临界问题的求解(2静力学)

静力学中临界问题的求解

临界问题是物理现象中的常见现象。所谓临界状态就是物理现象从一种状态变化成另一种状态的中间过程，临界状态通常具有以下特点：瞬时性、突变性、关联性、极值性等。临界状态往往隐藏着关键性的隐含条件，是解题的切入口，在物理解题中起举足轻重的作用。求解临界问题通常有如下方法：极限法、假设法、数学分析法（包括解析法、几何分析法等）、图象法等。

极限法：在题目中如出现“最大”、“最小”、“刚好”、“要使”等词语时，一般隐含着临界问题。处理问题时，一般把物理问题（或过程）设想为临界状态，从而使隐藏着的条件暴露出来，达到求解的目的。假设法：有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题，解决办法是采用假设法，把物理过程按变化的方向作进一步的外推，从而判断可能出现的情况。数学分析法；是一种很理性的分析方式，把物理现象转化成数学语言，用数学工具加以推导，从而求出临界问题，用这种分析方法一定要注意理论分析与物理实际紧密联系起来，切忌纯数学理论分析。图象法：将物理过程的变化规律反映到物理图象中，通过图象分析求出临界问题。下面列举的是高中物理各知识系统中典型的临界问题。

一、共点力动态平衡中的临界极值问题的解读

物体在多个共点力作用下的动态平衡问题中，常涉及到什么时候受力“最大”或“最小”，那个绳先断等问题。

【例4】如图1所示，质量为m 的物体，置于水平长木板上，物体与木板间的动摩擦因数为μ。现将长木板的一端缓慢抬起，要使物体始终保持静止，木板与水平地面间的夹角θ不能超过多少？设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

【灵犀一点】这是一个斜面问题。当θ增大时，重力沿斜面的分力增大。当此

分力增大到等于最大静摩擦力时，物体处于动与不动的临界状态。此时是θ最大。

【解析】依题意可知，当θμθ=mgsin mgcos 时，物体处于临界状态，即θμ=tan ，

则θμ≤arcot .讨论：θμ=tan 是一重要临界条件。其意义是：θμ

板静止；tan θ>μ时，重力沿斜面向下的分力大于滑动摩擦力，物体将向下做加速运动。

【思维总结】对于此题的动态是否处于动态平衡问题讨论如下：①、将物体静止置于斜面上，如θμ≤tan ，则物体保持静止；如θμ>tan ，则物体不能保持静止，而加速下滑。②、将物体以一初速度置于斜面上，如tan<μ，则物体减速，最后静止；如θμ=tan ，则物体保持匀速运动；如θμ>tan ，则物体做加速运动。因此，θμ=tan 这一临界条件是判断物体在斜面上会如何运动的一个条件。

【例5】如图2所示，跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A 和B ，物体A 放在倾角为α的斜面上，已知物体A 的质量为m ，物体B 和斜面间动摩擦因数为μ（μθ

摩擦不计，要使物体静止在斜面上，求物体B 质量的取值范围．

【点拨】摩擦力可能有两个方向

【解析】以B 为研究对象，由平衡条件得：B T m g =

再以A 为研究对象，它受重力、斜面对A 的支持力、绳的拉力和斜面对A 的

摩擦作用．假设A 处于临界状态，即A 受最大静摩擦作用，方向如图所示，根

据平衡条件有：cos N mg θ=,0,m m T f mg f N μ--==或：

0,m m T f mg f N μ+-==.

综上所得，B 的质量取值范围是(sin cos )(sin cos )B m m m θμθθμθ-≤≤+. θ

图1 图 2 图3

G

D

O C B A

【思维总结】本题关键是要注意摩擦力的方向及大小与物体所受外力有关，故在处理问题时．要在物体临界条件下确定可能的运动趋势．

【例6】如图3所示，将一物体用两根等长OA 、OB 悬挂在半圆形架子上，B 点固定不动，在悬挂点A 由位置C 向位置D 移动的过程中，物体对OA 绳的拉力变化是（ ） A.由小变大 B.由大变小 C.先减小后增大 D.先增大后减小 【重难点突破】在进行动态分析时，要找到不变的因素和力发生变化的临界点 【解析】悬挂点A 由位置C 移动的过程中，每个位置都

处在平衡状态，合力为零。 以结点O 为研究对象，受三个力的作用而处于平衡状态，因此三个力必构成一个闭合矢量三角形。因重力的大小和方向始终不变，BO 绳的拉力方向不变，在AO 绳由位置C 到D 移动过程中可以做出一系列的闭合的三角形，如图

4所示。由图可知OB 绳的拉力由小变大，OA 绳的拉力由大变小，当OA 垂直于OB 时绳OA 的拉力达到最小值，此时，绳OA 的接力由减小到增大的临界点。

则C 正确。

【思维总结】作矢量图时，每个三角形所表示重力边的长度、方向都不变，T B 的方向不变，然后比较做出的各个三角形表示有哪些不同。要特别注意是否存在极值和临界点，这是判断力变化的切入点。

二、平衡状态的临界问题 例1、倾角为30θ=度的斜面上放置一个重200N 的物体，物体与斜面间的动摩擦因数为3/3μ=，要使物体恰好能沿斜面向上匀速运动，所

加的力至少为多大？方向如何？

分析；由于施力的方向没定，先假定一个方向：与斜面成α角向上，物

体的受力分析如图2所示。

解：x 方向：cos sin F f mg αθ=+；

y 方向：sin cos F N mg αθ+=其中F N μ=；

联立以上三式求解得：33/(cos sin )32sin()

mg F mg αααϕ=+=+，其中060ϕ=。当030α=时F 有极值：min 1003F N =。

例2、如图3所示，用光滑的粗铁丝做成一个直角三角形ABC ，BC 边水平，ABC α∠=，AB 及AC 上分别套有用细绳连着的小环P 、Q 。当它们相对静止时，细线与AB 边所成的夹角θ的变化范围是多少？

分析：题设中没有说明P 、Q 质量的大小，可用假设法来判断这个问题中可能出现的临界状态。 若Q 的重力大于P 的重力，则可不计P 的重力，P 的平衡转化为二力平衡，此时细绳的拉力与AB 对环P 的支持力几乎在同一直线上垂直于AB 的方向，即θ接近/2π。

若P 的重力远大于Q 的重力，则可不计Q 的重力，Q 的平衡转化为二力平衡，此时绳的拉力与AC 对环Q 支持力几乎在同一直线上垂直于AC 的方向，即θ接近α。

综上分析，θ的变化范围是：/2αθπ<<。 归纳：对于平衡状态问题，正确进行受力分析是找到临界条件、寻找问题突破口的关键。若题设中某些力是末知的，可根据题设条件进行恰当而又合理的假设。

1、如图20所示，已知物体A 的重力为G ，重物与竖直墙面的动摩擦因

T A2 T B 图4 T A1 G T A3 T A4 N f mg 图2 x F α A B Q C P

图3 F θ 图4 θ

F

图20