第9章扭转强度与刚度

实心圆截面：
2 A
I p d A ( 2 π d )
2
d 2 0
O
2π(

4
d /2
4
)
0
πd 4 32
d
d A 2π d
πd 3 Wp d / 2 16 Ip
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
空心圆截面：
I p 2 π 3 d
圆管强度足够
例 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径 d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN•m， MB=36 kN•m， MC=14 kN•m。 材料的许用切应力 ] = 80MPa ，试校核该轴 MA 的强度。 MC Ⅰ MB Ⅱ 解： 1、求内力，作出轴的扭矩图 A C B 22 2、计算轴横截面上的最大 T图（kN· m） 切应力并校核强度
例 有一阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮如图a所示。轴的直径 分别为d1＝40㎜，d2＝70㎜，。已知作用在轴上的外力偶矩分别为T1＝ 0.62kN•m，T2＝0.81kN•m，T3＝1.43kN•m。材料的许用切应力[τ]=60 MPa，G＝8×104MPa，试校核该轴的强度。 解（1）作出扭矩图（见图b） （2）强度校核 由于AC 段和BD 段的直径不相 同，横截面上的扭矩也不相同，因 此，对于AC 段轴和BD 段轴的强度 都要进行校核。
计算结果表明，轴的强度足够
二、 扭转杆的变形和刚度计算
一、扭转变形：（相对扭转角）
d T dx GI P
T d dx GI P
扭转变形与内力计算式
T dx L GI P
Tl GI p Ti li GI pi
扭转角单位：弧度（rad）
扭矩不变的等直轴 各段扭矩为不同值的阶梯轴
AC 段
BD 段
T 0.621 10 3 0.621 10 3 max 49.4MPa [ ] 60 MPa d13 W (40 3 ) 10 9 16 16 T 1.43 10 3 1.43 10 3 max 21.2MPa [ ] 60 MPa 3 d2 W (70 3 ) 10 9 16 16
阶梯形圆轴
0.62kN•m 1.43kN•m
例 有一阶梯形圆轴，轴的直径 分别为d1＝40㎜，d2＝70㎜，。已 知T1＝0.62kN•m，T2＝0.81kN•m， T3＝1.43kN•m。材料的许用切应力 [τ]=60MPa，G＝8×104MPa，试 校核该轴的强度。
阶梯形圆轴
0.62kN•m
1.43kN•m
3、切应变（角应变）：直角角度的改变量 。


' '




' ' 3、切应变（角应变）：直角角度的改变量 。
4、定性分析横截面上的应力 （1） 0, 0 （2） 0 0
因为圆周上切应变相同，所以横截面上切应力沿圆周均匀分布。 t （3） t D, 认为切应力沿壁厚均匀 分布（方向垂直于其半径方向）。 D
2
d T GI p dx
d T dx GI p
扭转变形计算式 d 代入物理关系式 G dx 得： T
Ip
圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式。
圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式:
T Ip
二、圆轴中τmax的确定 横截面上 — max
D d
例 AB轴传递的功率为 N 7.5 kW ，转速 n 360 r/ min 。 如图所示，轴AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面。 ， 已知D 3 cm d 2 cm。试计算AC以及CB段的最大切应力。
解：550 199 N m n 360 由截面法 T m 199 N m （2）计算极惯性矩 , AC段和CB段 横截面的极惯性矩分别为 D 4 4
π 4 D d 4 32
D 2 d 2
d D
D d
O
πD 4 1 4 32 Ip πD 4 d 4 πD 3 4 1 Wp D/2 16 D 16
d A 2π d
注意：对于空心圆截面
O
π 4 I p D d 4 32 π 3 Wp D d 3 16
≤

2）设计截面尺寸: WP ≥ Tmax
[ ]
3）确定外载荷:
Tmax ≤ WP [ ] m
D 3 实心, 16 WP 3 D (1 4 ) 空心. 16
例 已知 T =1.5 kN . m，[ ] = 50 MPa，试根据强度条件设
计实心圆轴与 = 0.9 的空心圆轴。


d

5、切应力的计算公式：
dA
对圆心的矩 → dAr0
2 2 2
T dA.r0 r0 td r0 t 2
A 0
T 2 2r0 t
薄壁圆筒扭转时 横截面上的切应力计算式
二、关于切应力的若干重要性质 1、剪切虎克定律
为扭转角 r0 l
解：1. 确定实心圆轴直径
max
T π 3 d 16
3
3
2. 确定空心圆轴内、外径
T π 3 D (1 4) 16
max [ ]
T πd 3 16
3
Wp
πD 3 16
1
4
16T 16 (1.5 10 N m) d π( 50 10 6 Pa) π
A Db
a点处的切应变
tg dd d dx dx
b' D’
d dx
二）物理关系： 弹性范围内
d / dx－扭转角变化率
max P
G
→
→

G
d G dx
方向垂直于半径。
扭转切应力分布
d dx
GIP——抗扭刚度。
d T dx GI P
rad
m ——单位长度的扭转角
# 图示阶梯圆杆，如各段材料 也不同，AB 两截面的相对扭转角 为：
AB
M ni l i T 3 n i 1 GI pi
解：1. 计算扭矩作扭矩图
例 R0＝50 mm的薄壁圆管，左、右段的壁厚分别为 d1 5 mm，
d2 4 mm，m = 3500 N . m/m，l = 1 m，[ 50 MPa，试校核
圆管强度。 解：1. 计算扭矩作扭矩图 2. 强度校核 危险截面： 截面 A 与 B
ml TA 44.6 MPa [ ] A 2 2 2πR0d1 2πR0 d1 ml TB B 22 27.9 MPa [ ] 2 2πR0 d 2 2πR0 d 2
因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应 力大小相等，并且方向垂直于其半径方向。
5、切应变的变化规律：
A 取楔形体 O1O2ABCD 为研究 对象
D
b
D’
b'
5、切应变的变化规律：
D’
取楔形体O1O2ABCD 为研究对象 A点处的切应变
微段扭转 变形 d
DD' Rd tg dx dx
→
d G dx
（实心截面）
（空心截面）
三）静力关系： A dA dA dA
d G dx
d ? dx


O
dA
2 d dA T A dA A G dx d G A 2dA dx
A
令
I p A dA
I P1
d 4 6.38 cm 4 T D T AC AC 37.5 10 6 Pa 37.5 MPa （3）计算应力 max 外 I P1 2 WP1 T D T CB CB max 外 46.8 10 6 Pa 46.8 MPa I P 2 2 WP 2
第9章 扭转杆件的强度与刚度
薄壁圆筒轴的扭转
一、薄壁圆筒横截面上的应力
(壁厚
t
1 r0 , r0为平均半径） 10
实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式。 1、实验：
2、变形规律：
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。 纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
0.0535 m 实心轴取：d 54 mm
D
3
16T 76 .3 mm 4 π(1 )
d D 68.7mm
取：D 76 mm， d 68 mm
3.
π 2 (D d 2 ) 重量比较 4 39.5% π 2 d 4
空心轴远比 实心轴轻
例 R0＝50 mm的薄壁圆管，左、右段的壁厚分别为 d1 5 mm，d2 4 mm，m = 3500 N . m/m，l = 1 m，[ 50 MPa，试校核圆管强度。
max m 4 , mm 4 Ip—截面的极惯性矩，单位：
WP Ip
T T max IP IP
T WP
max
WP —抗扭截面模量，单位：m3 , mm3 .
整个圆轴上——等直杆： max
Tmax WP
三、公式的使用条件：
1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
单元体—— 从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体
Me
Me
y a
dy b
'
d x d z