三角函数最值.doc

三角函数的最值（专题）

一、知识要点

1、配方法求最值

主要是利用三角函数理论及三角函数的有界性，转化为二次函数在闭区间上的最值问题，如求函数y sin2 x sin x 1的最值，可转化为求函数

y t 2 t 1, t 1,1 上的最值问题。

2、化为一个角的三角函数（利用辅助角公式），再利用有界性求最值：

a sin x bcox a2 b2 sin( x )，其中 tan =

b . a

3、y asin x b

（或 y a cos x

b

）型，解出 sin x （或cos x）利用| sin x | 1 （或

c sin x

d c cosx d

| cos x | 1）去解；或用分离常数的方法去解决.

4、数形结合

形如： y asin x b

（或 y a cosx

b

）型，可化归为sin( x) g( y) 去处理；

c cosx

d c sin x d

或用万能公式换元后用判别式法去处理；当 a c 时，还可以利用数形结合的方法去处理. 常用到直线斜率的几何意义，例如求函数 y sin x 的最大值和最小值。函数 y sin x

cox 2 cox 2 的几何意义为两点P( 2,0), Q(cos x,sin x) 连线的斜率k，

5、换元法求最值

对于表达式中同时含有sinx+cosx ，与 sinxcosx 的函数，运用关系式sin x cos x 2 1 2 sin x cosx, 一般都可采用换元法转化为t 的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围。

*特别说明

注意变换前后函数的等价性，正弦、余弦的有界性及函数定义域对最值确定的影响，含参

数函数的最值，解题要注意参数的作用和影响。

二、题型剖析

1、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值。

例 1：求函数y sin 2 x 3 sin x cos x 1的最值，并求取得最值时的x 值。

练习： 1、已知函数。

（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；

2．已知函数．（Ⅰ）求函数的最大值；

3．已知函数 f (x) 4cos x sin( x) 1 。（Ⅰ）求 f ( x) 的最小正周期；（Ⅱ）求

6

f (x) 在区间,上的最大值和最小值。

6 4

2、转化为闭区间上二次函数的最值问题。

例 2已知函数。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最大值和最小值。

2

ππ

练习： 1、求函数 f （ x）=cos x+sin x 在区间［－，］上的最小值？

2、函数y sin 2 x 3cos x 3的最小值为（）.

A． 2B . 0 C . 1

D . 6 4

3、求函数 y=5sinx+cos2x 的最值

4、是否存在实数 a，使得函数y sin2x a cos x 5 a 3 在闭区间0, 上的最大

8 2 2

值是 1？若存在，求出对应的 a 值？若不存在，试说明理由。

例题 3。y= sin x 的最大值是 _________，最小值是 _________.

sin x

2

练习： 1 函数y= 3sin x 1

的最大值是 _______，最小值是 _______. sin x 2

2、求函数

3、求函数

sin x

(0 x) 的值域________ y

2 sin x

2 cosx 1

y 的值域 ________

2 cosx 1

例4

求函数 y=2 sin x

的最大值和最小值 .

2 cos x

1、y= 2cos x （

0＜x＜π）的最小值是________. sin x

2、求函数y

sin x

(0 x) 的最大值________.

2 cosx

3、换元法解决sin x cos x, sin x cos x 同时出现的题型。

例 5．求函数y 4 3sin x 4 3cos x 的最小值

练习： 1、求y=1+sin x+cos x+sin x cos x的值域 .

2、函数y(1 sin x)(1 cos x) 的最大值为_________ 最小值为 __________ [ 思维点拨 ] ：遇到sin x cosx 与 sin x cosx 相关的问题，常采用换元法，但要注意的取

值范围是 [2, 2 ] ，以保证函数间的等价转化

小结：求三角函数的最值问题就是通过适当的三角变换或代数换元，化归为基本类的三

角函数或代数函数，利用三角函数的有界性或常用的求函数最值的方法去处理.

基本类型

（ 1）y a sin2 x b sin x c （或 y a cos2 x b cos x c ）型，可令t sin x（或

t cosx ）， | t | 1 ，化归为闭区间上二次函数的最值问题.

（ 2） y a sin x b cos x 型，引入辅助角 ，化为 ya 2

b 2 sin(x

) ，利用函

数 | sin( x

) | 1即可求解 .

（ 3） y

a sin x

b （或 y a cosx b

）型，解出 sin x （或 cos x ）利用 | sin x | 1

csin x d c cosx d

（或 | cos x | 1）去解；或用分离常数的方法去解决.

（ 4） y

a sin x b

（或 y a cosx b

）型，可化归为 sin( x ) g( y) 去处理；

c cosx d

c sin x d

或用万能公式换元后用判别式法去处理；当

a

c 时，还可以利用数形结合的方法去处理.

（ 5 ） 对 于 含 有 sin x cos x,sin x cos x 的 函 数 的 最 值 问 题 ， 常 用 的 方 法 是 令

sin x cos x t,| t |

2, 将 sin x cos x 转化为 t 的关系式，从而化归为二次函数的最值问

题 .

（ 6）在解含参数的三角函数最值问题中，需对参数进行讨论

.

三、巩固练习：

1、当 0

x

1 cos2x

8sin 2 x

）

时，函数 f ( x)

sin 2x

的最小值为 （

2

（ A ） 2

（ B ） 2 3

（ C ） 4

（ D ） 4 3

2、已知 k ＜－ 4，则函数 y ＝cos2 x ＋ k (cos x － 1) 的最小值是

( )

(A) 1

(B)

－1

(C) 2

k ＋ 1

(D)

－ 2 ＋ 1

k

3、设 a

0 ，对于函数 f x

sin x

a

(0 x ) ，下列结论正确的是

（

）

sin x

A ．有最大值而无最小值

B ．有最小值而无最大值

C ．有最大值且有最小值 D

．既无最大值又无最小值

4、已知函数 f (x)

1

(sin x cos x) 1

sin x cos x , 则 f ( x) 的值域是 （

）

2 2

(A)

1,1 (B)

2

1,

2 (D)

2

,1 (C)

2

1,

2

2

5、函数 y= 1

sin2+4sin 2 x,x

R 的值域是

（

）

2

(A)［- 1 , 3 ］ (B) ［ - 3 , 1

］(C) ［

2

1 ,

2 1 ］ (D)［ 2

1 ,

2 1 ］

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2 2 2