，.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.。
四川省绵阳南山中学2023届高三上学期12月二诊热身考试数学(理)试卷(PDF版,含解析)
2022年12月绵阳南山中学2022年秋绵阳二诊热身考试理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为Z，集合{1,}A =2,3，{}Z x x x x B ∈≥--=,022，则=⋃)(B C A Z A.{1}B.{12}， C.{0123}，，， D.{10123}-，，，，2.复数z 满足1+)||i z i =-（，则=z A.1+iB.1i- C.1i-- D.1+i-3.已知直线l 的方程为sin 10,x R αα+-=∈，则直线l 的倾斜角范围是A ．20,,33πππ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．65,6[ππD ．]32,3[ππ4.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据下表可得回归方程中的6.10=∧b ，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为广告费用x (万元)4235销售额y (万元)49263958A.111.9万元B ．112.1万元C ．113.1万元D ．113.9万元5.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有A ．20种B ．30种C ．50种D ．60种6.已知直线:10l mx y m +--=与圆22:(2)(2)4M x y -+-=交于,A B 两个不同点，则当弦AB 最短时，圆M 与圆22:()1N x y m +-=的位置关系是A ．内切B ．相离C ．外切D ．相交7.将函数)0(15sin(2)(>--=ωπωx x f 的图象向左平移5πω个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,4π上为增函数，则ω的最大值为A ．5πB ．25πC ．2D ．38.已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且()()2f x f x -=+，()21f =，则不等式()x f x e <的解集为A.)2,(-∞B ．()2,+∞C ．()1,+∞D ．()0,∞+9.如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM →＝xBA →＋yBD →(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的最大值为A ．2B ．3C ．2D ．2210.已知函数()f x 满足()(),11ln 1,1ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨+>-⎩函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，则实数a 的取值范围为A ．11,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭11.已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为8，P 是双曲线右支上的一点，直线F 2P与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆在边PF 1上的切点为Q ，若|P Q |＝2，则该双曲线的离心率为C.2D.312.已知函数)(x f y =的定义域为R ，对任意的实数x ，y ∈R ，)()()(y f x f y x f =+，当x ＜0时f (x )＞1，且数列{}n a 满足*)(1)11()(1N n a f a f nn ∈=++，且a 1＝f （0），则下列结论成立的是A ．f （a 2016）＞f （a 2019）B ．f （a 2016）＞f （a 2018）C ．f （a 2017）＞f （a 2020）D ．f （a 2018）＞f （a 2019）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.5212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为_________.14.已知)0,3(),1,3(-B A ，P 是椭圆221167x y +=上的一点，则PA PB +的最大值为．15.如图，将半径为1分米的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分).现在往圆内任投100颗豆子，则落在星形区域内的豆子数大约为________.16.对于任意1x ，2[1,)x ∈+∞，当21x x >时，有0)(2ln 1212<--x x x x a 成立，则实数a 的取值范围是.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.2022年11月20日，卡塔尔世界杯在海湾球场盛大开幕。
绵阳市高三第二次诊断性考试数学(理)试题含答案
保密 ★ 启用前 【考试时间：20XX 年1月26日15:00—17:00】绵阳市高中20XX 级第二次诊断性考试数 学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页，第II 卷3至4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。
2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1+y -1=0的倾斜角是A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．计算：1+i+i 2+i 3+…+i 100（i 为虚数单位）的结果是A ．0B ．1C ．iD ．i+1 3．已知a 、b ∈R ，那么“ab <0”是“方程ax 2+by 2=1表示双曲线”的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．为了得到函数3sin(2)5y x π=+的图象，只需把函数3sin()5y x π=+图象上所有点的A ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 B ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变 D ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 5．一个正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）的三视图如右图所示，则这个正三棱柱的体积为 AB．C．D．6．若log a (a 2+1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是A ．(0，21)B ．(21，1)正视图侧视图俯视图C ．(0，1)D ．(0，1)∪(1，+∞)7．现有1位老师、2位男学生、3位女学生共6人站成一排照相，若男学生站两端，3位女学生中有且只有两位相邻，则不同排法的种数是 A ．12种B ．24种C ．36种D ．72种8．已知椭圆22221x y a b +=(a >b >0)的半焦距为c (c >0)，左焦点为F ，右顶点为A ，抛物线215()8y a c x =+与椭圆交于B 、C 两点，若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率是 A ．815B ．415C ．23D ．129．已知关于x 的一元二次方程x 2-2x +b -a +3=0，其中a 、b 为常数，点(a ，b )是区域Ω：0404a b ≤≤⎧⎨≤≤⎩，内的随机点．设该方程的两个实数根分别为x 1、x 2，则x 1、x 2满足0≤x 1≤1≤x 2的概率是 A ．332B ．316C ．532D ．91610．一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是 A ．3或8B ．8或11C ．5或8D ．3或11第Ⅱ卷 （非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．《人再囧途之泰囧》首映结束，为了了解观众对该片的看法，决定从500名观众中抽取10%进行问卷调查，在这500名观众中男观众占40%，若按性别用分层抽样的方法抽取采访对象，则抽取的女观众人数为 人．12．右图表示的程序所输出的结果是.13．51(21)(1)x x+-的展开式的常数项是__________.（填写具体数字） 14．我们把离心率之差的绝对值小于12的两条双曲线称为“相近双曲线”．已知双曲线221412x y -=与双曲线221x y m n-=是“相近双曲线”，则nm的取值范围是 .15．已知函数()f x ，若对给定的三角形ABC ，它的三边的长a 、b 、c 均在函数()f x 的定义域内，都有()f a 、()f b 、()f c 也为某三角形的三边的长，则称()f x 是△ABC 的“三角形函数”．下面给出四个命题：①函数1()((0))f x x =∈+∞，是任意三角形的“三角形函数”；②若定义在(0)+∞，上的周期函数2()f x 的值域也是(0)+∞，，则2()f x 是任意三角形的“三角形函数”；③若函数33()3f x x x m =-+在区间2433（，）上是某三角形的“三角形函数”，则m 的取值范围是62+27∞（，）； ④若a 、b 、c 是锐角△ABC 的三边长，且a 、b 、c ∈N +，则24()+ln (0)f x x x x =>是△ABC 的“三角形函数”．以上命题正确的有 ．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数f (x )=(sin x +cos x )2-2sin 2x ．（Ⅰ）求f (x )的单调递减区间；（Ⅱ）A 、B 、C 是△ABC 的三内角，其对应的三边分别为a 、b 、c ．若()8A f =，AB AC ⋅=12，a =，且b <c ，求b 、c 的长．17．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，点E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于F ． （Ⅰ）求证：P A ∥平面EDB ； （Ⅱ）求证：PB ⊥平面EFD ； （Ⅲ）求二面角C -PB -D 的大小．18．（本小题满分12分）甲、乙两位同学练习三分球定点投篮，规定投中得三分，未投中得零分，甲每次投中的概率为13，乙每次投中的概率为14． （Ⅰ）求甲投篮三次恰好得三分的概率； （Ⅱ）假设甲投了一次篮，乙投了两次篮，设X 是甲这次投篮得分减去乙这两次投篮得分总和的差，求随机变量X 的分布列．19．（本小题满分12分）已知各项均不为零的数列{a n }的首项134a =，2a n +1a n =ka n -a n +1（n ∈N +，k 是不等于1的正常数）． （Ⅰ）试问数列12{}1n a k --是否成等比数列，请说明理由； （Ⅱ）当k =3时，比较a n 与3435n n ++的大小，请写出推理过程． 20．（本小题满分13分）动点M (x ，y )与定点F (1，0)的距离和它到直线l ：x =4的距离之比是常数12，O 为坐标原点．（Ⅰ）求动点M 的轨迹E 的方程，并说明轨迹E 是什么图形？（Ⅱ）已知圆C，是否存在圆C 的切线m ，使得m 与圆C 相切于点P ，与轨迹E 交于A 、B 两点，且使等式2AP PB OP ⋅=成立？若存在，求出m 的方程；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数f (x )=x ln x (x ∈(0，+∞))．D AB CPF E（Ⅰ）求(+1)()+1f xg x x x =-(x ∈(-1，+∞))的单调区间与极大值； （Ⅱ）任取两个不等的正数x 1、x 2，且x 1<x 2，若存在x 0>0使21021()()()f x f x f x x x -'=-成立，求证：x 1<x 0<x 2；（Ⅲ）已知数列{a n }满足a 1=1，1211(1)2n n n a a n+=++(n ∈N +)，求证：114n a e <（e 为自然对数的底数）．绵阳市高中20XX 级第二次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．CBCAA BBDAD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．30 12．3013．-9 14．44[]215，∪521[]44， 15．①④ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ）f (x )=1+sin2x -1+cos2xsin(2x+4π)， ∴ 当22k ππ+≤2x+4π≤322k ππ+时，f (x )单调递减， 解得8k ππ+≤x ≤58k ππ+， 即f (x )的单调递减区间为[8k ππ+，58k ππ+](k ∈Z )． ……………………6分 （Ⅱ）f (8Asin(4A +4πsin(4A +4π，∴4A +4π=3π或23π，即A=3π或53π（舍）．由AB AC ⋅=c ·b ·cos A =12，cos A =12，得bc =24．① 又cos A=222122b c a a bc +-==，，得b 2+c 2=52．∵ b 2+c 2+2bc =(b+c )2 =100，b >0，c >0， ∴ b+c=10，②联立①②，且b <c ，解得b =4，c =6． ………12分17．解：如图所示建立空间直角坐标系，设DC =1．（Ⅰ）连结AC ，交BD 于G ，连结EG ．依题意得A (1，0，0)，P (0，0，1)，E (0，12，12)．∵ 底面ABCD 是正方形，所以G 是此正方形的中心， 故点G 的坐标为(12，12，0)， 且11(101)(0)22PA EG =-=-，，，，，．∴ 2=，这表明P A //EG ．而EG ⊂平面EDB 且P A ⊄平面EDB ， ∴ P A //平面EDB ． ……………………………………………………………4分 （Ⅱ）依题意得B (1，1，0)，PB =(1，1，-1)．又11(0)22DE =，，， 故110022PB DE ⋅=+-=．∴DE PB ⊥．由已知PB EF ⊥，且E DE EF = ，∴ ⊥PB 平面EFD ．…………………………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知PB EF ⊥，PB DF ⊥，故EFD ∠是所求二面角的平面角． 设点F 的坐标为(x 0，y 0，z 0)，PF k PB =，则(x 0，y 0，z 0-1)=k (1，1，-1)，从而x 0=k ，y 0=k ，z 0=1-k ， ∵ PB FD ⋅=0，所以(1，1，-1)·(k ，k ，1-k )=0，解得13k =， ∴ 点F 的坐标为112()333，，，且111()366FE =--，，，112()333FD =---，，∴ 1cos 2||||FE FD EFD FE FD ⋅∠==，得3π=∠EFD ．∴ 二面角C -PB -D 的大小为3π．…………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）甲投篮三次恰好得三分即1次投中2次不中，∵ 甲投篮三次中的次数x ～B (3，13)， ∴ P (x =1)=123114(1)339C ⋅⋅-=， 甲投篮三次恰好得三分的概率为49．…………………………………………4分 （Ⅱ）设甲投中的次数为m ，乙投中的次数为n ， ①当m =0，n =2时，X =-6，∴ P (X =-6)=222211()3424C ⋅⋅=． ②当m =1，n =2或m =0，n =1时，X =-3， ∴ P (X =-3)=2121121313()3434448C ⋅+⋅⋅⋅=． ③当m =1，n =1或m =0，n =0时，X =0，∴ P (X =0)=10222113231()344342C C ⋅⋅⋅+⋅⋅=． ④当m =1，n =0时，X =3，∴ P (X =3)=022139()3448C ⋅⋅=． ∴X 的分布列为…………………………………12分19．解：（Ⅰ）由 2a n +1a n =ka n -a n +1，可得11n a +=12n nka a +， ∴11n a +21k --=12n nka a +21k --=112()1n k a k --，首项为11242131a k k -=---． 若42031k -=-，即k=52时，数列12{}1n a k --为零数列，不成等比数列． 若42031k -≠-，即k>0，k ≠1且k ≠52时， 数列12{}1n a k --是以4231k --为首项，1k为公比的等比数列． ∴ 综上所述，当k=52时，数列12{}1n a k --不成等比数列；当k>0，k ≠1且k ≠52时，数列12{}1n a k --是等比数列．……………………………………6分 （Ⅱ）当k =3时，数列1{1}n a -是以13为首项，13为公比的等比数列． ∴ 111()3n n a -=，即a n =331nn +=1-131n +， ∴ a n -3435n n ++=1-131n +-(1-135n +)=135n +-131n +=334(35)(31)n nn n --++， 令F (x ) =3x -3x -4(x ≥1)，则()F x '=3x ln3-3≥(1)F '>0， ∴ F (x )在[1)+∞，上是增函数． 而F (1)=-4<0，F (2)=-1<0，F (3)=14>0， ∴ ①当n =1和n =2时， a n <3435n n ++； ②当n ≥3时，3n +1>3n +5，即135n +>131n +，此时a n >3435n n ++． ∴ 综上所述，当n =1和n =2时，a n <3435n n ++；当n ≥3时，a n >3435n n ++．…12分 20．解：12=，化简得：22143x y +=，即轨迹E 为焦点在x 轴上的椭圆． ………………5分（Ⅱ）设A (x 1，x 2)，B (x 2，y 2)．∵ OA OB ⋅=(OP PA +)۰(OP PB +)=2OP +OP PB ⋅+PA OP ⋅+PA PB ⋅， 由题知OP ⊥AB ，故OP PB ⋅=0，PA OP ⋅=0． ∴ OA OB ⋅=2OP +PA PB ⋅=2OP -AP PB ⋅=0． 假设满足条件的直线m 存在，①当直线m 的斜率不存在时，则m 的方程为x=代入椭圆22143x y +=，得y=． ∴ OA OB ⋅=x 1x 2+y 1y 2=-2-64≠0，这与OA OB ⋅=0矛盾，故此时m 不存在． ②当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y =kx +b ， ∴|OP|==b 2=2k 2+2．联立22143x y +=与y =kx+b 得，(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2-12=0，∴ x 1+x 2=2348kb k-+，x 1x 2=2241234k b -+， y 1y 2=(kx 1+b )(kx 2+b )=k 2x 1x 2+kb (x 1+x 2)+b 2=22231234b k k+-， ∴OA OB ⋅=x 1x 2+y 1y 2=2241234k b -++22231234b k k+-=0． ∴ 7b 2-12k 2-12=0， 又∵ b 2=2k 2+2，∴ 2k 2+2=0，该方程无解，即此时直线m 也不存在．综上所述，不存在直线m 满足条件．………………………………………13分 21．解：（Ⅰ）由已知有(+1)()+1f xg x x x =-=ln(+1)x x -， 于是1()1=+11xg x x x '=--+． 故当x ∈(-1，0)时，()g x '>0；当x ∈(0，+∞)时，()g x '<0．所以g (x )的单调递增区间是(-1，0)，单调递减区间是(0，+∞)，g (x )的极大值是g (0)=0． ……………………………………………………………………4分 （Ⅱ）因为()ln +1f x x '=，所以0ln +1x =2121()()f x f x x x --，于是02ln ln x x -=21221()()ln 1f x f x x x x ----=2211221ln ln ln 1x x x x x x x ----=121121ln ln 1x x x x x x ---=2121ln11x x x x --，令21x x =t (t >1)，ln ln 1()111t t t h t t t -+-=--=， 因为10t ->，只需证明ln +10t t -<．令ln +1t t t ϕ=-（)，则110t tϕ'=-<()，∴ t ϕ()在(1+)t ∈∞，递减，所以10t ϕϕ<()()=， 于是h (t )<0，即02ln ln x x <，故02x x <．仿此可证10x x <，故102x x x <<．……………………………………………10分 （Ⅲ）因为11a =，1211(1)2n n n n a a a n +=++>，所以{}n a 单调递增，n a ≥1． 于是1222111111(1)(1)=(1)222n n n n n n n n a a a a a n n n +=++≤++++， 所以1211ln ln ln(1)2n n n a a n +≤+++． （*） 由（Ⅰ）知当x >0时，ln 1+x ()<x ． 所以（*）式变为1211ln ln 2n n n a a n +<++． 即11211ln ln 2(1)k k k a a k ---<+-(k ∈N ，k ≥2)， 令k =2，3，…，n ，这n -1个式子相加得1121222111111ln ln +++)[]22212(1)n n a a n --<++++-（1221111111)[]2122334(2)(1)n n n -<++++++⨯⨯--(-=1111111111)[1()()()]24233421n n n -+++-+-++---(- =111111)1)2421n n -+++--(-( 1111111=4214n n --<--， 即11111ln ln 44n a a <+=，所以114n a e <．……………………………………14分。
2020届四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科)(有答案)(精品)
四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选型中，只有一个是符合题目要求的.1．若集合A={x|y=2x}，集合，则A∩B=（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，+∞）2．为了得到函数y=3sin（2x+），x∈R的图象，只需把函数y=3sin（x+），x∈R的图象上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变3．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．4．在复平面内，复数z=（|a|﹣1）+（a+1）i（a∈R，i为虚数单位）对应的点位于第四象限的充要条件是（）A．a≥﹣1 B．a＞﹣1 C．a≤﹣1 D．a＜﹣15．已知直线2x+y﹣3=0的倾斜角为θ，则的值是（）A．﹣3 B．﹣2 C．D．36．在闭区间[﹣4，6]上随机取出﹣个数x，执行如右图所示的程序框图，则输出的x不小于39的概率为（）A．B．C．D．7．已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内（含边界）一动点，则•的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．[﹣1，3] D．[﹣1，4]8．已知正项等比数列{a n}满足a5+a4﹣a3﹣a2=8，则a6+a7的最小值为（）A．4 B．16 C．24 D．329．已知f（x）=x2++c（b，c为常数）和g（x）=x+是定义在M={x|1≤x≤4}上的函数，对任意的x∈M，存在x0∈M使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0），且f（x0）=g（x0），则f（x）在集合M上的最大值为（）A．B．5 C．6 D．810．已知抛物线x2=4py（p＞0）的焦点F，直线y=x+2与该抛物线交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若•+（+）•=﹣1﹣5p2，则p的值为（）A．B．C．1 D．2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．某小组4个同学的数学成绩的茎叶图如图，则该组同学的成绩的中位数是______．12．在x（x﹣1）5展开式中含x3项的系数是______（用数字作答）．13．从数字0、1、2、3、4、5这6个数字中任选三个不同的数字组成的三位偶数有______个．（用数字作答）14．已知点P在单位圆x2+y2=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2，则d1+d2的最小值是______．15．现定义一种运算“⊕”：对任意实数a，b，a⊕b=，设f（x）=（x2﹣2x）⊕（x+3），若函数g（x）=f（x）+k的图象与x轴恰有两个公共点，则实数k的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，原理毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性，禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段性在[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求[50，60）年龄段抽取的人数；（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，记X为年龄在[50，60）年龄段的人数，求X的分布列及数学期望．17．已知函数f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x．（1）若x是某三角形的一个内角，且f（x）=﹣，求角x的大小；（2）当x∈[0，]时，求f（x）的最小值及取得最小值时x的集合．18．已知二次函数f（x）=x2+4x+m（m∈R，m为常数）的图象与坐标轴有三个交点，记过这三个交点的圆为圆C．（I）求m的取值范围；（Ⅱ）试证明圆C过定点（与m的取值无关），并求出该定点的坐标．19．已知等差数列{a n}的前n项和S n满足：S5=30，S10=110，数列{b n}的前n项和T n满足：b1=1，b n﹣2T n=1．+1（1）求S n与b n；（2）比较S n b n与2T n a n的大小，并说明理由．20．在平面直角坐标系中，动点M到定点F（﹣1，0）的距离和它到直线l：x=﹣2的距离之比是常数，记动点M的轨迹为T．（1）求轨迹T的方程；（2）过点F且不与x轴重合的直线m，与轨迹T交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，与轨迹T是否存在点Q，使得四边形APBQ为菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当m≥时，设g（x）=2f（x）+x2的两个极值点x1，x2（x1＜x2）恰为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，求y=（x1﹣x2）h′（）的最小值．四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选型中，只有一个是符合题目要求的.1．若集合A={x|y=2x}，集合，则A∩B=（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，+∞）【考点】函数的定义域及其求法；交集及其运算．【分析】求出集合A中函数的定义域确定出A，求出集合B中函数的定义域确定出B，求出A与B的交集即可．【解答】解：集合A中的函数y=2x，x∈R，即A=R，集合B中的函数y=，x≥0，即B=[0，+∞），则A∩B=[0，+∞）．故选C2．为了得到函数y=3sin（2x+），x∈R的图象，只需把函数y=3sin（x+），x∈R的图象上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点横坐标变为原来的一半【解答】解：由函数图象变换的规则函数的图象，可以由函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到故选B．3．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程，得出=，再利用离心率e==计算．【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程为：y=±x，∵双曲线的一条渐近线方程是y=x，∴=，则离心率e=====．故选：B4．在复平面内，复数z=（|a|﹣1）+（a+1）i（a∈R，i为虚数单位）对应的点位于第四象限的充要条件是（）A．a≥﹣1 B．a＞﹣1 C．a≤﹣1 D．a＜﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由复数z的实部大于0，且虚部小于0联立不等式组求得答案．【解答】解：由z=（|a|﹣1）+（a+1）i对应的点位于第四象限，得，即a＜﹣1．∴复数z=（|a|﹣1）+（a+1）i对应的点位于第四象限的充要条件是a＜﹣1．故选：D．5．已知直线2x+y﹣3=0的倾斜角为θ，则的值是（）A．﹣3 B．﹣2 C．D．3【考点】同角三角函数基本关系的运用；直线的倾斜角．【分析】由直线的倾斜角和斜率的关系可得tanθ=﹣2，要求的式子可化为，代入计算可得．【解答】解：∵直线2x+y﹣3=0的倾斜角为θ，∴tanθ=﹣2，∴===．故选：C．6．在闭区间[﹣4，6]上随机取出﹣个数x，执行如右图所示的程序框图，则输出的x不小于39的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型；程序框图．【分析】根据程序框图求出x的取值范围，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：由程序框图知，第一次循环，n=1，满足条件n≤3，y=2x+1，n=2，第二次循环，n=2，满足条件n≤3，y=2（2x+1）+1=4x+3，n=3，第三次循环，n=3，满足条件n≤3，y=2（4x+3）+1=8x+7，n=4，此时不满足条件n≤3输出y=8x+7，由8x+7≥39得x≥4，即4≤x≤6，则对应的概率P==，故选：A7．已知点M 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆内（含边界）一动点，则•的取值范围是（ ） A ．[﹣1，0] B ．[﹣1，2] C ．[﹣1，3] D ．[﹣1，4] 【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，由题意可得：点M 所在的圆的方程为：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2≤1（0≤x ≤2，0≤y ≤2）．可设点M （x ，y ）可得•=（x ﹣1）2+y 2﹣1，由∈[0，2]，即可得出．【解答】解：如图所示，由题意可得：点M 所在的圆的方程为：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2≤1（0≤x ≤2，0≤y ≤2）． 可设点M （x ，y ） A （0，0），B （2，0）．∴•=（﹣x ，﹣y ）•（2﹣x ，﹣y ）=﹣x （2﹣x ）+y 2=（x ﹣1）2+y 2﹣1， 由∈[0，2]，∴•∈[﹣1，3]， 故选：C ．8．已知正项等比数列{a n }满足a 5+a 4﹣a 3﹣a 2=8，则a 6+a 7的最小值为（ ） A ．4 B ．16 C ．24 D ．32【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；等比数列的性质；数列与函数的综合．【分析】可判数列{a n +a n +1}也是各项均为正的等比数列，设数列{a n +a n +1}的公比为x ，a 2+a 3=a ，则x ∈（1，+∞），a 4+a 5=ax ，结合已知可得a=，代入可得y=a 6+a 7的表达式，x ∈（1，+∞），由导数求函数的最值即可．【解答】解：∵数列{a n }是各项均为正的等比数列， ∴数列{a n +a n +1}也是各项均为正的等比数列， 设数列{a n +a n +1}的公比为x ，a 2+a 3=a ， 则x ∈（1，+∞），a 5+a 4=ax ， ∴有a 5+a 4﹣a 3﹣a 2=ax ﹣a=8，即a=，∴y=a 6+a 7=ax 2=，x ∈（1，+∞），求导数可得y ′==，令y ′＞0可得x ＞2， 故函数在（1，2）单调递减，（2，+∞）单调递增， ∴当x=2时，y=a 6+a 7取最小值：32． 故选：D ．9．已知f（x）=x2++c（b，c为常数）和g（x）=x+是定义在M={x|1≤x≤4}上的函数，对任意的x∈M，存在x0∈M使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0），且f（x0）=g（x0），则f（x）在集合M上的最大值为（）A．B．5 C．6 D．8【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由基本不等式可得g（x）≥1（当且仅当x=，即x=2时，等号成立），从而可得c=﹣1﹣，求导f′（x）=x﹣=，从而可得b=8，c=﹣5，从而解得．【解答】解：∵g（x）=x+≥2=1，（当且仅当x=，即x=2时，等号成立），∴f（2）=2++c=g（2）=1，∴c=﹣1﹣，∴f（x）=x2+=x2+﹣1﹣，∴f′（x）=x﹣=，∵f（x）在x=2处有最小值，∴f′（2）=0，即b=8，故c=﹣5，故f（x）=x2+﹣5，f′（x）=，故f（x）在[1，2]上是减函数，在[2，4]上是增函数，而f（1）=+8﹣5=，f（4）=8+2﹣5=5，故f（x）的最大值为5，故选：B．10．已知抛物线x2=4py（p＞0）的焦点F，直线y=x+2与该抛物线交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若•+（+）•=﹣1﹣5p2，则p的值为（）A．B．C．1 D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），把y=x+2代入x2=4py得x2﹣4px﹣8p=0．利用韦达定理，结合向量的数量积公式，即可得出结论．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），把y=x+2代入x2=4py得x2﹣4px﹣8p=0．由韦达定理得x1+x2=4p，x1x2=﹣8p，所以M（2p，2p+2），所以N点（2p，0）．同理y1+y2=4p+4，y1y2=4∵•+（+）•=﹣1﹣5p2，∴（﹣x1，p﹣y1）•（﹣x2，p﹣y2）+（﹣x1﹣x2，2p﹣y1﹣y2）•（2p，﹣p）=﹣1﹣5p2，代入整理可得4p2+4p﹣3=0，∴p=．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．某小组4个同学的数学成绩的茎叶图如图，则该组同学的成绩的中位数是127．【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据茎叶图中的数据，计算数据的中位数即可．【解答】解：根据茎叶图，得到4位同学的成绩为：114，126，128，132，所以中位数是=127．故答案为：127．12．在x（x﹣1）5展开式中含x3项的系数是﹣10（用数字作答）．【考点】二项式定理的应用．【分析】把（x﹣1）5 按照二项式定理展开，可得x（x﹣1）5展开式中含x3项的系数．【解答】解：在x（x﹣1）5=x•[x5﹣5x4+10x3﹣10x2+5x﹣1]的开式中，含x3项的系数是﹣10，故答案为：﹣10．13．从数字0、1、2、3、4、5这6个数字中任选三个不同的数字组成的三位偶数有52个．（用数字作答）【考点】计数原理的应用．【分析】分两类，第一类，个位为0，第二类，个位是2或4，再利用分步计数原理求出每一类有多少个，然后相加．【解答】解：分两类，第一类，个位为0，有A52=20个；第二类，个位是2或4，有C21×C41×C41=32个，∴可组成没有重复数字的三位偶数有20+32=52个，故答案为：52．14．已知点P在单位圆x2+y2=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2，则d1+d2的最小值是5﹣．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设点P（cosu，sinu），求出P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2，即可求出d1+d2的最小值．【解答】解：设点P（cosu，sinu），P到直线3x﹣4y﹣l0=0的距离为d1=|3cosu﹣4sinu﹣10|=（10﹣3cosu+4sinu），d2=3﹣cosu，∴d1+d2=（10﹣3cosu+4sinu）+3﹣cosu=5+（4sinu﹣8cosu）=5+sin（u﹣t），∴它的最小值=5﹣．故答案为：5﹣．15．现定义一种运算“⊕”：对任意实数a，b，a⊕b=，设f（x）=（x2﹣2x）⊕（x+3），若函数g（x）=f（x）+k的图象与x轴恰有两个公共点，则实数k的取值范围是（﹣3，﹣2）∪（﹣8，﹣7]∪{1} ．【考点】函数的图象；函数解析式的求解及常用方法．【分析】由条件根据新定义求得f（x）的解析式，由题意可得f（x）的图象和直线y=﹣k有2个交点，数形结合求得k的范围．【解答】解：令（x2﹣2x）﹣（x+3）=1，求得x=﹣1，或x=4，故当x≤﹣1或x≥4时，（x2﹣2x）﹣（x+3）≥1，f（x）=x+3；当x∈（﹣1，4）时，（x2﹣2x）﹣（x+3）＜1，f（x）=x2﹣2x．函数g（x）=f（x）+k的图象与x轴恰有两个公共点，则f（x）的图象和直线y=﹣k有2个交点，如图所示：故有﹣k=﹣1，或2＜﹣k＜3，或7≤﹣k＜8，求得实数k的取值范围为：（﹣3，﹣2）∪（﹣8，﹣7]∪{1}．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，原理毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性，禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段性在[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求[50，60）年龄段抽取的人数；（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，记X为年龄在[50，60）年龄段的人数，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）由频率分布直方图求出随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的频率，由此能求出随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数．（II）由频率分布直方图得不小于40岁的人的频数是25人，由此能求出在[50，60）年龄段抽取的人数．（III）由已知X=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．【解答】解：（I）由频率分布直方图知，随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的频率为：1﹣10×（0.020+0.025+0.015+0.010）=0.3，即随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数为100×0.3=30人．…（II）由（I）知，年龄段在[40，50），[50，60）的人数分别为100×0.15=15人，100×0.1=10人，即不小于40岁的人的频数是25人，∴在[50，60）年龄段抽取的人数为10×=2人．…（III）由已知X=0，1，2，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，∴X的分布列为X 0 1 2P∴EX=0×+1×+2×=．…17．已知函数f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x．（1）若x是某三角形的一个内角，且f（x）=﹣，求角x的大小；（2）当x∈[0，]时，求f（x）的最小值及取得最小值时x的集合．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用二倍角公式和两角和公式化简函数解析式，由题意可得cos（2x+）=﹣，根据x∈（0，π），利用余弦函数的性质即可得解．（2）由x∈[0，]，可得2x+∈[，]，利用余弦函数的图象和性质可得f（x）的最小值为﹣，此时2x+=π，即x=．【解答】解：（1）∵f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x=（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）﹣sin2x=cos2x﹣sin2x=（cos2x﹣sin2x）=cos（2x+），∴f（x）=cos（2x+）=﹣，可得：cos（2x+）=﹣．∵由题意可得：x∈（0，π），可得：2x+∈（，），可得：2x+=或，∴x=或．（2）∵x∈[0，]，2x+∈[，]，∴cos（2x+）∈[﹣1，]，∴f（x）=cos（2x+）∈[﹣，1]．∴f（x）的最小值为﹣，此时2x+=π，即x=．18．已知二次函数f （x ）=x 2+4x +m （m ∈R ，m 为常数）的图象与坐标轴有三个交点，记过这三个交点的圆为圆C ．（I ）求m 的取值范围；（Ⅱ）试证明圆C 过定点（与m 的取值无关），并求出该定点的坐标．【考点】二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）由二次函数图象与两坐标轴有三个交点，得到抛物线不过原点，再令y=0，得到关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，即可得到m 的范围；（Ⅱ）设所求圆方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F=0，令y=0得到关于x 的方程，与已知方程为同一方程，确定出D 与F ，令x=0得到关于y 的方程，将y=m 代入表示出E ，将D 、E 、F 代入即可确定出圆C 的方程，进而可求圆C 经过定点．【解答】解：（I ）令x=0，得抛物线与y 轴交点是（0，m ）；令f （x ）=x 2+4x +m=0，由题意得：m ≠0且△＞0，即m ≠0且16﹣4m ＞0解得：m ＜4且m ≠0；（Ⅱ）证明：设所求圆的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F=0，令y=0得：x 2+Dx +F=0这与x 2+4x +m=0=是同一个方程，故D=4，F=m ；令x=0得：y 2+Ey +F=0，此方程有一个根为m ，代入得出E=﹣m ﹣1，∴圆C 的方程为x 2+y 2+4x ﹣（m +1）y +m=0．∴x 2+y 2+4x ﹣y +（﹣y +1）m=0∴，∴或， ∴圆C 经过定点（0，1）和（﹣4，1）．19．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 5=30，S 10=110，数列{b n }的前n 项和T n 满足：b 1=1，b n +1﹣2T n =1． （1）求S n 与b n ；（2）比较S n b n 与2T n a n 的大小，并说明理由．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由等差数列前n 项和公式列出方程组求出首项与公差，由此能求出S n 与b n ；由，能求出数列{b n }的通项公式．（2）推导出S n b n =（n 2+n ）•3n ﹣1，2T n a n =2n •（3n ﹣1），由此利用作差法能比较S n b n 与2T n a n 的大小．【解答】解：（1）设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，∵S 5=30，S 10=110，∴，解得∴a n =2+（n ﹣1）×2=2n ，S n ==n 2+n ．…对数列{b n }，由已知有b 2﹣2T 1=1，即b 2=2b 1+1=3，∴b 2=3b 1，（*）又由已知b n +1﹣2T n =1，可得b n ﹣2T n ﹣1=1（n ≥2，n ∈N*），两式相减得b n +1﹣b n ﹣2（T n ﹣T n ﹣1）=0，即b n +1﹣b n ﹣2b n =0（n ≥2，n ∈N*），整理得b n +1=3b n （n ≥2，n ∈N*），结合（*）得（常数），n ∈N*，∴数列{b n }是以b 1=1为首项1，3为公比的等比数列，∴b n=3n﹣1．…﹣1=3n﹣1，（2）2T n=b n+1∴S n b n=（n2+n）•3n﹣1，2T n a n=2n•（3n﹣1），于是S n b n﹣2T n a n=（n2+n）•3n﹣1﹣2n•（3n﹣1）=n[3n﹣1（n﹣5）+2]，…当n≤4（n∈N*）时，S n b n﹣2T n a n＜0，即S n b n＜2T n a n；当n≥5（n∈N*）时，S n b n﹣2T n a n＞0，即S n b n＞2T n a n．∴当n≤4（n∈N*）时，S n b n＜2T n a n；当n≥5（n∈N*）时，S n b n＞2T n a n．…20．在平面直角坐标系中，动点M到定点F（﹣1，0）的距离和它到直线l：x=﹣2的距离之比是常数，记动点M的轨迹为T．（1）求轨迹T的方程；（2）过点F且不与x轴重合的直线m，与轨迹T交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，与轨迹T是否存在点Q，使得四边形APBQ为菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设动点M（x，y），由点到直线的距离公式和两点间距离公式列出方程，能求出轨迹T的方程．（2）假设存在Q（x0，y0）满足条件．设依题意设直线m为x=ky﹣1，联立，消去x，得（k2+2）y2﹣2ky﹣1=0，由此利用韦达定理、椭圆性质、直线方程，结合已知条件能求出直线m的方程．【解答】解：（1）设动点M（x，y），∵动点M到定点F（﹣1，0）的距离和它到直线l：x=﹣2的距离之比是常数，∴由题意，得，化简整理得C的方程为．∴轨迹T的方程为=1．…（2）假设存在Q（x0，y0）满足条件．设依题意设直线m为x=ky﹣1，联立，消去x，得（k2+2）y2﹣2ky﹣1=0，令M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，x1+x2=k（y1+y2）﹣2=，…∴AB的中点N的坐标为（，）．∵PQ⊥l，∴直线PQ的方程为y﹣=﹣k（x+），令y=0，解得x=，即P（，0）．…∵P、Q关于N点对称，∴=（x0），=（y0+0），解得x0=，y0=，即Q（，）．…∵点Q在椭圆上，∴（）2+2（）2=2，解得k2=，∴，∴=±，∴m的方程为y=x+或y=﹣x﹣．…21．已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当m≥时，设g（x）=2f（x）+x2的两个极值点x1，x2（x1＜x2）恰为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，求y=（x1﹣x2）h′（）的最小值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）求出函数f（x）的导数，讨论m的取值，利用导数判断函数f（x）的单调性与单调区间；（II）对函数g（x）求导数，利用极值的定义得出g'（x）=0时存在两正根x1，x2；再利用判别式以及根与系数的关系，结合零点的定义，构造函数，利用导数即可求出函数y的最小值．【解答】解：（I）∵函数f（x）=lnx﹣mx，∴，x＞0；当m＞0时，由1﹣mx＞0解得x＜，即当0＜x＜时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；由1﹣mx＜0解得x＞，即当x＞时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当m=0时，f'（x）=＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；当m＜0时，1﹣mx＞0，故f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；∴当m＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）；当m≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；…（II）g（x）=2f（x）+x2=2lnx﹣2mx+x2，则，∴g'（x）的两根x1，x2即为方程x2﹣mx+1=0的两根；又∵m≥，∴△=m2﹣4＞0，x1+x2=m，x1x2=1；…又∵x1，x2为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，∴lnx1﹣cx12﹣bx1=0，lnx2﹣cx22﹣bx2=0，两式相减得﹣c（x1﹣x2）（x1+x2）﹣b（x1﹣x2）=0，得b=，而，∴y==]==，…令（0＜t＜1），由（x1+x2）2=m2得x12+x22+2x1x2=m2，因为x1x2=1，两边同时除以x1x2，得t++2=m2，∵m≥，故t+≥，解得t≤或t≥2，∴0＜t≤；…设G（t）=，∴G'（t）=，则y=G（t）在（0，]上是减函数，∴G（t）min=G（）=﹣+ln2，即的最小值为﹣+ln2．…。
绵阳数学二诊试题及答案
绵阳数学二诊试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2B. √2C. 0.33333D. 1/3答案：B2. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的零点个数是？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C3. 已知向量a = (3, -1)，向量b = (1, 2)，向量a与向量b的点积是多少？A. 5B. 4C. -1D. 1答案：D4. 圆的方程为(x-1)^2 + (y+2)^2 = 9，该圆的半径是多少？A. 3B. 4C. 5D. 6答案：A5. 直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标是？A. (-3/2, 0)B. (3/2, 0)C. (0, 3)D. (0, -3)答案：B6. 等差数列{an}中，a1 = 2，公差d = 3，那么a5的值是多少？A. 14B. 17C. 20D. 23答案：A7. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的值域是？A. [-1, 1]B. [-√2, √2]C. [0, 2]D. [1, 2]答案：B8. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么三角形ABC是？A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定答案：B9. 抛物线y = x^2 - 4x + 3的顶点坐标是？A. (2, -1)B. (2, 1)C. (-2, 1)D. (-2, -1)答案：B10. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，那么A∩B等于？A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3, 4}答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的导数f'(x)是________。
答案：3x^2 - 6x12. 已知等比数列{bn}中，b1 = 2，公比q = 3，那么b3的值是________。
四川省绵阳市高中2024届高三第二次诊断性考试理科数学试题
绵阳市高中2021级第二次诊断性考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若i 1i z =+，则复数z =（ ）A ．1i -B ．1i +C ．1i -+D ．1i--2．已知{}23,{2}x A x B x x =<=<∣∣，则A B = （ ）A ．(,2)-∞B ．()2,log 3-∞C ．()20,log 3D ．()2log 3,23．已知(1,0),||1,||a b a b ==-=，则a 与a b - 的夹角为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π64．若变量x ，y 满足不等式组0,220,20,y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则x y -的最小值是（ ）A ．1B ．1-C ．2-D ．3-5．已知变量x ，y 之间的线性回归方程为ˆ21yx =+，且变量x ，y 之间的一组相关数据如表所示，x 2468y58.213m则下列说法正确的是（ ）A ．17m =B ．变量y 与x是负相关关系C ．该回归直线必过点(511)， D ．x 增加1个单位，y 一定增加2个单位6．51x ⎫-⎪⎭的展开式中，x 的系数为（ ）A ．5-B ．10-C ．5D ．107．已知0,0x y >>，则“1x y +≥”是“221x y +≥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．函数(1)y f x =-关于直线1x =对称，且()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，则（ ）A ．()()0.330.2(0.5)log 0.5f f f ->-> B ．()()0.33(0.5)log 0.50.2f f f -->>C ．()()0.33log 0.5(0.5)0.2f f f ->->D ．()()0.330.2log 0.5(0.5)f f f ->>-9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且323n n nS -=，则下列说法正确的是（ ）A ．1n n a a +<B ．1n n S S +>C ．21n n a S +=D ．409n a <≤10．在平面直角坐标系xOy 中，角,αβ的终边与单位圆的交点分别于A ，B 两点，且直线AB 的斜率为12-，则tan()αβ+=（ ）A ．43B ．34C ．43-D ．34-11．己知曲线221y x mx m =-+-与x 轴交于不同的两点A ，B ，与y 轴交于点C ，则过A ，B ，C （A ，B ，C 均不重合）三点的圆的半径不可能为（ ）A B C ．1D ．212．设12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，以1F 为圆心且过2F 的圆与x 轴交于另一点P ，与y 轴交于点Q ，线段2QF 与C 交于点A ．己知2APF △与12QF F △的面积之比为3:2，则该椭圆的离心率为（ ）A ．23 B 3-C 1-D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省绵阳市2024届高三上学期二诊模拟数学(理)试题(一)含解析
三台2021级高三上期数学二诊模拟（一）理科数学（答案在最后）本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共4页.满分150分，考试时间120分钟第I 卷（选择题，共60分）一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.集合U =R ，集合(){}2log 1A x y x ==-，{}13B x x =+<，则{}41x x -<≤=（）A.()U A B∩ð B.()U A B ðC.()U A B ⋂ð D.()UA B⋂ð【答案】D 【解析】【分析】先求解出集合,A B ，再分别验证四个选项即可.【详解】集合{}1A x x =>，{}42B x x =-<<，{|4U x x B =≤-ð或2}x ≥，{}1U A x x =≤ð，{}|4A B x x =>- ，{}|12A B x x ⋂=<<，所以(){}|2U A B x x =≥ ð，故选项A 不正确；{}()|4U A B x x ⋃=≤-ð，故选项B 不正确；{()|1U A B x x ⋂=≤ð或}2x ≥，故选项C 不正确；(){}41UA B x x ⋂=-<≤ð，故选项D 正确；故选：D.2.已知复数3iiz +=，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据复数除法运算化简z ，进而求得z ，从而确定正确答案.【详解】()()()3i i 3i 13i,13i i i i z z +⨯-+===-=+⨯-，所以z 对应点()1,3在第一象限.故选：A3.根据表中的数据，用最小二乘法得到y 与x 的线性回归方程为 1414y x =-，则表中n 的值为（）x23456y20n406070A.15.5B.20C.20.5D.25【答案】B 【解析】【分析】先求出样本中心点，然后代入回归方程计算即可.【详解】由表中数据，计算可得2345645x ++++==，2040607019055n n y +++++==，因为回归直线 1414y x =-过样本中心点，所以有190144145n+=⨯-，解得20n =．故选：B.4.已知2212sin cos 1cos sin 3αααα-=-，则tan α=（）A.13B.12C.13或1 D.12或1【答案】B 【解析】【分析】利用弦化切可得出关于tan α的等式，即可求得tan α的值.【详解】因为()()()2222222cos sin 12sin cos cos sin 2sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin αααααααααααααααα--+-==--+-cos sin 1tan 1cos sin 1tan 3αααααα--===++，解得1tan 2α=.故选：B.5.2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有（）A.1120B.7200C.8640D.14400【答案】B 【解析】【分析】相邻问题用捆绑法看成一个整体，丙不排在两端可先排好其他人后再排丙.【详解】甲与乙相邻有22A 种不同的排法，将甲与乙看作是一个整体，与除丙外的5人排好，有66A 种不同的排法，再将丙排入隔开的不在两端的5个空中，有15C 种不同的排法，所以共有261265A A C =7200种不同的排法．故选：B .6.设x ∈R ，向量(,1)a x = ，(1,2)b =- ，且a b ⊥ ，则cos ,a b b += （）A.10B.2C.10D.5【答案】B 【解析】【分析】根据条件，利用向量垂直的坐标运算，得出2x =，从而可得出(3,1)a b +=-，再利用向量数量积公式即可求出结果.【详解】因为(,1)a x = ，(1,2)b =- ，又a b ⊥ ，所以20x -=，得到2x =，所以(2,1)a = ，得到(3,1)a b +=-，所以()cos ,2a b b a b b a b b+⋅+==+ ，故选：B.7.已知命题p ：若a b >，则33a b >；命题():0,1q x ∀∈，不等式23log log x x <恒成立，则下列命题是真命题的是（）A.p q ∧B.()p q⌝∧C.()()p q ⌝∨⌝ D.()p q ∧⌝【答案】A 【解析】【分析】由指数函数和对数函数的单调性判断出命题p 是真命题，命题q 是真命题，再由复合命题的真值表判断可得选项.【详解】若a b >，则33a b >，所以命题p 是真命题，p ⌝是假命题；又(0,1)x ∀∈，所以不等式23log log x x <恒成立，所以命题q 是真命题，q ⌝是假命题，所以p q ∧是真命题，()p q ⌝∧是假命题，()()p q ⌝∨⌝是假命题，()p q ∧⌝是假命题，故选：A8.已知1F ，2F 分别是椭圆22:194x y C +=的左、右焦点，P 是椭圆C在第二象限内的一点，且PO =（O 为坐标原点），则12tan PF F ∠=（）A.2B.12C.5D.5【答案】A 【解析】【分析】由椭圆的方程求出,,a b c，由PO =可知1290F PF ∠=︒，再由椭圆的定义及勾股定理可得122,4PF PF ==，再求出12tan PF F ∠的值.【详解】由椭圆22:194x y C +=的方程可知：3,2,a b c ===，又因为PO =，所以在12PF F △中，1290F PF ∠=︒，设1PF r =，则226PF a r r =-=-，因为P 是椭圆C 在第二象限内的一点，所以12PF PF <，即6r r <-，即3r <，因为1290F PF ∠=︒，所以2221212PF PF F F +=，则()(2226r r +-=，整理可得：2680r r -+=，解得：2r =或4r =（舍去），即122,4PF PF ==，所以21214tan 22PF PF F PF ∠===.故选：A .9.当2x =时，函数()3212f x x bx x =+-取得极值，则()f x 在区间[]4,4-上的最大值为（）A.8B.12C.16D.32【答案】C 【解析】【分析】根据极值点与导数之间的关系求得0b =，利用导数判断()f x 在区间[]4,4-上的单调性和最值.【详解】因为()3212f x x bx x =+-，所以2()3212f x x bx '=+-，又因为()f x 在2x =取极值，所以(2)124120'=+-=f b ，解得0b =，若0b =，则3()12f x x x =-，2()312f x x '=-，令()0f x '>，得<2x -或2x >；令()0f x '<，得22x -<<；所以()f x 在(),2∞--和()2,∞+上单调递增，在()2,2-上单调递减，可知()f x 在2x =取极值，故0b =满足题意，若[]4,4x ∈-，则()f x 在[4,2]--和[2,4]上单调递增，在()2,2-上单调递减，且(2)82416,(4)644816f f -=-+==-=，所以()f x 在区间[]4,4-上的最大值为16.故选：C ．10.函数1log 2x a y x a -=++（0a >且1a ≠）的图象恒过定点(),k b ，若m n b k +=-且0m >，0n >，则9n mmn+的最小值为（）A.9B.8C.92D.52【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数与对数函数性质求得1,3k b ==，然后妙用“1”可得.【详解】当1x =时，11log 123a y a -=++=，所以，函数1log 2x a y x a-=++过定点()1,3，得1,3k b ==，所以，312m n +=-=，因为0m >，0n >，所以，()(99119119110108222n m n m m n mn m n m n m n +⎛⎫⎛⎫=+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当92n mm n m n ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即31,22m n ==时，等号成立，所以，9n mmn+的最小值为8.故选：B11.已知函数())5log 2f x x =-，实数m ，n 满足()()420f m f n -+=，则4m n +=（）A.1B.2C.4D.8【答案】B 【解析】【分析】先判断()f x 的奇偶性，由此化简()()420f m f n -+=，进而求得正确答案.22x x >=≥，所以()f x 的定义域为R ，()()))55log 2log 2f x x f x x-+=++-)5522log log 10xx ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦-，所以()f x 是奇函数，由()()420f m f n -+=可得420,42m n m n -+=+=.故选：B12.双曲线22221x y a b-=左右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 直线1l 与双曲线右支交于A ，B 两点，弦AB 的中垂线交x 轴于P ，若2AB PF =，则该双曲线渐近线方程为（）A.20x y ±=B.20x y ±=C.y ±=D.0x =【答案】C 【解析】【分析】设直线1l 的方程，与双曲线联立，求AB 的中垂线方程，得到P 点坐标，利用2AB PF =得到离心率，进而求得渐近线方程.【详解】设直线1l 的方程为x my c =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立()2222242222201x my c b m a y mcb y b x y ab =+⎧⎪⇒-++=⎨-=⎪⎩，判别式()()()2222242422441mcb b m a b a b m ∆=--=+，韦达定理2122222mcb y y b m a+=--，412222b y y b m a ⋅=-，所以中点纵坐标21202222y y mcb y b m a +==--，横坐标200222ca x my c b m a=+=--，则中点坐标为22222222,ca mcb b m ab m a ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭，所以AB 的中垂线方程为222222221ca mcb x y b m a m b m a ⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭，令0y =得，3222c x b m a -=-，即P 的坐标为3222,0c b m a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，所以32222222222c b m c cb PF c b m a b m a -+=-=--，由弦长公式可知，AB =，将韦达定理代入得，()2222212ab A m B b m a=-+，因为2AB PF =，所以()2222222222221ab b m c cb b m a a m b m +=--+，整理得，2a c =，所以22223b c a a =-=，即223b a=，所以渐近线方程为b y x a=±=.故选：C.第II 卷（非选择题，共90分）二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填写在答题卡的横线上.13.已知lg 2a =，则21log 5+=______（用含a 的代数式表示）．【答案】1a##1a -【解析】【分析】利用换底公式及对数的运算性质计算即可.【详解】2222lg1011log 5log 2log 5log 10lg 2a+=+===.故答案为：1a.14.37(x的展开式中不含常数项的所有项的系数之和是__________．【答案】-449【解析】【分析】由题意结合二项式展开式的通项公式求得常数项，然后结合所有项的系数之和即可求得最终结果.【详解】73x⎛ ⎝展开式的通项公式为()()427732177C 2C rrrr r r r T xx--+⎛==- ⎝，令42702r -=可得r =6，所以常数项为()6672C 448-=，令x =1，得所有项的系数之和是-1，故不含常数项的所有项的系数之和是1448449--=-.故答案为：449-15.已知抛物线2:8C y x =的焦点为,F O 为坐标原点，P 为抛物线C 上一点，且满足PF =POF 的面积为__________.【答案】【解析】【分析】根据抛物线方程求得抛物线的准线方程与焦点坐标，利用PF ＝，求得P 点的纵坐标，代入抛物线方程求得横坐标，代入三角形面积公式计算，从而可求解.【详解】由抛物线C ：28y x=得其标准方程为2x =，所以2p =，得2p =，所以焦点为(F ，准线方程为y =，又因为P 在抛物线C 上且PF ＝，由抛物线定义可得p y =4p x =，所以12POF P S OF x ⨯⨯= ＝.故答案为：.16.已知函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3122341x x x x x ++的取值范围是__________．【答案】(3,3]-【解析】【分析】画出函数图像，根据图像结合函数性质确定124x x +=-，341x x =，414x <≤，变换()3124234414x x x x x x x ++=-，根据函数的单调性计算最值即可.【详解】画出函数2222,22,02,20()log ,0log ,01log ,1x x x x x x f x x x x x x x --<-⎧⎪⎧+≤+-≤≤⎪⎪==⎨⎨>-<<⎪⎩⎪⎪≥⎩的图象，如图所示：方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，由0x ≤时，()2f x x =+，则1x 与2x 的中点横坐标为2x =-，即：124x x +=-，当0x >时，由于2log y x =在(0,1)上是减函数，在(1,)+∞上是增函数，又因为34x x <，2324log log x x =，则3401x x <<<，有2324log log x x -=，341x x =，又24log 2x ≤，414x <≤，()31234234341144x x x x x x x x x ++=-+=-在4(1,4]x ∈上递增，故取值范围是(3,3]-．故答案为：(3,3]-.三､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）：经常网购偶尔或不用网购合计男性45100女性65100合计（1）完成上表；对于以上数据，采用小概率值0.01α=的独立性检验，能否认为我市市民网购与性别有关联？（2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取20人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X ，求随机变量X 的数学期望和方差．参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++．常用的小概率值和对应的临界值如下表：α0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001x α2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】17.列联表见解析，能，理由见解析18.①208285；②()11E X =，()9920D X =【解析】【分析】（1）完善列联表，计算出2χ的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）①所抽取的20名女市民中，经常网购的有652013100⨯=人，偶尔或不用网购的有35207100⨯=人，然后利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；②分析可知，11~20,20X B ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布的期望和方差公式可求得()E X 、()D X 的值.【小问1详解】解：完善列联表如下表所示（单位：人）：经常网购偶尔或不用网购合计男性4555100女性6535100合计11090200零假设0:H 性别与网购之间无关联，由列联表得，()220.01200453565558008.081 6.6351109010010099x χ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯，根据小概率值0.01α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为我市市民网购与性别有关联.【小问2详解】解：①由题意可知，所抽取的20名女市民中，经常网购的有652013100⨯=人，偶尔或不用网购的有35207100⨯=人，所以，选取的3人中至少有2人经常网购的概率为20828521313713320C C C C P +==；②由22⨯列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为1101120020=，将频率视为概率，所以，从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为1120，由题意可知，11~20,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，()11201120E X =⨯=，()1199920202020D X =⨯⨯=.18.在等比数列{}n a 中，()*0N n a n >∈，公比()0,1q ∈，且153528225a aa a a a ++=，又3a 与5a 的等比中项为2.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2log n n b a =，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）512n n a -=（2）229,152940,62n n nn T n n n ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨-+⎪≥⎪⎩【解析】【分析】（1）先根据题意结合等比数列的性质求出35,a a ，进而可求出公比，即可得解；（2）分0n b ≥和0n b <两种情况讨论，结合等差数列的前n 项和公式即可得解.【小问1详解】因为153528225a a a a a a ++=，所以()222335535225a a a a a a ++=+=，又()*0Nn a n >∈，所以355aa +=，因为3a 与5a 的等比中项为2，所以354a a =，则353554a a a a +=⎧⎨=⎩，解得3541a a =⎧⎨=⎩（3514a a =⎧⎨=⎩舍去），所以25314a q a ==，所以12q =（12q =-舍去）所以55512n n n a a q--=⋅=；【小问2详解】由（1）得25log n n b a n ==-+，令0n b ≥，则15n ≤≤，令0n b <，则6n ≥，当15n ≤≤时，()2121245922n n n n nn nT b b b b b b -+-+=+++=+++==，当6n ≥时，()()1212567n n n T b b b b b b b b b =+++=+++-+++ ()()21559401022n n n n --+--+=-=，综上所述，229,152940,62n n nn T n n n ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨-+⎪≥⎪⎩.19.在①向量()m b = ，()sin ,cos n A B =- ，且m n ⊥sin cC=，③2222sin a c b ac A +-+=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并加以解答.已知ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，______.（1）求角B 的大小；（2）若3b =，2a c -=，求ABC 的面积.【答案】（1）π3B =（2）534【解析】【分析】（1）根据平面向量的数量积运算，结合正弦定理以及余弦定理，可得答案；（2）利用余弦定理，结合三角形面积公式，可得答案.【小问1详解】若选条件①，则sin cos 0m n b A B ⋅=-=，根据正弦定理得sin sin cos B A A B =，∵sin 0A ≠，∴sin B B =，tan B =，∵0πB <<，∴π3B =.sin 1sin CC==，tan B =∵0πB <<，∴π3B =.若选条件③，∵2222cos a c b ac B =+-，∴2cos 2sin ac B ac A +=，∴cos sin a B a A +=，根据正弦定理得sin cos sin sin A B A B A +=，∵sin 0A ≠，∴cos 1B B +=，π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴0πB <<，∴π3B =.【小问2详解】根据余弦定理得()2222222cos b a c ac B a c ac a c ac =+-=+-=-+，∴94ac =+，∴5ac =，ABC 的面积为11sin 52224ac B =⨯⨯=.20.已知函数21()ln 2f x ax x =-．（1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）若不等式(x)x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）极小值为12，无极大值（2）2a ≥【解析】【分析】（1）对21()ln 2f x x x =-求导得到(1)(1)()x x f x x-+'=，再根据极值的定义即可求出结果；（2）根据条件，分离常量得到21ln 2x x a x +≥，构造21ln ()(0)xg x x x x=+>，将问题转化成求()g x 的最大值，即可解决问题.【小问1详解】当1a =时，21()ln 2f x x x =-，则211(1)(1)()x x x f x x x x x--+'=-==，由()0f x '=，得到1x =，又0x >，当(0,1)x ∈时，()0f x '<，(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，所以21()ln 2f x x x =-在1x =处取到极小值，极小值为12，无极大值.【小问2详解】由(x)x f ≥恒成立，得到21ln 2ax x x -≥恒成立，即21ln 2ax x x ≥+恒成立，又0x >，所以221ln 1ln 2x x xa x x x+≥=+恒成立，令21ln ()(0)x g x x x x =+>，则2423312ln 112ln 12ln ()x x x x x x g x x x x x x ---+-'=-+=-+=，令()2ln 1(0)h x x x x =--+>，则2()10h x x'=--<恒成立，即()2ln 1h x x x =--+在区间(0,)+∞上单调递减，又(1)2ln1110h =--+=，所以当(0,1)x ∈时，()0h x >，(1,)x ∈+∞时，()0h x <，即(0,1)x ∈时，()0g x '>，(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，所以21ln ()(0)xg x x x x=+>在区间()0,1上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，故()(1)1g x g ≤=，所以112a ≥，即2a ≥，所以，实数a 的取值范围为2a ≥.【点睛】方法点晴，第（2）问中的恒成立问题，常用的方法，一是直接构造函数，求出函数的最值；二是通过参变分离，再构造函数，通过求函数最值来解决问题.21.一动圆与圆2217:402M x y x +++=外切，同时与22241:402M x y x +--=内切．（1）求动圆圆心的轨迹方程C ，并说明它是什么曲线；（2）设点()0,1N ，斜率不为0的直线l 与方程C 交于点A ，B ，与圆N 相切且切点为M ，M 为AB 中点．求圆N 的半径r 的取值范围．【答案】（1）圆心P 的轨迹是焦点为()2,0-，()2,0，长轴长为的椭圆，22184x y+=（2）(．【解析】【分析】（1）设动圆心为(),P x y ，半径为R ，则12PM R =+，22PM R =-，可得12124PM PM M M +=>=，根据椭圆的定义即可求解；（2）易知直线l 的斜率存在且不为0，设l 为()0y kx m k =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，联立椭圆方程，利用韦达定理和中点坐标公式可得222,2121kmm M k k -⎛⎫⎪++⎝⎭，根据直线与圆的位置关系可得()2,1M k -，由0∆>得2302k <<，结合r MN ==计算即可求解.【小问1详解】设动圆心为(),P x y ，半径为R ，圆2217:402M x y x +++=可化为()22122x y ++=，22241:402M x y x +--=可化为()224922x y -+=，由题意可得122PM R =+，2722PM R =-，则12124PM PM M M +=>=，所以，圆心P 的轨迹是焦点为()2,0-，()2,0，长轴长为的椭圆，且2c =，a =得2844b =-=，则动圆圆心的轨迹方程C 为22184x y +=．【小问2详解】由题意知，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 方程为()0y kx m k =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，设圆N 的半径为r ，()22222214280184y kx mk x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩，()()()22222216421288840k m k m k m ∆=-+-=-+>，122421km x x k -+=+，21222821m x x k -=+，所以()212122242222121k m my y k x x m m k k -+=++=+=++，又因为M 为AB 的中点，所以222,2121kmm M k k -⎛⎫⎪++⎝⎭，又圆N 与直线l 相切于点M ，所以NM l ⊥，且r MN =，所以1MN l k k ⨯=-，所以2211212021MNmk k km k k -+==---+，解得221k m +=-，所以()2,1M k -，()()()()222222288488214821320k m k k k k ⎡⎤∆=-+=-++=+->⎢⎥⎣⎦，解得：2302k <<，所以2302r MN k ⎫===<<⎪⎭，由251122k <+<⇒<<2r <<，所以圆N 的半径r 的取值范围为(．（二）选考题：共10分.请考生在22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为2222(1)11t x t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线lcos sin 0θρθ--=.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）直线l 与C 交于MN 两点，求OMN 的面积.【答案】（1）22143x y +=y -=（2）5【解析】【分析】（1）方法一：联立原式，消去t ，即可得到C 的普通方程，利用极直互化公式可将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；方法二：结合原式，计算223412x y +=，即可得到曲线C 的普通方程；方法三：由万能公式代入计算，即可得到2cos ,x y θθ==，再由椭圆的参数方程即可得到结果.（2）方法一：求得直线的参数方程，与椭圆方程联立，求解，并利用参数的几何意义即可得到弦长MN ，再由三角形的面积公式得到结果；方法二：联立直线与椭圆的普通方程，利用面积分割法得到结果.【小问1详解】方法一：曲线C :由题意得2421x t =-++，即242,12y x t t x +=∴=++，然后代入2421x t +=+，即可得到曲线C 的普通方程22143x y +=，而直线l ，将cos ,sin x y ρθρθ==代入其极坐标方程即可得其直角坐标方程0y -=.方法二：因为()()()()2222422222222212148124341212111tt t t t x y t t t --+++=+=⨯=+++，所以C 的普通方程为22143x y +=，直线l0y -=；方法三：由万能公式：2222tan12tan 22sin ,cos 1tan 1tan 22θθθθθθ-==++，令2tan 2t θ=，则有2cos ,x y θθ=，由椭圆的常用参数方程可得：22143x y +=，直线l0y -=.【小问2详解】解法1：设直线l 与x 轴的交点F ，其坐标为()1,0,倾斜角为60︒，所以点O 到直线l的距离sin 602d OF =︒=，设l的参数方程为122m x y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（m 为参数）代入22143x y +=，可得：254120m m +-=，得：12216162,,55m m MN m m =-=∴=-=.所以Δ14325OMN Sd MN =⋅=；解法2：设()()1122,,,M x y N x y，联立22341201)x y y x ⎧+-=⎪⎨=-⎪⎩得2590y +-=.解得125y y ==，又因为直线l 与x 轴的交点F ，其坐标为()1,0,则1OF =，所以(12111225OMN S OF y y =⋅-=⨯⨯= .[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()2124f x x x =+--．（1）解不等式()0f x >；（2）若关于x 的不等式2()42230f x x m m +--+≤的解集不是空集，求实数m 的取值范围．【答案】（1）3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭（2）5(,1][,)2-∞-+∞ 【解析】【分析】（1）通过两边平方的方法求得不等式()0f x >的解集.（2）先求得()4f x +的最小值，由此列不等式来求得m 的取值范围.【小问1详解】由()0f x >得：2124x x +>-，两边平方得，2244141616x x x x ++>-+，所以2015x >，解得34x >，所以不等式的解集为3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【小问2详解】()()42212421425f x x x x x x +-=++-≥++-=，当且仅当()()21240,x x +-≤即122x -≤≤时等号成立，由题意得：2523m m ≤-，即()()22351250m m m m --=+-≥，。
2023届四川省绵阳市二诊理数试题及答案
理科数学参考答案第1页共6页绵阳市高中2020级第二次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．DACBD ABCAD CA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．914．1315．516．[1，3)三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）由23cos sin 3a C a C b +=，可得3sin cos sin sin 3sin A C a A C B +=，··················································2分又3sin 3sin()3(sin cos cos sin )B A C A C A C =+=+，····································4分∴sin 3cos a A A =，5分且3A π=，可得a =·······································································6分（2）由11cos()22BA AC c b A b π⋅=⋅⋅-=-⋅=- ，可得1c b ⋅=，······················8分由余弦定理2222cos 4c b a bc A +=+⋅=.····················································9分∵1()2AT AB AC =+ ，平方可得2221()[()()2]4AT AB AC AB AC =++⋅ ，··································10分即22215()(2cos )44AT c b bc A =++=，所以2AT =．·······························12分18．解：（1）因为0.92<0.99，根据统计学相关知识，2R 越大，意味着残差平方和521ˆ()i i y y =-∑越小，那么拟合效果越好，因此选择非线性回归方程②2ˆˆˆymx n =+进行拟合更加符合问题实际．·························································································4分（2）令2i i u x =，则先求出线性回归方程：ˆˆˆymu n =+，·································5分∵14916250.8 1.1 1.5 2.4 3.711 1.955=，u y ++++++++===，······················7分2222221()(111)(411)(911)(1611)(2511)n ii uu =-=-+-+-+-+-∑=374，············9分∴121()(45.1ˆ0.121374()n i i i n i i u u y y m uu ==--==≈-∑∑，···················································10分理科数学参考答案第2页共6页由ˆ1.90.12111n=⨯+，得ˆ0.5690.57n =≈，·············································11分即ˆ0.120.57yu =+，∴所求非线性回归方程为：2ˆ0.120.57yx =+．········································12分19．解：设{}n b 的公比为q ，则231b b q =⋅，所以282273q =，所以23q =±，·····················································································2分因为{}n b 的各项都为正，所以取23q =，···················································3分所以2()3n n b =．···················································································4分若选①：由21(1)n n a S n -=≥，得1121(2)≥n n a S n ---=，·····························5分两式相减得：1220n n n a a a ---=，整理得12(2)≥n n a a n -=，························6分因为110a =≠，所以{}n a 是公比为2，首项为1的等比数列，·····················7分∴12n n a -=，·····················································································8分∴14(23n n n a b =⨯，··············································································9分∵14()23x y =⋅在R 上为增函数，···························································10分∴数列{}n n a b 单调递增，没有最大值，··················································11分∴不存在m N *∈，使得对任意的，≤n n m m n N a b a b *∈恒成立．···················12分若选择②：因为211(2)n n n a a a n +-⋅=≥，且1200，a a ≠≠，∴{}n a 为等比数列，···········································································6分公比2114a q a ==，················································································7分∴11(4n n a -=，···················································································8分所以1122112(()44()4433663≤n n n n n n n a b --=⋅=⋅=⋅⨯=．·································10分当且仅当1n =时取得最大值23，··························································11分∴存在1m =，使得对任意的，≤n n m m n N a b a b *∈恒成立．··························12分若选择③：因为11n n a a --=，所以11n n a a --=(2)≥n ，·····························5分∴{}n a 是以1为公差的等差数列，又11a =，············································6分∴n a n =，所以2()3n n n a b n =⋅，····························································8分理科数学参考答案第3页共6页设n n n c a b =，则1112232((1)()()3333n n n n n n c c n n -----=⋅--⋅=⋅，····················9分∴当3n <时，10n n c c -->，所以1n n c c ->，当3n =时，10n n c c --=，所以1n n c c -=，当3n >时，10n n c c --<，所以1n n c c -<，则12345c c c c c <=>>> ，································································11分∴存在23m =或，使得对任意的，≤n n m m n N a b a b *∈恒成立．······················12分20．解：（1）设11()，B x y ，22()，C x y ，直线BC 的方程为：4x my =+(1=m k)，···················································1分联立224143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x 整理得：22(34)24360m y my +++=，·····················2分∴1222434m y y m -+=+，1223634y y m ⋅=+······················································3分从而：121212121222(6)(6)y y y y k k x x my my ⋅⋅=⋅=++++12212126()36y y m y y m y y =+++2222236134361444363434m m m m m +==-+++∴12k k ⋅为定值14.················································································5分（2）直线AB 的方程为：11(2)2y y x x =++，················································6分令4x =，得到11116626M y y y x my ==++，······················································7分同理：2266N y y my =+．··········································································8分从而121266||||||66M N y y MN y y my my =-=-++122121236|||6()36|y y m y y m y y -=+++······················································9分又12||y y -=理科数学参考答案第4页共6页212122144|6()36|34m y y m y y m +++=+，·····················································10分所以||MN =，·······································································11分因为：1[34]，m k=∈，所以||MN ∈，即线段MN长度的取值范围为．·············································12分21．解：（1）由a =1时，()(1)(1)x f x x e '=+-，·············································1分由()0f x '>解得：x >0或x <−1；由()0f x '<解得：−1<x <0.·························3分故f (x )在区间(1)(0)，，，-∞-+∞上单调递增，在区间(−1，0)上单调递减.··········4分∴f (x )的极大值是f (−1)=22e e -，极小值是f (0)=0；·······································5分（2）()(1)()[02]，，x f x x e a x '=+-∈时，2[1]x e e ∈，，且2(2)24(0)0，f e a f =-=，12[02]，，x x ∀∈，恒有212()()2≤f x f x a e -+等价于2max min ()()2≤f x f x a e -+．i)若1≤a 时，0≥x e a -，故()0≥f x '，所以f (x )在区间[0，2]上单调递增，故22max min ()()(2)(0)242≤f x f x f f e a a e -=-=-+，解得：01≤≤a ，·············6分ii)若2≥a e 时，0≤x e a -，故()0≤f x '，所以f (x )在区间[0，2]上单调递减，故22max min ()()(0)(2)422≤f x f x f f a e a e -=-=-+，解得：2243≤≤e a e ，·······7分iii)若21a e <<时，由()(1)()0x f x x e a '=+->解得：ln 2≤a x <，故f (x )在区间(ln 2]，a 上单调递增；·····················································································8分由()(1)()0x f x x e a '=+-<解得：0ln ≤x a <，故f (x )在区间[0ln )，a 上单调递减.∴2min 1()(ln )(ln )2f x f a a a ==-，max ()(2)f x f =或f (0)．又f (2)−f (0)=224e a -，·········································································9分①当212≤e a <时，f (2)−f (0)0≥，故222max min 1()()(2)(ln )24(ln )22≤f x f x f f a e a a a a e -=-=-++，解得：0≤a <，又212≤e a <，故此时212≤e a <．································10分②当222e a e <<时，f (2)−f (0)<0，故22max min 1()()(0)(ln )(ln )22≤f x f x f f a a a a e -=-=+，令221()(ln )22h a a a a e =--，则21()(ln )ln 12h a a a '=+-，又ln (2ln 22)，a ∈-，理科数学参考答案第5页共6页故21()(ln )ln 12h a a a '=+->0，即h (a )在区间22()2，e e 上单调递增，又22()0h e e =-<，则221(ln )22≤a a a e +恒成立．·····································11分综上：2403≤≤a e ．···········································································12分22．解：（1）①当B 在线段AO 上时，由|OA |‧|OB |=4，则B （2，π）或（2，23π）；②当B 不在线段AO 上时，设B （ρ，θ），且满足|OA |‧|OB |=4，∴A 4（）θπρ+，·············································································1分又∵A 在曲线l 上，则44cos()sin()2θπθπρρ+++=-，···························3分∴2sin 2cos ρθθ=+，······································································4分又∵32≤≤ππθπ+，即20≤≤πθ.综上所述，曲线C 的极坐标方程为：2sin 2cos ρθθ=+2（0≤≤πθ，或32()2=或=πρθπθ=．·························5分（2）①若曲线C 为：32()2=或=πρθπθ=，此时P ，Q 重合，不符合题意；②若曲线C 为：2sin 2cos ρθθ=+2（0≤≤πθ，设l 1：θα=2（0≤≤πθ，又l 1与曲线C 交于点P ，联立2sin 2cos ，，θαρθθ=⎧⎨=+⎩得：2sin 2cos P ραα=+，····································································6分又l 1与曲线l 交于点Q ，联立sin cos 2，，θαρθρθ=⎧⎨+=-⎩得：2sin cos Q ραα-=+，·······································································7分又∵M 是P ，Q 的中点，1sin cos )2sin cos 2≤≤P Q M ρρπρααααα+==+-+，·······························8分令sin cos t αα+=，则)4t πα=+，又∵20≤≤πα，则3444≤≤πππα+，且1≤t ，理科数学参考答案第6页共6页∴1(1≤M t t t ρ=-，且1M t tρ=-在1⎡⎣上是增函数，······················9分∴0≤M ρ-=42ππα+=时，即4πα=时等号成立．∴OM 的最大值为22．····································································10分23．解：（1）由()f x ≤3的解集为[n ，1]，可知，1是方程()f x =3的根，∴(1)f =3+|m +1|=3，则m =−1，······························································1分∴()f x =|2x +1|+|x −1|，①当x ≤12-时，()f x =−3x ≤3，即x ≥−1，解得：−1≤x ≤12-，··················2分②当112x <<时，()f x =x +2≤3，解得：112x -<<，·································3分③当x ≥1时，()f x =3x ≤3，解得：x =1．················································4分综上所述：()f x 的解集为[−1，1]，所以m =−1，n =−1．······························5分（2）由（1）可知m =−1，则1222a b +=．······················································6分令12x a =，2y b =，则12a x =，2b y=，又a ，b 均为正数，则2x y +=（00，x y >>），由基本不等式得，2≥x y =+·······················································7分∴1≤xy ，当且仅当x =y=1时，等号成立．所以有11≥xy，当且仅当x =y=1时，等号成立．········································8分又22222244164(2)a b a b x y +=+=+8≥xy =(当且仅当x =y 时，等号成立)．·······9分∴22168≥a b +成立，(当且仅当，122，a b ==时等号成立)．·····················10分。
四川省绵阳市绵阳中学2024届高三下学期二诊模拟数学(理)试题(二)
一、单选题二、多选题1. 在直角坐标系中，角与角均以原点为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，则“与的终边相同”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2. 已知向量满足，，与的夹角为，，则的最大值为A．B．C．D．3. 现用甲、乙两台3D 打印设备打印一批对内径有较高精度要求的零件．已知这两台3D 打印设备在正常工作状态下打印出的零件内径尺寸Z（单位：）服从正态分布．根据要求，正式打印前需要对设备进行调试，调试时，两台设备各试打了5个零件，零件内径尺寸（单位：）如茎叶图所示．根据以上信息，可以判断（）A ．甲、乙两台设备都需要进一步调试B ．甲、乙两台设备都不需要进一步调试C ．甲需要进一步调试，乙不需要进一步调试D ．乙需要进一步调试，甲不需要进一步调试4. 已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，，则（ ）A．B．C．D．5. 已知点F 为双曲线的右焦点，A ，B 两点在双曲线上，且关于原点对称，M 、N分别为的中点，当时，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）A ．4B．C．D ．26.设是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，是坐标原点，若，则（ ）A．B．C．D．7. 已知函数若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．8. 若，，则A．B．C．D．9.已知上的偶函数在区间上单调递增，且恒有成立，则下列说法正确的是（ ）A ．在上是增函数B ．的图象关于点对称C ．函数在处取得最小值D ．函数没有最大值10. 在平面直角坐标系中，动点P 与两个定点和连线的斜率之积等于，记点P 的轨迹为曲线E ，则（ ）A ．E的方程为B ．E的离心率为C ．E 的渐近线与圆相切D ．过点作曲线E 的切线仅有2条四川省绵阳市绵阳中学2024届高三下学期二诊模拟数学（理）试题（二）三、填空题四、填空题五、填空题六、解答题11. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线与交于，两点，则（ ）A．B ．的最小值为4C．D ．的最小值为1012. 已知，且，则________.13. 已知集合，，则______.14. 已知，若对任意恒成立，则实数的取值范围为____________.15. “以直代曲”是微积分中最基本、最朴素的思想方法，如在切点附近，可用曲线在该点处的切线近似代替曲线．曲线在点处的切线方程为_____________，利用上述“切线近以代替曲线”的思想方法计算所得结果为_____________（结果用分数表示）．16. 用表示不超过的最大整数，已知数列满足：，，.若，，则________；若，则________.17. 阅读下面题目及其解答过程．．）求证：函数是偶函数；）求函数的单调递增区间．的定义域是，都有又因为是偶函数．时，，在区间上单调递减．时， 时， ④ ，在区间 ⑤ 上单调递增．的单调递增区间是．以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出正确的选项，并填写在相应的横线上（只需填写“A”或“B”）．空格序号选项①（A ）（B ）②（A ）（B ）③（A ）2（B ）④（A ）（B ）⑤（A ）（B ）18. 如图，两射线、均与直线l 垂直，垂足分别为D 、E 且.点A 在直线l 上，点B 、C 在射线上.七、解答题八、解答题九、解答题十、解答题(1)若F 为线段BC 的中点（未画出），求的最小值；(2)若为等边三角形，求面积的范围.19. 2020年抗击新冠肺炎武汉封城期间，某公司的产品因符合抗疫要求（全部用统一规格的包装箱包装且有物流配送支持）能继续直销武汉．为了把握准确的需求信息，他们使用大数据统计了武汉2019年末近100天内每天此产品的售货量（单位：箱）如下表所示：售货量（箱）天数5203030105统计分析发现服从正态分布．（1）画出售货量的频率分布直方图，并求出的值．（2）估计该公司一个月（30天）内售货量在区间内的天数（结果保留整数）．（3）为鼓励分销商，该公司出台了两种不同的促销方案．方案一：直接返现，按每日售货量三级返现：时，返现400元；时，返现800元；时，返现1200元．方案二：通过抽奖返现：每日售货量低于时有一次抽奖机会；每日售货量不低于时有两次抽奖机会．每次抽奖获得奖金40O元的概率为，获得奖金800元的概率为．据你分析，分销商应采用哪种方案？请说明理由．附：若，则，．20. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①；②；③.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.21. 小王经营一家面包店，每天从生产商处订购一种品牌现烤面包出售.已知每卖出一个现烤面包可获利10元，若当天卖不完，则未卖出的现烤面包因过期每个亏损5元.经统计，得到在某月（30天）中，小王每天售出的现烤面包个数及天数如下表：售出个数101112131415天数333696试依据以频率估计概率的统计思想，解答下列问题：（1）计算小王某天售出该现烤面包超过13个的概率；（2）若在今后的连续5天中，售出该现烤面包超过13个的天数大于3天，则小王决定增加订购量.试求小王增加订购量的概率.（3）若小王每天订购14个该现烤面包，求其一天出售该现烤面包所获利润的分布列和数学期望.22. 已知数列，都是单调递增数列，若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列（相同的项视为一项），则得到一个新数列.（1）设数列、分别为等差、等比数列，若，，，求；（2）设的首项为1，各项为正整数，，若新数列是等差数列，求数列的前项和；（3）设（是不小于2的正整数），，是否存在等差数列，使得对任意的，在与之间数列的项数总是？若存在，请给出一个满足题意的等差数列；若不存在，请说明理由.。
四川省绵阳市2023届高三上学期第二次诊断性测试理科数学试题(2)
一、单选题二、多选题1.已知，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. 已知函数，若函数有三个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A．B．C．D．3. 已知，，，则的大小关系为（ ）A．B．C．D．4.记为等差数列的前项和，已知，则数列的公差为（ ）A ．2B ．4C ．1D．5. 若函数（且）在上的最大值为4，最小值为m ，实数m 的值为（ ）A．B．或C．D．或6.设，“”是“”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件7. 若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）A．B ．或C．D ．或8. 已知是定义在R 上的偶函数，且在[0，+)上单调递增，则满足f(m)<f(1)的实数m 的范围是A ．l<m<0B ．0<m<1C ．l<m<1D ．l≤m≤19. 已知为异面直线，平面，平面，是空间任意一条直线，以下说法正确的有（ ）A ．平面与必相交B．若，则C ．若与所成的角为，则与平面所成的角为D ．若与所成的角为，则平面与的夹角为10. 已知函数，下列选项正确的是（ ）A ．点是函数的零点B ．，使C ．函数的值域为D ．若关于x 的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是11. 声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则当时，函数一定有（ ）四川省绵阳市2023届高三上学期第二次诊断性测试理科数学试题(2)四川省绵阳市2023届高三上学期第二次诊断性测试理科数学试题(2)三、填空题四、解答题A ．三个不同零点B ．在上单调递增C．有极大值，且极大值为D．一条切线为12.在复平面内，复数对应的点为A，复数对应的点为，下列说法正确的是（ ）A．B．C ．向量对应的复数是1D．13. 函数的最小正周期为___________.14. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =，cos C =，a =1，则b =___.15. 某地有居民100 000户，其中普通家庭99 000户,高收入家庭1 000户．从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取100户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收入家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是 .16.从条件①；②中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在中：内角，，的对边分别为，，，__________．(1)求角的大小；(2)设为边的中点，求的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．17. 如图，某城市有一块半径为的半圆形（以为圆心，为直径）绿化区域，现计划对其进行改建．在的延长线上取点，使，在半圆上选定一点，改建后的绿化区域由扇形区域和三角形区域组成，其面积为.设.(1)写出S 关于x 的函数关系式S (x )，并指出x 的取值范围；(2)张强同学说：当时，改建后的绿化区域面积S 最大．张强同学的说法正确吗？若不正确，请求出改建后的绿化区域面积S 最大值.18. 从甲乙两个班的男生中各随机抽取10名同学， 测量他们的身高（单位:cm ），获得身高数据的茎叶图如图所示.求样本中：(1)甲班的中位数和乙班的众数以及甲、乙两个班的平均身高；(2)甲班的样本方差.19.已知椭圆的焦点在x 轴上，右焦点为F ，经过点F 且与x轴垂直的直线交椭圆于点，左顶点为D .(1)求椭圆C 的离心率和的面积；(2)已知直线与椭圆C 交于A ，B 两点，过点B 作直线的垂线，垂足为G ，判断是否存在常数t ，使得直线AG 经过y 轴上的定点？若存在，求t 的值和该定点；若不存在，请说明理由.20. 设是单调递增的等比数列，为数列的前项和．已知，且，，构成等差数列．（1）求及；（2）是否存在常数．使得数列是等比数列?若存在，求的值；若不存在，请说明理由．21. 已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个极值点，，且，求证：．。
2024届绵阳二诊试题及答案、2024绵阳二诊 理数答案
绵阳市高中2021级第二次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．ABACC ABDDC AB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．21014．3715．1216y ±=三、解答题：本大题共6小题，共70分．（2）111111()(23)(25)22325n n a a n n n n +==-++++，······························8分∴1111111(...)257792325n T n n =-+-++-++·················································10分11=104101025n n n =-++．······················································12分18．解：（1）22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2100(20203030)=4>3.84160405050⨯-⨯=⨯⨯⨯，··································4分故有95%的把握认为喜欢旅游与性别有关．·········································5分（2）根据题意，全市男性市民喜欢旅游的概率为25，2~(2)5ξ，，·············6分ξ的可以取值为0，1，2，···································································7分239(0)()525P ξ===···································································································8分11122312(1)()()5525P C ξ===，·································································9分224(2)()525P ξ===，·······································································10分ξ的分布列如下：ξ012P 9251225425································································································11分∴24()255E ξ=⨯=．········································································12分19．解：（1）∵(cos cos )a b c c B -222222()22a b c c b a b c ab ca a +-+-=-······················2分22222222b c b c c -==-=，··············································4分∴222b c =；··················································································5分（2）∵BA BC c ⋅= ，∴cos c a B c ⋅⋅=，··········································································6分∴cos 1a B =，①············································································7分又∵sin b A =，②sin sin sin tancos sin cos b A B A B a B A B ===②得：①···········································8分又∵B 是△ABC 的内角，∴cos 33B =，又 cos 1a B =，则1cos a B==································9分∴在△ABC 中，由余弦定理得：∴22222co 2s 3b a c ac B c c -=+=-+，··············································10分由（1）知：222b c =，∴22223c c c +-=，∴1c =或3c =-（舍），··································································11分又222b c =，则b =．··································································12分20．解：（1）设),(11y x A ，),(22y x B ，联立⎩⎨⎧=-=pyx kx y 222，消y 整理得：0422=+-p pkx x ，···························2分所以：pk x x 221=+，p x x 421=，····················································3分∴22112211)22()22(22x p kx x p kx x p y x p y k k FB F A +-++-=-+-=212121))(22(2x x x x p x kx ++-=041()22(22=-=+-=p k p k k ································································4分所以4=p ，即抛物线E 的方程为：y x 82=；·····································5分（2）由（1）可知：k x x 821=+，1621=x x ··········································6分且064642>-=∆k ，所以：12>k ，184)(||22122121-=-+=-k x x x x x x ，·········································7分直线FA 的方程为：2211+-=x x y y ，所以：11114424kx x y x x M -=-=，·······8分同理：22224424kx x y x x N -=-=，所以|4444|||||2211kx x kx x x x MN N M ---=-=··························································9分|)(416)(16|2122121x x k x x k x x ++--=···································································10分1618|1|18222≥-=--=k k k ······································································11分解得：125-<≤-k 或251≤<k ．················································12分21．解：（1）令2()g x x x a a =+-，则()g x 在[0，+∞)上至少有一个零点．·········1分()g x 的对称轴为：2a x =-，①当a=0时，2()g x x =在[0，+∞)上恰有一个零点，符合题意；·················2分②当a >0时，对称轴2a x =-<0，则()g x 在[0，+∞)是增函数，而(0)0g a =-<，(1)10g =>，∴()g x 在[0，+∞)上必有一个零点，符合题意；······································3分③当a<0时，对称轴02a x =->，则()g x 在[0，2a -)上是减函数，在[2a -，+∞)是增函数，∵()g x 在[0，+∞)上至少有一个零点，∴只需240a a ∆+=≥，则4≤a -，························································4分综上所述，a 的取值范围为(4][0)，，-∞-+∞ ．···································5分（2）解法一：((e)))(2x x a f x x -+-'=，·······················································6分∵()f x 在R 上是单调函数，则2a =-，················································7分∴()f x 在R 上是单调递减函数，∴22()e2x x f x x -+=，要证122≥x x +，即证122≥x x -，结合()f x 在R 上是减函数，所以只需证12()(2)≤f x f x -，·························8分而12()()e 2f x f x -=，即证22(2)()20ef x f x -+-（*）·······························9分令222()(2)(2222e e)x x h x f x f x x x x x --+-+=+=-+···························10分2211(22)()e e x x x x -=-++······················································11分21e≥⋅==，当x =1时，等号成立，∴（*）成立.命题得证．··································································12分解法二：((e )))(2xx a f x x -+-'=，·························································6分∵()f x 在R 上是单调函数，则2a =-，∴()f x 在R 上是单调递减函数，∴22()e2x x f x x -+=，2((2)e )x x f x -'-=，且1(1)e f =，当121=x x =时，12()()e2f x f x +=，符合题意；当121≤x x <时，12()()e2f x f x +>，不符合题意；当121≤x x <时，12()()e2f x f x +<，不符合题意；······································7分∴121x x <<，要证122x x +>，即证122x x >-，结合()f x 在R 上是减函数，所以只需证12()(2)f x f x <-，而12()()e 2f x f x -=，即证22(2)()20ef x f x -+->对任意21x >成立．（*）·······8分令()(2)()e2h x f x f x =-+-，∴222222(2)(e )[e(2)]()(2)()e e e e x x x xx x x x h x f x f x -----'''=--+=+=，···················9分令22()(e )[e(2)](e e 2e)(e e 2e)x x x p x x x x x x x =--=+--+，函数e e 2e x y x x =+-在(1，+∞)上是增函数，则e e 2e 0x x x +->，··············10分函数e e 2e x y x x =-+(x >1)，则(1)e e e x y x '=+->，∴e e 2e x y x x =-+在(1，+∞)上是增函数，则e e 2e 2e ≥x x x -+，················11分∴()()0p x h x '=>在(1，+∞)上恒成立，∴()h x 在(1，+∞)上是增函数，则()(1)0h x h >=，∴（*）成立，命题得证．································································12分22．（1）由题意：11)2()32222=+-=+t t y x （，且0132≥-=t x ，··················2分∴曲线C 的普通方程为：)0(14922≥=+x y x ·························································3分∴曲线C 的极坐标方程为2222cos sin 194ρθρθ+=（22πθπ≤≤-），即223645sin ρθ=+（22πθπ≤≤-）；·····················································5分（2）由（1）得223645sin ρθ=+，因为且OA ⊥OB ，不妨设)(1θρ，A ，)2(2πθρ+，B ，·····························6分∴θρ221sin 5436+=，······································································7分∴2222)2(sin 5436πθρ++==θ2cos 5436+，··········································8分∴2211OB OA +222211ρρ+=····················································································9分36cos 54sin 5422θθ+++=3658+=3613=．·········································10分23．（1）证明：因为))(11(22by ax ba ++2222y a by b ax x +++=a by b ax y x 22222⋅++≥222)(2y x xy y x +=++=，············3分∴()ba by ax y x 11222+≤++，·····································································4分当且仅当aby b ax 22=，即by ax =时，等号成立；·····································5分（2）函数245144)(22++++=x x x x x f 245)12(22+++=x x x []222)1(23)1(+⋅+⋅++=x x x x ·······················7分根据（1）的结论，[]652131)1(23)1(222=+≤+⋅+⋅++x x x x ，··································8分当且仅当)1(23+=x x ，即2=x 时，等号成立．·····································9分∴函数)0(245144)(22>++++=x x x x x x f 的最大值为65，此时x =2．····················10分。
四川省绵阳市 中考数学二诊试卷(Word版 含解析) (3)
四川省绵阳市中考数学二诊试卷一、选择题（本大题共12个小题,每小题3分,共36分,每个小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）1．计算|﹣1|﹣3,结果正确的是（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣12．太阳半径约696000000米,其中数据696000000科学记数法表示为（）A．0.696×109B．6.96×109C．6.96×108D．696×1063．下列计算正确的是（）A．2x+3y＝5xy B．x10÷x5＝x5C．（xy2）3＝xy6D．（x﹣y）2＝x2+y24．某班级开展“好书伴成长”读书活动,统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的数量,绘制了折线统计图,下列说法正确的是（）A．每月阅读课外书本数的众数是45B．每月阅读课外书本数的中位数是58C．从2到6月份阅读课外书的本数逐月下降D．从1到7月份每月阅读课外书本数的最大值比最小值多455．如图,直线l1∥l2,点A在直线l1上,以点A为圆心,适当长度为半径画弧,分别交直线l1、l2于B、C两点,连接AC、BC．若∠ABC＝70°,则∠1的大小为（）A．20°B．35°C．40°D．70°6．随着全球能源危机的逐渐加重,太阳能发电行业发展迅速．全球太阳能光伏应用市场持续稳步增长,2019年全球装机总量约600GW,预计到2021年全球装机总量达到864GW．设全球新增装机量的年平均增长率为x,则x值为（）A．20%B．30%C．40%D．50%7．不等式组的解集是x＞4,那么m的取值范围是（）A．m＝3B．m≥3C．m＜3D．m≤38．在△ABC中,∠ACB＝90°,∠CAD＝30°,AC＝BC＝AD,则∠CBD的度数为（）A．12°B．13°C．14°D．15°9．如图所示的图形中,每个三角形上各有一个数字,若六个三角形上的数字之和为20,则称该图形是“和谐图形”．已知其中四个三角形上的数字之和为14,现从1,2,3,4,5中任取两个数字标在另外两个三角形上,则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（）A．B．C．D．10．如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC,过点C作CD⊥AB,垂足为D,点E为BC的中点,AE与CD交于点F,若DF的长为,则AE的长为（）A．B．C．D．11．如图,抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1,0）和（0,﹣1）两点,则抛物线y＝cx2+bx+a的图象大致为（）A．B．C．D．12．如图,有一张矩形纸条ABCD,AB＝5cm,BC＝2cm,点M,N分别在边AB,CD上,CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠,使点B,C分别落在点B′,C′上．在点M从点A运动到点B 的过程中,若边MB'与边CD交于点E,则点E相应运动的路径长为（）cm．A．﹣B．C．D．二、填空题（共6个小题,每小题4分,共24分,将答案填写在答题卡相应的横线上）13．把多项式mx2﹣4mxy+4my2分解因式的结果是．14．将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后,经过点（﹣2,5）,则8a﹣4b﹣11的值是．15．无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内,木筷露在杯子外面的部分至少有cm．16．关于x的方程的解是正数．则a的取值范围是．17．如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC＝5,点E、F分别在CA,CB上,且CE＝CF＝1,点M、N分别为AF、BE的中点,则MN的长为．18．如图,在矩形ABCD中,AB＝1,BC＝2,P为线段BC上的一动点,且和B、C不重合,连接PA,过点P作PE⊥PA交CD于E,将△PEC沿PE翻折到平面内,使点C恰好落在AD边上的点F,则BP长为．三、解答题（本大题共7个小题,共90分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（16分）（1）计算：2﹣1+|﹣3|+2sin45°﹣（﹣2）2021×（）2021．（2）先化简,再求值：（﹣）÷,其中a满足a2+2a﹣15＝0．20．新冠肺炎疫情期间,我市对学生进行了“停课不停学”的线上教学活动．某中学为了解这期间九年级学生数学学习的情况,开学后进行了两次诊断性练习．综合成绩由两次练习成绩组成,其中第一次练习成绩占40%,第二次练习成绩占60%．当综合成绩不低于135分时,该生数学学科综合评价为优秀．（1）小明同学的两次练习成绩之和为260分,综合成绩为132分,则他这两次练习成绩各得多少分？（2）如果小张同学第一次练习成绩为120分,综合成绩要达到优秀,他的第二次练习成绩至少要得多少分？21．某市有A,B,C,D,E五个景区很受游客喜爱．对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计,并根据这个统计结果制作了两幅不完整的统计图．（1）该小区居民在这次随机调查中被调查的人数是人,m＝；（2）补全条形统图,若该小区有居民1500人,试估计去C景区旅游的居民约有多少人？（3）甲、乙两人暑假打算游玩,甲从B,C两个景点中任意选择一个游玩,乙从B,C,E三个景点中任意选择一个游玩,用列表法或树状图法求甲、乙恰好游玩同一景点的概率．22．如图,在平面直角坐标系中,菱形OBCD的边OB在x轴上,反比例函数y＝（x＞0）的图象经过菱形对角线的交点A,且与边BC交于点F,点A的坐标为（4,2）．（1）求反比例函数的表达式；（2）求点F的坐标．23．如图,BC是⊙O的直径,AD是⊙O的弦,AD交BC于点E,连接AB,CD．过点E作EF⊥AB,垂足为F,∠AEF＝∠D．（1）求证：AD⊥BC；（2）点G在BC的延长线上,连接AG,∠DAG＝2∠D．①求证：AG与⊙O相切；②当＝,CE＝3时,求AG的长．24．在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动．（1）如图1,当点E在边DC上自D向C移动,同时点F在边CB上自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,请你直接写出AE与DF的关系．（2）如图2,当E,F分别在边CD,BC的延长线上移动时,连接AE,DF,AC,当△ACE为等腰三角形时,求CE：CD的值．（3）如图3,当点E在边DC上自D向C移动,同时点F在边CB上自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,由于点E,F的移动,使得点P也随之运动．若AD＝2,求线段CP的最小值．25．如图1,已知抛物线y＝﹣（x+3）（x﹣4）与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C．（1）写出A、B、C三点的坐标．（2）若点P为△OBC内一点,求OP+BP+CP的最小值．（3）如图2,点Q为对称轴左侧抛物线上一动点,点D（4,0）,直线DQ分别与y轴、直线AC交于E、F两点,当△CEF为等腰三角形时,请直接写出CE的长．参考答案一、选择题（本大题共12个小题,每小题3分,共36分,每个小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）1．计算|﹣1|﹣3,结果正确的是（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1【分析】首先应根据负数的绝对值是它的相反数,求得|﹣1|＝1,再根据有理数的减法法则进行计算．解：原式＝1﹣3＝﹣2．故选：C．2．太阳半径约696000000米,其中数据696000000科学记数法表示为（）A．0.696×109B．6.96×109C．6.96×108D．696×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜10,n为整数．确定n的值是易错点,由于696000000有9位,所以可以确定n＝9﹣1＝8．解：696000000＝6.96×108．故选：C．3．下列计算正确的是（）A．2x+3y＝5xy B．x10÷x5＝x5C．（xy2）3＝xy6D．（x﹣y）2＝x2+y2【分析】直接利用同类项定义,同底数幂的除法,积的乘方运算法则以及完全平方公式分别分析得出答案．解：A、2x与3y不是同类项,不能合并,故此选项错误；B、x10÷x5＝x5,故此选项正确；C、（xy2）3＝x3y6,故此选项错误；D、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2,故此选项错误；故选：B．4．某班级开展“好书伴成长”读书活动,统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的数量,绘制了折线统计图,下列说法正确的是（）A．每月阅读课外书本数的众数是45B．每月阅读课外书本数的中位数是58C．从2到6月份阅读课外书的本数逐月下降D．从1到7月份每月阅读课外书本数的最大值比最小值多45【分析】从折线图中获取信息,通过折线图和中位数、众数的定义及极差等知识求解．解：因为58出现了两次,其他数据都出现了一次,所以每月阅读课外书本数的众数是58,故选项A错误；每月阅读课外书本数从小到大的顺序为：28、33、45、58、58、72、78,最中间的数字为58,所以该组数据的中位数为58,故选项B正确；从折线图可以看出,从2月到4月阅读课外书的本数下降,4月到5月阅读课外书的本数上升,故选项C错误；从1到7月份每月阅读课外书本数的最大值78比最小值多28多50,故选项D错误．故选：B．5．如图,直线l1∥l2,点A在直线l1上,以点A为圆心,适当长度为半径画弧,分别交直线l1、l2于B、C两点,连接AC、BC．若∠ABC＝70°,则∠1的大小为（）A．20°B．35°C．40°D．70°【分析】根据平行线的性质解答即可．解：∵点A为圆心,适当长度为半径画弧,分别交直线l1、l2于B、C,∴AC＝AB,∴∠CBA＝∠BCA＝70°,∵l1∥l2,∴∠CBA+∠BCA+∠1＝180°,∴∠1＝180°﹣70°﹣70°＝40°,故选：C．6．随着全球能源危机的逐渐加重,太阳能发电行业发展迅速．全球太阳能光伏应用市场持续稳步增长,2019年全球装机总量约600GW,预计到2021年全球装机总量达到864GW．设全球新增装机量的年平均增长率为x,则x值为（）A．20%B．30%C．40%D．50%【分析】根据增长后的装机总量＝增长前的装机总量×（1+增长率）列出方程并解答．解：根据题意,得600（1+x）2＝864．解得x1＝0.2＝20%,x2＝﹣2.2（舍去）,故选：A．7．不等式组的解集是x＞4,那么m的取值范围是（）A．m＝3B．m≥3C．m＜3D．m≤3【分析】不等式组中两不等式整理后,根据已知解集确定出m的范围即可．解：不等式组整理得：,∵不等式组的解集为x＞4,∴m+1≤4,解得：m≤3．故选：D．8．在△ABC中,∠ACB＝90°,∠CAD＝30°,AC＝BC＝AD,则∠CBD的度数为（）A．12°B．13°C．14°D．15°【分析】可过C作CE⊥AD于E,过D作DE⊥BC于F,依据题意可得∠FCD＝∠ECD,由角平分线到角两边的距离相等可得DF＝DE,进而的△CED≌△CFD,由对应边又可得Rt △CDF≌Rt△BDF,进而可得出结论．解：如图,过C作CE⊥AD于E,过D作DF⊥BC于F．∵∠CAD＝30°,∴∠ACE＝60°,且CE＝AC,∵AC＝AD,∠CAD＝30°,∴∠ACD＝75°,∴∠FCD＝90°﹣∠ACD＝15°,∠ECD＝∠ACD﹣∠ACE＝15°,在△CED和△CFD中,,∴△CED≌△CFD（AAS）,∴CF＝CE＝AC＝BC,∴CF＝BF．∴BD＝CD,∴∠DCB＝∠CBD＝15°,故选：D．9．如图所示的图形中,每个三角形上各有一个数字,若六个三角形上的数字之和为20,则称该图形是“和谐图形”．已知其中四个三角形上的数字之和为14,现从1,2,3,4,5中任取两个数字标在另外两个三角形上,则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（）A．B．C．D．【分析】画树状图,共有20个等可能的结果,恰好使该图形为“和谐图形”的结果有4个,再由概率公式求解即可．解：画树状图如图：共有20个等可能的结果,恰好使该图形为“和谐图形”的结果有4个,∴恰好使该图形为“和谐图形”的概率为＝,故选：B．10．如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC,过点C作CD⊥AB,垂足为D,点E为BC的中点,AE与CD交于点F,若DF的长为,则AE的长为（）A．B．C．D．【分析】连接DE,首先推知ED为△ABC的中位线,然后由中位线的性质得到△DEF∽△CAF,从而求得CD的长度；继而推知AC＝BC＝4；最后由勾股定理求得AE的长度．解：连接DE,如图所示：在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC,∵CD⊥AB,∴AD＝BD,即点D为AB的中点．∵E为BC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥AC,DE＝AC,∴△DEF∽△CAF,∴＝＝,∴DF＝CD＝,∴CD＝．∴AB＝2．∵AC＝BC,∴AC2+BC2＝2AC2＝AB2＝8．∴AC＝BC＝2．∴CE＝1．在直角△ACE中,由勾股定理知：AE＝＝＝．故选：C．11．如图,抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1,0）和（0,﹣1）两点,则抛物线y＝cx2+bx+a的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意得到a﹣b+c＝0,a＞0,b＜0,c＝﹣1,即可得到抛物线y＝cx2+bx+a的开口向下,对称轴直线x＝﹣＜0,交y轴正半轴,经过点（﹣1,0）,据此即可判断．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1,0）和（0,﹣1）两点,∴开口向上,对称轴在y轴的右侧,∴a﹣b+c＝0,a＞0,b＜0,c＝﹣1,∴抛物线y＝cx2+bx+a的开口向下,对称轴直线x＝﹣＜0,交y轴正半轴,当x＝﹣1时,y＝c﹣b+a＝0,∴抛物线y＝cx2+bx+a经过点（﹣1,0）,故选：B．12．如图,有一张矩形纸条ABCD,AB＝5cm,BC＝2cm,点M,N分别在边AB,CD上,CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠,使点B,C分别落在点B′,C′上．在点M从点A运动到点B 的过程中,若边MB'与边CD交于点E,则点E相应运动的路径长为（）cm．A．﹣B．C．D．【分析】探究点E的运动轨迹,寻找特殊位置解决问题即可．解：如图1中,∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠1＝∠3,由翻折的性质可知：∠1＝∠2,BM＝MB′,∴∠2＝∠3,∴MB′＝NB′,∵NB′＝＝＝（cm）,∴BM＝NB′＝（cm）．如图2中,当点M与A重合时,AE＝EN,设AE＝EN＝xcm,在Rt△ADE中,则有x2＝22+（4﹣x）2,解得x＝,∴DE＝4﹣＝（cm）,如图3中,当点M运动到MB′⊥AB时,DE′的值最大,DE′＝5﹣1﹣2＝2（cm）,如图4中,当点M运动到点B′落在CD时,DB′（即DE″）＝5﹣1﹣＝（4﹣）（cm）,∴点E的运动轨迹E→E′→E″,运动路径＝EE′+E′B′＝2﹣+2﹣（4﹣）＝（﹣）（cm）．故选：A．二、填空题（共6个小题,每小题4分,共24分,将答案填写在答题卡相应的横线上）13．把多项式mx2﹣4mxy+4my2分解因式的结果是m（x﹣2y）2．【分析】直接提取公因式m,再利用完全平方公式分解因式即可．解：原式＝m（x2﹣4xy+4y2）＝m（x﹣2y）2．故答案为：m（x﹣2y）2．14．将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后,经过点（﹣2,5）,则8a﹣4b﹣11的值是﹣5．【分析】根据二次函数的平移得出平移后的表达式,再将点（﹣2,5）代入,得到4a﹣2b＝3,最后将8a﹣4b﹣11变形求值即可．解：将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后,表达式为：y＝ax2+bx+2,∵经过点（﹣2,5）,代入得：4a﹣2b＝3,则8a﹣4b﹣11＝2（4a﹣2b）﹣11＝2×3﹣11＝﹣5,故答案为：﹣5．15．无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内,木筷露在杯子外面的部分至少有5cm．【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度,进而得出答案．解：由题意可得：杯子内的筷子长度为：＝15,则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20﹣15＝5（cm）．故答案为：5．16．关于x的方程的解是正数．则a的取值范围是a＜﹣2且a≠﹣6．【分析】将a看成一个常数,然后按照分式方程的解法求出x即可求出a的范围．解：3x+a＝x﹣2∴x＝把x＝代入x﹣2≠0,∴a≠﹣6∵x＞0,∴＞0,∴a＜﹣2∴a＜﹣2且a≠﹣6故答案为：a＜﹣2且a≠﹣617．如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC＝5,点E、F分别在CA,CB上,且CE＝CF＝1,点M、N分别为AF、BE的中点,则MN的长为2．【分析】取AB的中点D,连接MD、ND,如图,先判断DM为△ABF的中位线,DN为△ABE 的中位线得到DM＝BF＝2,DM∥BF,DN＝AE＝2,再证明AE⊥BF,则DM⊥DN,然后根据△DMN为等腰直角三角形确定MN的长．解：取AB的中点D,连接MD、ND,如图,AE＝BF＝5﹣1＝4,∵点M、N分别为AF、BE的中点,∴DM为△ABF的中位线,DN为△ABE的中位线,∴DM＝BF＝2,DM∥BF,DN＝AE＝2,DN∥AE,∵AE⊥BF,∴DM⊥DN,∴△DMN为等腰直角三角形,∴MN＝DM＝2．故答案为2．18．如图,在矩形ABCD中,AB＝1,BC＝2,P为线段BC上的一动点,且和B、C不重合,连接PA,过点P作PE⊥PA交CD于E,将△PEC沿PE翻折到平面内,使点C恰好落在AD边上的点F,则BP长为或1．【分析】作PH⊥AD于H,如图,设BP＝x,则CP＝2﹣x,利用等角的余角相等得到∠1＝∠3,则根据相似三角形的判定得到Rt△ABP∽Rt△PCE,利用相似比、折叠的性质得表示相应的线段,然后证明Rt△PHF∽Rt△FDE,利用相似比得到FD,在Rt△DFE中,根据勾股定理即可求解．解：作PH⊥AD于H,如图,设BP＝x,则CP＝2﹣x．∵PE⊥PA,∴∠2+∠3＝90°,∵∠1+∠2＝90°,∴∠1＝∠3,∴Rt△ABP∽Rt△PCE,∴．即．∴CE＝x（2﹣x）．∵△PEC沿PE翻折到△PEF位置,使点F落到AD上,∴EF＝CE＝x（2﹣x）,PF＝PC＝2﹣x,∠PGE＝∠C＝90°,∴DE＝DC﹣CE＝1﹣x（2﹣x）．∴∠5+∠6＝90°．∵∠4+∠6＝90°,∴∠5＝∠4．∴Rt△PHF∽Rt△FDE,∴,即．∴FD＝x,在Rt△DFE中,∵DE2+DF2＝FE2,∴[1﹣x（2﹣x）]2+x2＝[x（2﹣x）]2,解得x1＝,x2＝1,∴BP的长为或1．解法二：过点A作AM⊥BF于M．∵△PEF由△PEC翻折得到,∴△PEF≌△PEC,∴PF＝PC,∠FPE＝∠EPC,又∵∠BPA+∠EPC＝90°,∠APM+∠EPF＝90°,∴∠APB＝∠APM,又∵∠B＝∠AMP＝90°,AP＝AP,∴△ABP≌△AMP（AAS）,∴AB＝AM＝1,BP＝PM,令BP＝x,则PC＝PF＝2﹣x,BP＝PM＝x,∴MF＝2﹣x﹣x＝2﹣2x,∵AD∥BC,∴∠APB＝∠PAD,又∵∠APB＝∠APF,∴△APF为等腰三角形,∴AF＝PF＝2﹣x,在△AMF中,AF2＝AM2+MF2,∴（2﹣x）2＝12+（2﹣2x）2,∴x＝1或．故答案为：或1．三、解答题（本大题共7个小题,共90分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（16分）（1）计算：2﹣1+|﹣3|+2sin45°﹣（﹣2）2021×（）2021．（2）先化简,再求值：（﹣）÷,其中a满足a2+2a﹣15＝0．【分析】（1）根据负整数指数幂、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、积的乘方法则计算；（2）根据分式的混合运算法则把原式化简,整体代入即可．解：（1）原式＝+3﹣+2×﹣（﹣2×）2021＝+3﹣++1＝；（2）原式＝[+]•＝（+）•＝•＝,∵a2+2a﹣15＝0,∴a2+2a＝15,∴原式＝．20．新冠肺炎疫情期间,我市对学生进行了“停课不停学”的线上教学活动．某中学为了解这期间九年级学生数学学习的情况,开学后进行了两次诊断性练习．综合成绩由两次练习成绩组成,其中第一次练习成绩占40%,第二次练习成绩占60%．当综合成绩不低于135分时,该生数学学科综合评价为优秀．（1）小明同学的两次练习成绩之和为260分,综合成绩为132分,则他这两次练习成绩各得多少分？（2）如果小张同学第一次练习成绩为120分,综合成绩要达到优秀,他的第二次练习成绩至少要得多少分？【分析】（1）设第一次练习成绩为x分,第二次练习成绩为y分,根据“小明同学的两次练习成绩之和为260分,综合成绩为132分”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论；（2）设小张同学第二次练习成绩为m分,根据他的综合成绩不低于135分,即可得出关于m的一元一次不等式,解之取其中的最大值即可得出结论．解：（1）设第一次练习成绩为x分,第二次练习成绩为y分,依题意,得：,解得：．答：第一次练习成绩为120分,第二次练习成绩为140分．（2）设小张同学第二次练习成绩为m分,依题意,得：120×40%+60%m≥135,解得：m≥145．答：小张同学第二次练习成绩至少要得145分．21．某市有A,B,C,D,E五个景区很受游客喜爱．对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计,并根据这个统计结果制作了两幅不完整的统计图．（1）该小区居民在这次随机调查中被调查的人数是200人,m＝35；（2）补全条形统图,若该小区有居民1500人,试估计去C景区旅游的居民约有多少人？（3）甲、乙两人暑假打算游玩,甲从B,C两个景点中任意选择一个游玩,乙从B,C,E三个景点中任意选择一个游玩,用列表法或树状图法求甲、乙恰好游玩同一景点的概率．【分析】（1）用去D景区旅游的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数,然后用去到B景区旅游的居民数除以总人数可得到m的值；（2）先计算出去到C景区旅游的居民数,则可补全条形统计图；然后用去C景区旅游的居民数的百分比乘以1500即可；（3）画树状图展示所有6种等可能的结果,找出甲、乙恰好游玩同一景点的结果数,然后根据概率公式求解．解：（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数为20÷10%＝200（人）；m%＝×100%＝35%,即m＝35；故答案为200；35；（2）去C景区旅游的居民人数为200﹣20﹣70﹣20﹣50＝40（人）,补全统计图如下：1500×＝300（人）,所以估计去C景区旅游的居民约有300人；（3）画树状图为：共有6种等可能的结果,其中甲、乙恰好游玩同一景点的结果数为2,所以甲、乙恰好游玩同一景点的概率＝＝．22．如图,在平面直角坐标系中,菱形OBCD的边OB在x轴上,反比例函数y＝（x＞0）的图象经过菱形对角线的交点A,且与边BC交于点F,点A的坐标为（4,2）．（1）求反比例函数的表达式；（2）求点F的坐标．【分析】（1）将点A的坐标代入到反比例函数的一般形式后求得k值即可确定函数的解析式；（2）过点A作AM⊥x轴于点M,过点C作CN⊥x轴于点N,首先求得点B的坐标,然后求得直线BC的解析式,求得直线和双曲线的交点坐标即可．解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点A,A点的坐标为（4,2）,∴k＝2×4＝8,∴反比例函数的解析式为y＝；（2）过点A作AM⊥x轴于点M,过点C作CN⊥x轴于点N,由题意可知,CN＝2AM＝4,ON＝2OM＝8,∴点C的坐标为C（8,4）,设OB＝x,则BC＝x,BN＝8﹣x,在Rt△CNB中,x2﹣（8﹣x）2＝42,解得：x＝5,∴点B的坐标为B（5,0）,设直线BC的函数表达式为y＝ax+b,直线BC过点B（5,0）,C（8,4）,∴,解得：,∴直线BC的解析式为y＝x﹣,根据题意得方程组,解此方程组得：或∵点F在第一象限,∴点F的坐标为F（6,）．23．如图,BC是⊙O的直径,AD是⊙O的弦,AD交BC于点E,连接AB,CD．过点E作EF⊥AB,垂足为F,∠AEF＝∠D．（1）求证：AD⊥BC；（2）点G在BC的延长线上,连接AG,∠DAG＝2∠D．①求证：AG与⊙O相切；②当＝,CE＝3时,求AG的长．【分析】（1）想办法证明∠B+∠BAE＝90°即可解决问题．（2）①连接OA,想办法证明OA⊥AG即可解决问题．②过点C作CH⊥AG于H．设CG＝x,GH＝y．利用相似三角形的性质构建方程组解决问题即可．【解答】证明：（1）∵EF⊥AB,∴∠AFE＝90°,∴∠AEF+∠EAF＝90°,∵∠AEF＝∠D,∠ABE＝∠D,∴∠ABE+∠EAF＝90°,∴∠AEB＝90°,∴AD⊥BC；（2）①连接OA,AC,∵AD⊥BC,∴AE＝ED,∴CA＝CD,∴∠D＝∠CAD,∵∠GAE＝2∠D,∴∠CAG＝∠CAD＝∠D,∵OC＝OA,∴∠OCA＝∠OAC,∵∠CEA＝90°,∴∠CAE+∠ACE＝90°,∴∠CAG+∠OAC＝90°,∴OA⊥AG,∴AG是⊙O的切线；②过点C作CH⊥AG于H．设CG＝x,GH＝y．∵CA平分∠GAE,CH⊥AG,CE⊥AE,∴CH＝CE,∵∠AEC＝∠AHC＝90°,AC＝AC,EC＝CH,∴Rt△ACE≌Rt△ACH（HL）,∴AE＝AH,∵EF⊥AB,BC是直径,∴∠BFE＝∠BAC,∴EF∥AC,∴＝＝,∵CE＝3,∴BE＝,∵BC⊥AD,∴,∴∠CAE＝∠ABC,∵∠AEC＝∠AEB＝90°,∴△AEB∽△CEA,∴,∴AE2＝3×＝,∵AE＞0,∴AE＝,∴AH＝AE＝,∵∠G＝∠G,∠CHG＝∠AEG＝90°,∴△GHC∽△GEA,∴,∴＝,解得x＝7,y＝2,∴AG＝2+＝．24．在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动．（1）如图1,当点E在边DC上自D向C移动,同时点F在边CB上自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,请你直接写出AE与DF的关系．（2）如图2,当E,F分别在边CD,BC的延长线上移动时,连接AE,DF,AC,当△ACE为等腰三角形时,求CE：CD的值．（3）如图3,当点E在边DC上自D向C移动,同时点F在边CB上自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,由于点E,F的移动,使得点P也随之运动．若AD＝2,求线段CP的最小值．【分析】（1）根据正方形的性质得出AD＝DC,∠ADE＝∠DCF＝90°,求出DE＝CF,根据SAS推出△ADE≌△DCF,根据全等三角形的性质得出AE＝DF,∠DAE＝∠FDC即可；（2）有两种情况：①当AC＝CE时,设正方形ABCD的边长为a,由勾股定理求出AC＝CE ＝a即可；②当AE＝AC时,设正方形ABCD的边长为a,由勾股定理求出AC＝AE＝a,根据正方形的性质∠ADC＝90°,根据等腰三角形的性质得出DE＝CD＝a即可；（3）由于点P在运动中保持∠APD＝90°,所以点P的路径以AD中点为圆心,AD的一半为半径的弧DG,设AD的中点为Q,连接QC交弧于点P,此时CP的长度最小,再由勾股定理可得QC的长,再求CP即可．解：（1）AE＝DF,AE⊥DF；理由是：∵四边形ABCD是正方形,∴AD＝DC,∠ADE＝∠DCF＝90°,∵动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动,∴DE＝CF,在△ADE和△DCF中,,∴△ADE≌△DCF（SAS）,∴AE＝DF,∠DAE＝∠FDC,∵∠ADE＝90°,∴∠ADP+∠CDF＝90°,∴∠ADP+∠DAE＝90°,∴∠APD＝180°﹣90°＝90°,∴AE⊥DF；（2）（1）中的结论还成立,CE：CD＝2：1或：1．理由：有两种情况：①如图1,当AC＝CE时,设正方形ABCD的边长为a,由勾股定理得：AC＝CE＝a,则CE：CD＝a：a＝：1；②如图2,当AE＝AC时,设正方形ABCD的边长为a,由勾股定理得：AC＝AE＝a,∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADC＝90°,即AD⊥CE,∴DE＝CD＝a,∴CE：CD＝2a：a＝2：1；综上所述,CE：CD＝：1或2：1；故答案为：：1或2：1；（3）如图：由于点P在运动中保持∠APD＝90°,∴点P的路径是一段以AD中点为圆心,AD的一半为半径的弧DG,设AD的中点为Q,连接QC交弧于点P,此时CP的长度最小,在Rt△QDC中,QC＝＝＝,∴CP＝QC﹣QP＝﹣1．25．如图1,已知抛物线y＝﹣（x+3）（x﹣4）与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C．（1）写出A、B、C三点的坐标．（2）若点P为△OBC内一点,求OP+BP+CP的最小值．（3）如图2,点Q为对称轴左侧抛物线上一动点,点D（4,0）,直线DQ分别与y轴、直线AC交于E、F两点,当△CEF为等腰三角形时,请直接写出CE的长．【分析】（1）令y＝0,可求出点A,点B的坐标,令x＝0,可得出点C的坐标；（2）将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BP'C',连接PP',CC',当O,P,P',C′四点共线,OP+BP+CP的值最小,再在直角三角形中,求出此时的最小值；（3）需要分类讨论,当CE＝CF,CE＝EF,CF＝EF时,分别求解．解：（1）∵y＝﹣（x+3）（x﹣4）与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,∴A（﹣3,0）,B（4,0）,C（0,4）．（2）将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BP'C',连接PP',CC',∴BP＝BP',BC＝BC,∠PBP'＝60°,∠CBC′＝60°,PC＝P'C′,∴△BPP'和△BCC′为等边三角形,∴BC′＝BC,PP′＝BP,当O,P,P',C′四点共线,OP+BP+CP的值最小,∴tan∠OBC＝＝＝,∴∠OBC＝30°,∴BC＝2OC＝8,∴BC′＝BC＝8,∵∠OBC′＝∠OBC+∠CBC′＝30°+60°＝90°,∴OC′＝＝,∴OP+BP+CP＝OP+PP'+C'P'＝OC′＝4．（3）需要分类讨论：①如图,当CE＝CF,且点F在点C左侧时,过点F作FG⊥CE于点G,则△CFG∽△CAO,∵OA＝3,OC＝4,∴AC＝5,∴FG：GC：FC＝OA：OC：AC＝3：4：5,设FG＝3m,则CG＝4m,FC＝5m,∴CE＝FC＝5m,∴GE＝m,OE＝4﹣5m,∵△FGE∽△DOE,∴,∴,∴m＝,∴CE＝5m＝；当点F在点C右侧时,如图所示,过点F作FG⊥y轴于点G,则△FCG∽△ACO,∴FG：GC：FC＝OA：OC：AC＝3：4：5,设FG＝3m,则CG＝4m,FC＝5m,∴CE＝FC＝5m,∴GE＝9m,OE＝5m﹣4,∵△FGE∽△DOE,∴,∴,解得m＝,∴CE＝5m＝16；②如图,当CE＝EF时,过点A作AG∥EF交y轴于点G,由EF＝CE,可得,AG＝CG,设OG＝m,则AG＝CG＝4﹣m,∵OA2+OG2＝AG2,∴32+m2＝（4﹣m）2,解得,m＝．由A（﹣3,0）和G（0,）,可得直线AG的解析式为：y＝x+,设直线DF为：y＝x+b,将D（4,0）代入得：b＝﹣,∴E（0,﹣）,∴CE＝4+＝．③如图,当CF＝EF时,过点C作CG∥DE交x轴于点G,则∠GCO＝∠ACO,∴OG＝OA＝3,∴G（3,0）,由G（3,0）,C（0,4）可得直线CG的解析式为：y＝﹣x+4,设直线DE为：y＝﹣x+n,将D（4,0）代入得：n＝,∴E（0,）,∴CE＝﹣4＝．故CE的长为：或或或16．。
2020届四川省绵阳市高中高三第二次诊断性测试数学(理)试题(解析版)
2020届四川省绵阳市高中 高三第二次诊断性测试数学（理）试题一、单选题1．设全集{}|0U x x =>，{}2|1xM x e e=<<，则UCM =（ ）A ．()1,2B ．()2,+∞C ．(][)0,12,+∞UD ．[)2,+∞【答案】D【解析】先确定集合M 的元素，再由补集定义求解． 【详解】由题意2{|1}{|02}x M x e e x x =<<=<<，∴{|2}U C M x x =≥．故选：D ． 【点睛】本题考查补集的运算，解题时需确定集合的元素后才能进行集合的运算．本题还考查了指数函数的单调性．2．已知i 为虚数单位，复数z 满足12z i i ⋅=+，则z =（ ） A ．2i - B ．2i + C ．12i - D ．2i -【答案】A【解析】由除法计算出复数z ． 【详解】 由题意122iz i i+==-． 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题．3．已知两个力()11,2F =u u r ，()22,3F =-u u r作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力3F u u r，则3F =u u r （ ）A ．()1,5-B ．()1,5-C ．()5,1-D ．()5,1-【答案】A【解析】根据力的平衡条件下,合力为0r,即可根据向量的坐标运算求得3F u u r .【详解】根据力的合成可知()()()12+1,22,31,5F F =+-=-u u r u u r因为物体保持静止,即合力为0r,则123+0F F F +=u u r u u r u u r r 即()31,5F =-u u r故选:A 【点睛】本题考查了向量的运算在物理中的简单应用,静止状态的条件应用,属于基础题. 4．甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（ ） A ．18B ．14C ．38D ．12【答案】B【解析】可用列举法写出三人选择景点的各种情形．然后计数后可概率． 【详解】两景点用1，2表示，三人选择景点的各种情形为：甲1乙1丙1 ，甲1乙1丙2 ，甲1乙2丙1 ，甲2乙1丙1 ，甲2乙2丙1 ，甲2乙1丙2 ，甲1乙2丙2 ，甲2乙2丙2 共8种，其中三人去同一景点的有甲1乙1丙1 和甲2乙2丙2两种，所以概率为2184P ==． 故选：B ． 【点睛】本题考查古典概型，解题时可用列举法写出所有的基本事件．5．已知α为任意角，则“1cos 23α=”是“sin α=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要【答案】B【解析】说明命题1cos 23α=⇒sin 3α=和sin 3α=⇒1cos 23α=是否为真即可． 【详解】21cos 212sin 3a α=-=，则sin α=，因此“1cos 23α=”是“sin α=”的必要不充分条件． 故选：B ． 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，只要命题p q ⇒为真，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．6．若51ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为1，则该展开式中含3x 项的系数为（ ）A ．-80B ．-10C ．10D ．80【答案】A【解析】根据二项式定理展开式的各项系数和为1,即可得参数a 的值.由二项展开式的通项即可求得3x 项的系数. 【详解】因为51ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为1 令1x =代入可得()511a -=,解得2a =即二项式为512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中含3x 的项为()()41143355122180C x C x x x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭所以展开式中含3x 项的系数为80- 故选:A 【点睛】本题考查了二项定理展开式的简单应用,指定项系数的求法,属于基础题. 7．已知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y 对x 的回归直线方程为 6.59y x =+，则下列说法中错误的是（ ）A ．产品的销售额与广告费用成正相关B ．该回归直线过点()2,22C ．当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D ．m 的值是20 【答案】C【解析】根据回归直线方程中x 系数为正，说明两者是正相关，求出x 后，再由回归方程求出y ，然后再求得m ，同样利用回归方程可计算出10x =时的预估值． 【详解】因为回归直线方程中x 系数为6.5＞0，因此，产品的销售额与广告费用成正相关，A 正确； 又0123425x ++++==，∴ 6.52922y =⨯+=，回归直线一定过点(2,22)，B 正确；10x =时， 6.510974y =⨯+=，说明广告费用为10万元时，销售额估计为74万元，不是一定为74万元，C 错误； 由10153035225m y ++++==，得20m =，D 正确．故选：C ． 【点睛】本题考查回归直线方程，回归直线方程中x 系数的正负说明两变量间正负相关性，回归直线一定过中心点(,)x y ，回归直线方程中计算的值是预估值，不是确定值．8．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A ，B 两点，若四边形OAFB （O 为坐标原点）的面积为bc ，则双曲线的离心率为（ ）A B ．2C ．D ．3【答案】B【解析】把四边形OAFB 面积用,,a b c 表示出来，它等于bc ，变形后可求得离心率． 【详解】由题意(c,0)F ，渐近线方程为by x a =±，不妨设AF 方程为()b y x c a=--， 由()b y x c a b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得22c x bc y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即(,)22c bc A a ，同理(,)22c bc B a -， ∴21(2)222OAFBbc bc S c a a =⨯⨯⨯=，由题意22bc bc a=，∴2c a =．故选：B ． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率．求离心率关键是找到关于,,a b c 的一个等式，本题中四边形OAFB 的面积是bc 就是这个等式，因此只要按部就班地求出其面积即可得． 9．小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为X ，则X 的期望为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据古典概型概率求法,列举出现的所有可能.由离散型随机变量的概率求法,可得小明得分的对应的概率与分布列,即可求出得分之和的期望. 【详解】进行“手心手背”游戏,3人出现的所有可能情况如下所示: (心,心,心), (心,心,背),(心,背,心),(背,心,心) (心,背,背),(背,心,背),(背,背,心),(背,背,背) 则小明得1分的概率为34,得0分的概率为14进行4次游戏,小明得分共有5种情况:0分,1分,2分,3分,4分 由独立重复试验的概率计算公式可得:()4041104256P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()13143112144256P XC ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22243154244256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()313431108344256P XC ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()44438144256P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则得分情况的分布列如下表所示:则X 的期望()154108811+2+3+4=3256256256256E X =⨯⨯⨯⨯ 故选:C 【点睛】本题考查了离散型随机变量的概率分布及期望的求法,属于基础题.10．已知圆C ：2268110x y x y +---=，点M ，N 在圆C 上，平面上一动点P 满足PM PN =且PM PN ⊥，则PC 的最大值为（ ）A ．4B ．C ．6D ．【答案】D【解析】根据几何意义可知动点P 位于以MN 为直径的圆上,由正弦定理即可求得PC 的最大值. 【详解】圆C ：2268110x y x y +---= 化成标准方程可得()()223436x y -+-= 所以圆C 的半径为6r =因为点M ,N 在圆C 上,动点P 满足PM PN =且PM PN ⊥ 所以P 位于以MN 为直径的圆上,位置关系如下图所示:则PMC PNC ∆≅∆,即45MPC NPC ∠=∠=o 在三角形PMC ∆中,由正弦定理可得sin sin 45MC PCPMC=∠sin 2PC PMC =∠则62PC PMC =∠ 因为sin 1PMC ∠≤ 所以PC 的最大值为62故选:D 【点睛】本题考查了圆的一般方程与标准方程的转化,圆的几何性质,正弦定理的简单应用,属于中档题.11．已知()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()31cos sin 3x x x f x x =-+，则满足不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的实数m 的取值范围为（ ）A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．()0,2C ．()10,1,22⎛⎫⎪⎝⎭U D ．()2,+∞【答案】A【解析】由偶函数性质把不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭化为2(log )(1)f m f <，由导数确定函数()f x 在[0,)+∞上的单调性，利用单调性解不等式． 【详解】∵()f x 是偶函数，∴12222(log )(log )(log )(log )f m f m f m f m =-==，则不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭可化为22(log )2(1)f m f <，即2(log )(1)f m f <，0x ≥时，31()cos sin 3f x x x x x =-+，2'()cos sin cos (sin )f x x x x x x x x x =--+=-，令()sin g x x x =-，则'()1cos 0g x x =-≥，∴()g x 是R 上的增函数，∴当0x >时，()(0)0g x g >=，∴0x ≥时，'()0f x ≥，∴()f x 在[0,)+∞上是增函数， ∴由2(log )(1)f m f <得2log 1m <，即21log 1m -<<，122m <<． 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查解对数不等式．此各种类型不等式的解法是：本题这种类型的不等式有两种，一种是奇函数，不等式为12()()0f x f x +>，转化为12()()f x f x >-，一种是偶函数，不等式为12()()f x f x >，转化为12()()f x f x >，然后由单调性去函数符号“f ”．12．函数()()()221log 2a a f x ax x =--+在区间10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．11,32⎛⎫⎪⎝⎭B ．[)3,+∞C ．()[)1,23,+∞UD ．[)2,3【答案】D【解析】根据函数零点存在定理可求得a 的取值范围.并根据区间10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点,分析可知当3a =时函数有两个零点,不符合要求,即可求得最终a 的取值范围. 【详解】函数()()()221log 2a a f x ax x =--+在区间10,a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点,则()l g 21o 0a f =-,lo 1g 31a f a ⎛⎫⎪=-⎝⎭由二次函数的图像与对数函数的图像可知,函数零点至多有两个.且因为恰有一个零点,所以满足()()110log 2log 3a a --≤且1log 20a -=与1log 30a -=在10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不同时成立.解不等式()()110log 2log 3a a --≤可得23a ≤≤当3a =时,函数()()()2361log 32f x x x =--+,区间为10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦且满足()301log 20f =->,310046log f =-⎛⎫<⎪⎝⎭,311303log f =-⎛⎫= ⎪⎝⎭所以在10,6⎛⎫ ⎪⎝⎭内有一个零点, 13x =为一个零点.故由题意可知,不符合要求 综上可知, a 的取值范围为[)2,3 故选:D 【点睛】本题考查了函数零点存在定理的综合应用,根据零点个数求参数的取值范围.需要判断零点个数及检验参数是否符合题目要求,属于难题.二、填空题13．直线l ：()110ax a y -+-=与直线4630x y -+=平行，则实数a 的值是______. 【答案】2.【解析】由两直线平行的条件判断． 【详解】 由题意(1)1463a a -+-=≠-，解得2a =． 故答案为：2． 【点睛】本题考查两直线平行的充要条件，两直线1110A x B y C ++=和2220A x B y C ++=平行，条件12210A B A B -=是必要条件，不是充分条件，还必须有12210AC A C -≠或12210B C B C -≠，但在2220A B C ≠时，两直线平行的充要条件是111222A B C A B C =≠． 14．法国数学家布丰提出一种计算圆周率π的方法——随机投针法，受其启发，我们设计如下实验来估计π的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数的平方和小于1的数对(),x y 的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值.已知某同学一次试验统计出156m =，则其试验估计π为______. 【答案】3.12【解析】横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y 构成第一象限内的一个正方形, 两数的平方和小于1的数对(),x y 为单位圆在第一象限的部分.由几何概型概率的计算公式,及试验所得结果,即可估计π的值. 【详解】横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y 构成第一象限内的一个正方形,两数的平方和小于1的数对(),x y 为单位圆在第一象限的部分.其关系如下图所示:则阴影部分与正方形面积的比值为1:14π由几何概型概率计算公式可知115642001π=解得15643.12200π⨯== 故答案为: 3.12 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法,根据题意得各部分的关系是解决问题的关键,属于基础题.15．函数()sin 0,2y x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则()f x 在区间[],ππ-上的零点之和为______.【答案】23π. 【解析】先求出周期，确定ω，再由点(,1)6π确定ϕ，得函数解析式，然后可求出[,]-ππ上的所有零点． 【详解】 由题意411()3126T πππ=⨯-=，∴22πωπ==，又sin(2)16πϕ⨯+=且2πϕ<，∴6π=ϕ， ∴()sin(2)6f x x π=+．由sin(2)06x π+=得26x k ππ+=，212k x ππ=-，k Z ∈， 在[,]-ππ内有：7511,,,12121212ππππ--，它们的和为23π．【点睛】本题考查三角函数的零点，由三角函数图象求出函数解析式，然后解方程()0f x =得出零点，就可确定在已知范围内的零点．本题也可用对称性求解，由函数周期是π，区间[,]-ππ含有两个周期，而区间端点不是函数零点，因此()f x 在[,]-ππ上有4个零点，它们关于直线6x π=对称，由此可得4个零点的和．16．过点()1,0M -的直线l 与抛物线C ：24y x =交于A ，B 两点（A 在M ，B 之间），F 是抛物线C 的焦点，点N 满足：5NA AF =u u u r u u u r ，则ABF ∆与AMN ∆的面积之和的最小值是______. 【答案】8【解析】根据直线l 过点()1,0M -,设出直线l 的方程.联立抛物线后可表示出A 、B 两点的纵坐标,利用5NA AF =u u u r u u u r可表示出点N 的纵坐标.由三角形面积公式可表示出ABF ∆与AMN ∆的面积之和.对表达式求导,根据导数即可求得面积和的最小值.【详解】根据题意,画出抛物线及直线方程如下图所示:因为直线l 过点()1,0M - 设直线的方程为1x ty =-则241y x x ty ⎧=⎨=-⎩,化简可得2440y ty -+= 因为有两个不同交点,则216160t ∆=->,解得1t >或1t <- 不妨设1t >,则解方程可得22221,221A B y t t y t t =--=+-因为5NA AF =u u u r u u u r ,则6NF AF =u u u r u u u r所以2612121,N A y y t t ==-- 所以()122ABF MBF AMF B A B A S S S y y y y ∆∆∆=-=⨯⨯-=- ()122AMN FMN AMF N A N A S S S y y y y ∆∆∆=-=⨯⨯-=-则ABF AMN B A N A S S y y y y ∆∆+=-+-222221121212221t t t t t t ⎛=+----- ⎝21061t t =--1t >)令()21061f t t t =--则()2'101f t t =-令()2'1001f t t ==-解得54t =当514t <<时, ()'0f t <,所以()f t 在51,4⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减当54t >时, ()'0f t >,所以()f t 在5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增 即当54t =时()f t 取得最小值. 所以21061ABF AMN S S t t ∆∆+=--2551061844⎛⎫=⨯--= ⎪⎝⎭故答案为:8 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,抛物线中三角形面积的求法,利用导数求函数的最值的应用,综合性强,属于难题.三、解答题17．每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查.该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间t （小时）的频率分布直方图如图所示：（1）求样本学生一个月阅读时间t 的中位数m .（2）已知样本中阅读时间低于m 的女生有30名，请根据题目信息完成下面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.22⨯列联表男 女 总计 t m ≥<t m总计附表：其中：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++.【答案】（1）10；（2）不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关. 【解析】（1）频率为0.5对应的点的横坐标为中位数；（2）100名学生中男生45名，女生55名，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m 的人数为50人，小于m的也有50人，阅读时间低于m的女生有30名，这样可得列联表中的各数，得列联表，依据2K公式计算2K，对照附表可得结论．【详解】（1）由题意得，直方图中第一组，第二组的频率之和为0.0450.0650.5⨯+⨯=.所以阅读时间的中位数10m=.（2）由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m的人数为1000.550⨯=人，故列联表补充如下：2K的观测值()2100253025201005050455599k⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯1.012.706≈<，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关. 【点睛】本题考查频率分布直方图，考查独立性检验．正确认识频率分布直方图是解题基础． 18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足120a a +=，624S =.各项均为正数的等比数列{}n b 满足1241b b a +=+，34b S =. （1）求n a 和n b ；（2）求和：()()()1121211111n n T b b b b b b -=+++++++++++L L .【答案】(1) 23n a n =-.2nn b =. (2) 122n n T n +=--【解析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式,可得方程组,解方程组即可求得数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式.（2）根据等比数列{}n b 的前n 项和公式,可先求得1211n b b b -+++⋅⋅⋅+的通项公式,进而根据分组求得即可求得n T . 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q .由题意,得1120656242a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得112a d =-⎧⎨=⎩, ∴23n a n =-∵等比数列{}n b 的各项均为正数由112168b b q b q +=⎧⎨=⎩解得1122b q =⎧⎨=⎩或121823b q =⎧⎪⎨=-⎪⎩（舍）∴1222n n n b -=⨯=（2）由（1）得,211211122221n nn b b b --+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=-()()()1121211111n n T b b b b b b -=++++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()()231212121n =+-+-++-L ()()()()12321212121n =-+-+-++-L()12122212n n n n +-=-=---.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列通项公式的求法,等比数列前n 项和公式的简单应用,属于基础题.19．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知()()()sin sin sin sin A B a b c C B +-=+.（1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，BC =，求sin B . 【答案】（1）23A π=；（2）12.【解析】（1）由正弦定理把角的关系转化为边的关系，再由余弦定理可求得A ； （2）把ABC ∆的面积用两种方法表示建立AD 与三角形各边的关系，由BC =，即即AD =23a bc =，再代入余弦定理2222cos a b c bc A =+-中可求得b c =，从而可得6B C π==，于是得sin B 的值．【详解】（1）在ABC ∆中，由正弦定理得()()()a b a b c c b +-=+，即222ab c bc =++.由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==-， 结合0A π<<，可知23A π=.（2）在ABC ∆中，11sin 22ABC S AB AC BAC BC AD ∆=⋅∠=⋅a AD =⋅.由已知BC =，可得AD =在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos120a b c bc =+-︒， 即223bc b c bc =++，整理得()20b c -=，即b c =， ∴6A B π==.∴1sin sin 62B π==. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，第（2）问解题关键是把三角形面积用两种方法表示而建立等式：11sin 22ABC S bc A BC AD ∆==⋅．20．已知椭圆C ：2212x y +=，直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.（1）若点()1,1P -满足0OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r r（O 为坐标原点），求弦AB 的长； （2）若直线l 的斜率不为0且过点()2,0，M 为点A 关于x 轴的对称点，点(),0N n 满足MN NB λ=u u u u r u u u r，求n 的值.【答案】(2) 1n = 【解析】（1）设出A ,B 两点的坐标,结合关系式0OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u rr,即可得线段AB 的中点坐标.利用点差法可求得直线AB 的斜率,根据点斜式求得直线AB 的方程.再结合弦长公式即可求得弦AB 的长;（2）设出直线AB 的方程,根据M 的坐标及MN NB λ=u u u u r u u u r可知MN MB k k =.由两点的斜率公式,可得()121121y x x n x y y -=++,将A ,B 两点的坐标代入直线方程后,整理代入n 的表达式,联立圆的方程,即可得关于y 的方程.进而用韦达定理求得n 的值即可. 【详解】（1）设()11,A x y ,()22,B x y由0OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r r,且点()1,1P -,得121x x =+,121y y +=-.①∴线段AB 的中点坐标为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭,其在椭圆内 由222222111212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得2222212102x x y y -+-=,整理得2221222112y y x x -=--,即()()()()2121212112y y y y x x x x +-=-+-. 将①代入,得212112AB y y k x x -==-.∴直线AB 方程为111222y x ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即2430x y --=.联立22122430x y x y ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩消去x 得2242410y y ++=,由韦达定理得121y y +=-,12124y y =. ∴6AB ==. （2）设直线AB 的方程为2x ty =+,由题意得()11,M x y -,由已知MN NB λ=u u u u r u u u r,可知M ,N ,B 三点共线,即MN MB k k =.∴()()1211210y y y n x x x ----=--,即121121y y y n x x x +=--,解得()121121y x x n x y y -=++.将112x ty =+,222x ty =+,代入得121222ty y n y y =++.②联立222202x y x ty ⎧+-=⎨=+⎩消去x 得()222420t y ty +++=由韦达定理得12242t y y t -+=+,12222y y t =+.③ 将③代入②得到1n = 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系,点差法在求直线方程中的应用,弦长公式的用法,综合性较强,属于难题. 21．已知函数()212ln 2x f x ax x =+-，其中a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若3a ≥，记函数()f x 的两个极值点为1x ，2x （其中21x x >），当()()21f x f x -的最大值为32ln 22-时，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 当a ≤,()f x 在()0,∞+上单调递增；当a >,()f x在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增,在⎝⎭上单调递减. (2) [)3,+∞【解析】（1）先求得()f x 的导函数()'f x ,并令()22g x x ax =-+.通过对判别式及a的讨论,即可判断单调性.（2）根据（1）可知当a >,()f x 有两极值点1x ,2x ,且两个极值点为()220x a g x x =-+=的两根.进而可得两个极值点间的关系.利用作差法可得()()21f x f x -的表达式,并令()211x t t x =>,及()()()2112ln f x f x h t t t t-==-+.进而通过求导得()h t 的单调性,进而根据最大值可求得t 的值.解得1x ,2x 的值.即可得a 的取值范围.【详解】（1）()()2'220x ax x a x x xf x -+=+-=>.令()22g x x ax =-+,则28a ∆=-.①当0a ≤或0∆≤,即a ≤时,得()'0f x ≥恒成立, ∴()f x 在()0,∞+上单调递增.②当00a >⎧⎨∆>⎩,即a >,由()'0f x >,得0x <<或x >由()'0f x <,x <<∴函数()f x 在0,2a ⎛ ⎪⎝⎭和,2a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增,在⎝⎭上单调递减.综上所述,当a ≤,()f x 在()0,∞+上单调递增；当a >,()f x 在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增,在⎝⎭上单调递减.（2）由（1）得,当a >,()f x 有两极值点1x ,2x （其中21x x >）. 由（1）得1x ,2x 为()220x a g x x =-+=的两根,于是12x x a +=,122x x =.∴()()()()222212121112ln2x f x f x x x a x x x -=+--- 222222122111122ln 2ln 2x x x x x x x x x x --=-=-2211122lnx x x x x x =-+. 令()211x t t x =>,则()()()2112ln f x f x h t t t t-==-+. ∵()()22222121211'0t t t t t t th t ---+-=--==<, ∴()h t 在()1,+∞上单调递减.由已知()()()21h f x t f x -=的最大值为32ln 22-, 而()132ln 22l 2222n 2h =-+=-. ∴2t =.设t 的取值集合为T ,则只要满足[)2,T ⊆+∞且T 中的最小元素为2的T 集合均符合题意.又()()221212122x x a t t T x x t+==++∈,易知()12x t t ϕ=++在[)2,+∞上单调递增,结合a >可得a 与t 是一一对应关系.而当2t =,即212x x =时,联合122x x =, 解得22x =,11x =,进而可得3a =. ∴实数a 的取值范围为[)3,+∞. 【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性中的综合应用,分类讨论判断函数的单调区间,构造函数法判断函数的单调性及参数的取值范围,综合性强,是高考的常考点和难点,属于难题.22．在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线2C 的直角坐标方程为221x y -=.（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 的极坐标方程； （2）若()1,A ρα，2,6B πρα⎛⎫- ⎪⎝⎭是曲线2C 上两点，当0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求2211OA OB +的取值范围.【答案】（1）()2213x y -+=，2cos 21ρθ=；（2）⎝.【解析】（1）由22cos sin 1ϕϕ+=消元后得普通方程，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入直角坐标方程可得极坐标方程；（2）直接把,A B 两点的极坐标代入曲线2C 的极坐标方程，得2212,ρρ，这样2211OA OB +就可转化为三角函数式，利用三角函数知识可得取值范围．【详解】（1）将1C 的参数方程化为普通方程为()2221x y r -+=.由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得点2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标为(，代入1C ，得23r =， ∴曲线1C 的普通方程为()2213x y -+=. 2C 可化为2222cos sin 1ρθρθ-=，即()222cos sin 1ρθθ-=，∴曲线2C 的极坐标方程为2cos 21ρθ=.（2）将点()1,A ρα，2,6B πρα⎛⎫- ⎪⎝⎭代入曲线2C 的极坐标方程，得21cos 21ρα=，22cos 213πρα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴22222111cos 2cos 1123OA OB πααρρ⎛⎫=++-+= ⎪⎝⎭3cos 22223πααα⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 由已知0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得52,336πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，232πα⎛⎛⎫+∈ ⎪ ⎝⎭⎝. 所以2211OA OB +的取值范围是⎝.【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化．消元法和公式法是解决此类问题的常用方法．23．已知关于x 的不等式12121log x x a +--≤，其中0a >.（1）当4a =时，求不等式的解集；（2）若该不等式对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2|43x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或；（2）0a <≤【解析】（1）用分类讨论的方法去绝对值符号后再解不等式，最后要合并（求并集）；（2）设()121f x x x =+--，同样用分类讨论去绝对值符号化函数为分段函数，求得()f x 的最大值，解相应不等式可得a 的范围．【详解】（1）由4a =时，12log 2a =-.原不等式化为1212x x +--≤-， 当12x ≥时，()1212x x +--≤-，解得4x ≥，综合得4x ≥； 当112x -<<时，1212x x ++-≤-，解得23x ≤-，综合得213x -<≤-； 当1x ≤-时，()1212x x -++-≤-，解得0x ≤，综合得1x ≤-. ∴不等式的解集为2|43x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或.（2）设函数()2,11 1213,1212,2x xf x x x x xx x⎧⎪-<-⎪⎪=+--=-≤<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩，画图可知，函数()f x的最大值为32.由123log2a≤，解得24a<≤.【点睛】本题考查解含绝对值的不等式，解题方法是根据绝对值定义去掉绝对值符号，用分类讨论的方法分段解不等式．。
四川省绵阳市高中2023届高考二模试题--理科数学(后附参考答案)
绵阳市高中2020级第二次诊断性考试理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3.考试结束后，将答题卡交回一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若iz=-3z+10，则在复平面内，复数z所对应的点位千A.第一象限B.第二象限C.第三象限2.已知A=l,4, m订，B＝｛1,m}，若B�A,则m=A.0或4B.1或4C.0D.第四象限D.43.由专业人士和观众代表各组成一个评委小组给文艺比赛参赛选手打分，其中观众代表凭个人喜好打分，专业人士执行评分标准打分．如图是两个评委组对同一名选手打分的茎叶图，则下列结论正确的是A.甲组的平均分高千乙组的平均分B.乙组更像是由专业人士组成的C.两组的总平均分等千甲组的平均分和乙组的平均分的平均数D.两组全部分数的方差等千甲组的方差和乙组的方差的平均数4.如图，在边长为2的等边LAB C中，点E为中线BD的三等分点（靠近点B)，点F甲乙8 0 I6 14361710280 I I8 129 10为BC的中点，则百；．灭7=A.4＿C..:. 34 215.已知(ax+_.:':_)4的展开式中常数项为24,则a的值为B. -－12D.-1Bc A.1 B.丘 c. 2 D.士2理科数学试题第1页（共4页）X 22x 22 6.设命题p:方程一—+』—=1表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q:方程一—＋上二－＝ lK+1 3-kk +l k -2表示焦点在x轴上的双曲线．若p /\q 为真，则实数K的取值范围A.-l<k <l C.l<k<37.寒假来临，秀秀将从《西游记》、《童年》、《巴黎圣母院》、《战争与和平》、《三国演义》、《水浒传》这六部著作中选四部（其中国外两部、国内两部），每周看一部，连续四周看完，则《三国演义》与《水浒传》被选中且在相邻两周看完的概率为A.1121-6．B B.-l<k<2D.2<k<31-3．c 8.已知等比数列{a n }的各项均为正数，前n项和为S n ,S 3 = 56, S 6 = 63,则使得a 厂叮3a …a n <1成立的最小正整数n 的值为A.10B.11C.122-3． DD.13229.设双曲线C ：卢＿=1 (a > O, b > 0)的右焦点为F,A, B 两点在双曲线C 上且关于a2 b -?'.;-2原点对称，若A B =2OF , IB FI =3A FI ,则该双曲线的渐近线方程为A.五x 土2y=O C.2x 士3y=OB.2x 土拆y=O D.3x 士2y=0冗10.23将函数f(x )= c os(m x +<p)（m > o, I叫<!!_ )的图象向左平移—个单位长度得到如图所示的奇函数g (x )的图象，且g(x )的图冗象关千直线x=－4 －对称．则下列选项不正确的是冗—J522B . f (—) ＝－ 冗A.2一f (x )在区间［3 订r]上为增函数1C.f () > f (O )�2D .f (-1)+ /(0)<011.已知0C:(x_:__1)2 +(y-1)2 =3,点A为直线l:y=-1上的动点，过点A作直线与0C 相切于点P ,若Q (-2,0)，则IAP\+A QI 最小值为A.✓3 +1B.2五C.扣D.412.设x=e o .03,y=l.032, z=ln (e o .6+e o .4)，则X ,y, Z的大小关系为A.z>y >xB.y >x >zC. x>z>yD .z>x >y理科数学试题第2页（共4页）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若变量x,y 满足不等式组｛：：＋3,y -2>O ，则x +y 的最大值是．X -y + 3;?:=0, 2冗2冗14. ＄一已知sin (—-a )＝－，则cos (2a+—)＝15.若函数f(x )� {2+ln x , x > O ,g (x ) = f (x ) + f (—x )，则函数g (x )的零点个数为．X , x ::=:;;Q ,16.已知F为抛物线：y 气x的焦点，过直线!:x =-2上任一点P向抛物线引切线，切点分别为A ,B,若点M(4,0)在直线AB上的射影为H,则IFH]的取值范围为．三、解答题：共巩）分尸解答应写出文字访杻月＿、证明过程或演算步骤．第」正2L题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.· (12分）在�ABC 中，角A,B, C所对的边分别为a,b, C, a 2sine+3acos C = 3b'A =60°.(1)求a的值；(2)若面．元＝－_!_'求BC 边上中线AT的长．18.C 12分）某县依托种植特色农产品，推进产业园区建设，致富一方百姓．已知该县近5年人均可支配收入如下表所示，记2017年为x =l,2018年为x=2,…以此类推．，年份�020 I 2021年份代号x 人均可支配收入y （万元）。
2022届四川省绵阳市高三上学期第二次诊断性考试数学(理)试题解析
2022届四川省绵阳市高三上学期第二次诊断性考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{(,)|}A x y y x ==,2{(,)|}B x y y x ==，则集合A B 的元素个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案：C集合为点集，交集的元素个数等与函数y x =与2y x 图象交点个数，作图可解.解：如图，函数y x =与2y x 图象有两个交点，故集合A B 有两个元素.故选：C2．二项式52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为（ ）A ．10-B ．15-C ．10D ．15答案：A首先求出二项式展开式的通项，再令523-=r 求出r ，再代入计算可得；解：解：二项式52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()55215522rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令523-=r ，解得1r =，所以()113325210T C x x =-=-，故3x 的系数为10-； 故选：A3．如图，茎叶图记录了甲、乙两个家庭连续9个月的月用电量（单位：度），根据茎叶图，下列说法正确的是（ ）A ．甲家庭用电量的中位数为33B ．乙家庭用电量的极差为46C ．甲家庭用电量的方差小于乙家庭用电量的方差D ．甲家庭用电量的平均值高于乙家庭用电量的平均值 答案：C根据给定茎叶图，逐项分析计算，再判断作答.解：对于A ，由茎叶图知，甲家庭用电量的中位数为32，A 不正确； 对于B ，由茎叶图知，乙家庭用电量的极差56-11=45，B 不正确； 对于C ，甲家庭用电量的平均数112232425323337415027799x ++++++++==，乙家庭用电量的平均数211233438394042515633499x ++++++++==，甲家庭用电量的方差2222211277277277277[(12)(23)(24)(25)99999s =-+-+-+- 2222227727727727727781936(32)(33)(37)(41)(50)]99999729+-+-+-+-+-=， 乙家庭用电量的方差2222221334334334334[(11)(23)(34)(38)99999s =-+-+-+- 22222334334334334334119628(39)(40)(42)(51)(56)]99999729+-+-+-+-+-=， 显然81936119628729729<，即甲家庭用电量的方差小于乙家庭用电量的方差，C 正确； 对于D ，由C 选项的计算知27733499<，甲家庭用电量的平均值低于乙家庭用电量的平均值，D 不正确. 故选：C4．已知角α的终边过点3)A ，则cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．12-B ．0C ．12D 3答案：B根据三角函数定义求出sin α和cos α，利用余弦的和角公式即可求cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.解：由题可知31sin 2αα==，∴111cos sin 06222πααα⎛⎫+-=-= ⎪⎝⎭.故选：B.5．已知双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）的焦距为4，两条渐近线互相垂直，则E 的方程为（ ）A ．221x y -= B ．22122x y -=C ．22144x y -=D ．22188x y -=答案：B根据题意，得到a ＝b ，再根据2c =，由222+=a b c 即可求出答案． 解：双曲线2222:1x y E a b-=的渐近线方程为b y x a =±由两条渐近线互相垂直，则221b b b a a a-⨯=-=-，所以a b =又双曲线E 的焦距为4，则22224242a b a ⎛⎫+=== ⎪⎝⎭，解得a =所以双曲线E 的方程为：22122x y -= 故选：B6．已知平面向量a ，b 不共线，46AB a b =+，3BC a b =-+，3CD a b =+，则（ ） A ．A ，B ，D 三点共线 B ．A ，B ，C 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线 D ．A ，C ，D 三点共线答案：D根据给定条件逐项计算对应三点确定的某两个向量，再判断是否共线作答. 解：平面向量a ，b 不共线，46AB a b =+，3BC a b =-+，3CD a b =+， 对于A ，3(3)6BD BC CD a b a b b =+=-+++=，与AB 不共线，A 不正确； 对于B ，因46AB a b =+，3BC a b =-+，则AB 与BC 不共线，B 不正确； 对于C ，因3BC a b =-+，3CD a b =+，则BC 与CD 不共线，C 不正确； 对于D ，46(3)393AC AB BC a b a b a b CD =+=++-+=+=，即//AC CD ， 又线段AC 与CD 有公共点C ，则A ，C ，D 三点共线，D 正确. 故选：D7．函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当[1,0]x ∈-时，1()e 1exf x a =++，若(1)1f =，则(0)f =（ ）A ．eB ．e -C ．1eD ．1e-答案：C根据函数是偶函数知f (－1)＝f (1)＝1，由此求出a 的的值即可计算. 解：由题可知f (－1)＝f (1)＝1， 则11e 11ea -++=，得a ＝－1，∴()1e 1ex f x =-++，∴f (0)＝1e .故选：C.8．已知直线10x y +-=与圆()()22:21C x y m -+-=相交于A ，B 两点，若AB =则m =（ ）A B ．5 C ．3 D ．4答案：B先求出圆心到直线的距离，再利用弦心距、半径和弦长的关系列方程可求出m 的值解：圆()()22:21C x y m -+-=的圆心(2,1)C 0m >）， 则圆心(2,1)C 到直线10x y +-=的距离为d =因为AB =所以222+=，解得5m =，故选：B9．第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京举办，为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况，随机抽取了该市100人进行调查统计，得到如下22⨯列联表：下列说法正确的是（ ）参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．附表：A ．有99%以上的把握认为“关注冰雪运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“关注冰雪运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别无关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别有关” 答案：A根据给定数据及参考公式计算2K 的观测值，再与临界值表比对判断作答. 解：依题意，2K 的观测值为22100(45202510)8.129 6.63570305545K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99%以上的把握认为“关注冰雪运动与性别有关”，A 正确，B 不正确； 而犯错误的概率不超过1%，不能确定犯错误的概率不超过0.1%的情况，C ，D 不正确. 故选：A10．已知,m n 为整数，且,[1,5]m n ∈，设平面向量(,)a m n =与(2,1)b =-的夹角为θ，则,2πθπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭的概率为（ ） A ．932B ．964C ．425D ．625答案：D依题意可得1cos 0θ-<≤，再根据向量夹角的坐标表示得到不等式，再用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得；解：解：因为平面向量(,)a m n =与(2,1)b =-的夹角为θ，且,2πθπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以1cos 0θ-<≤，即2210m n -<≤+⨯，所以20m n <-≤，因为,m n 为整数，且,[1,5]m n ∈，(,)a m n =，所以a 共有5525⨯=种可能，又因为20m n -≤，]5[1n ∈,，所以1m =或2，①当1m =时，由20m n -≤，即20n <-≤，所以2n =或3或4或5，满足题意；②当2m =时，由20m n -≤，即40n <-≤，所以4n =或5，满足题意； 故()1,2a =或()1,3或()1,4或()1,5或()2,4或()2,5共6种情况符合题意，所以,2πθπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭的概率为625； 故选：D11．已知函数()2()ln f x x a x x =--，若不等式()0f x >有且仅有2个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．ln 2ln 3,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．ln 2ln 3,66⎛⎤⎥⎝⎦ C ．ln 2,6⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．ln 2ln 3,33⎛⎫⎪⎝⎭答案：A转化()0f x >有且仅有2个整数解为()>-2ln x a x x 有两个整数解，画出()==-2()ln ,()g x x h x a x x 两个函数的图像，数形结合列出不等关系控制即得解解：由题意，()0f x >有且仅有2个整数解即()-->2ln 0x a x x有两个整数解，即()>-2ln xa x x 有两个整数解令()==-2()ln ,()g x x h x a x x（1）当0a =时，ln 0x >即1x >，有无数个整数解，不成立；（2）当0a <时，如图所示，()>-2ln x a x x 有无数个整数解，不成立；（3）当0a >时，要保证()()g x h x >有两个整数解如图所示，(3)(3)(4)(4)g h g h >⎧⎨≤⎩即ln3(93)ln 4(164)a a >-⎧⎨≤-⎩，解得ln 2ln 366a ≤< 故选：A12．已知1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左，右焦点，E 上存在两点A ，B 使得梯形12AF F B 2c （其中c 为半焦距），且123AF BF =，则E 的离心率为（ ）A 6B 3C ．12D 2答案：D根据123AF BF =，可得12AF BF ∕∕，则12,AF BF 为梯形12AF F B 的两条底边，作21F P AF ⊥垂足为P ，则22PF c ，从而可求得1245AF F ∠=︒再结合123AF BF =建立a ,b ,c 的关系即可得出答案. 解：解：因为123AF BF =，所以12AF BF ∕∕，则12,AF BF 为梯形12AF F B 的两条底边， 作21F P AF ⊥于点P ，则21F P AF ⊥，因为梯形12AF F B 2c ，所以22PF c ， 在12Rt F PF 中，122F F c =，则2112222PF F F PF c PF =-==，即1245PF F ∠=︒，设1AF x =，则22AF a x =-，在12AF F △中由余弦定理，得22AF =221122AF F F +-112cos 45AF F F ，即222(2)422a x x c cx -=+-，解得2122b AF x ac ==-， 同理2222b BF x a c ==+， 又123AF BF =，所以22322a c a c+=-， 即222a c =，所以22c e a ==. 故选：D.二、填空题13．设i 是虚数单位，若复数z 满足i 6i z z ⋅=+，则复数z 的虚部为______． 答案：-3根据给定等式结合复数的除法运算直接计算作答. 解：因i 6i z z ⋅=+，则(1i)6i z -+=，于是得6i 6i(1i)66i33i 1i (1i)(1i)2z ---====--+-+--， 所以复数z 的虚部为-3. 故答案为：-314．现从4名男志愿者和3名女志愿者中，选派2人分别去甲、乙两地担任服务工作，若被选派的人中至少有一名男志愿者，则不同的选派方法共有___________种.(用数字作答) 答案：36依题意分两种情况讨论，①选一名男志愿者与一名女志愿者，②选两名男志愿者，按照分步乘法计数原理与分类加法计数原理计算可得；解：解：依题意分两种情况讨论，①选一名男志愿者与一名女志愿者，则有11243224C C A =种选派方法；②选两名男志愿者，则有224212C A =种选派方法；综上可得一共有241236+=种选派方法； 故答案为：3615．已知,A B 为抛物线2:4C x y =上的两点，2()1,M -，若AM MB =，则直线AB 的方程为_________.答案：230x y +-=由于AM MB =可得M 为中点，则121224x x y y +=-⎧⎨+=⎩，根据点差法即可求得直线AB 的斜率，从而得方程．解：设()()1122,,,A x y B x y 又()1,2M -，因为AM MB =，所以121224x x y y +=-⎧⎨+=⎩，又2211224,4x y x y ==，则22121244x x y y -=-，得121212442y y x x x x -+==--则直线AB 的斜率为12k =-，故直线AB 的方程为()1212y x -=-+，化简为230x y +-=．联立24230x yx y ⎧=⎨+-=⎩，可得2260x x +-=280∆=>，直线与抛物线有两个交点，成立 故答案为：230x y +-=．16．已知函数()sin f x x x =，下列关于函数()f x 的说法正确的序号有________. ①函数()f x 在73,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；②2π是函数()f x 的周期； ③函数()f x 的值域为[2,1]-； ④函数()f x 在[2,2]ππ-内有4个零点. 答案：①③④①化简解析式，求出3x π+范围，根据正弦函数的单调性即可判断；②根据奇偶性举特例验证f (x ＋2π)与f (x )关系即可；③分类讨论求出f (x )解析式，研究在x ≥0时的周期性，再求出值域即可； ④根据值域和单调性讨论即可.解：∵函数()sin f x x x =，定义域为R ，()()()sin sin f x x x x x f x -=--==，∴()f x 为偶函数.当73,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，cos 0x <，()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，311326x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，此时正弦函数为增函数，故①正确；∵sin 0333f πππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴033f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而52333f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+==≠- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴2π不是函数()f x 的周期，故②错误；当022x k ππ⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭，或32222k k ππππ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭，，k ∈Z 时，cos cos x x =，此时()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，当32222x k k ππππ⎡⎫∈++⎪⎢⎣⎭，，k ∈Z 时，cos cos x x =-，此时()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，故0x 时，2π是函数的一个周期， 故考虑[]0,2x π∈时，函数的值域，当02，π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()2sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,336x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，此时()f x 单调递增，();f x ⎡⎤∈⎣⎦ 当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，53,362x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时()f x 单调递减， ()()2,1f x ∈-；当322x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()2sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，75,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，此时()2,f x ⎡∈-⎣， 综上可知，()[]2,1f x ∈-，故③正确；由③知，02，π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()002f f π⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，且函数单调递增，故存在一个零点，当726x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，7026f f ππ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且函数单调递减，故存在一个零点， 其他区域无零点，故当[]0,2x π∈时，函数有2个零点，∵函数为偶函数，∴函数()f x 在[]2,2ππ-内有4个零点.故④正确； 故答案为：①③④. 三、解答题17．已知数列{}n a 为公差大于0的等差数列，2315a a ⋅=，且1a ，4a ，25a 成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设11n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若2041m S =，求m 的值．答案：(1)21n a n =- (2)20m =设数列{}n a 的公差为d ，0d >，根据2315a a ⋅=，且1a ，4a ，25a 成等比数列求出1,a d ，从而可求出数列{}n a 的通项公式；（2）求出数列{}n b 的通项公式，再利用裂项相消法可求出数列{}n b 的前n 项和为n S ，从而可得出答案. (1)解：设数列{}n a 的公差为d ，0d >， 因为1a ，4a ，25a 成等比数列，2315a a ⋅=，所以241252315a a a a a ⎧=⋅⎨⋅=⎩，即()()()()211111324215a d a a d a d a d ⎧+=+⎪⎨++=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩或（舍去），所以21n a n =-； (2) 解：()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭，所以111111111121335212122121n S nn n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭， 又2041m S =，即202141m m =+，所以20m =.18．某通讯商场推出一款新手机，分为甲、乙、丙、丁4种不同的配置型号.该商场对近期售出的100部该款手机的情况进行了统计，绘制如下表格:(1)每售出一部甲、乙、丙、丁配置型号的手机可分别获得利润600元、400元、500元、450元，根据以上100名消费者的购机情况，求该商场销售一部该款手机的平均利润；(2)该商场某天共销售了4部该款手机，每销售一部该款手机的型号相互独立，其中甲配置型号手机售出的数量为X ，将样本频率视为概率，求X 的概率分布列及期望. 答案：(1)475(2)分布列见解析，1EX =（1）根据给定频数表直接计算平均数作答.（2）由题意，X 服从二项分布，即1~(4,)4X B ，根据二项分布的概率公式和期望公式即得解(1)依题意，25600404001550020450475100x ⨯+⨯+⨯+⨯==，所以该商场销售一部手机的平均利润为475元. (2)该商场每销售一部手机，该手机为甲配置型号手机的概率为2511004=， 由题意，甲配置型号手机售出的数量为X 服从二项分布，即1~(4,)4X B ，则X 所有可能取值为0,1,2,3,4，4413()()()(0,1,2,3,4)44k k kP X k C k -===，故X 的分布列为：由二项分布的期望公式：1414EX np ==⨯=.19．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，其中b =且(sin )cos sin cos a C B B C -=. (1)求角B 的大小；(2)求ABC 周长的取值范围.答案：(1)3π(2)(（1）利用两角和的正弦公式及诱导公式得到cos sin a B A =，再由正弦定理得到1sin cos b B B=，即可得到tan B ，即可得解；（2）利用余弦定理及基本不等式得到03ac <≤，再根据()222233a c a c ac ac +=++=+求出a c +的取值范围，即可得解； (1)解：因为()sin cos sin cos a C B B C -=，即cos sin cos sin cos a B C B B C -=，所以()cos sin cos sin cos sin a B C B B C C B =+=+，即cos sin a B A =，所以1sin cos a A B =，又sin sin a bA B=，b =1sin cos b B B =，所以sin tan cos B B b B===()0,B π∈，所以3B π=； (2)解：因为3B π=、b =2222cos b a c ac B =+-，即223a c ac =+-，即2232a c ac ac +=+≥当且仅当a c ==03ac <≤，所以()222233a c a c ac ac +=++=+，所以()2312a c <+≤a c <+≤ABCC<≤(20．已知函数2()(2)e x f x x ax x =---.(1)当12a =-时，求函数()f x 的极值；(2)若曲线()f x 在()2,1-上任意一点处切线的倾斜角均为钝角，求实数a 的取值范围. 答案：(1)()f x 在1x =处取极小值且极小值为()11e 2f =--.(2)213e 124a -+-≤≤（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的极值.（1）曲线()f x 在()2,1-上任意一点处切线的倾斜角均为钝角即为(1)e 210x x ax ---<对任意的()2,1x ∈-恒成立，参变分离后可求参数的取值范围.(1)当12a =-时，21()(2)e 2xf x x x x =-+-，故()()()(1)e 11e 1x xf x x x x =-+-=-+'，当1x <时，()0f x '<；1x >时，()0f x '>， 故()f x 在1x =处取极小值且极小值为()11e 2f =--.(2)()(1)e 21x f x x ax =-'--，因为曲线()f x 在()2,1-上任意一点处切线的倾斜角均为钝角， 故()0f x '<对任意的()2,1x ∈-恒成立， 即(1)e 210x x ax ---<对任意的()2,1x ∈-恒成立. 当0x =时，0(01)e 20120a --⨯-=-<，此时a R ∈， 当01x <<时，即(1)e 12x x a x -->对任意01x <<恒成立，设()(1)e 1x x g x x--=，则()()22222213e 11e 124e (1)e 10xx x x x x x x x g x x x x ⎡⎤⎛⎫-++⎢⎥ ⎪-++⎝⎭--+⎢⎥⎣⎦'===>， 故()g x 在0,1上为增函数，故()()11g x g <=-，故21a ≥-即12a ≥-.当20x -<<时，即(1)e 12x x a x --<对任意21x -<<-恒成立，同理有()g x 在()2,0-上为增函数，故()()23e 122g x g -+>-=，故23e 122a -+≤即23e 14a -+≤，综上，有213e 124a -+-≤≤. 【点睛】思路点睛：含参数的不等式的恒成立问题，可以通过对原函数的分类讨论求出参数的取值范围，也可以通过参变分离后结合导数求出新函数的值域或范围，从而得到参数的取值范围. 21．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的右焦点为F ，点A ，B 分别为右顶点和上顶点，点O 为坐标原点，11e OF OA FA+=，OAB，其中e 为E 的离心率． (1)求椭圆E 的方程；(2)过点O 异于坐标轴的直线与E 交于M ，N 两点，射线AM ，AN 分别与圆22:4C x y +=交于P ，Q 两点，记直线MN 和直线PQ 的斜率分别为1k ，2k ，问12k k 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 答案：(1)22142x y +=(2)12k k 为定值23（1）根据11e OF OA FA+=，OAB,a b ，即可得出答案； （2）设点001122(,),(,),(,)M x y P x y Q x y ，则点00(,)N x y --，根据,M N 在椭圆E 上，可得12AM AN k k ⋅=-，设直线AM 的方程为2x my =+，则直线AN 的方程为22x y m=-+， 分别联立222,1,42x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，222,4,x my x y =+⎧⎨+=⎩求得,,M P Q 三点的坐标，从而可得出结论. (1) 解：因为11e OF OA FA +=，所以11e c a a c +=-，又2221,2OABcSab e a b c a====+，联立可得2,a b ==所以椭圆E 的方程为22142x y +=； (2)解：设点001122(,),(,),(,)M x y P x y Q x y ，则点00(,)N x y --， 由题意得(2,0)A ， 因为,M N 在椭圆E 上，所以2200142x y +=，则220042x y =-， 所以220000220000122422y y y y x x x y ---⋅===-----， 即12AM AN k k ⋅=-，设直线AM 的方程为2x my =+，则直线AN 的方程为22x y m=-+， 联立222,1,42x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消x 得22(2)40m y my ++=，由,A M 在椭圆E 上，所以0242m y m =-+，所以20024222m x my m -=+=+，所以012022y m k x m ==-，联立222,4,x my x y =+⎧⎨+=⎩消x 得22(1)40m y my ++=， 由点,A P 在圆C 上，所以1241m y m =-+，所以21122221m x my m -=+=+， 同理：22222828,44m m y x m m -==++， 所以22124221(36)342y y m m mk x x m m -+===---， 所以2122222233k m m k m m -=⋅=-， 即12k k 为定值23.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了定值问题，考查了数据分析能力和数学运算能力，运算量比较大，有一定的难度.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2sin 2cos ,1cos 2sin x y αααα=++⎧⎨=+-⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的方程是cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若点A 的坐标为()2,0，直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求11AP AQ+的值． 答案：(1)曲线C 的普通方程为()()22215x y -+-=；直线l的直角坐标方程为20x -=（1）直接消去参数α，可得到曲线C 的普通方程，先cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭化简，然后利用极坐标与直角坐标的关系可得到直线l 的直角坐标方程；（2）由（1）可得直线l 的倾斜角，设出直线l 的参数方程，代入到曲线C 的直角坐标方程，可得关于t 的一元二次方程，设点A ，B 对应的参数分别为12,t t ，根据韦达定理，可得1212,t t t t +表达式，结合t 的几何意义，即可得答案. (1)由2sin 2cos 1cos 2sin x y αααα=++⎧⎨=+-⎩可得将上式分别平方，然后相加可得()()22215x y -+-=由cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得cos cos sin sin 133ππρθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭即13cos sin 12ρθθ=，则320x -= (2)由（1）可知直线l 36π，且点()2,0A 在直线l 上，所以直线l 的参数方程为：2cos 6sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即3212x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，整理得240t t --= 设点A ，B 对应的参数分别为12,t t ，则12121,4t t t t +==-则()2121212121212121241111t t t t t t t t AP AQ t t t t t t t t +-+-+=+==11617+==23．已知函数()21f x x x m m =--+-(1)当2m =时，求函数()f x 的定义域；(2)设函数()f x 的定义域为M ，当12m >-时，1[,]2m M -⊆，求实数m 的取值范围．答案：(1)(,1][5,)-∞-⋃+∞； (2)1124m -<≤-.(1)将2m =代入，列出不等式，再解含绝对值符号的不等式作答.(2)利用给定条件去掉绝对值符号，转化成恒成立的不等式，分离参数构造函数推理作答. (1)当2m =时，()2122f x x x --+-21220x x --+-≥，当2x -≤时，不等式化为：12220x x -++-≥，解得1x ≤，则有2x -≤， 当122x -<≤时，不等式化为：12220x x ----≥，解得1x ≤-，则有21x -<≤-；当12x >时，不等式化为：21220x x ----≥，解得5x ≥，则有5x ≥， 综上得：1x ≤-或5x ≥，所以函数()f x 的定义域为(,1][5,)-∞-⋃+∞. (2)因当12m >-时，1[,]2m M -⊆，则对1[,]2x m ∀∈-，210x x m m --+-≥成立，此时，210x -≤，0x m +≥，则210120x x m m x x m m --+-≥⇔----≥231m x ⇔≤-+， 于是得1[,]2x m ∀∈-，231m x ≤-+成立，而函数31y x =-+在1[,]2m -上单调递减，当12x =时，min 12y =-，从而得122m ≤-，解得14m ≤-，又12m >-，则1124m -<≤-，所以实数m 的取值范围是1124m -<≤-.。
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