3第三章(应变分析)解析

εij为二阶对称张量 应 变 分 析
x xy xz ij yx y yz zx zy z
x xy xz ij y yz z
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纯变形
2、同一质点的不同方位，有不同的变形值
点的应变状态
3、物体变形时，单元体一般将同时发生平移、转动、正变形和剪变 形。除去刚体位移后，才能得到纯变形。 4、变形就是各点位移不同，致使各点相对位置发生变化。 5、变形的大小用应变表示。物体变形时，其体内各质点在各方向 上都会有应变，与应力分析一样，同样需引入“点应变状态” 的 概念。点应变状态也是二阶对称张量，故与应力张量有许多相 -3 -2 似的性质。 6、研究应变问题往往从小变形（数量级不超过 10 ~10 的弹 -塑性变 形）着手。金属塑性加工是大变形，小变形是大变形的基础。
应 变 分 析
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塑 性 成 形 力 学
§3.1 、位移和应变 一、 位移及其分量
应 变 分 析
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§3.1 、位移和应变 二、 应变及其分量
x
rx
rx
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(二) 应变及其分量
真实应变 变形体由 l0→ln 可看作是经无穷多个中间数值逐渐变成。
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一、主应变及应变张量不变量
过变形体内一点存在有三个相互垂直的应变主方向（也称应 变主轴），该方向上线元没有切应变，只有线应变，称为主应变。
应 变 分 析
1 0 0 在主轴坐标系统中，应变张量为 0 0 ij 2 0 0 3
对于各向同性材料，可以认为小应变主方向与应力 主方向重合。
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应变张量不变量（多用 J 表示） 应变状态特征方程 3 J1 2 J 2 J 3 0
J1 x y z 1 2 3
2 2 2 J 2 ( x y y z z x ) xy yz zx ( 1 2 2 3 3 1 ) 2 2 2 J 3 x y z 2 xy yz zx ( x yz y zx z xy ) 1 2 3
对数应变的优点： 1、表示变形的真实情况
将真实应变用相对应变表示，并按泰勒级数展开：
ln 2 3 4 ln ln(1 ) l0 2 3 4

只有当变形程度很小时，ε才
能近似等于 ，变形程度愈大，
应 变 分 析
误差也愈大 。
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塑 第三章 应变分析 性 成 形 变形的基本概念 力 P→P1 拉长变细 学
a) 均匀拉伸
Q → Q1 单元体取的方位不同，变形方式不同，歪斜了
P→P1 沿中心线压扁 Q → Q1 由于摩擦的作用，压扁且歪斜了 R → R1 成鼓形后有明显的角度偏转
b) 金 属 在 有 摩擦的平板间 压缩成鼓形
l1 l0 l2 l1 l3 l2 l l n n1 l0 l1 l2 ln1
应用微分的概念

ln
l0
ln dl ln l lo
应 变 分 析

——自然应变（对数应变），反映了物体变形的实际情况，也 称真实应变。
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应 变 分 析
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c) 理想剪切
d) 弯曲工序
P→P1 剪斜了 Q → Q1 平移到Q1 ，未变形
P→P1 缩短且转动一角度 Q → Q1转动一角度，但未变形
应 变 分 析
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由以上实例可以得到以下概念： 正变形（线变形）：线性尺寸伸长或缩短 1、变形 切变形（角变形）：单元体发生畸变
x xy xz ij y yz z
xl 2 y m2 z n2 2( xylm yzmn zx nl) ijlil j
应 变 分 析
2 S 2 2
r xl 2 y m2 z n2 2( xylm yzmn zx nl) ijlil j
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§3.1 、位移和应变
二、 应变及其分量
x
rx
rx
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塑 性 成 §3.2 塑性变形时的体积不变条件 形 力 体积不变条件： x y z 0 学
对数应变表示的体积不变条件：
l b h ln ln l1b1h1 0 l0b0 h0 l1 b h ln 1 ln 1 l0 b0 h0
应 变 分 析
塑性变形时，三个线应变分量不可能全部同号，绝对值 最大的应变分量永远和另外两个应变分量的符号相反。
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§3.3 点的应变状态和应变张量
x xy ij yx y zx zy
xz yz z
r 2 (ui ) 2 r 2 ( ij dxj ) 2 r 2
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§3.3 点的应变状态和应变张量
一点的应变状态可以用过该点三个互相正交方向上的九个应变分 量来表示。与应力状态相似，如果当坐标轴旋转后在新的坐标系中的 九个应变分量与原坐标系中的九个应变分量之间的关系也符合学数上 张量之定义，即 kr ij lkilrj (i, j x, y, z; k , r x' , y' , z' )