第9章扭转强度与刚度
工程力学C-第9章 扭转

max
84.88MPa
16
min max
10 42.44MPa 20
§9-6 圆轴扭转破坏与强度条件
一、圆轴扭转时的破坏现象
脆性材料扭转破坏
沿450螺旋曲面被拉断
塑性材料扭转破坏
沿横截面被剪断
二、圆轴扭转的强度条件
D 1.192 得: d1
2
D2
A空 A实 4
(1 0.8 )
d1
4
2
0.512
例6 传动轴AB传递的功率为 P =7.5kW, 转速n=360r/min。轴的 AC 段为实心圆轴, CB 段为空心圆轴。已知:D =30mm,d =20mm。试计算AC段的最大剪应力,CB 段横截面上内、外缘处的剪应力。 解: (1)计算外力偶矩和扭矩 P AC段最大剪应力: m 9549 198.9N m n Tmax D 1max 37.5 10 6 Pa 37.5MPa T m 198.9N m I P1 2 (2)计算极惯性矩 CB段上内外缘的剪应力: D 4 T d 8 4 AC段:I P1 7.95 10 m 2内 I P2 2 32 D 4 4 31.2 10 6 Pa 31.2MPa (1 ) CB段:I P 2 T D 32 2外 8 4 6.38 10 m I P2 2 46.8 10 6 Pa 46.8MPa (3)计算应力
A
ρτ
ρ
dA T
d 2 G ρ dA T dx A
令:
ρ dA I P
2 A
极惯性矩
d G IP T dx
材料力学扭转刚度知识点总结

材料力学扭转刚度知识点总结材料力学是力学的一个重要分支,主要研究材料的物理性质和机械行为。
扭转刚度是材料力学中的一个重要概念,用来描述材料对扭转加载的响应。
本文将对材料力学扭转刚度的相关知识点进行总结。
一、扭转刚度的定义扭转刚度是指材料在扭转加载下对外部力矩的抵抗能力。
扭转刚度直接与材料的几何形状、材料的性质以及加载方式有关。
二、扭转刚度的计算方法在计算扭转刚度时,需要考虑两个主要参数:扭转角度和转矩。
扭转角度是指材料在加载时发生的旋转变形,常用弧度来表示。
转矩是施加在材料上的力矩,用来产生扭转变形。
计算扭转刚度的方法有多种,常用的方法包括静态法、动态法和半经验法。
静态法是将扭转过程建模为刚性体的旋转问题,并应用牛顿第二定律进行分析。
动态法则是通过测量材料在一定频率下的振动响应来计算扭转刚度。
半经验法是将理论分析与试验数据相结合进行计算,通常用于复杂加载条件下的扭转刚度计算。
三、影响扭转刚度的因素1. 几何形状:扭转刚度与材料的几何形状密切相关。
例如,圆形截面材料相对于矩形截面材料来说,具有更高的扭转刚度。
2. 材料的性质:不同材料具有不同的扭转刚度。
例如,钢材相对于铝材来说,由于其高强度和高刚度,具有较高的扭转刚度。
3. 载荷方式:不同的加载方式会对扭转刚度产生不同的影响。
例如,纯扭转加载方式下的扭转刚度与剪切加载方式下的扭转刚度不同。
4. 温度:温度对材料的性能有很大影响,进而会影响材料的扭转刚度。
四、应用领域扭转刚度的概念在工程领域有广泛应用。
例如,在建筑结构设计中,需要考虑材料的扭转刚度来保证结构的稳定性和安全性。
同时,在机械工程中,考虑到机械零件的扭转刚度可以帮助设计出更耐用和可靠的机械设备。
另外,扭转刚度还在材料疲劳寿命、材料可塑性等方面具有重要作用。
对于疲劳寿命的预测和控制,了解材料的扭转刚度是至关重要的。
结论材料力学扭转刚度是材料力学中的重要内容,它描述了材料在扭转加载下的变形行为。
扭转强度及刚度条件

扭转强度及刚度条件强度和刚度是材料力学中常用的两个概念,它们对于材料的性能和应用具有重要的影响。
本文将以扭转强度及刚度条件为主题,对其进行深入探讨。
我们需要明确强度和刚度的定义。
强度是指材料在受到外力作用下抵抗破坏的能力,可以用材料的抗拉、抗压、抗弯等性能指标来衡量。
而刚度则是指材料在受到外力作用下的变形程度,是材料对力的响应能力的度量。
在扭转过程中,材料的强度和刚度也是十分重要的。
扭转强度是指材料在扭转加载下抵抗破坏的能力,可以用材料的扭转极限应力来衡量。
扭转刚度则是指材料在扭转加载下的变形程度,可以用材料的扭转刚度系数来表示。
对于金属材料而言,其扭转强度与抗拉强度有一定的关联。
一般来说,抗拉强度越高的材料,其扭转强度也会相应提高。
这是因为扭转加载时,材料内部会产生切应力,而切应力是由剪应力和正应力组成的。
而剪应力对材料的影响较大,因此抗拉强度高的材料,其扭转强度也会相对较高。
材料的组织结构和晶界的性质也会对扭转强度和刚度产生影响。
晶界是材料中相邻晶粒之间的界面,其性质与晶粒内部有所不同。
晶界的存在会导致材料的强度和刚度降低,因为晶界是材料中比较脆弱的部分,容易发生破坏。
因此,在材料的制备过程中,需要尽量减少晶界的存在,以提高材料的扭转强度和刚度。
材料的加工工艺也会对扭转强度和刚度产生影响。
常见的加工工艺包括热处理、冷加工等。
热处理可以改变材料的晶粒大小和晶粒排列方式,从而影响材料的强度和刚度。
冷加工则可以通过加工硬化的方式提高材料的强度和刚度。
因此,在材料的加工过程中,需要选择适当的工艺参数,以提高材料的扭转强度和刚度。
扭转强度和刚度是材料力学中重要的概念,对于材料的性能和应用具有重要的影响。
在材料的设计和选择过程中,需要考虑材料的扭转强度和刚度条件,以满足实际的使用要求。
通过合理的材料选择、优化的加工工艺等手段,可以提高材料的扭转强度和刚度,从而提高材料的使用性能。
第9章 工程力学10

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解:第一步:计算外力偶矩 MA=9549PA/n=9549×36.8/300=1171.3N· m MB=MC=9549PB/n=9549×11.0/300=350.1N· m MD=9549PD/n=9549×14.8/300=471.3N· m
第二步:计算各段扭矩 BC段:ΣMX=0 → MT1+MB=0 → MT1=-MB=-350.1 N· m CA段: MT2=-700.2 N· m AD段: MT3=471.1 N· m
第二步:计算各段扭矩 BC段:ΣMX=0 → MT1+MB=0 → MT1=MB=-350.1 N· m CA段:MT2=-700.2 N· m AD段:MT3=471.1 N· m
第三步力 1、薄壁圆筒的扭转现象
圆轴扭转时的应力和强度条件
结论1:横截面和纵向截面上均没有正应力 。 结论2:薄壁圆筒横截面沿圆周方向存在应力,即存在切应力。 结论3:切应力的方向垂直于横截面半径 。 结 论: 薄壁圆筒扭转时,横截面上将产生切应力,其方向垂直于横截面半 径,沿圆周和壁厚均布。
解:(1)
(2)用实心轴时 :
得: (3)比较质量(重量比等于横截面积比)
第三节 一、圆轴扭转时的变形
扭转时的变形与刚度条件
相距l两横截面扭转角:
二、圆轴扭转时的刚度条件
单位长度的扭转角: (弧度/米) (度 / 米 ) 刚 度 条 件:
第9章扭转强度与刚度

→
d G dx
(实心截面)
(空心截面)
d G dx
三)静力关系:
d ? dx
A
O
dA
2 d dA T A dA A G dx d G A 2 dA dx
A dA dA dA
令
I p A dA
切应力互等定理
'
a dy
O ' dx
d
c x
z
b
在相互垂直的两个面上,切 应力总是成对出现,并且大小相 等,方向同时指向或同时背离两 个面的交线。
单元体在其两对互相 垂直的平面上只有切应力 而无正应力的状态称为纯 剪切应力状态。
a
'
d
b
'
c
圆轴扭转时横截面上的应力
一、圆轴扭转时横截面上的应力(超静定问题) 几何关系:由实验找出变形规律→应变的变化规律 物理关系:由应变的变化规律→应力的分布规律 静力关系:由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式。 一)、几何关系: 1、实验: 2、变形规律: 圆周线—形状、大 小、间距不变,各圆周 线只是绕轴线转动了一 个不同的角度。
2
d T GI p dx
d T dx GI p
扭转变形计算式 d 代入物理关系式 G dx 得: T
Ip
圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式。
圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式:
T Ip
二、圆轴中τmax的确定 横截面上 — max
由截面法 T m 199 N m (2)计算极惯性矩 , AC段和CB段 横截面的极惯性矩分别为 D 4 4
——扭转的强度和刚度计算

例l 一直径为50mm的传动轴如图所示。电动机通过A轮输 入100kW的功率,由B,C和D轮分别输出45kW、25kW和30kW 以带动其它部件。要求:(1)画轴的扭矩图,(2)求轴的最大切 应力。
解 1.作用在轮上的力偶矩可 由公式计算得到,分别为
2.作扭矩图 最大扭矩发生在AC段内
M x max = 1.75kN ⋅ m 3.最大切应力
WP
([τ] 称为许用剪应力。)
强度计算三方面: ① 校核强度: ② 设计截面尺寸:
③ 计算许可载荷:
τ max
= Tmax WP
≤ [τ ]
WP
≥
Tmax
[τ ]
WP
⎪⎩⎪⎨⎧空实::ππ1Dd633(116−
α
⎫ ⎪ 4)⎪⎭⎬
Tmax ≤ WP[τ ]
[例]
功率为150kW,转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图,
θ = Mx
GI T
=
4000 80 ×109 × 286
×10 −8
= 0.01745 rad/m = 1o /m
§7 薄壁圆筒的扭转试验
例2 直径d=100mm的实心圆轴,两端受力偶矩T=10kN·m作 用而扭转,求横截面上的最大切应力。若改用内、外直径比值为 0.5的空心圆轴,且横截面面积和以上实心轴横截面面积相等,问 最大切应力是多少?
解: 圆轴各横截面上的扭矩均为 Mx=T=10kN·m。 (1)实心圆截面
(2)空心圆截面 由面积相等的条件,可求得空心圆截面的内、外直径。令 内直径为d1,外直径为D,α = d1 / D = 0.5,则有
由此求得
空心圆截面
实心圆截面
计算结果表明,空心圆截面上的最大切应力比实心圆截
工程力学(静力学与材料力学)第二篇第九章扭转

P = Mω
2πn P ×10 = M × 60
3
M N⋅m = 9549
P kW nr / min
例: P=5 kW, n=1450 r/min, 则 =
5 kW M=9549× (N⋅m) = 32.9 N⋅m 1450r/min
单辉祖:材料力学教程 8
扭矩与扭矩图
扭矩
扭矩定义-矢量方向垂直于横截面的内力偶矩, 扭矩定义-矢量方向垂直于横截面的内力偶矩, 并用 T 表示 符号规定-按右手螺旋法则将扭矩用矢量表示, 符号规定-按右手螺旋法则将扭矩用矢量表示, 矢量方向与横截面外法线方向一致 的扭矩为正, 的扭矩为正,反之为负
极惯性矩与抗扭截面系数
空心圆截面
dA=2πρdρ
Ip = ρ dA =
2
∫A
∫
D/ 2
d/2
ρ2 ⋅ 2πρ dρ
πD4 α= d Ip = 1−α4 D 32 Ip πD3 W= = 1−α4 p D 16 2
(
)
(
)
实心圆截面
πd4 Ip = 32
单辉祖:材料力学教程
πd 3 W= p 16
24
γ ≈tanγ =1.0×10−3rad
τ = Gγ
τ = (80×109 Pa)(1.0×10−3 rad) = 80 MPa
注意: 虽很小, 很大, 注意:γ 虽很小,但 G 很大,切应力 τ 不小
单辉祖:材料力学教程 18
例 3-2 一薄壁圆管,平均半径为 0,壁厚为δ,长度为 , 一薄壁圆管,平均半径为R 长度为l, 横截面上的扭矩为T,切变模量为G, 横截面上的扭矩为 ,切变模量为 ,试求扭转角ϕ。
解:1. 扭矩分析
第9章圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度设计

n1=n2= 120r/min
转速与齿数成反比,所以有
1
36
3 =1 × = 120 ×
r/min=360r/min
3
12
2. 根据 = 9549
N ⋅ m 计算各轴的扭矩
3
Mx1=T1=1114 N.m
Mx2=T2=557 N.m
Mx3=T3=185.7 N.m
大连大学
10
9.1 工程上传递功率的圆轴及其扭转变形
A
B
D ▪ 不难看出,圆轴受扭后,将
产生扭转变形(twist
deformation),圆轴上的每
个微元的直角均发生变化,
这种直角的改变量即为切应
C'
变。这表明,圆轴横截面和
纵截面上都将出现切应力分
τ
别用 和 表示。
D'
A'
B'
大连大学
横截面上的切应力分布有着很大的差异。本章主要介绍圆轴扭转时的
应力变形分析以及强度设计和刚度设计。
▪ 分析圆轴扭转时的应力和变形的方法与分析梁的应力和变形的方法基
本相同。依然借助于平衡、变形协调与物性关系。
第9章 圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度设计
▪ 9.1 工程上传递功率的圆轴及其扭转变形
▪ 9.2 切应力互等定理
3. 设计螺栓等间距分布时的直径d
利用1中所得的结果,应用剪切假定计算的强度条件,有
2
=
=
≤
2
8××
4×
×
4
螺栓直径 ≥
大连大学
= 35.2mm
转轴扭转强度、刚度校核

传动轴满足强度要求。 2)刚度校核 传动轴的极惯性矩为
IP 0.1D 4 (1 a4 ) {0.1 904[1 (85 / 90)4 ]}mm4 134 10 4 mm4
max 180 M n /(GI P ) (180 1500 103 / 80 103 134 10 4 ) 103/m
当两轴材料、长度相同,它们的重量之比等于横截面面
积之比。设A1、A2分别为空心轴和实心轴的面积,则有
A 1
/
A 2
[
(D
2
d
2)
/
4] /(D 22
/
4)
(90 2
852 )
/
612
0.235
第四节 圆轴扭转时的强度和刚度计算
一、强度计算
为了保证圆轴安全正常地工作,即
max M n/Wn [ ]
(6-12)
例6-4 某传动轴,已知轴的直径d=40mm,转速
n材=料20的0许r/m用i切n,应力 60MPa ,试求此轴可传递的最大功率。
解 (1)确定许可外力偶矩
由扭转强度条件得
M n Wn[ ] (0.2 403 109 60 106 )N m 768N m
最
大力偶矩M =1500N·m,G =80GPa。
(1)试校核其强度及刚度。 (2)若将AB轴改为实心轴,试求其直径。 (3)比较空心轴和实心轴的重量。 解 (1)试校核其强度及刚度。 1) 强度校核 传动轴各截面上的扭矩均为
Mn = M = 1500N·m
传动轴的抗扭截面系数为
Wn 0.2D 3 (1 d 4 ) {0.2 903[1 (85 / 90)4 ]}mm3 29800 mm3 传动轴横截面上的最大切应力为
名师讲义【赵堔】工程力学第9章扭转强度与刚度

d MTn x dx
GI p
AB 截面相对扭转角为:
l
d
l
MTn x dx
GI p
# 图示为变截面圆杆,A、B 两端直径分别为 d1、d2 。
从中取 dx 段,该段相邻两截 面的扭转角为:
d T dx
GI P (x)
AB 截面相对扭转角为:
d
T dx
L
L GI P ( x)
三、 扭转杆的刚度计算
圆管强度。
解:1. 计算扭矩作扭矩图
2. 强度校核
危险截面:截面 A 与 B
A
TA
2πR02d1
ml
2πR02d1
44.6
MPa [
]
ml
B
TB
2π 2
27.9
MPa [
]
圆管强度足够
例 图示阶梯状圆轴,AB段直径 d1=120mm,BC段直径
d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN•m, MB=36 kN•m,
d
5、切应力的计算公式:
dA 对圆心的矩 → dAr0
T
AdA.r0
2 0
r0
2td
r02t2
T
2r0 2t
薄壁圆筒扭转时 横截面上的切应力计算式
二、关于切应力的若干重要性质
1、剪切虎克定律
为扭转角 r0 l
l
r0 即
l
做薄壁圆筒的扭转试验可得 T
纵轴 T——
T
2r02t
核轴的刚度 解:1. 内力、变形分析
T1 MA 180 N m
AB
T1l GIp
1.5010-2
rad
T2 MC 140 N m
材料力学-第9章 扭转

其中, 为该轴的角速度 (rad s) , 2 则 M e 9549
Pk n
n 。若 Pk 的单位为千瓦 (kw ) , 60
(9 1)
( N m)
若 Pk 的单位为马力 (1hp 735.5 W) ,则
M e 7024 Pk n
( N m)
(9 2 )
r l
(a)
利用上述薄壁圆筒的扭转,可以实现纯切实验。实验结果表明,当切应力不
超过材料的剪切比例极限 p 时, 扭转角 与扭转力偶矩 M e 成正比。 由式 (9 3) 和 式 (a ) 可以看出, 与 只相差一个比例常数,而 M e 与 也只差一个比例常数。 所以上述实验结果表明:当切应力不超过材料的剪切比例极限 p 时,切应变 与 切应力 成正比(图 9-9) 。这就是材料的剪切虎克定律,可以写成
图 9-8 在纯剪切情况下,单元体的相对两侧面将发生微小的相对错动,图 9-7 (e) , 原来相互垂直的两个棱边的夹角, 改变了一个微量 , 这就是切应变。 由图 9-7 (b) 可以看出,若 为薄壁圆筒两端截面的相对转角, l 为圆筒的长度,则切应变应 为
式中 r 为薄壁圆筒的平均半径。
动轮 A 输入功率 PA 50hp ,从动轮
B 、 C 、 D 输出功率分别为 PB PC 15hp , PD 20hp ,轴的转
速为 n 300 r min ,试画出轴的扭矩 图。 解 按公式 (9 2) 计算出作用于
各轮上的外力偶矩。
M eA 7024 M eB M eD
T2 M eC M eB 0
T2 M eC M eB 702 N m
工程力学第9章圆轴的扭转

τ ′d x d z
d
τ
c
τ d yd z
x
∑F = 0 ∑F = 0 ∑M = 0
y x z
自动满足 存在τ'
(τ d y d z ) d x = (τ ′ d x d z ) d y
得
τ′ =τ
y
τ'
a dy b z
切应力互等定理 d
在相互垂直的两个面上, 在相互垂直的两个面上,切 应力总是成对出现,并且大小相 应力总是成对出现,并且大小相 等,方向同时指向或同时背离两 个面的交线。 个面的交线。
一、圆轴扭转时横截面上的应力 1、几何关系:由实验找出变形规律 应变的变化规律 几何关系 由实验找出变形规律→应变的变化规律 1)实验: 实验:
2)观察变形规律: 观察变形规律:
圆周线——形状、大小、间距不变,各圆周线只是绕轴线转动 形状、大小、间距不变, 圆周线 形状 了一个不同的角度。 了一个不同的角度。 纵向线——倾斜了同一个角度,小方格变成了平行四边形。 倾斜了同一个角度,小方格变成了平行四边形。 纵向线 倾斜了同一个角度 扭转平面假设:变形前的横截面,变形后仍为平面, 扭转平面假设 变形前的横截面,变形后仍为平面,且形状 、大 小 以及间距不变,半径仍为直线。 以及间距不变,半径仍为直线。
3
) 16T 3 16(1.5×103N⋅m = = 0.0535 m d ≥ 6 π(50×10 Pa) π[τ ]
m 取: d = 54 m
2. 确定空心圆轴内、外径 确定空心圆轴内、
Wp =
3
πD3 16
(1−α )
4
16T π 3 D (1−α 4) 16
结论: 结论:
横截面上
圆轴扭转时的强度与刚度计算材料力学

•
度条件为
max
Mn Wp
maxG MnIp •180
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• (五)用强度,刚度条件解决实际部题的步骤
•
1)求出轴上外力偶矩;
•
2)计算扭矩和作出扭矩图;
•
3)分析危险截面;
•
4)列出危险截面的强度、刚度条件并进行计算。
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• 二 剪应力计算:
• 1 几何关系: • • 2 物理关系:
P G
• • 3 静力关系:
Mnl d
G Ip
Mn d GIp d
• 扭转剪应力公式:
p
M n Ip
max
Mn Wp
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•三
• •
截面极惯性矩 ;抗扭截面模量
ax
•
故求得直径为
4010
D3
16Mnmax3
1
6
628.467
0 .03 m 332 .2 3 mm
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• (4)由刚度条件,得
maxM G nm pIax180G M nm D a4x 18 G n m 2a•x 18038 2 0 216 80 . 46 7 21 180
m ax0 .5 WM Pn 0 .6
0 .8 1 .0
• 2 强度计算的三个方面:
•
a 强度校核
•
b 截面选择
•
c 许可荷载确定
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• 例1 如图为一钢圆轴,两端受外力偶m的作用,已知m=2.5
• KN.m,直径d=60m,许用应力为60MPa。试校核该轴的强度。
工程力学-9-圆轴扭转的强度与刚度

目
CONTENCT
录
• 引言 • 圆轴扭转的基本概念 • 圆轴扭转的强度分析 • 圆轴扭转的刚度分析 • 圆轴扭转的实例分析 • 结论
01
引言
主题简介
圆轴扭转的强度与刚度是工程力学中的重要概念,主要研究圆轴 在受到扭矩作用时的应力、应变以及如何保证其强度和刚度的问 题。
对于圆轴扭转,刚度条件通常要求圆轴在承受外力矩作用时 产生的扭转变形量不超过允许值,以确保设备的正常运转。
刚度计算
刚度计算是确定结构刚度的过程,通常需要利用力学原理 和相关公式进行计算。
对于圆轴扭转,刚度计算需要考虑圆轴的截面尺寸、材料 属性、外力矩大小等因素,通过计算得出圆轴的扭转变形 量,从而评估其刚度是否满足要求。
剪切应变
圆轴扭转时,横截面上的任意两点之间会发生相对转动,这种转 动效应称为剪切应变。
剪切强度条件
剪切强度极限
圆轴在受到外力矩作用发生扭转 时,其横截面上剪切应力的最大 值不能超过材料的剪切强度极限 。
剪切强度条件
圆轴扭转时,其横截面上的剪切 应力应满足剪切强度条件,即剪 切应力不超过材料的剪切强度极 限。
工程实例分析
某型号汽车传动轴断裂分析
通过对实际发生的汽车传动轴断裂案例进行分析,发现是由于材料缺陷和加工工艺问题导致的强度不足,进一步 强调了圆轴扭转强度的重要性。
大型机械传动装置故障
大型机械传动装置在运行过程中发生故障,经分析是由于圆轴扭转刚度不足,导致运行过程中产生过大变形,影 响正常运行。
设计建议与注意事项
01
02
03
04
材料选择
选择具有高强度、高刚度的材 料,如合金钢、不锈钢等,以 满足圆轴扭转的强度和刚度要 求。
工程力学第九章圆柱扭转

x
73.4MPa
从以上计算结果看出:最大切应力发生在扭矩较小的
BC段。由于max=73.4MPa>[ ],所以轴AC的强度不够。
第九章
圆轴的扭转
由无缝钢管制成的汽车传动轴AB,外径D=90mm,壁厚 t=2.5mm,材料为45钢,许用切应力[ ] =60MPa,工作时最大 外扭矩Mn=1.5kN· m。 1)试校核AB轴的强度。 2)如将AB轴改为实心轴,试在相同条件下确定轴的直径。 3)比较实心轴和空心轴的质量。
扭矩。
MA 一传动系统的主轴ABC,其转 速n=960r/min,输入功率 PA=27.5kW,输出功率PB=20kW, PC=7.5kW,不计轴承摩擦等功率 消耗。试作ABC轴的扭矩图。 解 1)计算外力偶矩。由式(9-1)得
MB 第九章
MC 圆轴的扭转
A
B
C
PA 27.5 M A 9550 9550 N m 274 N m n 960 PB 20 M B 9550 9550 N m 199 N m n 960 PC 7.5 M C 9550 9550 N m 75N m n 960
O
M
Mn O
A
max
=K 。
第九章
Mn 圆轴的扭转 O
=K
扭转切应力的计算如图,圆轴横截面上微 面积dA上的微内力为dA ,对截面中心O的力 矩为dA· 。 整个横截面上所有微力矩之和应等于该截面 上的扭矩Mn,则有 (9-2)
A
max dA
Mn dA O
M n dA K 2dA
故AB轴满足强度要求 。
第九章
圆轴的扭转
已知:D=90mm,t=2.5mm, [ ] =60MPa,Mn=1.5kN· m。 1)试校核AB轴的强度。 2)如将AB轴改为实心轴,试在相同条件下确定轴的直径。 3)比较实心轴和空心轴的质量。 解 1)校核AB轴的强度。 2)确定实心轴的直径。若实心轴与空心轴的强度相同,则
扭转强度及刚度条件

扭转强度及刚度条件扭转强度和刚度是材料力学中两个重要的力学性能指标,它们对于材料的使用范围和工程应用具有重要意义。
本文将从扭转强度和刚度的定义、影响因素以及测试方法等方面展开讨论,以期对读者加深对这两个概念的理解和应用。
一、扭转强度的定义和影响因素扭转强度是指材料在受到扭转力作用下的抗力,即扭转破坏前所能承受的最大扭转力。
扭转强度的大小与材料的化学成分、组织结构以及冷加工程度等因素密切相关。
一般来说,材料的强度越高,其扭转强度也会相应增加。
此外,晶粒细化、晶界强化等因素也会提高材料的扭转强度。
二、扭转刚度的定义和影响因素扭转刚度是指材料在受到扭转力作用下的变形能力,即材料在扭转过程中的刚性程度。
扭转刚度的大小与材料的弹性模量、几何形状以及外力作用方式等因素相关。
一般来说,材料的弹性模量越大,其扭转刚度也会相应增加。
此外,材料的几何形状也会影响扭转刚度,例如材料的截面形状、长度等。
三、扭转强度和刚度的测试方法为了准确测量材料的扭转强度和刚度,科学家们开发了多种测试方法。
其中,常用的方法包括扭转试验和扭转挠度测量。
扭转试验是通过施加扭转力来测试材料的扭转强度和刚度。
在试验中,先将试样固定在夹具上,然后通过扭转力矩施加扭转载荷。
根据试样的尺寸和形状,可以计算出材料的扭转强度和刚度。
扭转挠度测量是通过测量材料在受到扭转力作用下的变形程度来确定其扭转刚度。
在测试中,首先测量试样的初始长度和直径,然后施加扭转力,测量试样的变形量,最后计算出材料的扭转刚度。
四、扭转强度和刚度的应用扭转强度和刚度是材料设计和工程应用中的重要参数。
在机械工程中,扭转强度和刚度是设计和选择传动轴、转子等部件的基础。
在航空航天工程中,扭转强度和刚度是评估材料耐久性和可靠性的关键指标。
此外,在汽车制造、建筑工程、电子设备等领域,扭转强度和刚度也都扮演着重要的角色。
总结起来,扭转强度和刚度作为材料力学性能的重要指标,对于材料的使用范围和工程应用具有重要意义。
第九章扭转杆件的强度与刚度计算

max
Tmax GIp
180
Tmax
180
G ( D4 / 32)
[]
D4
32Tmax 180
G 2 []
0.0297 m
D 30 mm
作业: 9-1; 9-2; 9-7; 9-8
BA
M x(CB)l GJp
M x(BA)l GJp
0.5 32
8.21010 0.14 (5000 2000)
1.86103弧度 1.86103 180
0.107
9-2 圆轴扭转时的强度和刚度计算
圆轴扭转强度条件
强度条件:
max
Tmax Wt
[ ]
刚度条件:
max
Tmax GIp
3.计算相对扭转角
根据dϕ/dx=Tx/(GIp),这是单位长度的扭转角,相距 dx的两个截面的扭转角为dϕ=Txdx/(GIp)。在AB和
BC中扭矩沿长度方向无变化,因此两个端截面(A和
B,B和C)的相对扭转角为ϕ=Tx/(GIp)。但二者是反
向的。于是C截面相对于A截面的相对扭转角为
C A
CB
G
G
G
d
dx
切应力沿半 径呈线性分 布。
3 静力关系 横截面上内 力系对圆心 的矩应等于 扭矩T。
A
d
A
T
即: T A d A
G d d A G d
A
dx
dx
2 d A
A
记
Ip
2d A
A
T
GIp
d
dx
横截面对圆心O的极惯性矩。
d T
d x GIp
记
Ip
2d A
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实心圆截面:
2 A
I p d A ( 2 π d )
2
d 2 0
O
2π(
4
d /2
4
)
0
πd 4 32
d
d A 2π d
πd 3 Wp d / 2 16 Ip
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
空心圆截面:
I p 2 π 3 d
圆管强度足够
例 图示阶梯状圆轴,AB段直径 d1=120mm,BC段直径 d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN•m, MB=36 kN•m, MC=14 kN•m。 材料的许用切应力 ] = 80MPa ,试校核该轴 MA 的强度。 MC Ⅰ MB Ⅱ 解: 1、求内力,作出轴的扭矩图 A C B 22 2、计算轴横截面上的最大 T图(kN· m) 切应力并校核强度
例 有一阶梯形圆轴,轴上装有三个皮带轮如图a所示。轴的直径 分别为d1=40㎜,d2=70㎜,。已知作用在轴上的外力偶矩分别为T1= 0.62kN•m,T2=0.81kN•m,T3=1.43kN•m。材料的许用切应力[τ]=60 MPa,G=8×104MPa,试校核该轴的强度。 解(1)作出扭矩图(见图b) (2)强度校核 由于AC 段和BD 段的直径不相 同,横截面上的扭矩也不相同,因 此,对于AC 段轴和BD 段轴的强度 都要进行校核。
计算结果表明,轴的强度足够
二、 扭转杆的变形和刚度计算
一、扭转变形:(相对扭转角)
d T dx GI P
T d dx GI P
扭转变形与内力计算式
T dx L GI P
Tl GI p Ti li GI pi
扭转角单位:弧度(rad)
扭矩不变的等直轴 各段扭矩为不同值的阶梯轴
AC 段
BD 段
T 0.621 10 3 0.621 10 3 max 49.4MPa [ ] 60 MPa d13 W (40 3 ) 10 9 16 16 T 1.43 10 3 1.43 10 3 max 21.2MPa [ ] 60 MPa 3 d2 W (70 3 ) 10 9 16 16
阶梯形圆轴
0.62kN•m 1.43kN•m
例 有一阶梯形圆轴,轴的直径 分别为d1=40㎜,d2=70㎜,。已 知T1=0.62kN•m,T2=0.81kN•m, T3=1.43kN•m。材料的许用切应力 [τ]=60MPa,G=8×104MPa,试 校核该轴的强度。
阶梯形圆轴
0.62kN•m
1.43kN•m
3、切应变(角应变):直角角度的改变量 。
' '
' ' 3、切应变(角应变):直角角度的改变量 。
4、定性分析横截面上的应力 (1) 0, 0 (2) 0 0
因为圆周上切应变相同,所以横截面上切应力沿圆周均匀分布。 t (3) t D, 认为切应力沿壁厚均匀 分布(方向垂直于其半径方向)。 D
2
d T GI p dx
d T dx GI p
扭转变形计算式 d 代入物理关系式 G dx 得: T
Ip
圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式。
圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式:
T Ip
二、圆轴中τmax的确定 横截面上 — max
D d
例 AB轴传递的功率为 N 7.5 kW ,转速 n 360 r/ min 。 如图所示,轴AC段为实心圆截面,CB段为空心圆截面。 , 已知D 3 cm d 2 cm。试计算AC以及CB段的最大切应力。
解:550 199 N m n 360 由截面法 T m 199 N m (2)计算极惯性矩 , AC段和CB段 横截面的极惯性矩分别为 D 4 4
π 4 D d 4 32
D 2 d 2
d D
D d
O
πD 4 1 4 32 Ip πD 4 d 4 πD 3 4 1 Wp D/2 16 D 16
d A 2π d
注意:对于空心圆截面
O
π 4 I p D d 4 32 π 3 Wp D d 3 16
≤
2)设计截面尺寸: WP ≥ Tmax
[ ]
3)确定外载荷:
Tmax ≤ WP [ ] m
D 3 实心, 16 WP 3 D (1 4 ) 空心. 16
例 已知 T =1.5 kN . m,[ ] = 50 MPa,试根据强度条件设
计实心圆轴与 = 0.9 的空心圆轴。
d
5、切应力的计算公式:
dA
对圆心的矩 → dAr0
2 2 2
T dA.r0 r0 td r0 t 2
A 0
T 2 2r0 t
薄壁圆筒扭转时 横截面上的切应力计算式
二、关于切应力的若干重要性质 1、剪切虎克定律
为扭转角 r0 l
解:1. 确定实心圆轴直径
max
T π 3 d 16
3
3
2. 确定空心圆轴内、外径
T π 3 D (1 4) 16
max [ ]
T πd 3 16
3
Wp
πD 3 16
1
4
16T 16 (1.5 10 N m) d π( 50 10 6 Pa) π
A Db
a点处的切应变
tg dd d dx dx
b' D’
d dx
二)物理关系: 弹性范围内
d / dx-扭转角变化率
max P
G
→
→
G
d G dx
方向垂直于半径。
扭转切应力分布
d dx
GIP——抗扭刚度。
d T dx GI P
rad
m ——单位长度的扭转角
# 图示阶梯圆杆,如各段材料 也不同,AB 两截面的相对扭转角 为:
AB
M ni l i T 3 n i 1 GI pi
解:1. 计算扭矩作扭矩图
例 R0=50 mm的薄壁圆管,左、右段的壁厚分别为 d1 5 mm,
d2 4 mm,m = 3500 N . m/m,l = 1 m,[ 50 MPa,试校核
圆管强度。 解:1. 计算扭矩作扭矩图 2. 强度校核 危险截面: 截面 A 与 B
ml TA 44.6 MPa [ ] A 2 2 2πR0d1 2πR0 d1 ml TB B 22 27.9 MPa [ ] 2 2πR0 d 2 2πR0 d 2
因为同一圆周上切应变相同,所以同一圆周上切应 力大小相等,并且方向垂直于其半径方向。
5、切应变的变化规律:
A 取楔形体 O1O2ABCD 为研究 对象
D
b
D’
b'
5、切应变的变化规律:
D’
取楔形体O1O2ABCD 为研究对象 A点处的切应变
微段扭转 变形 d
DD' Rd tg dx dx
→
d G dx
(实心截面)
(空心截面)
三)静力关系: A dA dA dA
d G dx
d ? dx
O
dA
2 d dA T A dA A G dx d G A 2dA dx
A
令
I p A dA
I P1
d 4 6.38 cm 4 T D T AC AC 37.5 10 6 Pa 37.5 MPa (3)计算应力 max 外 I P1 2 WP1 T D T CB CB max 外 46.8 10 6 Pa 46.8 MPa I P 2 2 WP 2
第9章 扭转杆件的强度与刚度
薄壁圆筒轴的扭转
一、薄壁圆筒横截面上的应力
(壁厚
t
1 r0 , r0为平均半径) 10
实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式。 1、实验:
2、变形规律:
圆周线——形状、大小、间距不变,各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。 纵向线——倾斜了同一个角度,小方格变成了平行四边形。
0.0535 m 实心轴取:d 54 mm
D
3
16T 76 .3 mm 4 π(1 )
d D 68.7mm
取:D 76 mm, d 68 mm
3.
π 2 (D d 2 ) 重量比较 4 39.5% π 2 d 4
空心轴远比 实心轴轻
例 R0=50 mm的薄壁圆管,左、右段的壁厚分别为 d1 5 mm,d2 4 mm,m = 3500 N . m/m,l = 1 m,[ 50 MPa,试校核圆管强度。
max m 4 , mm 4 Ip—截面的极惯性矩,单位:
WP Ip
T T max IP IP
T WP
max
WP —抗扭截面模量,单位:m3 , mm3 .
整个圆轴上——等直杆: max
Tmax WP
三、公式的使用条件:
1、等直的圆轴, 2、弹性范围内工作。
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
单元体—— 从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体
Me
Me
y a
dy b
'
d x d z