大学微积分l知识点总结(一)

大学微积分I 知识点总结

【第一部分】大学阶段准备知识

1、不等式:

2 2

a b 2ab

3

abc

c 3 3abc

a b a 2 b 2 2 ' 2

当且仅当，a i b i 为常数，i 1,2,3...n 时取等号

2、函数周期性和对称性的常用结论

1、若 f (X+a ) =± f (X+b )，则 f (x )具有周期性；若 f (a+X )=± f (b-X )，则 f ( X )具有对

称性。

双向不等式:

扩展：若有y -b

b

两侧均在ab > 0或ab < 0时取等号

且x 1 n 则的最大值为：Xl X2

... X n n

x 1 ?X 2?...?X n , X 2 ... x n p p 为常数 柯西不等式: ^设 a i 、a 2、...a n ， b i 、 b 2、..・b n 均是实数，则有:

a 〔 b-] a 2

2 2 2

a n b

n

a

i

a

2

2 2 2 ... a n b| b

?

bn 2

a i a 2・・・

a n n

n

口诀：“内同表示周期性，内反表示对称性”

2、周期性

(1) 若f (x+a) =f (b+x)，贝U T=|b-a|

(2) 若f (x+a) =-f (b+x)，则T=2|b-a|

(3) 若f (x+a) =± 1/f (x),贝U T=2a

(4) 若f (x+a)=【1-f (x)】/【1+f (x)】，则T=2a

(5) 若f (x+a)=【1+f (x)】/【1-f (x)】，则T=4a 3、对称性

(1) 若f (a+x) =f (b-x)，贝U f (x)的对称轴为x= (a+b) /2

(2) 若f (a+x) =-f (b-x) +c，则f (x)的图像关于((a+b) /2，c/2)对称4、函数图象同时具备两种对称性，即两条对称轴，两个对称中心，一条对称轴和一个对称中心，则函数必定为周期函数，反之亦然。

(1) 若f (x)的图像有两条对称轴x=a和x=b，则f (x)必定为周期函数，其中一个周期为2|b-a| 。

(2) 若f (x)的图像有两个对称中心(a，0)和(b，0)，(a^b)，则f (x)

必定为周期函数，其中一个周期为2|b-a|

(3) 若f (x)的图像有一个对称轴x=a和一个对称中心

则f (x)必定为周期函数，其中一个周期为4|b-a|

3、三角函数

正弦sin 余弦cos 十「十n

正切tan b，0) ，( a^ b)，

余切cot

m 正割sec 一

余割csc —

n

m

n

倒数关系：

丄

1

1

1

tan

sin cos

cot

csc

sec

商的关系：

sin 丄

sec

cos

丄

csc

tan

cot

cos

csc

sin

sec

平方关系：

・2 2

1

sin cos 1 tan 2

1 1 cot 2

1

平常针对不同条件的两个常用公式：

.2 2 .

sin cos 1 tan ?cot 1

一个特殊公式：

sin sin sin -sin sin sin -

二倍角公式:

2sinA?cosA

2 2 cos A - sin A

2tanA

1-ta n 2A

半角公式:

sin2A cos2A tan2A 2

1-2sin A

sin 2 a 1 1 - cosa

2 2 2

a 1彳

cos — 1 cosa

2 2

tan a

sina 1 -cosa 2

1 cosa si na

cot a

sina 1 cos a 2

1-cosa sina

三倍角公式:

4sina?sin — a ?sin —-a

3 3 cos3a 4cosa?cos a ?cos -a

3

3

万能公式:

c 丄

a 2ta n

2 sina 2

a 1 tan 2 一

2

2

a 1-ta n —

2 cosa 2 a 1 tan 2 —

2

~ a 2ta n

tana ---------- —

2 a 1-ta n

— 2

两角和公式:

tan3a tan a?ta n — 3

a ?tan

-a 3

sin3a

sin sin ?cos cos ?sin sin - sin ?cos -cos ?sin cos cos ?cos - sin ?si

n

cos - cos ?cos sin

?si n

tan tan tan

1-ta n ?ta n

tan -

tan -tan

1 tan ?tan

和差化积公式:

sin sin 2si n 1

1

cos -

- — 2

2

sin -sin 2cos 1 . 1 sin -

2 2 cos cos 2cos 1 1 cos -

2

2

cos - cos - 2 sin 1 . 1 sin - 2 2

tanA ta nB sin A B tan A B cos A?cosB 1 tan A?tan B tanA- -tanB sin A- B tan A - B cosA ? cosB 1 tanA ?tanB

积化和差公式: sin ?sin - cos 1 -cos -

2 cos ?cos cos 1 cos -

2

sin ?cos

sin

1 sin -

2

口诀：奇变偶不变，符号看象限