第四章根轨迹分析复习要点

第四章 根轨迹分析复习要点

根轨迹图绘制规则，以系统开环传递函数：()()

14.005.02++=S S S K

S G 为例，画出系统的根轨迹图。 1.对称性：控制系统的根轨迹图。因系统开环增益K 变化，导致系统闭环特征方程的根在复平面上变化，形成根轨迹图。闭环特征方程的根或者为实数，或者为一对共轭复数（实部相同，虚步互为相反数），所以控制系统的根轨迹图关于实轴对称。

2.根轨迹分支数：控制系统开环传递函数中，分母多项式的解为极点，个数为n ，分子多项式的解为零点，个数为m ，所以系统有n 条根轨迹，m 条终止于零点，n-m 条终止于无穷远处。例题中系统有0个零点，3个极点，0条根轨迹终止于零点，3条根轨迹终止于无穷远处。闭环系统特征方程是：04.005.023=+++K S S S 。3个开环极点为：P1=0，P2=－4＋2j ，P3=－4－2j 。

3.确定实轴上属于根轨迹的段。实轴上任意取一点，该点右端零极点个数和为奇数，则该点所在段属于根轨迹。例题中，整个负实轴均为根轨迹。

4.渐近线：有n-m 条渐近线，与实轴正向夹角()0,1,...,1

21K n m K n m π

θ=--+=-，与实轴交点

-a n m

σ-=-所有极点和所有零点和，例题渐近线与实轴交点：－2.67，渐近线与实轴夹角：60度，180度，300度。

5.求分汇点：特征方程中K 用s 表示，对K 求s 的一阶导数，令之为0，解方程可得根轨迹的分汇点，

根据实际情况适当取舍。例题，特征方程为：320.050.4S S S K ++=-，200.150.810dK S S ds

=++=，，12S 3.33S 2解得：＝－，＝－，均为分汇点。

6.出射角：极点出射角为：180度+所有零点与该极点连线与实轴正向夹角和-所有其他极点与该极点连线与实轴正向夹角和。例题，P2的出射角为：180+0-（153.4+90）=－63.4度，因为根轨迹的对称性，P3的出射角为：63.4度。

7.与虚轴交点：s =j ω 带入特征方程，整理出实部和虚部，令之为0，解2个方程得到ω和K 的值，ω为根轨迹和虚轴交点，K 为到达交点时的增益数值，大于该值系统失去稳定性。例题中

s =j ω 带入04.005.023=+++K S S S ，可得：()()32j 0.40K ωωω-+-=，解得8, 4.47K ω==。

王小增 20141116