3第三章(应变分析)解析
第03章 第02节 应变分析
u u ( x, y , z ) v v ( x, y , z ) w w( x, y, z )
或
ui ui ( x, y, z )
小变形几何方程
1、位移与应变
变形体内无限接近两点的位移分量间的关系
ui ui ( x, y, z )
ui ' ui ui ui ( x dx, y dy, z dz)
u x
2L 当x=L/2时，u L, 得c L 2L H
L 2H x
同理：
v
H
2H
y
小变形几何方程
u x v y y w z z
x
1 u v ) 2 y x 1 v w yz zy ( ) 2 z y 1 w u zx xz ( ) 2 x z
l
拉伸
2l 和 2l
压缩
l
2l l l 2l 100%; 50% l 2l
2l l 1 ln ln 2 69%; ln ln 69% l 2l 2
小变形几何方程
1、位移与应变
质点 M→M1 ——靠弹性或塑性变形实现。 位移：变形体内任一点变形前 后的直线距离(MM1) 位移分量：在坐标系中，一点的位移矢量在三个坐标轴上的投影称为 该点的位移分量。用u，v，w或ui表示。 位移场：变形体内不同点的位移分量不同。根据连续性基本假设， 位移分量应是坐标的连续函数，而且一般都有连续的二阶 偏导数。
r1 rx r rx rx
棱边PA在x方向的线应变：
y
x
rx
rx
ry rz z rz
河海大学 材料力学 第三章 杆件横截面上的应力、应变分析第一节
点K处的应力(stress) DF p=lim pm= lim —— DA→0 DA→0 DA
p 正应力s :沿截面法向 n 切应力t :沿截面切向 s p 2= s 2 + t 2
应力单位：Pa(帕斯卡、帕) MPa(兆帕)
1 Pa = 1 N/m2 1MPa =106 Pa
注意：
t
K
s
以上分析可见，应力是受力物体内某个截面上某 一点上内力分布集度。通常情况下，物体内各点 应力是不同的，对于同一点不同方位截面上应力 亦不同。这样，应力离开它的作用点是没有意义 的，同样，离开它的作用面亦是没有意义的。
(shearing strain) 单位: rad。
四、胡克定律
s
s
du e= — dx
u
u+du
如果仅在单方向正应力s 作用下，且正应力不超过某 一限值（比例极限），则正应力与正应变成正比，即
s = Ee ——胡克定律(Hooke's law)
E ——弹性模量。(elastic modulus)
如何描述一点处的应力？
二、一点的应力状态、单元体：
K K
围绕K点取一微小的六面体，称为单元体。
六个面都表示通过同一点K的面，只是方向不同而已。
如果所取的单元体在空间方位不同，则单元体上各面 的应力分量亦不相同。
sy
y
tyz
tyx txy txz sx
x
tzy
z
sz
tzx
若从一复杂受力构件内某点取一单元体，一般 情况下单元体各面上均有应力，且每一面上同时存 在三个应力分量：一个法向分量——正应力；两个 切向分量——切应力。这样,单元体上共有9个应力 分量。
第三章应变分析
五、应变偏张量和应变球张量
六、等效应变
取八面体切应变绝对值的 倍所得之参量称为等效应变，也称广义 应变或应变强度。
等效应力的特点
1)等效应力是一个不变量； 2)等效应力没有特定的作用面； 3)等效应力可以理解为代表一点应力状态中应力偏张量的综合作用。 4) 等效应力在数值上等于单向均匀拉伸(或压缩)时的拉伸(或压缩) 应力σ1 ，即
6、研究应变问题往往从小变形（数量级不超过10-3~10-2的弹 -塑性变 形）着手。金属塑性加工是大变形，小变形是大变形的基础。
§3.1 、位移和应变 一、 位移及其分量
§3.1 、位移和应变 二、 应变及其分量
(二) 应变及其分量
真实应变 变形体由 l0→ln 可看作是经无穷多个中间数值逐渐变成。
第三章应变分析
2020年4月23日星期四
c) 理想剪切 d) 弯曲工序
P→P1 剪斜了 Q → Q1 平移到Q1 ，未变形
P→P1 缩短且转动一角度 Q → Q1转动一角度，但未变形
由以上实例可以得到以下概念： 正变形（线变形）：线性尺寸伸长或缩短
1、变形 切变形（角变形）：单元体发生畸变
纯变形
设ac=dx, ac∥ox轴，则 ab=dy, ab∥oy轴
a 点位移分量为u,v, 则由前 式得出b,c点的位移增量为 ：
简记为
即小应变几何方程
例：设一物体在变形过程中某一极短的时间内的位移场为 ：
u=(10+0.1xy+0.05z)×10-3 v=(5-0.05x+0.1yz)×10-3 w=(10-0.1xyz)×10-3 求：点A（1,1,1）的应变分量、应变球张量、应变偏张量、 主应变、八面体应变、等效应变
弹性力学_第三章 应变
x m xy xz eij yx y m yz zy z m zx 应变偏张量
该应变状态只有形状 畸变而没有体积改变。
应变张量分解和应变偏量不变量
1 2
xy y 1 2 zy
1 2 1 2
xz yz z
主应变和应变张量不变量
考虑一个法线为N的斜平面，方向余弦（l1=l，l2=m，l3=n） 斜平面上应变向量qN的三个分量： qNi=ij lj
q N 1 11 12 q N 2 21 22 q N 3 31 32
弹性力学
第三章 应变
§3-1 变形与应变概念 §3-2 变形连续条件 §3-3 应变增量和应变速率张量 §3-4 应力应变分析的相似性与差异性
§3-1 变形与应变概念
弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的 变形状态，一般有两种方式来描述： 1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。 弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z 三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴 正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称 为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点 的位移并不是定值，而是坐标的函数。
w u x z
该式表明了一点处的 位移分量和应变分量 所应满足的关系，称 为几何方程，也称为 柯西(Cauchy)关系。
几何方程是用位移导数表示应变，应变描述一点的变 形，但还不足以完全描述弹性单元体的位移变化，因为没 有考虑单元体位置的改变，即单元体的刚体位移。
应变张量
应变分量 x 、 y 、 z 、 xy 、 yz 、 zx 满足张量的性 质，构成一个二阶应变张量。 以 xi 记 x，y，z ; 以 ui 记 u，v，w
应变分析
应变分析
外力作用下，物体各点发生位移，但是某 点位移的大小并不能确定该处应力的大小，它 与物体的整体约束有关。应变反映局部各点相 对位置的变化，与应力直接相关，变形体力学 中弹性力学对这种关系作了最为简化的假设， 在各向同性线弹性的条件下，弹性常数只有两 个。 第一节 第二节 位移与应变 应力与应变的关系
1 ∂v ∂u ε xy = + 2 ∂x ∂y
若记坐标变形前后的坐标x, y, z为Xi、xi， 位移为ui=Xi-xi,上式可以缩记为：
ε ij
1 = 2 ∂ui ∂u j + ∂X j ∂X i
一般称为Cauchy应变，保留的是一阶项，适 用于小应变的情况，在有限变形时，应变有多 种定义，常见的有： Green Almansi Euler
我们从物体中取出y方向 上长dy的线段PB，变形后为 P'B'，B'点y方向的位移为 ∂v v+ d y ∂y x方向上的位移为
∂u u+ d y ∂y
PB的正应变在小变形时是由y方向 的位移所引起的，因此PB正应变为
∂v ∂y
A
∂v 线段PA的转角是 α = ∂x
∂u 线段PB的转角是 β = ∂y
第三章 应变分析
第一节 位移与应变 在外力作用下，物 体整体发生位置和形状 的变化，一般说来各点 的位移不同。
第三章 应变分析
第一节 位移与应变 如果各点的位移完 全相同，物体发生刚体 平移； 如果各点的位移不 同，但各点间的相对距 离保持不变，物体发生 刚体转动等刚体移动。
如果各点(或部分点）间的相对距离 发生变化，则物体发生了变形。这种变 形一方面表现在微线段长度的变化，称 为线应变；一方面表现在微线段间夹角 的变化，称为切应变。
弹性力学-第三章-应变状态分析
第三章应变状态分析位移与变形正应变纯变形位移与刚性转动位移应变分量坐标转轴公式主应变齐次方程组体积应变变形协调方程变形协调方程证明变形与应变分量切应变几何方程与应变张量位移增量的分解应变张量应变状态特征方程变形协调的物理意义变形协调方程的数学意义多连域的变形协调一、内容介绍本章讨论弹性体的变形，物体的变形是通过应变分量确定的。
因此，首先确定位移与应变分量的基本关系－几何方程。
由于应变分量和刚体转动都是通过位移导数表达的，因此必须确定刚体转动位移与纯变形位移的关系，才能完全确定一点的变形。
对于一点的应变分量，在不同坐标系中是不同的。
因此，应变状态分析主要是讨论不同坐标轴的应变分量变化关系。
这个关系就是应变分量的转轴公式；根据转轴公式，可以确定一点的主应变和应变主轴等。
当然，由于应变分量满足二阶张量变化规律，因此具体求解可以参考应力状态分析。
应该注意的问题是变形协调条件，就是位移的单值连续性质。
假如位移函数不是基本未知量，由于弹性力学是从微分单元体入手讨论的，因此变形后的微分单元体也必须满足连续性条件。
这在数学上，就是应变分量必须满足变形协调方程。
在弹性体的位移边界，则必须满足位移边界条件。
二、重点1、应变状态的定义：正应变与切应变；应变分量与应变张量；2、几何方程与刚体转动；3、应变状态分析和应变分量转轴公式；4、应变状态特征方程和应变不变量；主应变与应变主轴；5、变形协调方程与位移边界条件。
§3.1 位移分量与应变分量几何方程学习思路:知识点由于载荷的作用或者温度的变化，物体内各点在空间的位置将发生变化，就是产生位移。
这一移动过程，弹性体将同时发生两种可能的变化：刚体位移和变形位移。
变形位移是与弹性体的应力有着直接的关系。
弹性体的变形通过微分六面体单元描述，微分单元体的变形分为两个部分，一是微分单元体棱边的伸长和缩短；二是棱边之间夹角的变化，分别使用正应变和切应变表示这两种变形的。
由于是小变形问题，单元变形可以投影于坐标平面分析。
3第三章(应变分析)
等效应变的特点：
应 变 分 析
1)是一个不变量； 2)在塑性变形时，其数值上等于单向均匀拉伸或均匀压缩方向上的 线应变。
材料科学与工程学院
塑 性 §3.4 小应变几何方程 (位移场和应变场之间的关系) 成 形 力 学
应 变 分 析
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塑 性 §3.4 小应变几何方程 (位移场和应变场之间的关系) 成 形 单元体在xoy坐标平面上的投影：变形前abcd,变形后为 a1b1c1d1 力 学 设ac=dx, ac∥ox轴，则 ab=dy, ab∥oy轴
应 变 分 析
材料科学与工程学院
塑 性 成 形 力 学
二、主切应变和最大切应变
1 (1 2 ) 12 2 1 ( 2 3 ) 23 2 31 1 ( 3 1 ) 2
若ε1>ε2>ε3,则
max (1 y x (
x xy xz ij y yz z
xl 2 y m2 z n2 2( xylm yzmn zx nl) ijlil j
应 变 分 析
2 S 2 2
r xl 2 y m2 z n2 2( xylm yzmn zx nl) ijlil j
塑 性 成 形 力 学
一、主应变及应变张量不变量
过变形体内一点存在有三个相互垂直的应变主方向（也称应 变主轴），该方向上线元没有切应变，只有线应变，称为主应变。
应 变 分 析
1 0 0 在主轴坐标系统中，应变张量为 0 0 ij 2 0 0 3
对于各向同性材料，可以认为小应变主方向与应力 主方向重合。
3位移和应变分析ppt课件
y
B
A
变形前 P
变形后
P
u v
v v dy y
B
u u dy y
A
u u dx x
A v v dx
x
B
;.
u u dy
B
y v v dy
y
10
注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。
PA的正应变：
O
x
u
u x
dx
u
dx
u x
PB的正应变：
P v dy
y
v
v y
dy
dy
v
v y
P点的剪应变：
dy2 dr2
, n2
dz2 dr2
变形前夹角 cos l1l 2 m1m2 n1n2
变形后夹角 cos l1l 2 m1m2 n1n2
;.
23
l1
dx1 dr1
dx1 du1
(1 1)dr1
dx1
u x
dx1
u y
dy1
(1 1)dr1
u z
dz1
1
(1 1)
(1
x
)l1
u y
m1
M M 称为点M的位移
M M 在x,y,z三轴上的投影u,v,w称为该点的位移分量
符号规定：u,v,w与坐标轴正方向一致为正，相反为负。
考虑外力作用下的两种状态：
平衡状态：M点只随位置变化，不随时间变化；位移分量（u,v,w）只随位置变化， 不随时间变化。
运动状态： M点不仅随位置变化，而且随时间变化；位移分量（u,v,w）随位置和
)
m2
(1
2
)
cos
n2
弹性力学_3-应变分析
相对位移张量反映了一点相对位移的总体情况， 相对位移张量反映了一点相对位移的总体情况，既包含 了因刚体位移产生的相对位移， 了因刚体位移产生的相对位移，又包含了因变形位移产生的 相对位移； 相对位移； 相对位移张量一般为非对称张量。 相对位移张量一般为非对称张量。
二. 转动张量
设 PA = ds , PA1 = ds1 1 若为刚体位移， 若为刚体位移，则 ds = ds1
z A
r u′ r u
A1
(ds)2 = (dx1)2 + (dx2 )2 + (dx3 )2 = dxi dxi (ds1)2 = (dxi +δui )(dxi +δui ) ≈ dxi dxi + 2δuidxi
∴ δui dxi = 0 ⇒ dxui, j dxj = 0 i
展开
x O
P
P1 y
1. 体积应变 由正交三线元可构成一微元体， 由正交三线元可构成一微元体， 考察变形前后微元体体积的变化。 考察变形前后微元体体积的变化。 变形前微元体体积 变形后微元体边长
x P z
t dz
dy s
r
O
dx
y
1 1 ∂w ∂v ε23 = ε32 = γ yz = + 2 2 ∂y ∂z
∂w ε33 = εz = ∂z
应变张量分量与工程应变的原始定义完全相同， 应变张量分量与工程应变的原始定义完全相同， 工程切应变是角应变分量的2 但工程切应变是角应变分量的2倍，故一点应变状态可 由应变张量描述 几何方程可表示为
∂u3 ∂u1 ∂u2 dx1dx1 + dx2dx2 + dx3dx3 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂u3 ∂u1 ∂u1 ∂u2 ∂u2 ∂u3 +( + )dx1dx2 + ( + )dx2dx3 + ( + )dx3dx1 = 0 ∂x2 ∂x1 ∂x3 ∂x2 ∂x1 ∂x3
河海大学 材料力学 第三章 杆件横截面上的应力、应变分析第三节
切应力互等定理：在两个相互垂直的平面上，垂 直于两平面交线的切应力必成对存在，其数值相等， 方向或同时指向交线，或同时背离交线（定理具有普 遍意义，不管该平面上是否同时存在正应力） 反之，一个面上没有垂直于两平面交线的切应力， 另一面上也没有相应的切应力。 纯剪切应力状态(纯切应力状态)／纯剪切 (shearing state of stresses) ——单元体四个侧面上均只有切应力而无正应力。 圆扭转时横截面上的应力状态均为纯剪切应力状态
a dy
t´ t
b
t
t´ d d z
dx
t
c
例1 圆轴，Mx=2.15kN•m, D=50mm，求(1)距轴心 r=10mm处t , (2) t max, (3) 若采用d/D1=0.5 , t max不 变 ， D =？ 4 3 pD pD Mx t max 解: Ip= —— Wp= —— 32 16 Mx O (2) t max = —— = 87.6MPa Wp (1) t r= t max×r /R = 87.60×10/25 = 35.04MPa
§3-3 圆轴扭转时横截面上的切应力
轴(shaft)
横截面上的应力的三个问题? (1)应力形式？ t (2)应力分布？ (3)应力大小？ 从几何(变形)、物理、静力学三个方面分析
一、试验现象与平面假设 1、试验现象
(1)纵向线仍为直线，且都 倾斜同一微小角度g 。圆 周表面所有矩形网格，变 形后错动为平行四边形网 格。 (2)圆周线形状不变，仅绕 轴线作相对转动，不同截 面转过不同角度；变形很 小时，圆周线大小、间距 均不改变。
2、圆轴扭转的平面假设：
平面假设：圆轴扭转变形前为平面的横截面，变形后仍 为大小相同的平面，其半径仍保持为直线；且相邻两 横截面之间的距离不变。 (1)各横截面如同刚性圆片，仅绕轴线作相对旋转。 (2)圆轴无轴向正应变和横向正应变，因而扭转圆轴横截 面上无正应力，只可能存在切应力。 (3)倾斜的角度g 就是圆轴表面处的切应变。
第三章 应力分析、应变分析和屈服条件-第二部分
1 2 ′ J2 = σ S = C 在单向拉伸时， 在单向拉伸时， 3
2 在纯剪切时， 在纯剪切时， J2 =τ S = C ′
比较这二者可知，采用 比较这二者可知，采用Mises条件就意味着 条件就意味着
σs = 3τ s
屈服条件
π平面上 平面上Mises圆同 圆同Tresca六边形的几何关系 平面上 圆同 六边形的几何关系
两点假设
1、材料是初始各向同性的，即屈服条件与坐标的取向无关。 材料是初始各向同性的，即屈服条件与坐标的取向无关。 材料是初始各向同性的 可表示为三个主应力的函数： 可表示为三个主应力的函数： 或应力不变量来表示： 或应力不变量来表示： 2、静水应力不影响材料的塑性性质。 静水应力不影响材料的塑性性质。 静水应力不影响材料的塑性性质 这时，屈服条件只与应力偏量有关： 这时，屈服条件只与应力偏量有关： f (s1, s2 , s3 ) = 0,
F(J1, J2 , J3 ) = 0
′ ′ 也可由应力偏张量的不变量表示： 也可由应力偏张量的不变量表示： f (J2 , J3 ) = 0
屈服条件
二、屈服曲线
主应力空间中任一点P代表一个应力状态， 主应力空间中任一点 代表一个应力状态， 代表一个应力状态 直线和π平面分解 平面分解： 向量 OP可参照L直线和 平面分解：
第三章 应变分析
第一章 应变分析§ 3-1有关变形的几个基本概念一 变形：从宏观上讲，当一个物体在外部条件的作用下，它的形状和尺寸发生了时候，我们说该物体产生了变形。
二 刚性位移：物体仅仅发生了平动和转动；质点间的位置并没有发生改变，叫刚性位移。
例如，圆棒被弯曲后，棒的中间一般发生了变形，但是在棒的两端并没有发生变形，我们说两端只发生了刚性位移。
三 纯变形：从宏观上讲，在物体发生变形时，不可避免地要伴有雄伟性位移，如图所示，从单元体中除去刚性位移之后，剩下的部分为纯变形。
1 正变形：线尺寸的伸长与缩短。
2 剪变形：单元体的畸变。
四 如何判断单元体是否发生变形：主要看各质点间的相对位置是否发生变化，发生了变形的为变形，没有发生变化的为刚性位移。
例如上面的棒的中心附近发生了变化 ，而两端质点间的距离并没有发生变化，棒的中心产生了变形，而两端并没有发生变形。
五 应变：应变是变形大小的度量。
1 正变形：表示正变形的应变。
2 剪应变：表示剪变形的应变。
3 小变形：变形程度不超过10-3—10-2的变形统称为小变形。
§ 3-2 变形分析一 质点的变形张量：变形体在外力的作用下产生塑性变形，对于一点而言，在一应力张量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=z zy zx yz y yx xz xy x στττστττσσ的作用下，产生对应的变形，用应变张量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zzy zx yz yyx xz xyx ij εαααεαααεε表示其中xy α为纯剪应变和刚性位移-z ϖ之和，即z xy xy ϖγα-=，同理z yx yx ϖγα+= ; y xz xz ϖγα+= ;y zx zx ϖγα-=; x yz yz ϖγα+= ; x zy zy ϖγα-= ; 所以有：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=z zy zx yz yyx xz xyx ij εαααεαααεε⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+++-=z xzy y zx x yz yz yx y xz zxy xεϖγϖγϖγεϖγϖγϖγε⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zzy zx yz y yx xz xy xεγγγεγγγε⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+++-+000xy x z y z ϖϖϖϖϖϖ， 二 位移分量和应变的关系：),,(z y x u u =；在三维空间有三个分量，分别是，x u , y u , z u 一般用u, v, w 表示，u, v, w都是x,y,z 的函数，所以有：),,(z y x u u = ， ),,(z y x v v = ， ),,(z y x w w =，这三个分量的增量分别为：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=dzz w dy y w dx x w dw dz z v dy y v dx x v dv dz z u dy y u dx x u du 变形过程中必然伴随有位移，位移和变形之间存在一定关系，这种关系如下：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂==∂∂+∂∂==∂∂+∂∂==∂∂=∂∂=∂∂=)(21)(21)(21z v y w z u x w x v y u z w y v x u yzzy xz zx yxxy z y x γγγγγγεεε称之为小变形几何方程。
第三章应变分析
J1 = ε x + ε y + ε z = ε 1 + ε 2 + ε 3 应变不 1 2 2 2 J 2 = ε yε z + ε z ε x + ε xε y − (γ yx − γ yz − γ zx ) = ε1ε 2 + ε 2ε 3 + ε1ε 3 变量 4 1 2 2 2 J 3 = ε xε yε z + (γ xyγ yzγ zx − ε xγ yz − ε yγ zx − ε zγ yx ) = ε1ε 2ε 3 4 5 主应变 ε1 > ε 2 > ε 3
§3 - 2
八面体正应变、 八面体正应变、剪应变
一点的应变状态
1 1 J1 八面体正应变 ε 8 = 3 (ε x + ε y + ε z ) = 3 (ε1 + ε 2 + ε 3 ) = ε m = 3
2 γ8 = 2 J12 − 6 J 2 八面体剪应变 调方程（相容方程） 变形协调方程（相容方程）
前面可知，一点的应力是二阶对称张量，故有6个相互独立的分量。 前面可知，一点的应力是二阶对称张量，故有6个相互独立的分量。 个应变分量并不独立。 而6个应变分量并不独立。
几何 方程
∂u ε x = ∂x ε u = ∂v ∂y
对y求两 次偏导 对x求两 次偏导
∂ 2ε x ∂ 3u 2 = ∂x∂y 2 ∂y 2 3 ∂ ε y = ∂ u ∂x 2 ∂y∂x 2
首先讨论平行于x轴的微段元AB： 首先讨论平行于x轴的微段元AB： AB
∂w dx ∂u B′′B′ ∂x ∂w u ′ = u + ∆u = u + dx α ≈ tan α = = ∂x A′B′′ ∂x ∂x ∂w ∂u w′ = w + ∆w = w + dx β= ∂x ∂z
弹性力学第三章：应变分析
y
x
正应变
微元体棱边的相对伸长度
棱边夹角之间的变化
x y z
剪应变
z
将平行六面体 分别投影到3 个坐标面上
M A o m x a
B
y
b
z
M点在Ox轴的位移分量为
u ( x, y, z )
M点在Oy轴的位移分量为 M A o
v ( x, y , z )
B y A点和B点相应的位移分别为
u ( x dx, y, z )
2 2 z ' xl32 y m3 z n3 xyl3m3 yz m3n3 zxn3l3 3 T 3
x ' y ' 2 xl1l2 2 y m1m2 2 z n1n2 xy (l1m2 m1l2 )
dy u m’
a’ a
u x
同理
v m
o
dx
x
v y y
w z z
u
u dy y
y b
b’’
1 tan 1
v v dx v x u dx dx x
u u dx x
b’
2
dy u m’
a’’ m
o
a’
a dx
x
顺次轮换 x, y, z 和
u , v, w
可得其他两个切应变分量
yz
w v y z
xz
u w z x
当 xy , yz , zx 大于零， 表示角度缩小， 反之则表示角度扩大 综上所述。可以得到以下6个关系式
u w v x , yz x y z v u w y , zx y z x w w u z , xy z x y
03应变分析2
❖
在研究一点的应力状态时，可以找到三个相互垂直的
没有剪应力作用的平面，将这些面称为主平面，而这些平面
的法线方向称为主方向。
❖
在研究应变问题时，同样可以找到三个相互垂直的平
面，在这些平面上没有剪应变，将这些面称为应变主平面，
cos1 (1 N N ) cos 2(ll x mm y nn z ) （3-22） (mn mn) yz (nl nl) zx (lm lm) xy
由此可求出 1 ，进而可求得 1 。
即过P点任意两个微线段间夹角的变化。
23
如果PN与PN’互相垂直，即=90°。
在小变形条件x u dy u dz
l1
x y z
dr(1 N )
[l(1
u x
)
m
u y
n
u ](1 z
N
) 1
[l(1
u ) m u x y
n
u z
][1
N
N2
]
注意到
N
，u x
，
u y
，
u z
都是微小量，在展开上式后，略
去二阶以上的微小量得：
l1
l(1－ N
u ) x
m
而整个ABCD移到 ABCD。
设A点的位移是 u，w，它们是坐标的函数，因此有：
u f1(x, y, z) w f2 (x, y, z) （3-3）
7
而B点的坐标为（x+dx，y，z），因此B点在x方向的位移为：
u1 f1(x dx, y, z)
根据泰勒级数展开式，可得：
u1
f1(x, y, z)
❖
由此可见：在物体内的任一点，如果已知六个应变
弹性力学徐芝纶第三章详解
在数学上，x'，y'，z' 必为x，y，
z的单值连续函数
y
x
位移函数具有三阶连续导数
二、应变
对于微分单元体的变形，将分 为两个部分讨论。
一是微分单元体棱边的伸长和缩短 正应变 二是棱边之间夹角的变化 （剪）切应变
符号规定： 伸长为正，缩短为负 直角变小为正，直角变大为负
正应力 剪应力
正应变 剪应变
v x
u y
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w x
上式为剪应变的几何方程
x
u x
y
v y
z
w z
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w x
这六式为几何方程（柯西方程）
四、转角方程
x
w y
v z
y
u z
w x
z
v x
u y
3－3 一点应变状态、应变张量
一、应变张量
与应力张量相同，应变张量也是二阶对称张量
则，a点的位移为：
u u dx x
v v dx x
b点的位移为：
u u dy y
v v dy y
x
M
' a' 'Ma Ma
(dx
u dx) x
dx
dx
u x
(dy v dy) dy
y
M 'b''Mb Mb
y dy
v y
同理：
x
u x
y
v y
z
w z
第三章 杆件横截面上的应力应变分析
第三章杆件横截面上的应力应变分析利用截面法可以确定静定问题中的杆件横截面上的内力分量，但内力分量只是横截面上连续分布内力系的简化结果，仅根据内力并不能判断杆件是否有足够的强度。
如用同一种材料制成粗细不同的两根杆，在相同的拉力作用下，两杆的轴力是相同的，当拉力增大时，细杆必定先被拉断。
这说明拉杆的强度不仅与轴力大小有关，还与横截面面积有关，因此还必须引入内力集度的概，即应力的概念。
本章在此基础上分别讨论了杆件在拉压、扭转和弯曲三种基本变形和组合变形下横截面上应力的分布规律，导出了应力计算公式，为后面对杆件进行强度计算打下了基础。
第一节应力、应变及其相互关系一、正应力、剪应力观察图3-1a所示受力杆件，在截面上围绕K点取微小面积，其上作用有微内力，于是在上内力的平均集度为：（3-1）亦称为面积上的平均应力。
一般来说截面上的内力并不均匀分布，因此平均应力随所取ΔA的不同而变化。
当ΔA趋向于零时，的大小方向都将逐渐趋于某一极限。
(3-2)式中,p称为K点的应力，它反映内力系在K点的强弱程度。
p是一个矢量，一般说既不与截面垂直，也不与截面相切。
通常将其分解为垂直于截面的应力分量和相切于截面的应力分量(图3-1b)。
称为正应力，称为切应力。
在国际单位制中，应力的单位是牛顿/米2（N/M2），称为帕斯卡，简称帕（Pa）。
由于这个单位太小，通常使用兆帕（MPa），1MPa = 106Pa。
二、正应变、切应变杆件在外力作用下，其尺寸或几何形状将发生变化。
若围绕受力弹性体中任意点截取一个微小正六面体（当六面体的边长趋于无限小时称为单元体），六面体的棱边边长分别为Δx 、Δy 、Δz （图3-2 ）。
把该六面体投影到xy平面（图3-2b）。
变形后，六面体的边长和棱边夹角都将发生变化(图3-2c)。
变形前长为Δx的线段MN，变形后长度为Δx+Δs。
相对变形(3-3)表示线段MN单位长度的平均伸长或缩短，称为平均应变。
当Δx趋向于零，即点N趋向于M点时，其极限为(3-4)式中，ε称为M点沿x方向的线应变或正应变，ε为无量纲量。
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x xy xz ij y yz z
xl 2 y m2 z n2 2( xylm yzmn zx nl) ijlil j
应 变 分 析
2 S 2 2
r xl 2 y m2 z n2 2( xylm yzmn zx nl) ijlil j
应 变 分 析
塑性变形时，三个线应变分量不可能全部同号，绝对值 最大的应变分量永远和另外两个应变分量的符号相反。
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塑 性 成 形 力 学
§3.3 点的应变状态和应变张量
x xy ij yx y zx zy
xz yz z
纯变形
2、同一质点的不同方位，有不同的变形值
点的应变状态
3、物体变形时，单元体一般将同时发生平移、转动、正变形和剪变 形。除去刚体位移后，才能得到纯变形。 4、变形就是各点位移不同，致使各点相对位置发生变化。 5、变形的大小用应变表示。物体变形时，其体内各质点在各方向 上都会有应变，与应力分析一样，同样需引入“点应变状态” 的 概念。点应变状态也是二阶对称张量，故与应力张量有许多相 -3 -2 似的性质。 6、研究应变问题往往从小变形（数量级不超过 10 ~10 的弹 -塑性变 形）着手。金属塑性加工是大变形，小变形是大变形的基础。
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一、主应变及应变张量不变量
过变形体内一点存在有三个相互垂直的应变主方向（也称应 变主轴），该方向上线元没有切应变，只有线应变，称为主应变。
应 变 分 析
1 0 0 在主轴坐标系统中，应变张量为 0 0 ij 2 0 0 3
对于各向同性材料，可以认为小应变主方向与应力 主方向重合。
应 变 分 析
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c) 理想剪切
d) 弯曲工序
P→P1 剪斜了 Q → Q1 平移到Q1 ，未变形
P→P1 缩短且转动一角度 Q → Q1转动一角度，但未变形
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由以上实例可以得到以下概念： 正变形（线变形）：线性尺寸伸长或缩短 1、变形 切变形（角变形）：单元体发生畸变
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§3.1 、位移和应变
二、 应变及其分量
x
rx
rx
应 变 分 析
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塑 性 成 §3.2 塑性变形时的体积不变条件 形 力 体积不变条件： x y z 0 学
对数应变表示的体积不变条件：
l b h ln ln l1b1h1 0 l0b0 h0 l1 b h ln 1 ln 1 l0 b0 h0
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应变张量不变量（多用 J 表示） 应变状态特征方程 3 J1 2 J 2 J 3 0
J1 x y z 1 2 3
2 2 2 J 2 ( x y y z z x ) xy yz zx ( 1 2 2 3 3 1 ) 2 2 2 J 3 x y z 2 xy yz zx ( x yz y zx z xy ) 1 2 3
εij为二阶对称张量 应 变 分 析
x xy xz ij yx y yz zx zy z
x xy xz ij y yz z2 (ui ) 2 r 2 ( ij dxj ) 2 r 2
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§3.3 点的应变状态和应变张量
一点的应变状态可以用过该点三个互相正交方向上的九个应变分 量来表示。与应力状态相似，如果当坐标轴旋转后在新的坐标系中的 九个应变分量与原坐标系中的九个应变分量之间的关系也符合学数上 张量之定义，即 kr ij lkilrj (i, j x, y, z; k , r x' , y' , z' )
l1 l0 l2 l1 l3 l2 l l n n1 l0 l1 l2 ln1
应用微分的概念
ln
l0
ln dl ln l lo
应 变 分 析
——自然应变（对数应变），反映了物体变形的实际情况，也 称真实应变。
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对数应变的优点： 1、表示变形的真实情况
将真实应变用相对应变表示，并按泰勒级数展开：
ln 2 3 4 ln ln(1 ) l0 2 3 4
只有当变形程度很小时，ε才
能近似等于 ，变形程度愈大，
应 变 分 析
误差也愈大 。
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§3.1 、位移和应变 一、 位移及其分量
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§3.1 、位移和应变 二、 应变及其分量
x
rx
rx
应 变 分 析
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(二) 应变及其分量
真实应变 变形体由 l0→ln 可看作是经无穷多个中间数值逐渐变成。
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塑 第三章 应变分析 性 成 形 变形的基本概念 力 P→P1 拉长变细 学
a) 均匀拉伸
Q → Q1 单元体取的方位不同，变形方式不同，歪斜了
P→P1 沿中心线压扁 Q → Q1 由于摩擦的作用，压扁且歪斜了 R → R1 成鼓形后有明显的角度偏转
b) 金 属 在 有 摩擦的平板间 压缩成鼓形