最优化方法
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一、 填空题
1.若()()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212121
312112)(x x x x x x x f ，
则=∇)(x f ，=∇)(2x f .
2.设f 连续可微且0)(≠∇x f ，若向量d 满足 ，则它是f 在x 处的一个下降方向。
3.向量T
)3,2,1(关于3阶单位方阵的所有线性无关的共轭向量有 . 4. 设R R f n →:二次可微，则f 在x 处的牛顿方向为 . 5.举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算法： .
6.以下约束优化问题：
)(01)(..)(min 212121
≥-==+-==x x x g x x x h t s x x f
的K-K-T 条件为：
. 7.以下约束优化问题：
1
..)(min 212
2
21=++=x x t s x x x f
的外点罚函数为（取罚参数为μ） .
二、证明题（7分+8分）
1.设1,2,1,:m i R R g n i Λ=→和m m i R R h n
i Λ,1,:1+=→都是线性函数，证明下
面的约束问题：
}
,,1{,
0)(},1{,
0)(..)(min 1112
m m E j x h m I i x g t s x x f j i n
k k
ΛΛ+=∈==∈≥=∑=
是凸规划问题。
2.设R R f →2
:连续可微，n i R a ∈，R h i ∈，m i Λ,2,1=，考察如下的约束条件问题：
}
,1{,0}
2,1{,0..)
(min 11m m E i b x a m I i b x a t s x f i T i i T
i ΛΛ+=∈=-=∈≥-
设d 是问题
1
||||,0,0..)(min ≤∈=∈≥∇d E i d a I
i d a t s d x f T
i T
i T
的解，求证：d 是f 在x 处的一个可行方向。
三、计算题（每小题12分）
1.取初始点T x )1,1()
0(=.采用精确线性搜索的最速下降法求解下面的无约束优化问题
（迭代2步）：
2
2212)(m in x x x f +=
2.采用精确搜索的BFGS 算法求解下面的无约束问题：
212
2212
1)(min x x x x x f -+=
3.用有效集法求解下面的二次规划问题：
.
0,001..42)(min 21212
12
221≥≥≥+----+=x x x x t s x x x x x f
4.用可行方向算法（Zoutendijk 算法或Frank Wolfe 算法）求解下面的问题（初值设为)0,0()
0(=x
,计算到)2(x 即可)：
.
0,033..22
1)(min 21211222121≥≥≤+-+-=
x x x x t s x x x x x x f
参考答案
一、填空题 1. ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++++3421242121x x x x ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛4224 2. 0)(<∇d x f T
3. T
)0,1,2(-，T
)1,0,3(-（答案不唯一）。 4. )()(12
x f x f ∇∇--
5. 牛顿法、修正牛顿法等（写出一个即可）
6.
)(,0,00
10021),,(21212121=-≥-≥=+-⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=∇x x x x x x x x L x λλμλμλμλ
7. 2212
22
1)1(2
1
)(-++
+=x x x x x F μμ 二、证明题
1.证明：要证凸规划，即要证明目标函数是凸函数且可行域是凸集。
一方面，由于f 二次连续可微，I x f 2)(2
=∇正定，根据凸函数等价条件可知目标函数是凸函数。
另一方面，约束条件均为线性函数，若任意D y x ∈,可行域，则
E
i y h x h y x h I i y g x g y x g j j j i i i ∈=-+=-+∈≥-+=-+0
)()1()())1((0)()1()())1((αααααααα
故D y x ∈-+)1(αα，从而可行域是凸集。
2.证明：要证d 是f 在x 处的一个可行方向，即证当D x ∈，n
R d ∈时，0>∃δ，使得
D d x ∈+α，],0(δα∈
当I i ∈时，0≥-i T
i b x a ，0≥d a T
i ，故0)(≥+-=-+d a b x a b d x a T
i i T
i i T
i αα； 当E i ∈时，0=-i T
i b x a ，0=d a T
i ，故0)(=+-=-+d a b x a b d x a T
i i T
i i T
i αα. 因此，d 是f 在x 处的一个可行方向。