林寿数学史第五讲文艺复兴时期的数学
第六章文艺复兴数学
解答
1月 2月 3月 4月 5月 1对 1对 2对 3对 5对
解答
1月 2月 3月 4月 5月 6月 1对 1对 2对 3对 5对 8对
解答
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对 6月 8对 7 月 13 对
解答
• 可以将结果以表列形式列出 ：
斐波那契数与黄金比值
将两个连续的斐波那契数相比 3 1.5 2 5 1.666666667 3 8 由此可观察到: 1.6 5 13 Fn1 1.625 lim 1.618033989 8 n F n 21 1.615384615 13 ...... 1 此数也是黄金比 1346296 1.618033989 832040 ......
0.618
0.618 1 1
1
0.618
蜂房问题
蜂房问题
蜂房 号码 路线 1 总数
0 1 2 3 4 5 6
2
3
5
8
13
21
所以当蜂房号码是n时, 其路线总数有Fn+2
• 花瓣的数目
海棠 （2）
铁兰 （3）
洋紫荆 （5）
黄蝉 （5）
蝴蝶兰 （5）
雏菊 （13）
雏菊 （13）
大自然中的斐波那契数列
题只不过是书里许多问题中并不特别的
其中一个罢了。此后的岁月中，这个数
列和题中的高产兔子一样，引发了为数
众多的数学论文和介绍文章。
• 那些浩如烟海的有关斐波那契数列的数
学文章有兴趣的同学可以做进一步的探
讨。
兔子问题解答
1月 1对
解答
1月 2月 1对 1对
林寿数学史教案-第十讲：19世纪的分析
林寿数学史教案-第十讲：19世纪的分析第一篇：林寿数学史教案-第十讲：19世纪的分析第十讲：19世纪的分析1、分析的严格化经过近一个世纪的尝试与酝酿，数学家们在严格化基础上重建微积分的努力到19世纪初开始获得成效。
1.1 分析的算术化所谓分析是指关于函数的无穷小分析，主要贡献归功于柯西（法，1789－1857年）和魏尔斯特拉斯（德，1815－1897），前者著有《分析教程》（1821）、《无穷小分析教程概论》（1823）和《微分学教程》（1829），后者创造了ε－δ语言，是“现代分析之父”。
1837年狄里克雷（德，1805－1859年）的函数定义。
魏尔斯特拉斯简介。
1.2 实数理论19世纪60年代魏尔斯特拉斯提出“单调有界原理”，康托、戴德金各自独立地给出了无理数定义，建立了严格的实数论。
实数的定义及其完备性的确立，标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成。
1.3 集合论康托（德，1845－1918年），1874年发表了“关于一切代数实数的一个性质”，引入了无穷的概念。
康托简介。
2、分析的拓展 2.1 复变函数论在18世纪后半叶到19世纪初，开始了复函数的偏导数与积分性质的探索。
复分析真正作为现代分析的一个研究领域是在19世纪建立起来的，主要奠基人：柯西（法，1789－1857年）、黎曼（德，1826－1866年）和魏尔斯特拉斯（德，1815－1897年）。
柯西建立了复变函数的微分和积分理论。
1814年、1825年的论文《关于积分限为虚数的定积分的报告》建立了柯西积分定理，1826年提出留数概念，1831年获得柯西积分公式，1846年发现积分与路径无关定理。
柯西简介。
背景：波旁王朝、捷克简史、哈布斯堡王朝、拿破仑三世、欧洲1848年革命。
黎曼的几何观点，引入“黎曼面”的概念。
1851年博士论文《单复变函数一般理论基础》，建立了柯西－黎曼条件、黎曼映射定理。
魏尔斯特拉斯于19世纪40年代，以追求绝对的严格性为特征，建立了幂级数基础上的解析函数理论，解析开拓。
《数学史概论》教案
《数学史概论》教案主讲人：林寿导言主讲人简介：林寿，宁德师专教授，漳州师院特聘教授，四川大学博士生导师，德国《数学文摘》和美国《数学评论》评论员。
1978.4~1980.2宁德师专数学科学习；1984.9~1987.7苏州大学数学系硕士研究生；1998.9~2000.5 浙江大学理学院攻读博士学位。
拓扑学方向的科研项目先后20次获得国家自然科学基金、国家优秀专著出版基金等的资助，研究课题涉及拓扑空间论、集合论拓扑、函数空间拓扑等，在国内外重要数学刊物上发表拓扑学论文90多篇，科学出版社出版著作3部。
1992年获国务院政府特殊津贴，1995年被授予福建省优秀专家，1997年获第五届中国青年科技奖、曾宪梓高等师范院校教师奖一等奖。
个人主页：/ls.asp一、数学史要学习什么？为什么要开设数学史的选修课？数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会、经济和一般文化的联系。
对于深刻认识作为科学的数学本身，及全面了解整个人类文明的发展都具有重要的意义。
庞加莱（法，1854－1912年）语录：如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。
萨顿（美，(1884-1956年)：学习数学史倒不一定产生更出色的数学家，但它产生更温雅的数学家，学习数学史能丰富他们的思想，抚慰他们的心灵，并且培植他们高雅的质量。
数学史的分期：1、数学的起源与早期发展（公元前6世纪）；2、初等数学时期（公元前6世纪－16世纪）；3、近代数学时期（17世纪－18世纪）；4、现代数学时期（1820年至今）。
二、教学工作安排授课形式：讲解与自学相结合，分13讲。
第一讲：数学的起源与早期发展；第二讲：古代希腊数学；第三讲：中世纪的东西方数学I；第四讲：中世纪的东西方数学II；第五讲：文艺复兴时期的数学；第六讲：牛顿时代：解析几何与微积分的创立；第七讲：18世纪的数学：分析时代；第八讲：19世纪的代数；第九讲：19世纪的几何与分析I；第十讲：19世纪的几何与分析II；第十一讲：20世纪数学概观I；第十二讲：20世纪数学概观II；第十三讲：20世纪数学概观III；选讲：数学论文写作初步。
5、欧洲文艺复兴时的数学
5、欧洲⽂艺复兴时的数学欧洲⽂艺复兴时期的数学●从15世纪中期到16世纪末，这段时期在欧洲称为⽂艺复兴时期。
●在这⼀时期，欧洲，特别是西欧，出现了思想⼤解放、⽣产⼤发展、社会⼤进步的喜⼈景象，科学⽂化技术，其中包括数学，也随之开始复苏并逐步繁荣起来。
●从此欧洲的数学开始⾛到世界的前列，并长期成为世界数学发展的中⼼。
⼀、欧洲中世纪的回顾1、5世纪，罗马⼈占领了希腊本⼟后，他们依靠强权与军队来维持⾃⼰对异族的统治，热衷于创⽴所谓“实业家的⽂化”，为其统治者豪华奢侈的⽣活服务。
他们对抽象思维毫不关⼼，数学研究仅限于简单的⼏何和测量。
2、另⼀⽅⾯，这⼀时期⼜是基督教绝对统治的时期，为了达到在精神上⿇痹奴⾪的⽬的，基督教竭⼒宣扬“今⽣忍辱负重，来⽣进⼊天堂”的谬论，⽤死后的幸福⽣活来欺骗被统治者，要他们安于被奴役的痛苦命运。
3、圣经是这⼀时期⼈们唯⼀能够学习、研究的“百科全书”。
4、7世纪，在英格兰的北部出现了⼀位博学多才的神学家，这就是被称为“英格兰⽂化之⽗”的⽐德。
在数学⽅⾯，⽐德曾写过⼀些算术著作，研究过历法及指头计算⽅法。
当时，对耶酥复活期的推算是教会讨论最热烈的课题之⼀，据说，这位⽐德⼤师就是最先求得复活节的⼈。
5、⾃然现象进⾏理性的探讨，英国的哲学家培根可以说是这种理性探讨的先驱。
●培根是英格兰的⼀个贵族，曾在⽜津⼤学和巴黎⼤学任教，会多种语⾔，对当时⼏乎所有的知识都感兴趣，号称“万能博⼠”。
●他提倡科学，重视现实，反抗权威。
他认为，数学的思想⽅法是与⽣俱来的，并且是与⾃然规律相⼀致的。
●在他看来，数学是⼀切科学的基础，科学真理之所以是珍贵的，是因为它们是在数学的形成中被反映出来的，即⽤数学数量和尺度刻画的。
6、意⼤利数学家列昂纳多·斐波那契(约1170—1250)，（1）曾在埃及、叙利亚、希腊以及西西⾥岛等地游历，在这些地⽅，他获得了许多数学知识，对印度—阿拉伯计算⽅法的实⽤性尤为欣赏。
数学史概论近代数学的兴起
外，还讨论了截影的数学性质，成为射影 几何发展的起点。
重要人物
布努雷契 [意](F.Brunelleschi,1377-1446) 阿尔贝蒂(L.B. Alberti ,1404-1472) <论绘画>---早期数学透视法的代表
作
富有独创精神的数学天才-----德沙格
（g.desargues, 1591~1661） （笛沙格）
关于四次方程的解法，以后韦达和笛卡 尔都作过研究，并取得成果，由此引发探求 五次方程根式解的尝试，经拉格朗日、阿贝 尔、伽罗瓦的努力，阿贝尔首先证明了一般 的五次及以上方程无根式解，伽罗瓦在此基 础上创造了群论，将代数研究推向纵深。
3.代数符号体系与代数运算
韦达(F.Vieta):<分析引论>(1591) 近现代数学一个最为明显、突出的标志，
《大法》（Ars Magna）
x px q （p, q >0）
3
实质是考虑恒等式
3 3
（a b) 3ab(a b) a b
3
若选取a,b,使：3ab=p, a3-b3=q,不难解得a,b
a3
q q 2 p 3 ( ) ( ) 2 2 3
b3
q 2
q p ( )2 ( )3 2 3
帕斯 卡
拉伊尔（1640-1718），著作《圆锥线》，
最突出的地方在于极点理论方面有所 创新，获得并且这样的定理：若一点 Q在直线p上移动，则该点Q的极带将 绕直线p的极点P转动。
5.2.4计算技术与对数
十六世纪前半叶，欧洲人象印度、阿拉伯人一
样，把实用的算术计算放在数学的首位。
1585年荷兰数学家史蒂文发表的《论十进制算
5、欧洲文艺复兴时的数学
欧洲文艺复兴时期的数学●从15世纪中期到16世纪末，这段时期在欧洲称为文艺复兴时期。
●在这一时期，欧洲，特别是西欧，出现了思想大解放、生产大发展、社会大进步的喜人景象，科学文化技术，其中包括数学，也随之开始复苏并逐步繁荣起来。
●从此欧洲的数学开始走到世界的前列，并长期成为世界数学发展的中心。
一、欧洲中世纪的回顾1、5世纪，罗马人占领了希腊本土后，他们依靠强权与军队来维持自己对异族的统治，热衷于创立所谓“实业家的文化”，为其统治者豪华奢侈的生活服务。
他们对抽象思维毫不关心，数学研究仅限于简单的几何和测量。
2、另一方面，这一时期又是基督教绝对统治的时期，为了达到在精神上麻痹奴隶的目的，基督教竭力宣扬“今生忍辱负重，来生进入天堂”的谬论，用死后的幸福生活来欺骗被统治者，要他们安于被奴役的痛苦命运。
3、圣经是这一时期人们唯一能够学习、研究的“百科全书”。
4、7世纪，在英格兰的北部出现了一位博学多才的神学家，这就是被称为“英格兰文化之父”的比德。
在数学方面，比德曾写过一些算术著作，研究过历法及指头计算方法。
当时，对耶酥复活期的推算是教会讨论最热烈的课题之一，据说，这位比德大师就是最先求得复活节的人。
5、自然现象进行理性的探讨，英国的哲学家培根可以说是这种理性探讨的先驱。
●培根是英格兰的一个贵族，曾在牛津大学和巴黎大学任教，会多种语言，对当时几乎所有的知识都感兴趣，号称“万能博士”。
●他提倡科学，重视现实，反抗权威。
他认为，数学的思想方法是与生俱来的，并且是与自然规律相一致的。
●在他看来，数学是一切科学的基础，科学真理之所以是珍贵的，是因为它们是在数学的形成中被反映出来的，即用数学数量和尺度刻画的。
6、意大利数学家列昂纳多·斐波那契(约1170—1250)，（1）曾在埃及、叙利亚、希腊以及西西里岛等地游历，在这些地方，他获得了许多数学知识，对印度—阿拉伯计算方法的实用性尤为欣赏。
（2）1202年，斐波那契综合阿拉伯和希腊资料著成一部重要著作《算经》（Liber Abaci，亦译作《算盘书》），这部著作共15章，主要介绍算术与代数，内容十分丰富，包括：印度—阿拉伯数码的读法与写法；整数与分数的计算；平方根与立方根的求法；线性方程组和二次方程的解法等，给出了数学在实物交易、合股、比例法和测量几何中的应用。
数学史概论 第五讲
达芬奇自画像
蒙娜丽莎
• 德沙格(G.Desargues, 1591~1661)： 系统讨论透视法的第一人. 他研究投影法的动机是希望证明阿波罗尼奥斯 圆锥曲线的定理. 1636年发表第一篇关于透视法的论文. 代表作是1639年发 表的《试论锥面截一平面所得结果的初稿》,书中引入70多个投影几何术 语, 有些很古怪, 如投影线叫‚棕‛, 标有点的直线叫‚干‛, 其上有三点成对合关 系 的直线叫‚树‛ 等等。 创造性思想： 从焦点透视的投影与截影原理出 发, 对 平行线引入无穷远点的概念, 继而获得无穷 远线的概念; 讨论了今天所谓的笛沙格定理: 投影三角形 ABC 和A‘B’C‘ 的对应 边(或 延长线)交点Q、R、P共线。反之，对应 边交点共线的三角形，对应顶点连线 AA'、BB'、CC'共点O 。 德沙格在他朋友鲍瑟1648年发表的一本 关于透视法著作的附录中,发表了三角形其 它一些射影性质的结论,其中包含投影变换 下交比不变性定理。
韦达的这种做法受到后人的赞赏，并被吉拉德的《代数新发现》和 奥特雷德(Oughtred, 1575~1660）的《实用分析术》所继承。特别是通 过后者的著作使得采用数学符号的风气流行起来。对韦达所使用的代数 法的改进工作是由笛卡儿完成的，他首先用拉丁字母的前几个（a, b, c, d, …）表示已知量，后几个（x, y, z, w, …）表示未知量，成为今天的 习惯。 到十七世纪末，欧洲数学家已普遍认识到，数学中特意使用符号具有 很好的功效。并且使数学问题具有一般性。
2
3
b3
q q p 2 2 3
2
3
对于带有二次项的三次方程，通过变换总可以将二次项消去，从而变成 卡尔丹能解的类型。
6文艺复兴时期的数学
四、 韦达与符号代数 1.韦达（1540-1603)
韦达从事数学研究只是出于爱好，然而他却完成了代数 和三角学方面的巨著。他的《应用于三角形的数学定律》 （1579年）是韦达最早的数学专著之一，可能是西欧第一 部论述6种三角函数解平面和球面三角形方法的系统著作。 《分析方法入门》是韦达最重要的代数著作，使代数学真 正成为数学中的一个优秀分支。书中应用了希腊数学家帕 波斯和丢番图的著作，但韦达不满足于丢番图对每一问题 都用特殊解法的思想，试图创立一般的符号代数。他创设 了大量的代数符号，用字母代替未知数。这样，代数就成 为研究一般的数和方程的学问，这种革新被认为是数学史 上的重要进步，它为代数学的发展开辟了道路，因此韦达 被西方称为“代数学之父”。
四、 韦达与符号代数 1.韦达（1540-1603)
法国16世纪最有影响的数学家之一。 1540年生于法国。早年在家乡接受初等教育， 后来到普瓦捷大学学习法律，1560年获法学 学士学位，成了一名律师。1564年放弃这一 职位，做了一段秘书和家庭教师的工作。 他用字母分别表示方程的未知数和系数， 发现了方程的根与系数之间的关系，后称 “韦达定理”。 主要著作有《标准数学》、《论方程的整理 与修正》、《分析术引论》等
主要的数学成就 一、代数学——三次、四次方程的解法
历史回顾：代数学”这个词来源于花拉子米所著的一本书。 花拉子米的还原（移项）和对消（合并同类相）运算。其中 的配方法，给出了解一元二次方程的公式，并得到了二次方 程的两个根。在花拉子米系统地研究了六种类型的一次和二 次方程及其解法： ax2 = bx， ax2 = c，ax = c， ax2 + cx = c，ax2 + c = bx，bx + c = ax2 对于前三种类型方程，花拉子米把方程ax2 = bx看作线性方 程，抛弃了零根，对于后三种类型方程，花拉子米的解法相 当于现在的配方法。花拉子米实际上已经给出了首项系数为 1的一元二次方程的求根公式。
文艺复兴时期的数学
希望的曙光
——欧洲文艺复兴时期的数学
朱婷婷 陶丽丽
第五章 欧洲文艺复兴时期的数学 陈爱芬 1
5.1 欧洲中世纪的回顾 5.2欧洲文艺复兴时期的数学 欧洲文艺复兴时期的数学
5.2.1
透视理论的创立与三角学的独立
5.2.2
三、四次方 程的解法
5.2.3
韦达与符号代数
5.2.4
对数的发明
世纪中叶到15世纪 从5世纪中叶到 世纪，在科学史和哲学史上称为“欧 世纪中叶到 世纪，在科学史和哲学史上称为“ 洲的中世纪黑暗时期” 洲的中世纪黑暗时期”。出现这一科学技术大倒退的原因 是多方面的。 是多方面的。
第五章 欧洲文艺复兴时期的数学
10
另外一方面，欧洲人由于禁锢的时间太久了， 另外一方面，欧洲人由于禁锢的时间太久了， 他们渴望了解外部的世界。 他们渴望了解外部的世界。使他们的航海技术 达到了前无古人的地步。 达到了前无古人的地步。
1487年迪亚士（葡，1450－ 1500）到好望角 1497年达•伽马（葡，1469－ 1524）到印度海岸 1492年哥伦布（西，1451－ 1506）到美洲 1519年麦哲伦（葡，1480－ 1521）环球航行
这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。 递推关系式： 通项公式：
un = un−1 +un−2 ( n ≥ 3) ,且u1 = u2 =1
林寿数学史教案-第十三讲：20世纪数学概观III（大全5篇）
林寿数学史教案-第十三讲：20世纪数学概观III（大全5篇）第一篇：林寿数学史教案-第十三讲：20世纪数学概观III第十三讲：20世纪数学概观 III1、牛顿以来250年间的英德法数学家1642－1891年间出生于英德法的主要数学家。
2、世界数学中心的转移世界科学活动中心曾相继停留在几个不同的国家，转移的格局大体是：意大利→英国→法国→德国→美国。
从中心区停留的时间跨度看：意大利1540－1610年，英国1660－1730年，法国1770－1830年，德国1830－1930年，美国1920年起。
科学活动中心的转移，实际上就是科学人才中心的转移。
3、20世纪的一些数学团体 3.1 哥廷根学派高斯（1777－1855年）1807－1855年任哥廷根大学数学教授，后狄里克雷（1805－1859年）1855－1859年、黎曼（1826－1866年）1846－1866年在哥廷根工作，1886年克莱因（1849－1925年）到哥廷根，开创了40年哥廷根学派的伟大基业。
20世纪初世界数学中心：哥廷根数学研究所。
在哥廷根工作的一些数学家、在哥廷根学习或访问过的数学家。
3.2 波兰数学学派1917年波兰数学会在克拉科夫成立，1918年亚尼谢夫斯基（1888－1920年）发表《波兰数学的需求》，形成了华沙学派、利沃夫学派。
华沙学派：研究点集拓扑、集论、数学基础和数理逻辑。
1920年《数学基础》创刊标志华沙学派的形成。
带头人：谢尔宾斯基（1882－1969年），马祖凯维奇（1888－1945年）。
利沃夫学派：研究泛函分析。
1929年创刊《数学研究》。
带头人：巴拿赫（1892－1945年），施坦豪斯（1887－1972年）。
第二次世界大战使波兰失去了一代人。
3.3 苏联数学学派19世纪下半叶，出现了切比雪夫（1821－1894年）为首的彼比堡学派。
叶戈罗夫（1868－1931年）造就了20世纪繁荣的莫斯科数学学派。
优势学科：函数论、拓扑学、解析数论、概率与随机过程、泛函分析、微分方程、线性规划。
(定稿)第五讲 文艺复兴前后的欧洲数学
1、中世纪的欧洲数学（5－14世纪） 、中世纪的欧洲数学（ － 世纪 世纪） 主要内容：黑暗时期、科学复苏。 主要内容：黑暗时期、科学复苏。 从公元476年西罗马帝国灭亡到 世纪文艺复兴长 年西罗马帝国灭亡到14世纪文艺复兴长 从公元 年西罗马帝国灭亡到 多年的欧洲历史称为欧洲中世纪。 达1000多年的欧洲历史称为欧洲中世纪。 多年的欧洲历史称为欧洲中世纪 公元5－ 世纪 是欧洲历史上的黑暗时期， 世纪， 公元 － 11世纪， 是欧洲历史上的黑暗时期 ， 教会 成为欧洲社会的绝对势力，宣扬天启真理， 成为欧洲社会的绝对势力，宣扬天启真理，追求来 淡漠世俗生活，对自然不感兴趣。 世，淡漠世俗生活，对自然不感兴趣。
基督教的经典是《 圣经》 旧约》 基督教的经典是 《 圣经 》 （ 《 旧约 》 、 《 新 记述的都是上帝的启示， 约 》 ） ， 记述的都是上帝的启示 ， 是基督教徒信 仰的总纲和处世的规范， 是永恒的真理。 仰的总纲和处世的规范 ， 是永恒的真理 。 据 《 圣 经》记载，耶稣和他们的门徒会并一起进行了 最后的晚餐” 在晚餐上就坐的正好是13个人 个人， “ 最后的晚餐 ” ， 在晚餐上就坐的正好是 个人 ， 耶稣是被他的第13个门徒犹大出卖的 个门徒犹大出卖的。 就成了 耶稣是被他的第 个门徒犹大出卖的 。 13就成了 不吉利的数字了。 不吉利的数字了。 基督教产生不久， 基督教产生不久 ， 就逐渐形成拉丁语系的西派 和希腊语的东派。 东派以君士坦丁堡为中心， 和希腊语的东派 。 东派以君士坦丁堡为中心 ， 西 派以罗马为中心， 天主教就是从西派的基础上演 派以罗马为中心 ， 化而来的。 化而来的。
因宗教教育的需要， 因宗教教育的需要 ， 也出现一些水平低下的初 级算术与几何教材。 级算术与几何教材。 罗马人博埃齐（ 罗马人博埃齐 （ 约 480－ 524年 ） 主要以哲学家 － 年 留名青史， 留名青史，他的哲学是古希腊罗马哲学到中世纪经 院哲学的过渡，在数学方面，根据希腊材料用拉丁 院哲学的过渡，在数学方面， 文选编了《几何学》 原本》 文选编了 《 几何学 》 （ 《 原本 》 第 1、3、4卷部分 、 、 卷部分 内容） 算术入门》等教科书， 内容）、《算术入门》等教科书，成为中世纪早期 欧洲人了解希腊科学的唯一来源， 欧洲人了解希腊科学的唯一来源，他的众多著作为 传播希腊罗马文化，为普及百科知识， 传播希腊罗马文化，为普及百科知识，在长达千年 的历史上起了重要作用。公元522年博埃齐被诬控 的历史上起了重要作用 。 公元 年博埃齐被诬控 叛国罪而遭监禁， 年被处决。 叛国罪而遭监禁，524年被处决。 年被处决 法国人热尔拜尔（ 法国人热尔拜尔 （ 938－ 1003年 ） ， 999年当选 － 年 年当选 为罗马教皇，提倡学习数学， 为罗马教皇，提倡学习数学，翻译了一些阿拉伯科 学著作，把印度－阿拉伯数码带入欧洲。 学著作，把印度－阿拉伯数码带入欧洲。
52 欧洲文艺复兴时期的数学
阿拉伯计算方法的实用性尤为欣赏。 1202年，斐波那契综合阿拉伯和希腊资料著称 异步重要著作《算盘书》，这部著作共15章， 主要介绍算术与代数，内容非常丰富，包括： 印度-阿拉伯数码的读法与写法；整数与分数 的计算；平方根与立方根的求法；线形方程组 和二次方程的解法等，给出了数学在实物交易、 合股、比例法和测量几何中的应用。这部著作 还给出一个有趣的所谓“兔子问题”：假定大 兔子每月生一对小兔，而小兔两个月长成大兔， 那么问，自一对大兔开始，一年后可繁殖多少 对兔子。由这个问题引出了著名的“斐波那契 数列”
方法是从感觉和特例收集公理，不断地逐步上 升，这样最后达到更普通的公理。这后一种方 法是真实的，但尚未有人试过”。他号召人们 面向自然，进行有目的的实验，去了解自然， 征服自然。虽然培根成为了哪个时代的牺牲品， 但他的呐喊还是在漫漫黑夜中点燃了人们复苏 的愿望。 在这个时期最出色的数学家是意大利的列昂纳 多· 斐波那契(Leonado Fibonacci,约11701250)，的父亲是比萨驻阿尔利亚的商业代表， 故他随父亲在那里受到教育，并曾在埃及、叙 利亚、希腊积极西西里岛等地游历，在这些地 方，他获得了许多数学知识，对印度-
就是早期的代表人物之一。他是罗马的一个贵 族，曾不顾禁令用拉丁文从古希腊著作的片段 中编译了一些算术、几何、音乐、天文的初级 读物，他把这些内容称为“四大科”，其中的 数学著作还被教会学校作为标准课本使用了近 千年之久，但博埃齐本人还是遭受政治迫害被 捕入狱并死在狱中。 7世纪，在英格兰的北部出现了一位博学多才 的神学家，这就是被称为“英格兰文化之父” 的比德（V.Bede，673-735 ）。在数学方面， 比德曾写过一些算术著作研究过历法及指头计 算方法。当时，对耶稣复活的推算是教会讨论 最热烈的课题之一，据说，这位比德大师就是 最
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2020/12/2
8
文明背景
哥白尼（波，1473－1543年） （委内瑞拉，1973）
2020/12/2
9
文艺复兴时期的欧洲数学 近代始于对古典时代的复兴，但人们很快看 到，它远不是一场复兴，而是一个崭新的时代。
代数学 三角学 射影几何 对数
2020/12/2
10
代数学
方程的根式解，16世纪意大利 数学最重要的成就
6
文明背景
航海探险
哥伦布在瓜纳阿尼岛登陆(1492)
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文明背景
天文学的革命
托勒密（埃及，90－165年） 宗教神学的宇宙观：上帝创造了地球，地 球是宇宙的中心。
哥白尼（波，1473－1543年） 日心说：《天体运行论》（1543）
布鲁诺（意，1548－1600） 宇宙观：《论无限宇宙及世界》（1584）
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三角学
1464年《论各种三角形》 —— 对三角学做出完整、独立的阐述 —— 传播三角学、15世纪最有影响的数学家 —— 1533年出版
韦达（法，1540－1603年）
—— 1579年《应用于三角形的数学定律 》
雷格蒙塔努斯
—— 1615年《截角术》
（德，1436－1476年）
第五讲 文艺复兴时期的数学
(15－17世纪初)
文艺复兴时期的欧洲数学 15-17世纪的中国数学
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文明背景
文艺复兴：复兴古典学术和艺术
“▪人但丁文（意主，126义5－1”321）思的《想神曲是》 文艺复兴的灵 魂和中心 ▪意大利文艺复兴盛期三杰
达•芬奇（1452－1519）
歌颂人性、反对神性，提倡人权、 “不米懂开数朗琪学罗的（人1不47要5－读1我56的4）书”
邦贝利(意, 1526-1573)在1572年 引进虚数
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代数学
符号代数 ——符号系统的建立使代数成为一门科学 ——变量数学的标志, 反映了数学高度抽 象与简炼 《综合数学》(1544) ——符号使用是代数学的一大进步
施蒂费尔（德，1487－1567年）
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
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文明背景技术进步
中国四大发明在欧洲
欧
火药：14世纪传入欧洲
几
造纸：13世纪传入欧洲
里 得
印刷术：14世纪传入欧洲
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文明背景
航海探险
哥伦布（西，1451－1506年） （智利，1992）
▪1487年迪亚士（葡，1450－
1500）到好望角
▪1497年达•伽马（葡，1469－
1524）到印度海岸
▪1492年哥伦布（西，1451－
1506）到美洲
▪1519年麦哲伦（葡，1480－
1521）环球航行
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对数
1585年史蒂文(荷, 1548-1620) 《十进算术》
1614年《奇妙对数规则的说明》 —— 三角公式积化和差 —— 几何级数指数
纳皮尔 （苏格兰，1550－1617年）
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射影几何
关心阿波罗尼奥斯《圆锥曲线论》
来自艺术的几何创造
透视学
阿尔贝蒂 （意，1404－1472年）
—— 阿尔贝蒂1435年《论绘画》
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射影几何
1639年《试论锥面截一平面所得结果的初稿》 (1845年发现, 1950年找到原版) 德沙格定理
德沙格
之 有行洲
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大 利 建 筑 巨 匠 伯 鲁 诺 列
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动 ， 建 于 －
最 大 的 教 堂 ， 可 供 万
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代数学
人文主义的代表人物 、百科全 书式的学者
1545年《大术》
三次、四次方程的解法，方程 的负根、虚根
卡尔丹 （意，1501－1576年）
《论数字与度量》（1556－ 1560）：数学百科全书和16世纪 最好的数学著作之一
塔塔利亚三角形
塔塔利亚
发现三次方程的代数解法 (1515, 1535, 1539, 1548)
（意，1499－1557年）
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代数学
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米兰大教堂
斯公年人
基元，举欧
4 1386 1485 107 15
反对神权，提倡个性自由、反对宗 拉斐尔（1483－1520） “凡是和数学没有联系的地方，
教都禁不是锢可靠，的”赞颂世俗生活、反对来世
观念和禁欲主义 达 · 芬奇（意, 1452－1519年） （摩纳哥，ห้องสมุดไป่ตู้969）
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精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
(法, 1591-1661年)
新思想：图形连续变化，变换的不变性，
关心结构不涉及度量
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射影几何
1640年《圆锥曲线论》(1779年发现) 帕斯卡定理
帕斯卡 (法, 1623-1662年)
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射影几何的综合方法，用代 数方法处理问题更有效，让位 于代数、解析几何和微积分。
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代数学
1494年《算术集成》：继斐波那 契之后第一部内容全面的数学书
猫捉老鼠问题 ：一只老鼠在60英尺
高的白杨树顶上，一只猫在树脚下的
地上。老鼠每天下降1/2英尺，晚上又
上升1/6英尺；猫每天往上爬1英尺，
帕西奥里（意，1445－1517年）
晚上又滑下1/4英尺；这棵树在猫和老 鼠之间每天长1/4英尺，晚上又缩1/8
的 《
指南针：12世纪传入欧洲
原
本
》
马克思《机器、自然力和科学
的应用》：火药、指南针、印
刷术 —— 这是预告资产阶级
社会到来的三大发明。……总
的说来变成了科学复兴的手段，
变成对精神发展创造必要前提
的最强大的杠杆。
1482年第一个印刷版
1450年，德意志人古腾堡（右一）发明了金属活字印刷术
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（意，1994）
英尺。试问猫要多久能捉住老鼠？
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代数学
16世纪最大的数学家
代数学之父：1591年《分析引论》
“没有不能解决的问题” （Nullum non problema solvere)
1615年《论方程的整理与修正》
1646年《韦达文集》出版
韦达 （法，1540－1603年）